5.3 Geração e Detecção de FM e PM

O fato da amplitude dos sinais modulados exponencialmente ser constante é uma vantagem em termos de hardware.

Não existe preocupação com dissipação excessiva de potência ou ruptura por alta tensão devido a picos de envoltória (como na modulação AM).

A imunidade a distorção não linear permite o uso de dispositivos eletrônicos não lineares, motivo de grande preocupação na modulação linear.

Consequentemente, uma tolerância considerável é possível no projeto e seleção dos equipamentos.

Em particular, emprega-se FM em enlaces com repetidoras de microondas para comunicação por longas distâncias, porque os amplificadores lineares banda larga exigidos na modulação AM não são disponíveis, ou então, são pouco eficientes nessas frequências.

FM Direto e VCOs

O processo de FM direto é imediato e requer apenas um oscilador controlado por tensão (VCO –Voltage Controlled Oscillator), cuja frequência de oscilação exibe uma dependência linear com a tensão aplicada.

Pode-se modular um circuito oscilador* sintonizado convencional pela introdução de um elemento de reatância variável como parte de um circuito ressonante RLC paralelo._____________________________________________________________*Ver o Adendo no final desse item

Se a capacitância equivalente tem uma dependência temporal da forma:

e, se Cx(t) for pequeno e lento o suficiente, então, o oscilador produz

onde

Como ,

Sabendo-se que,

pode-se expandir como

pois .

Chamando , a frequência de saída do oscilador na ausência de sinal (frequência da portadora)

ou (integrando no tempo:

)(cos)( tAtx ccc

)()/(11

21

)]([21

)(21)(

000 txCCLCtCxCLtLCtf

)(2)( tftc

1,...6.4.25.3.1

4.23.1

211

11 32

aaaaa

)](211[1)(

00

txCC

LCtc

0/1 LCc

)](211[)(

0

txCCt cc

1/)( 0 CtCx

)(tc

__________________________________________________________Portanto:

para

confirmando que f depende do circuito empregado.

Visto que x(t) 1, esta aproximação pode ser boa dentro de 1%, quando C/C0 < 0,013. (Mostrar isto!)

Neste caso, o desvio de frequência associado está limitado a:

a qual quantifica a condição de Cx(t) ser pequeno o suficiente.

Similarmente, a condição W

Torna-se necessário polarizar o varicap, com tensão DC igual a VQ, para operar na sua região mais linear (em torno do ponto Q).

Um valor DC, igual a C0, está presente na saída do dispositivo.

São usados na implementação de geradores de frequência variável, em sintonia automática de canais de televisão, etc.

C(t)=C0Cx(t)C

v(t)v t

t

x(t)

Q C0C0

VQ

Fim da Obs. #

Na Fig. 5.3-1 tem-se um oscilador com um diodo varactor polarizado para se obter Cx(t).

O transformador de entrada, choque de RF e bloqueio DC servem para isolar a baixa frequência de [x(t)], a alta frequência de [xc(t)], e o termo DC (VB) entre si.

A fonte VB polariza reversamente Cv no ponto quiescente; o trafo e o bloqueio DC impedem VB de atingir x(t) ou xc(t).

O choque RFC se comporta como um curto-circuito para o sinal de baixa frequência x(t) no secundário do trafo, e assim, modula Cv de acordo com x(t) /N.

Por ser de baixa frequência, este sinal não consegue atravessar o bloqueio DC.

O sinal de RF xc(t), “olhando para traz” percebe L, C1 e Cv(t), pois DC block entra em curto e RFC se abre para altas frequências.

O circuito oscilador percebe em sua saída o seguinte sistema equivalente:

A frequência da portadora é definida por:

A frequência instantânea deve ser:

Desvantagem: como o varactor é um semicondutor, C0 é susceptível à variações de temperatura, e assim, a frequência portadora fc tende a sofrer deriva e precisa ser estabilizada por controle de frequência realimentado.

Osciladores controlados por tensão à base de circuito integrado linear podem gerar uma forma de onda FM direta que é relativamente estável e exata.

)(21

01 CCLfc

output

resonantcircuit (fc)

Cv

)(0 txNCCCv

expressão um pouco diferente do caso do oscilador anterior

11 0

1 1( )2 [ ( )] 2 [ ( )]v

f tL C C t CL C C x t

N

Contudo, necessitam de vários componentes externos, como o mostrado na Fig. 5.3-2, para o transmissor de FM direto usando o CI da Motorola MC1376, de 8 pinos.

O VCO é bem linear entre 2 e 4 V, opera com portadoras entre 1,4 e 14 MHz e pode produzir um pico de desvio de frequência de aproximadamente 150 kHz.

Devido a sua baixa potência de saída, são mais adequados para aplicações como telefone sem fio.

Reatância capacitiva controlada por tensão usando JFET

O circuito mostrado na figura abaixo ilustra como sintetizar uma capacitância controlada por tensão usando-se um transistor JFET, em substituição ao varicap.

A corrente AC de dreno é calculada como:

Escolhendo-se Xc >> R, determina-se a impedância de entrada vista pelos terminais AA’:

Trata-se de uma reatância capacitiva com impedância equivalente:

id

vjXR

RgvgivjXR

RRivc

mgsmdc

cgs

s

RgjX

RgjXR

ivz

m

c

m

c

d

RCgCfCRfCgRg

XX meqeqmm

ceq 2

12

1

impedância de entrada

modelo equivalente

(continua)

RCgCfCRfCgRg

XX meqeqmm

ceq 2

12

1

______________________________________________________________Trata-se de uma capacitância equivalente, que pode ser variada pela tensão de polarização DC, via modulação da transcondutância gm.

