[6806 - 17350]mecanica i midiateca

Mecnica IDisciplina na modalidade a distncia

Universidade do Sul de Santa Catarina

PalhoaUnisulVirtual

2011

mecanica_I.indb 1 11/02/24 17:17

CrditosUniversidade do Sul de Santa Catarina Campus UnisulVirtual Educao Superior a Distncia

Reitor UnisulAilton Nazareno Soares

Vice-Reitor Sebastio Salsio Heerdt

Chefe de Gabinete da ReitoriaWillian Mximo

Pr-Reitora AcadmicaMiriam de Ftima Bora Rosa

Pr-Reitor de AdministraoFabian Martins de Castro

Pr-Reitor de EnsinoMauri Luiz Heerdt

Campus Universitrio de Tubaro DiretoraMilene Pacheco Kindermann

Campus Universitrio da Grande Florianpolis Diretor Hrcules Nunes de Arajo

Campus Universitrio UnisulVirtualDiretoraJucimara Roesler

Equipe UnisulVirtual

Diretora AdjuntaPatrcia Alberton

Secretaria Executiva e CerimonialJackson Schuelter Wiggers (Coord.)Marcelo Fraiberg MachadoTenille Catarina

Assessoria de Assuntos Internacionais Murilo Matos Mendona

Assessoria de Relao com Poder Pblico e Foras ArmadasAdenir Siqueira VianaWalter Flix Cardoso Junior

Assessoria DAD - Disciplinas a DistnciaPatrcia da Silva Meneghel (Coord.)Carlos Alberto AreiasCludia Berh V. da SilvaConceio Aparecida KindermannLuiz Fernando MeneghelRenata Souza de A. Subtil

Assessoria de Inovao e Qualidade de EADDenia Falco de Bittencourt (Coord)Andrea Ouriques BalbinotCarmen Maria Cipriani PandiniIris de Sousa Barros

Assessoria de Tecnologia Osmar de Oliveira Braz Jnior (Coord.)Felipe Jacson de FreitasJefferson Amorin OliveiraPhelipe Luiz Winter da SilvaPriscila da SilvaRodrigo Battistotti PimpoTamara Bruna Ferreira da Silva

Coordenao CursosCoordenadores de UNADiva Marlia FlemmingMarciel Evangelista CatneoRoberto Iunskovski

Assistente e Auxiliar de CoordenaoMaria de Ftima Martins (Assistente)Fabiana Lange PatricioTnia Regina Goularte WaltemannAna Denise Goularte de Souza

Coordenadores GraduaoAdriano Srgio da CunhaAlosio Jos RodriguesAna Lusa MlbertAna Paula R. PachecoArthur Beck NetoBernardino Jos da SilvaCatia Melissa S. RodriguesCharles CesconettoDiva Marlia FlemmingFabiano CerettaJos Carlos da Silva JuniorHorcio Dutra MelloItamar Pedro BevilaquaJairo Afonso HenkesJanana Baeta NevesJardel Mendes VieiraJoel Irineu LohnJorge Alexandre N. CardosoJos Carlos N. OliveiraJos Gabriel da SilvaJos Humberto D. ToledoJoseane Borges de MirandaLuciana ManfroiLuiz G. Buchmann FigueiredoMarciel Evangelista CatneoMaria Cristina S. VeitMaria da Graa PoyerMauro Faccioni FilhoMoacir FogaaNlio HerzmannOnei Tadeu DutraPatrcia FontanellaRogrio Santos da CostaRosa Beatriz M. PinheiroTatiana Lee MarquesValnei Carlos DenardinRoberto IunskovskiRose Clr BecheRodrigo Nunes LunardelliSergio Sell

Coordenadores Ps-GraduaoAloisio RodriguesBernardino Jos da SilvaCarmen Maria Cipriani PandiniDaniela Ernani Monteiro WillGiovani de PaulaKarla Leonora NunesLeticia Cristina BarbosaLuiz Otvio Botelho LentoRogrio Santos da Costa Roberto IunskovskiThiago Coelho SoaresVera Regina N. Schuhmacher

Gerncia AdministraoAcadmicaAngelita Maral Flores (Gerente)Fernanda Farias

Secretaria de Ensino a DistnciaSamara Josten Flores (Secretria de Ensino)Giane dos Passos (Secretria Acadmica)Adenir Soares JniorAlessandro Alves da SilvaAndra Luci MandiraCristina Mara SchauffertDjeime Sammer BortolottiDouglas SilveiraEvilym Melo LivramentoFabiano Silva MichelsFabricio Botelho EspndolaFelipe Wronski HenriqueGisele Terezinha Cardoso FerreiraIndyanara RamosJanaina ConceioJorge Luiz Vilhar MalaquiasJuliana Broering Martins

Luana Borges da SilvaLuana Tarsila HellmannLuza Koing ZumblickMaria Jos RossettiMarilene de Ftima CapeletoPatricia A. Pereira de CarvalhoPaulo Lisboa CordeiroPaulo Mauricio Silveira BubaloRosngela Mara SiegelSimone Torres de OliveiraVanessa Pereira Santos MetzkerVanilda Liordina Heerdt

Gesto DocumentalLamuni Souza (Coord.)Clair Maria CardosoDaniel Lucas de MedeirosEduardo RodriguesGuilherme Henrique KoerichJosiane LealMarlia Locks Fernandes

Gerncia Administrativa e FinanceiraRenato Andr Luz (Gerente)Ana Luise WehrleAnderson Zandr PrudncioDaniel Contessa LisboaNaiara Jeremias da RochaRafael Bourdot Back Thais Helena BonettiValmir Vencio Incio

Gerncia de Ensino, Pesquisa e ExtensoMoacir Heerdt (Gerente)Aracelli Araldi

Elaborao de Projeto e Reconhecimento de CursoDiane Dal MagoVanderlei BrasilFrancielle Arruda Rampelotte

ExtensoMaria Cristina Veit (Coord.)

PesquisaDaniela E. M. Will (Coord. PUIP, PUIC, PIBIC)Mauro Faccioni Filho(Coord. Nuvem)

Ps-GraduaoAnelise Leal Vieira Cubas (Coord.)

BibliotecaSalete Ceclia e Souza (Coord.)Paula Sanhudo da SilvaRenan Felipe Cascaes

Gesto Docente e DiscenteEnzo de Oliveira Moreira (Coord.)

Capacitao e Assessoria ao DocenteSimone Zigunovas (Capacitao)Alessandra de Oliveira (Assessoria)Adriana SilveiraAlexandre Wagner da RochaElaine Cristiane SurianJuliana Cardoso EsmeraldinoMaria Lina Moratelli PradoFabiana Pereira

Tutoria e SuporteClaudia Noemi Nascimento (Lder)Anderson da Silveira (Lder)Ednia Araujo Alberto (Lder)Maria Eugnia F. Celeghin (Lder)Andreza Talles CascaisDaniela Cassol PeresDbora Cristina SilveiraFrancine Cardoso da SilvaJoice de Castro PeresKarla F. Wisniewski DesengriniMaria Aparecida TeixeiraMayara de Oliveira BastosPatrcia de Souza AmorimSchenon Souza Preto

Gerncia de Desenho e Desenvolvimento de Materiais DidticosMrcia Loch (Gerente)

Desenho EducacionalCristina Klipp de Oliveira (Coord. Grad./DAD)Silvana Souza da Cruz (Coord. Ps/Ext.)Aline Cassol DagaAna Cludia TaCarmelita SchulzeCarolina Hoeller da Silva BoeingElosa Machado SeemannFlavia Lumi MatuzawaGislaine MartinsIsabel Zoldan da Veiga RamboJaqueline de Souza TartariJoo Marcos de Souza AlvesLeandro Roman BambergLetcia Laurindo de BonfimLygia PereiraLis Air FogolariLuiz Henrique Milani QueriquelliMarina Melhado Gomes da SilvaMarina Cabeda Egger MoellwaldMelina de La Barrera AyresMichele Antunes CorraNgila HinckelPmella Rocha Flores da SilvaRafael Arajo SaldanhaRoberta de Ftima MartinsRoseli Aparecida Rocha Moterle Sabrina BleicherSabrina Paula Soares ScarantoViviane Bastos

Acessibilidade Vanessa de Andrade Manoel (Coord.) Letcia Regiane Da Silva TobalMariella Gloria Rodrigues

Avaliao da aprendizagem Geovania Japiassu Martins (Coord.)Gabriella Arajo Souza Esteves Jaqueline Cardozo PollaThayanny Aparecida B.da Conceio

Gerncia de LogsticaJeferson Cassiano A. da Costa (Gerente)

Logsitca de MateriaisCarlos Eduardo D. da Silva (Coord.)Abraao do Nascimento GermanoBruna MacielFernando Sardo da SilvaFylippy Margino dos SantosGuilherme LentzMarlon Eliseu PereiraPablo Varela da SilveiraRubens AmorimYslann David Melo Cordeiro

Avaliaes PresenciaisGraciele M. Lindenmayr (Coord.)Ana Paula de AndradeAngelica Cristina GolloCristilaine MedeirosDaiana Cristina BortolottiDelano Pinheiro GomesEdson Martins Rosa JuniorFernando SteimbachFernando Oliveira SantosLisdeise Nunes FelipeMarcelo RamosMarcio VenturaOsni Jose Seidler JuniorThais Bortolotti

Gerncia de MarketingFabiano Ceretta (Gerente)

Relacionamento com o Mercado Eliza Bianchini Dallanhol Locks

Relacionamento com Polos PresenciaisAlex Fabiano Wehrle (Coord.)

Jeferson PandolfoKarine Augusta ZanoniMarcia Luz de Oliveira

Assuntos JurdicosBruno Lucion Roso

Marketing EstratgicoRafael Bavaresco Bongiolo

Portal e ComunicaoCatia Melissa Silveira Rodrigues Andreia DrewesLuiz Felipe Buchmann FigueiredoMarcelo BarcelosRafael Pessi

Gerncia de ProduoArthur Emmanuel F. Silveira (Gerente)Francini Ferreira Dias

Design VisualPedro Paulo Alves Teixeira (Coord.)Adriana Ferreira dos SantosAlex Sandro XavierAlice Demaria SilvaAnne Cristyne PereiraCristiano Neri Gonalves RibeiroDaiana Ferreira CassanegoDiogo Rafael da SilvaEdison Rodrigo ValimFrederico TrilhaHigor Ghisi LucianoJordana Paula SchulkaMarcelo Neri da SilvaNelson RosaOberdan Porto Leal PiantinoPatrcia Fragnani de Morais

MultimdiaSrgio Giron (Coord.)Dandara Lemos ReynaldoCleber MagriFernando Gustav Soares Lima

Conferncia (e-OLA)Carla Fabiana Feltrin Raimundo (Coord.)Bruno Augusto Zunino

Produo IndustrialMarcelo Bittencourt (Coord.)

