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7/25/2019 5 secundaria.pdf

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1. Si :

.......!4

1

!3

1

!2

1

!1

1

!0

1e

Calcular :

........!5

7

!4

6

!3

5

!2

4

!1

3R

a) 2e 1 b) 3e-2 c) e-2d) 2e+1 e) 3e+2

2. Al expandir : F(x) = (-x3

+3x2

-3x+x0

)

se observa que el coeficiente de

xn es de la forma :

n

n n

Sabiendo que n es un nmero

par; calcular : + +

a) 6 b) 5 c) 4

d) 3 e) 2

3.

2n

1k

nk

n

1kkCE

a ) ( | n )

n -1

b) ( | n )

n

c) ( | n ) n+1

d ) | n

e) 1

4. Hallar el valor de n que verifica laigualdad en:

28160n

nn....

4

n4

3

n3

2

n2

1

n 2222

a) 7 b) 8 c) 9d) 10 e) 11

5. Calcular el valor de :

1212

123

122

121 C....CCCS

a) 45

+2 b) 210

2 c) 46

-1

d) 162

+5 e) N.A

6. Siendo una solucin de la

ecuacin:

( x + 3)2 + x+2x +4

= 1x+3

Calcular el valor de

a) 1/27 b) 1/27 c) 1d) 1/4 e) 1/4

7. 4 personas abordan un automvil en el

que hay 6 asientos . Si slo 2 sabenconducir. De cuntas maneras

diferentes pueden sentarse?

a) 24 b) 60 c) 120d) 240 e) 360

8. Aproximadamente; el Sen 41; equivale

a:

a) 2710271020

10

b) 2710271020

10

c) 2710271020

5

d) 2710271020

5

e) 2710271040

5

9. Eliminar de:

2cos

xy2

cos

yx

sen

yx


2/38

a) x2

+y2

= 2x2

y2

b) x2

y2

= 2x2

y2

c) x2

y2

= 2xy

d) x2

+y2

= 2

e) x2

- y2

= 2

10. La siguiente es una identidad:

4sen

8cos1

tgk

)tgcossen2(82

Hallar el equivalente de k

a) sen2 b) cos2 c) 1+sen2d) 1+cos2 e) 1

11. Calcular el mximo valor de la expresin

E = sen(2 + ) +cos(2 + 3)

Donde es una variable y esuna constante.

a) 2 | sen-cos|

b) 2 | sen+cos|

c) 2 ( sen -cos)

d) 2 ( sen +cos)

e) sen +cos

12. Los lados de un tringulo miden 9m ,

10m y 11m . Calcular el rea de su

tringulo tangencial.

a) 2m

1

24 b)

11

235 c) 30 2

d)

11

280 e) N.A.

13. Simplificar:

)45x(Sec

1

)45xsec(Co

1E

a) Cosx b) Cosx2

2

c) Cosx2 d) Secx

e)

2

2

14. Si : Sen(A+B) = Tg(A-B)Hallar C en la siguiente expresin:

Sen(A-B) = Csen(A+B) Cos(A-B)

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 2

15. La expresin que da sen(3a) en funcin

de Sen(a) es:

a) 3Sena + 4Sen3a

b) 3Sena 4Sen3

a

c) 4Sena 3Sen3

a

d) 4Cos3

a +3Cosa

e) 4Sen3

a 3Sen3

a

16. Hallar la suma de N para que se

cumpla:

Cos4x = 1-Nsen2

x .Cos2

x

a) 8 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

17. Simplificar :

1028Ctg508Ctg

1508Ctg1028CtgP

a) 1 b) 1 1/2 c) 0

d) 1 1/3 e) -1

18. Calcular el valor de:

Ctg6 ctg42 ctg66 ctg78

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

19. Si: tan

n

m ; entonces el valor de :


3/38

n cos2+m sen2 es:

a) m b) n c) m+n

d) m-n e) 2m+n

20. Hallar la solucin principal de:

Senx +sen2x +sen3x = 0

a) 0 b)/6 c)/2d) e) N.A.

21. Si: cbarad32

3

Calcular :6

abc2E

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

22. Del grfico, hallar : Tg.

37

3x-1

2x x+1

a) 1/3 b) 1/2 c) 1

d) 2 e) 3

23. Del grfico hallar:x en funcin de a, b y c.

b xca

a) 90 - a - b + c b) 90 + a + b -c

c) 90 - a + b c d) 90 + a b + c

e) 90 - a b - c

24. Si: S y C son los nmeros de grados

sexagesimales y centesimales de un

ngulo cuyo nmero de radianes es

el menor posible que permite calcularel valor de la expresin:

C.........963

S........642E

Calcular el valor de: E.

a) 0,6 b) 3,6 c) 2,4d) 1,8 e) 1,2

25. Seale la medida circular de un ngulo

sabiendo que sus nmeros de gradossexagesimales, centesimales y radianes

cumplen:

S.2CR.SR.C

S.2CRSR.C

a) 0,5rad b) 0,25rad c) 0,75rad

d) 1,5rad e) 1,25rad

26. Del grfico, calcular : 6Cos+1

30

a) 2 b) 3 c) 4

d) 5 e) 6

27. Si el punto (-3; -4) pertenece al lado final

del ngulo en posicin normal .

Calcular:

E = 10(Sen+ Cos+1)2

a) 1,2 b) 1,4 c) 1,6

d) 1,8 e) 2,0

28. Si: 3.S-2.C =b.a

ab5ba 22

Siendo ab IR+; seale el menor

valor que puede tomar la medida

circular del ngulo para el cual S y C

representan lo conocido.

a) /10 rad b) /15 radc) /20 rad d) /30 rade) /40 rad


4/38

29. Desde un punto en tierra se observa loalto del piso 8 de un edificio con un

ngulo de elevacin luego se observala parte baja del piso 6 del mismo edificio

con un ngulo de elevacin .Calcular : Tg. Ctg.

a) 1,4 b) 1,6 c) 1,8

d) 0,6 e) 0,8

30. Calcular x e y en:x

1yxy CC

10

11

C

C

x1y

x1y

Dando como respuesta : (x-y).

a) 21 b) 20 c) 41d) 42 e) 81

31. Del grfico. Calcular: Tg. Si ABCD esun cuadrado y adems OM = MC.

N A D

CB

M

O

a) 7/3 b) 3/5 c) 3/7d) 5/3 e) 3/14

32. Si: IIC; IIIC

Indicar el signo de:

I. |Tg+Sen|II. Cos+SenIII.

Sen

Ctg

Tg

Sec

a) (+); (-) ; (-) b) (+); (+); (-)c) (+) ; (+); (+) d) (-); (+); (-)

e) (-); (+); (+)

33. Del grfico; hallar:

2

1

S

S

S1

S2

a) Tg. Tg b) Ctg. CTgc) Sen. Sen d) Sec. Sece) Csc. Csc

34. La suma de los trminos de unaprogresin aritmtica es 16 y los

valores del ltimo trmino U y de la

razn r estn determinados por las

ecuaciones:

U3

r3

= 335; U2

.r U.r2

= 70

Determinar el nmero de trminos dela progresin.

a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

35. Eliminar , en:

Cos2

+Csc2

= mCtg

2+ Sen

2 = n

a) (m-n+1) .(m+n-1) = 4b) (m+n).(2+m-n) = 4

c) (m-n).(2-m-n) = 4m+1

d) (m+n). (1-m+n2

) = (m2

+1)(n+1)

e) (m+n).(2+n-m) = 4

36. Un topgrafo observa a un edificio de10m de altura con un ngulo de

elevacin de 37/2 y al girar 60 observa

a otro edificio que es cuatro veces la

altura del primero con un ngulo deelevacin de 53. Calcular la distancia

entre dichos edificios.

a) 10m b) 20m c) 30md) 40m e) 50m

37. Calcular el rea de la regin sombreada.

Si: AP = 32u, BP = 7u


5/38

A B P

C

a) 186u2

b) 144u2

c) 192u2

d) 196u2 e) 225u2

38. Del grfico, hallar "C" .

A

B

C

100g

?Rad3

20

a) 63g b) 64 c) 63d) 27e) 73

39. Del grfico, calcular : tg- tg

A(-6;8)

B

M

x

y

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

40. Se han interpolado m mediosdiferenciales entre 4 y 18; y (m+2)

medios diferenciales entre 10 y 24 de

tal manera que la razn de la progresinaritmtica formada en el primer caso esa la razn de la segunda como 9 es a 7.

