5 sistemas com dois grau de liberdade

1

Vibração e Ruido

Universidade Metodista de Angola Faculdade de Engenharia Mecâtronica

Prof. MSc. Davyd da Cruz Chivala

Davyd da Cruz Chivala 2

Programa

4-Sistemas com dois graus de Liberdade 4.1-Introdução 4.2- Equação do movimento 4.3- Vibração Livre não amortecidas. Modos naturais 4.4- Transformação de coordenadas.

Desacoplamento 4.5-Resposta a uma solicitação inicial 4.6-Sistemas Semi-definidos 4.7-Resposta a solicitação harmonica 4.8- Metodos de determinação das frequencias

naturais 4.8.1-Equação de Dunkerley Metodo de Rayleigh


4-Sistemas com dois grau de Liberdade 4.1-Introdução

Inumeros sistemas podem ser facilmente modelados

com um grau de liberdade, ou seja existe nestes sistemas uma equação que relaciona todas as coordenadas que definem a dinamica do sistema.

No caso de sistema com dois graus de liberdade, nestes sistemas não existe esta equação, e assim os elementos possuem dinamica distintas.

Sistemas com dois graus de liberdade tem doid estados naturais de vibração e que são conehcidos por modos naturais de vibração.


4-Sistemas com dois grau de Liberdade 4.2-Equação do movimento

Considere o sistema seguinte



Pelas equação de Newton temos:

(1) Que pode ser escrita da seguinte forma:

(2)

As equações (1) e (2) não são independentes pois

possuem termos de x1 e x2, e nestas condições o sistema diz-se acoplado.

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1221222323222

2122121111111

xxcxxkxkxctfxmxxcxxkxkxctfxm

−−−−−−=−−−−−−=

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )tfxkxcxkkxccxm

tfxkxcxkkxccxm

2121223223222

1222212112111

=−−++++=−−++++



A equação dois na pode ser escrita na forma matricial

fazendo

(3)

As matrizes apresentadas acima são as matrizes de massa, amortecimento e de rigidez.

[ ]Mm

m=

2

1

00 [ ]C

cccccc

=

+−−+

322

221

[ ]Kkkk

kkk=

+−−+

322

221



(3)

Os vectores são os vectores de deslocamento e de força. Assim a equação (2) escreve-se:

(4)

( )( ) ( ){ }txtxtx

=

2

1 ( )( ) ( ){ }tftftf

=

2

1

( ){ } ( ){ }tftx ;

[ ] ( ){ } [ ] ( ){ } [ ] ( ){ } ( ){ }tftxKtxCtxM =++


4-Sistemas com dois grau de Liberdade 4.3- Vibração Livre não amortecidas. Modos naturais

• Na ausencia de amortecimento e de forças

perturbadoras exteriores o sistema se reduz



E as equações reduzem-se

(5)

Que representam duas equações diferencias

homogenias e simultâneas. Se ; e que

são os elementos da matriz de rigidez e que

e os elementos da matriz de massas e teremos:

( )( ) 0

0

2321222

2212111

=++−=−++

xkkxkxmxkxkkxm

1121 kkk =+ 2232 kkk =+ 21122 kkk ==−

222111 , mmmm ==21120 mm ==



(6)

Assumindo que as massas m1 e m2 podem possuir frequencias e angulo de fase inicial iguais teremos:

(7)

Ande X1 e X2 representam as amplitudes

00

222121222

212111111

=+−=−+

xkxkxmxkxkxm

( ) ( )( ) ( )φω

φω+=+=

tXtxtXtx

coscos

22

11



Subistituindo (7) em (6) temos:

(8)

Uma vez em que os termos de cossenos não podem ser iguais a zero, então teremos:

(9)

( ){ }[ ] ( )( ){ }[ ] ( ) 0cos

0cos

2322

222

221212

1

=+++−+−

=+−++−

φωω

φωω

tXkkmXktXkXkkm

( ){ }( ){ } 0

0

2322

222

221212

1

=++−+−

=−++−

XkkmXkXkXkkm

ω

ω



Verifica-se que a eq.(9) é uma equação algebrica

simultanea, e que a solução trivial desta é X1=X2=0, neste caso não existe vibração. A solução não trivial calcula-se fazendo o determinante dos coeficientes de X1 e X2 igual a zero.

Ou (10)

( ){ }( ){ } 0det

322

22

2212

1 =

++−−−++−

kkmkkkkm

ωω

( ) ( ) ( ){ } ( )( ){ } 0223221

2132221

421 =−++++++− kkkkkmkkmkkmm ωω



Resolvendo (10) obtemos:

Pode verificar que teremos: e correspondentes a

e e correspondentes a

( ) ( )

( ) ( ) ( )( )212

21

223221

2

21

132221

21

13222122

21

421

21,

−++

−

+++

+++

=

mmkkkkk

mmmkkmkk

mmmkkmkk

ωω

( )11X ( )1

2X

1ω ( )21X ( )2

2X 2ω



Atendendo ao facto de que (8) é homegenea somente

os racios e são

calculaveis.

