8. DINMICA DE PARTCULAS RELATIVSTICAS, LAGRANGEANA E HAMILTONIANA PARA UMA PARTCULA CARREGADA RELATIVSTICA EM UM CAMPO ELETROMAGNTICO. LAGRANGEANA PARA O CAMPO ELETROMAGNTICO 8.1 Momentum relativstico e energia de uma partcula

8.2 Quadrivetores em eletrodinmica

8.3 A Lagrangeana no relativstica para uma partcula com carga em um campo eletromagntico

8.4 Covarincia da equao de fra e leis de conservao

8.5 Lagrangeana e Hamiltoniana para uma partcula carregada relativstica em um campo eletromagntico

8.6 Lagrangeana para o campo eletromagntico*

DINMICA DE PARTCULAS RELATIVSTICAS. LAGRANGEANA E HAMILTONIANA PARA UMA PARTCULA CARREGADA RELATIVSTICA EM UM CAMPO ELETROMAGNTICO.8.1 Momentum relativstico e energia de uma partcula Em mecnica no-relativstica uma partcula de massa m0 e velocidade tem um momentum (linear) e uma energia cintica

A equao de movimento de Newton relaciona a rapidez de mudana do momentum com a fra aplicada. Para uma partcula carregada num campo eletromagntico, esta fora a Fora de Lorentz.

Vamos inicialmente relembrar alguns resultados da teoria da relatividade restrita:

No espao quadri-dimensional, uma quantidade denominada um VETOR (ou um QUADRI-VETOR) se consiste de quatro componentes cada uma se transformando de acordo com a relao(8.1)*

onde corresponde a uma transformao de Lorentz. O vetor posio de um ponto no espao de MINKOWSKI um quadrivetor Analogamente, o diferencial de um quadrivetor(8.3)Agora, sabemos que, no espao de Minkowski, o elemento quadri-dimensional de comprimento um INVARIANTE (i.e., a magnitude no afetada por uma transformao de Lorentz)(8.4)*(8.2)

A quantidade = elemento do tempo prprio no espao de Minkowski(8.5) um invariante porque simplesmente vezes o elemento de comprimento ds. A razo do quadrivetor dX para o invariante portanto um quadrivetor, chamado de quadrivetor velocidade V:(8.6)*Como as componentes da velocidade ordinria de uma partcula so(8.7) podemos expressar como (veja Sec. 5, p. 30)(8.8)

Portanto (8.9) o quadrivetor velocidade, com componentes(8.10)* Em Mecnica Newtoniana o momentum da partcula obtido tomando o produto de sua massa por sua velocidade. Fazemos o mesmo em mecnica relativstica, mas de forma a que a massa da partcula seja verdadeiramente uma caracterstica da PARTCULA e no de sua velocidade em algum sistema de referncia arbitrrio, a massa deve ser aquela medida num sistema de referncia em que a partcula esteja em repouso, isto , o sistema de referncia PRPRIO e chamamos a esta massa de MASSA DE REPOUSO (ou MASSA PRPRIA) e a denotamos por m0.

O quadrivetor momentum ento (veja Sec. 5, p. 34)(8.11)*Se definimos uma massa efetiva como(8.12) ento as componentes espaciais de so as do momentum ordinrio(8.13)

Portanto, se desejamos interpretar o momentum da partcula no sentido usual, a massa efetiva no mais um invariante, mas depende da velocidade da partcula num sistema de referncia particular [ste resultado foi primeiro obtido por Lorentz em 1904, mas sob hipteses muito especiais que no so necessrias na teoria da relatividade de Einstein; para uma discusso do uso do trmo massa e do smbolo m em teoria da relatividade, veja Okun, Phys. Today 42 (6), 31 (Junho 1989), e Adler, Am. J. Phys. 55, 739 (1987)].* Se tomamos a derivada temporal das trs componentes espaciais do momentum, obtemos as equaes de movimento de (8.14) e portanto(8.15) o vetor FORA tridimensional.

