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. Del grfico ; hallar x
x
a) 2 b) c) + d) 90 - e)
2. Calcular x en:
6 6
57 27
x
a) 15 b) 84 c) 63d) 60 e) N.A.
3. Del grfico ; Calcular x
4x3x
2x
x
5x
a) 5 b) 10 c) 20d) 35 e) 53
4. De la figura calcular UN-CP; Si QT=3y el permetro de la regin UNC esigual al de la regin QUCP (TPuntode tangencia).
P C N
Q
TU
a) 3 b) 6 c) 9d) 5 e) 2
5. En la figura mostrada. Calcular x.Si: mDR = mRO(EPunto de tangencia)
D xR
40
A
E N
O
a) 5 b) 15 c) 20d) 35 e) N.A.
6. De las siguientes proposiciones cualesson verdaderas (V) o falsas (F)
Los ngulos suplementarios siempreson adyacentes.
La medida de un ngulo depende dela longitud de sus lados.
Si 3 ngulos suman 180, sonsuplementarios.
a) VFF b) FFF c) FVFd) FFV e) VFV
7. Del grfico, hallar el valor de x, si
21 L//L
L1
L2
x
5
6
4
a) 85 b) 95 c) 100d) 110 e) 120
8. Sean los ngulos consecutivos AOB,
BOC y COD. DO
mA = 112 yCOmB = 62, se traza
OM ,
ON ,
OR
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y OQ bisectrices de los ngulos AOB,
COD, AON y MOD respectivamente .
Hallar QOmR
a) 25 b) 18 30 c) 14d) 12 30 ) 12
9. En la figura . Hallar el valor de x
2 2
100
x
a) 40 b) 45 c) 50d) 60 e) 80
0. En un tringulo ABC, se traza la alturaBH y se ubica un punto P exterior
relativo a BC , tal que AP intersectaa BH en M. Calcular PC si BM=12u,
AB = BC = MP y CAmP2MAmB
a) 12u b) 6 c) 10d) 8 e) 15
1. En una recta se consideran los puntos
consecutivos A, B y C; luego seconsideran los puntos medios M y N
de AB y MC respectivamente. HallarAN si se cumple que:
AB + NC AM = 2 5m.
a) 5 m b) 2 5 c) 3 5
d) 4 5 e) 2 5 /3
2. Sobre una recta se consideran lospuntos consecutivos A, B y C; donde
AB =12m, se consideran los puntosmedios M y N de BCyABrespectivamente, de tal modo que elsegmento que une los puntos mediosde MCyAN mide 5m. Hallar BC.
a) 12m b) 9 c) 8d) 7 e) 6
13. Se tienen los ngulos consecutivos AOB;BOC y COD tal que mAOB = a,mCOD= b. Calcular la medida delngulo que forman las bisectrices delos ngulos AOC y BOD.
a)2
b2a b)2
ba
c)2
ba d)2
b2a
e)2
ab
14. Calcular la m CDA, si: CD es
bisectriz exterior del tringulo ABC.Adems- = 80
B A D
C
x
a) 20 b) 30 c) 40d) 50 e) 60
15. En un tringulo ABC, en la regin exterior
relativa a CA se ubica el punto D.Calcular el mximo valor exterior de
AC si la suma de permetros de lasregiones ABC y ACD es 40u.
a) 8u b) 9u c) 6d) 7 e) 10
16. Segn el grfico , calcular x
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A
DB
C
80
40
x
4010
a) 15 b) 10 c) 20d) 25 e) 12
7. En un paralelogramo ABCD, M es
punto medio deAD y AC BM= { P} , si AP = 3u. Calcular PC.
a) 1u b) 2 c) 3d) 4 e) 6
8. En el grfico mostrado: 321 L//L//L ,adems AB = 2(BC) y DE = EF. Hallarx.
A
B
C
E
D
F
x
a) 15 b) 45 c) 60d) 30 e) 37
9. En el grfico mostrado, encontrar elvalor de x, si mDEB = 140
A
C E
B
D
Rx
a) 120 b) 130 c) 140d) 150 e) 160
20. En el cuadrado UNCP . Halle x
U
N C
O
P
x
a) 45 b) 37 c) 53
d) 26,5 e) N.A21. La suma de los 6 primeros trminos de
una progresin geomtrica es igual a 9veces la suma de los tres primerostrminos. Hallar la razn.
a) 1/2 b) 4 c) 3d) 2 e) 1/3
22. Si:
2
1
;3
1
3x
2
A qu intervalo pertenece :x21
x45
a)5
16;
1341 b)
5
16;
13
41
c)
5
16;
13
41 d)5
16;
13
41
e)
23. Si :
54321 L//LyL//L//L
Hallar : xSi: - = 40
L1
L4
x
L5
L2
L3
a) 110 b) 115 c) 120d) 125 e) 150
24. Calcular la suplemento del complementode la mitad de la diferencia entre el
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suplemento y complemento de un mismongulo
a) 15b) 60 c) 75d) 90e) 135
25. Calcular el valor de:
A = 10-1
10-2
+10-3
10-4
+ ........
a) 1/10 b) 1/11 c) 1/9d) 1/12 e) 1/100
26. Calcular : (m-n).
mn
160
a) 10b) 15 c) 18d) 20e) 30
27. Cul de los siguientes grficoscorresponde a la funcin definida por:F(x) = ||x+2| -1|
a) b) c)
d) e)
y y y
y y
x x x
x x
28. Se tiene 3 nmeros enteros enprogresin armnicas; se agrega 4 al
primero y 6 al segundo entonces losnmeros se encuentran en progresinaritmtica; pero si se agrega 1 alsegundo y se le quita 3 al terceroentonces los nmeros se encuentran enprogresin geomtrica. Calcular la sumade estos 3 nmeros.
a) 11 b) 17 c) 19
d) 23 e) 27
29. En un tringulo ABC, mBAC=80,
mABC=40. Adems D AB ,
mACD=50 y E BC , tal que AC=CE.Hallar : mEDB.
a) 90b) 80 c) 100d) 110 e) 120
30. Si: r y s son races de: x2 +ax+b = 0;hallar el equivalente de: 2
sr
rs
a) a/b b) a/b2
c) a2
/b
d) a/b3
e) a2
/b2
31. Calcular: 3x/2.
D
C
O
B
3x 2x A
a) 9 b) 18 c) 27d) 36e) 54
32. Si:
21 L//L y el ABC es agudo.Hallar el mximo valor entero de x.
A
B
L1
L2C
x
a) 46b) 30 c) 45d) 44e) 29
33. La suma de los 6 trminos centrales deuna progresin aritmtica creciente de 16trminos es 141 y el producto de losextremos es 46. Qu lugar ocupa en laprogresin el nmero 7?
a) 2do b) 16 c) 3ro
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d) 19 e) 4to
34. En la figura , hallar : x.
x
x
x x
x
a) 144 b) 150 c) 136d) 160 e) 120
35. Dado un tringulo issceles ABC(AB=BC) en BC se ubica el punto D tal
que: AD = AC. Calcular la mABC, si:mBAD=15.
