6 vibração de sistemas continuos

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Vibração e Ruido

Universidade Metodista de Angola Faculdade de Engenharia Mecâtronica

Prof. MSc. Davyd da Cruz Chivala

Davyd da Cruz Chivala 2

Programa

5-Vibração de Sistemas Continuos

5.1-Introdução 5.2- Vibração transversal de cordas e cabos 5.3- Vibração longitudinal de barras 5.4-Vibração lateral de Vigas 5.5-Metodo de Rayleigh 5.6-Metodo de Rayleigh-Ritz


5-Vibração de Sistemas Continuos 5.1-Introdução

Ate agora vimos casos discretos aonde a massa a mola

e amortecedor são assumidos estar em certos pontos discretos. Contudo, exitem sistemas aonde esta abordagem não é possivel.

Para tal nos devemos considerar uma distribuição continua da massa, mola e amortecedor, e assumimos que todas as infinitas partes que constituem o corpo vibram livremente, por esta razão diz-se que sistemas continuos são sistemas com infinitos graus de liberdade


5-Vibração de Sistemas Continuos 5.1-Introdução

Quando o sistema é modelado como discreto as

equações diferenciais ordinarias que descrevem os movimentos são simples de resolver, por outro lado quando sistemas é modelado como continuo as equaçes diferenciais parciais que o descrevem tem solução mais complexa.

A equação diferencial parcial para obtenção das frequencias é de quarta ordem e para resolução da mesma teremos de recorrer as soluçoes iniciais e as condições de fronteira.


5-Vibração de sistemas continuos 5.2-vibração transversal de cordas e cabos

Considere o sistema constituido de um cabo de

comprimento l sugeito a uma força por unidade de comprimento como mostrado na figura abaixo

( )txf ,



O deslocamento transversal é assumido como

sendo pequeno. Olhando para o troço AB ( )txw ,



A somatoria de forças que actuam sobre a corda é:

(1)

Aonde P é a força nas extremidades da secção AB, ρ a

massa por unidade de comprimento, e θ o angulo que a AB faz com o eixo x. para o comprimento elementar dx temos:

( ) ( ) ( ) 2

2

sin,sintwdxPtxfddPP

∂∂

=−+++ ρθθθ

xw

dxxPdP

∂∂

=≈

∂∂

=

θθ tansin



E

Simplificando (1) vem:

se admitir-mos que a corda é uniforme e que a força longuitudinal é constante teremos então:

( ) ( ) dxxw

xwdd 2

2

tansin∂∂

+∂∂

=+≈+ θθθθ

( ) ( ) ( ) ( )2

2 ,,,t

txwxtxfx

txwPx ∂

∂=+

∂∂

∂∂ ρ

( ) ( ) ( )2

2

2

2 ,,,t

txwtxfx

txwP∂

∂=+

∂∂ ρ



Se , o sistema vibra em vibração livre e a

equação sera:

ou

(2) que é a equacão da onda.

( ) ( )2

2

2

2 ,,t

txwx

txwP∂

∂=

∂∂ ρ

( ) 0, =txf

( ) ( )2

2

2

22 ,,

ttxw

xtxwc

∂∂

=∂

∂

ρPc =2



A equação (2) é resolvida por separação de variaveis, ou

seja tem como solução: (3) Subistindo em (2) obtemos:

(4)

Verifica-se que o lado esquerdo tem dependençia

apenas de x e o lado direito apenas de t, então o valor comun a estas equações é uma constante qualquer a .

( ) ( ) ( )tTxWtxw =,

( ) ( )2

2

2

22 1dt

tTdTdx

xWdWc

=



dito isto tens que: :

(5)

Que é escrita

(6)

(7)

( ) ( ) adt

tTdTdx

xWdWc

== 2

2

2

22 1

( ) 022

2

=− Wca

dxxWd

( ) 02

2

=− aTdt

tTd



Sendo que a e uma constante geralmente negativa

podemos então escrever subistituindo em (6) e (7) obtemos:

(8)

(9)

Que tem soluções dada por:

2ω−=a

( ) 02

2

2

2

=+ Wcdx

xWd ω

( ) 022

2

=+ Tdt

tTd ω



(10) (11)

Aonde é a frequencia de vibração e A, B,C e D contantes obtidas pelas condições de fronteira e condições iniciais.

( )

( ) tDtCtTcxB

cxAxW

ωω

ωω

sincos

sincos

+=

+=

ω



Condições de fronteira

( ) 0,0 == txw( ) ( )tlwkwx

txwPlx

,,=−=

∂∂

=



Condições de fronteira

( ) 0,

,0

=∂

∂

= lxxtxw



Exemplo 1: determine a equação de movimento de uma

corda fixada nos dois extremos?

