8.2.1- sólidos de revolução - método do disco · disciplina de cálculo diferencial e integral...

Disciplina de Cálculo Diferencial e Integral IProf. Salete Souza de Oliveira Buffoni

8.2- Volume de Sólidos de Revolução

Uma região tridimensional (S) que possui as propriedades a) e b) a seguir é um sólido:

a) A fronteira de S consiste em um número finito de superfícies lisas que se interceptam num número finitode arestas que por sua vez, podem se interceptar num número finito de vértices.

b) S é uma região limitada.

Exemplos de sólidos (esfera, cone circular, cubo, cilindro)

8.2.1- Sólidos de Revolução - Método do Disco

Um sólido de revolução se forma da seguinte maneira:

Dada uma região R plana e l uma linha reta que pode tocar ou não em R e que esteja no mesmo plano de R.Girando-se R em torno de l, forma-se uma região chamada de sólido de revolução.

Girando o gráfico de uma função f(x) tem-se:

R

l

Área plana 1

S

l

Sólido gerado pela Rotação.

a b x

y = f(x)

Área plana 2

r=f(x)=yy

Cálculo do elemento de volume

dV = πr2 dxdV = π[f(x)]2 dx

b

141

V = π ∫a

2 dx)]x(f[


142

Exercícios

1) Usando o método do disco circular, calcule o volume do sólido gerado pela revolução da região sob afunção y = f(x) = x3, no intervalo [1,2].

V=π1

2

7

xdxxdx]x[dx)]x(f[

72

1

62

1

232

1

2 πππ ∫∫∫ === =

−

7

1

7

2 77

π = π7

127=18,143π=56,99(unid vol)

2) Achar o volume gerado pela função f(x) = 22 xa − em [-a, a]

V = πa

a

3

xxadx]xa[dx]xa[dx)]x(f[

32

2

1

22a

a

222a

a

2

−

−=−=−= ∫∫∫

−−

πππ

= π

+−−

−

3

aa

3

aa

33

33 = π

−+− 3

aa

3

aa

33

33 = π

− 3

a2a2

33

= π =

−

3

a2a6

33

3

4 πa3

que é o volume da esfera gerada!!!

1 2 x

y = x3

(1,1)

(2,8)

R

y

Área plana 3

(1,1)

(2,8)

x

r

Elemento de volume

Sólido gerado pela rotação dosemi-círculo

-a a x

yy = 22 xa − = r

Semi-círculo em rotação


143

Uma região plana pode ser girada em torno do eixo y ao invés do eixo x, e novamente um sólido de revoluçãoserá gerado.

V = ∫πb

a

2 dy)]y(g[ = π ∫b

a

2dyr que é o volume do sólido

Exercícios

1) Calcule o volume gerado pela parábola y = x2 girando em torno do eixo de y, no intervalo [0,4].

V = 0

4

2

yydydy]y[dyrdy)]y(g[

4

0

24

0

2b

a

2b

a

2 ∫∫∫∫ ====πππππ = ππ

802

42

=−

V = 8π = 25,13 unid. de vol.

O Método do Disco pode ser estendido para o Método dos Anéis Circulares. Este método surge quando aárea de revolução é limitada por duas funções f(x) e g(x), tal que f(x) > g(x), para todo x∈[a,b].

Área plana girando em y

R

y

x

b

a

x = g(y)

y

x

dy

r = x = g(y)

dV

Sólido de revolução da área plana em tornode y

Seção plana parábola girando em y

y4

0 2 x

y = x2 x = y

x

y

Sólido gerado pela Parábola de revolução

DiPr

O elemento de volume do anel é dado por:

dV = π [f(x)]2dx - π [g(x)]2dx = π { [f(x)]2 - [g(x)]2} dx

de forma que o volume todo é dado por:

V = { }dx)]x(g[)]x(f[dVb

a

b

a

22∫ ∫ −= π

Note que o vão interno é descontado pela subtração dos dois volumes.

Exercício 1) Calcular, usando o método dos anéis circulares, o volume formado pela rotação da região entre y = x2 e y= x + 2.

