6 - guiando a luz

8/15/2019 6 - Guiando a Luz

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Guiando a Luz

Introdução

Neste capítulo vamos analisar um dos mais importantes componentes ópticos existente, oguia de ondas eletromagnéticas. Com ele, passou a ser possível se confinar a luz numa regiãolimitada do espaço, fazendo-a propagar ao longo do dispositivo segundo caminhos pré-determinados e permitindo a possibilidade da transmissão de sinais luminosos de modo similar aoque se faz em eletrônica com fios metálicos. É o que vamos encontrar em uma fibra óptica, um guiade forma cilíndrica, feito de vidro, e que faz o papel de um fio metálico. Além do mais, passou a ser possível também se processar o sinal das guias que conduzem a radiação através de processos dealteração das propriedades de guiamento. A integração destes componentes a outros componentesópticos alarga em muito o escopo das suas aplicações, dando lugar a um novo ramo da engenharia -o da Fotônica. Portanto se faz necessário dispensarmos alguma atenção a estes componentes de umsistema de comunicação, o guia de ondas.

6.1 – Entendendo o Guiamento da Luz com o Guia Metálico Planar

Nesta seção, o nosso objetivo é entender o que é e como funciona um guia de ondas. Comoo nome diz, um guia de ondas é um elemento capaz de confinar a luz no seu interior levando-a a propagar ao longo de uma dada direção, chamada de direção longitudinal. A fig.(6.1-1) ilustra oguiamento da luz em um guia de ondas, comouma fibra óptica. Para entendermos ofuncionamento de um guia de ondas, se faznecessário entender qual é o significado do processo físico chamado guiamento da luz, ouseja, o processo através do qual a luz entra emum guia de ondas e consegue propagar no seuinterior.

O guia mais simples que poderíamosfalar seria um guia plano constituído de doisespelhos dispostos de forma paralela entre si.Imaginemos que neste arranjo de espelhosentre um feixe de luz, com raios paralelos, porum dos seus lados. Para facilitar a visualizaçãoa fig.(6.1-2) mostra o arranjo mencionado como raio de luz penetrando entre os espelhos por

Fig.(6.1-1) - Guiamento de luz em um guia (fibra óptica).


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Óptica Aplicada a Problemas de Engenharia 160

um dos seus lados, o esquerdo no caso dafigura. Os raios estão contidos no plano x-z. Através de múltiplas reflexões este

feixe avança para a direita, podendo sair pelo lado oposto ao que entrou.O processo através do qual a luz

fica aprisionada entre os dois espelhos pela reflexão é chamado de confinamento,e ele é um do dois processos físicosimportantes para que possa haver oguiamento da luz. Entretanto, ele só, semo segundo, não conduz ao guiamento. Ouseja, a luz pode entrar por um dos ladosdo guia, ser confinada, mas não sair dooutro lado. Isto, também, dependerá do

outro processo físico, que é a interferência entre as ondas que estão sendo confinadas pelo guia.Vejamos em que condições é possível luz entrar em um dos lados do guia, ser confinada e sair dolado oposto, para que haja de fato um guia de ondas.

Observando-se a fig.(6.1-3), se vê um dos raios de luz com a indicação do seu vetor deonda que é designado por k. Este vetor tem duas componentes k z e k x. Vamos seguir um dos raiosdo feixe de luz entrando pelo lado esquerdo. Após a reflexão no espelho superior o raio de luz mudade direção propagando-se para baixo de forma que o vetor de onda passará a ter componentes k z e -k x, já que a componente k x trocou de sinal por conta da reflexão. Após a segunda reflexão, no

espelho de baixo, os componentes do vetor de propagação voltam a ser k z e k x. E assim será,sucessivamente, enquanto o raio de luz avançar na direção z (longitudinal), uma vez que acomponente k z não troca de sinal.

Em um dado ponto P, indicado na fig.(6.l-3), vemos que dois raios de luz estão se cruzando:o raio, um feixe de luz refletido no espelho superior e outro vindo de uma reflexão no espelhoinferior. Desta forma no ponto P há dois campos elétricos, de maneira que o campo elétrico total é asoma destes dois. Diremos que estes campos se superpõem e portanto estão dando lugar aofenômeno da interferência. Aqui encontramos o segundo elemento chave da propagação da luz emum guia de ondas, a interferência das ondas que estão propagando dentro dele. Como sabemos, podemos ter na interferência dos dois campos duas situações extremas: a construtiva e a destrutiva. Nesta última os campos se anulam e somem. Isto nos indica que precisamos entender como a.interferência afeta o guiamento de luz em um guia.

P

x

k a

x= a

x= 0

Fig.(6.1-3) – Diagrama de raios de luz penetrando e propagando em um guia metálico planar,sendo indicada a dimensão do guia, o vetor de propagação k. O ponto P, indicado na figura, mostraa interseção entre dois raios de luz propagando em sentidos opostos na direção transversal do guia(x).

MODOS TEx

zy

Fig.(6.1-2) – Representação de um guia planar feito com doisespelhos planos. Na figura vemos os raios de luz se deslocando aolongo do guia devido a reflexões em ambos os espelhos, estando ocampo elétrico orientado paralelamente a estes.


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Guiando a Luz 161

Vamos dizer que as ondas de campo elétrico são do tipo harmônico, ou seja:

)tyk xk sen(EE yxo ω−+= (6.1-1)

Assim sendo, as duas ondas no ponto P, possuindo os vetores de propagação (k z,k x) para a onda queestá subindo em x e (k z,-k x) para a onda que está descendo, serão descritos por:

)tzk xsen(k EE zx1 ω−+= k=(k x,k z)(6.1-2)

)tzk xsen(-k EE zx2 ω−+=′ k=(-k x,k z)

O efeito total delas é obtida pela superposição das duas ondas:

)tzk xsen(-k E)tzk xsen(k EEEE zx2zx1r ω−++ω−+=′+= (6.l -3)

Consideremos que a luz é totalmente refletida pelos espelhos metálicos. Temos, então, que em x=0e x=a, o campo total deverá ser nulo. Em um metal, a radiação de fato evanesce ao longe de umadistancia δ a partir da superfície, cujo valor para frequências ópticas é muito pequeno.

• x=0

Para x=0, a eq.(6.1-3) ficará:

)tz)sen(k EE(E z21r ω−+= (6.l -4)

A validade desta condição, para qualquer instante e posição ao longo de z, exige que E1=-E2=Eo, oque nos permite escrever:

[ ])tzk xsen(-k )tzk xsen(k EE zxzxor ω−+−ω−+= (6.l -5)

Esta equação poderá ser escrita de uma outra forma, usando-se a expressão trigonométrica:

( ) ( )⎥⎦⎤

⎢⎣

⎡ φ+α⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ φ−α=φ−α2

1cos

2

1sen2sensen

com ela a eq.(6.1-5) será escrita na forma:

[ ])tzos(k c)xsenk E2(E zxor ω−−= (6. l -6)

• x=a

Além da condição de campo nulo para x=0, também devemos ter E=0 para x=a. Esta últimacondição leva a eq.(6.1-6) a

[ ] 0)tzos(k c)asenk E2( zxo =ω− (6. l -7)


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Tal condição ocorrendo para todo e qualquer valor de z e t, requererá que o termo senk xa seja nulo, já que Eo=0 significa a ausência do campo propagante. Daí, vem:

k xa=mπ k max

= π m=1,2,3,... (6.1-8)

Como vemos, enquanto k z não tem, aparentemente, nenhuma restrição, os valores permitidos de k x são discretos por conta da limitação espacial determinada pelos espelhos e a necessidade de umainterferência construtiva. Cada um desse valores de k x, oriundo de um valor de m, corresponde a ummodo transversal do guia (modo de vibração). A partir deste ponto usaremos a designação k z=β queé a constante de propagação do modo.