Alternativamente, se C e R forem intercambiados no circuito, e, R >> Xc , obtém-se:

Como R >> Xc , resulta:

A partir da qual, obtém-se a indutância equivalente:

a qual pode ser controlada pela tensão de polarização DC do circuito.

Em geral, não se costuma empregar o JFET nesta configuração para modulação de FM direto. #

vjXR

jXgvgivjXR

jXRivc

cmgmd

c

ccg

)(

mcc

mcmc

c

d gXjRjRX

gXgjXjXR

ivz

)(1

meqeq

mmceq g

RCLfLgfCR

gXRX 22

Adendo: Circuitos Osciladores

Considere-se o diagrama de blocos mostrado abaixo:

A tensão de saída é: sendo

e assim,

O ganho do oscilador será:

na qual o ganho de malha é dado por:

Se Vi = 0 em = 0 , a única forma de ocorrer Vo diferente de zero é que .

Nesta condição, a saída será finita mesmo quando a entrada externa Vi for nula.

Critério de Barkhausen:

Vi Vo

Vf

)]()()[()( sVsVsGsV fio )()()( sVssV of

)()()]()(1)[()]()()()[()( sVsGssGsVsVssVsGsV iooio

)(1)(

)()(1)(

)()()(

sLsG

ssGsG

sVsVsA

i

of

)()()( ssGsL

1)()()( 000 GL

0)]()(arg[1)()(

00

00

GG

(continua...)

Vi=0 VoVf

Vo

Logo que se liga a alimentação do oscilador, os únicos sinais no sistema são as tensões de ruído.

Para partida do oscilador, se faz G > 1 na frequência 0, sendo que é um circuito ressonante tal que o desvio de fase é 0o em 0 (realimentação positiva).

O ruído de entrada é amplificado, aparece na saída, realimenta o circuito ressonante e é filtrado de modo a haver apenas uma componente senoidal com fase exatamente correta para a realimentação positiva, que ocorre em 0.

Quando o sinal atinge a amplitude desejada, diminui-se G para 1 (caso contrário, o amplificador G seria conduzido à saturação) e a oscilação prossegue por si só.

Condições: GG G

Operação do oscilador:

(continua...)

O método das três impedâncias

Quando se emprega uma rede de amplificadores G(s) em configuração inversora (desvio de fase de 180º entre saída e entrada), torna-se necessário usar uma rede de realimentação (s) que produza uma defasagem de 180º entre seus terminais.

Isto pode ser obtido através de três impedâncias dispostas como na figura abaixo:

Foi considerado que a impedância de entrada do amplificador é infinita, e assim, não flui corrente docircuito de realimentação (s) para a entrada do amplificador G(s).

Considera-se que a impedância de saída do amplificador seja R0.

V

V V0

VfZ1 Z2

Z3

0

(s)

AvV

R0

G(s)

(continua...)

V

V V0

VfZ1 Z2

Z3

0

(s)

AvV

R0

G(s)

Aplicando o divisor de tensão à malha de realimentação:

donde se conclui que

Além disso, observa-se que a impedância Zp, na saída do amplificador G(s), é:

031

10 VZZ

ZVVf

V0

31

1

0 ZZZ

VVf

I0 ZpAvV

R0V0

pp

v

ZV

ZRVAI 0

00

321

312312

)()//(ZZZ

ZZZZZZZ p

Desta forma, a corrente I0 vale:

e daí, obtém-se o ganho do amplificadorp

pv

ZRZA

VVG

0

0

(continua...)

p

pv

ZRZA

VVG

0

0

321

312312

)()//(ZZZ

ZZZZZZZ p

______________________________________________________________

O ganho de malha é dado por:

Se Z1 = jX1 , Z2 = jX2 e Z3 = jX3,

ou

Esta igualdade é obedecida se ambas, a parte real e parte imaginária, forem nulas.

Fazendo a parte imaginária igual a zero: , pois G, e R0 são não nulos.

Uma alternativa possível ocorre quando X1 e X2 são reatâncias do mesmo tipo, por exemplo, capacitiva (indutiva), e X3 é do tipo oposto, ou seja, indutiva (capacitiva).

Fazendo a parte real igual a zero, resulta:

assumindo-se que é não nulo.

)()()(

3123210

312

ZZZZZZRZZZAG v

)()( 312321021

ZZZZZZRZZAG v

31

1

0 ZZZ

VVf

)()( 312321021

XXXXXXjRXXAG v

0)()( 321021312 XXXRjGXXAXXXG v

0321 XXX

31

1

XXXAG v

)( 312 XXX (continua...)

31

1

XXXAG v

)( 312 XXX

____________________________________________________________Neste caso,

Aplicando-se o critério de Barkhausen, para que a oscilação se mantenha é necessário que G = 1 e arg [G , ou seja

Conforme será visto adiante, no oscilador Colpitts, X1 e X2 são reativos capacitivos e X3 é reativo indutivo.

Chamando:

tem-se, da malha com I2:

Da malha com I1:

Logo:

Assim:

2

1

XXAG v

1

2

2

1 1XXA

XXAG vv

2

1

2

1

22

11

0

)(XX

IXIX

IjXIjX

VVf

V

V V0

Vf

0

(s)

V

V V0

Vf

0

(s)

Oscilador Colpitts

Osciladores que utilizam transistores (FETs ou TBJs) e circuitos sintonizados como elementos de realimentação são usados na faixa de frequência de 100 kHz até centenas de MHz.