Halle el nmero de trminos de la

segunda progresin.

a) 6 b) 8 c) 10

d) 12 e) 14

41. Calcular: T+R+I+P+L+E; si:

T = Sec30 . Tg60

R = Sen45 .Sec45

I = Sec37 +Ctg53L = Cos60 +2Csc53

C = 4. Tg16 - Tg18 30 . Tg26 30

E = Sec37 + Cos2

30 .Ctg45

a) 8 b) 9 c) 10

d) 11 e) 12

42. Si:

2.Sen

6

x - 3.Sen

4

x+4.Sen

2

x = pCalcular:

M = 2.Cos6

x-3.Cos4

x+4.Cos2

x

a) p b) p+2 c) 3-p

d) 2-p e) p+3

43. En una P.A de n trminos la suma

de los (n-1) primeros trminos es n y

la suma de los (n-1) ltimos trminos

es n2. Hallese la razn de dicha

progresin.

a) n b) n/2 c) n2

-3

d) n+1 e) 2n-3

44. Calcular P en la igualdad:

2

22

22

)TgxCtgxCtgxTgx(PxCosxCov

xSenxVers

a) 1 b) 2 c) 1/2

d) 4 e) 1/4

45. Sabiendo que:

Tg(x+10) = Cos3x .Csc(80-x)

Csc(2x+y) = Secy

Calcular :

L = Tgx +Tgy +Tgx.Tgy

a) 2+ 3 b) 2 3 +1


6/38

c) 2- 3 d) 3+ 3e) 1

46. Hallar: x ; en funcin de y :

x

a) - 2 b) - c) - -d) - e) +

47. Hallar: x; en funcin de , y :

x

a) + + b) - +c) - - d) + -e) -- -

48. A cunto equivale 1/10 del ngulo de

1 vuelta en cada sistema?.

a) 36; 40g

;

5

2rad.

b) 72; 80g

;

5

rad.

c) 72; 80g

;

5

2rad.

d) 36 ; 40g

;

5

rad.

e) 72; 40g

;

5

2rad.

49. Del grfico mostrado:

A D B

C

Calcular : L = Cot- Cot

a) 1 b) 2 c) 1/2

d) 1/4 e) 4

50. Del grfico; hallar x, si

OC es bisectriz.

A

BC

O

(5x-3

) (9-6x)

a) 12/11 b) 6/11 c) 1

d) 2 e) 6

51. Calcular x ; en la igualdad:

210)x60(rad15

4 g

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

52. Si: a+b = 73

Adems : x y = a b + b a

Calcular :

6yxE

a) 7 b) 8 c) 9

d) 10 e) 11

53. En un tringulo, dos de sus ngulos

miden /5 rad y 40g

.

Cul es la medida sexagesimal del

tercer ngulo?

a) 36b) 48 c) 72

d) 90e) 108

54. Sabiendo que un ngulo se expresa como

(7n+1) y tambin como (8n)g

. Cul es

su medida radial?.

a) /9 rad b) /5 rad


7/38

c) /7 rad d)/3 rade)/6 rad

55. Hallar : x ; en:

60

g

x

a) 30 b) 40 c) 54

d) 120 e) 60

56. En un tringulo rectngulo los lados

menores miden 3cm y 4cm.

Calcular el coseno del menor nguloagudo de dicho tringulo.

a) 3/5 b) 4/5 c) 4/3d) 3/4 e) 5/4

57. Determinar la medida circular de un

ngulo si se sabe que la suma de la

tercera parte de su nmero de minutossexagesimales y la cien ava parte de su

nmero de segundos centesimales es

590.

a)/10 rad b)/20 rad

c) /30 rad d)/40 rade)/50 rad

58. Halle la medida de un ngulo en

radianes que cumple:

17n

10

C y

7

n18

S

siendo S y C la medida de un

ngulo en grados sexagesimales ygrados centesimales respectivamente.

a) 1/2 rad b) rad c) 1 radd) 2/3 rad e) 2 rad

59. En un cuadrado ABCD, se traza BE yCF (E en CD y F en AD ); tal

que: FD = 3AF y CE = ED.

Si mBEC = y mCFD=

Calcular: J = 2.Cot + 3.Tan

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

60. Halle el ngulo en radianes que cumple:

S = xx

+1

C = xx

+3

Siendo S y C la medida de unngulo en grados sexagesimales y grados

centesimales respectivamente.

a) /10 rad b) /5 rad c)/20 radd) 2/5 rad e) /9 rad

61. Del grfico; hallar una relacin entre

y .

40

a) - = 130 b) + = 40c) - = 40 d) + = 50e) - = 50

62. Si:

ba.rad24

Determine: (b-a).

a) 19 b) 20 c) 21

d) 22 e) 23

63. Convertir 108 a radianes.

a) rad b) 2/5 radc) /3 rad d) 2/3 rade) 3/5 rad

64. Calcular:

m

g

30

3

05

5E

a) 4 b) 1 c) 3

d) 5 e) 2

65. Seale el valor de:


8/38

rad18

4550J

g

a) 8 b) 9 c) 10

d) 11 e) 12

66. Siendo S,C y R la medida de un ngulo

en grados sexagesimales y gradoscentesimales y radianes para un

determinado ngulo, para el cual se tieneque:

C

50S

1R

1

C

30S

1R

1

a)/9 rad b)/10 radc) /20 rad d)/30 rade)/40 rad

67. Del grfico; se cumple:

a) + = 1 vueltab) - = 1 vueltac) + = 0d) - = 1 vueltae) + = 1/2 vuelta

68. Al convertir al sistema sexagesimal unngulo que mide /7 rad; se obtiene:

C52ba2 . Calcular:

c2ba .

a) 2 b) 3 c) 4

d) 5 e) 6

69. En el grfico mostrado, hallar el valor de

Cos.

A D

B

9

4

E

C

a) 2/3 b) 9/4 c) 3/2d) 4/9 e) 8/9

70. Determinar un ngulo en el sistemainternacional, sabiendo que la diferencia

de los cuadrados de los recprocos de

los nmeros de grados sexagesimales y

centesimales del mismo ngulo, es iguala la semisuma de estos mismos

recprocos.

a)

1800

b)900

c)100

d)

3600

e)200

71. Sealar la medida circular de unngulo que verifica:

222333

RCSR.2010

.C

9

.S

Siendo S , C y R lo conocido paradicho ngulo.

a)rad

20

1 b)rad

6

c)rad

5

1

d)rad

2

e)rad

20

72. A cunto equivale un ngulo recto encada sistema?.

a) 45 ; 50g

;/4 rad

b) 360 ; 200g

; 2 rad

c) 180 ; 100g

; rad

d) 90 ; 100g ;/2 rad

e) 90 ; 200g

;/2 rad


9/38

73. Cuntos ngulos verifican que su

medida sexagesimales se expresa como

ab y su medida centesimal como

.?0)1a( g

a) 2 b) 4 c) 8

d) 9 e)10

74. En un tringulo rectngulo ABC

(B =90).Se cumple:

SenA. SenC = 0,125

Hallar: T = TanA +TanC

a) 6 b) 8 c) 10

d) 12 e) 15

75. En un tringulo rectngulo los catetosmiden a+b y a-b ; mientras que la

hipotenusa mide ab6 .

