Teoria dos Grafos e Colorao de Mapas

Rafaela G. da Motta Camicia1Amarildo de Vicente2

1Unioeste Universidade Estadual do Oeste do Paran Caixa Postal 711 85.819-110 Cascavel PR Brasil

rafa_camicia@hotmail.com

2Colegiado do Curso de Matemtica Centro de Cincias Exatas e Tecnolgicas da Universidade Estadual do Oeste do Paran

Caixa Postal 711 85.819-110 Cascavel PR Brasilamarildo@unioeste.br

Resumo. Neste trabalho est sendo apresentado um problema relacionado colorao de um mapa. Em geral os mapas que se encontram no mercado so coloridos com muitas cores, o que pode gerar custos desnecessrios. Para o mapa em questo, mostrou-se empregando a teoria de colorao e um algoritmo computacional que o nmero de cores que era sete pode ser reduzido para quatro.

Palavras chaves. Grafos, colorao, mapas.

1. IntroduoDe acordo com Boaventura (2003), o desenvolvimento de uma teoria matemtica das relaes entre elementos e conjuntos discretos uma conquista bastante recente. A topologia, geometria de posio, como j era chamada por Leibnitz, tem como objetivo o estudo das propriedades geomtricas no afetadas por mudanas de forma. O estudo da teoria do ns e das superfcies proporciona questes de difcil resoluo, e mesmo numa abordagem elementar acaba exigindo um nvel de abstrao elevado.

Segundo Rabuske (1992), a teoria dos grafos proporciona ferramentas simples, acessveis e poderosas para a construo de modelos e resoluo de problemas relacionados com arranjos de objetos discretos. Pode-se dizer que a teoria dos grafos um dos mais simples e mais elegantes assuntos da matemtica moderna, possuindo uma grande variedade de aplicaes. Baseada na simples ideia de pontos interligados por linhas, a teoria dos grafos combina estes ingredientes bsicos em um rico sortimento de formas e dota estas propriedades com caractersticas flexveis, fazendo assim, com que esta teoria seja uma ferramenta til para estudar vrios tipos de sistemas.

A tecnologia atual possui um grande nmero de problemas que requerem a construo de sistemas complexos, devido combinao de seus componentes. Estes problemas abrangem processos industriais, anlise de caminho crtico, ttica e logstica, sistemas de computao, estudo de transmisses, escolha de rota tima, fluxos de redes, gentica, economia, estrutura social, jogos, fsica, qumica, tecnologia de computador, antropologia, lingustica, etc (CONTE, 2002).

O grande impulso para o desenvolvimento da teoria dos grafos foi o problema de Euler, tambm chamado problema das sete pontes de Knigsberg, constitudo por ilhas ligadas s margens por seis pontes, alm de uma stima que interligava as duas ilhas (Figura1). Baseava-se no fato que nenhum dos costumeiros frequentadores do local era capaz de percorrer essas sete pontes sem passar mais de uma vez por alguma delas. Euler mostrou Academia de S. Petesburgo, em 1735, a primeira demonstrao da impossibilidade de resoluo do referido problema, isto , dada a disposio das pontes, era impossvel percorrer todas elas passando uma nica vez em cada ponte.

Figura 1. O problema das pontes de Knigsberg

Boaventura (2003) afirma que o desenvolvimento da Teoria dos Grafos veio dar-se, sob o impulso das aplicaes a problemas de otimizao organizacional, dentro do conjunto de tcnicas que forma hoje a pesquisa operacional, j na segunda metade do sculo XX. Pode-se ainda dizer que esse desenvolvimento ocorreu devido ao apareci-mento do computador, sem o qual a maioria das aplicaes de grafos seria impossvel.

Dada a abrangncia do assunto, vamos trabalhar com o problema de colorao de mapas, um dos mais importantes j abordados pela teoria dos grafos. O que se observa nos mapas encontrados venda no mercado que a maioria deles tem uma grande quantidade de cores em sua colorao, ocasionando um desperdcio na confeco desses mapas, j que para cada cor necessrio todo um trabalho de preparao do equipamento de impresso. Os mapas representados nas figuras 2 e 3 so exemplos deste fato. Eles foram produzidos por uma grfica e se encontram a venda em papelarias. Neste trabalho ser apresentado um algoritmo para colorir estes mapas usando um nmero menor de cores. As cores sero representadas por letras, sendo que cada letra representa uma cor.

