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Ivone da Silva Salsa

Jeanete Alves Moreira

Marcelo Gomes Pereira

Autores

aula

06

Distribuio de freqncias:

apresentao grfica

Matemtica e RealidadeD I S C I P L I N AEdio


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Diviso de Servios Tcnicos

Catalogao da publicao na Fonte. UFRN/Biblioteca Central Zila Mamede

Copyright 2007 Todos os direitos reservados. Nenhuma parte deste material pode ser utilizada ou reproduzida sem a autorizao

expressa da UFRN - Universidade Federal do Rio Grande do Norte.

26/06/2007

Salsa, Ivone da Silva.Matemtica e realidade: interdisciplinar / Ivone da Silva Salsa, Jeanete Alves Moreira, Marcelo GomesPereira. Natal, RN: EDUFRN Editora da UFRN, 2005.

292 p.1. Mtodos estatsticos. 2. Anlise estatstica. 3. Proporo e porcentagem. 4. Dados estasticos. 5.

Medidas de disperso. I. Moreira, Jeanete Alves. II. Pereira, Marcelo Gomes. III. Ttulo.

ISBN 85-7273-287-X CDD 519.5RN/UF/BCZM 2005/47 CDU 519.22

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12 Edio Aula 06 Matemtica e Realidade

Apresentao

a aula 4 (Grficos estatsticos: uma sntese dos dados), voc aprendeu comorepresentar graficamente sries estatsticas associadas aos dados qualitativos e seinteirou da importncia dessa representao visual para a compreenso do fenmeno

estudado. Agora, vamos estudar a apresentao grfica referente s variveis quantitativasdiscretas e contnuas. Veremos alguns dos grficos mais utilizados na representao dasdistribuies de freqncias, como hastes, histogramas, polgonos e Ogivas de Galton eorientaremos sobre a sua construo e a sua anlise.

N

Objetivos

Esperamos que voc, utilizando dados quantitativos discretos econtnuos, aprenda a construir grficos e a escolher aquele queseja adequado de acordo com o tipo de distribuio de freqncias.Alm disso, que saiba, sobretudo, interpret-los corretamente.


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2 Aula 06 Matemtica e Realidade 2 Edio

Dados no agrupados emclasses: grficos em hastes

odos os grficos que estudaremos nesta aula so confeccionados a partir de umsistema de coordenadas cartesianas (X,Y). Nesse sistema, o eixo das abscissas (X) sempre associado varivel estudada e o eixo das ordenadas (Y) sempre destinado

ao registro das freqncias utilizadas para a confeco desses grficos. A marcao dasfreqncias deve ser feita de acordo com uma escala previamente estabelecida, compatvelcom os valores das mesmas.

Grficos em hastes So utilizados na apresentao das distribuies de freqnciaspara dados no agrupados em intervalos de classes.

Para apresent-los, relembraremos o exemplo dado na aula 5, referente Tabela 1:

T

O grfico em hastes apropriado para esse tipo de srie. A seguir, visualizamos oGrfico 1, correspondente a essa srie.

Tabela 1 Pontuao no teste objetivo de Matemtica, na amostra das turmas da 8a srie/manh, naE. E. Nair Burgio, Municpio de Carapeba, em abril de 2004.

Grfico 1 Pontuao no teste objetivo de Matemtica, na amostra das turmas da 8a srie/manh, naE. E. Nair Burgio, Municpio de Carapeba, em abril de 2004

Fo

nte:

Dados

Fictcios

0

4

8

12

16

4 5 67 8 9

n de alunos (fi)

pontuao (xi)

Idades (Xi) N de alunos (f

i) F

Total

Fonte:

Dados

Fictcios


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Esse tipo de grfico construdo a partir das freqncias simples absolutas ou dasfreqncias simples percentuais. Tal como os de linhas e os de barras/colunas, estudadosna aula 4, ele utiliza um sistema de coordenadas cartesianas. No caso das distribuies defreqncias, no eixo Y so registradas as simples absolutas ou percentuais e o eixo X exibeos valores assumidos pela varivel estudada. Para cada valor apresentado no eixo X (nesse

caso, para cada pontuao), traamos uma coluna estreita ou haste cuja altura proporcional freqncia correspondente. Observe que esse grfico bastante parecido com aquele decolunas, utilizado para dados qualitativos (aula 4). A diferena que no caso das distribuiesas colunas so bastante estreitas, podendo at serem reduzidas a um trao vertical.