A relao relativstica para a energia pode ser derivada se notarmos que justamente o trabalho por unidade de tempo realizado sbre a partcula e igual variao por unidade de tempo da energia cintica T. Usando (8.15),(8.16) que equivalente a(8.17)*

e obtemos(8.18) Se tomamos t1 como o instante em que a partcula estava em repouso (T1=0), a energia cintica pode ser escrita em forma geral como(8.19) ou seja, a energia cintica T a diferena entre mc2 e a energia de repouso m0c2 . Portanto a quantidade de mc2 pode ser interpretada como a energia total E da partcula (Sec. 5, p. 34),(8.20)*

ste o exemplo mais simples da equivalncia entre massa e energia, um resultado que de importncia fundamental em todas as teorias e aplicaes da fsica nuclear (a relao massa-energia foi obtida por Einstein em 1905). Se, em (8.19), v

Note que a quarta componente P4 do quadrivetor momentum pode ser escrita como (vide 8.13)(8.23) e o quadrivetor momentum fica(8.24) Como o comprimento do quadrivetor um invariante de Lorentz(8.25)*

ou (8.26)E ento (8.27) como haviamos obtido anteriormente (p. 35, Sec. 5).

Note que, na teoria da relatividade, o momentum e a energia so ligados de forma semelhante quela que liga os conceitos de espao e tempo! (leia The Feynman Lectures on Physics, Vol I , Caps. 15-17)*

8.2 Quadrivetores em eletrodinmica O fato experimental de que a carga conservada dado pela equao da continuidade(8.28) Na teoria da relatividade, claro que a densidade de corrente e a densidade de carga no podem ser distintas e completamente separveis porque uma distribuio de cargas que esttica num sistema de referncia aparecer como uma distribuio de correntes em outro sistema de referncia em movimento.

Agrupamos ento ou (8.29) e vamos mostrar que um quadrivetor.*

fcil ver que a equao da continuidade se escreve como(8.30) Devido contrao de Lorentz-FitzGerald de comprimento na direo de movimento (esta aparente contrao do objeto que se move foi postulada por G. F. FitzGerald em 1889 em resposta experincia de Michelson-Morley) :(8.31) que obtido partir da conservao da carga, onde a densidade de carga no sistema em que a partcula est em repouso. *

Portanto a densidade de carga no sistema em que a carga se move relacionada com a densidade de carga prpria da mesma forma que a massa efetiva m e a massa prpria m0 so relacionadas. A lei de conservao se aplica carga total, mas no densidade de carga. De (8.29) temos ento(8.32)*

ou Como um invariante (escalar) e um quadrivetor, ento tem as propriedades de transformao de e um quadrivetor.

O gauge de Lorentz com(8.34)(8.35)(8.36)*

pode ser expresso por(8.37) com(8.38) e2(8.39) onde2= operador dAlembertiano = (8.40)*

claro que realmente um quadrivetor pois um quadrivetor

e o operador um invariante de Lorentz (vide p. 38, Sec. 5).28.3 A Lagrangeana no relativstica para uma partcula com carga em um campo eletromagntico (veja Sec. 4.9, Heald-Marion, 3rd. ed.)O mtodo de Lagrange da mecnica clssica pode ser aplicado ao movimento de uma partcula carregada num campo eletromagntico se encontrarmos uma Lagrangeana apropriada para o problema.Se uma partcula carregada se move em um campo eltrico ESTTICO esperamos que a Lagrangeana se expresse da forma tradicional como a diferena entre as energias cintica e potencial, ou seja,(8.41) para uma partcula de carga q e velocidade *No caso de termos um campo magntico (possivelmente dependente do tempo) tambm presente, a Lagrangeana acima deve ser modificada. Como os campos magnticos interagem com correntes (i.e, cargas se movendo), esperamos que as modificaes na Lagrangeana envolvam um trmo que dependa de e do campo magntico. Mais ainda, como a Lagrangeana uma funo escalar, esperamos que o trmo a ser adicionado envolva o produto ESCALAR de por um vetor que descreva o campo magntico.