Como ser visto na seo seguinte, o problema das quatro cores trata da determinao do nmero mnimo de cores necessrias para colorir um mapa planar, de regies reais ou imaginrios, e o mesmo ser apresentado adiante.

Figura 2. Mapa do Brasil, diviso poltica, colorido com 16 coresAdaptado de http://www.ibge.gov.br/ibgeteen/mapas/imagens/brasil_peq.gif

Figura 3. Microrregies de SC coloridas com 23 coresAdaptado de www.inf.ufsc.br/.../problemas/sc-micropolar.gif

2. Fundamentao Terica Harary, (apud Boaventura, 2003), diz que a Teoria dos Grafos foi redescoberta

muitas vezes, ou ento, que problemas do interesse de diversas reas foram estudados separadamente e mostraram caractersticas diferentes. Dentre as vrias aplicaes da Teoria dos Grafos destaca-se a colorao de mapas com o problema das quatro cores, o qual foi apresentado por Francis Guthrie a De Morgan em 1852, mas foi somente cem anos depois, em 1976, que se conseguiu provar que realmente a conjectura estava correta, obtendo-se o chamado Teorema das Quatro Cores, que afirma que quatro cores

so suficientes para colorir qualquer mapa planar.

Colorir um grafo G (V, E) atribuir cores aos seus vrtices de forma que vrtices adjacentes recebam cores distintas. Simplesmente colorir um grafo tarefa trivial, uma vez que pode-se imaginar distribuir uma cor para cada vrtice. O problema da colorao realmente surge quando desejamos colorir o tal grafo utilizando o menor nmero possvel de cores.

A colorao em grafos um problema de otimizao combinatria, que surge em muitas situaes reais, tais como gerncia, alocao de recursos e atribuies de frequncias, podem ser modeladas. Dessa forma, Gardin e Hernanes (2008) propuseram a colorao em grafos fuzzy, com o Problema do Semforo, que consiste em como programar um sistema de semforos para controlar o trfego de veculos em cruzamentos entre ruas de modo a evitar colises, onde definem-se quais fluxos de veculos no so permitidos simultaneamente e o objetivo planejar o controle dos semforos com o menor nmero de fases possvel.

Gardin e Hernanes descrevem ainda o problema de distribuio de exames, que consiste em elaborar o calendrio de exames de um conjunto de disciplinas, dentro de um determinado tempo, quando um aluno no poder fazer mais do que um exame simultaneamente. Neste caso as disciplinas so os vrtices do grafo, as arestas unem as disciplinas que possuem alunos em comum nos exames e as cores representam os conjuntos de disciplinas que podero ter exames juntos.

comum na literatura o estudo de colorao em grafos para soluo de problemas de otimizao combinatria. Esses tipos de problemas podem ser representados como grafos no orientados, onde os vrtices representam recursos que devem ser gerenciados e as arestas, o grau de incompatibilidade entre estes recursos.

Os problemas que se enquadram nessa categoria podem ser modelados e solucionados utilizando-se um grafo no orientado e em seguida determinando sua k-colorao. Bascariol et al (2007) trata de conceitos, definies, e dentre as aplicaes da colorao de grafos cita a utilizao de recursos, alocao de registradores, distribuio de freqncia e a colorao de mapas, descrevendo cada situao problema e uma maneira de resolv-las.

A colorao de mapas vem sendo alvo de muitas pesquisas j que os mapas encontrados no mercado, tem a necessidade de apresentar suas regies com cores diferentes em regies vizinhas para uma melhor visualizao, observa-se uma grande quantidade de cores que vem sendo empregada para colorir estes mapas, ocorrendo um desperdcio de material. O que se prope um algoritmo que possa resolver esse problema, sendo possvel determinar um nmero reduzido de cores necessrias para colorir um mapa. Este tipo de problema se enquadra na colorao de grafos.

Colorir os vrtices de um grafo utilizando um nmero mnimo de cores, em geral uma tarefa de difcil obteno, pois requer um nmero elevado de operaes. O mtodo da fora bruta, usando todas as combinaes possveis, pode ser aplicado, como em qualquer problema combinatorial, mas torna-se invivel computacionalmente medida que cresce o nmero de vrtices. Existem vrios algoritmos que empregam heursticas em sua estrutura, que consegue resolver problemas desta natureza em um tempo vivel e que fornecem, em geral, boas solues.