a) 50b) 30 c) 45d) 40e) 20
36. En un tringulo issceles ABC (AB=BC)se ubica exteriormente y relativo al lado
BC el punto D de modo que AC = AD ymADC=80 y mBCD =15. Calcular lamBAD.
a) 15b) 20 c) 35d) 45e) 55
37. Si: mAOB =, calcular x si elAOBes dividido en partes de medidas igualespor n rayos interiores.
x
B
AO
a)/n b)
n
3n c)
1n
4n
d)
1n
2n e)
2n
1n
38. En la figura : x+y+z, puede medir:
7 y
zx
10
8
a) 12 b) 12,5 c) 20d) 25 e) 30
39. Los rayos consecutivos
OA , OB, OC, OD, OE y OF ,calcular la mCOB sabiendo que losngulos AOD, BOE y COF tienen igualmedida y que el ngulo AOF mide 114 yla mitad de la medida del ngulo formado
por el rayo OE y la bisectriz del nguloCOD es 16.
a) 10b) 15 c) 20d) 25e) 30
40. En el grfico, hallar : x +y +z
y
2 2
2
x z
W
W
W
a) 300 b) 320 c) 270d) 250 e) 540
41. En un tringulo rectngulo la hipotenusamide 18dm. Hallar la distancia delbaricentro al circuncentro.
a) 4dm b) 8dm c) 9dmd) 3dm e) 6dm
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42. En un tringulo issceles ABC se
traza la ceviana interior AD (AB = BC),la (mABC=2.mBAD) (6.BD=5AC)Calcular la mBCA.
a) 53b) 67 30 c) 72d) 77 40 e) 80
43. Si: AC= a y AM= MB= b
Calcular : MQ
A 2
C
B
MPQ
a)2
ba b)2
ba c) ab
d) a/2 e)2
ab2
44. En un tringulo ABC, mA =78,
mB = 24. O es el circuncentro , Ies el incentro.
Hallar : mOAI.
a) 27b) 30 c) 34d) 54e) 28
45. En un tringulo rectngulo ABC
(mB=90), en la mediatriz de AC seubica el punto P exterior y relativo a
BC . En PC se ubica su punto medio
N, y M es punto medio de AC. Hallar :BN.Si: PC= 40u AC=42u y
mMPC=2mACB
a) 24u b) 29u c) 27ud) 26u e) 41u
46. Hallar la media proporcional de 12 y 27.a) 7,5 b) 15 c) 18d) 19,5 e) 21
47. Las edades de dos hermanos estn en larelacin de 4 a 7. Dentro de 20 aos larelacin ser de 3 a 4. Hallar la edad delmenor dentro de 14 aos.a) 16 b) 18 c) 42d) 28 e) 30
48. La razn de dos nmero es 3/4 y los 2/5de su suma es 56. Hallar la diferencia
de los nmeros.a) 10 b) 12 c) 15d) 20 e) 40
49. Resolver:| x - 4| > 2
E indicar el intervalo solucina) x < -; 2> U < 6; +>b) x < -; 4> U < 6; +>c) x < -; 2> U < 4; +>
d) x < -; +>e) x < 6; +>
50. Cuntos trminos hay en la siguienteprogresin aritmtica:
3ab...;;.........3b;39;a3 ?.
a) 127 b) 128 c) 129d) 126 e) 130
51. La tercera diferencial de 47; 23 y 15 es:a) 37 b) 39 c) 41d) 43 e) 45
52. En una proporcin aritmtica discreta lostrminos extremos estn en la relacin de7 a 5. Si la suma de los trminos medioses 180.Calcular la cuarta diferencial.a) 60 b) 65 c) 72
d) 75 e) 9053. En una reunin se observ que por cada5 hombres hay 3 mujeres. Si llegaron 10hombres y 8 mujeres la nueva relacinser de 3 hombres por cada 2 mujeres.Cuntas personas haban inicialmenteen la reunin? .a) 24 b) 32 c) 38d) 42 e) 48
54. Hallar los valores de verdad de lassiguientes proposiciones:I. (5 + 4 = 9) (4+7< 10)
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II. (3 + 03 ) v ( 7 < 4 +3)III. (10 + 15 = 25) ( 4 > 5)
a) FFF b) VVF c) FVFd) FVV e) VVV
55. En una proporcin geomtrica continualos trminos extremos estn en la relacinde 4 a 9, siendo su suma 65. Hallar
la media proporcional.a) 30 b) 45 c) 50d) 60 e) 90
56. Calcular : (a x b) ; si:13; 17; 21; 25; ............; ab1
y adems : a+b = 16.a) 64 b) 63 c) 81d) 56 e) 48
57. Cuntas proposiciones lgicas hay enlos siguientes enunciados:I. El inti es la unidad monetaria en el
Per.II. Todo hombre es mortal.III. Qu dijiste?.IV. 125 es un cubo perfecto.V. Mucho gusto.
a) 5 b) 4 c) 3
d) 2 e) 158. Resolver:
| 3x 2 | = x+1Hallar el producto de soluciones.
a) 3/8 b) 1/4 c) 3/2d) 4 e) 2/3
59. Si la suma y diferencia de dos nmerosson entre s como 11 es a 3; y la suma ydiferencia del segundo con un tercernmero estn en la relacin de 5 es a 1.Hallar el segundo nmero si la suma delprimero y tercero es 174.a) 24 b) 36 c) 48d) 60 e) 72
60. En la siguiente ecuacin:| | x 2 | - 9 | = 5
se obtienen 4 soluciones: x1; x2; x3; x4;donde :
x1> x2> x3> x4
Hallar : x1 . x2+ x3. x4a) 72 b) 84 c) 96d) 108 e) 120
61. Si la sexta parte del suplemento delcomplemento de un ngulo es igual ala tercera parte de 9 menos que sucomplemento.Hallar el valor del ngulo.
a) 24b) 20 c) 35d) 30e) 48
62. Hallar : x, si
21 L//L .
X30
L1
L2
a) 30b) 40 c) 45d) 48e) 60
63. Si O es punto medio de AB.Calcular: MO.
7,5
M A O B17
a) 13 b) 14 c) 15d) 16 e) 17
64. Calcular : x , si
OD es bisectriz.
4x-12
x +27
O
B
D
A
a) 10b) 11 c) 12d) 13e) 14
65. En la proposicin:
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p(r s) es falsa.
Cules de las siguientes afirmacionesson verdaderas?.I. r necesariamente es falsa.II. s puede ser verdadera.III. p acepta un solo valor de verdad.
a) Slo I b) Slo II c) Slo III
d) I y II e) II y III
66. Calcular m AOD, si OD es bisectriz
de COE.