Gerncia Servio de Ateno Integral ao AcadmicoMaria Isabel Aragon (Gerente)Andr Luiz Portes Carolina Dias DamascenoCleide Incio Goulart SeemanFrancielle FernandesHoldrin Milet BrandoJenniffer CamargoJuliana Cardoso da SilvaJonatas Collao de SouzaJuliana Elen TizianKamilla RosaMaurcio dos Santos AugustoMaycon de Sousa CandidoMonique Napoli RibeiroNidia de Jesus MoraesOrivaldo Carli da Silva JuniorPriscilla Geovana PaganiSabrina Mari Kawano GonalvesScheila Cristina MartinsTaize MullerTatiane Crestani TrentinVanessa Trindade

Avenida dos Lagos, 41 Cidade Universitria Pedra Branca | Palhoa SC | 88137-900 | Fone/fax: (48) 3279-1242 e 3279-1271 | E-mail: [email protected] | Site: www.unisul.br/unisulvirtual


Milton Pereira

PalhoaUnisulVirtual

2011

Design instrucional

Flavia Lumi Matuzawa

Mecnica ILivro didtico


Edio Livro Didtico

Professor ConteudistaMilton Pereira

Design InstrucionalFlavia Lumi Matuzawa

Projeto Grfico e CapaEquipe UnisulVirtual

DiagramaoEdison Valim

RevisoB2B

Ficha catalogrfica elaborada pela Biblioteca Universitria da Unisul

Copyright UnisulVirtual 2011

Nenhuma parte desta publicao pode ser reproduzida por qualquer meio sem a prvia autorizao desta instituio.

531P49 Pereira, Milton

Mecnica I : livro didtico / Milton Pereira ; design instrucional Flavia Lumi Matuzawa. Palhoa : UnisulVirtual, 2011.

177 p. : il. ; 28 cm.

Inclui bibliografia.ISBN 978-85-7817-145-2

1. Mecnica. 2. Esttica. 3. Resistncia de materiais. I. Matuzawa, Flavia Lumi. II. Ttulo.


Sumrio

Apresentao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7Palavras do professor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9Plano de estudo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

UNIDADE 1 - Esttica dos pontos materiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17UNIDADE 2 - Corpos rgidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55UNIDADE 3 - Equilbrio dos corpos rgidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95UNIDADE 4 - Foras distribudas: centroides e baricentros . . . . . . . . . . . . 127

Para concluir o estudo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155Referncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157Sobre o professor conteudista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159Respostas e comentrios das atividades de autoavaliao . . . . . . . . . . . . . 161Biblioteca Virtual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177


7Apresentao

Este livro didtico corresponde disciplina Mecnica I.

O material foi elaborado visando a uma aprendizagem autnoma e aborda contedos especialmente selecionados e relacionados sua rea de formao. Ao adotar uma linguagem didtica e dialgica, objetivamos facilitar seu estudo a distncia, proporcionando condies favorveis s mltiplas interaes e a um aprendizado contextualizado e eficaz.

Lembre-se que sua caminhada, nesta disciplina, ser acompanhada e monitorada constantemente pelo Sistema Tutorial da UnisulVirtual, por isso a distncia fica caracterizada somente na modalidade de ensino que voc optou para sua formao, pois na relao de aprendizagem professores e instituio estaro sempre conectados com voc.

Ento, sempre que sentir necessidade, entre em contato; voc tem disposio diversas ferramentas e canais de acesso, tais como: telefone, e-mail e o Espao UnisulVirtual de Aprendizagem, que o canal mais recomendado, pois tudo o que for enviado e recebido fica registrado para seu maior controle e comodidade. Nossa equipe tcnica e pedaggica ter o maior prazer em lhe atender, pois a sua aprendizagem o nosso principal objetivo.

Bom estudo e sucesso!

Equipe UnisulVirtual.


Palavras do professor

Caro aluno (a),

Gostaramos de parabeniz-lo(a) pela sua escolha em fazer este curso. Certamente voc ter condies de aprender tudo o que for necessrio para o melhor aprimoramento em sua vida profissional.

A disciplina Mecnica I, na modalidade a distncia, foi desenvolvida especialmente para voc, levando em considerao os aspectos particulares da formao a distncia.

O material didtico apresenta aspectos tericos abrangentes e diversos problemas resolvidos para que voc se habitue s linhas de raciocnio necessrias para a soluo de problemas envolvendo a esttica.

O conhecimento neste campo abrir muitas possibilidades para a sua formao como projetista e tambm para entender os passos seguidos por profissionais desta rea.

Basicamente, passaremos nossa disciplina toda em busca da definio do equilbrio dos corpos. fundamental que voc faa um acompanhamento criterioso da disciplina e no deixe de explorar o conhecimento dos tutores.

Se voc fizer as atividades previstas dentro do cronograma proposto, ter todas as ferramentas necessrias para absorver bem o nosso contedo proposto.

Lembramos que voc no est sozinho nesta caminhada, pois estaremos sempre disposio para ajud-lo.

Desejamos xito na disciplina.

Bom estudo!

Professor Milton Pereira


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Plano de estudo

O plano de estudos visa a orient-lo no desenvolvimento da disciplina. Ele possui elementos que o ajudaro a conhecer o contexto da disciplina e a organizar o seu tempo de estudos.

O processo de ensino e aprendizagem na UnisulVirtual leva em conta instrumentos que se articulam e se complementam, portanto, a construo de competncias se d sobre a articulao de metodologias e por meio das diversas formas de ao/mediao.

So elementos desse processo:

o livro didtico;

o Espao UnisulVirtual de Aprendizagem (EVA);

as atividades de avaliao (a distncia, presenciais e de autoavaliao);

o Sistema Tutorial.

Ementa

Esttica dos pontos materiais. Corpos rgidos: sistemas equivalentes de foras. Equilbrio dos corpos rgidos. Foras distribudas: centroides e baricentros.

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Objetivos

Gerais:

Compreender e aprofundar o estudo a respeito da Esttica dentro do mbito da Mecnica dos Corpos Rgidos, visando a desenvolver conhecimentos e habilidades necessrias para identificar os sistemas de foras atuantes em aplicaes reais para definio das condies de equilbrio de corpos rgidos.

Especficos:

Conceituar a Esttica e situ-la na Mecnica dos Corpos Rgidos e na Mecnica;

Apresentar os princpios e conceitos fundamentais relacionados Mecnica;

Representar a ao das foras sobre um ponto material, tanto no plano quanto no espao, e destacar as condies de equilbrio destas foras no plano e no espao;

Explorar os sistemas equivalentes de foras em corpos rgidos; apresentar a atuao de foras de momento;

Desenvolver sistemas equivalentes de foras e de vetores;

Explorar o diagrama de corpo livre e apresentar as condies de equilbrio no diagrama em duas e em trs dimenses;

Apresentar os conceitos e aplicaes de centro de gravidade, centroide, momentos, cargas distribudas e baricentro;

Exercitar os conceitos da esttica em situaes reais.

Carga Horria

A carga horria total da disciplina 60 horas-aula.

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Mecnica I

Contedo programtico/objetivos

Veja, a seguir, as unidades que compem o livro didtico desta disciplina e os seus respectivos objetivos. Estes se referem aos resultados que voc dever alcanar ao final de uma etapa de estudo. Os objetivos de cada unidade definem o conjunto de conhecimentos que voc dever possuir para o desenvolvimento de habilidades e competncias necessrias sua formao.

Unidades de estudo: 4

Unidade 1 Esttica dos pontos materiais.

Nesta unidade inicial, relembraremos alguns conceitos estudados na geometria analtica, dando uma aplicao para os equacionamentos sob o ponto de vista da aplicao de esforos e reaes. Por fim, identificaremos as condies necessrias para o equilbrio de um ponto material e solucionaremos alguns problemas relacionados.

Unidade 2 - Corpos rgidos.

Nesta unidade, seremos apresentados aos corpos rgidos e depois aprenderemos os importantes conceitos de momento de uma fora com relao a um ponto e o binrio. Por fim, aprenderemos a reduzir um sistema de foras a uma nica fora e a um momento aplicados em um ponto.

Unidade 3 Equilbrio dos corpos rgidos

Iniciaremos esta unidade aprendendo a construir um diagrama de corpo livre. Para tanto, estudaremos os tipos de vnculo existentes entre o corpo rgido e os demais corpos. Depois disso, aplicaremos as condies de equilbrio aos problemas existentes para obtermos os valores das reaes existentes nos apoios em situaes bidimensionais e tridimensionais.

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Unidade 4 Foras distribudas: centroides e baricentros

Nesta ltima unidade, aprenderemos a diferena entre centroide e baricentro, aprendendo a calcular sua posio em corpos bidimensionais e tridimensionais. Estes conceitos so muito teis para a determinao das condies impostas por foras distribudas aplicadas a um corpo rgido.

Agenda de atividades/ Cronograma

Verifique com ateno o EVA, organize-se para acessar periodicamente a sala da disciplina. O sucesso nos seus estudos depende da priorizao do tempo para a leitura, da realizao de anlises e snteses do contedo e da interao com os seus colegas e tutor.

No perca os prazos das atividades. Registre no espao a seguir as datas com base no cronograma da disciplina disponibilizado no EVA.

Use o quadro para agendar e programar as atividades relativas ao desenvolvimento da disciplina.

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Mecnica I

Atividades obrigatrias

Demais atividades (registro pessoal)

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1UNIDADE 1Esttica dos Pontos MateriaisObjetivos de aprendizagem

Conhecer quais so os campos de estudo dentro da Mecnica.

Executar operaes de soma, subtrao e multiplicao por um escalar com foras e vetores.

Realizar a decomposio de foras em componentes de interesse.

Identificar as condies de equilbrio de um ponto material no plano.

Solucionar problemas com foras e equilbrio de um ponto material no espao.

Sees de estudo

Seo 1 Princpios e conceitos fundamentais

Seo 2 Operaes com foras e vetores

Seo 3 Decomposio de foras

Seo 4 Equilbrio de um ponto material no plano

Seo 5 Foras e equilbrio de um ponto material no espao

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Para incio de estudo

Nesta unidade, voc iniciar seu estudo no campo da Mecnica, identificando as diversas reas de aplicao. Depois de ter noo da abrangncia e importncia da Mecnica no estudo da engenharia, ser a hora de focar nossos estudos especificamente na Esttica. Os outros assuntos sero abordados em disciplinas futuras.

Nossos estudos comearo com uma pequena reviso do que j foi visto em disciplinas anteriores. Os conceitos sero apresentados no decorrer do texto e voc ver que a fundamentao obtida anteriormente vai ser de grande valia para as nossas aplicaes cada vez mais realistas durante os nossos estudos.

A tarefa principal nesta unidade consiste em identificarmos e representarmos adequadamente os esforos que esto aplicados em pontos de nosso interesse em mquinas, equipamentos, estruturas e outros.

Com estes esforos, teremos condies de estabelecer critrios apropriados para identificao do equilbrio destes corpos estudados. E isto ser feito tanto em duas (no plano) quanto em trs dimenses (no espao).

Sendo assim, vamos comear os nossos estudos!

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Mecnica I

Unidade 1

Seo 1 Princpios e conceitos fundamentais

Para iniciar nossos estudos sobre Mecnica, precisamos recordar alguns conceitos j estudados que daro a base de entendimento para o nosso curso. Est na hora de aplicarmos de forma efetiva nosso aprendizado de Fsica e de Geometria Analtica. Voc ver que estes assuntos, quando trabalhando em conjunto, nos fornecem muitos esclarecimentos sobre situaes reais do nosso cotidiano.

