3.5.6 método de scheffé para a comparação de todos os contrastes

Chapter 3 Design & Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery

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3.5.6 Método de Scheffé para a comparação de todos os contrastes.

• Scheffé (1953) propôs um método para comparar qualquer e todos os possíveis contrastes entre médias de tratamento.

• Em seu método, o erro tipo I é no máximo para qualquer das comparações possíveis.

• Suponha um conjunto de m contrastes das médias de tratamento.


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a

i i

ilEl

a

il

i

ill

a

iiill

a

iiill

n

cMSSC

Cn

cC

ycC

mlc

1

2

1

22

1.

1

é de padrão erro o que tal)Var(

,...,2,1,

3.5.6 Método de Scheffé para a comparação de todos os contrastes.


3

0:

0:

1

0

l

l

H

HaNallll FaSCSSCRC ,1,,, )1( com:

O procedimento de Scheffé também pode ser usado paraconstruir intervalos de confiança para todos os contrastes possíveis entre as médias de tratamento.

lll SCIC ,:)1,(

intervalos simultâneos tal que o nível de confiança conjunto é pelo menos 1-.

Exemplo


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97,45

09,65:

97,4509,65

55,1134,16

80,15580,193

2

1

2,01.01,01.0

21

21

412

43211

C

CRC

SS

SCSC

CC

3.5.7 Comparação de pares de médias de tratamento

• Nesse caso poderíamos fazer


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jijil ,

e usar Scheffé.

Porém, nesse contexto, o método de Scheffé não é o mais sensível para tais comparações.

Existem vários métodos para esse tipo de comparação.Veremos os dois mais populares.

Teste de Tukey• Suponha uma ANOVA na qual a hipótese nula de

médias iguais foi rejeitada e que deseja-se testar as hipóteses


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ajijiH ji ,...,2,1,,,:0

• Tukey (1953) propôs um procedimento para o qual o nível de significância global é exatamente , quando ostamanhos amostrais são iguais e, no máximo , quando ostamanhos são desiguais.• Também é possível usar esse método para construirintervalos de confiança para as diferenças entre médias.•Os intervalos têm nível de confiança conjunto de 100(1- )%no caso balanceado e pelo menos 100(1- )% no caso não balanceado.

Teste de Tukey para a comparação de pares de médias

• O procedimento de Tukey usa a estatística studentizada


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},...,,{Min e

},...,,{Max com,

..2.1min

..2.1maxminmax

a

aE

yyyy

yyyy

nMS

yyq

• Valores da distribuição da estatística q foram tabulados

liberdade de graus de n. e os tratamentn.de - com ),,( fpfpq

• Para um experimento balanceado, o teste de Tukey rejeitaa hipótese nula se

n

MSfpqTyy E

ji ),(..


• Equivalentemente, podemos construir intervalos de confiança de 100(1-)% para todos os pares dados por


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jin

MSfpqyy E

ji ,),(..

• Quando as amostras são não balanceadas

Kramer-Tukey de toProcedimen

11

2

),(:)1,(

11

2

),(

..

jiEjiji

jiE

nnMS

fpqyyIC

nnMS

fpqT


• No R, há as função TukeyHSD e plot(TukeyHSD).


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Tukey multiple comparisons of means 95% family-wise confidence level

Fit: aov(formula = dados$y ~ dados$rf)

$`dados$rf` diff lwr upr p adjp180-p160 36.2 3.145624 69.25438 0.0294279p200-p160 74.2 41.145624 107.25438 0.0000455p220-p160 155.8 122.745624 188.85438 0.0000000p200-p180 38.0 4.945624 71.05438 0.0215995p220-p180 119.6 86.545624 152.65438 0.0000001p220-p200 81.6 48.545624 114.65438 0.0000146


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Comparação de médias

• É possível obter um teste F global da ANOVA significativo e, ao comparar todos os pares de médias, concluirmos que as diferenças não são significativas.