A
B
O40
C
D
E
a) 105 b) 120 c) 135d) 140 e) 155
67. En la siguiente sucesin, encontrar elnmero que sigue:
6; 6; 11; 22; 40; ..........
a) 66 b) 54 c) 80d) 56 e) 65
68. Se grafica a los ngulos AOB y BOC demanera que la suma de los ngulos AOBy AOC sea 134. Se traza la bisectriz
OR delAOR.
a) 17b) 37 c) 47d) 57e) 67
69. Si:
21 L//L Calcular : x.
60
L1
L280
X
a) 40b) 50 c)60d) 70e) 30
70. En la siguiente sucesin, encontrar elnmero que sigue:
2; 0; -1; 0; 4; ...............
a) 6 b) 8 c) 10d) 12 e) 16
71. En una progresin aritmtica se cumpleque los trminos de lugar 1 y 3 suman
10; y los trminos de lugar 9 y 11 suman58. Calcular el trmino de lugar 8.
a) 20 b) 23 c) 29d) 35 e) 38
72. Si AD = 25, calcular : BC.
14
14A B C
D
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
73. Cuntos trminos hay en:47; 56; 65; .........., 929?.
a) 99 b) 98 c) 97d) 96 e) 95
74. Se tienen los ngulos consecutivos AOD,BOC, COD, DOE, EOF de tal maneraque: mAOB=mBOE=mCOF ymAOF=224.Calcular la medida del ngulo formadopor la bisectriz del ngulo COD y el
rayo
OE , si : mBOC = 52.
a) 52b) 60 c) 70d) 82e) 102
75. En una recta se ubican los puntosconsecutivos M,O,A y B si:MA+4.(OA)-2.(MB)=5; OA=6 y OB=7.Calcular : MO.
a) 9 b) 11 c) 13d) 15 e) 19
76. Dado el conjunto:A = {0;1;2;{1}; {1;2};{3};{0;3}}
y dadas las proposiciones:
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I) 2A II) {1} AIII) { 0} A IV) {3} AV) {0;3} A VI) AVII) {{3}} A VIII) A
El nmero de proposiciones verdaderases:
a) 6 b) 5 c) 4
d) 2 e) 7
77. Cul de las siguientes expresionesrepresenta a la parte sombreada?
A
B
C
a) B)AC(B)CA( b) )CB(U)BA( c) (A-C) U (C A)d) (AC) Be) B (AC)
78. En un grupo de 100 estudiantes; 49 nollevan el curso de lgebra y 53 no siguenel curso de Aritmtica; si 27 alumnos, no
siguen Aritmtica ni lgebra cuntosalumnos llevan exactamente uno de talescursos.?
a) 24 b) 30 c) 36d) 48 e) 26
79. Si: ( pq) v (rp) v (qs) Es falsa, halle el valor de verdad de:
(pq) v ( r s)
a) V b) Fc) V o F d) V y Fe) no se puede determinar
80. Hallar el trmino a20 de una progresin
aritmtica en la que: a1= 7 y r = -2.
a) 27 b) 31 c) 33d) 29 e) 35
81. Suponiendo que el numerador ydenominador tiene infinitos trminos.Calcular el valor de la fraccin.
.........811
271
91
31
.........161
81
41
21
E
a) 3/4 b) 2/3 c) 4/3d) 2 e) 3
82. Resolver:| 3x-1| +|2x-3| -|x+5|< 2
a) 4/11;2/1xb) 4/11;2/1xc) 4/11;2/1x
d) 4/11;2/1x e) Ninguno
83. Si: L1//L2, Hallar x :
L1
50
X
60
2
L2
a) 60 b) 90 c) 80d) 100 e) 110
84. Calcular x; si : AP = BC
30
A
B
CH
P
x
40
a) 10 b) 30 c) 15d) 20 e) 18
85. Si: ABCD es un paralelogramo:Hallar . EF
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8
3
10B
A D
C
E
F
a) 5 b) 4 c) 3d) 2 e) 1
86. Sea la sucesin {an} definida por
recurrencia.
2
n
nn1n
a1
a1aa
con
1a1 . Calcular :
1n 2nn aa1
1
a) 1/2 b) 3/4 c) 1d) 5/4 e) 3/2
87. Sea: P(n) un polinomio de grado 3 tal
que: P(1)=4; P(2)=10; P(3)=28; P(4)= 106
Calcular :
1n n3
)n(P
a) 12 b) 70 c) 8d) 37 e) 16
88. En un tringulo ABC acutangulo (A=74).En circunradio R mide 25 y el inradiomide 10. Hallar la medida del exradiorelativo al vrtice A.
a) 36 b) 39 c) 46d) 37 e) 50
89. En la figura mostrada: Hallar PR siAP = 5 ; BC = 9
A
B
C
O
P30 3060 60 60
60
60
M RN
a) 3/68 b) 63/4
c) 3/75 d) 5/58
e) 7/710
90. En la figura BC CD y adems O escentro. Si MN = 10 MC = 5. Hallar EC.
RO
A D
MN
B C
E
a) 2 b) 3 c) 10/3
d) 5 e) 2,591. En el ABC: (AB=13, BC=15, CA=14)
siendo T,Q puntos de tangencia yadems : AN = NP; BM = MC. Hallar:NR/RM.
AQ
B
P
MN R
C
a) 0,2 b) 0,3 c) 0,4d) 0,5 e) 0,6
92. Se tiene el tringulo rectngulo ABC.
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(B = 90; A = 53). Se ubica en el
interior del tringulo un punto M
tal que:
;20
CM
12
BM
15
AM Hallar mAMC
a) 135 b) 127 c) 143d) 150 e) 120
93. Hallar el valor de R; si a = 4; b = 9
R
a
b
a) 36 b) 38 c) 39d) 40 e) 32
94. Hallar el mnimo valor de:
4)8x(36x)x(f 22
a) 1726 b) 104
c) 52132 d) 28
e) 12
95. Sean :
ax + by + cz = 1
ax2
+ by2
+ cz2
= 2
ax3
+ by3
+ cz3
= 3
ax4
+ by4
+ cz4
= 6
ax5
+ by5
+ cz5
= 15
ax6
+ by6
+ cz6
= 24
Calcular :
ax7
+by7
+cz7
a) 39 b) 45 c) 50d) 48 e) 52
96. Resolver:
| x2
4 | |x2
2x +2 | ; x > 0
a)
3,
251 b)
3,
2
15
c)
2,2
15d)
2,2
51
e) N.A.
97. Hallar x :
3
3
x
40
a) 8 b) 15 c) 12d) 18 e) 10
98. Si se sabe que:
[ ( p r) q ][ ( p p ) (pq)]
es verdadera
Hallar los valor de p,q,r
a) VVV b) FFFc) FVF d) VFV
e) No se puede determinar
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99. Calcular la medida del radio delcirculo pequeo. Si el lado delcuadrado es 16
a) 1 b) 2 c) 3/2d) 1/2 e) 3
00.Dado el siguiente histogramadeterminar el valor de la media.