Atividade 1Construa um grfico em hastes para os dados que representam a pontuao daamostra das turmas da noite (veja os dados na aula 5). Faa uma comparaocom os resultados obtidos pelos alunos da manh. Qual turma apresentoumelhor desempenho, da manh ou da noite?

Histogramas So construdos para representar dados quantitativos quando estoagrupados em intervalos de classes. Podem ser utilizados considerando qualquer tipode freqncia, simples ou acumuladas, absolutas ou percentuais. Assim, h histogramascom diversos contornos, informando sobre distintos aspectos do comportamentodesses dados.

Dados agrupados em classes:histogramas e polgonos

de freqncias


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O histograma construdo para representar essa srie estatstica, considerando asfreqncias simples absolutas, tem a forma apresentada no Grfico 2.

Tabela 2 - Distribuio das mdias trimestrais de Matemtica, na amostra das turmas da 8a srie/manh, na E. E. Nair Burgio, Municpio de Carapeba, em abril de 2004

Fonte: Dados fictcios.

Grfico 2 Distribuio das mdias trimestrais de Matemtica, na amostra das turmas da 8a srie/manh, na E. E. Nair Burgio, Municpio de Carapeba, em abril de 2004

Notas(mdias)

N dealunos

( fi)

f%(X

i) Pontos

mdios

F

"abaixo deF%

"abaixo de

F

"acima deF%

"acima de

TOTAL

Para ilustrar a sua construo, considere as informaes apresentadas naTabela 2, a seguir:

Fonte: Dados Fictcios

Mdias (Classes)

ndealunos(fi)

2

2

0

4

6

8

10

12

14

16

3 4 5 6 7 8 9 10 11


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Em resumo: o histograma formado por retngulos justapostos, cuja base construdasobre os intervalos de classes da varivel. E, se essas classes tm o mesmo tamanho, aaltura de cada retngulo proporcional freqncia observada. Quando os intervalos sodiferentes, necessrio utilizar outro procedimento. Para maiores esclarecimentos, consulteVieira (1980, p. 21) ou Bussab e Morettin (1987, p. 18).

Analisando o Grfico 2, o que voc diria sobre as mdias desses alunos? De imediato,poder notar que o maior nmero de alunos est no intervalo de 7 8, embora o intervalo

de 8 9 tambm tenha apresentado freqncia elevada. O que mais nos diz esse grfico?Observe tambm que as mdias se concentram (as maiores freqncias) mais direita, nointervalo 7,0 a 9,0. Em sntese, essa turma apresentou um bom desempenho em Matemtica.

Em relao turma da noite, como foi esse desempenho? Vamos construir um grficopara compreendermos o comportamento das referidas mdias nessa amostra? Para tanto,considere a Tabela 3 que se segue.

Tabela 3 Distribuio das mdias trimestrais de Matemtica, na amostra das turmas da 8a srie/noite, na E. E. Nair Burgio, Municpio de Carapeba, em abril de 2004

Fonte: Dados Fictcios

Notas(mdias)

N dealunos

( fi)

f%(X

i) Pontos

mdios

F

"abaixo deF%

"abaixo de

F

"acima deF%

"acima de

TOTAL

Como construmos esse grfico? Inicialmente, voc deve traar um sistema decoordenadas cartesianas. Depois, no eixo horizontal, se os intervalos so iguais, traam-secolunas retangulares justapostas, com bases iguais, sendo que para cada coluna, sua basecorresponde a um dos intervalos da srie. Quando s alturas, estas so determinadas,proporcionalmente, pelas respectivas freqncias da classe correspondente. Quando voc

usa as freqncias simples, absolutas ou percentuais, a forma do histograma no muda.