O oscilador Colpitts é mostrado abaixo:

O choque de RF (RFC) fornece alta reatância na frequência de oscilação 0, mas baixa resistência em DC.

Em DC, os capacitores C1 e C2 estão abertos, e, os indutores L e RFC estão em curto circuito.

(Na verdade, deve restar uma pequena resistência em série com o coletor, devido às perdas do indutor L.)

Em geral, RB1 e RB2 são da ordem de dezenas a centenas de k.

(continua...)

Recordação: transistores em altas frequências*

Em frequências de RF, o modelo do TBJ exibe uma resistência (rx, da ordem de algumas dezenas de ohms) e duas capacitâncias (C , da ordem de pF até algumas de pF, e C, entre frações de pF até alguns pF) parasitas.

De forma similar, o MOSFET exibe duas capacitâncias (Cgs, da ordem de dezenas de fF, e Cgd, da ordem de alguns fF) parasitas.

______________________________________________________________* Sedra, A. S. & Smith, K. C., Microeletrônica, 5ª. Edição, Pearson/ Prentice Hall, Brasil, 2007.

(rx é nulo e r é infinito)

(femto, f = 10-15)

(continua...)

Em AC, os capacitores de passagem entram em curto-circuito e o choque de RF fica em aberto.

Como rx

(continua...)

VosC1

0 V

Vo

VoR

Vo

L

C2 C1

Pode-se observar o amplificador de ganho G(s) e a malha de realimentação positiva (s) no circuito equivalente à direita:

Aplicando-se a lei de Kirchhoff ao nó C:

Quando as oscilações estiverem estabelecidas, V 0, e então, pode ser eliminada da equação:

G(s)

(s)

C

012 VgRVsCVVsC moo

0)1(1 22

12

VgVLCssCR

VsC m

0)1(2122212 RgCCsRLCsCLCs m

(continua...)

0)1(2122212 RgCCsRLCsCLCs m

_____________________________________________________________Substituindo-se: s = j, s2 = 2 e s3 = j3, vem

Esta igualdade ocorre se as partes real e imaginária são nulas.

Igualando-se a parte real à zero, tem-se a frequência de oscilação:

Igualando a parte real a zero, para o valor de 0 acima resulta:

Nestas condições, o ganho de malha deve estar na condição unitária: .

O ganho G, da base para o coletor, é:

e portanto, para manter a oscilação, G = gmR (em módulo) deve ser igual a razão C2/C1 :

0])([1 213

212

2

CLCCCj

RLC

Rgm

21

210

21

212021

20210

10])[(

CCCCL

CLCCCCLCCC

RgCC

RCC

RRg

RLC

Rg mmm

1

2

1

222

01101

1)()()( ssGsL

RgVVGRVgV mm

0

0

1

2

CCRgG m

(continua...)

1

2

CCRgG m

_______________________________________________________Para que as oscilações tenham início, o ganho de malha L(s) = G(s) (s) deve ser maior do que a Unidade, o que pode ser obtido aumentando-se G(s), mantendo-se (s) fixo.

Esta condição pode ser declarada como:

Com as oscilações aumentando em amplitude, as características não lineares do TBJ diminuem o valor efetivo de gm .

Com a diminuição do ganho efetivo gmR, reduz-se o ganho de malha até o ponto em que L(s) = 1 é exatamente satisfeito, mantendo-se, portanto, as oscilações (oscilador auto-realimentado).

1

2

CCRgm

BE

Cm dv

dig 112 mm gg

Oscilador Hartley

O circuito AC do oscilador Hartley é mostrado no circuito baixo (dual do oscilador Colpitts):

A frequência de oscilação é:

As características não-lineares do TBJ implicam que a forma de onda da corrente no coletor também será distorcida de modo não-linear.

Entretanto, o sinal de tensão de saída ainda será senoidal de alta pureza por causa da ação de filtro do circuito LC sintonizado. (fim do Adendo) #

CLL )(1

210

ttxAtAtx ccccc sin)(cos)(

Moduladores de PM e de FM indireto

Moduladores de PM são interessantes porque:

Sua implementação é relativamente fácil;A portadora pode ser suprida por uma fonte de frequência estável, como um oscilador controlado

a cristal; Integrando-se o sinal de entrada do modulador de fase, se produz uma saída modulada em frequência.

Modulador de fase com banda estreita (NBPM)

Sejam as equações da seção 5.1:

Assim, justifica-se o circuito por:

______________________________________________Alternativamente, o circuito NBPM pode ser obtido com o auxílio de um modulador DSB-SCbalanceado (o qual, essencialmente, é um multiplicador):

Este circuito opera adequadamente se a condição x(t)

Moduladores de frequência com banda estreita (NBFM)

A forma geral de um sinal FM (bandas estreita ou larga) é:

ou

sendo

Se f(t)=f g(t)

Adendo: Flip-flop JK mestre-escravo

+Vcc

CLKJ

K

Q

Q

CLK J K Qn+1 0 0 Qn 0 1 0

1 1 1

1 1

CLK

Q

nQ

Fim do Adendo #

1/2fc

Modulador de fase banda larga com circuito de chaveamento

O sinal de modulação x(t) e a onda dente-de-serra no dobro da frequência portadora são aplicados a um comparador.