Comearemos com um conceito formal de Mecnica:

A Mecnica uma cincia fsica que descreve e prediz as condies de repouso ou movimento dos corpos que sofrem a ao de uma fora.

A partir desta definio podemos afirmar que a Mecnica possua uma aplicao bastante ampla, atendendo s necessidades de diversas reas da Engenharia. E este raciocnio correto. A Mecnica possui campos bastante distintos de atuao e estudo. Numa forma mais ampla, h a diviso em trs grandes reas:

Mecnica dos Corpos Rgidos

Mecnica dos Corpos Deformveis

Mecnica dos Fluidos

O nosso estudo nesta disciplina estar focado na Mecnica dos Corpos Rgidos que subdividida em Esttica - que estuda os corpos em repouso; Cinemtica e Dinmica - que estudam os corpos em movimento. Nosso estudo nesta disciplina estar focado na Esttica.

A Mecnica dos Corpos Deformveis tambm ser estudada com detalhes por voc, quando se deparar com as disciplinas de Resistncia dos Materiais.

J a Mecnica dos Fluidos compreende uma rea com larga aplicao industrial e de muita importncia na Engenharia. Voc explorar os seus conceitos quando estudar Fenmenos de Transporte. A Figura

So corpos considerados perfeitamente rgidos, sem qualquer absoro de energia ou deformao proveniente dos carregamentos impostos sobre eles.

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1.1 mostra um exemplo que permite a visualizao do comportamento de um meio gasoso aps sofreu um distrbio. Um caso tpico a ser estudado dentro da Mecnica dos Fluidos.

Figura 1.1 Mecnica dos Fluidos demonstrada na espiral formada pela passagem de um avio prximo de um corante gasoso Fonte: Disponvel em: < http://pt.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A2nica_dos_fluidos>. Acesso em: dez. 2010

Um pouco de histria

O estudo da mecnica iniciou no tempo de Aristteles (384-322 a.C.) e Arquimedes (287-212 a.C.), mas foi Sir Issac Newton (1642-1727) que props uma formulao satisfatria para explicar os princpios fundamentais da Mecnica. A Mecnica Newtoniana at hoje forma a base das cincias atuais da Engenharia.

O estudo da Mecnica utiliza como referncia os conceitos bsicos entre espao, tempo, massa e fora. A definio exata de cada um destes conceitos exige conhecimentos mais aprofundados da Mecnica Newtoniana e da Mecnica Relativista. Apesar disto, baseados em nossa intuio e experincia acerca destes conceitos, podemos utiliz-los como referncia no estudo da Mecnica. Estes conceitos foram apresentados e trabalhados

Baseia-se na Teoria da Relatividade apresentada por Einstein em 1905.

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Mecnica I

Unidade 1

na disciplina de Fsica I. Para refrescar a memria, que tal uma visitinha quele livro didtico?

Nossos estudos nesta disciplina estaro baseados em seis princpios fundamentais, formulados a partir de evidncias experimentais, e que voc j teve contato quando estudou Fsica I e Geometria Analtica. So eles:

a) A Lei do Paralelogramo para adio de foras

b) O Princpio da Transmissibilidade

c) A Primeira Lei de Newton

d) A Segunda Lei de Newton

e) A Terceira Lei de Newton

f) A Lei da Gravitao de Newton

Estes conceitos sero aprofundados no decorrer da disciplina e voc aprender a utiliz-los para resolver os diversos problemas propostos no decorrer do curso. Nosso estudo segue com a recapitulao de alguns conceitos introdutrios.

Seo 2 Operaes com foras e vetores

Nosso primeiro passo consiste em estudarmos o efeito das foras que atuam sobre os pontos materiais.

O que necessrio para definir uma fora?

Uma fora definida pelo seu ponto de aplicao, sua intensidade, sua direo e seu sentido.

Um ponto material uma pequena poro de matria que pode ser considerada como se ocupasse um ponto no espao.

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A intensidade de uma fora medida em N (Newtons) no Sistema Internacional de Unidades. Devido pequena ordem de grandeza obtida com a aplicao de 1 N de fora, comum e bastante difundido representar a unidade de fora em kN, onde 1 kN = 103N ou 1000N.

A direo da fora est sempre relacionada a uma linha de ao, que sempre possui uma posio definida por um ngulo com relao a uma linha de base tomada como referncia.

A representao grfica de uma fora bastante elucidativa. A Figura 1.2 mostra trs foras sendo aplicadas sobre um mesmo ponto A. Na representao grfica de uma fora, o comprimento do segmento de reta utilizado para representar a fora d uma ideia da sua intensidade. Alm disso, esta reta colocada sobre a linha de ao, que define a sua direo, e a seta vai mostrar o sentido de aplicao desta fora.

Figura 1.2 Foras atuando sobre o ponto A Fonte: Elaborao do autor, 2011

No caso apresentado na Figura 1.2, possvel identificar que a fora F2 possui uma intensidade maior do que as foras F1 e F3. Se considerarmos a linha horizontal como referncia, vemos que a fora F1 est numa linha de ao deslocada em 45 com relao referncia, e o seu sentido de aplicao na direo do ponto A. F2 est numa linha de ao coincidente com a referncia, com sentido da esquerda para a direita, tambm voltada para o ponto A, e F3 est sobre uma linha de ao deslocada em 60 com relao referncia e sentido saindo do ponto A.

Estas foras representadas se comportam exatamente como vetores.

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Mecnica I

Unidade 1

Vamos recordar alguns daqueles conceitos apresentados, trazendo-os para a aplicao em pontos materiais e em corpos rgidos. Se voc quiser aprofundar um pouco mais, d mais uma olhada no que foi apresentado na disciplina de Geometria Analtica e na disciplina de Fsica.

Considere duas foras denominadas de T e U atuando sobre um ponto material B, como mostra a Figura 1.3. Pela Lei do Paralelogramo para adio de vetores (neste caso, foras), as foras T e U podem ser substitudas por uma nica fora R que possui o mesmo efeito sobre o ponto B.

Figura 1.3 Determinao da fora resultante Fonte: Elaborao do autor, 2011

Esta fora R chamada de fora resultante e consiste na diagonal do paralelogramo formado pelas foras T e U. Esta fora o resultado da soma das foras T e U.

R = T + U

Como se observa, as foras, da mesma forma que os vetores, necessitam de um tratamento apropriado para que seja possvel realizar operaes entre si. E isto nos faz concluir que sempre muito importante estar atento representao correta de foras e vetores. Qualquer erro na intensidade, direo ou sentido de um vetor ir conduzir a um resultado completamente errado e diferente do desejado.

Outra forma de realizar a soma entre os vetores T e U consiste na triangulao, como mostra a figura 1.4. Neste caso, os vetores so dispostos de maneira sequencial e o resultante obtido como sendo o vetor que inicia no princpio do primeiro vetor da cadeia e termina no final do ltimo vetor da cadeia.

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Figura 1.4 Soma por triangulao Fonte: Elaborao do autor, 2011

A subtrao de vetores uma operao que consiste em somar um vetor dado como referncia com o vetor oposto correspondente do outro vetor. Se considerarmos os vetores da figura 1.3, temos que a operao R = T U realizada como mostra a figura 1.5.

Figura 1.5 Subtrao de vetores Fonte: Elaborao do autor, 2011

Note que o vetor U, ao receber o sinal negativo, passou a indicar o sentido oposto da seta, mas manteve sua intensidade e a direo, que utiliza a mesma linha de ao.

Existem vrias situaes onde se necessita realizar operaes com mais de dois vetores ao mesmo tempo. Nestes casos, como mostra a figura 1.6, a soluo consiste em somar diretamente todos os vetores (1.6a) ou somar um par de vetores para definir a sua resultante e depois ir somando individualmente cada outro vetor do conjunto com o vetor resultante encontrado, at que se chegue ao ltimo resultante (1.6b). A ordem de composio dos vetores para as sucessivas operaes de soma no altera o resultado final encontrado (1.6c).

Figura 1.6 Soma de vrios vetores Fonte: Elaborao do autor, 2011

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Mecnica I

Unidade 1

Outra operao muito importante envolvendo os vetores o produto escalar. Para entendermos como o produto escalar utilizado, imagine a situao mostrada na figura 1.7. Suponha que o peso aplicado no ponto A (Fig. 1.7a) venha todo da carga que est na gaiola, desprezando o peso da gaiola, cabos e outros eventuais acessrios.

Figura 1.7 Exemplo de produto escalar Fonte: Elaborao do autor, 2011

O que acontece com a fora aplicada no ponto A caso seja adicionada uma segunda carga na gaiola (Fig. 1.7b)?

Como a segunda carga igual primeira, pode-se concluir que F2 = 2 x F1.

Note que a direo e o sentido da fora aplicada permanecem inalterados, com mudana somente na intensidade da fora aplicada. Esta operao caracteriza um produto escalar.

O produto escalar utilizado, ento, para gerar alteraes somente na intensidade das foras, sem influenciar a direo e o sentido. Graficamente, visvel que F2 possui um comprimento duas vezes maior do que F1.

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Seo 3 Decomposio de foras

Da mesma forma que duas foras que atuam sobre um mesmo ponto podem ser combinadas para dar origem a uma nica fora resultante, o processo inverso tambm possvel de ser realizado com os vetores. Dependendo da necessidade, uma nica fora pode ser decomposta e substituda por duas ou mais foras que possuam o mesmo efeito sobre o ponto material.

Esta decomposio muito til quando se quer representar uma fora na forma de componentes que esto atuando em direes de interesse. A figura 1.8 representa a decomposio da mesma fora em componentes distintas T e U. Qualquer soma de pares T e U vai levar ao mesmo resultado da fora F.

Figura 1.8 Decomposio da fora F de trs formas diferentes Fonte: Elaborao do autor, 2011

- Para sua melhor compreenso, acompanhe a resoluo de um problema resolvido.

Problema resolvido 1.1:

Determine a fora resultante que est atuando no gancho da figura 1.9:

Figura 1.9 Gancho com carregamento Fonte: Elaborao do autor, 2011

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Mecnica I

Unidade 1

Soluo grfica:

A soluo grfica para este problema pode ser encontrada utilizando-se os dois mtodos apresentados anteriormente, como mostra a figura 1.10, com o mtodo do paralelogramo (1.10a) e a regra do tringulo (1.10b).

Figura 1.10 Soluo grfica para o problema Fonte: Elaborao do autor, 2011

A determinao da intensidade de R pelo mtodo grfico resulta em:

R = 112 N; = 15

Pela soluo trigonomtrica, o primeiro passo consiste em dispor corretamente os vetores para que seja possvel identificar os ngulos relativos e disposio dos vetores, como mostra a Figura 1.11.

