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Departamento de Física, FCTUC v. 4.1, Fevereiro 2012

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ONDAS E ÓPTICA - Trabalho Prático nº 2

LENTES ESPESSAS; ASSOCIAÇÃO DE LENTES

1. Objectivosi) estudar a formação de imagens dadas por sistemas ópticos simples constituídos pela

associação de duas lentes delgadas, e testar a aproximação paraxial (ou de Gauss) usando as

equações de Newton e de Gauss;

ii) determinar a distância focal efectiva da associação das 2 lentes e localizar os pontos

cardinais do sistema óptico;

iii) estudar o princípio de funcionamento do telescópio de Galileu.

2. EquipamentoDuas lentes convergentes; uma lente divergente; banco de óptica; objecto luminoso; espelho

plano; alvo; fita métrica.

3. Lentes espessas

Uma lente simples é um sistema constituído por dois dioptros, sendo pelo menos um deles

curvo. Se a sua espessura d (distância entre os vértices dos dois dioptros) for desprezável ela

designa-se por lente delgada. As lentes cuja espessura não é desprezável designam-se por lentesespessas.

A equação dos focos conjugados para uma lente espessa, na aproximação paraxial (equação de

Gauss), é dada por*

1 1 1

s s ' f + =

admitindo a convenção de sinais do real-positivo. Nesta expressão, f representa a distância focal

efectiva da lente espessa (ou sistema de lentes), s é a distância do objecto ao plano principal objecto

e s’ é a distância da imagem ao plano principal imagem (ver Fig. 1). De acordo com a convençãoadoptada, s > 0 se o objecto estiver à esquerda do plano principal objecto (i.e., do lado da luz

incidente) e s’ > 0 para imagens que se formam à direita do plano principal imagem do sistema

(admitindo que a luz incide da esquerda para a direita). A distância focal efectiva também é medidarelativamente aos planos principais da lente ( f = 1FH e f’ = 2H F ' , ver Fig. 2) e é positiva para

lentes convergentes e negativa para lentes divergentes. As distâncias h1 e h2 representam,

respectivamente, as distâncias do plano principal objecto ao vértice V1 e do plano principal imagem

ao vértice V2. Estas distâncias são positivas se os planos principais estiverem à direita dos

respectivos vértices. Na Fig. 1, por exemplo, h1 > 0 mas h2 < 0.

* “Óptica”, E. Hecht, Ed. Gulbenkian;

(1)




2

Fig. 1 – Planos principais de uma lente espessa biconvexa: h1 – distância do plano principal objecto(ou 1º plano principal) ao vértice V1 do dioptro 1; h2 – distância do plano principal imagem (ou 2ºplano principal) ao vértice V2 do dioptro 2.

A equação das lentes de Newton é dada por,

f 2= x x’

em que x e x’ são, respectivamente, a distância do objecto ao plano focal objecto e a distância da

imagem ao plano focal imagem (ver Fig. 2). x > 0 se o objecto estiver à esquerda do foco objecto

(admitindo que a luz incide da esquerda para a direita) e x’ > 0 se a imagem estiver à direita do focoimagem. Esta equação é muito conveniente para o estudo de lentes espessas ou sistemas de lentes.

Fig. 2 – Diagrama de raios: imagem de objecto real dada por uma lente convergente espessa, ou um

sistema de 2 lentes com vértices V1 e V2.

A ampliação lateral (ou transversa) de uma lente é dada por i

o

y s 'M

y sT = = − , em que yi e yo são,

respectivamente, o tamanho da imagem e do objecto.

