4.3 convergência, média e variância amostrais e as ... · 50 p z , , z , p z , p ... , uma...

4.3Convergência,MédiaeVariânciaAmostraiseasDensidades“t”e“F”


TeoremadoLimiteCentral(Lindeberg-LévyCLT)Sejaumasequênciadevar.aleatóriasiidcomEntão:EmtermosdaDistribuiçãoAcumuladadavariávelaleatória,tem-se.

{ }nX

( ) ( ) ( ) .itodopara,XVareXE ii ∞∈== 02σµ

( ) ( ) .XnX,,NXn n

iin

dn/

∑=

−=⎯→⎯−

1

121

10σ

µ

( )xGn

( )σ

µ−n/ Xn 21

( )( )

∫∞

∞−

−

∞→ =2

21

21 x

nn exGlimπ


Ex.4.18(M.c.5):Sejaumasequênciadevar.aleatóriasiidcomdensidadesQui-

Quadradocomgraudeliberdadev=1,ouseja,PelaadiVvidadedaDensidadeQuidrado,.Alémdisto,comv=1:Assim,com,PeloTeoremadoLimiteCentral:

{ }nX.i~X i ∀2

1χ

2

1n

n

ii ~X χ∑

=

( ) ( ) ivXVarevXE ii ∀==== 221

2

1121121

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

=∑∑==

n/Xn

n/XnY

n

ii

/

n

ii

/n σ

µ

Yn =Xi

i=1

n

∑ − n⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

2nd⎯ →⎯ N 0,1( ).

4.3Convergência,MédiaeVariânciaAmostraiseasDensidades“t”e“F”E,assim,como,Comoumaaplicação,assumaque.Então:Umaaproximaçãoparatalprobabilidadeseria,pois:

( ).,NY dn 10⎯→⎯

( )n,nN~nnYXa

n

n

ii 22

1+=∑

=

250

2

1χχ =∑

=n

n

ii ~X

( ) ( ) 95005015671567 250

250 ,,,P,P =−=≥−=≤ χχ

( ) ( ) 9599075110050567

100

50567 50

50 ,,ZP,ZP,ZP =≤=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −≤

−=≤


AlémdeconhecerdistribuiçõeslimitesouqueservemcomoaproximaçõesparacaracterísVcaspopulacionaisdeinteresse,comonamaioriadasvezesageraçãodeinformaçõessobretaiscaracterísVcaséfeitaatravésdauVlizaçãodeamostrasdaspopulações(inferênciaesta^sVca),énecessárioqueoprocessodeamostragempermitaestabeleceralgumamedidaquanVtaVvadeconfiançadeascaracterísVcasestabelecidasaparVrdeamostrasreflitamaquelasdapopulação.

AmostraAleatória:Umaamostraaleatóriadetamanhondeumapopulaçãoéumaamostra

emqueasobservaçõessãoobVdasaparVrdeexperimentosindependenteseidênVcos.

Assim,asobservaçõesamostraispodemserconsideradascomresultadosdevariáveisaleatóriasiid.


Exemplo:escolhaaleatóriade100alunosdeEconomiaeregistrodesuaidade,comreposiçãonapopulaçãodeestudantesdeEconomiadaUFPE.

Observ.:nocasodeamostrasdepopulaçãofinita,aamostragemaleatórianão

seaplicariacasonãohouvessereposição.Nestescasos,contudo,anoçãodeindependênciaseriaaproximadaparaotamanhopopulacional(N)grande.

AparVrdaamostraaleatóriadeumapopulação,asinformaçõessobreesta

populaçãosão,emgeral,obVdasaparVrdemedidas,sumáriosoufunçõesdasobservaçõesdaamostra.


Esta^sVca:Umaesta^sVcaéumafunçãorealdevariáveisaleatóriasobserváveisque

independedeparâmetrosdesconhecidos,sendoelamesmaumavariávelaleatória.