A saída do comparador vai a nível alto sempre que x(t) excede a onda dente-de-serra, e, o flip flopchaveia a entrada a cada borda de subida de um pulso do comparador.

O flip-flop produz uma onda quadrada modulada em fase (tal qual a saída de um limitador), e, a filtragem passa-banda gera xc(t).

=0 1 2 31>02>13>2

saída do comparador

saída do flip flop

x(t)

dente-de-serra

1/fc1/fc

Modulação de FM banda larga com multiplicador de frequências

A necessidade de operar com D = f/W elevado para FM é equivalente à operação com índice de modulação AM () elevado, de forma a tornar barato o receptor.

Recordando a geração de FM pelo método direto, é necessário: , para C/C0 < 0,013.

Entretanto, a NBFM não pode trabalhar com f grande, pois xc(t) poderá apresentar distorção em seus terminais: f grande C/C0 grande torna-se necessário mais termos na sua série binomial termos em x2(t) distorção torna-se difícil a geração direta de FM banda larga._________________________________________________________________________________

Contudo, pode-se obter FM banda larga utilizando-se como bloco básico o FM banda estreita:

para fm e Am fixos, e, sendo = (f Am )/ fm , varia-se f .

Denomina-se f esse f pequeno que gera NBFM, com 1 > f .

este fator permanece o mesmo

1 1cos[ 2 ( ) ]t

c cA t f x d

fm

])(2cos[)( 22 t

ccc dxftAtx

0

12 c

Cf fC

])(2cos[)( 22 t

ccc dxftAtxDeseja-se: , com f >> f .

este fator permanece o mesmo_______________________________________________________

Alterando-se f do sistema, pode-se aumentar= (f Am )/ fm sem alterar fm surgem mais linhas aumenta-se a banda de mensagem.

Uma forma de aumentar f utiliza uma cadeia de duplicadores e triplicadores de frequência, formando um conjunto multiplicador de frequência.

Os multiplicadores típicos consistem de unidades duplicadoras ou triplicadoras como a indicada na Figura 5.2-6b:

Figura 5.2-6b

fm

ein eout

fm

ein(t)

eout(t)

fc1

2

fc >> fc2

1

11 1 1 1 1( ) cos[ 2 cos ] cos[ sin ] cos[ sin ]

min c m m c m c m

m

A fe t t f A t dt t t t tf

2 2 1

1 1 1 1 11( ) ( ) cos [ 2 cos ] 1 cos[2 2 sin ] cos[2 2 sin ]2

mout in c m m c m c m

m

A fe t e t t f A t dt t t t tf

muda fcmuda não muda espaçamento fm

_________________________________________________Importante: o processo de multiplicação é sutil, afetando a banda da variação de frequência (2fm) mas não a sua taxa (de fm em fm ).

Por exemplo, numa modulação de tom, a multiplicação de frequência aumenta a frequência da portadora e o índice de modulação, mas não a frequência de modulação (fm), tal que a amplitude das linhas de banda lateral é alterada, enquanto o espaçamento de linhas permanece o mesmo.

Exemplo: o dobrador de frequências

_________________________________________________

Exemplo: Multiplicador com dispositivo de lei quadrática e sinal de modulação arbitrário

Entrada NBFM: , para Ac=1 por simplicidade.

Saída FM:

sendo:

Removendo-se o termo DC, obtém-se:

o qual possui a forma geral do sinal FM, porém, com f mais elevado que em NBFM.

Tanto o desvio de frequência do sinal de saída quanto a portadora são iguais ao dobro dos valores correspondentes ao sinal de entrada. #_____________________________________________________

No caso de um multiplicador por n vezes ( n):

])(2cos[)( 11 t

ccin dxftAte

2 21 1 1 1

2 2

1( ) ( ) cos [ 2 ( ) ] 1 cos[2 2 2 ( ) ]21 1 cos[ 2 ( ) ]2

t t

out in c c

t

c

e t e t t f x d t f x d

t f x d

1212 22 ffcc

])(22cos[21)( 22 dxftte

t

cout

ein eout

1 1 1 1( ) cos[ 2 ( ) ] cos[ ( )]t

out c ce t n t n f x d n t n t 1(t)

1 1 1 1( ) cos[ 2 ( ) ] cos[ ( )]t

in c ce t t f x d t t

Modelo de FM indireto (ou de Armstrong)

Se T for a constante de proporcionalidade do integrador, o sinal NBFM será

A frequência instantânea do sinal NBFM é:

O desvio de frequência inicial, portanto, é igual a f/2T , e deve ser aumentado para o valor desejado f >> f, através de um multiplicador de frequências.

1 1 11( ) cos ( ) cos[ ( ) ]

t

c c c c cx t A t A t x dT

1 1 11 1( ) ( ) ( )

2 2c cf t t f x t

T

11 1( ) ( )c

ff t f x tT

Atenção: no livro, é usado para NBFM, em vez de

( ) ( )cf t f f x t

a integral de x(t) entra no modulador de fase

1 1 1( ) ( )cf t f f x t 2 1 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )c cf t n f t nf n f x t f f x t

11

2f nf n

T

1 1

f Dnf D

LOcc fnff 1 )()( txfftf c

1 1 1( ) ( )cf t f f x t

multiplica fc1 e f por n

D = f/W

Atenção: no livro, f é usado para FM banda larga, em vez de f

_____________________________________________________________

na entrada na saída.

onde , ou seja, .