40
I i20 40 50 80 90 100
6080
100
120
fi
a) 55,5 b) 58,5 c) 62,5d) 65,5 e) 68,5
01.Grafique al tringulo rectngulo ABC(mB = 90) y a la circunferenciacircunscrita. En AC se marca el puntoD y se levanta la perpendicular DEa dicha hipotenusa (E BC ), laprolongacin de DE corta a la
circunferencia en F y la prolongacinde AB en G. Si ED=8dm y DG=18dm.Calcular : EF.
a) 6dm b) 3 c) 5d) 4 e) 4,5
02.Se tiene un polgono regular cuyosemiperimetro es P y en el cual elnmero que expresa su permetro es
el mismo que el que expresa sunmero de diagonales. Adems la
medida de su ngulo interior es Pveces la medida de su nguloexterior. Cunto mide el lado delpolgono regular?
a) 1/2 b) 1/5 c) 1/4d) 1 e) 3/2
103.En la figura el hexgono es regular
cuyo lado mide 2dm, y el tringuloPQR es equiltero. Para que el rea delas cuatro regiones limitadas por eltringulo y los cuadrilteros seaniguales. Cunto debe medir AP?
E
F
A
B
C
P
QR
D
a) dm)13( b)2
37
c) 3 57 d) 2 25
e)2
27
104.
3,2
2
5,4U2,1[
1,0
x
x
x
x
,3
,2
,1
,0
)x(H
entonces H es:
a) No creciente en < 0,2]b) No creciente en
-
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13/37
c) No decreciente en d) Constante en < 1,3>e) No decreciente en
05.Si : ,x
1xy entonces la expresin:
01xx4xx 234 se convierte en :
a) y
2
2y +6 = 0b) y
2y 6 = 0
c) x2
(y2
+2y 6) = 0
d) x2
(y2
+y-6) = 0
e) x2
(y2
y +6) = 0
06.El mayor conjunto al cual pertenece x,satisfaciendo la desigualdad:
211x 1x es:
a) < -, +>b) < - , 1> U < 0, +>c) < -, -1> U < -1, +>d) < -3 , +>e) < - , -1> U < 0,1>
07.Hallar la mediana de la siguiente ojiva
que representa los sueldos mensualesde los trabajadores de una empresa.
100
200
150
200
200 400 600 800 1000$
Cantidad de empleados
250
a) $430 b) 433,3 c)d) 435 e) 440
08.Si :
}10aa8
aa6a
/Za{M 32
Calcular el cardinal de M
a) 1 b) 2c) 3 d) 4e) No se puede determinar
109.En la figura AB = 9, BC = 10 y AC = 13Calcular EB
A
BE
CP
a) 3 b) 30/11 c) 22d) 24/7 e) 2
110.En un tringulo rectngulo ABC rectoen B, se inscribe un cuadrado LMNO;de tal modo que el lado LO descansa
sobre AC . Calcular el lado delcuadrado; si AO = m y LC = n
a) mn b)4
nm
c) 22 nm d)nm
mn
e)n
m2
111.En la figura , PD = x , calcular el reade la regin tringular CPD.
A
B C
D
P
O
a)2
x2b)
3
x2 2c)
8
x2
-
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14/37
d)4
x2e)
6
x2
12.En la figura se muestra el exgonoregular ABCDEF (FE=4m). Hallar el reade la regin sombreada, si BN=NC yLM= MD.
A
B C
D
EF
L M
N
a) 4
2
m3 b) 6 3 c) 4d) 12 e) 5 3
13.Si el radio de la semicircunferencia es2. Hallar el rea del regin sombreada.
a) 2- 3 b) 3- 3 c) 3- 2
d) 2- 2 e) 3+ 3
14.En un cuadrante AOB (AO = OB) seinscribe una circunferencia tangente al
arco AB en M y en P y Q a AO y
OB respectivamente AB intersecta aMP y MQen C y D . Siendo ; elrea deAMC = 6u
2. Calcular el rea
delMDC
.a) 4,5u2
b) )12(6 c) 23
d) )12(2
3 e) )12(6
115.En el grfico. Halla el rea del segmentocircular sombreado (P, T, Q, son puntosde tangencia). Si:AB = 9u; BC= 40u y
AC= 41u
A
P
BT
Q C
a) 2(-2)u2
b) 3(-2)
c) 4(-2) d) 6(-2)
e) 5(-3)
SOLUCIONARIO1.
D
U
R
N
xO
C
E
En el CONE inscriptible, se tienemNOE = mNCE = ymOCE = mONU = + = Luego en elDRO = x = + x =
-
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15/37
lave
e
2.
D N
R
P
O
E
57
84
2730
3333
6 6x
DRO RON (L-A-L)osea: - 63 -RO DN .Adems:mRON=mDOR=33
REON inscriptible (regla delrebote)mREN = mRON = 33
x = 33+27 = 60
lave
d
3. Se prolonga ON hasta P tal que elNCP sea issceles NC = CP =Para obtener el cuadriltero UNCPinscriptible (regla de rebote)Donde: mUPN=UCN=5x y
mPNC=mPUC = 3xLuego se prolonga PU hasta M paraobtener elMUO issceles MU=UO =
Anlogamente elMOP issceles:MO = OP =
M A120-4x
22
3
33
3
3
5
5
5
4
4
4
O
xx
xx
xx
x
x xx
x
x
x xx
U
P
C
N
Luego se tiene queMAOPOC(A-L-A)Es decir : (3x - -x)
Finalmente el MAOU cncavo
mMUO = 120 - 4xEntonces: 120 4x + 10x = 180x = 10
lave
b
4.
33
T aIncognita:UN -CP = x-y
rr
ry
rP b
x
Q
U
C N
Dato : a+b+r+x = 2a +2r+6+yx-y = a-b+r+6 ........... ( 1 )
En el QPN (T de Poncelet)
y +b+r+3 = 3+a+x+2rb a-r = x-y .............. ( 2 )Luego : (1) + (2) 2(x-y) = 6
x y = 3
lave
b
5.
A
D R
O
E N
2
2
X2
40
Dato :mDR = mRO = 2Luego : por interior : mDEO = 2 y
mRDO =Adems : mEDO = mNEO =Luego :DAR : + + x = 90DEN : 2(+ ) + 40 = 180+ = 70
x = 2 0
lave
c
6. Es falso: Por teora.(No necesariamenteson adyacentes).
-
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16/37
+ B = 180
Es falso : Los lados de un ngulo sonrayos. La medida se hace con eltransportador.
Es falso: Los ngulos suplementariosson dos ngulo cualesquiera cuyasmedidas suman 180.
lave
b
7. De la figura :4+ 5= 90 = 10
L1
L2
x
6
5
4luego :x = 6+4= 10x = 100
lave
c
8.