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Compare o Grfico 3 com aquele referente amostra das turmas da manh. Comopodemos observar, os alunos da noite apresentam um rendimento mdio em Matemticainferior aqueles da manh, pois a maior concentrao (maiores freqncias) de notasse encontra nos valores menores, o que significa mais alunos com mdias mais baixas.Portanto, a anlise do histograma lhe permite concluir que a amostra das turmas diurnas

apresenta um desempenho em Matemtica bem melhor que a noturna. Note que, se vocsomar as freqncias das notas maiores que 6,0, no Grfico 1 (turma da manh), ver que amaioria dos alunos est nessa faixa de valores, enquanto na outra a situao bem diferente:mais da metade dos alunos apresenta mdia trimestral inferior a 6,0.

Os histogramas, assim como todos os grficos vistos, so de extrema importncia paraa anlise de dados, pois, proporcionam uma viso global e imediata sobre o comportamentoda varivel estudada.

O histograma correspondente a essa tabela :

Grfico 3 Distribuio das mdias trimestrais de Matemtica, na amostra das turmas da 8a srie/noite, na E. E. Nair Burgio, Municpio de Carapeba, em abril de 2004.

Fonte:

Dados

Fictcios

Mdias (Classes)

2

2

0

4

6

8

10

12

14

16

3 4 5 6 7 8 9 10 11

ndealunos(fi)

Polgonos de freqncias Esses grficos so usados para representar exclusivamente

as freqncias simples (absolutas ou relativas). Sua construo, assim como noshistogramas, comea traando-se um sistema de coordenadas cartesianas (X,Y). Nessesistema, como j foi dito anteriormente, no eixo das abscissas(horizontal) devemosestabelecer uma escala conveniente para a marcao dos pontos mdios de cada classe(X

i), e, no eixo das ordenadas (eixo Y), escolhemos uma escala de acordo com as

freqncias observadas. Por exemplo, veja que a maior freqncia (fi) igual a 14.

Ento, poderemos ter uma escala de 2 em 2, de 0 a 14. Poderamos tambm utilizaruma escala de 3 em 3, de 0 a 15, ou seja, o valor mais alto apresentado na escala queescolhemos no necessariamente precisa coincidir com o valor da maior freqncia

que vamos utilizar.


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Grfico 4 Distribuio das mdias trimestrais de Matemtica, na amostra das turmas da 8a

srie/manh, na E. E. Nair Burgio, Municpio de Carapeba, em abril de 2004

Fonte:

Dados

fictcios

A anlise do polgono idntica do histograma. Nesse caso, percebemos claramenteque, na amostra das turmas da manh, a maior concentrao (maiores freqncias) ocorre

nas pontuaes mais altas, indicando, assim, que essa turma apresenta um bom desempenhocom relao s notas de Matemtica.

0

2

4

68

10

12

14

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Mdias (Classes)

(fi)

Assim, com os dois eixos definidos, em relao aos valores Xis e, f

is, marcamos

todos os pontos a partir das coordenadas (Xi, fi). Depois disso, ligamos esses pontos,

e, para fechar o polgono, voc dever unir os extremos da figura com o eixo horizontal,justamente nos pontos mdios da classe imediatamente inferior primeira e superior ltima, exatamente como est mostrado no Grfico 4, a seguir:

Grfico 5 Distribuio das mdias trimestrais de Matemtica, na amostra das turmas da 8a srie/noite, na E. E. Nair Burgio, Municpio de Carapeba, em abril de 2004

Em relao amostra das turmas da noite, o polgono apresentado no Grfico 5 tem aseguinte configurao:

0

2

4

6

8

10

12

14

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Mdias (Classes)

(fi)

Fonte:

Dadosfictcios


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Grfico 6 Distribuio acumulada abaixo de das mdias trimestrais de Matemtica, na amostra dasturmas da 8a srie/manh, na E. E. Nair Burgio, Municpio de Carapeba, em abril de 2004

Ogivas de Galton Esses grficos so utilizados para representar o comportamentoda varivel em relao s freqncias acumuladas abaixo de ou acima de (tantoabsolutas quanto percentuais). Para ilustrar seu uso, trabalharemos o exemplo das mdiastrimestrais de Matemtica na amostra das turmas da manh, exibindo, respectivamente,nos Grficos 6 e 7 as freqncias acumuladas abaixo de e acima de.

O que esse grfico explicita para voc? uma situao bem diferente do que acontecenas turmas da manh, voc concorda? Fica bastante claro que a amostra das turmas danoite apresenta maior nmero de alunos com menores mdias trimestrais. As maioresfreqncias esto associadas s mdias com valores abaixo de 6,0 pontos, no fcil ver?

O polgono de freqncias, assim como o histograma, pode ser construdo utilizando-se asfreqncias simples percentuais no eixo Y (das ordenadas). Essas freqncias so extremamenteimportantes, quando desejamos comparar distribuies com total de dados muito diferentesentre si. No exemplo discutido anteriormente, tnhamos 54 alunos da manh e 52 da noite, porisso, pudemos comparar as turmas fazendo uso apenas das absolutas. Entretanto, reforamosque, em termos comparativos, devemos usar as freqncias percentuais, pois elas nos situammais ainda em relao aos dados.

Voc observou que nos Grficos 4 e 5 a linha poligonal foi fechada no eixo X (dasabscissas), exatamente nos pontos mdios das classes imediatamente inferiores primeira

(2,5) e superiores ltima (10,5), conforme nossa orientao?

Fonte: Dados fictcios

0

10

20

30

40

50

60

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Mdias (Classes)

(fi) (abaixo de)

Tal como nos grficos que acabamos de ver, no eixo das abscissas colocamos osintervalos de classe e no eixo das ordenadas, as freqncias acumuladas. Note que o Grfico6 est associado s freqncias abaixo de, por isso, no eixo X, ele comea justamente nolimite inferior do primeiro intervalo 3 4, o qual , como vemos, igual a 3,0. Pense umpouco: h algum aluno com mdia abaixo de 3,0 pontos nessa amostra? Claro que no.

Assim, o ponto 3,0 tem freqncia acumulada abaixo de igual a zero. H algum aluno


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com mdia abaixo de 4,0? Com certeza! Todos os valores que esto no intervalo 3 4esto abaixo de 4,0. No caso, so 2 alunos. Marcamos, pois, o ponto 4,2 no grfico. Esseponto informa que dois alunos tiveram mdias em Matemtica inferiores a 4,0 e, assim,sucessivamente. Ainda observando o grfico, se voc olhar para a mdia 7,0, por exemplo,o que poder concluir? simples, olhando para o eixo Y, considerando a abscissa 7,0,

voc ver que 20 alunos, dos 54, apresentaram notas mdias abaixo desse valor, ou seja,constatar que menos da metade da amostra obteve nota inferior a 7,0.

O Grfico 7, apresentado a seguir, foi construdo tambm considerando-se a amostradas turmas da manh, mas, agora, tomando-se as freqncias acima de:

Grfico 7 Distribuio acumulada das mdias trimestrais de Matemtica, na amostra das turmas da8a srie/noite, na E. E. Nair Burgio, Municpio de Carapeba, em abril de 2004

Fonte: Dados fictcios

0

10

20

30

40

50

60

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Mdias (Classes)

(fi) (acima de)

O que nos diz esse grfico? Comearemos com o limite inferior do primeiro intervalo, amdia 3,0. Observamos que esse valor est associado freqncia 54, o que serinterpretado da seguinte maneira: todos os 54 alunos tiveram mdia a partir de 3,0 pontos.Voc pode estar interessado em observar quantos alunos tiveram uma mdia maior ou iguala 7,0. Com certeza, dir que, com a freqncia acumulada at o 7,0, um valor prximo a 35(voc poder ver que esse valor 34, se checar diretamente na Tabela 2). Isso significa que

dos 54 alunos da amostra da manh, bem mais da metade deles teve uma mdia trimestralcujo valor est situado no intervalo 7 10, ou seja, uma mdia igual a 7,0 ou mais. Essainformao nos leva a concluir que a amostra das turmas da manh apresentou um bomdesempenho em Matemtica.