Figura 1.11 Disposio dos vetores para a soluo trigonomtrica Fonte: Elaborao do autor, 2011

Aplicando-se a lei dos cossenos, obtm-se:

R2 = S2 + T2 2.S.T.cos B

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O ngulo B dado pela relao:

B + 30 + 45 = 180 B = 105

Assim:

R2 = 602 + 802 + 2.60.80.cos 105 R2 = 3600 + 6400 + 2484,66R2 = 12484,66R = 111,73 N

Aplicando agora a lei dos senos, temos:

sen A / S = sen B / R sen A = sen 105 . 60 / 111,73 sen A = 0,5187 A = 31,24 = 45 - A = 13,76

A decomposio de foras muito aplicada em conjunto com sistemas de coordenadas cartesianas definidos com eixos normais entre si, com uma direo x e uma direo y. Geralmente, estes eixos so posicionados respeitando a direo horizontal e a direo vertical da situao estudada.

Se considerarmos a existncia de vetores unitrios coincidentes com os eixos cartesianos do sistema de coordenadas, possvel representar qualquer fora posicionada em um plano em funo das suas componentes em cada um destes eixos, e com intensidade dada como um valor mltiplo destes vetores unitrios, como mostra a figura 1.12.

i = vetor unitrio na direo xj = vetor unitrio na direo yFy = F.jFx = F.i

Figura 1.12 Decomposio no sistema cartesiano Fonte: Elaborao do autor, 2011

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Mecnica I

Unidade 1

Fy representa a intensidade da fora F na direo y e possui um valor escalar dado como um mltiplo do vetor unitrio j. Da mesma forma, Fx est relacionado com o vetor i na direo x.

A fora com intensidade F est aplicada com um ngulo com relao ao eixo de coordenadas x. Com a definio desta posio angular, possvel expressar, atravs de relaes trigonomtricas, as componentes Fx e Fy da seguinte forma:

Fx = F.cos ; Fy = F.sen


Um carro est sendo rebocado por um guincho, como mostra a figura 1.13. Se a fora de trao no cabo do reboque de 600 N, quanto desta fora est sendo utilizado para puxar o veculo e quanto est sendo utilizado para levant-lo?

Figura 1.13 Carro rebocado Fonte: Elaborao do autor, 2011

O diagrama na figura 1.14 mostra a fora aplicada F e as componentes procuradas Fx e Fy.

Figura 1.14 Diagrama das foras Fonte: Elaborao do autor, 2011

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A soluo ento:

Fx = - F.cos 60 ; Fy = F.sen 60

Fx = - 600.0,5 ; Fy = 600.0,866

Fx = - 300 N ; Fy = 519,62 N

Note que a fora Fx apresenta o sinal negativo. Isto ocorre porque seu sentido est voltado da direita para a esquerda.

Soma de vrias foras utilizando a decomposio

Quando muitas foras atuam em conjunto em um mesmo ponto material e atuam no mesmo plano, pode-se encontrar uma resultante nica destas foras decompondo individualmente cada uma das foras aplicadas de acordo com o sistema cartesiano e realizar as operaes escalares para cada eixo coordenado, x e y.

A forma mais fcil de demonstrar isto atravs de um exemplo.


Dado o conjunto de 5 foras aplicadas ao ponto A, conforme a figura 1.15, calcule a fora resultante.

Figura 1.15 Vrias foras aplicadas no mesmo ponto Fonte: Elaborao do autor, 2011

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Mecnica I

Unidade 1

A resultante destas foras obtida atravs do clculo da resultante em cada eixo cartesiano:

Rx = F1x + F2x + F3x + F4x + F5xRy = F1y + F2y + F3y + F4y + F5yLevando em considerao a disposio das foras apresentada na figura 1.15, temos a seguinte soluo:

Rx = 0 + F2 + F3.cos 30 + F4.sen 30 - F5.cos 45o

Ry = F1 + 0 - F3.sen 30 - F4.cos 30 + F5.sen 45o

Note que a disposio trigonomtrica dos vetores que representam as foras permitiu uma deduo direta das componentes de cada fora aplicada. Alm disso, tambm importante observar que os sinais utilizados na soluo esto diretamente relacionados com o sentido de cada fora com relao aos eixos coordenados x e y.

De forma simplificada, para determinar a resultante em cada eixo, podem-se utilizar:

Rx = Fx; Ry = FyConhecendo-se as componentes Rx e Ry do sistema de foras estudado, resta agora utilizar a lei do paralelogramo para compor a fora resultante total do sistema.


Determine as componentes nas direes x e y das foras apresentadas na figura 1.16 e calcule a resultante, indicando a direo desta resultante.

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Figura 1.16 Conjunto de foras aplicadas no mesmo ponto C Fonte: Elaborao do autor, 2011

Quando h a necessidade de calcular as componentes de vrias foras, importante organizar adequadamente as informaes para evitar o risco de pequenos erros que podem comprometer a soluo final. Uma forma de fazer isto atravs da criao de uma tabela, como a tabela 1.1.

Tabela 1.1 Componentes das foras

Fora Intensidade, N Componente em x, N Componente em y, N

F1 70 60,6 -35

F2 100 50 86,6

F3 60 0 60

F4 50 -35,4 35,4

F5 40 -40 0

Resultante Rx = 35,2 Ry = 147

A resultante das foras pode ser apresentada como:

R = (35,2N)i + (147N)j

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Mecnica I

Unidade 1

A direo da fora resultante com relao ao eixo de coordenadas cartesianas pode ser obtida pela seguinte relao:

tg = Ry / Rx = 147N/35,2N = 4,1761; = 76,53

A intensidade da fora resultante R dada por:

R = Ry / sen = Rx / cos = 151,2 N

Outra forma de identificar R atravs da relao:

R2 = Rx2 + Ry2; R = 151,2 N

Seo 4 Equilbrio de um ponto material no plano

Considera-se um ponto material em equilbrio quando a fora resultante de vrias foras atuando sobre este ponto se apresenta como uma fora nula, o que est totalmente de acordo com a primeira lei de Newton.

Sendo assim, um ponto material, que sofre a ao de somente duas foras, s estar em equilbrio caso estas duas foras possuam a mesma intensidade, estejam na mesma linha de ao, mas com sentidos opostos.

Qualquer condio diferente desta levar criao de uma resultante no nula, o que impede que haja o equilbrio.

De forma direta, a condio para existncia do equilbrio dada por:

R = F = 0

Ou seja:

Fx = 0; Fy = 0

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Para que o sistema mostrado na figura 1.17 esteja em equilbrio, necessrio que o somatrio das foras aplicadas no ponto A seja nulo. Verifique se h equilbrio.

Figura 1.17 Foras aplicadas no ponto A Fonte: Elaborao do autor, 2011

Fx = 0

Fx = F1x + F2x + F3x + F4xFx = 40.cos 20 + 60.cos 45 - 80 + 0

Fx = 37,6 + 42,4 80 = 0

Fx = 0 Condio satisfeita

Fy = 0

Fy = F1y + F2y + F3y + F4yFy = 40.sen 20 + 60.sen 45 + 0 - 56

Fy = 13,6 + 42,4 56 = 0

Fy = 0 Condio satisfeita

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Mecnica I

Unidade 1

Diagrama de corpo livre

O diagrama de corpo livre consiste numa representao esquemtica e simplificada de um ponto de interesse em uma estrutura que considerada como um ponto material, mostrando todas as foras que atuam sobre este ponto.


Um exemplo de formulao de diagrama de corpo livre pode ser observado na figura 1.18.

Figura 1.18 (a) Diagrama espacial; (b) Diagrama de corpo livre; (c) Tringulo de foras Fonte: Beer & Johnston (2005, p. 51)

A partir do diagrama de corpo livre (1,18b), possvel compor, para este caso onde existem trs foras atuando sobre o ponto A, um tringulo de foras (1.18c). Como os ngulos so conhecidos, a soluo deste problema facilmente encontrada aplicando-se a lei dos senos:

TAB/sen 60 = TAC/ sen 40 = 736 N/sen 80

O clculo destas relaes resulta nas seguintes foras para os cabos:

TAB = 647 N; TAC = 480 N

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Considerando a situao apresentada na figura 1.19, determine a trao TAC, sabendo que a luminria pesa 8 kg e que a mola sofreu uma deformao de 0,453m e possui uma rigidez de 300 N/m.

Figura 1.19 Luminria em equilbrio Fonte: Hibbeler (2005, p. 76)

O peso P de 8 kg da luminria resulta em uma fora dada por:

W = P . g = 8 . 9,81 = 78,5 N

Conhecendo-se a rigidez da mola (k) e a sua deformao (s), possvel determinar a fora executada:

F = k.s

F = 300 . 0,453 = 136N

Para que ocorra o equilbrio, deve haver uma resultante nula nas direes x e y:

Fx = 0

Fx = TAB - TACx

Fx = 136 - TAC . cos 30 = 0

TAC = 136 / cos 30 = 157 N

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Mecnica I

Unidade 1

Fy = 0

Fy = TACy W

Fy = TAC . sen 30 - 78,5 = 0

TAC = 78,5 / sen 30 = 157 N

Como os valores encontrados para TAC nas duas direes so iguais, o sistema est em equilbrio.

Seo 5 Foras e equilbrio de um ponto material no espao

At agora lidamos com problemas bidimensionais, ou seja, completamente resolvidos em um nico plano. Nosso prximo passo consiste em extrapolar a aplicao dos nossos conhecimentos para resolver problemas no espao, utilizando as trs dimenses.

Se antes era necessrio realizar a decomposio de foras nos eixos x e y que definem o plano onde esta fora est atuando, agora temos esta fora posicionada no espao, necessitando de uma dimenso a mais para sua caracterizao espacial. Ento necessrio definir tambm qual a componente desta fora que est atuando no eixo z.

O tratamento necessrio para a decomposio de uma fora no espao depender das informaes disponveis sobre a orientao desta fora com relao ao sistema de coordenadas definido.

Para um melhor entendimento, vamos utilizar o exemplo apresentado por Beer & Johnston, (2005). A figura 1.20 mostra uma fora F sendo aplicada na origem de um sistema de coordenadas cartesianas xyz.

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Figura 1.20 Fora no espao Fonte: Beer & Johnston (2005, p. 63)

O plano que contm a fora F identificado como OBAC, que passa pelo eixo vertical y e se projeta sobre o plano xz, posicionado com um ngulo com relao ao eixo x. A fora F est deslocada por um ngulo y com relao ao eixo y, conforme mostra a figura 1.20a.

Com esta disposio, possvel decompor inicialmente a fora F em uma componente Fy diretamente sobre o eixo y, e uma fora horizontal Fh que se projeta sobre o plano xz, como mostra a figura 1.20b. Assim, pelas relaes trigonomtricas, temos:

Fy = F. cos yFh = F. sen y

Para completar a decomposio, necessrio obter as componentes Fx e Fz da fora F, que so obtidas a partir da decomposio da fora Fh. Isto possvel porque o ngulo que posiciona a fora Fh no eixo xz conhecido (figura 1.20c). Temos ento:

Fx = Fh. cos

Fz = Fh. sen

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Mecnica I

Unidade 1

Como ns conhecemos a intensidade da fora Fh a partir da primeira decomposio de F, podemos escrever:

Fx = F. sen y. cos

Fz = F. sen y. sen

De posse de todas as componentes, podemos aplicar Pitgoras e confirmar os resultados obtidos com o clculo da intensidade da fora F a partir destas componentes escalares cartesianas, chegando assim na equao:

F2 = Fx2 + Fy2 + Fz2

Numa outra situao, se, para definir a orientao da fora F no espao, forem conhecidos os ngulo de posio desta fora com relao a cada um destes eixos coordenados, como mostra a figura 1.21, a definio das componentes dada por:

Fx = F. cos x; Fy = F. cos y; Fz = F. cos z;

Figura 1.21 Fora F no espao com trs posies angulares Fonte: Beer & Johnston (2005, p. 64)

A fora F tambm pode ser representada com base nos vetores unitrios i, j e k, orientados conforme os eixos x, y e z, da seguinte forma:

F = Fxi + Fyj + Fzk

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Quando um sinal negativo acompanhar alguma das componentes, isto indicar que o vetor estar posicionado no sentido oposto do sentido convencional do sistema de coordenadas.