A
M B R
Q
C
N
DO
a
a
b
x
62 b
Dato :
DOmA = 1122+62 + 2= 112
+ = 25
De la figura:
231
2
622a
231
2
622b
Luego :
x + ROmM = b
x + a - = b
x + +31 +2 - = +31 +
2
2
25
2x
x = 12 30
lave
b
9. De la figura :
100
x
2 2
2+ 2+ 100 = 180+ = 40
Luego :+ +x = 100
40 +x = 100x = 60
lave
d
10.
A H
P
B
12u
M x2 2
2
C
Como :ABCissceles
MCAM
Mediatriz
Mediana
Altura
trizsecBi
BH
De la figura ABM MPC (LAL)BM = PC = 12u
lave
a
-
7/25/2019 4 secundaria.pdf
17/37
1.??
A BM N C
Del dato :
AB + NC AM = 2 5
2AM +MN AM = 2 5
AM +MN = 2 5
AN = 2 5
lave
b
2.
5mt
6
2 26+a 6+a
3+a 3+a
A M E B F N C
6a a
De la figura :EF = 5
5FN2a
6
5)aa3(2a6
52
a3 2
2
a
a = 4Luego:BC = 2a = 2x4 = 8mts.
lave
c
13.
O
A
B
C
a
b
x
D
= x (a - )= b + (- x)x a + = b + -x2x = a + b
2ba
x
lave
c
14.
B
C
mn
xA D
Exterior :BCD+ x = m ......... ( I )ACDm+x = (II)Reemplazando :( I ) en (II) :
+ x + x =2x = - 2x = 80x = 40
lave
c
15.
-
7/25/2019 4 secundaria.pdf
18/37
A
a b
m n
B
C
D
Dato :
2PABC+2PACD= 40
a+b+x+m+n+x = 40a+b+m+n = 40 2x ........ ( I)
Desigualdad triangular:ABC : x< a+b +ACD : x < m+n
2x < a +b+m+n ........... (II)
(I) en (II)2x < 40 2x
x < 10 x max = 9u
lave
b
6.
A
D
OO
B
C
x
4040
1050
80
80
60
ADB PBC(A-L-A)BD = PBmBDP = mDPB = 50ADP:40 +x = 50x = 10
lave
b
7.
A
B
P
Ma a
2a
x
3
C
D
APM BPC
6xx3
a2a
lave
e
18.
AD
EB
C F
a
a x
2a
xk
k
2k
KDE: Notable x = 30
lave
d
19.
A
C
x 50
D
E
B
AB Dimetrom < AEB = 90
ACDE : inscritox +50 = 180x = 130
lave
b
20.
U
N C
O
xR
26,5
26,5
63,5
53
P
Observacin:Si:
-
7/25/2019 4 secundaria.pdf
19/37
U
N C
O
P
= 53 = 26,5
Se tiene:mPUO=53mOP = 26,5Luego: mPOC = 90 (Arco Capaz)Entonces: mOCP=63,5 (por completode 26,5)
Adems : mROP = mOPC = 26,5)CP//OH(
En el PROC inscrito se tiene que:mHRP = mOCP = 63,5Finalmente en elPRO: x+26,5 = 63,5
x = 37
lave
b
21. Sea la P.G:a ; ar ; ar2; ar3; ar4; ar5; .............
xr xr
a+ar+ar2
+ar3
+ar4
+ar5
= 9.(a+ar+ar2
)
1r1r.a9
1r1r.a 36
(r6
-1) = 9(r3
1)
(r3
+1) (r3
1) = 9(r3
1)
r3
+1 = 9r3
= 8
r = 2
lave
d
22. Si:
2
1;
3
13
x
2
2
13
x
2
3
1
32
1
x
23
3
1
2
5
x
2
3
8
45
x1
68
8
6x
5
4 ................... ( I )
A qu intervalo pertenece:x21x45
x21
32
x21
3)x42(
x21
x45
Entonces:4
3x
5
4
23x2
58
58x2
23
5
81x21
2
31
513
x2125
52
x211
135
56
x213
1315
56
2x21
32
1315
2
516
x21x45
1341
Entonces:
516;
1341
x21x45
lave
a
23.
-
7/25/2019 4 secundaria.pdf
20/37
L1
L2 X
L4
L5
L3
Si : - = 40 = 65Pero: + = 90 = 25
Ahora : +x = 180 x = 180-
x = 180 -65 = 115
lave
b
24. 180- { 90 -2
1 [ (180-)-(90-)]}
180 - {90 -21 [90]}
180 - { 45} = 135
lave
e
25.
A= 10-1
- 10-2
+ 10-3
- 10-4
+ ........
x(-10-1) x(-10-1) x(-10-1)
)10(1
)10(A
1
1
10
11101
10
11
101
A
111
A
lave
b
26.
m-
n
n
m
180-m
180-m 160
(180-m) + (n) = 160
180 - (m n) = 160 m-n = 20
lave
d
27. F(x) = | | x+2| - 1|
y
y
y
x
x
x
| x+2 |
| x+2 |-1
| | x+2 | -1|
lave
e
28. Sean los tres nmeros: x; y; zProgresin Armnica: x; y; z
z
1;
y
1;
x
1 est en progresin
aritmtica.Propiedad:
z
1
x
1
y
1.2
yxz
.2zxxz
zxy2
...............(I)
Progresin Aritmtica: x+4; y+6; zPropiedad: 2(y+6) = (x+4) +(z)
2.(y+4) = x+z .............(II)Progresin Geomtrica: x; y+1; z-3
Propiedad : (y+1)2
= (x) . (z-3) .......(III)
(I) en (II)
2(y+4) = 2.y
xzy.(y+4)=x.z......... (IV)
(IV) (III)y
2+4y = xz (-)
-
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21/37
y2
+2y +1 = xz 3x2y 1 = 3x 2y = 3x+1.......(V)
(V) en (II)2y +8 = x+z
(3x+1) +8 = x+zz = 2x+9 ............(VI)
(V) y (VI) en (I)(y) .(x+z) = 2(x) .(z)
(2y) .(x+z) = 4(x) .(z)(3x+1) .(3x+9) = 4(x) (2x+9)
9x2
+30x +9 = 8x2
+36x
x2
6x+9 = 0
(x-3)2
= 0x = 3 y = 5 z = 15
x + y + z = 23
lave
d
29.
A C
B
xD
E50
40
20
5060
60
10
80
mACE = 60AC = CE = AE
mACD = mADC = 50AC = ADAD = AE
A C
B
D
E
40
20
8080
X
x +80 = 180 x = 100
lave
c
30. r y s son las races de la ecuacin:
x2
+ ax + b = 0
r + s = -1
a = -a
rs = b1b
as
r
r
sE
rs
rs2rsE
22
rs
)rs(E
2
b
a
b
)a(E
22
lave
c
31.
D
C
B
3x 2xA
3x+90 +2x = 1805x = 90
x = 18
272
18.32x3
lave
c
32.
L1E
180- -x
A
F
2
B
D+
C
x
180-2
L2
: es agudo < 90
(180 -2) + + 2= 180 (ABF)
= 2(- ) - =2
.