Portanto, uma freqncia acumulada acima de ( ), em relao a um intervalo qualquer, representa a quantidade de valores assumidos pela varivel (ou percentual deles,se for ) que so maiores ou iguais ao limite inferior dessa classe , tomada comoreferncia.


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ResumoNesta aula, aprendemos a construir e interpretar grficos utilizados na apresentaode dados quantitativos, exibidos atravs de uma distribuio de freqncias (tantopara dados agrupados em intervalos de classe quanto para dados no agrupados).Vimos que existem grficos diferentes, dependendo do tipo de dado (discretosou contnuos) e do tipo de informao que se deseja realar (portanto, do tipo defreqncia usada). Assim, foram estudados: os grficos em hastes, para dadosdiscretos; os histogramas, para dados contnuos, confeccionados com qualquertipo de freqncia (simples ou acumulada; absoluta ou percentual); os polgonosde freqncias que representam dados contnuos, utilizando exclusivamenteas freqncias simples (absolutas ou percentuais); e, finalmente, as ogivas deGalton, usadas com exclusividade, para representar as distribuies de formaacumulada abaixo de e acima de.

Portanto, sempre que voc for interpretar um grfico com freqncias acumuladasabaixo de, a leitura de cada uma delas deve ser associada ao limite superior () dorespectivo intervalo. Uma freqncia acumulada abaixo de (), relacionada a umintervalo qualquer, nos informa a quantidade de valores (ou percentual deles, se for )observados, que so menores que o limite superior dessa classe de referncia. Porm, no

caso das freqncias acumuladas acima de, em relao a um intervalo , deveremos tomarcomo referncia o limite inferior do intervalo e inclu-lo em nossa concluso.

Auto-avaliaoVamos aplicar o que aprendemos? Para isso, resolva os trs exerccios a seguir:

2

Considere os dados referentes pontuao em Matemtica na amostra das turmasda manh (Tabela 1) e da noite (atividade 1 da auto-avaliao da aula 5). Construagrficos em hastes para apresentar essas distribuies, utilizando as freqnciaspercentuais simples. Analise e compare os dois grficos, tecendo comentriossobre o desempenho desses alunos na disciplina referida.

Construa os histogramas para os dados das Tabelas 2 e 3 desta aula, utilizando asfreqncias simples percentuais. Compare com os que foram exibidos no texto,construda a partir das freqncias absolutas simples. O que voc pode dizer sobre

a forma deles? H alguma diferena?

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BARBETTA, P. A. Estatstica aplicada s cincias sociais. Florianpolis: Ed. da UFSC, 2002.

BUSSAB, W. O.; MORETTIN, P. A. Estatstica bsica. 4.ed. Coleo Mtodos Quantitativos.So Paulo: Atual, 1987.

TOLEDO, G. L.; OVALLE, I. I. Estatstica bsica. 2.ed. So Paulo: ATLAS, 1986.

TRIOLA, M. F. Introduo estatstica. Traduo Alfredo Alves de Farias. 7.ed. Rio deJaneiro: LTC, 1999.

VIEIRA, S. Introduo bioestatstica. 3.ed. Rio de Janeiro: CAMPUS, 1980.

Referncias

Construa as Ogivas de Galton, utilizando as freqncias acumuladas percentuaisacima ou abaixo de para as mdias trimestrais de Matemtica da amostra dasturmas da noite (Tabela 3). No esquea de interpretar esses grficos.

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