Calcular la tangente del mayor ngulo

agudo del tringulo.

a) 6 b) 5 c) 7

d) 3 e) 2. 776. Determine R, si:

2R100

RR45

4R.C

4R.S2

3

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

77. Del grfico hallar x.

(19x)(10x)

g

a) 15 b) 17 c) 18d) 27 e) 36

78. Hallar : MQ , si : AM = MC y AC = 12

B

A

C

M

40

Q

20

a) 2 b) 3 c) 4

d) 5 e) 3

79. En el grfico hallar: 7tan +cot

3

1

45

a) 3 b) 5 c) 6

d) 7 e) 8

80. Determine x en:

m x

a) mtan. cot b) mcot. tanc) msec . csc d) msen.cose) mtan. sec

81. Calcular : 5 . Csc- Cot

(-2;y)

y

x

5

a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

82. Si:


10/38

Cos2

x (1+Sen2

x+Sen4

x) = A-SenB

x

Determine : A+B

a) 3 b) 5 c) 7d) 9 e) 10

83. Si:

Tan2

x +Cos2

x = k

Determina: Secx2

Sen2

x

a) k b) 1-k c) k-1

d) 2k e) 1/k

84. Si: Sen6

x +Cos6

x= 2/3

Calcular un valor de:

2

xcossenx

xcossenxE

a) 1/4 b) 1/3 c) 1/5

d) 1/6 e) 2/3

85. Simplificar:

)xcot(

)270xtan(

)x90(Csc

)360x(SecR

a) 2 b) 1 c) 0

d) 2 e) tan2

x

86. Israel y John juegan el siguiente juego;

cada uno en su turno tira un dado normal

(Puntaje del 1 al 6). Gana el juego aquel

jugador que en su turno saca igualpuntaje que el otro jugador en la jugada

inmediata anterior. Si John empieza el

juego. Hallar el probabilidad que tiene

Israel de ganar el juegoa) 6/11 b) 1/2 c) 7/13

d) 3/4 e) 1/3

87. Dado un tringulo ABC; se traza unarecta que pasa por el circuncentro del

tringulo ABC y que corta a AB en M y a

BC en N. Si MBN es un tringuloequiltero y adems AM=2 y NC=6 .

Calcular el rea del tringulo ABC.

a) 364 b) 335 c) 332

d) 340 e) 351

88. Un saco imaginario contiene infinitas

bolillas: cada una de ellas esta numerada,

es decir las bolillas estn marcadas con

su respectivo nmero natural. Si seretiran bolillas del saco y se las coloca en

una caja; una por una hasta que en la

caja haya exactamente dos bolillasmarcadas con numero par. Determinar

cuantas bolillas hay que retirar en

Promedio.

a) 2 b) 3 c) 3,5

d) 4 e) 4,5

89. De cuantas formas se puede colorear unoctaedro regular; si se disponen de 10

colores y adems cada cara se pinta de

un solo color.

Nota: Considerar el efecto de giro.a) 1814400 b) 302400

c) 226800 d) 75600

e) 72000

90. De cuantas formas se pueden colorear

la ruleta de 8 compartimientos usandolos colores azul, rojo y blanco. (Cada

compartimiento se pinta de un solo

color). Nota: Considerar el efecto derotacin.

Efecto deRotacin

a) 6561 b) 3231 c) 1665

d) 885 e) 2535

91. Si el mnimo valor de:

25)4y()3x()y;x(f 22

25)10y()11x( 22

tiene la forma: ba ; con a, benteros siendo b lo menor posible.

Calcular a+b:


11/38

a) 10 b) 12 c) 14d) 16 e) 18

92. Si:

f(x)=1+acosx+bsenx +Acos3x+Bsen3x

Si f(x) 0 ; x R. Hallar el mximo

valor de a2

+b2

.

a) 1 b) 3/2 c) 2/3

d) 4/3 e) 2

93. Calcular el valor de:

(3+2Cos20)(3+2Cos140)(3+2Cos260)

a) 24 b) 21 c) 19

d) 18 e) 17

94. Calcular :

156tg

120tg84tg48tg12tgM

2

2222

a) 108 b) 95 c) 84

d) 75 e) 60

95. De la figura mostrada r1 = 4 ; r 2 =4 ;

r3= 9

R

A

B

C

r1

r2

r3

Calcular el rea delABCa) 1734,52 b) 1878,35

c) 1560,38 d) 1235,87

e) 1433,66

96. Sea el siguiente sistema de ecuaciones:

tgx + 3ctgx = 2tgy

tgy +3ctgy = 2tgztgz +3ctgz = 2tgx

x, y, z < - ,>

Hallar el nmero de ternas (x,y,z) que

resuelven el sistema

a) 24 b) 12 c) 8

d) 4 e) 16

97. Simplificar :

)yz(Ln)xz(Ln)yx(Ln

zyx

eee

)zyx)(eee(

Sabiendo que :

X = Ln7 ; y = Ln4;

Z = Ln28

a) 1 b) 5 c) 36

d) 39 e) 17

98. Resolver:

1x2xxx 2282

a) [ 1, 2] b) [1,4] c) [2,4]d) [0,4] e) [0,2]

99. Si se sabe que:43n

42n

41n

4n4 nC.dC.cC.bC.a

Hallar : a+2b+3c+4d

a) 30 b) 40 c) 50d) 60 e) 70

100.Sea el sistema:932 2cba

1032 2cab

1224 2cba

Calcular : )ca(Log2

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5


12/38

101.Calcular el rea de la regin que

describen en el plano Gausseano losnmeros complejos Z que verifican la

desigualdad.

2|z|3

8|z||z|log

2

5

a) 9u2

b) 14u2

c) 48u2

d) 49u2

e) 64u2

102.Se tiene un cubo ABCD EFGH delado a" . Hallar la mnima distancia

entre los segmentos PQyAC , siendo

P y Q puntos medios de AD y GHrespectivamente.

a) a/4 b) 2a83 c)

4

2a

d)

8

2a e) a8

3

103.Se tiene una circunferencia de

dimetro AB , AB = 8 y un tringuloAFB equiltero situado en un plano

perpendicular al plano de la

circunferencia . Por AF se traza unplano que intersecta a la

circunferencia en C , Hallar la medida

del diedro formado por los planos AFC

y AFB, si mBC = 37

a) 37 b) 53

c)

9

3ArcTan

d)

5

33ArcTan

e)

9

32

ArcTan

104.Se tiene un cilindro inscrito a un

prisma triangular regular ABC ABC, tal que las bases del cilindro

estan contenidas en las bases del

prisma, determinar el rea de la seccin

determinada en el cilindro por elplano.

CBA si : aABAA

a)

12

3a2b)

13

a12 2

c)36

21a2d)

12

17a2

e)13

17a2

105.Se tiene un trapecio rectagulo ABCD

(AB es altura).AD=2AB, BC=AD+ 22

encontrar las coordenadas de lospuntos C y D. Si A(5,1) B(1,5), (D esta

en el primer cuadrante). Dar como

respuesta la suma de sus componentes.

a) 39 b) 43 c) 48

d) 53 e) 56

106.Un ngulo se ha medido en los 3

sistemas conocidos. Si al mayor

nmero se le multiplica el menor, es lomismo que quitarle al nmero mayorel intermedio y agregarle el reciproco

de pi

Calcular el ngulo en radianes.

a)

40

37 b)20

71

c)

20

101 d)200

32

e)

20

31


13/38

107.En la circunferencia trigonometrica

mostrada, hallar el rea de la reginmostrada.

A A

B

B

y

x

a)

)cos1(2

cos

b)

)sen1(2

cos.sen

c)

sen1

cos.sen

d)

)cos1(2

cos.sen

e)

)cos1(2

cos.sen

108.Calcule cot, si ABCD es uncuadrado.