(180 - - x) + = 180 (EBC)
-
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22/37
x = + - x = - (- )
x =2
2x = < 902x < 90
x < 45
xmx= 44
lave
d
33. Sea la progresin aritmtica:
P.A.t1 ; t2; .............; t6; t7; t8; t9; t10 ; t11,........; t16
r r 6 trminos centrales
t6+ t7+t8+t9+t10+t11= 141
(t1
+5r)+(t1+6r)+(t1+7r)+(t1+8r)+(t1+9r
)+
(t1+10r) = 141
6t1+45r = 141
2t1+15r = 47
(t1) +(t1+15r) = 47
(t1) x (t16) = 46
(t1) x(t1+15r) = 46
Entonces: tn= t1+(n 1)r
tn= 1+(n-1)3 = 7n = 3
tn= t3: 3ro
lave
c
34. x += 180x =180 -
x
x x
x
2 2
x2+2+ = 5= 180 = 36x = 180 - 36 = 144
lave
a
35.
2
15
2A C
B
D
90-
90-
2+15 = 90 -3= 75 = 25
2= 50
lave
a
36.
xA
B
C
D
20 65
80
15
AB = BCx +20 = 65 x = 45
lave
d
.
t1=1
t1+15r=46r=3
-
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23/37
37.
O A
BX
X
n rayos interiores entonces son (n+1)ngulos interiores
mAOB = (n+1)= =)1n(
x =- 3
x =- 3
1n=
1n
2n
lave
d
38.
7 10
8
y
x z
7 < x +y < 8 +1010 < y +z < 7 + 8
8 < z +x < 10 +725 < 2(x+y+z) < 50
12,5 < x+y +z < 25
(x+y+z) puede medir : 20
lave
c
39.
x
F
O
DG
C
B
Ax
= +x +2
mAOF = x++++ x + = 114= 2(x + +) = 114
x ++ = 57
(I)
2
1(+) = 16 += 32 ..(II)
(II) en (I) :x + 32 = 57x = 25
lave
d
40.
2
2
2x
yz
4+ 4+ 4w = 180+ + w = 45
x = 4+ + wy = + 4+ wz = + + 4wx +y +z = 6(+ + w)=6.(45)= 270
lave
c
41. O : CircuncentroG : BaricentroH : Ortocentro
+
(+)
-
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24/37
3x 3x
2x
x
G
18O
H
90-
90-
Propiedad : 2GO
HG
3x+3x = 18dm6x = 18dm
x = 3dm
lave
d
42.
A H
B
FD
3
3
3
6
3
5
90-
C
6.BD = 5.AC65
ACBD
ABH ABFAH = BF = 3
3= 37
= 37/3 = 12 + 1/3= 12 20
mBCA = 90 -mBCA = 90 -12 20mBCA = 77 40`
lave
d
43. Trazamos BH perpendicular a la
prolongacin de AP .Como : AM = MB
AQ = QHAC = CH
A
M
B
H
P
Ca
a
2x
2
b
xQ
b
y BH = 2.MQBH = 2x
Entonces en el grfico se ve que elBHCes issceles.
BH = HC2x = a
x = a/2
lave
d
44. mA = 78 m B = 24m C =78
78
A B
C
7812
X
IO
12
1224
AOB es issceles :
mOAB = mOBA=12
I es incentromCAI = mIAB=2
78
mIAB = 39x + 12 = 39x= 27
lave
a
45.
-
7/25/2019 4 secundaria.pdf
25/37
A
B
C
N
P
M21
2190-2
21
20
202
2
2
20
X
ABCAM = MC = BM = 21PMCPN = NC = MN = 20Como : BM = MCmCBM =mMCB =
Entonces:mAMB = 2 mBMP =90-2.
Como : PN = NMmMPN =mPMN= 2.
Entonces el BMN es un tringulorectngulo.
x2
= 212
+ 202
x2
= 441 + 400 = 841x = 29u
lave
b
46. La media proporcional de 12 y 27 es:b.
27x12b27b
b12 2
b2
= 324b = 18
lave
c
47.k7b
k4a
k7k4
ba
43
20b20a
)20k7(3)20k4.(44
3
20k7
20k4
16k +80 = 21k +6020 = 5.kk = 4El menor es: a = 4k = 4x4 = 16
Dentro de 14 aos : 16 +14 = 30
lave
e
48. Dos nmeros : a y b.
k4b
k3a
k4
k3
b
a
56)k4k3(52)ba(
52
20k56)k7(5
2
La diferencia es: b a = 4k 3kb a = k = 20
lave
d
49. Resolviendo:| x-4 | > 2
I) x 4 > 2 II. x 4 < -2x > 6 x < 2
2 6
x < -; 2> U < 6; +>
lave
a
50. La progresin aritmtica:3a ; 39 ; b3 ; .......... ; ab3
+r +r n trminos
783ba3
393ba339r393br
a339r
4r
439433539r
4b
5a
783b
a3
Entonces:
# trminos : 1r
a33abn
-
7/25/2019 4 secundaria.pdf
26/37
14
5081
435543
n
n = 128
lave
b
51. La tercera diferencial de 47; 23 y 15,es:c
15c22
15c2347
c = 37
lave
a
52. Proporcin aritmtica discreta:a b = c d
7k b = c - 5k12k = b+c = 18012k = 180K = 15La cuarta diferencial es:d = 5.k = 5. 15 = 75
lave
d
53.
Inicialmente:Hombres
5k
5k + 10 3k + 8
3k+ = 8 kMujeres Total
Despus:
4k
24k920k10
)8k3.(3)10k5.(2
23
8k310k5
inicialmente haban : 8k = 8.4 = 32
lave
a
54. I. (V) (F) FII. (V) v (F) VIII. (V) (F) F FVF
lave
c
55. Proporcin geomtrica continua :
)I(..........c.abc
b
b
a 2
5k65k13ca
65k9k4ca
k9k4
ca
En (I): b2
= a.c = (4k) . (9k)
b2 = 36.k2305.6k.6bk.36b 2
La media proporcional es: b= 30
lave
a
56.13 ; 17; 21; 25; ...........; 1ab
+4 +4 +4n trminos
# trminos:
n = 1r
tt 1n
14
13ab1n
Para: a = 9 b = 7
)v(471
4
1841
4
13197n
Para: a = 8 b = 8
)x(75,4414
1751
4
13188n
Para: a = 7 b = 9
)x(5,4214
1661
4
13179n
n es el nmero de trminos y es una
cantidad entera; por lo tanto: a=9 b=7. a . b = 9.7 = 63
lave
b
57. PROPOSICIN es un enunciado quepuede catalogarse como verdadero ofalso, pero no ambos a la vez.Son proposiciones:
I. (V) II. (V) III. (F)
a + b = 16 9 78 87 9
-
7/25/2019 4 secundaria.pdf
27/37
IV: (V) V. (F)
Son 3 proposiciones.