O valor de n adequado depende do desvio de frequência final desejado, f:

Normalmente, isto resulta em fc2 >> fc1 , e assim, a frequência central pode atingir valores muito elevados.

Portanto, a Fig. 5.3-5 inclui um conversor de frequência que translada o espectro, intacto, para uma frequência mais baixa , e assim, a frequência total torna-se .

O último componente do sistema é um amplificador de potência, desde que todas as operações anteriores devem ser utilizadas sob baixos índices de potência.

f/2T

Exemplo 5.3-1: FM indireto

Transmissor de Armstrong para FM comercial: fc1 = 200 kHz, /2T = 15 Hz e f = 75 kHz.

O valor = 15 Hz pequeno, garante que, para W = 15 kHz, ocorra:

pequeno, a condição necessária para NBFM sem problemas de distorção.

Como o desvio de frequência desejado é f = 75 kHz, ,

o qual pode ser obtido com uma cadeia de 4 triplicadores e 6 dobradosres, pois n = 34 26 = 5.184.

Porém, fc2 = nfc1 = 5.000200 kHz = 1.000 MHz = 1 GHz, é uma frequência muito grande.

Utiliza-se um estágio de heterodinagem, com um segundo oscilador a cristal, para transladar o espectro para um local conveniente: 88 MHz a 108 MHz para FM comercial.

Por exemplo, para a emissão com fc = 100 MHz, usa-se fOL = 900 MHz. (ver diagrama a seguir)

311 1 3

15 1 1015 10critico

fDW

(continua...)

_____________________________________________________1 2

fT

Atenção: no livro, é usado para NBFM, em vez de

NBFM

1 2f

T

D = f/W1 1

f Dnf D

1

75 k 5.00015

fnf

Transmissor de FM indireto: fc1 = 200 kHz, /2T = 15 Hz e f = 75 kHz.

1 1200 kHz, 15 Hzcf f

f = n f1 = 75 kHzfc2 = nfc1 = 1.000 MHz

fOL = (1000100) MHz

fc = 100 MHz

FM com onda triangular (FM triangular wave)

O método gera modulação sem distorção em frequência portadora até 30 MHz, e, é bastante conveniente para aplicações em instrumentação eletrônica.

O FM triangular será definido recorrendo-se a com

onde o deslocamento de fase inicial foi incluído tal que .

Esta fase inicial não afeta a frequência instantânea

Um sinal de FM triangular de amplitude unitária é expresso em termos de como

a qual define uma forma de onda triangular quando [e, por isso, ]:

)0( 0)0( c

)(tc

0)0( 0)( t

ct cosct x (t) = (2)arcsin[cosct ]

0 1 (2) arcsin(1)= (2) /2=1

/2 0 (2) arcsin(0) = 0

1 (2) arcsin(1)=(2) (/2) = 1

3 0 (2) arcsin(0) = 0

2 1 (2) arcsin(1) = 0

x

+1

10 ct 3

________________________________________________Mesmo quando (t) 0, a equação (5.3-5a) representa uma função triangular periódica de c :

a)

b)

Portanto,

e assim por diante, para c > 2.

Figura 5.3-6(a)

)()](1[2

)(cos)](1[2

cos)(cos2

)(2

cos ttxttxttx ccc

)(cos)(2

sin)](arcsin[cos2)( ttxttx cc

)()](3[2

)(cos)](3[2

cos)(cos2

3)(2

cos ttxttxttx ccc

Adendo: Schmitt trigger (circuito biestável não inversor)*

Circuito usando amplificador operacional:

Quando a tensão de entrada aumenta e ultrapassa VTH a saída chaveia do estado baixo (L) para alto (+L+).Ocorre o inverso quando a entrada diminui e fica menor que VTL .

Tensões de disparo:

_____________________________________________________* Sedra, A. S. & Smith, K. C., Microeletrônica, 5ª. Edição, Pearson/ Prentice Hall, Brasil, 2007.

2

1

RRLVTL

2

1

RRLVTH

realimentação positiva

(fim do Adendo)

A Fig. 5.3-6(b) mostra o diagrama de blocos de um sistema que produz x(t) a partir da tensão:

a qual é prontamente obtida a partir da mensagem x(t).

O circuito consiste de um inversor analógico, um integrador e um Schmitt trigger que controla uma chave eletrônica.

_______________________________________________O trigger coloca a chave na posição upper sempre que x(t) aumenta para +1, e, coloca a chave na posição lower sempre que x(t) decresce para 1.

Supõe-se que o sistema opera em t = 0 com x(0) = +1, e com a chave na posição upper x(0) = +1.

Então, para 0 < t < t1 :

tal que x(t) percorre a rampa decrescente na Fig. 5.3-6a, até o tempo t1 , quando x(t1) = 1, correspondendo a c(t1) = .

t = t1upper

lower

x(t)

t = 0

t = t2

+11

t = t1upper

lower

x(t)

t = 0

t = t2

+11

t = 0

t = t1

t = t2

_________________________________________________O trigger leva a chave para a posição lower:

A seguir, x(t) percorre a rampa ascendente, até o tempo t2 , quando x(t2) = +1 com c(t1) = 2:

A chave retorna à posição upper, e o ciclo de operação segue periodicamente, para t > t2 .

x(t) percorre a rampa decrescente até o tempo t1 , quando x(t1) = 1 e c(t1) = .