SoPo

yy = x +2

f(x)

g(x)

a b x

y

dx

dV

Anel projetado

f(x)

y

x

g(x)

Sólido gerado pela revolução Área plana em revolução

(2,4)y

(-1,1)

sciplina de Cálculo Diferencial e Integral Iof. Salete Souza de Oliveira Buffoni

144

l: Faço f(x) = x + 2 e g(x) = x2 (pois f(x) > g(x))ntos de Intersecção: f(x) = g(x) → x2 = x + 2, isto é:

x

Sólido de revolução

Área entre parábola e reta em revolução.

R

x


145

x2 - x - 2 = 0 (x' = -1 e x'' = 2) e (y' = 1 e y'' = 4)

V = [ ] [ ]∫∫ ∫−−

−++=−+=2

1

42b

a

2

1

222 )x()4x4x(dx)x()2x(dV ππ

== ∫−

−++2

1

42 dx]x4x4x[π = =−

−++

1

2

5

xx4

2

x4

3

x 523

π

=

−−−+−+

−−

−++

5

)1()1(4)1(2

3

)1(

5

22.42.2

3

2 52

352

3

π

=

+−−−

−+=

+−+−−

−++

5

12

3

1

5

3216

3

8

5

142

3

1

5

3288

3

8 ππ

logo V = 5

72π = 45,2389 (unid. de vol.)

Se a revolução for em torno do eixo y, como por exemplo para as funções x = F(y) e x = G(y), tem-se:dV = π { [F(y)]2 - [G(y)]2} dyde forma que o volume todo é dado por:

V = { }dy)]y(G[)]y(F[dVb

a

b

a

22∫ ∫ −= π

As vezes, o sólido de revolução é gerado em torno de um eixo externo que pode ser paralelo a "x" ou a "y". Ométodo dos anéis circulares, pode ser aplicado, desde que se identifique o raio do giro.

x

x=g(y)

x=f(y)

y

Área entre curvas, emrevolução

x

dV

dy

y

Sólido gerado pela área em revolução

ππππ5

72

15

216

15

32

15

184

15

3305

15

9624040==

−−

=

+−−

−

−+

=

DP

ExercíciosAchar o volume do sólido gerado pela revolução da região R em torno do eixo x = 6. R é limitada pelosgráficos de y2 = 4x e x = 4.

S

T

O

V

V

=

=

y2 = 4x

(4,4)

(-4,4)

Rx

dydV

(6 – y2/4 )

26

x=y2/4

Parabolóide gerado pela rotação

6

6 - 4

y2

Parábola girando em torno de um eixoexterno

isciplina de Cálculo Diferencial e Integral Irof. Salete Souza de Oliveira Buffoni

146

ol: Para isolarmos x fazemos: y2 = 4x → x = 4

y2

ambém temos: se x = 4 → y2 = 4.4 → y2 = 16→ y = ± 4

bs: rE = raio externo = 6 - 4

y2

e rI = raio interno = 2

= ( )dyrrdV4y

4y

4

4

2I

2E∫ ∫

=

−= −

−= π

= dy24

y6

4

4

2

22

∫−

−

−π = dy4

16

yy336

4

4

42∫

−

−+−π = dy32y3

16

y4

4

24

∫−

+−π

π 4

4y32y

80

y 35

−

+− = π

−+−−

−−

×+− )4(32)4(

80

)4(4324

80

4 35

35

π

−−

5

384

5

384 = π

5

768 = 153,6π = 482,548 (unid. vol.)

DiPr

2) Dados os gráficos y = x3 e x = 2, determine o volume da região, para o caso da área plana girar em y.

DeSeF(G(

V=

Ma58

En

8.2

y

x

y=x3

x=2

0 2x

y

dy

x

2

dV

Curva do 3o grau girando em y

sciplina de Cálculo Diferencial e Integral Iof. Salete Souza de Oliveira Buffoni

147

y = x3 → x = y1/3

jam:y) = 2 r E = 2 (raio externo)y) = y1/3 r I = x = y1/3 (raio interno)

dyy48

0

23

1

∫

−π = dyy4

8

0

32

∫

−π = π

0

8

35

yy4

35

− = π 0

35

88.4

35

−

− = π

− 358

5

332

s363 63 233 23 233 53 2.828)2(888888 ====== =8.4 = 32

tão V = π

− 358

5

332 = π

×− 32

5

332 = π

5

64 = 12,8π = 40,212 (unid. vol.)

.2- Método do Invólucro Cilíndrico

Este método usa cascas cilíndricas ao invés de discos.