O resultado obtido, expresso nas eqs. (6.l-4) e (6.l-5), nos mostra que a propagação do feixedevido às reflexões e interferências (como no ponto P) pode ser descrita como sendo o resultado da propagação de duas ondas:

- uma propagando-se ao longo de z e descrita por cos(ωt-βz),

- uma segunda onda, esta estacionária (senk xx) , na direção perpendicular aosespelhos.

Desta maneira, um modo é uma estrutura de luz possuindo uma distribuição na direçãotransversal do guia que propaga ao longo da sua direção longitudinal. Esta estrutura se forma pormeio dos dois fenômenos já apresentados, o confinamento e a interferência construtiva entre osraios de luz.

A fig.(6.1-3) mostra a distribuição espacial da intensidade de campo elétrico entre osespelhos que formam o guia metálico e a distribuição espacial da intensidade de luz,correspondente, numa visão de frente para a saída do guia. Como se vê, os dois modos possuemdiferenças nas suas distribuições espaciais e portanto nas intensidades de luz dentro do guia. Estasdistribuições de intensidade de luz são as estruturas de luz que propagam ao longo da direçãolongitudinal do guia.

Intensidade de luz

Vista Frontal

m=1

m=2

z

x

x

x=0

x=a

x=0

x=a

z

m=1

m=2

Vista Lateral do Guia

Fig.(6.1-3) – A figura da esquerda mostra a distribuição de campo dos dois primeiros modos de propagação deum guia metálico planar. À direita está intensidade de luz dos mesmos modos numa vista frontal do guia.


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Guiando a Luz 163

6.1-1– Dispersão do Guia Metálico A seguir iremos discutir a propagação dos modos de um guia metálico em maiores detalhes,

onde obteremos as suas propriedades cinéticas. Veremos que, também os valores de β, são restritoscomo os de k x. Para iniciar a nossa análise tomemos a relação

k k k z x2 2 2= + , (6.1-9)

Usando os valores possíveis de k x, obtemos:

2

2

222

na

mc1

c

n

a

mk ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ωπ

−ω

=π

−=β (6.1-10)

A eq.(6.1-10) é uma relação muito importante por determinar a relação de dispersão do guia,ou seja a relação β(ω) entre a constante de propagação do modo e a freqüência da onda. A seguirveremos algo sobre isto. Antes, porém, éinteressante se entender qual o significadogeométrico dos diferentes valores de β,conforme é dado na eq. (6.1-10). Paravisualizarmos isto, observemos a fig.(6.1-5) na

qual temos a representação gráfica dos vetoresde propagação k em função das suascomponentes k x=mπ/a e β. Isto é feito tomando-se uma circunferência cujo raio é igual aomódulo de k. Na abcissa temos os valores de β,enquanto na ordenada temos os valores de k x, osquais são discretos tendo valor unitário igual aπ/a.

Vemos, na figura, que os diferentes valoresde m (m=1,2,3...), resultando nos k x dosdiversos modos do guia, determinam diferentes

β

k

k x

π/a

2π/a

3π/a

αµ

Fig.(6.1-5) – Representação gráfica das componentes dovetor de propagação k de uma onda em um guia metálico

planar.

Fig.(6.1-4) – Ilustração da correspondência entre as distribuições espaciais dos modos e um guia metálico planar e as inclinações dos raios de luz.


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comprimento de onda, a redução do tamanho do guia é o caminho para que o guia venha a sermonomodo.

No caso deste guia metálico, para um dado comprimento de onda, a redução do tamanho do

guia pode provocar a não existência de nenhum modo no guia.

• Freqüência de Corte

Outra propriedade importante é obtida examinando-se o fato de β ser, sempre, um número real.Deste modo a onda no guia será do tipo propagante. Assim, através da eq.(6.l-8), propagantesexistem caso seja satisfeita a condição:

1v

a

m

na

mc≤

ωπ

=ωπ

(6.1-17)

Logo, se a onda é propagante, sempre deverá ser satisfeita a condição:

a

vmπ≥ω ou

a2

mv≥ν ou

mn

a2

v

c

m

a2=≤λ (6.1-18)

onde n=c/v é o índice de refração do meio. Portanto, apenas as freqüências satisfazendo à condição(6.1-18) podem propagar no guia metálico planar em estudo. Cada modo possível terá umafreqüência igual a νc=mv/2a, abaixo da qual a propagação é impossível. Tal valor de νc é chamadode freqüência de corte do modo. Logo, guias de ondas atuam como filtros de freqüências (oucomprimentos de onda).

EXEMPLO(6.1-1) – Mostre que a velocidade de propagação de um modo m, em um guia metálico planar, é dada por (c/n)cosαm, onde αm é o ângulo formado entre o raio de luz referente ao modo me a superfície dos espelhos.

Solução:

Para resolvermos o problema consideremos a fig.(6.1-6) na qual vemos um raio de luzassociado ao modo m em propagação dentro do guia metálico planar. Podemos dizer que avelocidade de propagação do modo é dada pela distância percorrida na direção da propagação(direção z) zm dividida pelo tempo gasto tm. As duas grandezas citadas são calculadas por:

mmm cosLz α= (6.1-19)

c

nL

v

Lt m

mm == (6.1-20)

Com isto podemos dizer que:

n

cosccosv

L

cosLvv mm

m

mmm

α=α=

α= (6.1-21)


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Guiando a Luz 167

Como, também é verdade que cosαm=β/k, a eq.(6.1-21) poderá ser re-escrita na forma:

vk

vmβ

= (6.1-22)

Comparando o resultado obtido com a eq.(6.1-13) percebemos que a velocidade obtida éexatamente a velocidade de grupo. Isto comprova que a velocidade calculada se refere àquela com aqual o modo avança ao longo do guia.

EXEMPLO(6.1-2) - Dois espelhos paralelos têm uma separação a = 0.75µm formando um guia deondas. Encontre a relação de dispersão ωxβ, supondo que o interior do guia está vazio.

Solução

Antes de iniciarmos a solução do problema, vamos fazer um comentário sobre os espelhos.Eles poderão ser constituídos de duas lâminas metálicas ou dois filmes metálicos depositados emum substrato, como, por exemplo, lâminas de vidro. Em ambos os casos eles são opticamente polidos, ou, numa linguagem vulgar, lisos. Por isso devemos entender que as irregularidades (riscos,saliências, afundamentos, etc.) nas superfícies metálicas, têm dimensões muito menores que ocomprimento de onda da radiação sob confinamento.

A relação de dispersão é obtida através da eq. (6. l -8), onde substituímos k pela expressãok=ω/c, pois n=1. Disto resulta:

ω β π

β= + = ⋅ +⋅

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠⎟−c

m

am2

2 2

28 2 2

6

2

3 10314

0 75 10

.

.

ou

21328 m1075,1103 ⋅+β⋅=ω

Com esta última equação podemos traçar as curvas de dispersão apresentadas na fig.(6.1-6).Como se pode ver na figura, há uma faixa de freqüências (faixa escura da figura) dentro da qual nãohá possibilidade de existir qualquer modo propagante. Ou seja, para os valores de freqüência

Lmcos αm

αm

L m

v m

Fig.(6.1-6) – Raios de luz do modo m propagando no guia metálico planar.


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daquela faixa, os valores de k são menores do que k x=π/a. Neste caso não pode existir um valor de β que seja real, bastando se observar a eq.( 6.1-10).

As curvas da fig.(6.1-6) determinam as duas velocidades já discutidas, de fase e de grupo.