Uma fora F com intensidade de 300 N forma ngulos de 30 com o eixo x, 135 com o eixo y e 60 com o eixo z. Determine as componentes Fx, Fy, e Fz desta fora.

Fx = F. cos x = 300 . cos 30 = 259,8 N

Fy = F. cos y = 300 . cos 135 = - 212,1 N

Fz = F. cos z = 300 . cos 60 = 150 N

Existem muitas situaes onde uma fora definida pela sua intensidade e pela definio da sua linha de ao, descrita pelas coordenadas de dois pontos pertencentes a esta linha de ao. Nestes casos, como mostrado na figura 1.22, possvel definir um vetor na mesma linha de ao da fora F que liga os pontos definidos, possuindo componentes escalares dx, dy e dz.

Figura 1.22 Fora definida na linha de ao Fonte: Beer & Johnston (2005, p. 68)

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Mecnica I

Unidade 1

Este vetor dado por:

MN = dxi + dyj + dzk

A linha de ao de F pode ser posicionada no espao atravs da definio de um vetor unitrio , que obtido dividindo-se o vetor MN pelo seu mdulo, que dado pela distncia d.

= MN / MN = (1/d) . (dxi + dyj + dzk)

A fora F no espao definida atravs do seu mdulo multiplicado por este vetor unitrio que define sua orientao:

F = F. = (F/d) . (dxi + dyj + dzk)

As componentes escalares da fora F so dadas por:

Fx = F. dx/d; Fy = F. dy/d; Fz = F. dz/d;

Estas equaes simplificam a determinao das componentes de uma fora F quando so conhecidas a sua intensidade F e a sua linha de ao atravs de dois pontos M e N. As distncias envolvidas podem ser obtidas atravs de:

dx = x2 x1; dy = y2 y1; dz = z2 z1;

E a distncia d entre os pontos M e N dada por:

d2 = dx2 + dy2 + dz2

Por fim, os ngulos x, y e z formados com os eixos coordenados, so obtidos a partir de:

cos x = dx / d; cos y = dy / d; cos z = dz / d;

Em problemas envolvendo trs dimenses, as operaes de adio e subtrao de foras ou vetores se tornam complicadas caso se deseje utilizar uma soluo por mtodos grficos ou por dedues trigonomtricas. Sendo assim, o mtodo mais indicado consiste em decompor cada fora individualmente nas suas trs componentes e depois realizar as operaes escalares desejadas em cada componente ou eixo cartesiano.

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Com a resultante em cada componente possvel recompor o vetor resultante final utilizando as equaes a seguir:

Rx = Fx; Ry = Fy; Rz = Fz;

Da mesma forma que o tratamento anterior, o mdulo da resultante R e os ngulos x, y e z formados com os eixos coordenados, so obtidos a partir de:

R2 = Rx2 + Ry2 + Rz2

cos x = Rx / R; cos y = Ry / R; cos z = Rz / R


Uma fora F1 possui componentes Fx1 = -250 N, Fy1 = 50 N e Fz1 = -180 N, e uma fora F2 possui componentes Fx2 = 200 N, Fy2 = 150 N e Fz2 = -80 N. Determine o mdulo de cada uma das foras, o mdulo da fora resultante e os ngulos que a fora resultante forma com os eixos coordenados.

Mdulo da Fora F1:

F12 = Fx12 + Fy12 + Fz12

F12 = -2502 + 502 + -1802

F1 = 312,1 N

Mdulo da Fora F2:

F22 = Fx22 + Fy22 + Fz22

F22 = 2002 + 1502 + (-80)2

F2 = 262,5 N

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Mecnica I

Unidade 1

Componentes da fora resultante:

Rx = Fx; Ry = Fy; Rz = Fz;

Rx = Fx1 + Fx2 Ry = Fy1 + Fy2 Rz = Fz1 + Fz2Rx = -250 + 200 Ry = 50 + 150 Rz = -180 - 80

Rx = -50 Ry = 200 Rz = -260

Mdulo da Fora Resultante R:

R2 = Rx2 + Ry2 + Rz2

R2 = (-50)2 + 2002 + (-260)2

R = 331,8 N

cos x = Rx / R = -50/331,8 = -0,15069; x = acos -0,15069 = - 8,7

cos y = Ry / R = 50/331,8 = 0,60275; y = acos 0,60275 = 37,1

cos z = Rz / R = -180/331,8 = -0,78357; z = acos -0,78357 = - 51,6

Equilbrio de um ponto material no espao

Da mesma forma que foi explicada para o equilbrio no plano, a condio de equilbrio de um ponto material no espao obtida quando a resultante de todas as foras atuando sobre este ponto zero, isto , quando as componentes Rx, Ry e Rz so nulas. Temos ento:

Fx = 0; Fy = 0; Fz = 0;

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O recipiente da figura 1.23 est suportando uma carga W de 1165 N suspensa pelos trs cabos mostrados. Determine a trao em cada um dos cabos.

Figura 1.23 Recipiente suspenso por cabos Fonte:

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Mecnica I

Unidade 1

Soluo:

Em primeiro lugar, sero definidas as componentes de cada uma das foras individualmente:

FABAB = dAB = ( dAB x2 + dAB y2 + dAB z2)

dAB = (02 + 4502 + 6002)

dAB = 750 mm

FAB x = FAB.dAB x/dAB; FAB y = FAB.dAB y/dAB; FAB z = FAB. dABz/dAB;

FAB x = FAB. 0/750; FAB y = FAB. 450/750; FAB z = FAB. 600/750;

FAB x = 0; FAB y = FAB.0,6; FAB z = FAB.0,8;

FACAC = dAC = (dACx2 + dACy2 + dACz2)

dAC = ((-320)2 + 02 + 6002)

dAC = 680 mm

FACx = FAC. dACx/dAC; FACy = FAC. dACy/dAC; FAC z = FAC. dACz/dAC;

FACx = FAC. - 320/680; FACy = FAC. 0/680; FAC z = FAC. 600/680;

FACx = - FAC.0,4706; FACy = 0; FAC z = FAC.0,88235;

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FADAD = dAD = (dADx2 + dADy2 + dADz2)

dAD = (3602 + (-500)2 + 6002)

dAD = 860 mm

FADx = FAD. dADx/dAD; FADy = FAD. dADy/dAD; FADz = FAD. dADz/dAD;

FADx = FAD. 360/860; FADy = FAD. -500/860; FADz = FAD. 600/860;

FADx = FAD.0,4186; FADy = - FAD.0,5814; FADz = FAD.0,6977;

De posse das componentes de cada uma das foras, pode-se calcular a resultante em cada eixo coordenado. Como o sistema est em equilbrio, cada uma destas resultantes dever ser nula.

Para resolver o sistema, vamos isolar FAB e FAC em funo de FAD nas direes x e y e substituir na direo z:

Rx = -0 -FAC.0,4706 + FAD.0,4186= 0;

Ry = FAB.0,6 + 0 - FAD.0,5814 = 0;

Rz = FAB.0,8 + FAC.0,88235 + FAD.0,6977 - 1165= 0;

Rx = Fx = 0; Ry = Fy = 0; Rz = Fz = 0;

Rx = FABx+FACx+FADx = 0; Ry = FABy+FACy+FADy = 0; Rz = FABz+FACz+FADz + W= 0;

Rx = -0 -FAC.0,4706 + FAD.0,4186= 0;

Ry = FAB.0,6 + 0 - FAD.0,5814 = 0;

Rz = FAB.0,8 + FAC.0,88235 + FAD.0,6977 - 1165= 0;

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Mecnica I

Unidade 1

FAC = FAD.0,4186 / 0,4706 = FAD.0,88953;

FAB = FAD.0,5814 / 0,6 = FAD.0,96899;

(FAD.0,96899) .0,8 + (FAD.0,88953).0,88235 + FAD.0,6977 1165 = 0;

FAD.0,7752 + FAD.0,7849 + FAD.0,6977 1165 = 0

FAD.2,2577 = 1165

FAD = 1165 / 2,2577

FAD = 516 N

Com isto, temos:

FAC = FAD.0,88953 = 516 . 0,88953 = 459 N;

FAB = FAD.0,96899 = 516 . 0,96899 = 500 N;

Com o fim desta seo, encerramos tambm o contedo terico da nossa unidade. Mas o trabalho no para por a. importante fazer os exerccios propostos prestando muita ateno em todos os detalhes da sua resoluo.

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Sntese

Nesta unidade, voc aprendeu sobre quais so os campos de estudo da Mecnica e viu que nosso trabalho est voltado para a mecnica dos corpos rgidos, e mais especificamente para a esttica.

Depois disso, foi a hora de relembrar alguns conceitos j estudados em outras disciplinas e exercitar a execuo de operaes com vetores, que representam de forma equivalente as aes dos esforos atuantes sobre os pontos materiais e corpos rgidos estudados.

Voc tambm aprendeu a realizar a decomposio de foras em componentes de interesse, formando a base para a soluo de inmeros problemas de esttica.

Com o conhecimento adequado sobre o tratamento matemtico de vetores, foram apresentadas as condies para definio do equilbrio de um ponto material no plano.

Por fim, todos estes conceitos foram estendidos para a soluo de problemas relacionando foras e equilbrio de um ponto material no espao, onde foram trabalhadas as trs dimenses, gerando trs componentes para definio dos esforos.

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Mecnica I

Unidade 1

Atividades de autoavaliao

1) Com base nos conhecimentos adquiridos a respeito dos campos de estudo referente Mecnica, relacione os itens da primeira coluna com as aplicaes apresentadas na segunda coluna:

(A) Mecnica dos corpos rgidos a. ( ) Estudo de perfis aerodinmicos

(B) Mecnica dos corpos deformveis b. ( ) Estudo da falha de materiais por ruptura(C) Mecnica dos fluidos c. ( ) Estudo do escoamento de vertedouros

em barragens

d. ( ) Estudo das foras externas aplicadas em um corpo rgido

e. ( ) Estudo da deformao de vigas pelo peso prprio

f. ( ) Determinao das condies de equilbrio em um corpo

2) Dados os vetores A, B e C apresentados abaixo, calcule o vetor resultante para cada item proposto:

a) A + C

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b) B - A

c) A + 2B C

3) Considere a estaca enterrada no cho apresentada na figura abaixo. Determine o mdulo e a direo da fora resultante sobre a estaca.