Exemplo: fc = 10 kHz, fm = 1 kHz, = 5.

x(t)

x(t)

Um sinal FM senoidal é obtido a partir de x(t) usando um formatador de onda não-linear, com característica de transferência:

que executa a operação inversa da Eq. (5.3-6a).

(continua...)

tttftftxtttt mcccc 10002cos000.1022cos2)()()(

)(2

sin)]([ txAtxT c

)(2

sin)]([ txAtxT c

______________________________________________________________

Outra alternativa, é aplicar x(t) a um hard limiter para produzir FM com onda quadrada:

A seguir, um filtro passa banda pode gerar uma onda FM de amplitude constante, desde que as componentes da forma de onda ceifada não tenham sobreposição espectral. #

)]0()(cos[)](cossin[arcsin)arcsin(cos22

sin)(2

sin

ttAAAtxA ccccccc

+Ac

Ac t

Detectores de Frequência (ou Discriminadores de FM)

Um detector de frequência, frequentemente chamado de discriminador, produz uma tensão de saída que varia linearmente na frequência instantânea de entrada.

Se o sinal de entrada do discriminador de FM/PM obedecer a (5.1-1), ou seja, a:

sua saída será:

onde KD é a sensibilidade do discriminador.

Especificamente, para FM:

sua saída será: ])(2[)( dxfKtyt

DD

( ) ( )D Dy t K t

Detectores de Frequência (ou Discriminadores de FM)

Um detector de frequência, frequentemente chamado de discriminador, produz uma tensão de saída que varia linearmente na frequência instantânea de entrada.

Se o sinal de entrada do discriminador de FM obedecer a (5.1-1), ou seja, a:

sua saída será:

onde KD é a sensibilidade do discriminador.

Especificamente, para FM:

sua saída será:_________________________________________________A maioria dos circuitos para detecção de frequência se enquadra numa das quatro categorias abaixo:

i – Conversor de FM para AM;ii – Discriminador por deslocamento de fase;iii – Detecção de cruzamento de zero;iv – Realimentação de frequência.

sendo que as três primeiras são discutidas neste capítulo, enquanto a quarta (PLL – Phase LockedLoop) é estudada no capítulo 7.

])(2[)( dxfKtyt

DD

( ) ( )D Dy t K t

Obs: A detecção de fase analógica (PM) não será discutida, pois raramente é utilizada na prática; além disso, isto pode ser realizado integrando-se a saída de um detector de frequências. ______________________________________________________________________________

Lembre-se que a modulação PM é definida por (5.1-1), ou seja, por:

com

isto é

Em PM ocorre:

e então, o sinal na entrada de um discriminador de FM seria:

Na saída do discriminador, se teria um sinal proporcional à frequência instantânea:

Portanto, integrando-se yD(t) no tempo, recupera-se o sinal de mensagem:

#)()( txKty D

PMD

)()()( txKtKty DDFMD

)](cos[)](cos[)( txtAttAtx ccccc

)(21 txfc

ver abaixo

i - Conversão de FM para AM

Qualquer dispositivo ou circuito cuja saída é igual à derivada temporal da entrada produz conversão de FM para AM.

Seja com .

Então, diferenciando:

)(cos)( tAtx ccc )]([2)( txfft cc

mensagem + bias DC portadora

continua...

O diagrama da Fig. 5.3-7a esquematiza o detector de frequência baseado na Eq. (5.3-6):

continua...

(5.3‐6)

O diagrama da Fig. 5.3-7a esquematiza o detector de frequência baseado na Eq. (5.3-6):

___________________________________________________________________ Limitador de entrada: remove quaisquer variações espúrias de amplitude de xc(t) antes que atinjam

o detector de envoltória.

LPF: remove descontinuidades na forma de onda, e assim, facilita a diferenciação.

Boqueio DC: remove o offset constante produzido pela frequência portadora do sinal na saída.

O diagrama da Fig. 5.3-7a esquematiza o detector de frequência baseado na Eq. (5.3-6):

___________________________________________________________________ Limitador de entrada: remove quaisquer variações espúrias de amplitude de xc(t) antes que atinjam

o detector de envoltória.

LPF: remove descontinuidades na forma de onda, e assim, facilita a diferenciação.

Boqueio DC: remove o offset constante produzido pela frequência portadora do sinal na saída.

Para a implementação prática do conversor FM para AM, recorda-se o fato que um diferenciador ideal [H(s) = s] tem uma resposta em frequência cujo módulo é: H(f)=2f.

Ligeiramente acima e abaixo da ressonância (f0), a resposta em frequência de um circuito sintonizado, se aproxima da resposta linear em amplitude desejada, ao longo de uma pequena faixa de frequências.

continua...

inclinação de +20 dB/década

circuito diferenciador

discriminador detector de envoltória

DC+Kd fx(t)

DC+Kd fx(t)

discriminador detector de envoltória

Exemplo: Discriminador de FM com circuito RL

Detector de inclinação + receptor de AM não sintonizado.

Problema: pouca sensibilidade e bias DC.

Exemplo: Circuito RLC sintonizado em fc

Discussão: O problema do bias DC

As redes anteriores tornam necessária a utilização de um bloqueio DC nas suas saídas, devido à presença do bias DC.

Entretanto, o capacitor de bloqueio eliminaria uma característica inerente da modulação FM, qual seja, que a FM responde à DC.

Torna-se interessante um circuito que não gere um bias DC na saída.

fc

t

t

H(f)

f

Kfftxfftf cc )()(

KfKD

output

00

0

sinal demensagem

x(t) = K

conversão de FM para AM

Bias DC

continua...