2.1 Tipos de Colorao

Colorao de grafos consiste em atribuir cores a partes pertencentes a eles. Essas partes podem ser arestas, vrtices, faces e caminhos.

O mais comum a colorao de vrtices, pois todos os outros componentes de um grafo podem ser expressos em forma de vrtices.

2.1.1 Colorao de Face

Na colorao de faces atribui-se uma cor a cada face do grafo, onde faces adjacentes devem possuir cores diferentes.

2.1.2 Colorao de Caminho

A colorao de caminhos consiste em atribuir cores a caminhos do grafo, onde caminhos com cores iguais no podem compartilhar a mesma aresta. Esse tipo de colorao utilizada quando vrios caminhos passam por uma mesma aresta, e cada um deles recebe uma cor.

2.1.3 Colorao de Arestas

A colorao de arestas consiste em atribuir uma cor a cada aresta do grafo, onde no permitido haver mais de uma aresta da mesma cor partindo de um vrtice, usando o menor nmero de cores possveis.

A colorao de arestas pode tambm ser descrita como colorao de vrtices. Para tal, deve-se construir um grafo linear do grafo, onde a cada aresta do grafo atribudo um vrtice.

Figura 4. Grafo com colorao de arestas

Figura 5. Grafo e seu respectivo grafo linear

2.1.4 Colorao de Vrtices

Se no for especificado o tipo de colorao subentende-se como sendo uma colorao de vrtices, pois este o mtodo mais importante. Como para os processos anteriores, neste caso atribui-se uma cor a cada vrtice, de modo que vrtices adjacentes tenham cores diferentes. Esta colorao deve ser feita de maneira a utilizar o mnimo de cores.

Figura 6. Grafo com colorao de vrtices de 4 cores

2.2 Nmero Cromtico

Um grafo pode ser apropriadamente colorido de maneiras diferentes, como na figura abaixo.

(a) (b)

Figura 7. Colorao de vrtices do Grafo

Uma colorao de interesse aquela em que se utiliza um nmero mnimo de cores. Um grafo G, que exige k cores para pintar seus vrtices, e no menos, chamado um grafo k-cromtico, e o nmero k chamado nmero cromtico de G. Na Figura 7, o nmero mnimo de cores 3, portanto o grafo 3-cromtico.

2.3 Teorema das Quatro CoresA histria do problema das quatro cores comeou em 1852, quando Francis Guthrie, aluno de Augustus de Morgan, tentava colorir o mapa da Inglaterra com cores diferentes de maneiras que no houvesse regies vizinhas com a mesma cor. Observou que apenas quatro cores seriam suficientes, e apresentou o problema a De Morgan. Surgindo ento o Problema das Quatro Cores.

Este Teorema foi provado inicialmente em 1976, por Kenneth Appel e Wolfgang

Haken na Universidade de Illinois, com o auxlio de um computador.

O Teorema das Quatro Cores afirma que: Qualquer mapa planar pode ser colorido com apenas quatro cores.

3. Descrio e resoluo do ProblemaConsidere o mapa da Figura 8, que representa uma parte da regio sudoeste do estado do Paran composta pelos municpios de Capanema, Planalto, Prola do Oeste, Bela Vista da Caroba, Ampre, Pranchita, Santo Antnio do Sudoeste, Pinhal de So Bento, Bom Jesus do Sul, Barraco, Flor da Serra do Sul, Salgado Filho, Realeza, Manfrinpolis, Santa Isabel do Oeste, Salto do Lontra, Nova Prata do Iguau, Boa Esperana do Iguau, Dois Vizinhos, Enas Marques, Nova Esperana do Sudoeste e Francisco Beltro, totalizando vinte e duas cidades. No mapa original (Estado do Paran Poltico / 2002) estas regies esto coloridas com sete cores e o que se espera colorir estas mesmas regies com um nmero menor de cores.

Figura 8. Mapa com parte da regio sudoeste Estado do Paran

Na resoluo ser empregado um algoritmo heurstico, apresentado em Rabuske (1992). Este algoritmo, que est descrito a seguir, garante uma boa soluo, mas no

necessariamente a melhor.