• Essa situação pode ocorrer porque o teste F está considerando simultaneamente todos os contrastes possíveis envolvendo as médias de tratamento e não somente os pares.


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Método de Fisher da menor diferença significante (mds)

• O método de Fisher da menor diferença significante para comparar todos os pares de média controla a taxa de erro para cada comparação individual, mas não a taxa de erro global do experimento.

• Esse procedimento usa a estatística t para testar a hipótese H0 : i = j .


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jiE

ji

nnMS

yyt

11

ˆ ..0

• Supondo uma alternativa bilateral uma região crítica Para um teste de nível é:

jiEaNji nn

MStyy11

,2/..

Método de Fisher da menor diferença significativa (mds)

• A quantidade


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jiEaN nn

MStMDS11

,2/

é chamada menor diferença significativa. Se o experimentoé balanceado

nMStMDS EaN /2,2/

• Para usar um procedimento de Fisher, simplesmentecomparamos a diferença observada em cada par com a correspondente MDS.• O risco global pode ser consideravelmente inflacionado por esse método.

Que método usar?• Não existe uma resposta e muitos estatísticos

discordam sobre a utilidade dos vários procedimentos.• Carmer e Swanson (1973) realizaram uym estudo de

simulação de Monte Carlo de vários procedimentos de comparações múltiplas, incluindo procedimentos que não foram apresentados aqui.

O método MDS é efetivo para detectar diferenças verdadeiras se aplicado somente após o teste F da ANOVA ter resultado significante a 5%, apesar do método não controlar a taxa de erro global.

Muitos preferem o método de Tukey por controlar a taxa de erro global.


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Comparações de médias de tratamento com um controle

• Se um dos tratamentos é um controle e se está interessado em comparar cada um dos outros a-1 tratamentos com o controle, apenas a-1 comparações são feitas.

• Um procedimento para fazer essas comparações foi desenvolvido por Dunnett (1964). Suponha que entre os tratamentos, o a-ésimo seja o controle e que


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ai

ai

H

H

:

:

1

0

• O procedimento é uma modificação do teste t usual.

Procedimento de Dunnett

• Para cada hipótese calcula-se a diferença


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1,...,1,.. aiyy ai

jiEai nn

MSfadyyRC11

),1(: ..

em que a constante d é obtida por meio de tabela apropriada.Aqui, é o nível conjunto dos a-1 testes.Quando comparamos tratamentos com um controle, uma boaestratégia é usar mais observações no controle do que nosdemais.A razão na/n de ve ser aproximadamente igual à raiz quadradade a.


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3.7 Sample Size DeterminationText, Section 3.7, pg. 101

• FAQ in designed experiments• Answer depends on lots of things; including what

type of experiment is being contemplated, how it will be conducted, resources, and desired sensitivity

• Sensitivity refers to the difference in means that the experimenter wishes to detect

• Generally, increasing the number of replications increases the sensitivity or it makes it easier to detect small differences in means


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Sample Size DeterminationFixed Effects Case

• Can choose the sample size to detect a specific difference in means and achieve desired values of type I and type II errors

• Type I error – reject H0 when it is true ( )

• Type II error – fail to reject H0 when it is false ( )

• Power = 1 - • Operating characteristic curves plot against a

parameter where

2

2 12

a

ii

n

a


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Sample Size DeterminationFixed Effects Case---use of OC Curves

• The OC curves for the fixed effects model are in the Appendix, Table V

• A very common way to use these charts is to define a difference in two means D of interest, then the minimum value of is

• Typically work in term of the ratio of and try values of n until the desired power is achieved

• Most statistics software packages will perform power and sample size calculations – see page 103

• There are some other methods discussed in the text

2 22

22

nD

a

/D


20

Power and sample size calculations from Minitab (Page 103)


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Sugestão de exercícios do capítulo 3

• 1,2,4,6,8 a 11, 16, 18 a 20

3.5.6 método de scheffé para a comparação de todos os contrastes

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