9

4

B

A D

C

a) 4/9 b) 13/4 c) 4/3

d) 13/4 e) 4/13

109.Seale verdadero (V) o falso (F)segn corresponde en :

I. Sec (Tan1) > sen1

II. Sec2 > Sec(Sen2)II. | Sec2| > 2

a) VVF b) FVV c) FFV

d) FVF e) VFF

110.Si: A+B+C+D = kReducir :

)TanDTanC(TanB.TanA

TanDTanCTanBTanA

TanB.TanA1

1M

a) TanA +TanB +TanC+TanD

b) Tan (A+B)

c) TanC .TanD

d) Tan(A+B) .TanC.TanDe) 1-TanA.TanB. TanC.TanD

111. La curva mostrada corresponde a una

tangentoide . Hallar el rea del tringuloABPo, sabiendo que:

100,

4Po

A

40

y

x

BPo

5 98 8

a) 2u16

b) 2u32

3

c) 2u64

e) )

4Tan(Log

e) )

128

Tan(Log

112.En cada caso hallar el nmero deveces que la grfica de f corta al eje x.


14/38

I. f(x) = cosx +cos3x ; 0x 2

II. f(x) = x - Senx ; 0 < x < 3

Dar como respuesta la suma de

intersecciones.

a) 7 b) 8 c) 9d) 10 e) 11

113.Resolver :

Sen(Arc Senx) Sen(ArcCosx)

a) ]0;2

2 b) ]0;

2

2[

c) ]1;

2

2[ d) ]

2

2;

2

2

e) [ 0, 1]

114.Expresar la bisectriz interior, relativa allado a de un tringulo ABC en

trminos deC,B , y el radio de la

circunferencia circunscrita a dicho

tringulo R.

a)

)2

CB(Cos

RCosBCosC2

b)

)2

CB(Cos

CBSenRSen8

2

22

c)

)2

CB(Sen

RSensBSenC82

d)

)2

CB(Cos

SenC.RSenB2

e)

)2

CB(Sen

SenC.RSenB2

115.Si: Da, Db, Dc son las distancias del

ortocentro de un tringulo ABC a loslados a,b y c

Hallar :

Dc

c

Db

b

Da

a

a) TanA TanB.TanC

b) 2TanA .TanB.TanCc) 4RanA. TanB. TanCd) 2CotA. CotB. CotC

e) 2(CotACotB+CotACotC+CotB.CotC)

SOLUCIONARIO1. Multiplicamos por (2) :

)(......!3

2!2

2!1

2!0

2e2

Resto : R ()

.....!5

5

!4

4

!3

3

!2

2

!1

1

!0

2e2R

)(

() se puede transformar as :

.....!4

4

!3

3

!2

2

!1

1

!0

1

2e2R

R 2e = -2 +e

R = 3e 2

lave

b

2. F(x)=(1-3x+3x2

-x3)n

=[(1-x)3

]n

=(1-x)3n

Asumiendo que k+1 es el lugar

del trmino dado:

tk+1

= C3nk

(-x)k n xn

n n

y como n es un nmero par ; k = nEntonces :

C3nn

(-x)k n =3

2

n n

nn nnn n


15/38

Comparando: = 3; = 2; = 1 + + = 6

lave

a

3.

Cn

kk=1

= n

n

n

n

n n 0

nn

1

1

2 3n-1

n-1

n-2 n-3

Cnk

k=1

=

n

n( )nn

1 1( () )2 23 0n-1 n-1 n-2 n-3

Multiplicando numerador y denominador

por n

Ck

n

=k=1

n ( n )n+1

( 1 2 3 ...... n -1 n)2

Tambin:

k=1K = 1 2 3 4 ...... n -1 n

n

Luego reemplazamos la expresin E

quedar asi:

E=n

nn( )

n+

1

1

(

(

)

)

2

22

2

3

3

n-1

n-1

= n( )n+1

E

lave

c

4. Degradando en una unidad los ndices

de cada coeficiente bimonial se obtiene:

28160

1n

1n

n

n.n...

2

1n

3

n3

1

1n

2

n2

0

1nn 222

28160

1n

1nn...

3

1n4

2

1n3

1

1n2

0

1nn

)(..........11x5x2

nC....C4C3C2Cn

9

1n 1n1n31n21n11n0

Reemplazando cada nmero

combinatorio por su complementario yescribiendo la sumatoria en forma

inversa, se tiene:

)......(11x5x2

C...C)2n(C)1n(nCn

9

1n1n

1n2

1n1

1n0

Sumando () y () miembro a miembro.

11x5x2x2

n(...C)1n(C)1n(C)1n(n

9

1n2

1n1

1n0

11x5x2x2

1nC....CCC)1n(n

9

1n1n

21n

11n

0

91n2x11x10)2)(1n)(n(

n = 10

lave

d

5. Completemos la sumatoria con 120C

120

1212

122

121

120 CC......CCCS

12C2S 1212012

S = 4095

lave

c

6.

(x+3) [ ( x+3)2 + x+2 ] = x+4

(x+3) ( x+3)2

+ x+3 = (x+4) x +3

(x+3) ( x+3) +1 = x+4

(x+3) ( x+3) = x+3

Como x +3 0 queda :1

3x

3x


16/38

Entonces: x+3 =1 x = -2

= -2

= (-2) 2 = 1/4

lave

e

7. Sean los nombres de las personas A,

B, C, D donde A y B saben conducir:

Si:

A conduce (ocupa un asiento)

B puede elegir cualquiera de los 5eventos que quedan.

C puede ocupar 4

D puede ocupar 3.

Nmero de formar = 5x4x3 = 60

Si B conduce le ocurrira lo mismo

Nmero de formas = 60

Considerando ambas casos :

Total = 60 +60 = 120 formas

lave

c

8. Sabemos :

82sen141cos41Sen

82sen141cos41Sen

Cos41

Sen41

C.T

41

y

x

Vemos que:

Sen 41 < cos 41

Sen41 cos 41 < 0

Luego :

Sen 41 +cos41 = + 82sen1 (+)

Sen 41 cos 41 = - 82sen1

2sen41 = 82sen1 - 82sen1

sen41 = 8cos18cos12

1

sen 41 =

10

271

10

271

2

1

sen 41 = 2710271020

01

lave

a

9. Igualando el dato a k

sen = k(x-y) ........... ( I )

cos = k(x+y) ........... ( II )cos2 = k(2xy) ........... ( II )

k(2xy) = [ k(x+y)]2 [ k(x-y)]2

k = 1/2

En (I) y (II)

sen = 1/2 (x-y) cos=1/2(x+y)como : sen2= cos2=1

1)yx(2

1)yx(

2

1 22

1)yx(24

1 22

x2

+y2

= 2

lave

d

10. Reduciendo:

4sen

4sen2

tgk

cos

sencossen28

2

2

2

4sen

)tgk(cos

)1cos2(sen42

2

4sen

)tgk(cos

2cos.sen42


17/38

2cos2sen2

)tgk(cos

2cos.sen42

)tgk)(cossen2(cos

sen2 2

sec2

= k+tg2

1+tg

2

= k+tg

2

k = 1

lave

e

11. E=Sen2cos+cos2sen+cos2cos3-sen2sen3

E = (cos-sen3)sen2+cos2

(sen+cos3)

22max baE

3cossen23sencos22Emax

)3(sen

max )3cossen3sen(cos22E

)2sen1(22sen22Emax

2max )cossen(2sen1;2sen12E

cossen2Emax

lave

a

12.