Exemplo: Discriminador balanceado (detector Round-Travis)

Uma linearidade extendida pode ser obtida com o circuito discriminador balanceado da Fig. 5.3-8b:

(continua...)

O sistema apresenta dois circuitos ressonantes no secundário, um sintonizado na frequência 1, H1(), acima da portadora c, e outro, H2(), sintonizado em 0, abaixo de c.

A curva resultante, H(), é denominada de curva-S do discriminador por razões evidentes.(continua...)

Análise gráfica: ponto de vista do diodo superior

outputafter D1

0 0

signalbefore D1

FM to AM envelope detector

1

output afterDC block

(continua...)

Análise gráfica: ponto de vista do diodo inferior

outputafter D2

output afterDC block

0 0

2

FM to AM envelope detector

(continua...)

signalbefore D1

Análise gráfica: Ao se conectar ambos os circuitos, H(f) assume a forma da curva-S.

Para todos os efeitos, o diodo superior enxerga a porção acima de fc, ....

+

+

)( fH

f

fc0 0

0

t

t

)(tf

outputafter D1S-curve

frequênciainstantânea

signalbefore D1

FM to AM envelope detector

1

(continua...)

....enquanto o diodo inferior enxerga a porção da reta abaixo de fc.

)( fH

f 0 0

0

t

t

)(tf

outputafter D2

S-curve

frequênciainstantânea

fc

signalbefore D1

2

FM to AM envelope detector

(continua...)

Análise circuital:

Sinais de entrada (no secundário do trafo): Xc1() = Xc0() sendo Xc1() = (N0 /N1) Xc().

Conforme f(t) varia, as variações de amplitude estão em sentidos opostos, de modo que a diferença entre essas variações gera a saída:

f0 < fc

f1 > fc

+xc1

+xc0

+

yc1

+

yc0

+

yD1

+

yD0

yc

+xc(t)

)()]()([)()()()()()()( 101101101 cccccc XHHXHXHYYY

aproximadamente linear com (continua...)

N0

N1

N0

0 volts

)()]()([)()()()()()()( 101101101 cccccc XHHXHXHYYY _____________________________________________________________

Portanto, com , para 0 < < 1 .

A resposta em frequência resultante forma a bem conhecida curva-S do discriminador de FM:

O discriminador de FM proporciona um sinal de saída cuja amplitude depende do desvio de frequência instantânea em relação à frequência portadora.

Para radiodifusão de FM com desvio de frequência máximo de f = 75 kHz, a característica do discriminador de FM desejado é mostrado acima. #

)()()( 1 cc XHY )()()( 01 HHH

Análise teórica do detector Round-Travis*

Um discriminador de frequência consiste de um circuito de inclinação seguido por um detector de envoltória.

Um circuito de inclinação ideal é caracterizado por uma resposta em frequência que é puramente imaginário, variando linearmente com a frequência dentro de uma faixa de frequência prescrita.

_________________________________________________________*Haykin, S., Communication Systems, 4th edition, John Wiley & Sons, NY, 2001.

jfH bp )(

)1(

1cf

21Wfc

1cf21

Wfc

21Wfc 21

Wfc

outside022

,2

2

22,

22

)()1( WffWfWffaj

WffWfWffaj

fHccc

ccc

bp

2W

2W

jfH p ))

)1(

O sistema equivalente passa-baixa será:

O sinal de FM de entrada é:

Recorrendo-se a (4.1-5),

e (4.1-11b),

obtém-se o sinal equivalente passa-baixa da estrada:

outside022

,2

2)()1(WfWWfajfH p

])(2cos[)( t

ccc dxftAtx

])(2exp[2

)( 0 dxfjAtx tcp

_______________________________________________Seja o sinal equivalente passa-baixa na saída, cujo espectro é:

onde é a TF de .

Usando o teorema da diferenciação (2.3-8).ou seja

deduz-se que

Derivando-se no tempo se obtém:

e assim

)()1( ty p

outside022

),(2

2)()()()1(

)1()1()1(WfWfXWfajfXfHfY pppp

outside022

,2

2)()1(WfWWfajfH p

)( fX p )()1( tx p

)(

)()()1( tWxj

dttdx

aty pp

p

)()1( tx p

])(2exp[2

)( 0 dxfjAtx tcp

])(2exp[)(])(2exp[]})(2{exp[2

)(000 dxfjtxfAjdxfjdxfjdt

dAdt

tx tc

ttcp

])(2exp[21)( 0

)1( dxfjWfWaAjty tcp

____________________________________________________A resposta desejada é obtida aplicando-se (4.1-12):

Escolhendo-se para todo t, pode-se usar um detector de envoltória para recuperar as

variações de amplitude, recorrendo-se a (4.1-5), ou seja:

Com

O bias DC (W a Ac)/2 é proporcional à inclinação “a “ da resposta em frequência do circuito de inclinação.

Isto sugere que o bias pode ser removido subtraindo-se da saída do detector de envoltória, A1(t), a saída de um segundo detector de envoltória precedido por um circuito de inclinação complementar

, tal que fc1 fc2 = W .