Atendendo a que a corda esta fixada nos dois extremos teremos condições de fronteira dada por

Subistituindo em 10 teremos: sendo que B não pode ser igual a zero teremos

( ) 0,0 == txw ( ) 0, == tlxw

0sin =clB ω


5-Vibração de sistemas continuos 5.3-vibração longuitudinal de barra

Considere uma barra elastica de comprimento l e de

secção transversal variavel A(x)

(1) σ tensão axial , E modulo de elasticidade do corpo

( ) 0,0 == txw ( ) 0, == tlxw

xuEAAP∂∂

==σ



U deslocamento axial e extensão axial. Se

assumir-mos a existençia de forças externas por unidade de comprimento f(x,t), teremos que a soma das forças será:

teremos

( ) 2

2

tuAdxPfdxdPP

∂∂

=−++ ρ

xu∂∂

dxxPdP∂∂

=



(2) Subistituindo 1 em 2 teremos

(3)

Para uma barra uniforme teremos:

2

2

tuAdxfdxdx

xP

∂∂

=+∂∂ ρ

( ) ( ) ( ) ( ) 2

2

,,tuxAtxf

xtxuxEA

x ∂∂

=+

∂∂

∂∂ ρ



Se vibra livremente:

(4)

( ) ( ) ( )2

2

2

2 ,,,t

txuAtxfx

txuEA∂

∂=+

∂∂ ρ

( ) ( )

ρEc

ttxu

xtxuc

=

∂∂

=∂

∂2

2

2

22 ,,



A solução será dada por:

Aonde U(x) depende simplemente de x e T(t) depende do tempo.

( ) ( ) ( ) ( )tDtCcxB

cxAtTxUtxu ωωωω sincossincos, +

+==



Condições de Fronteira

( )

( ) 0,

0,0

=∂∂

=

tlxu

tu( )

( ) 0,

0,0

=∂∂

=∂∂

tlxu

txu

( )( ) 0,

0,0==

tlutu



Exemplo: calcule a frequência natural da barra

apresentada na figura abaixo

Em x=o teremos u(0,t)=0 ou A=0 Em x=l teremos

( ) ( )tltuMtl

xuAE ,, 2

2

∂∂

−=∂∂



Teremos então:

Simplificando teremos:

ou e

( ) ( )tDtclMtDt

cl

cAE ωωωωωωωω sincossinsincoscos 2 +=+

clM

cl

cAE ωωωω sincos 2=

βαα =tan

clωα =

Mm

MlA

McAEl

===ρβ 2



Estimando o valor de ω com base no racio β teremos

Valor de β

0.01 0.1 1 10.0 100.0 ω 0.1 0.3113 0.8602 1.4291 1.5549


5-Vibração de sistemas continuos 5.4- Vibração lateral de vigas

Consideremos o diagrama de corpo livre da viga

apresentado abaixo:



Secçionado-a teremos:

M(x,t) momento flector , V(x,t) esforço cortante e f(x,t) força externa por unidade de comprimento



a soma de força aplicada a viga será:

(1)

Somando os momentos de força aplicadop em O

teremos:

(2)

e

( ) ( ) ( )txtwdxxAVdxtxfdVV ,)(, 2

2

∂∂

=+++− ρ

( ) ( ) ( ) 02

, =−++−+ MdxdxtxfdxdVVdMM

dxxVdV∂∂

= dxx

MdM∂∂

=



arranjando as equações (1) e (2) teremos:

(3)

(4)

Subistituindo (4) em (3) teremos:

(5)

( ) ( ) ( )txtwxAtxftx

xV ,)(,, 2

2

∂∂

=+∂∂ ρ

( ) ( ) 0,, =−∂∂ txVtx

xM

( ) ( ) ( )txtwxAtxftx

xM ,)(,, 2

2

2

2

∂∂

=+∂∂

− ρ



Usando a teoria de Euler-Bernoulli:

(6)

Subistituindo (6) em (5) teremos:

(7)

Para vigas uniforme teremos:

(8)

( ) ( ) ( )txxwxEItxM ,, 2

2

∂∂

=

( ) ( ) ( ) ( ) ( )txftxtwxAtx

xwxEI

x,,, 2

2

2

2

2

2

=∂∂

+

∂∂

∂∂ ρ

( ) ( ) ( )txftxtwAtx

xwEI ,,, 2

2

4

4

=∂∂

+∂∂ ρ



Para vivração livre teremos:

(9)

Derivada de segunda ordem no tempo: duas condições iniciais

Derivada de quarta ordem no espaço : 4 condiçoes de fronteira

( ) ( )

AEIc

txtwtx

xwc

ρ=

=∂∂

+∂∂ 0,, 2

2

4

42



Solução: separação de variaveis. (10)

Subistituindo em (9) teremos:

(10)

Aonde é uma constante positiva

(11)

( ) ( ) ( )tTxWtxw =,

( )( )

( )( ) 22

2

4

42 1 ω==−= adt

tTdtTdx

xWdxW

c

2ω=a( ) ( ) 044

4

=− xWdx

xWd β



(12) Aonde: A equação (12) tem como solução:

EIA

c

2

2

24 ωρωβ ==

( ) ( ) 022

2

=+ tTdt

tTd ω

( ) tBtAtT ωω sincos +=



A solução da equação (11)será dada por: (13) Aonde: C e s são constantes. Subistituindo em (11) (14)

( ) sxCexW =

044 =− βs

6 vibração de sistemas continuos

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