COMPARAÇÃO DE MÉTODOS NUMÉRICOS DE INTEGRAÇÃO APLICADO AO CÁLCULO DO VOLUME V DE UM REATOR TIPO

TUBULAR VERSUS A CONVERSÃO X.

Anatália Lúcia dos Santos Peixoto (UNIFACS, anatalia_peixoto@hotmail.com)

Orientador: Antônio Britto (UNIFACS, antonio.britto@pro.unifacs.br)

Palavras Chave: Reator tubular; método do trapézio; método de Simpson; Integração numérica.

Resumo

O objetivo deste trabalho utilizar os métodos de integração Método de Simpson com 5 e 7 pontos e o Método do Trapezio de 5 pontos em uma reação homogênea de 2ª ordem ocorrendo em um reator do tipo tubular (PFR) e assim calcular o volume deste reator em condições de temperatura e pressão constantes. Ao término foi comparado o volume encontrado na solução analítica com os respectivos volumes das soluções numéricas.

Introdução

O reator tubular consiste em um tubo cilíndrico vazio por onde passa a mistura reacional e é forma continua, não havendo acúmulo, e para reações em fase gás. Neste tipo de reator os reagentes são continuamente consumidos à medida que eles escoam ao longo do reator.²

Para os cálculos em reatores a equação geral de balanço molar é dada por:

Fj0 – Fj + ∫ rjdV = dNj/dt (Eq. 1)

É apartir desta equação que encontramos a equação do balanço molar utilizada para o cálculo de volume em projetos com reatores tubulares:

(Eq. 2)

Essa equação é utilizada para o cálculo analítico do volume do reator tubular, também é possível utilizar de métodos interativos, ou seja, métodos numéricos que são representados por um conjunto de modelos, ou métodos, utilizados no cálculo de problemas matemáticos de forma aproximada, sendo aplicado usualmente em problemas que não apresentam uma solução exata, ou simples, sendo necessária a aplicação da solução numérica que solucionam o problema quando não se é possível resolver analiticamente. Estes são representados por um conjunto de modelos de forma aproximada, sendo utilizado em problemas que não apresentam uma solução exata. Os métodos apresentados neste trabalho são: trapézio simples, trapézio composto, método de Simpson. ¹

O método do trapézio simples aproxima a integral em áreas de pequenos trapézios, que quando somados nos permitem obter aproximadamente a área que a curva representa. Veja na figura a seguir:

Figura 1. Área do trapézio aproximada.

A área do trapézio pode ser definida como A=(base maior + base menor) x altura / 2 , e acordo com a figura altura = b – a = x1 – x0, base maior = f(x0) e base menor = f(x1), logo:

(Eq. 3)

Se o intervalo for de maior amplitude, a regra do trapézio apresenta um erro maior, para que isto não influencie pode-se aplicar a regra do trapézio composta, onde é realizada a soma da área de n trapézios, cada qual com seu subintervalo, conforme figura abaixo:. ³

Figura 2. Área representada por trapézio composto.

∫x 0

x1

f ( x )dx≈h2 [f ( x0 )+ f ( x1 )]

Com a seguinte equação:

equação final do volume do reator PFR, para a reação do dióxido de nitrogênio é:

(Eq. 4)

Um método que aproxima ainda mais da área

real Para a solução analítica o valor da integral

é a regra de Simpson, que aproxima a integral da área sob arcos de parábola que interpolam a função. Podemos assim ter uma interpolação polinomial de segunda ordem substituída por uma equação com uma abordagem integral¹.

A equação utilizada para o método é apresentada abaixo:

(Eq.5)

Onde h é a amplitude dos pontos utilizados.

Figura 3. Área representada pela integração de Simpson.

A regra de Simpson também pode ser ampliada para mais pontos.

Resultados e Discussão

Para determinar o volume do reator tubular, foram utilizados os quatro métodos citados, verificando a comparação de erros relativos. Desenvolvendo a equação (2) de volume, temos:

compreende os pontos de 0 a 0,85, assim o btivemos a seguinte expressão, que nos trouxe o resultado para o Volume de 25274,41 L

V= 0,2780,977 X 0 , 0107² [ 1

1−x+ 1

1−x0 ]Já os métodos numéricos buscam somar áreas

menores que se aproximam do valor real do gráfico. Cada método também apresenta o seu erro relativo, dessa forma podemos escolher o melhor valor que adotaremos para o reator. Seguem abaixo as equações de cada método:

M é t od o d e T r a p é z io c o m po s to 5 po n t o s

h= 0,2125, x0 = 0 e xN+1 = xN + h, N=0,1,2,3.

M é t od o d e Si m p s o n 5 po n t o s

V=F A 0∫0

xdx

−r A

V=F A 0∫0

xdx

k CNO2

V=F A 0∫0

xdx

k [C¿¿NO 20(1−x )] ²¿

V=FA 0

k CNO 202 ∫

0

xdx

(1−x )2

Mé tod o d e Simp so n 7 po nto sAtravés da informação de que é um gás ideal,

podemos fazer a seguinte considerar a seguinte relação:

CNO 20=P X Y A

R X T

Sendo R= 0,082 (L.atm)/(mol.K), T= 1143,15K,P= 1 atm. Assim, a concentração de O2

nicial assume o valor de 0,0107 mol/L e FA0 é parâmetro de projeto. A

h= 0,1412, x0 = 0 e xN+1 = xN + h, N=0,1,2,3,4,5.

Na tabela 1, abaixo, resume-se os valores encontrados e os erros da integração numérica.

Volume (L) ԑAnalítica 25274,41Trapézio 34655,55 27,07%Simpson 5 28486,08 11,27%Simpson 7 26438,22 4,40%Tabela 1. Volume e erro correspondente.

Graficamente também é possível perceber a área que cada método representa. Observe abaixo:

808000Simpson 5

Conclusão

De acordo com os cálculos do volume para o reator PFR , concluiu que o melhor método utilizado com menor erro foi o de Simpson para 7 pontos, com ele que obtemos o resultado mais próximo do analítico, volume de26438,22 L, e um erro percentual de 4,40%, o que já era esperado, devido a sua amplitude do método. Em seguida o método de Simpson de 5 pontos que apresentou valor próximo do analítico com um erro percentual de 11,27%. O método do trapézio foi o menos indicado para este tipo de cálculo, pois apresenta um resultado muito distante do real, assumindo um erro de 27,07%. Esse erro é devido ao pequeno número de subintervalos, sendo necessários intervalos menores para que uma redução no erro seja alcançada.

608000

408000

208000

80000 0,5 1

pontos

Simpson 7 pontos

TrapézioReferência Bibliográfica

¹ QUADROS, Regis. Fundamentos de Cálculo numérico

²FOGLER, H.S.,Elements of Chemical ReactionEngineering, 2ª edição.³ HARBRA, Leonidas C. Cálculo numérico com

Gráfico 1. Representação das curvas de cada método. aplicações. 1987, São Paulo.