Vamos ento propor a Lagrangeana(8.42) e demonstrar que as equaes de movimento resultantes so idnticas equao de Newton envolvendo a fora de Lorentz(8.43)*As equaes de movimento de Lagrange so(8.44) o que nos d(8.45)Temos (8.46) j que o potencial independente de

A equao (8.46) pode ser escrita vetorialmente como(8.47) onde o momentum linear da partcula. O momentum generalizado(8.48) ento(8.49) e inclui o efeito do campo atravs do potencial vetor.*Vamos agora calcular o trmo da direita em (8.45)(8.50)

que pode ser expressa vetorialmente(8.51)Usando a identidade(8.52)* podemos escrever (8.53)Em mecnica Lagrangeana, a posio e velocidade da partcula so variveis independentes, de modo que a velocidade da partcula tratada como constante quando diferenciamos em relao s coordenadas. Logo (8.53) fornece(8.54) e portanto(8.55)

Igualando a derivada temporal de (8.47) com a eq. (8.55) [onde usamos (8.45)]:(8.56) e usando (8.57)* encontramos(8.58) Se usarmos as relaes(8.59)

(8.60)

(8.61) encontramos(8.43)

que justamente a fra de Lorentz, o que indica que a Lagrangeana (8.42) a apropriada para tratar o problema no relativstico de uma carga num campo eletromagntico genrico.

8.4 Covarincia da equao de fora e Leis de ConservaoNa seo 5.5 a covarincia da eletrodinmica foi discutida do ponto de vista de densidades de carga e corrente e dos potenciais e campos resultantes. Entretanto sabemos que as fontes de cargas e correntes so, em ltima instncia, partculas carregadas que se movem sob a ao dos campos. Consequentemente, de forma a completar o estudo, vamos considerar a formulao covariante da equao da fra de Lorentz e as leis de conservao de momentum e energia.A equao da fra de Lorentz pode ser escrita como uma fra por unidade de volume (representando a rapidez de mudana do momentum mecnico das fontes por unidade de volume):(8.62)* onde so as densidades de corrente e carga. Escrevendo a primeira componente de , encontramos(8.63)

Usando a definio (8.29) para (8.29) e a definio do tensor campo * temos (8.64)(8.65)Analogamente, fcil mostrar que(8.66)onde o lado direito de (8.66) envolve uma soma em e corresponde s componentes espaciais do quadrivetor Portanto deve ser a parte espacial do quadrivetor

(8.67) oufora de Minkowski(8.68) com(8.69)*Mas justamente a rapidez com que o campo realiza trabalho nas fontes por unidade de volume. Ento vemos que a FORMA COVARIANTE (8.68) da equao de fora de Lorentz nos d a rapidez de mudana do momentum mecnico por unidade de volume como sua parte espacial e a rapidez de mudana na energia mecnica por unidade de volume como sua parte temporal. (veja Sec. 14.10, Heald-Marion)As leis de conservao da energia mecnica mais energia eletromagntica e do momentum (veja Seo 2.4) podem ser apresentadas em forma covariante, como as componentes espaciais e temporais de uma equao envolvendo o quadrivetor

Se as equaes de Maxwell inhomogneas(8.70) so usadas para eliminar em (8.68), a densidade de fra fica densidade de fora de Lorentz fora de Minkowski* (8.71) O lado direito de (8.71) pode ser escrito como a divergncia de um tensor de segunda ordem. Vamos definir o tensor simtrico chamado de TENSOR ELETROMAGNTICO STRESS-ENERGIA-MOMENTUM por(8.72)

Pode-se mostrar por meio das equaes de Maxwell homogneas(8.73) que a equao de fora (8.71) se escreve como(8.74)* O tensor pode ser escrito explicitamente em termos dos campos(8.75)

onde o tensor de stress de Maxwell (simtrico)(8.76) a densidade de momentum eletromagntico *(8.77) e a densidade de energia eletromagntica(8.78) Da definio (8.76) das partes espaciais de [ou de (8.72)], vemos que o tensor stress-energia-momentum tem trao nulo(8.79)

As leis de conservao de momentum e energia so simplesmente as integrais tridimensionais da equao de fra (8.74). Para vermos isto, vamos escrever uma componente espacial tpica da equao(8.80) Se identificarmos a integral espacial de fk como a rapidez da mudana da k-sima componente do momentum mecnico Pk , a integral de (8.80) pode ento ser escrita como (8.81)*onde a k-sima componente do momentum eletromagntico total dentro de A quarta componente da eq. (8.74) nos d(8.82) Identificando a integral de volume de como a rapidez de mudana da energia mecnica total, a lei de conservao da energia fica(8.83) onde a energia eletromagntica no volume V.