Ex.4.19:X,umavariávelaleatóriadefinidacomoaparceladediassemempregoao

longodoanodeumtrabalhador.Esta^sVcaY:pontospercentuaisacimade30%dosdiasdoano,Mas,nãoéumaesta^sVca,jáqueaebsãodeconhecidos.

( )30100 ,X.Y −=

( )bXaW −=

4.3Convergência,MédiaeVariânciaAmostraiseasDensidades“t”e“F”Duasesta^sVcasmerecemdestaques:MédiaAmostraleVariânciaAmostral.MédiaAmostral:Amédiaamostraléaesta^sVcacorrespondenteàmédiaaritméVcados

valoresnumaamostraaleatória.Formalmente,ondeéumaamostraaleatóriadetamanhon.VariânciaAmostral:Sejaumaamostraaleatóriadetamanhon.Entãoaesta^sVca

conhecidacomovariânciaamostralédefinidacomo:

∑=

−=n

iiXnX

1

1

( )nX,....,X1

nX,....,X1

( ) ( )amostralmédiaXnXonde,XXnSn

ii

n

iin ∑∑

=

−

=

− =−=1

12

1

12


Háumconjuntoderesultadosbastanteúteiscomrespeitoaestasduasesta^sVcas.

Teorema4.6Sejaumaamostraaleatóriadeumapopulaçãocommédiaµe

variânciaEntão:a.b.Prova:a.

nX,....,X1.∞<2σ

E Xn( ) = µ e Var Xn( ) = σ2

n,X ~ N µ,σ

2

n⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟.

( ) 22 1σ

nnSE n−

=

( ) ( ) ===⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛= ∑∑∑=

−

=

−

=

−n

ii

n

ii

n

iin nXEnXnEXE

1

1

1

1

1

1 µ

iidsãoXquejá,n.nn i

n

iµµµ === −

=

− ∑ 1

1

1

4.3Convergência,MédiaeVariânciaAmostraiseasDensidades“t”e“F”b.

( ) ( ) =⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛= ∑∑∑===

−n

ii

n

ii

n

iin XVar

nXVar

nXnVarXVar

12

12

1

1 11

( ) ( ) ( ) 011 22

12

===⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛= ∑=

jii

n

ii X,XCovquejá,

nXVar

nnXVar

nσ

( ) 22 1σ

nnSE n−

=

( )( ) ( )

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡ −−+=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡ −=

∑∑==

n

XXE

n

XXESE

n

ini

n

ini

n1

2

1

2

2µµ

( ) ( )( ) ( ){ }=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡ −+−−+−=

∑=

n

XXXXE

n

innii

1

22 2 µµµµ

( ) ( )( ) ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −= ∑∑∑===

n/XEn/XXEn/XEn

in

n

ini

n

ii

1

2

11

2 2 µµµµ


ComoMasjáque,

( ) ∑ ∑∑ −=−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

,XnnXX ni

n

ii µµµ

1

( ) ( ) ( )( ) ( ) ⇒⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −= ∑∑∑===

n/XEn/XXEn/XESEn

in

n

ini

n

iin

1

2

11

22 2 µµµµ

( ) ( ) ( )( )[ ] ( )[ ] =−+−−−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −= ∑=

n/XnEn/XXnEn/XESE nn

n

iin

2

1

22 2 µµµµ

( ) ( ) ( )[ ]n/XnEn/XESEn

iin

2

1

22 −−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −= ∑=

µµ

( )[ ] ( ) ( )( ) ( ) ( )n

XVarXEXEXEXE nnnn

222222 σ

µµ ==−=−=−

( ) ( ) ( )[ ] =−=−−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −= ∑= n

n/XnEn/XESEn

iin

222

1

22 σσµµ

( ) ( )n.nSE n

22 1 σ−=


Teorema4.7Sejaumaamostraaleatóriadeumapopulaçãocommédiaµe

variânciaEntão:a.plimb.Prova:a.ComoepelaDesigualdadedeMarkov:

nX,....,X1.∞<2σ

µ=nX

( ) ( )102

,N~n/

X dn

σ

µ−

( ) .,XPlimXlimp nnn 01 >=<−⇒= ∞→ εεµµ

( ) 02

== ∞→∞→ nlimXVarlim nnn

σ

( ) ,n/XP n 2

2

1ε

σεµ −≥<−


assim:b.TalresultadoseguediretamentedoTeoremadoLimiteCentraltomandoa

amostraaleatóriacomoumasequênciadevariáveisaleatórias:

( ) ⇒=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−≥<− ∞→∞→ 11

2

2

ε

σεµ

n/limXPlim nnn

( ) ,n/XP n 2

2

1ε

σεµ −≥<−

( ) .XlimpouXPlim nnn µεµ ==<−∞→ 1

( ) ( )102

,N~n/

X dn

σ

µ−

( ) ( ).,N~Xn dn

/

1021

σ

µ−


Teorema4.8Sejame,respecVvamente,amédiaevariânciaamostraldeuma

amostradetamanhondeumadistribuiçãoNormalcommediaµevariânciaEntão,

a.b.sãoindependentesc.Provaa.

nX 2nS

.2σ

( )n/,N~X n2σµ

2nn SeX

212

2

−nn ~

nSχ

σ

( )n/,N~X n2σµ

4.3Convergência,MédiaeVariânciaAmostraiseasDensidades“t”e“F”Note-se,primeiro,que.Fazendo.ComoosXssãoindependentes,Lembrandoquee,assim,,vem

( ) ( ) ( )

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==

++ nin

n

X....Xnt

XtX eEeEtM ( ),X....XY ni ++=

( ) ( )n/tMeEtM Y

Ynt

Xn=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ⇒=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ∫ ∫ ∫

++

nn

XntX

ntX....X

nt

X dx.....dxxf......xfe.....e...eEtM nini

n 11

( ) ( ) ( ) ( )( )nXXXX n/tMn/tM........n/tMtMnn

==11

( )2σµ ,N~X ( )( )2

22 n/tn/t

X een/tMσ

µ=

4.3Convergência,MédiaeVariânciaAmostraiseasDensidades“t”e“F”QuecorrespondeàFunçãoGeradoradeMomentosdeumvariável

aleatóriacomdistribuiçãoNormalcommédiaµevariância.Ouseja,

( ) ( )( )( ) ( )

==⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡== 22

2222 n/tt

nn/t

n/tnXX eeeen/tMn/tM

n

σµ

σµ

( )( )2

22 n/tt

X een/tMn

σµ=

n/2σ

( ).n/,N~X n2σµ


DistribuiçãotdeStudentEmgeral,oparâmetroédesconhecido,oqueimpede,aprincípio,o

conhecimentodavariabilidadede(tomadocomumaesVmaVvaouaproximaçãoparaµ).

Alémdisto,perceba-sequeseéumaamostraaleatóriadeumapopulaçãocomDistribuiçãoNormalcommédiaµevariância,

ou,padronizando,.EstaúlVmainferência,casooparâmetrosfosseconhecido,poderiaser

uVlizadaparafazerinferênciasarespeitodeµaparVrdeinformaçõesde.Mas,novamente,háadificuldadedafaltadeconhecimentoquantoao

valorde.

2σnX

nX,....,X12σ

( )n/,N~X n2σµ

( )10,N~n/

X nσ

µ−

2σ

nX2σ


AalternaVvasugeridaporW.S.Gosset(pseudônimoStudent)foisubsVtuirporumaesVmaVvaparaesteparâmetro,,oquegeraaesta^sVca

“t”:Talesta^sVca,naverdade,podeserdefinidadeformamaisgeral.Sejamevariáveisaleatóriasindependentes.Entãoa

esta^sVcatpodeserdefinidacomo:Ouseja,avariávelaleatóriaTcom“v“grausdeliberdadeéobVdacomoa

razãoentreumaNormapadrãoearaizquadradadeumaQui-Quadradodivididapeloseugraudeliberdade.