])(2exp[)(21Re2])(Re[2)(

0

)1()1( dxfttxWfWaAjetyty

t

cctj

pbpc

])(2exp[21)( 0

)1( dxfjWfWaAjty tcp

2)(22cos)(

21

2)(2exp)(

21Re2)(

0

0

)1(

dxftftxWfWaA

dxfttxWfWaAjty

t

cc

t

ccbp

1)(2 txWf

)](cos[)()( 1 tttAty cbp

)(221)(1 txW

fWaAtA c

)()2( fH bp

jfH bp )(

)2(

1cf 2cf

2cf 1cf

22Wfc

22Wfc

22Wfc

22Wfc

2W

2W

f

______________________________________________Segundo detector de envoltória precedido por um circuito de inclinação complementar , tal que fc1 fc2 = W :

Procedendo-se a uma análise similar à anterior, mostra-se que a segunda envoltória será:

A diferença entre as duas envoltórias é:

a qual está livre do bias.

Isto sugere que a resposta em frequência global seja obtida a partir de:

)()2( fH bp

)(221)(2 txW

fWaAtA c (mostrar isto!)

)(4)()()( 21 txaftAtAtA

)(221)(1 txW

fWaAtA c

)()()( )2()1( fHfHfH bpbpbp

jfH bp )(

)1(

1cf

21Wfc

1cf21

Wfc

21Wfc 21

Wfc

A diferença entre as duas respostas em frequência será: )()()( )2()1( fHfHfH bpbpbp

jfH bp )(

)2(

1cf 2cf

2cf 1cf

22Wfc

22Wfc

22Wfc

22Wfc

)( fHbp

cfcf21

Wfc 22

Wfc 0 f

Resposta em frequência global

)()2( fH bp

)()1( fHbp)(txc

)()()( )2()1( fHfHfH bpbpbp

Pode-se modelar o discriminador de frequência ideal como um par de circuitos de inclinação com resposta em frequência e , seguido por detector de envoltória e um somador.

Este esquema pode ser realizado usando o detector Round-Travis:

)()1( fHbp )()2( fHbp

)( fHbp

cfcf21

Wfc 22

Wfc 0 f

Resposta em frequência vista pela metade superior

Resposta em frequência vista pela metade inferior

Resposta em frequência vista pela metade inferior

Resposta em frequência vista pela metade superior

Detector Round-Travis:

Metade inferior

Metade superior

D1

D2

As seções de filtros ressonantes, superior e inferior, estão sintonizadas em frequências acima (fc1) e abaixo (fc2) da frequência da portadora não modulada (fc), respectivamente.

A separação de frequência de 3 dB proporciona resultados satisfatórios, onde 2B é a largura de banda de 3 dB de cada filtro. #

Assume-se que ambos os filtros possuam fatores Q elevados

A linearidade da porção útil da resposta em frequência total é determinada pela separação das duas frequências de ressonâncias.

ii - Discriminador por desvio de fase

Os discriminadores por desvio de fase envolvem circuitos com resposta linear de fase, em contraste com a resposta linear de amplitude da detecção de inclinação.

O princípio básico vem da aproximação para diferenciação no tempo:

desde que t1 seja pequeno comparado à variação de v(t).

Dado que um sinal de FM possui , tem-se

sendo que (tt1) pode ser obtido com a ajuda de uma linha de retardo ou, equivalentemente, comuma rede de desvio de fase linear.

No primeiro caso, tem-se o circuito desenhado abaixo, com uma rede de retardo de fase t1:

)(2)( txft

1/t1envelopedetector

DCblock

delay line t1

+xc(t) yD(t)

)()()( 11 ttxtxtt cc )(2)( 1 txtft

+

1/t1envelopedetector

DCblock

delay line t1

+xc(t) yD(t)

)()()( 11 ttxtxtt cc )(2)( 1 txtft

+

_____________________________________________________O fator t1 deve ser pequeno reativamente às variações temporais de xc(t): t1

______________________________________________________Da Eq. 5.2-11a,

o sinal deslocado em fase é proporcional a

A multiplicação por gera:

Após passar por um filtro passa-baixa, gera-se um sinal proporcional a:

assumindo-se que t1 é pequeno o suficiente, tal que .

)](sin[)](90cos[ 110 tttttt cc

)](cos[ ttc

)(sin)(sincossin)(sin)(coscos

)(cos)(sinsin)(cos)(coscossin

)](sinsin)(cos[cos)](sincos)(cos[sin

112

12

1

11

tttttttttttttttttt

tttttttttt

ccc

ccc

cccc

2)]()(cos[)]()(sin[

22sin

2)]()(sin[)]()(sin[

22cos1

2)]()(sin[)]()(sin[

22cos1

2)]()(cos[)]()(cos[

22sin

1111

1111

tttttttttttttt

tttttttttttttt

cc

cc

)()( 1ttt

Sinal de saída proporcional a______________________________________________________Portanto,

sendo KD = 2t1.

A despeito dessas aproximações, um detector de quadratura proporciona melhor linearidade que um discriminador balanceado, e, frequentemente é usado em receptores de alta qualidade.

iii – Detector de cruzamento de zeros

O sinal de FM após o hard limiter dispara um gerador de pulsos monoestável, que produz um pulso curto de amplitude A e duração , fixos, a cada subida (ou descida) no cruzamento de zero do sinal de FM.

Se for possível invocar o ponto de vista quase-estático, no qual o intervalo de tempo T é tal queW

Atualmente, a maioria dos dispositivos de comunicação por FM utilizam circuitos integrados para detecção de FM.

Suas confiabilidade, pequeno tamanho e facilidade de projeto têm incentivado o crescimento de FM two-way portátil e sistema de comunições celulares por rádio.