I. PROBABILIDADES 1.1 INTRODUO: Elementos do estudo das probabilidades O problema fundamental da estatstica consiste em lidar com o acaso e a incerteza. Os eventosquedependemdoacasosempreforamconsideradosmisteriosos.Asconquistas cientficasdossculosqueseguiramaRenascena,enfatizandoaobservaoea experimentao, deram origem teoria da probabilidade, para estudar as leis da natureza e os problemas da vida cotidiana.Nestecursoveremoscomoaincertezapoderealmentesermedida,comopodemos associar-lhes nmeros e como interpretar esses nmeros. Na Estatstica descritiva vimos como organizar os dados, a fim de organizar e resumir informaes. Agoraveremos um pouco da Estatstica Inferencial, que est fundamentada em modelosmatemticosprobabilsticos,assimconvenientedispormosdeumamedidaque exprimaaincertezapresenteemafirmaestaiscomopossvelquechovaamanh,ou No h chance de vitria, em termos de uma escala numrica. Essa medida probabilidade. AteoriadasProbabilidadesumramodamatemticaquecria,elaboraepesquisa modelos para estudar experimentos ou fenmenos aleatrios. Devemosesclarecerqueestatcnicabastanteintuitivaenoexistemfrmulas especficasparatodososproblemas.Cadacasoumcasoedeveserestudadocommuito cuidado. Motivao: Considere os seguintes problemas: Fazendo a aposta mnima na Mega Sena, qual a chance de acertar as seis dezenas? Se um aluno chutar cinco testes (cada um com quatro alternativas) em um exame de vestibular, qual a probabilidade de acertar pelo menos dois? Lanandodoisdadossimultaneamente,qualaprobabilidadedesaremnmeros iguais? A teoria das probabilidades nos ajuda a resolver problemas como estes e muitos outros. 1.1.1 Experimento determinstico e Experimento aleatrio Dentro de certas condies, possvel prever a que temperatura o leite ferve. Este tipo de experimento, cujo resultado previsvel, recebe o nome de determinstico.No entanto, ao lanarmos um dado uma ou mais vezes, sob as mesmas condies, no podemossabercomantecednciaonmeroobtido;sabemosapenasqueospossveis resultadosso:1,2,3,4,5ou6.Estetipodeexperimento,cujoresultadonopodeser previsto, chamado aleatrio. Exemplo de experimentos aleatrios: 1 -O sorteio da quina da Loto; -Retirar uma carta de um baralho com 52 cartas e observar o seu naipe; -O sorteio do primeiro prmio da Loteria Federal; -O lanamento de uma moeda honesta; -Lanar duas moedas e observar as faces voltadas para cima; -Lanamento de um dado honesto; -De uma urna contendo 4 bolas brancas e 5 vermelhas, retirar 1 bola e observar sua cor. 1.1.2 Experimentos aleatrios equiprovveis So experimentos onde qualquer resultado pode ocorrer com a mesma chance. Exemplo: No lanamento de uma moeda, a probabilidade de ocorrer cara ou coroa a mesma. 1.2 ESPAO AMOSTRAL OU CONJUNTO UNIVERSO oconjuntodetodososresultadospossveisdeumexperimentoaleatrio (equiprovvel) que ser indicado por (mega). Indicaremos o nmero de elementos de um espao amostral por n( ). Exemplos: 1)Quando se lanam duas moedas e se observam as faces voltadas para cima, sendo as faces da moeda cara(c) e coroa(k), o espao amostral do experimento : ={(c,c), (c,k), (k,c), (k,k)} e n( )=4 2)Lanam-sedoisdados,(umazuleumbranco),eobservam-seosnmerosdasfaces voltadas para cima. Sejam: Dado azul 123456 Dado branco 1(1,1) (1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6) 2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6) 3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6) 4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6) 