A primeira é a relação entre os valores de ω e β comectados pelas curvas, enquanto a segunda vemda derivada ∂ω/∂β, sendo pois a inclinação da curva para um dado valor de A linha tracejada dacurva indica a relação de dispersão correspondente a uma onda propagando no espaço livre.

________________________________________________________________________________

6.1-2 - Tempo de Atraso em um Guia Metálico Planar

Após a discussão da dispersão de um guia, podemos passar à discussão do tempo de atraso referente aos modos. Tempo de atraso como já foi discutido no cap.2 é o tempo gasto por um pacotede onda eletromagnética para percorrer uma dada distância L. Um modo pode ser considerado comoum pacote de onda, possuindo pois uma velocidade de grupo.

Dessa maneira, para que um modo percorra uma distância L o tempo consumido será dado por:

c

LN

v

L m

gm

m ==τ (6.1-18)

e com o uso da eq.(6.1-15), teremos:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

λ∂

∂λ−=τ m

m

mm

n

n1

c

Ln (6.1-19)

Já se vê na eq.(6.**) que os tempos de atraso para cada modo é diferente dos demais, já quedepende do número que quantifica os modos (m).

Desta forma, caso se esteja usando um guia multimodo para a transmissão de pulsos de luz,como o pulso será transportado pelos diferentes modos do guia, conquanto partam ao mesmo

ω /c( x 1 0 6 s - 1 )

β ( x 1 0 2 m -1 )0 2 4 6 8 1 0

0

2

4

6

8

1 0

m = 5

4

3

2

1

a = 0 , 7 5 µ m

Fig.(6.1-6) – Dependência entre a freqüência da luz propagante e a constante de propagação do modo para umguia metálico com0,75 µ m de espessura. A faixa escura mostra a região de freqüencias dentro da qual não podehaver propagação de modos.


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6.2 - Guia Metálico - Óptica Ondulatória

Antes de estudar guias de ondas formados por variações espaciais do índice de refração,

vamos avançar um pouco mais em guias formados pelos espelhos planos paralelos. Consideraremosque o metal dos espelhos tenha uma condutividade infinita. Agora, vamos partir da solução daequação de ondas (3.2-1) e levaremos em conta o aspecto vetorial dos campos elétrico e magnético.

Tomemos em consideração duas possíveis configurações de campo, designadas por TE eTM. Na primeira o campo elétrico está orientado de modo paralelo à superfície metálica, enquantona segunda é o campo magnético aquele que está orientado de forma paralela a esta superfície.Antes de analisarmos cada um destes casos, vamos deixar estabelecidas as condições de contorno aserem respeitadas pelos campos nas superfícies metálicas.

De uma forma geral as condições são:

E⊥=σ/ε (σ=densidade superficial de carga)E⎟⎟ =0

B⊥=0B⎟⎟ = i (i= corrente por unidade de comprimento)

onde ⊥ e ⎟⎟ identificam, respectivamente, as componentes dos campos perpendiculares e paralelosàs superfícies.

6.2.1 - Modos TE

Estudaremos primeiro a configuracão TE para a qual, segundo a fig(6.1-1), E=Ej. Pelas leis deMaxwell, o campo de indução magnética B terá duas componentes a saber: Bz e By A equações de ondas para os campos elétrico e magnético serão:

0tv

1

zyx 2

2

22

2

2

2

2

2=

∂

∂−

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂ EEEE (6.2-1)

e

0tv

1

zyx 2

2

22

2

2

2

2

2=

∂

∂−

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂ BBBB (6.2-2)

Para solucionarmos o problema, precisaremos resolver apenas a eq. (6.2-l). O campo de induçãomagnética é obtido a partir da lei de Faraday.

A solução da eq.(6.2-1) pode ser feita utilizando-se o método da separação das variáveis, segundo o qual a solução será decomposto em duas partes: a espacial e a temporal. Com isto temosque o campo será dado por:

)t(T)z,y,x(E)t,z,y,x( =E (6.2-3)

Substituindo-se a eq.(6.2-3) na eq.(6.2-1) encontraremos:


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Guiando a Luz 171

0t

T

v

E

z

E

y

E

x

ET

2

2

22

2

2

2

2

2=

∂

∂−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

onde suprimimos as variáveis do argumento para simplificar a notação. Dividindo-se a equaçãoacima por ET temos

0t

T

T

1

v

1

z

E

y

E

x

E

E

12

2

22

2

2

2

2

2=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

∂

∂−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

Pelo método da separação das variáveis teremos a igualdade entre os termos dos colchetes, devendo ser eles iguais a uma mesma constante, chamada de constante de separação das variáveis.Chamando esta constante por -ω2, encontraremos as seguintes equações:

0Tdt

Td 22

2=ω+

e

0Ek z

E

y

E

x

E 22

2

2

2

2

2=+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

onde se definiu

kv=ω

A eq.(6.1-**) tem solução harmônica a do tipo:

tioeT)t(T

ω±=

Como k= nk o, para um meio de índice de refração n, temos:

0Ek nz

E

y

E

x

E 2o

22

2

2

2

2

2

=+∂

∂+

∂

∂+

∂

∂ (6.2-4)

A solução da equação (6.2-4) pode ser obtida, também, através do método da separação devariáveis, com o qual teremos:

)z(Z)y(Y)x(X)z,y,x(E =

onde as funções X, Y e Z descrevem o campo, segundo as direções x, y e z, respectivamente.Substituindo-se na eq.(6.2-4) temos:

0XYZk ndz

ZdXY

dy

YdXZ

dx

XdYZ 2o

22

2

2

2

2

2

=+++


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dividindo-se esta equação por XYZ, temos:

0k ndz

Zd

Z

1

dy

Yd

Y

1

dx

Xd

X

1 2o

2

2

2

2

2

2

2

=+++

Como o campo elétrico se propaga ao longo de z, sofre a ação dos espelhos ao longo da direção x enão tem nenhuma dependência ao longo de y, temos:

0dy

Yd2

2

=

ctek ndx

Xd

X

1

dz

Zd

Z

1 22o

22

2

2

2

≡β−=⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−=

Daí temos duas equações a resolver:

0Zdz

Zd 22

2=β+

e

0Xq dx

Xd 22

2

=+ (6.5-6)

com

( )22o22 k nq β−= (6.2-7)

As soluções das eqs.(6.2-5) e (6.2-6) serão:

( ) zizi BeAezZ β−β += (6.2-7)

( ) iqxiqx DeCezX −+= (6.2-8)

Estas são as soluções gerais. Entretanto, algumas operações ainda devem ser feitas para chegarmosà solução final do problema. Quais? Primeiro temos de considerar as condições de contorno do problema envolvendo as duas direções, z e x.

• Solução Z(z)

Para o caso que estamos resolvendo, a luz está se propagando ao longo de z no sentido positivo do eixo. Logo, só podemos ter β=k z positivo e a solução será:

( )Z z Aei z= β (6.2 -9)

Neste caso a parte temporal deverá ser e-iωt.


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Guiando a Luz 173

• Solução X(x)

As reflexões nos espelhos, como sabemos, fazem as ondas se propagarem em x, tanto no

sentido positivo quanto negativo. Logo, são possíveis as condições k x>0 e k x


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θ= ioo eEE

Logo:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )θ+ω−β=+= θ+ω−β−θ+ω−β tzcosqxsenE2eeqxsenEE otzitzi

oy

O valor de θ que pode ser escolhido arbitráriamente uma vez que se trata de uma fase global daonda. Portanto o seu valor será escolhido de modo que cos(βz-ωt+θ)=cos(βz-ωt). sem havermaiores implicações sobre a generalidade da solução. Daí, teremos:

( ) ( ) ( )tzcosqxsenE2t,z,xE oy ω−β−= (6.2- 14)

Este resultado é igual àquele da eq.(6.1-4), obtido através de uma análise geométrica da trajetóriados raios,e sob duas imposições:a existência de interferência construtiva entre o raio e a condição decontorno dos campos elétricos serem nulos nos espelhos do guia.