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Mecnica I

Unidade 1

4) Utilizando o mesmo sistema de foras usado na questo anterior, determine as componentes da fora resultante. Verifique se estas componentes levam a um mesmo valor de mdulo e ngulo de posio para a fora resultante encontrada.

5) Dois cabos esto atados no ponto C do sistema abaixo. Determine as traes nestes cabos.

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6) Determine a intensidade e a direo da fora F5 para manter o ponto O em equilbrio.

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Mecnica I

Unidade 1

Saiba mais

As Estruturas de Engenharia

Nossos estudos na rea de Mecnica possuem uma ampla aplicao na soluo de problemas relacionados a estruturas de engenharia. Vamos conhecer um pouco sobre elas:

1. Trelias As trelias so projetadas para suportar cargas e normalmente so sistemas estacionrios e totalmente vinculados. So formadas por elementos retos conectados por juntas nas suas extremidades. Nos membros retilneos de uma trelia atuam duas foras de mesmo mdulo e direo, mas com sentidos opostos. As trelias so muito utilizadas em pontes e em edifcios e possuem uma larga aplicao em projetos de engenharia. Um exemplo de trelia mostrado na figura 5.1.

Figura 1 Trelia Fonte: Beer & Johnston (2008, p. 371)

2. Estruturas As estruturas tambm so projetadas para suportar cargas e tambm so estacionrias e totalmente vinculadas. Sua diferena para as trelias que possuem elementos de mltiplas foras e conectados por pinos, isto , elementos que esto sujeitos a mais de duas foras que no possuem a direo do elemento. A figura 2 mostra um guindaste que caracteriza bem uma estrutura por possuir elementos onde esto aplicadas trs ou mais foras, que, em geral, no possuem a direo do elemento.

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Figura 2 Estrutura Fonte: Beer & Johnston (2008, p. 370)

3. Mquinas As mquinas so projetadas para transmitir e modificar foras e, de forma geral, possuem partes mveis. Como nas estruturas, as mquinas sempre possuem pelo menos um elemento sujeito a trs ou mais foras. A figura 5.3 apresenta uma mquina que possui uma plataforma e sistemas articulados para elevao de carga.

Figura 3 Mesa elevadora Fonte: Beer & Johnston (2008, p. 430)

Os conhecimentos adquiridos em Mecnica formaro a base para que voc possa resolver problemas envolvendo trelias, estruturas e mquinas.

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2UNIDADE 2Corpos RgidosObjetivos de aprendizagem

Identificar como ocorre e como se calcula o momento de uma fora com relao a um ponto.

Calcular as componentes do momento com relao a um ponto.

Calcular as componentes do momento de uma fora com relao a um eixo.

Definir um binrio e aplicar um sistema fora-binrio em um corpo rgido.

Reduzir um sistema de foras a uma nica fora e um momento aplicados em um ponto

Sees de estudo

Seo 1 Momento de uma fora

Seo 2 Componentes do momento

Seo 3 Momento de uma fora em relao a um eixo

Seo 4 Binrio

Seo 5 Reduo de um sistema de foras

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Para incio de estudo

Na unidade anterior, consideramos as foras sendo aplicadas em pontos materiais. Numa situao prtica real, esta aproximao fica muito vaga porque os esforos que agem sobre os componentes dificilmente so aplicados todos sobre o mesmo ponto.

necessrio que passemos ento para o conceito mais amplo de corpo rgido.

Nas situaes reais h sempre algum tipo de deformao nos componentes submetidos a esforos, mas estas deformaes normalmente so muito pequenas e no influenciam nas condies de equilbrio ou de movimento das estruturas. Quando estas deformaes atingem nveis crticos, h o risco do ocorrerem falhas na estrutura, o que totalmente indesejvel.

No basta somente considerar os componentes como corpos rgidos: necessrio tambm simplificar a condio de carregamento com a construo de um sistema equivalente de foras. Isto possvel com a aplicao do conceito de transmissibilidade, que ser estudado na seo 1.

Nesta unidade tambm teremos contato com outros conceitos importantes da esttica, relacionados aplicao de um momento sobre um corpo rgido ou sobre um eixo, e a definio de um binrio.

Mos obra!

Um corpo rgido um corpo que no se deforma.

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Mecnica I

Unidade 2

Seo 1 Momento de uma fora

Nos nossos estudos estaremos sempre lidando com as foras externas.

As foras externas so as foras que representam a ao de outros corpos sobre o corpo rgido considerado e que so responsveis pelo comportamento externo do corpo rgido.

Quando so realizados estudos envolvendo foras atuando em estruturas, vigas ou em cabos, importante levar em considerao as foras internas, que so responsveis por manter unidos os pontos materiais que formam o corpo rgido.

Podemos exemplificar as foras externas na situao mostrada na figura 2.1, onde h um veculo sendo puxado para frente com o auxlio de uma corda disposta paralelamente ao cho.

Figura 2.1 Caminho sendo puxado por uma corda Fonte: Beer & Johnston (2005, p. 100)

A figura 2.2 mostra o diagrama de corpo livre deste veculo. Note que importante destacarmos que o veculo possui seu peso prprio, que gera uma fora de atrao para o centro da Terra pela ao da gravidade. A representao desta fora utiliza um nico ponto de aplicao no veculo. Este ponto definido pelo seu baricentro.

O baricentro define o ponto no corpo rgido onde a distribuio do peso deste corpo igualmente distribuda para ambos os lados em qualquer direo neste corpo.

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Figura 2.2 Diagrama de corpo livre do caminho Fonte: Beer & Johnston (2005, p. 100)

O peso do veculo suportado pelo cho, que, por sua vez, est em contato direto com os pneus do veculo. Pelo princpio de ao e reao, h uma fora de reao em cada pneu do veculo agindo contra o peso do mesmo. Naturalmente, a soma de todas as foras de reao nos pneus do veculo dever ser igual ao peso total suportado P.

A fora F que aplicada na corda para puxar o veculo representada na frente do mesmo e est posicionada no parachoque do caminho, que o ponto no qual a corda de reboque foi amarrada.

Neste caso, como no h qualquer fora representada de resistncia fora F exercida na corda (a resistncia ao rolamento desprezada), este veculo iniciar um movimento de translao, que um movimento linear retilneo na direo de um eixo.

Alm da translao, um corpo rgido tambm pode sofrer um movimento de rotao, que um movimento executado em torno de um eixo, ou ento o corpo rgido pode sofrer ao mesmo tempo movimentos combinados de rotao e translao.

Um conceito muito importante que ser explorado nesta unidade o Princpio da Transmissibilidade:

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Mecnica I

Unidade 2

As condies de equilbrio ou de movimento de um corpo rgido permanecem inalteradas se uma fora F, que atua em um dado ponto do corpo rgido, substituda por uma fora F de mesmo mdulo, direo e sentido, mas que atua num ponto diferente, desde que as duas foras tenham a mesma linha de ao. (BEER & JOHNSTON, 2005, p. 100).

Este princpio mostrado na figura 2.3.

Figura 2.3 Foras agindo na mesma linha de ao Fonte: Elaborao do autor, 2011

Respeitando o princpio da transmissibilidade, pode-se dizer que as duas foras possuem o mesmo efeito sobre o corpo rgido e so chamadas de Foras Equivalentes.

Por causa deste princpio, possvel representar diagramas de corpos livres possuindo foras deslizantes sobre as suas linhas de ao, j que uma fora permanece equivalente desde que respeite o princpio da transmissibilidade. Desta forma, a equivalncia mostrada na figura 2.4 verdadeira.

Figura 2.4 Foras equivalentes no caminho Fonte: Beer & Johnston (2005, p. 101)

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O produto vetorial de dois vetores um conceito muito importante para possibilitar o entendimento sobre a aplicao do momento de uma fora em relao a um ponto. O produto vetorial entre dois vetores P e Q representado por:

V = P X Q

Este produto s ser vlido caso sejam satisfeitas trs condies:

1. A linha de ao do produto vetorial V perpendicular ao plano formado pelos vetores P e Q. Se estes vetores possuem a mesma direo, seu produto vetorial nulo, j que sua composio no define um plano, somente uma reta.

2. O mdulo de V dado por:

V = P.Q.sen

Onde:

o ngulo formado entre os vetores P e Q. Este ngulo sempre menor ou igual a 180.

O sentido do vetor V tal que uma pessoa na extremidade de V observa o ngulo sendo formado no sentido anti-horrio entre os vetores P e Q , como mostra a figura 2.5.

Figura 2.5 Produto escalar de P e Q Fonte: Elaborao do autor, 2011

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Mecnica I

Unidade 2

Com base nestas condies estabelecidas, possvel concluir que para o produto vetorial temos:

Q X P = - (P X Q )

P X (Q1 + Q2) = P X Q1 + P X Q2

(P X Q ) X S P X (Q X S)

A soluo dos problemas de esttica envolve frequentemente a decomposio de foras em componentes cartesianas, ento importante definirmos como se d o produto vetorial expresso em termos destas componentes.

Pela notao, de uma forma mais simplificada, temos:

V = P X Q = (Pxi + Pyj + Pzk) X (Qxi + Q yj + Qzk)

que nos leva a:

V = (PyQz PzQ y)i + (PzQx PxQz)j + (PxQ y PyQx)k

As componentes cartesianas so dadas ento por:

Vx = PyQz PzQ yVy = PzQx PxQzVz = PxQ y PyQxou

I j kV = Px Py Pz

Qx Q y QzCom esta base sobre produto vetorial, podemos agora definir o momento de uma fora F em relao a um ponto em um corpo rgido.

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Dependendo do ponto de aplicao e da orientao de uma fora em um corpo rgido, esta fora pode causar efeitos diferentes neste corpo.

A figura 2.6 exemplifica esta situao.

Figura 2.6 Fora aplicada em uma chave inglesa Fonte: Hibbeler (2005, p. 97)

A figura 2.6 mostra uma situao comum encontrada na prtica. Uma chave inglesa foi encaixada em uma haste para a realizao de algum tipo de servio de manuteno.

O operador sempre utilizar o cabo da chave inglesa para aplicar esforo. Como a chave est presa na haste na sua outra extremidade, dependendo do sentido que aplicada a fora no cabo, ocorrer um efeito diferente no sistema.

Na figura 2.6a, a fora do operador aplicada no cabo a uma distncia dy com relao extremidade fixa na haste. A direo da fora aplicada est coincidindo com o eixo x. Com isto, como a outra extremidade da chave est fixa na haste, esta chave tende a sofrer uma rotao em torno do eixo principal da haste fixa. Esta rotao gerada pela aplicao da fora numa posio deslocada do ponto de apoio do sistema chamada de Momento.

No caso da figura 2.6b, a fora tambm aplicada no cabo a uma distncia dy com relao extremidade fixa na haste, mas a direo agora coincide com o eixo z. Esta nova direo de aplicao da fora gera um efeito no sentido de que toda a haste tenha a tendncia de girar em torno do eixo x.

J no caso da figura 2.6c, onde a fora tambm aplicada no cabo a uma distncia dy com relao extremidade fixa na haste, como a fora est na direo do eixo y, o efeito gerado de induzir uma translao de todo o sistema para que se desloque linearmente na direo y.