AS1 S3

C

B

4

5

5

6

6

4S2

Sx

)1......(SSSSS 321ABCx

230)6)(5)(4(15SABC

Por tener un com n entre las reas

S1y ABC

33

2250S

)5)(5(

)10)(9(

S

2301

1

En forma anloga:

3

216

S)4)(4(

)10)(9(

S

230

22

11

2108S

)6)(6(

)10)(9(

S

2303

3

Reemp en (1)

11

2180

3

216

33

2250230Sx

2x m

11280S

lave

d

13. E= Sen(x+45) +cos(x+45)

E=(senxcos45+cosxsen45)+(cosxcos45)-

sen45senx)

E =

2

2 Senx +

2

2 Cosx +

2

2 cosh -

2

2 senx

E = 2 cosx

lave

c

14.)BAcos()BA(sen)BA(Sen

Sen(A-B) = sen(A+B) cos(A-B)

M = 1

lave

a

15. Sen3a = sen(2a+a) = 3sena-4sen3

a

lave

b


18/38

16. Cos4x = 1-2Sen2

2x = 1-2(Sen2xsen2x)

Cos4x = 1- 2 [(2senxcosx)(2senxcosx)]

cos4x = 1 2 (4sen2

x cos2

x)

N = 2.4 = 8

lave

a

17. Sea: x = 28 10y = 8 50

)yx(ctgctgxctgy

1gxctgycotP

P = ctg37

3

11

3

4P

lave

d

18. Sea V el valor a calcular :

42sen78sen2

42cos78cos2.

6sen66sen2

6cos66cos2V

120cos36

36cos120cos

.72cos60cos

60cos72cos

V

120cos60cos;4

1536cos;

4

1572cos

Reemplazando y simplificando : V = 1

lave

a

19. n.cos2 +msen2=

22

2

tg1

tg2.m

tg1

tg1.n

nnm

n.m.2.m

nm

mn.n

2222

22

lave

b

20. ( Sen3x+Senx) +Sen2x= 02Sen2xcosx+Sen2x=0

Sen2x(2cosx+1) = 0

Si: Sen2x=0 2x= 0 ; x= 0Si: 2cosx +1 = 0 cosx = -1/2

3

2x

; x = 0

lave

a

21. abc =8

45x3

32

180x3rad

32

.3

8

60x716

8

716

8

135

210516

215x716

2

"605216

2

15216

a bc = 16 5230

a = 16; b = 52 ; c = 30

6

24

6

165260

6

abc2E

24E

lave

b

22.

3x-1

2x x+1

37

tg37 =3x

3x9x8

4

3

1x3

x2

48

1313.3

1x1x3tg


19/38

Tg = 2

lave

d

23.

b -bx xc ca -a

-a+c+x-b = 90

x = 90 +a+b-c

lave

b

24. Sabemos que:

k60

k54

C

S

k6

k6

.10

9

C

S

k60.........963

k54........642

C........963

S........642E

)1k20).(k20(2

1.3

)1k27)(k27(2

1.2

)k20........321.(3

)k27........321.(2E

)1k20(20.3)1k27.(27.2E

El ngulo es el menor posible : K = 1

10

12

21x20x3

28x27x2E

E = 1,2

lave

e

25.

S.2C

R.SR.C

S.2C

R.SR.C

(C-2S).(CR+S. R)=(C+2.S)(C.R-S R)

C2

.R+SC. R-2S.C.R-2S2

. R= C2

.R-

S.C. R+2S.CR-2S2

R

2.S.C R= 4.S.C.R

R= 2.R

R = 4R2

R = 1/4

R = =0,25rad

lave

b

.

26.

30

3 a

1

3

Por el Teorema de Pitgoras

a2

+12

= 23 a = 2Nos piden : 6.Cos+1

1

3

2.6

31214

lave

b

27.

-3

y

x

Sen =

Cos =

-4 5 -4

5

-35

(-3;-4)

E = 10(Sen+Cos+1)2

E = 10. 2

15

3

5

4

E = 10.2

5

2

E = 10.

5

8

25

4 E = 1,6

lave

c

28. Sabemos que: k.10

k.9

C

S


20/38

3.S - 2.C =ab

ab5ba 22

3.9k 2.10k = 5ab

ba 22

7k = 5

ab

ba 22

Pero sabemos :

2ab

ba 22

mnimo de 2ab

ba 22

7k = 2+5 k = 1

S = 9k S= 9R =

20

rad.

lave

c

29.

d

87

65432

a

a

a

a

a

a

a

a

1

Edificio

Tg.Ctg=5

8

a5

d.

d

a8

Tg.Ctg=1,6

lave

b

30.1y2x

)1y()y(xCC x

1yxy

x1y

x1yx

1y

x1y

C.11C.1010

11

C

C

xy

xy C.

1yx

y.11C.10

10.(x - y + 1) = 11.y10.(2y + 1-y + 1) = 11.y

10.(y + 2) = 11.y

10.y + 20 = 11.y y = 20x = 41

x y = 41 20 = 21

lave

a

31. Sea : 4a" el lado del cuadrado.

N A

B C

M

a

a a

3a3a

3a4a

4a 4a

a

a

O

D

tg=7

3

a7

a3

lave

c

32. Sabemos que:IIC, IIICI. |Tg + Sen| Siempre el valor

absoluto es positivo.

|Tg + Sen| es (+)II. Cos+ Sen IICCos < 0

IIIC Sen< 0

Cos+ Sen es (-)III:

0CtgII

0SecII

Sen

Ctg

Tg

Sec

)()()()(

)(

)(

)(

(+) ; (-) ; (-)

lave

a

33.


21/38

Cos

Sen

Sen

Tg1

2

Cos.SenS1

2

Sen.Tg.SenS2

Sen.Tg

Cos

S

S

2

1

Ctg.Ctg

S

S

2

1

lave

b

34. U3

-r3

= 335 (U - r)(U2

+ U.r+r2

) = 335

U2

.r-U.r2

= 70(U-r).(U.r) = 70 .

(U-r) (U2

+2Ur+r2

) =

405

(U-r) .(U+r)

2

= 5. 9

2

U - r = 5 U = 7

U + r = 9 r = 2

1; 3; 5; 7

+2 +2

4 trminos

+2

Donde : 1+3+5+7 = 16

lave

b

35. Sabemos por el dato que:

Cos2

+ Csc2

= m

Ctg2

+ Sen2

= n

m+n = Sen2

+ Cos2

+ Ctg2

+ Csc2

m+n = 1+ Ctg2

+ Csc2

m+n = Csc2

+ Csc2

= 2Csc2

m-n = Csc2

- Ctg2

- Sen2

+ Cos2

m-n = 1- Sen2+Cos2

m-n = Cos2

+ Cos2

= 2Cos2

n - m = - 2Cos2

2+n m= 2-2 Cos2

2+n-m = 2.Sen2

.

m+n = 2.Csc2

(m+n) (2+n-m) = 4

lave

e

36.

40m

B

30m

10m

A

P

A

53

372

60

B

10m

a37/2

A

A

P

m30aAP

40m

b53

B

B

P

m30bBP

X

A

B

P

30m

60

60

60

30m

El tringulo ABP es equiltero.

x = 30m

lave

c

37.


22/38

A B FP

ED

290-

C

El cuadriltero ABDC es inscriptible,entonces la mBAC = mBDP =

El cuadriltero BPED esinscriptible, entonces la mBDP =mBEP = y se puede observarla mBEP = mBFE=

Si la mBFE= entonces la mBE =2,que da a lugar la mDEB=

2

mBE

mDEB =. Y como sabemos que el cuadriltero

BPED es incriptible, entonces la

mDEB = mDPB =.

Entonces el tringulo ACP es issceles.

A16

329 7

C

Dh

PB

h2

= 16x9 h = 12

AreaABC = 1922

12x32

2

xh32

Area = 192u2

lave

c

38.