Obtidas as soluções para o campo elétrico, poderemos calcular o campo de induçãomagnética, usando a Lei de Faraday. Tomando a eq.(6.2-14),faremos:

( )[ ] tiyytizx ek xE

iz

EEek BiB

tωω

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+

∂

∂−=∇=+

∂∂

− x

igualando os termos de versores homônimos, e integrando no tempo, com as variáveis de espaçomantidas constantes, vem:

( ) ( )tzcosqxsenEB ox ω−βωβ−=

( ) ( )tzsenqxcosEq

B oz ω−βω−=

6.2-2 - Modos TM

Na configuração TM, a eq.(6.2-2) é resolvida de modo análogo ao que foi feito para aequação do campo elétrico no caso TE. Basta tomarmos a equação de onda com o campo deindução magnética substituindo o campo elétrico e as diferenças de resultados advém das condições

de contorno nos espelhos. Fica para o leitor o desenvolvimento dos cálculos. Tomando-se:

( ) ( ) j jB tzcosqxsenBB oy ω−β==

e com a Lei de Ampére-Maxwell, chega-se às expressões das componentes do campo elétrico:

( ) ( )tzcosqxsenBc

E o2

x ω−βωβ

= (6.2-13)

( ) ( )tzsenqxcosBqc

E o2

z ω−βω= (6.2-14)


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Guiando a Luz 175

A condição de contorno, para o campo elétrico nas superfícies metálicas do guia, obrigam afazermos Ez=0 para x=0 e x=a, levando a uma mesma equação de autovalores para os modos TM,qual seja:

a)1m(q

π+= m=0, 1, 2, 3, ... (6.2-15)

A Tab.(6.2-1) apresenta um resumo de tudo que foi discutido acima. Nela encontraremos asexpressões das componentes dos campos elétrico e magnético para as configurações TE e TM,referentes ao guia metálico planar. Na tabela também estão apresentadas as constantes de propagação longitudinal (β) e transversal (q) dos modos.

6.5 - Guia Dielétrico Laminar - Óptica Geométrica

No caso de um guia formado por espelhos, é fácil entendermos (ou aceitarmos) o fenômenodo confinamento da radiação entre as paredes do guia. Afinal, elas são dois espelhos e, refletindo aradiação, provocam o confinamento. No caso atual pode não parecer tão fácil se entender como aradiação é confinada. Afinal, não há maisos espelhos do guia metálico. Entretanto, acapacidade dos espelhos refletirem aradiação, com a qual compreendemos ofenômeno do confinamento da radiação, permanece para o caso do guia dielétrico.Para isso, lembremos que neste guia háduas interfaces de separação entre meiosde índices de refração diferentes. Nelasocorre uma descontinuidade dos índice derefração e, como tal, cada interface tem acapacidade de refletir a radiação,

TE TM

Ex

Ey

Ez

0

E0sen(qx)cos(βz-ωt)

0

( ) ( )txcosqxsenBc o2

ω−βωβ 0

( ) ( )txsenqxcosBqc

o

2

ω−βω

Bx

By

Bz

( ) ( )tzcosqxsenEo ω−βωβ

−

0

( ) ( )tzsenqxcosEq

o ω−βω−

0

0

( ) ( )tzcosqxsenBo ω−β

onde: ( )q m ma

= + =1 0 1π

; , ,2... m ....... e ( ) ( ) ( ) 2

a

1m2onk

2mq

2onk

2m

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡ π+−=−=β

Tab.(6.2-1) - Solução dos modos TE e TM para um guia metálico planar.

α i

a

meio 1n1

meio 3n3

meio 2n2

núcleo

casca

casca

Fig.(6.5-1) - Guia de onda dielétrico constituido de duas regiõesbásicas núcleo e casca. Na figura está indicado um raio de luzsofrendo reflexão total.


18/36


eletromagnética através do processo reflexão total. Esta capacidade de reflexão, como sabemos,depende do ângulo de incidência da radiação e dos valores dos índices de refração dos meiosenvolvidos. Em geral a refletividade é parcial, indicando que uma porção de energia sairia do guia,

perdendo-se espaço afora. No entanto, caso a luz incida de um meio de índice de refração maior (nn) para outro de menor valor (nc),e com um ângulo de incidência igual ou maior do que o ângulocritico θc, ela será totalmente refletida. Tal ângulo critico é determinado pela Segunda lei de Snellque leva a:

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ =θ −

n

c1c n

nsen (6.5-1)

Desta maneira, mesmo não sendo um espelho metálico, é possível haver a reflexão total da radiaçãona interface entre os dois meios dielétricos. Com tal reflexão o confinamento da radiaçãoeletromagnética em um guia, construído com materiais dielétricos, é perfeitamente possível. Mas só

a reflexão total não garante a existência de um modo propagante no guia, também se exige um processo adequado de interferência construtiva da radiação em constante reflexão total dentro dele,como ocorre em um guia metálico planar.

________________________________________________________________________________

Exemplo (6.5-1) - Calcular o maior ângulo de incidência de um raio de modo que seja refletidototalmente na interface núcleo-casca.

Solução:

Para solucionar o problema vamos primeiramente considerar a fig.(6.5-2) na qual poderemos visualizar a situação de um raio de luzque penetra no guia nas condições de reflexãototal na interface núcleo-casca.

De princípio podemos dizer que, deacôrdo com a segunda lei de Snell, a refração naentrada do guia nos leva à expressão:

1nam sennsenn θ=θ (6.5-2)

sendo nm o índice de refração do meio externo ao guia.Como o raio de luz está na condição de reflexão total na interface núcleo-casca, podemos

dizer que a segunda lei Snell nos permite escrever a relação:

n

cc n

nsen =θ (6.5-3)

que é a eq.(6.5-1). Por outro lado, os ângulos θ1 e θc são complementares de modo que senθ1=cosθc,o que nos permite escrever:

θc

meio 1n1

meio 3n3

meio 2n2

núcleo

casca

casca

θa

θ1

Fig.(6.5-3) - Raio de luz incidindo na entrada do guiana condição de reflexão total na interface núcleo-casca.


19/36

Guiando a Luz 177

2c

2n

m1

2

m

na nnn

1cos1

n

nsen −=θ−=θ (6.5-4)

e temos pois

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ −=θ −

m

2c

2n1

a n

nnsen (6.5-5)

O ângulo θa é conhecido como abertura numérica do guia de ondas, e o seu significado éaquele do enunciado do problema. Para fixação de valores a fig.(6.5-7) apresenta o comportamentoda abertura numérica em função da diferença entre os índices de refração do núcleo e da casca. Osvalores da figura foram calculados para nn=1,46 e diferentes valores do índice de refração do meioexterno nm.

Em termos práticos, a aberturanumérica informa qual a abertura angulardo pincel de luz que o guia é capaz de seracoplado com o guia. Como sabemos, na prática, as fontes de luz emitem suaradiação preenchendo um certo ângulosólido. As lâmpadas de filamento comuns,iluminam em quase todas as direções,conquanto a intensidade luminosa possavariar coma orientação angular. Já em umlaser de semicondutor a luz é emitidasegundo um cone de base elíptica, com

ângulos de algumas dezenas de graus.Assim sendo, se queremos acoplar a luz deuma dessas fontes com o guia que estamosestudando, a eficiência deste acoplamentodependerá da abertura angular de emissãoda fonte e da abertura numérica do guia.