(2)

yi

yo

V2V1

h2

h1

s s’

objecto

imagem

s s’




3

4. Associação de lentes

Uma lente espessa também pode ser encarada, de uma forma mais geral, como um sistema

óptico constituído por uma associação de lentes delgadas ou espessas. A associação de lentes pode,

por isso, ser representada por dois planos principais, o plano principal objecto (ou 1º plano

principal) e o plano principal imagem (ou 2º plano principal), relativamente aos quais se definem asdistâncias focais e as distâncias objecto e imagem. Mostra-se† que a localização dos planos

principais de uma associação de duas lentes L1 e L2, de distâncias focais f 1 e f 2, respectivamente,

separadas de uma distância d, fica perfeitamente determinada se se conhecer a distância focal

efectiva f da combinação das 2 lentes. As distâncias h1 e h2 são então obtidas a partir das seguintes

relações

1 1 1d

h V H2

f

f = = e 2 2 2

dh V H

1

f

f = = −

em que H1, H2, V1 e V2 são, respectivamente, o ponto principal objecto, o ponto principal imagem, ovértice da lente L1 e o vértice da lente L2 (Fig. 2). A distância focal efectiva da combinação das

duas lentes é dada por1 1 1

1 2 1 2

d

f f f f f = + − .

e a ampliação lateral é igual ao produto das ampliações individuais, i.e.,

1 2

1 2

s ' s ' s '

M s s sT

= − − = −

em que s’1 e s1 são a distância imagem e distância objecto relativas à lente L1, s’2 e s2 são as

distâncias imagem e objecto relativas à lente 2 e s’ e s são as distâncias imagem e objecto relativas

ao sistema das duas lentes (e por isso medidas relativamente aos pontos principais do sistema

óptico).

5. Instrumentos Ópticos

Define-se a ampliação angular de uma lente ou sistema de lentes, como a razão entre o tamanho

da imagem formada na retina quando o objecto é observado através da lente ou associação de lentes

e o tamanho da imagem formada na retina quando o objecto é observado directamente.

5.1 Lupa

A ampliação angular de uma lupa é dada por

( )oA

d 1M 1 L

L

l

f

= + −

† “Óptica”, E. Hecht

(5)

(4)

(6)

(3)




4

com

do = distância mínima de visão distinta;

L = distância do olho à imagem final dada pela lupa;

f = distância focal da lente;

l = distância do olho à lente.

Para uma observação com o olho relaxado (sem acomodação), MA = do / f .

5.2 Telescópio de Galileu

Um telescópio é um instrumento óptico utilizado para a observação de objectos distantes. O

telescópio de Galileu é constituído por uma lente convergente (a objectiva) e uma lente divergente

(a ocular), sendo a distância focal da objectiva muito maior que a da ocular (em módulo) (ver

Fig.3). A amplificação angular do telescópio é dada por

Aoc

M ob f

f = −

em que f ob é a distância focal da objectiva e f oc é a distância focal da ocular.

Fig. 3 – Esquema de um telescópio de Galileu para observação de objectos distantes e olho não

acomodado.

6. Questões pre-laboratoriais ‡

1. Considere um sistema óptico composto por uma lente convergente com uma distância focal f =

+12 cm e um espelho plano colocado a 4 cm da lente, do lado oposto ao da luz incidente (ver

Fig. 4). Represente num diagrama de raios a formação da imagem quando o objecto luminoso se

encontra no plano focal objecto da lente.

2. Considere a associação de duas lentes convergentes, L1 e L2, separadas de 2,5 cm. O foco objecto

da associação das 2 lentes está 2 cm à esquerda da lente L1 (i.e., do lado da luz incidente) e o

foco imagem está 3cm à direita da lente L2. Verifica-se que a imagem de um objecto colocado a

‡ Estas questões devem ser respondidas na folha incluída no Anexo a este documento e entregues

ao Professor no início da aula laboratorial.

(7)

f ob

f oc




5

10 cm da lente L1 se forma 5 cm à direita de L2. Determine a distância focal da associação das 2

lentes e indique num esquema a posição dos focos e dos planos principais deste sistema óptico.

Determine também a distância focal de cada uma das lentes.

7. Procedimento experimental

7.1 Lentes delgadas

1. Usando uma das lentes convergentes de que dispõe, determine experimentalmente a

distância focal da lente.

Para tal, determine a posição dos focos da lente da seguinte forma:

- coloque um objecto luminoso a uma distância da lente aproximadamente igual à

distância focal nominal;

- coloque um espelho plano em frente à lente, perpendicularmente ao eixo óptico da

lente (cole-o ao anteparo);

Fig. 4

- mova o objecto para a frente e para trás até obter uma imagem nítida no plano do

objecto. Esta posição do objecto corresponde ao foco da lente. Porquê? Que foco é

este?