A

27

90

100g

x320

C

B

A =20

3 Rad =20

3 .180 = 27

B = 100g

= 10.(10g

) = 10.(9) = 90

x+27 + 90 = 180

x = 63

lave

c

39.

(-6;8)(0;8)

y

M

x

(6;8)

(6;4)

(6;0)

Tg = 4

6

46

46

126

- += =-

8-6

86

86

Tg =(-) (-)

(

Tg- Tg= 2

lave

b

40.

P.A.1 : 4 ; ......................... ; 18+r1 m medios

m+1 trminos

18 = 4 + (m+1) r1 (m+1) r1= 14

P.A.2 : 10 ; ......................... ; 24

+r2 m+2 medios

m+3 trminos

24 = 10+(m+3) r2 (m+3) r2= 14

Entonces:(m+1).r1= (m+3).r2= 14

Si: 6m7

9

r

r

1m

3m

2

1

El nmero de trminos de la 2daprogresin es:

1+ (m+2) +1 = 1+8+1 = 10


23/38

lave

c

41. T = Sec30 . Tg60 = 21

3.

3

2

R = Sen45 .Sec45 = 11

2.

2

1

I = Sec37 +Ctg53 = 24

3

4

5

P = Cos60 +2.Csc53 = 34

52

2

1

L = 4.Tg16-Tg1830.Tg2630=

= 12

1.

3

1

24

7.4

E = Sec37 +Cos

2

30. Ctg45 =

= 21.2

3

4

52

T+R+I+P+L+E = 2+1+2+3+1+2=11

lave

d

42. p=2.Sen

6

x 3.Sen

4

x +4.Sen

2

xp=2.(Sen

2x)

33.(Sen

2x)

2+4.(Sen

2x)

p=2.(1-Cos2

x)33(1-Cos

2x)

2+4(1-Cos

2x)

p=2(1-3Cos2

x+3Cos4

x-Cos6

x)3(1-2

Cos2

x+Cos4

x)+4(1-Cos2

x)

p=2-6Cos2

x+6Cos4

x-2Cos6

x3+

6Cos2

x-3Cos4

x+4-4Cos2

x

p=-2Cos6

x+3Cos4

x-4Cos2

x+3

2Cos6x 3Cos4x +4Cos2x= 3 - p

lave

c

43. Sea la progresin aritmtica:

P.A.: a; a+r; a+2r; .............; a+(n-2)r;a+(n-1)r

+r +r

n trminos

La suma de los (n-1) primeros

trminos es:

{[a] + [a+(n-2)r]}. n2

)1n(

(2a+nr-2r).n

2

)1n(

................ ( I )

La suma de los (n-1) ltimos

trminos es:

{[a+r] + [a+(n-1)r] }. 2n2

)1n(

(2a+nr). 2n2

)1n(

............. (II)

Luego restamos : (II) (I)

r.(n-1) = n.(n-1)

r = n

La razn es: n

lave

a

44.

2

22

22

)TgxCtgxCtgxTgx.(PxCosxCov

xSenxVers

22

)TgxCtgxCtgxTgx.(Tgx

Tgx.P

)CosxCovx).(CosxCovx(

)SenxVersx).(SenxVersx(

)CosxSenx1).(CosxSenx1(

)SenxCosx1).(SenxCosx1(

)xTg11xTg.(Tgx

P 22


24/38

2)Tgx1Secx.(Tgx

.P

)CosxSenx1).(CosxSenx1(

)SenxCosx1).(SenxCosx1(

2

Cosx

SenxCosx1.

Tgx

.P

)CosxSenx1(

)SenxCosx1(

xCos

)SenxCosx1(

.Tgx

.P

)CosxSenx1(

1

2

2

P

)CosxSenx(1.)CosxSenx(1

xCos.Tgx 2

P)CosxSenx(1

Cosx.Senx2

P

Cosx.Senx.2

Cosx.Senx

P2

1

lave

c

45. Tg(x+10) = Cos3x.Csc(80-x)

)x80(Sen1.x3Cos

)10x(Cos)10x(Sen

(x+10)+(80-x)=90Cos(x+10)== Sen(80-x)

Sen(x+10)=Cos3x(x+10) +3x=90 x = 20

Csc(2x+y) = Secy

Cosy

1

)yx2(Sen

1

Sen(2x+y) = Cosy (2x+y) +y = 90x + y = 45

(x =20) y = 25

Tg(45) = Tg(20 +25)

25Tg.20Tg1

25Tg20Tg1

1-Tg20. Tg25 = Tg20 + Tg251 = Tg20 +Tg25 +Tg20 .Tg25

lave

e

46.

x-

x = -

lave

b

47.

x--

x = - -

lave

c

48.

)vuelta1.(10

1

Sistema Sexagesimal:

36)360.(10

1)vuelta1.(

10

1

Sistema Centesimal:

gg 40)400.(101)vuelta1.(

101

Sistema Radial:

rad5

)rad2.(10

1)vuelta1.(

10

1

36 ; 40g ; rad5

lave

d

49.


25/38

AB

C

a

a

b

L = Ctg-Ctg

a

a

a

bba

a

b

a

ba

L

L = 1

lave

a

50.

A(5x-3)

(6x-9)

C

B

OC es bisectriz entoces:

5x 3 = 6x 9

6 = x

x = 6

lave

e

51.

vuelta1

g rad2400360

180 = 200g

= rad.

I) 180 = 200g

9 = 10g

II) 180 = rad.Entonces:

210)x60(.rad5

4 g

210)10(x6180.15

4 g

210)9(x648

162x.54

x = 3

lave

c

52. Sabemos que: 1 =60

* a+b = 73

13y74x3174yx

)311()73(

)3106()73(

)37()73()ba()ba(

)ab()ba(

abbayx

Entonces:

613746yxE

981E

lave

c

53.36180.

5

1rad

5

36)9.(4)10.(440 gg

x x

5 rad 40

g36 36

x +36 +36 = 180x = 108

lave

e

54. Sabemos que: 360 = 400g

9 =10g

(7n+1) = (8n)g

9 = 10g

Entonces:

10

n8

9

1n7

10.(7n+1) = 9.(8n)

70n+10 = 72n

10 = 2n n = 5El ngulo es: (7n+1) = (7.5+1) = 36

Si: 180 ____ rad36 ____ x


26/38

180

rad.36x

x = .rad5

lave

b

55. Sabemos que: 360 = 400g 9 = 10g

60g

X

9

x

10

60

910

x60g

g

x = 54

lave

c

56.

a = 53

a2 = 32 +42 = 9 +16a2 = 25 a = 5

Por el teorema de Pitgoras:

4

El menor ngulo es aquel que se le

opone el menor lado :

5

4Cos

lave

b

57. Sabemos que:

k10

k9

C

S

10

C

9

S

Donde:

S: ngulo en grados sexagesimales# minutos sexagesimales = 60.S

C: ngulo en grados centesimales

#segundos centesimales = 10000.C

En el problema:

590)C.10000(100

1)S.60(

3

1

20.S+100.C = 20.(9k)+100.(10k)=590

180k +1000k= 1180k = 590k = Entonces:

2

9S

2

9

2

1.9k9S

Si:

180 < >rad.

x2

9 rad

40180

rad.2

9x

El ngulo en radianes es : .rad40

lave

d

58. Sabemos que:

10

C

9

S

17n

10

C

)7

n.(29

S7n

18

S

17n)

7n.(2

10

C

9

S

3n

17n

14n2

Entonces:

180S

10

18

S10737n

18

S

180 < > rad

x180

rad1180

rad.180

x

El ngulo en radiones mide : 1 rad.

lave

c

59. Sea el lado cuadrado : 4a.


27/38

4a

4a

4aA F

B C

2a

a

2a

3a D

E

J = 2.Cot+3.Tan =

a3

a4.3

a4

a2.2

J = 1+4 = 5

lave

e

60. Sabemos que:

10

9

C

S

10

9

3x

1x

C

S

3xC

1xSx

x

x

x

10.(xx

+1)=9.(xx

+3)

10. xx

+10 = 9 .xx

+27xx

= 17

Entonces:

S = xx

+1 = 17+1 = 18S = 18

x18rad180

rad

10180rad.18x

El ngulo en radianes es: .rad10

lave

a

61. Todos los ngulos a sentido antihorario:

90

-40

-

- - 40 + = 90 - = 130

lave

a

62. Si: ba.rad24

Sabemos que: 1 = 60

2

067

2

17

2

15

24

180.rad

24

037.rad24

a b = 730 a = 7 b = 30b a = 30 7 = 23

lave

e

63.

vuelta1

rad2360

180 < >rad108 < > x

180

rad.108x

x = rad

5

3

lave

e

64. S =Sexagesimal : 1 = 60

S = Centesimal : 1g

= 100m

Entonces:

m

g

m

g

30

1.3

50

1.5

30

3

50

5E

10630

100.3

50

60.5E

m

m

E = 16 = 4

lave

a

65.