3.1 Algoritmo

1. Faa uma lista V com os vrtices do grafo G que representa o mapa, em ordem de grau. Em caso de empate escolha-os de modo arbitrrio.

2. i 0.

3. Se V v ao passo 4 seno v ao passo 8.4.i i + 1

5. Crie um conjunto Ti contendo o primeiro vrtice vj de V.

6. Enquanto existir na fila algum vrtice vk no adjacente a qualquer vrtice pertencente a Ti faa

7.Coloque vk em Ti.

8. Retire vk de V.

7. Volte ao passo 3.

8. Fim. A sada so os conjuntos T1, T2, ..., Tk, que devem ser coloridos com cores distintas.

Para fazer a aplicao do algoritmo devemos fazer uma representao do mapa por meio de um grafo (Figura 9). Esta pode ser feita atravs de um grafo dual, onde os vrtices vo ser as regies e existe um arco entre dois vrtices se e s se as duas regies tm fronteiras comuns. Agora o problema de colorao do mapa equivalente a colorir cada vrtice do grafo dual, de forma que dois vrtices adjacentes tenham cores diferentes.

Figura 9. Representao do mapa em forma de grafo

Para este grafo a matriz de adjacncia :

A= [2 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 2 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 1 2 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 1 1 2 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 1 1 2 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 1 2 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 1 2 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 1 2 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 11 1 0 0 0 0 0 0 2 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 00 1 0 1 1 1 0 0 1 2 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 00 0 0 0 0 1 0 0 0 1 2 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 00 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 2 0 0 0 0 0 0 0 1 10 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 2 1 0 0 1 1 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 2 1 0 1 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 1 1 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 1 0 1 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 2 1 1 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 2 1 1 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 2 1 00 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 2 10 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 2

]A implementao do Algoritmo foi feita na linguagem Pascal, e foi empregada

para resolver o problema.

Executando o programa, obtm-se a seguinte soluo:Listas de vrtices:

V= {v10 ,v12 ,v18 ,v21 ,v2 ,v6 ,v9 ,v11 ,v14 ,v19 ,v4 ,v5 ,v13 ,v15 ,v20 ,v22 ,v3 ,v7 ,v8 ,v16 ,v17 ,v1}T 1={v10 ,v12 ,v18 ,v3 ,v1}T 2={v21 ,v2 ,v6 ,v14 ,v8 ,v16 }T 3={v9 ,v11,v19 ,v4 ,v22 ,v7 ,v17 }T 4={v5 ,v13 ,v15 ,v20 }

Cada lista de vrtices equivale a uma cor, sendo que essas cores esto sendo representadas por letras, como segue:A: Azul V: VerdeR: RosaC: Cinza

Figura 10. Mapa colorido

Note-se que no problema proposto (figura 8) o grafo possui 22 vrtices e, por se tratar de um nmero pequeno, foi possvel obter uma soluo sem maiores dificuldades. Porm, ressalta-se a dificuldade computacional em se fazer este tipo de aplicao em grafos com muitos vrtices, como seria o caso do estado do Paran, que possui 399 municpios. Nesta situao teramos uma matriz de adjacncia de ordem 399x399, totalizando 159.201 (cento e cinquenta e nove mil duzentos e um) elementos.

4. Anlise dos Resultados e Concluses Comparando os resultados com o mapa padro pode-se observar que a quantidade de cores foi reduzida de sete para quatro. Este fato no diminuiu a qualidade da apresentao do mapa a certamente produz economia na sua produo. Conclui-se, portanto, que o algoritmo empregado teve xito na resoluo do problema proposto.

5. Referncias ANDRADE, C. Q. A Criao no Processo Decisrio. Editora LCT, 1980.

BOAVENTURA NETTO, P. O. Grafos: Teoria, Modelos, Algoritmos. So Paulo: E. Blcher, 2003, 314p.

BOSCARIOL, L.A., GAMEIRO, L.B., ARRUDA, R.L.S., Colorao de Grafos. UEL, 2007. Disponvel em http://www2.dc.uel.br/~rlarruda/trab/coloracao-grafos.pdf . Acesso 30 Jan 2010.