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Mecnica I

Unidade 2

A fora F representada por um vetor que define o seu mdulo, direo e sentido. Como visto, o efeito desta fora depende do seu ponto de aplicao. Se for definido um vetor r para expressar a posio do ponto de aplicao da fora com relao ao ponto fixo de referncia do sistema, pode-se expressar o momento da fora F com relao ao ponto fixo O como sendo o produto vetorial de r e F:

MO = r X F

Pela definio de produto vetorial, a direo de MO ser perpendicular ao plano formado por F e r. O seu sentido depender da posio relativa entre F e r.

Pela regra da mo direita, feche sua mo direita e deixe o sentido dos seus dedos fechados coincidirem com o efeito de rotao que a fora F tende a gerar no corpo rgido em torno de um eixo fixo. Seu polegar indicar o sentido do momento MO.

Ainda usando a regra da mo direita, se o giro ocorrer no sentido horrio o momento receber um sinal negativo. O sinal ser positivo para um giro no sentido anti-horrio.

O mdulo do momento MO, segundo o produto escalar, dado por:

MO = r.F.sen = F.d

A figura 2.7 representa um corte feito no corpo rgido no plano de atuao da fora F e de definio do vetor de posio r. A simplificao feita na definio do mdulo vem do fato de que r.sen = d a distncia entre o ponto O e a linha de ao de F.

Figura 2.7 Momento de F com relao a O Fonte: Elaborao do autor, 2011

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No Sistema Internacional de Unidade de Medida, a fora expressa em Newtons (N) e a distncia dada em metros (m). Sendo assim, o momento de uma fora com relao a um ponto ser dado em Newton-metros (Nm).


Uma fora vetorial F de 300 N aplicada numa alavanca pivotada no eixo O, conforme mostra a figura 2.8. Determine o momento desta fora com relao a O e determine o momento mximo que pode ser gerado por esta fora na alavanca.

Figura 2.8 Fora F aplicada numa alavanca Fonte: Elaborao do autor, 2011

O Momento de F com relao a O dado por:

MO = r.F.sen

MO = 0,5.300.sen 45 = 106,1 Nm

O momento mximo obtido quando a fora F aplicada perpendicularmente alavanca:

MO = r.F.sen

MO = 0,5.300.sen 90 = 150 Nm

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Mecnica I

Unidade 2

Seo 2 Componentes do momento

Quando diversas foras concorrentes (que esto em um mesmo plano) so aplicadas em um mesmo ponto O, levando-se em considerao a validade da propriedade distributiva do produto vetorial, tem-se que o momento da fora resultante deste sistema de foras com relao ao ponto O ser igual soma dos momentos de cada uma destas foras com relao a este ponto, ou seja:

r X (F1 + F2 + ...) = r X F1 + r X F2 + ...

Esta relao conhecida como Teorema de Varignon.

Com este teorema possvel determinar diretamente o momento de uma fora no espao a partir das suas componentes cartesianas.

comum expressar a fora em suas componentes cartesianas, mas o momento desta fora com relao a um ponto tambm pode ser expresso em componentes cartesianas.

Uma fora aplicada no espao possui as componentes Fx, Fy e Fz. Esta fora aplicada em um ponto no espao com posio definida por x, y e z. Estas coordenadas definem a posio relativa do ponto de aplicao da fora com relao origem do sistema de coordenadas. Desta forma, temos que o momento da fora F com relao origem O dado por:

MO = r X F

Como

r = xi + yj + zk e F = Fxi + Fyj + Fzk

Temos:

MO = Mxi + Myj + Mzk

onde

Mx = y.Fz z.Fy

O teorema foi apresentado pelo matemtico francs Varignon (1654 1722).

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My = z.Fx x.FzMz = x.Fy y.Fxque igual a

i j kMO = x y z

Fx Fy FzEstas componentes do momento em relao a cada eixo coordenado indicam a tendncia que a fora F possui de gerar momentos, particularmente em torno de cada eixo x, y e z.


Uma fora aplicada no espao possui as componentes Fx = 200 N, Fy = 120 N e Fz = 30 N e aplicada no ponto definido por x = 0,5 m, y = 1,2 m e z = 3 m. Calcule as componentes do momento desta fora com relao origem O.

Soluo:

O vetor posio e o vetor que define a fora F so dados por:

r = xi + yj + zk e F = Fxi + Fyj + Fzk

r = 0,5i + 1,2j + 3k e F = 200i + 120j + 30k

Ento, para obter

MO = Mxi + Myj + Mzk

temos:

Mx = y.Fz z.Fy = (1,2 . 30) (3 . 120) = - 324 Nm

My = z.Fx x.Fz = (3 . 200) (0,5 . 30) = 585 Nm

Mz = x.Fy y.Fx = (0,5 . 120) (1,2 . 200) = - 180 Nm

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Mecnica I

Unidade 2

O resultado :

MO = - 324i + 585j - 180k

Na prtica, recorrente termos uma fora aplicada em um ponto A e desejarmos conhecer o momento gerado por esta fora com relao a outro ponto B qualquer que seja posicionado fora da origem do sistema de coordenadas.

Para esta situao, se tomarmos o ponto B como referncia, o momento da fora F com relao ao ponto B ser obtido com a utilizao de um vetor-posio rA/B, que surge da subtrao entre o vetor-posio rA (ponto de aplicao da fora F) e o vetor-posio rB (ponto de interesse para definio do momento). Esta subtrao pode ser descrita como:

rA/B = (xA xB) i + (yA yB) j + (zA zB) k

ou ento

rA/B = x i + y j + z k

O momento ento calculado como:

MB = rA/B X F = (rA rB) X F

i j kMB = x y z

Fx Fy Fzonde

Mx = y.Fz z.FyMy = z.Fx x.FzMz = x.Fy y.Fx

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Uma fora aplicada no espao possui as componentes Fx = 120 N, Fy = - 180 N e Fz = 300 N e aplicada no ponto A definido por x = 2,5 m, y = 0,6 m e z = - 1,5 m. Calcule as componentes do momento desta fora com relao ao ponto B definido por x = 1,2 m, y = 2 m e z = - 0,2 m.

Soluo:

O momento com relao ao ponto B da fora F aplicada no ponto A dado por:

MB = rA/B X F

onde:

rA/B = (xA xB) i + (yA yB) j + (zA zB) k = = x i + y j + z k

rA/B = (2,5 1,2) i + (0,6 2) j + (- 1,5 (-0,2)) k

rA/B = 1,3 i 1,4 j 1,3 k

F = Fxi + Fyj + Fzk

F = 120i - 180j + 300k

A soluo :

Mx = y.Fz z.Fy = (-1,4.300) (-1,3. (-180)) = - 654 Nm

My = z.Fx x.Fz = (-1,3.120) (1,3.300) = - 546 Nm

Mz = x.Fy y.Fx = (1,3.(-180)) (-1,4.120) = - 66 Nm

Existem diversas situaes onde o problema se restringe a um caso bidimensional, com todas as foras e vetores de posio em um mesmo plano. Com isto, h uma grande simplificao no tratamento do problema, j que z = 0 e Fz = 0; isto elimina as componentes de MO em x e y. Assim:

MO = (x . Fy y . Fx) k

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Mecnica I

Unidade 2

Esta simplificao nos leva a concluir que o momento de uma fora F em relao a um ponto O em um plano xy, como esperado, perpendicular a este plano, e calculado atravs de:

MO = Mz = x . Fy y . FxPara o clculo do momento com relao a um ponto B diferente da origem O, temos:

MB = (xA xB) . Fy (yA yB) . Fx


Dada uma fora F definida por F = 150i + 80j + 0k aplicada no ponto A dado por A = 2i + 1,2j + 0k, calcule o momento de F com relao origem O e com relao ao ponto B definido por B = - 0,5i + 0,3j + 0k.

Soluo:

Como no existe a componente Fz e coordenadas no eixo Z para a posio dos pontos A e B, trata-se de um problema bidimensional, ento, para calcular o momento com relao origem, temos:

MO = Mz = x . Fy y . Fx = (2 . 80) (1,2 . 150) = - 20 Nm

O momento com relao ao ponto B obtido a partir de:

MB = (xA xB) . Fy (yA yB) . FxMB = (2 (-0,5)) . 80 (1,2 0,3) . 150 = 65 Nm

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Seo 3 Momento de uma fora em relao a um eixo

Para podermos definir o momento de uma fora com relao a um eixo, inicialmente necessitamos relembrar alguns conceitos que tambm j foram estudados em Geometria Analtica.

O primeiro deles o produto escalar entre dois vetores, que dado por:

P Q = P . Q . cos

Na figura 2.9 so identificados os vetores P e Q e tambm possvel verificar que o vetor Q consiste na projeo do vetor Q em P. Esta projeo dada por:

Q = Q . cos

Assim, o produto escalar entre P e Q consistir no produto entre o mdulo de um vetor e o mdulo da projeo do outro vetor no mesmo eixo:

P Q = P . Q = P . Q

Figura 2.9 Vetores P e Q Fonte: Elaborao do autor, 2011

Para as condies definidas para o produto escalar, temos as seguintes relaes vlidas:

P Q = Q P

P (Q1 + Q2) = P Q1 + P Q2

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Mecnica I

Unidade 2

O produto escalar na forma de componentes cartesianas dado por:

P Q = (Pxi + Pyj + Pzk) (Qxi + Q yj + Qzk)

Cujo resultado dado por:

P Q = Px . Qx + Py . Q y + Pz . QzA partir destas definies, podemos calcular o ngulo formado por dois vetores dados atravs de:

P Q = P . Q . cos = Px . Qx + Py . Q y + Pz . Qzento:

cos = (Px . Qx + Py . Q y + Pz . Qz) / P . Q

Tendo relembrado como se opera um produto escalar entre dois vetores, vamos agora rever como se opera o produto misto entre trs vetores, dado por:

S (P X Q )

O produto misto consiste em realizar um produto escalar entre o vetor S e o vetor resultante do produto vetorial entre os vetores P e Q.

Uma avaliao das componentes cartesianas resulta em:

S (P X Q ) = S V

onde:

V = (P X Q )

ento:

S V = Sx . Vx + Sy . Vy + Sz . VzNa definio do produto vetorial, podemos concluir que, se V = (P X Q ), ento:

Vx = PyQz PzQ y

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Vy = PzQx PxQzVz = PxQ y PyQxo que nos d a relao final para o produto misto:

S (P X Q ) = Sx . (PyQz PzQ y) + Sy . (PzQx PxQz) + Sz . (PxQ y PyQx)

Aps relembrarmos as operaes de produto escalar e de produto misto, podemos partir para a definio do momento de uma fora com relao a um eixo.

A figura 2.10 mostra uma fora F aplicada em um ponto A, que possui um vetor-posio r com relao origem.

Figura 2.10 Fora F aplicada em A Fonte: Beer & Johnston (2005, p. 137)

O momento da fora F com relao origem dado por MO, que perpendicular ao plano formado por F e r, como representado na figura 2.10.