lave
c
58. Resolviendo:| 3x - 2 | = x +1
I). 3x-2 = x+1 II). 3x 2 = -(x+1)3x x = 2+1 3x 2 = -x 12x = 3 4x = 1x = 3/2 x = 1/4
El producto de soluciones es:
83
41
x23
lave
a
59.b11a11b3a3
)ba.(11)ba.(3
3
11
ba
ba
14b = 8a
47
ba
47
814
ba
.....(I)
c5b5cb)cb.(5)cb.(1
15
cbcb
6c = 4b )II(..........2
3
c
b
2
3
4
6
c
b
En (I) y (II) :
k8ck12b
k21a
812
44x
23
cb
1221
33
x47
ba
a + c = 17521k +8k = 29k = 174k = 6El segundo es: b = 12k = 12 . 6 = 72
lave
e
60. Resolviendo:
| | x-2| - 9 | = 5
I) | x 2| 9 = 5 II) | x-2 | 9 = -5| x-2 | = 14 | x-2| = 4
a) x 2 = 14 x 2 = -14x = 16 x = -12
b) x 2 = 4 x 2 = -4x = 6 x = -2
Entonces: 16 > 6 > -2 > -12
x1> x2>x3 > x4
x1 . x2 + x3 . x4= (16) .(6) +(-2) . (-12)
x1 . x2 + x3 . x4= 96 +24 = 120
lave
e
61. Sea.S() : Suplemento de un ngulo.C() : Complemento de un ngulo.
9)(C.3
1)(CS.{
6
1
9)90(.3
190180.
6
1
81.3190.
61
81.290
90 + = 162 - 2 3= 72
= 24
lave
a
62.
x30
L1
L2x
+ 30 = 90 = 60
-
7/25/2019 4 secundaria.pdf
28/37
x + 2= 180x + 120 = 180x = 60
lave
e
63. O es punto medio de AB.
7,5 8,5
17
8,5
M A O B
MO = 7,5 + 8,5 = 16
lave
d
64.
4x-12
x +27 A
B
D
O
OD es bisectriz entonces:4x 12 = x +273x = 39
x = 13
lave
d
65. p(r s)F Fr sF
V FF VF Fentonces:I). ( F ) II. (V) III. (V)Son verdaderas: II y III.
lave
e
66.
A
B
40
C
O
D
E
40 +90 +2= 1802= 50 = 25
mAOD = 40+90+= 40+ 90+25mAOD = 155
lave
e
67.6 ; 6 ; 11 ; 22 ; 40; 66
+0 +5 +11 18 +26
+5 +6 +7 +8
lave
a
68.C
O
R
B
A
OR es bisectriz delBOCmAOB + mAOC = 134() + (+ 2) = 2(+ ) = 134
+ = 67mAOR = + = 67
lave
e
69.
L160
x
x 80 L2
x + 60 + 80 = 180x = 40
lave
b
-
7/25/2019 4 secundaria.pdf
29/37
70.2 ; 0 ; -1 ; 0; 4 ; 12
-2 -1 +1 +4 +8
+1 +2 +3 +4
lave
d
71. Recordando: tn= t1+ (n-1) . rt1+t3= 10
(t1) +(t1+2r) = 102t1+2r = 10
t1+ r = 5 (I)
t9+t11= 58
(t1+8r) + (t1+10r) = 582t1+18r = 58
t1+9r=29(II)
(II) (I) :
(t1+9r) (t1+r) = 29 5
8r = 24 r = 3t1= 2
t8= t1+ 7r = 2 + 7. 3
t8= 23
lave
b
72. Si : AD = 25
14
14A B Cm n p D
AD = m+n+p = 25 .......... ( I )AC = m+n = 14
BD = n+p = 14m +2n +p = 28 ..( II )
(II) ( I )(m+2n +p) (m + n + p) = 28 25
n = 3 BC = n = 3
lave
c
73.47 ; 56 ; 65; ........ ; 929
+9 +9
Es una progresin aritmtica de
razn 9.
# trminos:1
9882
19
47929n
n = 99
lave
a
74. .
E
D
x
R C
O
B
F
A
OR es la bisectriz del COD.*mAOD=mBOE = mCOF=++2*mAOF = 224
2+2+2= 224++= 112 ... (I)
*mBOC = 52 = 52 .. (II)
(II ) en (I)++= 112+52 += 112 += 60
x = + = 60
lave
b
+
-
7/25/2019 4 secundaria.pdf
30/37
75.
x 6
M O A B
71
(x+6) +4.(6) 2. (x+7) = 5x +6 +24 2x 14 = 5
16 x = 5x = 11
MO = x = 11
lave
b
76. De las proposiciones:
I) 2A (V)II) { 1} A (V)III) { 0 } A (F)IV) { 3 } A (F)V) { 0, 3} A (F)VI) A (V)VII) { { 3}} A (V)VIII) A (F)
Hay 4 proposiciones verdaderas
lave
c
77.
A
A
(A C) B
A
B
B
B
C
C
C
lave
d
78. de 100 estudiantes49 ........... no estudian lgebra
si estudian Aritmtica
53 ........... no estudian Aritmticasi estudian lgebra
27 ............ no estudian lgebrasi estudian Aritmtica
de los datos se tiene
llevan solo un curso22 + 26 = 48
lave
d
79. Se tiene la expresin falsa entonces:(p q) v [(r p) v(q s)]
F F
p q p v q
F F
p = F p = Vq = F q = V
Piden:( pq) v ( r s)V V v ( r s)
V v ( r s)
V
es verdadera
lave
a
80. Sea la P.A a1, a2,.....an
se cumple : an= a1+ (n-1)rdatos :
a1= 7 a20= 7 +(20 1) (-2)
r = -2 a20 = -31
lave
b
81.
-
7/25/2019 4 secundaria.pdf
31/37
.............271
91
31
.......161
81
41
21
E
2
3/23/1
1
3/113/1
2/11
2/1
E
lave
d
82. De: | 3x 1 | + | 2x-3| - | x+5| < 2P.C. { -5; 1/3; 3/2}
I
-5 1/3 3/2
II III IV
I.) x < -5 1-3 x+3-2x +x+5 < 2
x < -5 7/4 < x x
SIII) - 5x < 1/3 { -3x+3-2x-x-5 - 1/2
SII : x < -1/2 ; 1/3>
III) 1/3x < 3/23x 1 +3 2x-x-5 < 21/3x < 3/2 -3 < 2
SIII: x[ 1/3 ; 3/2>
IV) 3/2 x 3x-1 +2x-3-x-5 < 23/2 x x < 11/4
SIV: x [ 3/2 ; 11/4>Solucin General es:
SIU SIIU SIIIU SIVx < -1/2 ; 11/4>
lave
a
83.
2
60
L1
L2
50 x
Por propiedad: + 2= 60 del grfico:= 20
2+ 50 = x2.20 + 50 = x x = 90
lave
b
84.