28/38

rad200180

rad2400360

g

vuelta1

g

I).g

g

50a

200180

45a

200

50.180a

g

g

II).

rad18

b

rad180

10b

rad

rad18

.180b

Entonces:

10

4545

rad18

4550J

g

9

10

90J

lave

b

66. Sabemos que:

k10

k9

C

S

10

C

9

S

C

50S

1R

1

C

30S

1R

1

)C

50S()

C

30S(

C

50S

1

C

30S

1

C

40S

C

80S.2S

C

50

C

30S

S.C=40(9k).(10k)=40k2

=4/9k=2/3

Entonces: S = 9k = 9. 2/3 = 6 S = 6

x6

rad180

rad

30180

rad.6x

El ngulo en radianes es: .rad30

lave

d

67. Los ngulos a sentido antihorario sonpositivos.

-

- = 1 vuelta

lave

b

68. Sabemos que: 1 = 60 1= 60

7

525

7

180rad

7

7

642

7

300

7

60.5

7

5

7

315

7

036

7

06.6

7

6

c52ba2152425rad

7 a = 5 , b=4 y c= 1

Entonces. 1.2c2

45ba

392

lave

b

69.

A

E

B

C

9

Da a

4

Cos = Sen . Cot

Cos =

9

a2

.a

4

Cos= 8/9


29/38

lave

e

70. Sabemos que:

k10

k9

C

S

10

C

9

S

2C

1

S

1

C

1

S

1 22

2

1

C

1

S

1

2

C

1

S

1

C

1

S

1.

C

1

S

1

45

1k

2

1

k90

1

k90

9

k90

10

k10

1

k9

1

Entonces:

51S

51

451.9k9S

Si:

x5

1rad180

rad900180

rad.5

1

x

El ngulo en el sistema internacional

es : .rad900

lave

b

71. Sabemos que:k

R

200

C

180

S

Entonces: S = 180k; C= 200k y R =k

222333

RCSR2010

.C

9

.S

222222 RCSR.R.20C.10

.CS.

9

.S

222222 RCSR).k.(20C.10

).k200(S.

9

).k180(

20k.S2

+20k.C2

+20k.R2

=S2

+C2

+R2

222222 RCS)RCS(k20

20k = 1 k = 1/20

R =k = 1/20 rad.

lave

a

72. ngulo recto :

4

1 . (1 vuelta):

Sistema Sexagesimal:

4

1 . (1 vuelta) =

4

1 .(360) = 90

Sistema Centesimal:

4

1 .(1 vuelta) =

4

1 .(400g

) = 100g

Sistema Radial:

4

1 .(1 vuelta) =

4

1 .(2 rad) =/2 rad.

90 ;100g

;/2 rad.

lave

d

73. Sabemos que: 360 = 400g

9=10g

9a010)1a(00)1a(ab g

9 = 10g

)1a.(10.9ab.100)1a(.9ab.10

10

0)1a(

9

ab

9a9ba10)1a.(9ab

a + b = 9

8 parejas Son 8 ngulosque verificandicha condicin.

87

654321

12

345678

lave

c

74.

A C

B

a2

+c2=b2

Por el teorema de Pitgoras

c a

b


30/38

SenA. SenC = 0,125

8

1125,0

b

c.

b

a

8ac

b

8

1

b

ac 2

2

Hallando:

T = Tan A +TanC

8ac

b

ac

ca

a

c

c

aT

222

T = 8

lave

b

75. .

6aba+b

Por el teorema de Pitgoras:

(a+b)2 +(a-b)2 = ( 6ab )2

2a2 +2b2 = 6ab

a2 +b2 = 3ab

(a2+2ab+b2) +(a2-2ab+b2)=6ab

a-b

* a2

+2ab+b2

= 5ab

(a+b)

2

= 5ab a+b = ab5* a

22ab +b

2= ab

(a-b)2

= ab a-b = ab

El mayor ngulo agudo es aquel

que se le opone el mayor cateto:

.

ab

ab5

ba

baTan

5Tan

lave

b

76.

R

200

C

180

S

R200C

R180S

Reemplazando:

)R50(2

)R45(R

4R

200

4R

180

2

2

2

2


31/38

)R50(

)R45(

2

R

kR50

kR45

R50

R45

2

2

2

2

2

2

2R2

R1

lave

b

77. Llevando a un mismo sentido.

(19x) -(10x)g

Se cumple:

18010

9.)x10()x19(

g

g

19x 9x = 180 10x = 180

x = 18

lave

c

78.

B

A

C

6Q

M

664040

3020

De la figura se tiene :

BQM notable (30 60)BM = 2MQ

6 = 2MQ MQ = 3

lave

b

79.

B

C

AD3745

3

3 1

ABC notable (37 53)BAC notable (37 53)BAC = 37 + 37 = 45= 8 (notable)

8

7

1

entonces : 7tan +cot

817)

71(7

lave

e

80.

m

mtanmtan . Cot

mtan

Del tringulo sombreado:

Cot = x

=X

x

lave

a

81. De la figura se tiene

el lado final al II C

y > 0

r2

= x2

+ y2

5 = 4+y2

y = 1

5 csc - cot =

1

2

1

55

5 csc -cot = 7

lave

e

r = 5x = 2

y = ??


32/38

82. )xSenxSen1(xCos 422

)xSenxSen1)(xSen1(

422

32 )xSen(1

1-Sen6

x = A SenB

xidentificando ; A = 1

B = 6

A +B = 1+6 = 7

lave

c

83. Se tiene:

kxcosxtan 22

sec2

x-1 +1-sen2

x = k

sec2

x- sen2

x = k

lave

a

84.3

2xcosxSen 66

1-3sen2

x cos2

x = 2/3

1-2/3 = 3sen2

x cos2

x

sen2

x cos2

x = 1/9

senx .cosx = 1/3 ()

en E

xcos.senx2xcosxsen

xcos.senx2xcosxsenE

22

22

3

121

3

121

xcos.senx21

xcossenx21E

5

1E

lave

c

85.

)xcot(

)270xtan(

)x90csc(

)360xsec(R

de las propiedades de reduccin al IC.

xcot

)x270(tan

)x90(csc

)x360(secR

IIIC

IIC

IVC

11xcot

xcot

xsec

xsecR

R = 2

lave

d

86. PI(2) = 1/6 = 1/6

PI (4) = 5/6. 5/6 . 1/6 = 1/6 . (5/6)2

PI (6) = 5/6. 5/6. 5/6.5/6.1/6 = 1/6 (5/6)4

y as sucesivamente.

PI (2n) = 1/6 . (5/6)2n-2

Luego la probabilidad ser:

PI = 1/6 +1/6(5/6)2

+1/6 .(5/6)4

+.......

