7/Mar/2018 – Aula 6

6. Trabalho e energia cinética 6.1 Trabalho de uma força 6.2 Trabalho de várias forças 6.3 Lei do trabalho-energia cinética 6.4 Molas 6.4.1 Lei de Hooke 6.4.2 Trabalho 6.5 Potência

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6.1 Trabalho de uma força

O trabalho de uma força é definido como o produto dessa força pelo deslocamento, quando forem paralelos.

dW=F d

Wéë ùû = Ne wt o n ́m e t r o = J o ule , J

W[ ] = ML2T- 2éë

ùû

Wéë ùûSI

= Jéë ùû = Jouleé

ëùû = N mé

ëùû

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6.1 Trabalho de uma força

Se o deslocamento e a força não forem paralelos, o trabalho é

Uma força pode realizar trabalho positivo, negativo ou nulo, dependendo da orientação relativa entre o vetor força e o vetor deslocamento:

W=F dcosq

W=F||d=(F cosf)d

=F dcosf

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6.1 Trabalho de uma força

Exemplo: uma pessoa levanta um objeto de massa m, desde o chão até à altura h. Qual é o trabalho realizado pela pessoa?

Se, em seguida, a pessoa deixar cair o objeto, qual é o trabalho realizado pela força gravítica?

Trabalho contra a força gravítica

simulação

Wp =FDy=mgh

Wg =FDy=mgh

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6.1 Trabalho de uma força

Se a força for constante, pode-se interpretar graficamente o trabalho realizado como a área do retângulo W = F Dx.

Se a força não for constante, é possível aproximá-la a uma sucessão de valores constantes. Nesse caso,

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6.2 Trabalho de várias forças

Se houver mais do que uma força a atuar num objeto, o trabalho realizado pela força resultante é

Caso geral: várias forças aplicadas e deslocamento a 3 dimensões:

ExemploUm camião é transportado para dentro de um navio por um guindaste. A massa do camião é 3000 k g e a força aplicada pelo guindaste é 31 kN. Esta força é suficiente para vencer a atração gravitacional (o “peso”) e é aplicada para elevar o camião 2 m. Determine o trabalho realizado

a) pelo guindaste sobre o camião; b) pela gravidade sobre o camião;

c) sobre o camião.

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a)

b)

c)

Wguind-cam =FyDy=(31 kN)(2 m) =62 kJ

Wgrav-cam =mgDy

=(3000 kg)(9,81 m/s2)(- 2 m)

=- 58,9 kJ

Wtotal =Wguind-cam +Wgrav-cam

=(62 kJ)+ (- 58,9 kJ) =3,1 kJ

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6.3 Lei do trabalho-energia cinética

A partir de uma das equações do movimento, , podemos escrever

À quantidade dá-se o nome de energia cinética. Então,

Lei do trabalho-energia cinética: o trabalho total realizado sobre um objeto é igual à variação da energia cinética desse objeto.

v2 =v02 +2aDx

vf2 =vi

2 +2aDx Þ mvf2 =mvi

2 +2 ma( ) Dx

mvf2 =mvi

2 +2FDx=mvi2 +2W

1

2mvf

2 =1

2mvi

2 +W

1

2mv2

W=1

2mvf

2 -1

2mvi

2 =Ecin f - Ecin i W=DEcin

ExemploA massa do Space Shuttle é 8x104 k g e o período da sua órbita (400 km acima do solo) é 90 min. O raio da Terra é cerca de 6400 km. Faça uma estimativa: a) da sua energia cinética;b) do trabalho realizado pela força gravítica entre o lançamento e a órbita.

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a)

b)

Wgrav =DEcin =Ecin órbita - Ecin lançamento

=

2p 2(8 1́04 kg) (400 1́03 m+6400 1́03 m)éëê

ùûú

2

(90 min)(60 s/min)éë

ùû2

»2,5 1́012 J =2,5 TJ

Ecin lançamento =0 Þ Wgrav =Ecin órbita

v=2prT

Þ Ecin órbita =1

2m

2prT

æ

èç

ö

ø÷

2

Wgrav =Ecin órbita »2,5 TJ

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6.4 Molas

Se um material exercer uma força de restituição sobre um objeto, diz-se elástico. Essa força de restituição repõe o sistema na sua posição de equilíbrio.

Exemplos: • molas• elásticos

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6.4.1 Lei de Hooke

Lei de Hooke: a força de restituição é proporcional ao simétrico do deslocamento:

Unidades da constante k da mola: N/m = k g/s2.

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6.4.1 Lei de Hooke

A força de restituição opõe-se sempre à compressão ou extensão da mola.

Molas

animação

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6.4.2 Trabalho

Trabalho realizado pela força de restituição de uma mola:

Nota: trabalho realizado por uma força oposta à força de restituição:

ExemploUm bloco de massa m = 4 k g está ligado a uma mola, com k = 400 N/m. Inicialmente, a mola é comprimida 5 cm. Despreze o atrito entre o bloco e o plano e determine:a) o trabalho realizado pela mola sobre o bloco, quando este se move da posição inicial x = x1 = -5 cm para a

posição de equilíbrio x = x2 = 0 cm;

b) a velocidade do bloco em x2 = 0 cm.

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a)

b) W=1

2mvf

2 -1

2mvi

2Þ vf

2=vi

2 +2Wm

vf =2Wm

=2(0,5 J)

(4 kg)=0,5 m/s

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6.5 Potência

A potência é uma medida da taxa a que é realizado o trabalho:

Unidades de P : J/s = Watt (W)

Como

P=DWDt

® P =dWdt

ExemploUm pequeno motor é usado para operar um elevador com 300 N de peso. Pretende-se levantar uma carga de tijolos, com 500 N de peso, até à altura de 10 m. Isso é feito a velocidade constante e demora 20 s. Qual é a potência (aplicada) do motor?

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P=(500 N +300 N)(10 m/20 s) =400 W