________________________________________________________________________________

6.5-1 - Solução Geométrica do Guia Dielétrico Laminar

Para entendermos em que condições a luz pode propagar em um guia dielétrico planarsimétrico, na forma de um modo deste guia, vamos usar, primeiramente, o tratamento da ÓpticaGeométrica. Vamos refazer o que fizemos no caso de um guia formado por espelhos. Tomemos afig.(6.5-4), na qual está ilustrado um guia dielétrico simétrico. O índice de refração da lâminacentral (núcleo do guia) é nn e a das adjacentes (camadas confinadas) tem o mesmo valor de índicede refração nc.

Consideremos um raio luminoso, designado por I, incidindo com um angulo de incidênciaαi em relação à superfície. Seja αi tal que o seu complementar θi para os meios nn e nc, seja maiordo que o ângulo critico θc. Tomemos também um segundo raio designado por II, paralelo ao raio I,e com mesmo ângulo de incidência α. Como está visível na fig.(6.5-1), quando o raio I, atingir a

interface em y = a, o segundo raio (II) ainda se encontra a uma distância CB da interface. Quando

θa(graus)

( )cn nn −0,000 0,005 0,010 0,015 0,020

0

2

4

6

8

10

nm=1,0 nm=1,5 nm=2,0

nn=1,46

Fig.(6.5-4) - Abertura numérica de um guia dielétrico laminarsimétrico, em função da diferença entre os índices de refração donúcleo e da casca, e para diferentes valores de índice de refraçãodo meio externo ao guia. O valor de nn usado nos cálculos estáindicado na figura.


20/36


este raio atingir a interface supra mencionada, o raio I já terá atingido a outra interface no ponto E. No ponto A, local da primeira reflexão do raio I, ele e o raio II estavam sobre uma mesma frente defase, fato que volta a se repetir quando o primeiro raio se encontra no ponto E, após a segundareflexão.

Então vem a pergunta. Qual a condição a ser satisfeita pelos dois raios em discussão, a fimde que ambos pertençam à mesma frente de onda ? Isto significa dizer: os dois raios pertencem aum mesmo modo. Para responder a esta pergunta, vamos acompanhar os eventos a partir da frente

AD até a BE .

Raio I - (reflete em A) + (percorre a distância AE ) + (reflete em E)

Raio II - (percorre a distância CB )

Com isto podemos calcular as mudanças de fase sofridas por ambos os raios na região hachurada dafig.(6.5-1). A cada reflexão ocorre uma mudança de fase cujo valor é dado pelocoeficiente de reflexão R = R 0e

iφ . A variação de fase está contida no termo φ. Cada caminho óptico, percorrido pelas ondas, introduz uma alteração de fase. Elas podem ser calculadas por:

ionon

sen

ak nEAk n

α= (6.5-1)

( ) i12onionon cosddk ncosBAk nBCk n α−=α= (6.5 -2)

Desde que

( ) ⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ α−

α=α−

α=−= ii12 tgtg

1aatg

tg

addBA (6.5 -3)

e

iionon costgtg

1ak nBCk n α⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ α−

α= (6.5 -4)

Raio I

Raio II

α

i

αi

A B

D

C

d1d2

E

a

meio 1n1

meio 3n3

meio 2n2

Fig.(6.5-1) - Ilustração da propagação de dois raios de luz em um guia dielétrico laminar


21/36

Guiando a Luz 179

a diferença de fase δ, entre os dois raios, será:

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

α⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ α−α−⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

φ+α=δ iionion costgtg1

ak n2sen

1ak n (6.5-5)

Se eles pertencem à mesma frente de onda, δ deve ser sempre igual a 2mπ (m=0, 1,2,...),

pois ( )ei m2 1π = . Com isto escreveremos:

π=φ+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡α⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ α−

α−

αm22costg

tg

1

sen

1ak n ii

ion (6.5-6)

Como:

iiii

i2i2

iii

isen2cos

cossen

sencos

sen

1costg

tg

1

sen

1α=α

ααα−α

−α

=α⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ α−

α−

α (6.5-7)

temos :

ion senak nm α−π=φ (6.5-8)

Entretanto, a fase φ depende da polarização do campo incidente. Assim haverá dois possíveisvalores para esta grandeza, a saber:

( )( ) ⎥⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

β−

−β−=φ −

2

122

o2n

2

1

2o2c21TE

k n

k ntg2 para os modos TE (6.5-9)

( )

( ) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

β−

−β−=φ −

2

122

o2n

2

12o

2c

2

2n

2c1

TM

k n

k n

n

ntg2 para os modos TM (6.5-10)

Façamos as seguintes definições:

ion cosk n α=β (6.5-11)

( ) ion21

22o

2n senk nk nq α=β−= (6.5-11)

( ) ( )[ ]21

22o

2c

2n

2

12o

2c

2 q k nnk n p −−=−β= (6.5-12)

Com elas temos que

( ) 22o2c2n22 q k nnq p −−=+ (6.5-13)


22/36


Substituindo-se as eqs.(6.5-11) e (6.5-12) nas eqs. (6.5-9) e (6.5-10) teremos

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

−=φ −

q

p

tg21

TE

e

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=φ −

q

p

n

ntg2

2n

2c1

TM

Usando estas duas equações na eq.(6.5-8) obtemos as condições que determinam a propagação deum modo do guia dielétrico para as configurações TE e TM. Elas serão:

tg qa m tg qa p

q ( ) ( )− = =π (TE) (6.5-13)

tg qa m tg qan

n

p

q c

n

( ) ( )− = = ⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠⎟π

2

2 (TM) (6.5-14)

Quando é par (m=0,2,9...) tg(qa-mπ)=tg(qa), enquanto quando m é ímpar (m=1,3,5...) teremostg(qa-mπ)=-ctg(qa). Desta forma tanto os modos do tipo TE quanto TM possuem dois sub-conjuntos de modos, normalmente designados por modos pares para o caso de valores pares de m emodos ímpares para o outro caso.

As eqs.(6.5-13) e (5.5-14) são chamadas de equações transcendentais uma vez que não háforma direta de resolvê-las a não ser por meios numéricos. Para resolvê-las, se expressa p emfunção de q, usando-se a eq.(6.5-12), fazendo a equação ter apenas uma variável, no caso o q.Resolvendo-as se obtem quais os possíveis valores de q são permitidos para o guia. Cada um destesvalores corresponde a um modo guiado. De posse dos valores de q se pode calcular os outros parâmetros modais p e β. A tab.(6.5-1) apresenta as equações transcendentais dos modos pares eímpares referentes às configurações TE e TM.

No caso do guia planar dielétrico, antes de estudarmos as questões de dispersão e tempo deatraso, vamos realizar a análise ondulatória.

Exemplo: Obter a velocidade de grupo para um modo de um guia laminar dielétrico a partir daeq.(6.5-8).

PAR ÍMPAR

TEq

p)qa(tg =

q

p)qa(ctg =−

TM ⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ =

q

p

n

n)qa(tg

2n

2c ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ =−

q

p

n

n)qa(ctg

2n

2c

Tab.(6.5-1) – Equações transcendentais dos modos pares e ímpares nas configurações TE e TM.