8.5 Lagrangeana e Hamiltoniana para uma partcula carregada relativstica em um campo eletromagnticoNa Seo 8.3 encontramos que a equao da fra de Lorentz [eq. (8.43) ] poderia ser obtida a partir das equaes de Lagrange de movimento [eq. (8.44), tambm conhecidas como equaes de Euler-Lagrange] se usarmos a Lagrangeana (no relativstica) na forma (8.42), isto ,(8.42)No caso de no haver fras atuando na partcula (i.e., se so zero), ento fcil verificar que a equao relativstica correta de movimento pode ser obtida usando a Lagrangeana(8.84)* Note que a expresso (8.84), substituda em (8.44) nos fornece (cf. (8.15))(8.85) o que equivale a

Somos ento levados a esperar que a Lagrangeana correta para uma partcula relativstica em um campo eletromagntico (8.86) Se usarmos (8.38) e (8.9),(8.38)*(8.9) a eq. (8.86) pode ser escrita como(8.87) ou (8.88) com Vamos agora considerar o PRINCPIO DE HAMILTON ou PRINCPIO DA AO MNIMA para mostrar que a eq. (8.88) a expresso correta da Lagrangeana relativstica.

O princpio de Hamilton nos diz que o movimento de um sistema mecnico tal que se acompanharmos a evoluo do sistema de uma configurao a no instante t1 a outra configurao b no instante t2, ento a ao A, definida como a integral no tempo da Lagrangeana ao longo do caminho do sistema,(8.89) um extremo (na realidade, um mnimo). Se consideramos pequenas variaes no caminho e fazendo(8.90) obtemos as equaes de movimento de Euler-Lagrange [eq. (8.44)](8.91)*Temos ento(8.92) e, usando (8.93)

Fazendo a variao, temos (8.95) Note que as variaes so independentes, mas as variaes so funes dependentes dos(8.96)A eq. (8.5) nos d(8.97)* ou, usando(8.94)

e portanto(8.98) eq. (8.6)Usando (8.96) e (8.98) em (8.95) :(8.99)*

O primeiro trmo pode ser integrado por partes; a poro integrada proporcional a e nula pois a variao das coordenadas deve se anular nos limites da integral. Ficamos ento com(8.100)*

Como [eq. (8.6)], e(8.101) temos(8.102) As variaes so independentes e arbitrrias; ento, o integrando deve se anular(8.103)*

ou, usando (8.11), (8.104) que a expresso covariante para a equao de fora para a partcula.

A poro espacial nos d :(8.105) com A quarta componente (8.106)* com , (cf. eq. (8.20)), sendo a energia total da partcula.

Concluimos ento que (8.104) representa no smente a equao de fora de Lorentz mas tambm o fato de que a rapidez de mudana da energia da partcula igual potencia fornecida partcula pelo campo. As equaes (8.87) e (8.88) para a Lagrangeana podem ser escritas como(8.107) onde a linha de cima nos d L na forma de produto escalar de quadrivetores. *

(8.108) ou (8.109) com sendo o momentum na ausencia de campos [ cf. eq. (8.49)] . A Hamiltoniana H uma funo da coordenada e do seu momentum

conjugado e uma constante do movimento se a Lagrangeana no

uma funo explcita do tempo. A Hamiltoniana definida em trmos da

Lagrangeana como *O momentum cannico conjugado coordenada de posio

(8.110) ou(8.111) A velocidade pode ser eliminada de (8.111) em favor de De (8.109) temos(8.112) que usamos com (8.107) em (8.111) :(8.113)*

Obtemos portanto as formulaes Lagrangeana e Hamiltoniana que descrevem o comportamento de partculas carregadas isoladas relativsticas em um campo eletromagntico.

importante notar que a Hamiltoniana acima serve como ponto de partida para a teoria quntica relativstica de Dirac para o eltron.(J. D. Bjorken and S. D. Drell, Relativistic Quantum Mechanics, Mc Graw-Hill,1964) interessante notar que podemos demonstrar a eq. (8.104) de uma forma alternativa. Consideremos o quadrivetor associado fora de Lorentz por unidade de volume [ef. eq. (8.68) ](8.114) e(8.115)* com [eq. (8.13) ] , P4 = imc, v4 = ic

No caso de uma partcula com carga e e velocidade temos [cf.(6.4)](8.116) (8.117) Integrando na extenso de carga(8.118) e usando [cf. eq. (8.8)], temos com [cf. eq. (8.11)] ; note que no um quadrivetor.Note tambm que a eq. (8.104) suficiente para descrever o movimento geralde uma partcula carregada em um campo eletromagntico externo.*(8.104)