102a
P
HA
B
E
C
D
30
40
40
a
a
x50
De la figura se observa PAH = 10Trazamos PD AB
Se nota que ADP es notable
Ap = 2aPD = aPE BCBE = a = EC
LuegoBPC ; PE es altura y mediana
es isscelesPBC =BCP = 40C = 50 = 40 +x
x = 10
lave
a
85.
-
7/25/2019 4 secundaria.pdf
32/37
A
B
E
8 8
8=2
2
3
10 C
F
D
Si ABCD paralelogramo se cumple4= 2
2= BA = CD ; BCE = CED(Alternos internos)
CD = ED = 8AE = 2Adems AE = EF (AEF es issceles)
EF = 2
lave
d
86. A partir de 2n2n
2nn a1/aaa se
concluye que 1aa n1n paran luego ;aLim n
n
luego :
1n nn1n
2
nn 1a/1a/1aa1/1
nn
1 a/1Lima/1
= 1
lave
c
87. Por diferencias finitas:4 10 28 106
6 18 78
12 60
48
432n
1n)n(
)13(
48
)13(
12
)13(
6)13(
43/P
= 2 +3/2 +3/2 +3= 8
lave
c
88.
A M C
B
N10
10
40/3
37
37
482.25
24.25BC
y adems por un teorema:
AMra = (AM +BC)r
40/3 .ra= (40/3+48) 10
ra= 46
lave
c
89. Por semejanza:
a
5
1 3
3330
30
4x
3 2
b
b5a2;1
4/b
2
5/a
y 214.545ba 22
ba
)ba(aba4b.5x
22
7
30
7
5.42.
7
5x 2
2
-
7/25/2019 4 secundaria.pdf
33/37
7710
x
lave
e
90. 222 )5R(10R (Pitgoras)
R = 7,5
102
= ME.MO = (5+x)(12,5) (secante)
x = 3
lave
b
91. Se demuestra que R es el incentro delABC. Luego como HB =12 y BP =7;PC=8; RQ=4; luego:
16/5
6
R
M
N
Q
4
4,052
465/164
RMNR
lave
c
92. Del un teorema:Si a. AM = b . BM = c.CM AMC -ABC = 60Luego : AMC = 150
lave
d
93. 1
bR
bR
aR
aR 22
; luego
1R/abR/bR/a 2 ; luego
;abRbaR
2
2
ab6ba
2
baR
Reemplazando :
36)6(2
7
2
5
2
6.694
2
32R 2
22
lave
a
94.
(6,0)
d1
d2(x,0)
(-2,8)
f(x)=d1+d2;minf(x)= 288)26( 22
lave
d
95. Sea: nnn z.cbyax)x(f ; luego
f(n+3) = (x+y+z)f(n+2) - (xy+yz+zx)f(n+1)+xyzf(n)
Luego es fcil observar que:
f(n+3) = f(n+2) +f(n+1) +f(n) ; luego
f(7) = f(6) +f(5) +f(4) = 24+15+6 = 45
lave
b
96. (x2
-4)2
(x2
2x+2)2
0(2x2
2x-2) (6-2x)
0(x2
-x-1) (x-3)
--
-+31- 5
2
1+ 5
2
+
]3,2
51[U]
251
,x
y como x > 0
3,
251
x
-
7/25/2019 4 secundaria.pdf
34/37
lave
a
97. 4+ 4B = 40 +180+B = 55
3+ 3B = x = 1803. 55 + x = 180
x = 15
lave
b
98. Simplificando:V]V[]qrp[
F]qrp[ q = F y p r = Vq = F, p = r, r = V
p,q,r = VFV
lave
d
99.8
xx
16 16-x
Pitgoras : (16 +x)2
= (16-x)2
+82
4.16.x = 64x = 1
lave
a
00.
40060.95100.85120.6540.4580.30
= 6+4,5 +19,5 +21, 25 +14,25
= 65,5
lave
d
01.Teorema de cuerdas:
mn = x(x+16)EDC EBG
80mnn8
10m
A C8
x+8
B
G
Fx
10
E
D
m n
x (x+16) = 80x = 4dm
lave
d
102.Si: a es la longitud del lado # delados ser:
lados#aP2
por condicin:
2
3a
P2
a
P2
P2
2a2
+3a -2p = 0 ............ ( 1)
Tambin:
180
aP2
360
aP2
360P
)2......(..........aP1P
de (1) y (2)
2a2
+a-1 = 0a = 1/2
lave
a
103.De la figura se tiene:
-
7/25/2019 4 secundaria.pdf
35/37
E
F
A
B
C
P
QQ3A
3A
66
3A
2A1A
120
D
X
X
6x43
2A12 2
643
443
.2
)6x)(x(12
2)6x(x
2
37x
lave
b
04.
1
2
2 52
3
3 4 51 32
es no decreciente en 2
5,
2
3
lave
e
05.x
1xy
2x
1xy
222
dividiendo la expresin por x2
04x1
xx
1x
22
04y2y2
06yy2
pero : x0
entonces:
0)6yy(x 22
lave
d
106. 2)1x(
1)1x(
es verdadera para todos los reales
tal que;
x +10x -1
x < -, -1> U < -1, +>
lave
c
107.fi +1
fi
150 Frecuencia
Total
fT
= 250
fm=150-120
fm=30
fT
= 125
2
120
400 600L0 L3
fm
)LL)(fif(
Lx
o3
2
T
o
-
7/25/2019 4 secundaria.pdf
36/37
30)400600)(120120(
400x
3,433x
lave
b
08.Del conjunto M tenemos:a
26a0 a0 8 a > 0
aa[0,+>a
a[ 6,8 >a = 6,7 Zpiden n(M) = 2
lave
b
09.
P A
B
T
E
3 13
6
616
2a
a
10-3a
CDe la figura se tiene por propiedad dela bisectriz :
1115
aa310
a139
11
30a2EB
lave
b
10.
A
B
CL
x x
xm-x n-xOm
n
M N
ALM NOC
x
xn
xm
x
nmmn
x
lave
d
111.
A
B
P
h
Ex
C
r
r r DO
APD DEC
h2xr
h
r2
x
piden el rea :
4
x
2
x.
2
x
2
xh 2
lave
d
112.De la figura:
-
7/25/2019 4 secundaria.pdf
37/37
A A
1
230
B B
Se tiene:
)5)(34(21
)BA(2
35BA
lave
c
13.
2
2 2
2
2230
152
22
3
45
4
26.62
2
15Sen)32)(22(S
33S
lave
b
14.
A
Sx
PC
D
b
a
456u2
b
O Q B
M
Se observa :CMD : issceles
Luego:
45sen,2
ba6
pero :
2
ab6Sx
2
226Sx
)12(6Sx
lave
e
115.Se nota ABC es rectngulo, Porponcelet: r = 4u adems : + = 45el cuadriltero AHOR inscriptible
HRO = + = 45
entonces el segmento circular
subtiende un arco de 90
24.4
44.
Area2
rea = 4(-2) u2
A
H
45
P
00
0
O
r = 4u
BT
R C