23/36

Guiando a Luz 181

Solução:

Tomando-se a eq.(6.5-8) vamos escrevê-la na forma

φ−π=β−ω

mc

na 2

2

22o (6.5-15)

usando-se a eq.(6.5-11). Sabendo-se que φ é uma função de ω, derivemos a eq.(6.5-15) de modoque obteremos:

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

β∂ω∂

ω∂φ∂

+β∂φ∂

−=

β−ω

β−β∂ω∂

ω

22

22o

2

2o

c

n

c

n

a (6.5-16)

Um certo tratamento algébrico nos permite escrever

ω∂φ∂

+ω

β∂φ∂

−β

=

2

2o

g

c

n

q

a

q a

v (6.5-17)

Tomando-se as eqs.(6.5-11) e (6.5-12) podemos escrever a eq.(6.5-17) na forma:

ω∂φ∂

+θ

β∂φ∂

−θ=

o

i

i

g

n/c

seca

atg

v (6.5-18)

Faremos as seguintes definições:

z∆−=β∂φ∂

(6.5-19)

τ∆=ω∂φ∂ (6.5-20)

Com as eqs.(6.5-19) e (6.5-20) podemos escrever

τ∆+θ

∆+θ=

o

i

ig

n/c

seca

zatgv (6.5-21)


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Que interpretação podemos dar ao resultado obtido? Observemos a fig.(6.5-5) Nela vemos que atrajetória de um raio de luz sofrendo reflexão na interface entre o núcleo e a casca deveria avançarem z de uma distância Lo, enquanto o tempo consumido neste avanço seria asecθi/(c/no), que é o

tempo de subida do raio da interface inferior até a superior. Isto levaria a uma velocidade de grupodada por:

o

i

ig

n/c

secaatg

vθ

θ= (6.5-22)

Mas isto se diferencia do resultadoobtido anteriormente. Observamos que ocomprimento percorrido ao longo de zestá acrescido de um acréscimo ∆z e

também o tempo consumido tem umacréscimo ∆τ. Isto pode ser entendidocomo se a reflexão total tenha ocorridonão na interface mas em um ponto Palém da interface, como se o raio penetrasse ∆a casca adentro. É uma antecipação, obtida no âmbitoda óptica geométrica, da existência do efeito do tunelamento fotônico que analizaremos adiante naanálise ondulatória do guiamento da luz em um guia dielétrico planar.

6.6 - Guia Dielétrico Laminar – Óptica Ondulatória

Porque resolvermos o guia dielétrico com a Óptica Ondulatória? Esta é uma pergunta que

devemos responder antes de fazermos esse esforço matemático. Em primeiro lugar, a solução doguia dielétrico, no enfoque da Óptica Geométrica, não permite que se obtenha determinadosdetalhes de importância prática, como, por exemplo, a questão da distribuição espacial dos modos.Esta, como veremos, mostrará a existência de luz além da interface núcleo-casca, o que é defundamental importância do ponto de vista prático.

Muitas vezes achamos que a luz está contida dentro do núcleo e pensamos não haver luz nacasca. Esta falha de visualização surge a partir da análise geométrica quando usamos a famosafigurinha da reflexão total, a fig.(6.5-1). Devido a tal visualização, somos, operacionalmente,tentados a pensar que a preservação física do núcleo do guia é o que importa, já que é lá que a luzestá. E isto é falso, pois a luz se espalha na casca. Aliás! a casca faz parte do guia, e sem ela, sócom um núcleo, não há o guia de ondas.

6.6-1 - Solução Ondulatória do Guia Dielétrico Laminar

Vamos discutir o guia de ondas formado por camadas de material dielétrico, usando aequação de ondas. Em um guia laminar dielétrico o índice de refração tem os seguintes valores:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥

≤

ax n

a


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Guiando a Luz 183

Analisaremos a solução ondulatória do guia para o caso dos modos TE. Segundo o sistema decoordenadas apresentado na fig.(6.6-1), teremos:

E=E j (6.6-1)

A equação de ondas para o campo elétricoserá:

∂

∂

∂

∂

2

2

2

22 2 0

E

x

E

zn k Eo+ + = (6.6-2)

onde ∂2E/∂y2=0, porque a onda se propaga aolongo de z e só há variação do índice derefração ao longo de x. Será assumido que a

solução terá uma dependência temporalharmônica e a equação de onda, portanto,ficará:

0Ek nz

E

x

E 2o

22

2

2

2

=+∂

∂+

∂

∂ (6.6-3)

Neste caso, como n é uma função de x, teremos de resolver a equação de onda (6.6-3) para as trêsregiões x≤-a,-a


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( ) 0Xk nx

X 22o

2c2

2=β−+

∂

∂ x≥a (6.6-10)

Como o indice de refração tem uma variação simétrica, as soluções para essas equações poderão serde dois tipos: pares, para as quais X(x)=X(-x), e ímpares quando X(x)=-X(-x). Tal circunstância demodos pares e ímpares já foi observada na solução geométrica. As pares serão do tipo:

px px BeAe)x(X −+= x≤-a (6.6-11)

)qxcos(C)x(X = -a


27/36

Guiando a Luz 185

Disto, resulta a condição A=E. Quadrando e somando as eqs.(6.6-23) e (6.6-24), obtemos a relaçãoentre os coeficientes A e C:

Cnn

qe)1(Cq p

qe)1(A2c

2n

pau

22

pau

−−=

+−= (6.6-27)

onde u=(m/2) para os modos pares. O mesmo resultado é obtido para os modos ímpares fazendo-seu=(m-1)/2. O valor do sinal está ligado ao quadrante da solução Dividindo-se a segunda pela primeira, segue:

qa

aq ak )nn(

q

p)qa(tg

2222o

2c

2n −+== (6.6-28)

Pela eq.(6.6-28), podemos observar queo parâmetro q só poderá assumir osvalores obtidos com a solução destaequação transcendental. Cada um dosvalores corresponde a um modo de propagação, como já obtivemos naanálise geométrica.

A fig.(6.6-3) apresenta asfunções da eq.(6.6-28) envolvidas naequação transcendental que determina osvalores de q que são soluções pares doguia dielétrico planar, as quais são

encontradas nos quadrantes ímpares. Namesma figura estão as funções quedeterminam as soluções ímpares, obtidasresolvendo-se a eq.(6.6-37), estas,obtidas nos quadrantes pares.

As figs.(6.6-3) apresentam adistribuição dos modos pares referentes am=0 (fundamental) e m=2.

0 π/2 π 2 π 5π/2 3π

qa/2

I II III IV V VI

3π/2

q

p

tg(qa)

Fig.(6.6-3) – Solução gráfica dos modos pares Os círculosindicam onde as funções se cruzam determinando os valores deq que são solução das equações transcedentais.

m =0 m = 2

Fig.(6.6-3) – Distribuição da intensidade dos campos dos modos pares de um guia de onda

laminar. A região escura indica o núcleo do guia.


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Nelas a região escura indica o núcleo do guia laminar; conforme se vê, os modos não estãocontidos dentro do núcleo mas se espalham fora deste. Ou seja, conquanto haja reflexão total nasinterfaces entre o núcleo e a casca do guia, o campo tunela para fora do primeiro.

Um erro que não se deve cometer é o de se achar que a luz dentro do núcleo é uma e a nacasca é outra. Ambas fazem parte de uma única estrutura de luz, chamada modo. Para exemplificar,consideremos que há um de feito na casca. Seja um defeito no material, como uma minúscula bolhade ar, que cause espalhamento da luz propagante casca. Numa primeira aproximação podemos pensar que apenas a luz da casca será espelhada. Mas isto não é verdade, o modo como um todoserá afetado. Isto é, tanto a luz da casca quanto a do núcleo sofrerá espalhamento.