Como j visto nesta unidade, o momento MO dado por:

MO = r X F

Se agora definirmos um eixo qualquer OL que passa pela origem O, possvel definirmos a componente do momento MO com relao a este eixo OL. Para que isto acontea, necessrio realizar um produto escalar entre MO e um vetor unitrio que est sobre o eixo OL e define sua posio no espao.

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Mecnica I

Unidade 2

A utilizao do vetor unitrio necessria para que o produto escalar realizado resulte somente na componente de MO sobre o eixo OL.

Prosseguindo no raciocnio, temos que o momento da fora F sobre o eixo OL ser dado pela componente do momento desta fora sobre o eixo escolhido, dado por:

MOL = MO = (r X F)

Esta equao tambm pode ser escrita na forma matricial como:

x y z

MOL = x y zFx Fy Fz

Para o caso de um eixo que no passe pela origem do sistema de coordenadas, define-se um ponto B qualquer sobre este eixo. Este ponto servir para identificar o vetor-posio de A at B. Como a fora F aplicada no ponto A e o vetor unitrio que define a orientao no espao do eixo de interesse o mesmo para qualquer ponto sobre este eixo, o produto misto que define o momento da fora F com relao a um eixo qualquer chamado de BL dado por:

MBL = MB = (rA/B X F)

Na forma matricial, fica:

x y z

MB = x y zFx Fy Fz

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Determine o momento MAB produzido pela fora F mostrada na figura 2.11.

Figura 2.11 Fora F aplicada em C Fonte: Hibbeler (2009, p. 142)

Soluo:

Para resolver este problema, necessitamos resolver a equao:

MAB = AB (r X F)

O vetor unitrio AB obtido dividindo-se o vetor AB pelo seu mdulo AB. Pela figura, o vetor AB definido pelas distncias entre os pontos A e B. Assim:

AB = AB / AB = (0,4 m i + 0,2 m j) / ((0,4 m2 + 0,2 m2) = 0,8944 i + 0,4472 j

Ou seja:

x = 0,8944 i

y = 0,4472 j

z = 0 k

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Mecnica I

Unidade 2

O vetor r definido como a posio da fora F com relao ao eixo AB. Para simplificar, podemos tomar a distncia entre a origem O e o ponto de interseco da linha de ao da fora F sobre o eixo x. Assim, temos:

x = 0,6 i

y = 0 j

z = 0 k

A fora aplicada possui as seguintes componentes:

Fx = 0 i

Fy = 0 j

Fz = - 300 k

Substituindo estes valores na matriz para determinao do momento, temos:

O clculo do determinante desta matriz resulta em:

MAB = (0.8944.0.(-300)) + (0,6.0.0) + (0,4472.0.0) (0.0.0 + 0,8944.0.0 + 0,6.0,4472.(-300))

MAB = 80,5 Nm

O resultado final positivo indica que o vetor do momento MAB est na mesma direo do eixo AB.

x y zMAB = x y z

Fx Fy Fz

0,8944 0,4472 0MAB = 0,6 0 0

0 0 -300

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Seo 4 Binrio

Duas foras denominadas de F e F, que possuem o mesmo mdulo, linhas de ao paralela e sentidos opostos, formam um binrio.

O binrio possui uma caracterstica particular porque a soma das componentes destas duas foras em qualquer direo ser zero, mas a soma dos momentos destas duas foras em relao a um ponto no ser igual a zero.

Um binrio aplicado em um corpo rgido nunca tender a fazer com que este corpo sofra uma translao (movimento linear em alguma direo), mas tender a faz-lo girar.

A figura 2.12 apresenta um binrio com as foras Fa = F e Fb = - F aplicadas nos pontos A e B respectivamente. Os pontos A e B so localizados no espao atravs dos vetores-posio rA e rB.

Figura 2.12 Binrio Fonte: Beer & Johnston (2005, p. 150)

A soma dos momentos das duas foras com relao origem do sistema de coordenadas dada por:

M = MFA + MFB = rA X F + rB X (-F) = (rA rB) X F

Ainda na figura 2.12, possvel identificar que a subtrao vetorial de (rA rB) igual ao vetor r, que une os pontos de aplicao das foras de B at A. Sendo assim, possvel calcular o momento do binrio M atravs de:

M = r X F

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O momento do binrio resultado do produto vetorial entre r e F, ento ser perpendicular ao plano que contm estes dois vetores. O mdulo de M dado por:

M = r.F.sen = F.d

Pela figura 2.12, vemos que a distncia d representa a distncia entre as linhas de ao de FA e FB.

Em qualquer lugar no espao que este binrio fosse localizado, a subtrao dos vetores posio (rA rB) resultaria no mesmo vetor r.

Desta forma, conclumos que o vetor r independe da sua posio com relao origem do sistema de coordenadas e podemos afirmar que o momento M de um binrio um vetor livre que pode ser aplicado em qualquer ponto.

Binrios equivalentes

Dois binrios possuem momentos dados por M1 e M2.

Se estes binrios estiverem num mesmo plano ou em planos paralelos, geraro vetores dos seus momentos que possuem a mesma direo e o mesmo sentido. Para que os momentos dos dois binrios sejam iguais, temos que:

Se M1 = F1 . d1 e M2 = F2 . d2Para que M1 seja igual a M2, temos:

F1 . d1 = F2 . d2Quando dois binrios no mesmo plano ou em planos paralelos atendem a esta condio, eles so chamados de binrios equivalentes, conforme representado no exemplo da figura 2.13.

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Figura 2.13 Binrios equivalentes Fonte: Elaborao do autor, 2011

Aplicando-se a regra da mo direita para descrever a ao dos esforos representados nas duas situaes da figura, conclui-se que os momentos das foras aplicadas possuem a mesma direo e o mesmo sentido. Os mdulos dos momentos para as duas situaes so dados por:

M1 = F1 . d1 = 200 . 3 = 600 Nm

M2 = F2 . d2 = 300 . 2 = 600 Nm

Como os mdulos encontrados so iguais, estes dois binrios so equivalentes.

Os mdulos dos binrios, como j observado, so quantidades vetoriais. Sendo assim, dados dois binrios que atuam em planos diferentes, tem-se que a soma dos momentos destes binrios dada pela soma vetorial destes momentos:

M = M1 + M2

Deslocamento de uma fora em um corpo rgido

Pelo princpio da transmissibilidade, vimos que uma fora pode ser deslocada sobre a sua linha de ao sobre um corpo rgido sem perda do efeito que ela produz sobre este corpo rgido.

Existem casos onde necessrio deslocar a fora em um corpo rgido sem ter que respeitar o princpio de transmissibilidade, ou

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seja, quando se quer avaliar o efeito da fora num outro ponto sabendo-se que o efeito desta fora diferente do efeito causado no ponto original de aplicao.

Para que possamos proceder esta transposio da fora, vamos primeiro necessitar representar os binrios atravs de vetores.

Na figura 2.14a, temos um binrio qualquer que aplicado sobre um corpo rgido. Este binrio pode ser representado por um vetor com mdulo, direo e sentido do seu momento (2.14b), acrescido do smbolo da seta em curva para diferenci-lo dos vetores que representam foras.

Figura 2.14 Vetor binrio Fonte: Beer & Johnston (2005, p. 157)

O vetor representado desta forma chamado de vetor binrio e um vetor livre, podendo ento ser aplicado na origem do sistema de coordenadas (2.14c), e podendo tambm ser decomposto em suas componentes vetoriais cartesianas Mx, My e Mz (2.14d).

O conhecimento sobre o vetor binrio importante para que possamos expressar adequadamente a transposio de foras em um corpo rgido.

Considere uma fora F aplicada em um ponto A qualquer de um corpo rgido, como mostra a figura 2.15a.

Figura 2.15 Transposio de fora Fonte: Beer & Johnston (2005, p. 157)

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Se quisermos agora deslocar a aplicao desta fora para o ponto O no mesmo corpo rgido sem alterar a ao da fora sobre ele, podemos considerar que no ponto O aplicado um par de foras F e F com o mesmo mdulo, direo e sentido da fora original (2.15b).

Esta nova situao apresenta agora a fora F aplicada no ponto O desejado mais a ao de um binrio definido pelas foras F e F com distncia definida pelo vetor r que separa os pontos A e O.

O binrio formado possui um momento resultante dado por MO = r X F. Este momento pode ser representado por um vetor binrio sobre o ponto O e que perpendicular ao plano formado pela fora F e o vetor posio r, conforme mostra a figura 2.15c.

Desta forma, pode-se concluir que:

Qualquer fora F que atua sobre um corpo rgido pode ser deslocada para um ponto arbitrrio O neste corpo rgido desde que seja acrescentado um binrio com momento igual ao momento da fora F com relao ao novo ponto O. (BEER & JOHNSTON, 2005)

Esta combinao de fora mais o vetor binrio gerado chamada de sistema fora-binrio.


A figura 2.16 apresenta uma roda acionada por um binrio com fora de 100 N. Este binrio gerado por um motor eltrico. Alm deste binrio, a roda acionada adicionalmente por uma alavanca com uma fora vertical de 600 N aplicada no ponto B. No caso de uma falta de energia e supondo que a fora mxima que se consegue aplicar na alavanca esta fora vertical de 600 N, qual dever ser a posio de aplicao desta fora na alavanca para que se possa compensar a falta do momento gerado pelo motor eltrico?

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Figura 2.16 Binrios equivalentes Fonte: Elaborao do autor, 2011

Soluo:

O momento total MO aplicado no eixo O dado pela soma entre o momento imposto pelo binrio M1 e o momento gerado pela fora na alavanca M2.

M = M1 + M2M1 = F.d = - 100 . 1 = - 100 Nm

Note que o valor dado para a distncia no binrio refere-se ao raio da roda. A distncia d definida como o dimetro da roda.

M2 = rOB . F . sen = 2 . - 600 . sen 50 = - 919 Nm

Assim:

M = M1 + M2M = - 100 - 919

M = - 1019 Nm

Isto quer dizer que o momento total aplicado na roda de -1019 Nm. Supondo uma mesma fora F aplicada com um mesmo ngulo de alavanca, podemos agora calcular a nova posio (rOC) desta fora para gerar o momento total.

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M = rOC . F . sen

rOC = M / (F . sen ) = -1019 / (-600 . sen 50o) = 2,22 m

A fora deve ser aplicada na alavanca a uma distncia de 2,22 m com relao ao eixo O.

Seo 5 Reduo de um sistema de foras

Considere o sistema de foras apresentado na figura 2.17a. As foras F1, F2 e F3 so aplicadas respectivamente sobre os pontos A1, A2 e A3. Se identificarmos um ponto de interesse O, podemos definir as posies dos pontos de aplicao das foras atravs dos vetores posio r1, r2 e r3.

Figura 2.17 Vrias foras aplicadas a um corpo rgido Fonte: Beer & Johnston (2005, p. 171).

Como estudamos na seo anterior, cada uma destas foras poder ser deslocada para o ponto O, desde que sejam identificados os momentos correspondentes das foras com relao a este novo ponto O. Para cada fora, existir um binrio de momento aplicado em relao ao ponto O, como mostra a figura 2.17b.

Como todas as foras e momentos so aplicados em um mesmo po

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