PI = 1/6 . 1/1-(5/6)2

= 6/11

lave

a

87.

A C

B

M

N

60

30 302

2

88

66

3354

3.14x10SABC

lave

b


33/38

88. # bolillas en promedio =

1n

n).n(P

peron2

1n)n(P

; probabilidad de que

se saquen n bolillas.

Luego :

1n

n 4

2

)n)(1n(

lave

d

89. # Total de giros en un octaedro=4x6=24

# aparente de coloreado = !8.C108

#real de coloreado =75600

24

!8.C108

lave

d

90.

Trotaci

n

faparente fReal

43 3 =6480

6480/4=1620

2

3 -3 =72

72/2=36

13 =9

9/1=9

#Total = 1620 +36 +9 = 1665

lave

c

91. Sea:

d1:distancia del punto (x,y,0) a (3,4,5)

d2:distancia del punto (x,y,0) a (11,10,-5)

Luego(d1+d2)min=

= 222 )55()410()311(

= 210Luego a = 10 ; b = 2 ; a+b =12

lave

b

92. f(x) +f(x+/3) 0; x IR

0Senx

2

3a

2

b3Cosx

2

3b

2

a32

2

22

22

3a

2

b3

2

3b

2

a3

3/4ba 22 luego para verificar quees el mximo solo basta el caso deigualdad:

x3Cos33/1Cosx3/21)x(f

033

)Cosx3()3Cosx2()x(f

2

lave

d

93. A partir de:

Cos20 +Cos140 +Cos260 = 0

Cos20. Cos140 + Cos140Cos260 +Cos260 . Cos20 = -3/4

Cos20Cos 140Cos260 =

Cos 60/4 = 1/8Luego :

S = 33

+32

. 2. 0+3 . 22

(-3/4) +23

(1/8)

S = 27 9 +1 = 19

lave

c

94. tg12 , tg48, tg84,tg120,tg156 son las

cinco races de:

)12.5(tgxtg5xtg101

xtgxtg10tgx5x5tg

42

53

Luego : Por Cardano Viette

95)10(2)35(M 2

lave

b

95. Por un teorema :


34/38

1r3r3r2r2r1rR

166x6x44.99.44.4

3rR

3Rr

2rR

2Rr

1rR

1RrR2S 2ABC

4162.4

916

3.4

416

2.4

16.2 2

38,156021

32768

7

122.

12

816.2S

2ABC

lave

c

96. tgx +3ctgx = 2tgx Luego:

3tg2

x

tgx = 3x = -2/3, -/3,/3; 2/3Tgx = Tgy = Tgz

Las ternas x,y,z son en total.2.2.2 + 2.2.2 = 16

lave

e

.

97.

ex

= 7 ; ey

= H ; ez

= 28

entonces:

z2

)zyx(39

yzxzyx

)zyx.(39

x+y = LN7 +LN4 = LN28

x + y = z

Luego :39

z2

)zz(39

lave

d

98. 0)42)(22( xx

luego : 4222 xx luego: x 1 x 4

x [ 1, 4]

lave

b

99. Para :

1d1dC:1n 44

11C16dC.cC:2n

5

4

4

4

11b81C.dcC.C.b:3n 6454

44

1a256C.dC.cbC.C.a:4n 7464

54

44

Piden : 1+2(11) +3(11) +4(1) = 60

lave

d

100. 9Clogblog3alog22cba 222932

10Clog3blog2alog2cab 2221032

12Clogblog2alog42cba 2221224

Resolviendo:

log2a = 2 a = 4

log2b = 1 b = 2

log2 c = 2 c = 4

log2(4+4) = 3

lave

c

101.De la inecuacin se tiene:

|)z|3()5(8|z||z| 22

|)z|3(58|z||z| 2

|z|5158|z||z| 2


35/38

07|z|6|z| 2

de donde : - 1 | z | 7pero : 0 | z |entonces : 0 | z | 7

-7

-7

O

IIm(7)

7R(Z)

7

Z

El rea es : 72

= 49u2

lave

d

102.

A

B

E

a F

C

DP

PO

Q

Q

HQ

Proyectamos PQ en FBDH, ya queFBDH AC.La distancia mnima entre AC y PQseria OP .

4

2aPO

lave

c

103.

60 3a

a

A

F

B

T

H

x

C37

37/2

Trazamos CT AB CT ABFLuego TH AF

T.T.P : CH AFSea AC = 10aTC = a y AT = 3aAHT;

32

a3TH

9

32TanxTHC

lave

e

104.En el cilindro se forma una elipse queproyectado en ABC ser el circulo de

la base; entoncesr2

=Sseccin Cos

A Ba

a

C

A

37

=

B

C

r

Cos

7

3S

6

3acinsec

2

36

21aS

2

cinsec


36/38

lave

c

105.

y

x

B a

uu

1

A

D

C

10 2

4 28

2

)4,4()5,1()1,5(a

21,

21

aaua

2

1,

2

1u

1

Luego:

210

BC

BC

BC

u

1

C = (10,10) +(1,5)

C = (11,15)

28

AD

2

1,

2

1

AC

ACu

1

D = (8,8) +(5,1)

D = (13,9)

lave

c

106.

C

C > S > R

CR = C -S + 1

Entonces por dato:RradS C

g

1R20R200

2

200R2

20R 1 = 0

Resolviendo :

20

31R

lave

e

107.

1

h

270- Cos

Sen

h

b

1

y

x

De la figura se tiene:

Sen1

Cos

|Senx|1

|Cosx|

1

b

h = | Cos (270-) |h = | Sen| = -Senpiden el rea

A = bh21


37/38

lave

b

108.

44a

4a+99

0

13a

13

13a

13a

4 = 17 a

9a4

a13Cot

13

4Cot

Adems se tiene:

- = 360

13

4Cot

lave

e

109.Utilizando los criterios de lneas

notables en la C.T se tiene; FFV

lave

c

110.Ejecuntando operaciones indicadas se

obtiene:

TanDTanCTanB.TanA1

TanBTanAM

M = Tan(A+B) +TanC +TanD

Por dato: A+B+C+D = kLuego : Tan(A+B) + TanC+TanD =

= Tan(A+B). TanC.TanD

lave

d

111.

A(0,a) 3

2

4

40

y

x

BPo

58

Sea : f(x) = Atan(Bx + C) +DDel grfico:

2

2

B40D

adems : BX +C = 0 0C8

2

4C

donde:f(x) = ATan(2x- ) +40

4A = 60

4100

* (0,a)

40

4

Tan60a

20a Luego A, B, Po son colineales.

lave

d

112.I. Cosx +Cos3x = 2Cos2xCosx = 0

Cos2x = 02x = (2k+1)/2x = (2k+1)/4

Cosx = 0 x = (2k +1)/2

4

7,

4

5,

2

3,

4

3,

2,

4x

II. Graficando ; 3Senx y x


38/38

3

y

x

-3

2 2 2

2

23 3

,3)

5

(5

Se observa 3 intersecciones piden la

suma; 6+3 = 9

lave

c

113.De: ArcSenx +ArcCosx =/2

)arcCosx(Sen)arcCosx2

(Sen

)arcCosx(Sen)arcCos(Cos

De la grfica se tiene:

1x2

2

40

F( )

122

4

lave

c

114.

B

VA

Va = 2bc .Cos ( A )

b+c 2

A

C

)A(Cos)RSenC2)(RSenB2(2Va

)2

A(Cos.

)2

CB(Cos)

2

CB(Sen2

SenC.RSenB4Va

)2

CB(Cos

SenC.RSenB2Va

lave

d

115.a = DaTanB + DaTanC

b = DbTanA + DbTanC

c = DcTanA + DcTanB

nCTanATanBTa2Dc

c

Db

b

Da

a

A

A

b

H

C

C

B

B ac

c

Da

lave

b

5 secundaria.pdf

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