Casca cilíndrica gerada

x

h

Cilindro

xdx

dV

Casca cilíndrica


148

2πx = comprimento da cascaV = πx2h

dV = 2πhxdx → V = 2π ∫ xhdx

Se a área plana de revolução estiver limitada pelas funções y = f(x) e y = g(x), no intervalo a ≤ x ≤ b,conforme mostra a figura:

h

Obs: temos: h = f - g

V = 2π dx])x(g)x(f[xb

a∫ −

Exercícios1) Calcular o volume de revolução em torno de y limitado por y = x3/2, y = 1, em x∈[1,3]

Sejam f(x) = x3/2 e g(x) = 1

V = 2π =−∫ dx])x(g)x(f[xb

a

2π dx]1x[x3

1

23∫ − = 2π1

3

2

x

2/7

x2dx]xx[

22/73

1

25

−=−∫ π =

dx

y=f(x)

y=g(x)

a b x

y

Área plana entre curvas, emRevolução e em torno de y

y

dx

dV

x

x

Sólido gerado pela área em revolução.

h = y-y0 = x3/2 -1y=x3/2

0 1 dx 3 x

Área girando em y

x

y

Casca cilídrica que gerao volume elementar

y(3,33/2)

Disciplina de CáProf. Salete Souz

= 2π =

−

14

60

14

3108 2π(9,075825) = 18,1516π = 57,025 (unid vol.)

2) Use o método das cascas cilíndricas para calcular o volume gerado pela rotação da área R em torno de y = -

2. R é limitada pelos gráficos de y = x , y = 1 e x = 4.

Se y = x → x

Para y = 1 → x =Para x = 4 → y =

r = y - (-2) = y +h = 4 - x = 4 - y2

dV = 2π r h dy →

V = 2π y[2

1

3∫ −−

V = 2π

−−

4

24

V = 2π −−

3

14

V = 2π −−

3

14

V = π6

67= 35,0

−−

−=

−−

−=

−−

−=

14

3

14

6331082

2

1

7

2

2

9327.

7

22

2

1

2/7

1

2

3

2/7

32

22/722/7

πππ

y

0 1 x

2

y

1

-2

Área planTorn

h = 4 - x

lculo Diferencial e Integral Ia de Oliveira Buffoni

149

= y2

1 2

2

dV = 2π(y + 2)(4 - y2)dy = 2π(4y - y3 + 8 - 2y2)

dy]8y4y2 2 ++ = 2π1

2y8y2

3

y2

4

y 234

++−−

++−−−

++ 1.81.2

3

1.2

4

12.82.2

3

2.2 234

23

++−−−

++ 823

2

4

1168

6=

++−=

−−++++ 10

4

1

3

14282

3

2

4

1168

6 π =2π

++−

12

120356= π

6

67

81 (unid. vol.)

r

dy

y= x

x 4

a girando emo do eixo y=-2

y

-2

Sólido gerado

x


150

3) Determinar o volume gerado pela revolução em torno do eixo x da região limitada por y = x2, x = 2 e o eixox.

.v.u5

.32V

5

xV

dxxV

dx)x(V

2

0

5

2

0

4

2

0

22

π

π

π

π

=

=

=

=

∫

∫

4) Determinar o volume gerado pela revolução em torno do eixo x da região limitada por y2 = 2.x, eixo x e x= 2.

( )

.v.u4V

xV

xdx2V

dxx2V

2

0

2

2

0

22

0

π

π

π

π

=

=

=

=

∫

∫

5) Determinar o volume gerado pela revolução em torno do eixo x da área limitada pelas curvas y2 = 2x e y= x.

2

x = 2

y = x2

x

y

x2y ±=

x

x = 2

x2y2 =y

02

x2y =

x2y 2 =

y = xy

x

Disciplina de Cálculo DifereProf. Salete Souza de Olivei

- Pontos de interseção - Volume

8.3- Comprimento de Arco

Seja y = f (x) contínua e

y Li

∆yi

P1

a ∆x

2

i

ii

2i

2ii

2i

2i

2i

1x

yL

xyL

xyL

∆∆

∆∆

∆∆

+

=

+=

+=

Seja x = f (y) y =

= x2y 2 222

y

b

ncial e Integral Ira Buffoni

s de Curvas

derivável em [a, b].