Soluções ímpares

Para as soluções impares teremos B=D=0, devido a convergência do campo quando x→±∞.Além disso obtemos também as já conhecidas relações para q, p e β. As condições de contorno nas

interfaces nos darão:

qasenCAe pa −=− (6.6-33)

qasenCEe pa =− (6.6-34)

qacosCq Ape pa =− (6.6-35)

qacosCq Epe pa =− (6.6-36)

Disto, resulta a condição A=-E e a equação transcendental:

qaaq ak )nn(

q p)qa(ctg

2222o2c2n −+−=−= (6.6-37)

Resolvendo-a se obtém os valores de q referentes aos modos que podem propagar no guia bemcomo outros dois parâmetros, a saber: p e β. A fig.(6.6-4) apresenta a solução gráfica dos modosímpares, estando indicados os pontos de intersecção entre as funções -ctg(qa) e (q/p) que compõema equação transcendental.

0 π /2 π 2 π 5π /2 3π

qa/2

I II III IV V VI

3π /2

q

p

-ctg(qa)

Fig.(6.6-4) – Solução gráfica dos modos ímpares.


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Guiando a Luz 187

Apenas está apresentada a parte positiva da função cotangente, pois esta é a parte que interseccionacom a função (q/p), correspondente ao lado direito da função transcendental.

Na fig.(6.6-5) está graficada a distribuição de campo do primeiro modo impar, m=1. Como

se pode ver nesta figura, ao contrário dos pares, o modo ímpar se anula no ponto x=0. Outro fato ase observar, é que o número de pontos regulares (máximos e mínimos) é par; no caso do modo 1 sãodois pontos regulares.Já para os modos pares há um número ímpar de pontos regulares isto pode ser visto com facilidadeobservando-se a fig. (6.6-3).

6.6-1 – Tunelamento Fotônico

Faz-se necessário se comentar o sentido do parâmetro p que surgiu nas soluçõesapresentadas. Tal parâmetro se refere à parte da solução que está fora do núcleo, portantocorrespondente à penetração de luz na casca ao longo do guia. Observemos a fig.(6.6-5), na qualestão apresentados a distribuição de campo dos modos par m=0 e ímpar m=1, bem como asintensidades correspondentes de luz numa secção transversal do guia (visão frontal), por exemplona saída do guia.

m = 1

Fig.(6.6-5) – Distribuição da intensidade do campo do primeiro modo ímpar de um guia de onda laminar. A regiãoescura indica o núcleo do guia e a linha tracejada indica o meio do núcleo.

MODO PAR m=0 MODO ÍMPAR m=1

VISÃO FRONTAL VISÃO FRONTAL

núcleo

casca

casca

VISÃO LATERAL VISÃO LATERAL

Intensidade Intensidade

núcleo

casca

casca

Fig.(6.6-2) – Distribuição de campo na direção transvesrsal e intensidade de luz na saída do guia para os modos par

(m=0) e ímpar (m=1).


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Podemos, mais uma vez perceber que um modo guiado é uma estrutura de campo eletromagnéticoque não se encontra apenas dentro do núcleo do guia, mas também fora dele (na casca).

A penetração de luz na casca, além da sua interface com o núcleo, é chamada de

tunelamento fotônico e tem um comportamento evanescente, quantificado pelo decaimentoexponencial da intensidade de campo na casca do guia. Dado ao comportamento exponencial docampo dentro da casca, o comprimento da penetração pode ser medido usando-se como valor da penetração a distância para a qual o campo decai de seu valor na interface entre o núcleo e a casca(A) até o valor igual a (Ae-1). Tomando a solução na casca (eq.(6.***), deduz-se que tal distância édada por L=1/p. Portanto, quanto menor for p maior será esta penetração.

Para visualizarmos o que acabamos decomentar vamos considerar o modo par m=0,como mostra a fig.(6.6-6). Na figura, ailustração torna bem visível o iluminamentodo guia pelo campo do modo e a penetração daluz na casca.

Uma aplicação prática dessesconhecimentos de tunelamento fotônico podeser no uso do guia como um sensor. Tomemos, para exemplificar, o guia que estamosanalisando, Consideremos também, que emum dado momento, por alguma razão cujaorigem não iremos apreciar aqui, ocorra umavariação de índice de refração fora do núcleo.Entretanto, dentro de uma pequena região próxima à interface núcleo-camada=]alcançada pela parte do modo que se propaga na região exterior ao núcleo. Embora

seja o rabo do modo que entra em contato coma perturbação fora do núcleo, todo o modo poderá detectar tal variação. E isto provocará alterações nele como um todo. Por exemplo, levando-o a ter espalhamento de luz na região próximo à perturbação. Com isto, haverá lançamento de luzguiada fora do guia e conseqüente queda na intensidade de luz que se estava obtendo naextremidade oposta à de lançamento.

6.7 – Guiamento com Perfis Graduais de Índice de Refração

Nesta seção vamos analisar a propagação de ondas em meios nos quais o

índice de refração varia no espaço, fazendo comque o meio seja chamado não-homogêneo. Umexemplo disto é o caso de estradas em dias demuito calor. Ao olharmos a estrada adiante docarro nos parece que o céu está refletido noasfalto, o que nos dá a impressão de um espelho.A fig.(6.7-1) ilustra este fato cuja explicação estána variação espacial do índice de refração do ar.Devido à incidência da luz solar sobre o asfalto,ou qualquer chão que aqueça, forma-se umgradiente decrescente de temperatura de baixo para cima. Quanto mais quente o ar menos denso

Aepx

Ae-px

p

1x=

cos(qx)Ae-1

A

Fig.(6.6-6) – Distribuição de campo modal para m=0 juntocom a ilustração da intensidade de luz no guia (visão frontal).Estão indicadas as soluções na casca e núcleo do guia, osvalores do campo na interface núcleo-casca e a umaadistância x=1/p. As setas indicam a penetração da luz na

casca do guia.

Fig.(6.7-1) - Efeito miragem vista em um dia quente.


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Guiando a Luz 189

ele é, significando que há uma menorquantidade de átomos por unidade devolume. Relembrando as discussões

do cap.2, é fácil percebermos quemenor será índice de refração do araquecido. Desta forma, o índice derefração do ar terá um gradiente devalores que seguirá o da suatemperatura. Com isto os raios de luzque vêm do céu com a imagem danuvem, conforme a fig.(6.7-1) percorrerão uma trajetória curvilíneaterminando por se deslocar para cima.Com isto, os olhos do observador,exergando em linha reta, terão diante

de si uma imagem do céu que aparentemente se reflete no chão. A miragem está formada.

Explicado qualitativamente o efeito miragem, vamos aprofundar a nossa análise a fim determos conseqüências quantitativas. Faremos isto analisando a trajetória de um raio de luz propagando-se em um meio cujo índice de refração varia espacialmente de forma estratificada,como indica a fig.(8.1-6). Vamos considerar que o raio de luz esteja contido no plano perpendicularàs lâminas de índice de refração. Consideremos também que o raio de luz esteja incidindo no meioestratificado com um ângulo de inclinação θi=θo.

Para fins de cálculo, imaginemos que esse meio esteja dividido em camadas, infinitesimais,representadas na fig.(8.1-6) de forma ampla para facilitar o entendimento. Aplicando-se a Segundalei de Snell, podemos dizer que, na primeira camada estratificada, o feixe é refratado formando um

angulo θ1 com a normal. Na segunda camada ele é novamente refratado de forma que chega àterceira com um angulo θ2 com a normal e assim por diante. Isto nos levaria às seguintes condições:

nosenθo= n1senθ1

n1senθ1 = n2senθ2

nn-1senθn-1 = nnsenθn

O que nos permite escrever:

n(x)senθ(x)≡nosenθo≡β≡const. (8.1-17)

A trajetória do feixe pode ser descrita por uma função do tipo x=f(z). Em qualquer ponto, ainclinação da trajetória, em relação ao eixo z, é obtida com via a derivada df(z)/dz. Em relação ànormal o angulo será θ e pode ser relacionado com a derivada da função y=f(z) por:

θ=⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ θ−

π=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ctg

2tg

dz

dx

θi

θ

2

θ3

θ4

θ5

n1n2n3n4n5

nn

z

x

n(x)

Fig.(8.1-6) - Representação de um meio estratificado laminar .