GARDIN, E., HERNANDES, F. Aplicao da Colorao em Grafos Fuzzi no Problema de Distribuio de Aulas. In: Rev. Eletrnica Lato Sensu - Ano 3, n 1, maro de 2008. Disponvel em http://web03.unicentro.br/especializacao/Revista_Pos/P%C3%A1ginas/3%20Ed20Edi%C3%A7%C3%A3o/Exatas/PDF/1-Ed3_CE-Aplicac.pdf. Acesso 10 jan 2010.GALVO, R.D., NOBRE, F.F., VASCONCELLOS, M. M. Modelos matemticos de localizao aplicados organizao espacial de unidades de sade. In: Rev. Sade Pblica vol.33 n.4 So Paulo Aug. 1999. Disponvel em http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0034-89101999000400014&lng=en&nrm=iso. Acesso 28 ago 2008.

LOUA JUNIOR, C. et al. Aplicao de uma heurstica GRASP paralela ao problema da p- mediana. In: Anais do X ENCITA. 2004. Disponvel em

http://www.bibl.ita.br/xencita/Artigos/13.pdf. Acesso 28 jul 2008.

RABUSKE, M. A. Introduo Teoria dos Grafos. Florianpolis: UFSC, 1992.184 p.

SOUZA, T. B. e VICENTE, A. Grafos e a localizao do centro de emergncia. In: Anais da XXI SAM, UNIOESTE, 2007. Disponvel em http://cac-php.unioeste.br/cursos/cascavel/matematica/xxisam/PDFs/09.pdf. Acesso 14 jun 2008.

SOUSA, l., O Teorema das Quatro Cores. In: Millenium - Revista do ISPV n. 24, Outubro de 2001. Disponvel em http://www.ipv.pt/millenium/Millenium24/default.htm. Acesso 13 jan 2010.

6. Apndice A

Conceitos PreliminaresDenomina-se grafo o conjunto G (V, E), onde V um conjunto finito e no vazio e E um conjunto de pares ordenados, de elementos distintos de V.

Ou seja, um grafo G definido como sendo um par ordenado (V, E), no qual V um conjunto e E uma relao binria sobre V. Os elementos de V so denominados vrtices (pontos, ns ou nodos) e os pares ordenados de E so denominados arestas (linhas ou arcos) do grafo G (Figura 2). Diz-se que uma aresta incidente sobre os ns que ela conecta. Dois vrtices quaisquer que estejam conectados por uma aresta so chamados adjacentes. Tambm so chamadas de adjacentes duas arestas que se conectam a um mesmo vrtice.

Figura 11. Grafo com 6 vrtices e 7 arestas

Um arco conectando o vrtice v com o vrtice w ser denotado pelo par no ordenado (v, w). Um grafo dito orientado quando suas arestas possuem orientao ou direo, em um grafo no orientado, uma aresta ligando dois vrtices v e w pode ser representada por (v, w) ou (w, v).

Um grafo dito valorado quando atribui-se valores s suas arestas. A ordem de um grafo G dada pela cardinalidade do conjunto de vrtices. Em um grafo no orientado, o grau de um vrtice o nmero de arcos que incidem sobre ele. No caso do grafo ser dirigido, fala-se em grau de entrada e grau de sada. O grau de entrada o nmero de arestas que chegam a ele, e o grau e sada o nmero de arestas que saem dele.

Um vrtice que no possui aresta incidente dito isolado ou vrtice de grau zero, e um vrtice de grau 1 dito pendente.

Um lao uma aresta ou arco do tipo a = (v, v), ou seja, que relaciona um vrtice a ele prprio.

Um grafo regular de grau k, ou k-regular, quando todos os seus vrtices tm o mesmo grau k.

Um grafo dito conexo se for possvel visitar qualquer vrtice, partindo de um outro e passando por arestas, sendo que esta visita sucessiva denominada caminho.

Um grafo dito planar se existe alguma representao geomtrica de G que possa ser desenhada em um plano, de modo que no exista cruzamento de arestas.

Caminho qualquer seqncia de arestas onde o vrtice final de uma aresta o vrtice inicial da prxima.

Matriz de Adjacncia uma matriz de ordem n, onde associa-se cada linha e coluna a um vrtice, sendo n o nmero de vrtices do grafo.

Os dados estruturais correspondem a valores nulos associados a ausncia de ligaes e valores no nulos, geralmente 1, quando o grafo for no valorado, nas posies (i,j) associados a presena de arcos, ou seja.

1, se existe a aresta i,j 0, se a aresta i,j no existe

ai,j={}