P2

y = f (x)

b x

i

ix∆⋅ ∑

∑

=∞→

=

+

=

⋅+

≅

n

1i

2

i

i

n

n

1ii

2

i

i

1x

ylimL

x1x

yL

∆∆

∆∆∆

∫ ⋅+

=b

a

2

dx1dx

dyL

a e y = b.

==

=−

=

2x

0x

0x2x

xy2

L

151

⋅ ix∆

( )

( )

.v.u3

4V

3

84V

3

x

2

x2V

dxxx2V

dxxx2V

2

0

32

2

0

2

0

π

π

π

π

π

=

−=

−=

−=

−=

∫

∫


152

∫ ⋅+

=

b

a

2

dy1dy

dxL

Exercícios

1) Determinar o comprimento do arco da curva 3

2

x)x(f = entre os pontos P1 (8, 4) e P2 (27, 9).

dx1dx

dyL

27

8

2

⋅+

= ∫

3

2

xy =•

3

13

1

x.3

2x

3

2

dx

dy==•

−

3

2

2

x.9

4

dx

dy=

•

3

2

3

2

3

2

2

x9

x941

x.9

41

dx

dy +=+=+

•

3

1

2

1

3

2

2

x3

x94

1dx

dy −⋅

+

=+

•

−=

⋅

+=

⋅⋅⋅

+⋅= ∫

−

2

3

2

3

27

8

2

3

3

2

27

8

3

12

1

3

2

408527

1L

3

2x.94

18

1L

dx6xx.943

1

6

1L

2) Calcular o comprimento de uma circunferência de raio r.


153

dx1dx

dyL

r

0

2

1 ⋅+

= ∫

( )2

122 xry −=•

( ) ( )( )2

122

2

122

xr

xx2xr

2

1

dx

dy

−

−=−⋅−=•

−

22

22

xr

x

dx

dy

−=

•

22

2

22

222

22

22

xr

r

xr

xrx1

xr

x1

dx

dy

−=

−

−+=+

−=+

•

22

2

xr

r1

dx

dy

−=+

•

∫ ∫ =−

=−

=r

0

r

0

r

02222

1 r

xarcsen.r

xr

dxrdx

xr

rL

2

r0

2rL1

ππ=

−=

2

r4L.4L 1

π==

r..2L π=

8.4- Área de Superfície de RevoluçãoSeja y = f (x) contínua e derivável em [a, b].

22

22

222

xry

xry

ryx

−=

−±=

=+

-r

-r

r

r

x

y

1

22

L.4L

xry

rxaté0x

=−=

==

0

r

x

y


154

y = f (x)

x

y

Liyi = f (xi)

baxi

i

2

i

iii

ii

x1x

y)x(f2S

L)x(f2Si

∆∆∆

π

π

⋅+

=

=

∑=∞→

⋅+

=

n

1i

2

i

ii

ndx1

x

y)x(f2limS ∆

∆∆

π

∫ ⋅+

=a

b

2

dx1dx

dy)x(f2S π ou ( )∫ ⋅+=

b

a

2 dx1)x`(fy2S π → Superfície gerada pela revolução

do eixo x.

Seja x = f (y).

a

bx = f (y)

xi = f (yi)

Li

x

y

yi


155

∫ ⋅+

=

b

a

2

dy1dy

dxx2S π → Superfície gerada pela revolução em torno do eixo y.

Exercícios

1) Determinar a área da superfície obtida pela revolução da curva xy = , entre x = 1 e x = 4 em torno do

eixo x.

∫ ⋅+

=

4

1

2

dx1dx

dyy2S π

x2

x41

x4

x411

dx

dy

x4

x411

x4

11

dx

dy

x4

1

dx

dy

x.2

1x

2

1

dx

dy

xxy

2

2

2

2

12

1

2

1

+=

+=+

•

+=+=+

•

=

•

==•

==•

−

−

( )

( )

−=

⋅+=

+=

⋅+

=

∫

∫

2

3

2

3

4

1

2

3

4

1

2

1

4

1

5176

S

3

2x41

4S

dx.4.x414

S

dxx

x41.x

2

2S

π

π

π

π

8.2.1- sólidos de revolução - método do disco · disciplina de cálculo diferencial e integral...

Documents