- Registe a posição§ da lente, do foco objecto e do foco imagem bem como as

incertezas nestas posições. Faça uma estimativa da distância focal.

7.2 Lentes espessas1. Coloque no banco de óptica uma das seguintes combinações

i) a lente L1 ( f 1 = + 10 cm) e a lente L2 ( f 2 = + 20 cm) a uma distância de 5 cm uma da outra;

ii) a lente L1 ( f 1 = + 10 cm) e a lente L2 ( f 2 = - 15 cm) a uma distância de 5 cm uma da outra;

2. Determine a posição dos focos desta associação de lentes conforme indicado no ponto 7.1

(note que neste caso terá de localizar quer o foco objecto quer o foco imagem. Porquê e

como?)

§ Posição = valor lido directamente na régua do banco de óptica.

Espelho

plano

O

L




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3. Determine a distância focal efectiva deste sistema de lentes usando a fórmula de Newton.

Para cada posição O do objecto, registe a posição I da imagem, a incerteza associada, e o

comprimento yi da imagem.

O I ±δI x δ x x' δ x’ f δ f yi±δ yi M l δ M l

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

7. 3 Telescópio de Galileu

1. Monte um telescópio de Galileu com as lentes de que dispõe de forma a poder fazer a

observação de objectos distantes sem acomodação.

2. Coloque o olho perto da ocular e tente observar objectos distantes. Assegure-se que está a

fazer a observação sem acomodação. A imagem é direita ou invertida?

3. Afixe o quadriculado anexo (Anexo I) numa parede e tente fazer uma estimativa da

amplificação da observação. Para tal use um dos olhos para ver através do telescópio e o

outro para olhar directamente para o quadriculado (ver Fig. 5). Compare as distâncias entre

as linhas num e noutro caso e faça uma estimativa da amplificação da observação.

Fig. 5 – Arranjo experimental para estimar a amplificação da observação através do telescópio

(manual da Pasco).

8. Análise de resultados

8.1 Lente delgada:

Compare o valor obtido no ponto 7.1 para a distância focal de uma das lentes com a

distância focal nominal.

Comente os resultados.

8.2 Lente espessa/Associação de lentes:




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Verifique a validade da fórmula de Newton para esta associação de lentes. Determine

graficamente a distância focal efectiva do sistema.

Indique num esquema a localização das lentes, dos focos objecto e imagem e dos pontos

principais H1 e H2 do sistema.

Mostre que se s e s’ forem, respectivamente, as distâncias do objecto ao ponto principal H1

e da imagem ao ponto principal H2, a equação 1 é verificada.

Compare os valores obtidos para a distância focal efectiva deste sistema óptico com o valor

esperado teoricamente.

Calcule a ampliação lateral para cada par objecto-imagem e compare com os esperados

teoricamente.

Comente os resultados.

8.3 Telescópio de Galileu

Comente os resultados obtidos.

Bibliografia:

E. Hecht, "Óptica", Ed. C. Gulbenkian;

F. L. Pedrotti, L. S. Pedrotti, "Introduction to Optics", 1992;




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Anexo - Questões pré-laboratoriais

Nome do aluno______________________________________________________

Data_______________; Turma PL___________

1. Considere um sistema óptico composto por uma lente convergente com uma distância focal f =

+12 cm e um espelho plano colocado a 4 cm da lente, do lado oposto ao da luz incidente (ver

Fig. 4). Represente num diagrama de raios a formação da imagem quando o objecto luminoso se

encontra no plano focal objecto da lente.

2. Considere a associação de duas lentes convergentes, L1 e L2, separadas de 2,5 cm. O foco objecto

da associação das 2 lentes está 2 cm à esquerda da lente L1 (i.e., do lado da luz incidente) e o

foco imagem está 3cm à direita da lente L2. Verifica-se que a imagem de um objecto colocado a

10 cm da lente L1 se forma 5 cm à direita de L2. Determine a distância focal da associação das 2

lentes e indique num esquema a posição dos focos e dos planos principais deste sistema óptico.

Determine também a distância focal de cada uma das lentes.

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