5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6) 6(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6) Experimento aleatrio: Lanar dois dados ={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6) (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)(Todos os resultados possveis (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) do experimento aleatrio) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)} 2 n( )=36 (n de elementos de) 3)Umaurnacontm5bolasvermelhase4brancas.Duasbolassoextradas,aoacaso, sucessivamente e sem reposio. Observamos a seqncia de cores das bolas sorteadas.Para determinar, vamos construir o diagrama da rvore. Seja: vermelha=V e branca=B 1 extrao2 extrao V V B B V B Experimento aleatrio: Extrair duas bolas, ao acaso, sucessivamente e sem reposio ={(V,V), (V,B), (B,V), (B,B)} n( )= 4 Ponto amostral: cada elemento do espao amostral ( ). 1.3 EVENTO Evento(E)qualquersubconjuntodeumespaoamostral.Muitasvezesumevento pode ser caracterizado por um fato. Exemplos: 1)No lanamento de duas moedas, temos: Considerando c = cara e k = coroa, definimos: Experimento: Lanar duas moedas ={(c,c),(c,k),(k,c),(k,k)} Sejam os eventos: 1E : aparecerem faces iguais1E ={(c,c),(k,k)} onde n(1E )=2 : E2 aparecer cara em pelo menos uma moeda 2E = {(c,c),(c,k),(k,c)} onde n(2E )=3 2)No lanamento de dois dados, temos: Experimento: Lanar dois dados ={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6) 3 (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)} n( )=36 1E : aparecerem nmeros iguais1E ={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)} ; n(1E )=6 2E : o primeiro nmero menor ou igual a 2 2E ={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)} ; n(2E )=12 3E : a soma dos resultados menor ou igual a 4 3E ={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1)} ; n(3E )=6 4E : o nmero do primeiro dado o dobro do nmero do segundo dado 4E ={(2,1),(4,2),(6,3)} ; n(4E )=3 1.3.1 Evento Certo: evento que possui os mesmos elementos do espao amostral, (E=) 5E : a soma dos resultados dos dois dados menor ou igual a 12 5E = ; n(5E )=36 1.3.2Evento Impossvel: evento igual ao conjunto vazio (E =.O/ ) 6E : o nmero do primeiro dado igual a sete 6E =O/; n(6E )=0 1.3.3Evento Simples: evento que possui um nico elemento 7E : a soma dos resultados nos dois dados igual a 12. 7E ={(6,6)} ; n(7E )=1 1.3.4EventoComplementar:SeEumeventodeumespaoamostral,oevento complementar de E, indicado por Ec (ouA), tal que Ec = - E (ou seja, tudo o que no est em E mas est no espao amostral). Notemos queO E Ec/ = e = cE E Ex: Considerando ainda o experimento: lanar dois dados, temos que: Ec E 4 ={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6) (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)} Seja o evento A definido por: A: o primeiro nmero no lanamento dos dados menor ou igual a 2. A={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)} ; n(A)=12 Logo, Ac: o primeiro nmero no lanamento dos dados maior que 2 ( ou seja, Ac = - A) Ac ={(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6)n(Ac)=24 (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)} 1.3.5EventosMutuamenteExclusivos(oudisjuntos):doisoumaiseventosso ditosmutuamenteexclusivosquandoaocorrnciadeumdelesimplicaano ocorrncia do outro. Deste modo, se A e B so eventos mutuamente exclusivos, ento o B A/= (ou seja, no existe interseo entre eles). Ex: Sejam