2σ 2σ̂

n/ˆX

t n

σ

µ−=

( )10,N~Z 2v~Y χ

v/YZTv =

4.3Convergência,MédiaeVariânciaAmostraiseasDensidades“t”e“F”AFunçãoDensidadedaesta^sVcaT,porsuavez,édadapor:--  Parâmetro:v>0.Dadaadefiniçãodaesta^sVca,suadensidade(acimarepresentada)pode

serobVdaaparVrdasdensidadesNormalPadrãoeQui-Quadradocomvgrausdeliberdade.

Prova:exercícioparaacasa(usarofatodasvariáveisseremindependentes).

( )( )

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

Γ

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +Γ

=21

2

1221 v

vt

v/v

v

v;tfπ


MédiaeVariância:Se,então:sev>1sev>2Prova:exercícioparacasa.

( )vf~T Tv

( ) 0=vTE

( )2−

=vvTVar v

4.3Convergência,MédiaeVariânciaAmostraiseasDensidades“t”e“F”Teorema4.9Seesão,respecVvamente,amédiaeavariânciaamostralde

umaamostraaleatóriadetamanho“n“derivadadeumapopulaçãocomDistribuiçãoNormalcommédiaµevariância,então,para

,temdistribuiçãotdeStudentcomn–1

grausdeliberdade,ouseja,Prova:Note-seque

nX 2nS

2σ

n

/

Snnˆ

21

1⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

=σ ( )σ

µˆXn n

/ −21

( )( ) 1211

−−

−n/

n

n t~n/SX µ

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

11

11 2

2

2

221

21

2121

−

−=

−

−=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

−=

−

−

n.n

S

n//X

nnS

n

/X

Snn

XnˆXn

n

n

n/

n

n

/n

/n

/

σ

σµ

σ

σµµ

σ

µ


Como,peloTeorema4.8,e,então:,onde.Portanto,temdistribuiçãotcomn–1grausdeliberdadequando

( ) ( ) ( )

11

2

2

21

−

−=

−

n.n

S

n//XˆXn

n

nn/

σ

σµ

σ

µ

( ) ( ) ( )10,N~n//X n σµ− ( )212

2

−nn ~nS

χσ

( )11

21

−=

−

− n/YZ

ˆXn

n

n/

σ

µ( )211 −− nn ~Y χ

( )σ

µˆXn n

/ −21

.Snnˆ n

/ 21

1⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

=σ


Teorema4.10:Assumaque,,equeZe

sejamindependentes.Assim,temdistribuiçãotcomvgrausdeliberdade.Nestasituação,quando

,então.Astabeladadistribuiçãot,emgeral,fornecemaprobabilidadedavariável

aleatóriaexcederdeterminadovalor“c”:,paradiferentesvaloresdoparâmetrov(graudeliberdade)evaloresdeα

(porexemplo,0.01,0.025,0.05).

( ) 21 /v v/Y/ZT = ( )10,N~Z ( )

2vv ~Y χ vY

vT

∞→v ( )10,NT dv ⎯→⎯

( ) ( ) α==≥ ∫∞

cTv dtv;tfctP


Note-seque,dadaasimetria,.Ex.4.19:Se,então:i)ii)iii)

( ) ( )cPctP vv −≤==≥ α

( )10,N~X

( ) 95050651 ,,xP =≤

( ) ( ) 95000501684116841 4040 ,,,tP,tP =−=≥−=≤

( ) ( ) 95000501658116581 120120 ,,,tP,tP =−=≥−=≤

4.3 convergência, média e variância amostrais e as ... · 50 p z , , z , p z , p ... , uma...

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