8.6 Lagrangeana para o campo eletromagntico Na seo anterior ns assumimos a existncia de um campo eletromagntico externo e consideramos a formulao Lagrangeana das equaes de movimento de uma partcula carregada relativstica nste campo. A variao da integral ao, , foi feita com relao s COORDENADAS DA PARTCULA, e resultaram nas equaes de movimento (8.104). Vamos agora examinar uma descrio Lagrangeana do campo eletromagntico em interao com fontes especificadas externas de cargas e correntes. Vamos ento obter as equaes de campo variando a integral de ao e adotando a viso que as trajetrias das partculas so dadas e variar somente os potenciais eletromagnticos. Como consideramos que o campo eletromagntico existe em um certo volume arbitrrio V e como o campo em geral varia de ponto a ponto, necessrio definirmos a Lagrangeana para o campo como a integral de volume de uma densidade de Lagrangeana L :

L

(8.119)*

A funo L deve descreverAs partculas carregadas (trmo de massa)

O campo eletromagntico

A interao das cargas com o campo A Lagrangeana usada na seo anterior, eq. (8.107), continha trmos para a partcula e para a interao; o trmo de campos estava ausente porque consideramos um campo fixo e um trmo constante sempre pode ser abandonado da Lagrangeana. Na Lagrangeana em que estamos interessados, o trmo de massa ser da mesma forma obtida na seo anterior. Portanto, podemos escrever [cf. eq. (8.107)](8.120)L*

Novamente vamos utilizar o princpio variacional(8.121) mas, agora, como smente as quantidades de campo variam, temos como nula a variao dos trmos de massa. Ficamos, portanto, com(8.122)L A poro de L que descreve a interao carga-campo deve ser uma verso densidade do resultado da seo anterior, i.e., ste trmo dever ser(8.123)*

Agora, um fato empirco que o campo eletromagntico obedece ao princpio da superposio e portanto as equaes de campo so lineares. Como o processo variacional indicado por (8.122) reduz por uma potncia qualquer trmo do integrando, o trmo de campo em L deve ser quadrtico no campo, pois smente nste caso as equaes de campo seriam lineares. Um escalar apropriado, quadrtico no campo, . Portanto, tomamos como uma densidade de Lagrangeana

apropriada para o campo eletromagntico(8.124)electromagnetic Lagrangian densityL*

A variao da ao fica(8.125) Ao fazer a variao smente os potenciais so permitidos variar; a corrente permanece inalterada porque esta quantidade descreve o movimento das cargas, e as trajetrias so assumidas fixas. Portanto(8.126)Usando a def. de (8.127)*

temos(8.128) ouO trmo do meio do integrando pode ser escrito(8.129)(8.130)*

onde a primeira igualdade faz uso da antisimetria de e a ltima

expresso resulta da troca das variveis mudas Substituindo (8.130) em (8.129) encontramos(8.131) Se integramos o segundo trmo por partes, a poro integrada ser proporcional a . Como o potencial assumido dado nos instantes inicial e final, nestes pontos e a poro integrada se anula. Ficamos ento com(8.132) *

Como as variaes so independentes e arbitrrias, o integrando deve se anular. Portanto, O CAMPO OBEDECE EQUAO

(8.133) que justamente a expresso das duas equaes de Maxwell inhomogncas. importante notar que as equaes de Maxwell (8.133) inhomogneas na forma covariante provem da Lagrangeana (8.124). O mesmo no ocorre com as eqs. de Maxwell homogneas (8.134)*pois a definio do field strength tensor [eq.(8.127)] em trmos do quadrivetor potencial feita de tal forma que as equaes de Maxwell homogneas so satisfeitas automticamente (veja Prob. 14-7, Heald-Marion, 3rd ed). Observe que nenhuma informao nova foi obtida atravs da formulao Lagrangeana e Hamiltoniana desenvolvida de forma bastante condensada e elementar nesta seo. A inteno foi simplesmente acentuar a ampla generalidade dos mtodos da mecnica analtica, que foram desenvolvidos como uma alternativa s leis de Newton para descrever o comportamento das partculas. A manipulao detalhada na teoria de campos um processo longo mas que possibilita uma transio para a eletrodinmica quntica (QED) atravs de uma formulao simples e elegante.

*