32/36


Logo:θ

=ctg

dxdz

Integrando-se esta última equação, segue:

∫ θ+=x

xo o ctg

dxzz

Pela definição de ctg podemos escrever :

∫−

θ

+=x

x

2

o0

1sen

1

dxzz

e usando a eq.(8.1-17) obtemos:

( )( )∫

β−

β+=

x

x2

122

oo

xn

dxzz (8.1-18)

É importante observarmos que a condição n(x)= β na eq.(8.1-16) nos levara a senθ(x)= 1 e,consequentemente, θ(x)=π/2. O ponto x=xt no qual isto ocorre é chamado de turning point (pontode retorno), pois nele o raio muda de sentido de propagação no eixo x, "voltando" trocando osentido da sua propagação ao longo da direção x. Além deste ponto xt não é permitida a propagaçãodo raio. Isto é constatado observando-se que o turning point é o ponto em que o radicando naeq.(8.1-16) se anula e para valores de x>xt os valores de z seriam imaginários puros. Logo, nãohavendo uma trajetória real. Aqui vemos a explicação quantitativa da mudança de direção sofrida pelos raios de luz que vinham do sol, passando a se deslocar de baixo para cima, como foi discutidono caso da miragem da fig.(*****).

6.7-1 – Guiamento com Perfi l Parabólico de Índice de Refração

Obtido o resultado acima, vamos aplicá-lo a um meio cujo índice de refração varie parabolicamente. Em outras palavreas, seja um meio cujo índice de refração tenha a seguinte dependência espacial, ao longo de uma direção x:

( ) 222o2 xanxn −= (8.1-19)

Logo, o índice de refração tem um valor máximo em x=0. O parâmetro a mede a intensidade davariação de n com x. Substituindo-se a eq.(8.1-19) na eq.(8.1-18), vem:

( )( ) ( )∫∫

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

β−−

β−

β+=

−β−

β+=x

x2

1

222

o

22

122

o

ox

x2

12222

o

o0o

xn

a1

dx

n

z

xan

dxzz


33/36

Guiando a Luz 191

Fazendo-se a transformação de variáveis:

( )α=

β−

senx

n

a

2

122

o

∴ ( ) ααβ−= dcosandx2

1

22o

teremos:

( )α

β+=

α−

αααβ

+=α

α

α

α∫ aozsen1

dcoszz

oo

2

12

o

e

( ) ( ) ⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

β−

−

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

β−

β+= −−

2

122

o

o1

2

122

o

1o

n

axsen

n

axsen

azz (8.1-20)

Supondo-se como condições iniciais: zo=0 e xo=0, a expressão da trajetóriar x=x(z) fica:

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

β

β−= z

asen

a

nx

2

22o (8.1-21)

Como indica a fig.(8. 1-7), a trajetória do feixe, no caso de um meio com índice de refração parabólico, estará limitada a uma certa região do espaço enquanto ele avança na direção z. Atrajetória será senoidal estando o feixe confinado espacialmente numa região de tamanho D igual aodobro da amplitude da trajetória. Logo:

2

1

2

22o

a

n2D

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ β−= (8. 1 -22)

O caso em discussão é análogo ao de um meio como uma fibra óptica.

P

θ i

n(x)

zD

Fig.(8.1-7) - Trajetória de um raio de luz num meio com perfil de índice de refração parabólico


34/36


6.7-2 - Tempo de Trânsito em um Meio com Perfil ParabólicoRefração

Analisada a questão da superfície ou frente de onda, bem como da trajetória de um raio deluz, passemos agora à questão: que tempo este raio levará para percorrer a distância entre dois pontos Po e P, da sua trajetória? Este tempo é chamado de tempo de trânsito(T). A eq.(8.1-2) nos permite escrever:

( )∫=τP

Podlz,y,xn

c

1 (8.2-1)

Para o caso de índices de refração dependentes de uma só direção, como o ex.(8.1-2), a eq.(8.2-1)será:

( ) ( )dxxnc

1dlxn

c

1 P

P

P

P2

o o∫ ∫β==τ (8.2-2)

obtida quando usamos a relação dzn

cosn

ndz

cos

dzdl

β=

θ=

θ= , advinda da eq.(8.1-24).

O cálculo do tempo de trânsito de um raio em um meio estratificado, unidimensional, dotipo parabólico, pode ser feito substituindo-se a eq.(8.1-19) na eq.(8.2-2). Com isto, o tempo detrânsito, entre dois pontos Po e P, será dado por:

∫ −β=τP

P222

o0

dx)xan(c

1

Em face da dependência x=x(z), para um meio parabólico, de acordo com condições iniciaisxo=zo=0, temos:

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

β⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ β−=

azsen

a

nx

2

22o (8.2-3)

Usando-se esta relação entre x e z na expressão do índice de refração, vem:

( ) ( ) ⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ββ−−=

azsennnxn 222o

2o

2

e o tempo de trânsito é dado por:

( ) dzazsennnc

1 z

0222

o2o∫ ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ββ−−

β=τ (8.2-4)


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Guiando a Luz 193

Integrando-se a eq.(6.2-3) vem:

( ) ( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣

⎡

⎟⎟ ⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛

ββ−

β

+β+β=τ za2

senna2znc2

1 22o

22o 8.2-5)

Embora interessante, a eq.(8.2-5) não nos permite uma comparação entre os temposenvolvendo raios com diferentes condições de lançamento (β=nosenθ). Será mais útil compararmosos tempos referentes a um percurso entre dois pontos como, por exemplo, um período espacial P e.Chamando o tempo de trânsito em um período Pe por τ p, e usando a eq.(8.1-21), temos:

( )⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ β+

π=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡π

ββ+

β=τ

2

o

2o22

o n1

ca

n

a

2n

c2

1 (8.2-6)

pois o termo com o seno se anula paraa

2Pz e

βπ== .

Como ( )022o

p sen1ca

nθ+

π=τ

no caso em que θ(0) é pequeno, temos senθ


36/36


a2=10-2µm-2=1010m-2

ps24,0s1036,210103

14,325,2

25,2n

1358 p

2o

=⋅=⋅⋅

⋅=τ

=

−

Conhecendo-se o período espacial Pe podemos calcular a velocidade média com a qual o raio sedesloca em z. Ela será:

m/s1093,61036,2

1064,1Pv 7

13

5

p

e ⋅=⋅

⋅=

τ=

−

−

Apliquemos nossos resultados à situação deste componente optoeletrônico passivo.Tomemos como material a Sílica (SiO2), com um índice de refração no= 1,50 e tendo uma variaçãode 10-2 a cada mícron que se afaste do eixo x=0. Usando a eq.(8.1-19) obtemos:

( )

( )22210

262

2o2 m10m10.1

10

49.150.1

x

m1ynna −−−

−µ==

−=

µ=−=

O valor de β poderá ser calculado a partir da eq.(8.1-15). Suponhamos que o angulo de incidênciaseja ae 10o. Logo:

β =no sen(10°)=1,5.0,1736=2,61.10-1

Com esse resultado, para θo= 10°

( )m54,29

10

1061,25.12

a

n2D

2

212

2

22o µ=

⋅−=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ β−=

−

−

O período espacial da trajetória P será:

a

2Pe

β= (8.1-23)

Com este resultado temos:

P me = =−

−

2 2 6110 314

1016 4

1

1

. , . . . , µ

6 - guiando a luz

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