(12) (13)

( ) ( ){ }11

121 XXr = ( ) ( ){ }2

12

22 XXr =

( )

( )( )

( )32212

2

2

21211

11

12

1 kkmk

kkkm

XXr

++−=

++−==

ωω

( )

( )( )

( )32222

2

2

21221

21

22

2 kkmk

kkkm

XXr

++−=

++==

ωω



Verifica-se que os resultados de (12) e (13) são

identicos. Os modos normais de vibração correspondentes a e

a e são expressos por:

Os vectores e que denotam os modos normais de vibração são conhecidos por Vectores modais

21ω

22ω

( )( )

( )

( )

( )

( )( )

( )

( )

( )

=

=

=

=

212

21

22

212

111

11

12

111

XrX

XX

X

XrX

XX

X

( )1X ( )2X



A solução da vibração livre é dada por

primeiro modo (14)

segundo modo (15)

Nas equações (14) e (15) as constantes , , e São determinados por condiçãoes iniciais

( )( )( )( )( )( )

( ) ( )( ) ( )

++

=

=11

111

111

11

2

111

coscos

φωφω

tXrtX

txtx

tx

( )( )( )( )( )( )

( ) ( )( ) ( )

++

=

=22

212

222

12

2

212

coscos

φωφω

tXrtX

txtx

tx

( )11X ( )2

1X 1φ 2φ



e e

( ) ( ) qualquerconstXtx .0 111 === ( ) 001 ==tx

( ) ( )1112 0 Xrtx == ( ) 002 ==tx



A solução por sobreposição dos dois movimentos é dado

por:

Rescrevendo teremos:

(11)

Se tivermos as condições iniciais

(12)

( ) ( )( ) ( )( )txtxtx 21 +=

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )22

21211

111

22

122

222

1111

12

11

11

coscos

coscos

φωφω

φωφω

+++=+=

+++=+=

tXrtXrtxtxtxtXtXtxtxtx

( ) ( )00 11 xtx == ( ) ( )00 11 xtx ==

( ) ( )00 22 xtx ==( ) ( )00 22 xtx ==



Subistituimos (12) em (11) para calcular as constantes

:

(13)

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )2

21221

11112

22

1211

112

22

1211

111

22

111

11

sinsin0

coscos0

sinsin0

coscos0

φωφω

φφ

φωφω

φφ

XrXrxXrXrx

XXxXXx

−−=

+=

−−=

+=

( ) ( )21

21

11 ,,, φφ eXX



Resorvendo (13) obtemos:

( ) ( ){ } ( ){ }[ ]

( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ){ }

( ) ( ){ } ( ){ }[ ]

( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ){ } 21

22

22112

21112

2122

21

22

21

21

21

21

22122

21212

2121

11

21

11

11

00001

sincos

00001

sincos

−++−

−=

=+=

−+−

−=

=+=

ω

φφ

ω

φφ

xxrxxrrr

XXX

xxrxxrrr

XXX



( )

( )( ) ( )( ) ( )[ ]

( )

( )( ) ( )( ) ( )[ ]

+−+

=

=

++−

=

=

−−

−−

0000tan

cossintan

0000tan

cossintan

2112

2111

22

1

22

112

2121

2121

11

1

11

111

xxrxxr

XX

xxrxxr

XX

ωφφφ

ωφφφ



Exemplo: Para a figura abaixo, calcule as frequencias

naturais e os modos de vibração.



Equação do movimento

Assumindo soluções harmonicas dada por:

A equação das frequencias é dada por

ou

0202

212

211

=+−=−+

kxkxxmkxkxxm

( ) ( )( ) ( )φω

φω+=+=

tXtxtXtx

coscos

22

11

( )( ) 0

22

2

2

=++−−

−+−kmk

kkmω

ω034 2242 =+− kkmm ωω



As frequencias serão dadas por:

Os racios r1 e r2 serão:

[ ]

[ ]mk

mmkmkmk

mk

mmkmkmk

32

12164

212164

21

2

212222

2

21

2

212222

1

=

−+

=

=

−−

=

ω

ω

( )

( )

( )

( ) 12

2

12

2

22

22

21

22

2

21

21

11

12

1

−=+−

=+−

==

=+−

=+−

==

kmk

kkm

XXr

kmk

kkm

XXr

ωω

ωω



os modos naturais são dados por:

Primeiro modo

Segundo modo

( )( )( )

( )

+

+

=

11

1

11

11

cos

cos

φ

φ

tmkX

tmkX

tx

( )( )( )

( )

+−

+

=

22

1

22

12

3cos

3cos

φ

φ

tmkX

tmkX

tx



graficamente teremos:



A equação que representa a dinamica do sisrema é:

( ) ( ) ( )

++

+= 2

211

111

3coscos φφ tmkXt

mkXtx

( ) ( ) ( )

+−

+= 2

211

112

3coscos φφ tmkXt

mkXtx



4.3.1-Sistemas torcionais

Considere o sistema torcional abaixo




os treis eixos the constantes de rigidez os discos tem momentos de inercia e sofrem os torques de

A equação diferencial do movimento é dada por

321; ttt ekkk21eJJ

21 tt eMM

( )( ) 21222322

11221111

ttt

ttt

MkkJ

MkkJ

+−−−=

+−+−=

θθθθ

θθθθ




rearranjando a equação teremos:

( )( ) 22321222

12211111

tttt

tttt

MkkkJ

MkkkJ

=++−

=−++

θθθ

θθθ




Exemplo2: calcule a frequencia natural e os modos de vibração do sistema torcional abaixo, sabendo que

, e

01 JJ = 02 2JJ = ttt kkk == 21




Exemplo2: calcule a frequencia natural e os modos de vibração do sistema torcional abaixo, sabendo que

02

02

2122

2110

=+−

=−+

θθθ

θθθ

tt

tt

kkJ

kkJ

052 20

220

4 =+− tt kkJJ ωω

( )1754 0

1 −=Jktω ( )175

4 02 +=

Jktω

( )

( )( )

41752

11

−−== 1

12

θθr

( )

( )( )

417522

1

2

2+

−==θθ2r




Exemplo3: calcule a frequencia natural e os modos de vibração do sistema abaixo:

5 sistemas com dois grau de liberdade

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