os eventos: A:quandoselanaumdado,onmeronafacevoltadaparacimampar. A={1,3,5} B: quando se lana um dado, o nmero na face voltada para cima divisvel por 4 B={4} Os eventos A e B so mutuamente exclusivos, poiso B A/= . Exerccio: Considerar o experimento aleatrio: uma moeda lanada 3 vezes. Determinar: a)espao amostral b)evento 1E : sair 2 caras e 1 coroa c)evento 2E : sair 3 caras d)evento 3E : sair pelo menos 1 cara e)evento 4E : sair no mximo 2 coroas 5 f)evento 5E : nenhuma cara 1.3.6 Operaes com eventos Existeumacorrespondnciaentreosconceitosdalinguagemdoseventosedos conjuntos. Suponha um espao amostral finito e A e B trs eventos de. 1.)AB: significa que pelo menos um evento ocorre 2.)AB: os dois eventos ocorrem 3.)A-B: somente o evento A ocorre 4.)Ac =A: o evento A no ocorre 5.)A B : somente um dos eventos ocorre Seja Ai; i= 1, 2, 3, ..., n uma coleo finita de eventos de, ento: 6.) Un1 iiA=: pelo menos um dos Ais ocorre 7.) In1 iiA=: todos Ais ocorrem 6Propriedades das operaes SejamA,BeCeventosassociadosaumespaoamostral.Asseguintes propriedades so vlidas: a)IDEMPOTENTES AA = A A A =A b)COMUTATIVAS AB = BA AB = BA c)ASSOCIATIVAS A(BC) = (AB)C A(BC) = (AB)C d)DISTRIBUTIVAS A(BC) = (AB) (AC) A(BC) = (AB) (AC) e)ABSORES A(AB) = A A(AB) = A f)IDENTIDADES A = A A = A O/=O/A O/= A g)COMPLEMENTARES O/ = = / O A A =O/ = A A h)LEIS DE MORGAN (ou Leis das Dualidades) B A ) B A (________ = B A ) B A (________ = 7 1.3.7 Partio de um Espao Amostral Os eventos A1, A2, ..., An formam uma partio do espao amostral se: 1.)Ai O/ para i = 1, 2, ..., n 2.)O A Aj i/ = para i j 3.) Un1 iiA= = A1,A2eA3formamumapartiodoespao amostral e, portanto, satisfazem 1.), 2.) e 3.). 1.4PROBABILIDADE No estudo da probabilidade, h trs tipos de questes: 1.O que queremos dizer quando afirmamos que a probabilidade de um evento , por exemplo, 0,50, 0,78 ou 0,44? 2.Comodeterminarouavaliar,naprtica,osnmerosquechamamos probabilidades? 3.Quais ao as regras matemticas que as probabilidades devem obedecer? Existem basicamente trs definies para a probabilidade Definio subjetiva da probabilidade: afirma que a probabilidade uma estimativa, na qual o indivduo acredita que haja viabilidade de ocorrncia de um evento. Neste caso dois indivduos podem estimar diferentemente uma probabilidade. Definiodefreqnciadaprobabilidade:aprobabilidadedeumevento (acontecimento ou resultado) definida como sendo a proporo do nmero de vezes queeventosdomesmotipoocorremalongoprazo.Emoutraspalavras,quando precisamosrealizaroexperimentoumnmeromuitograndedevezespara observarmos que proporo das vezes tal evento ocorre. Definio clssica de probabilidade: quando estamos interessados em probabilidades iguais, ou seja, estamos lidando com experimentos equiprovveis. Considerandoumespaoamostral,novazio,eumeventoE,sendoE ,a probabilidade de ocorrer o evento E o nmero real P(E), tal que: ) ( n) E ( n) E ( P= , Ex: A1 A2 A3 8Onde:n(E): tamanho do evento E (ou nmero de casos favorveis ao evento E). n( ): tamanho do espao amostral (ou nmero total de casos). OBS.:Estaadefinioclssicadeprobabilidadequandofinitoebaseia-seno conceito de resultados equiprovveis (tm a mesma chance de ocorrer). Propriedades: Seja um espao amostral qualquer e sejam A e B eventos de . i) 0 P(A) 1 (observe que P(A) 0) ii) P () = 1 iii) P () = 0 iv) P ( A) = 1-P (A) v) P(AB) = P(A) + P(B) P(AB). Se AB = , P(AB) = P(A) + P(B) vi)P( AB) = P(B) P(AB). Exemplos: 1)Lanando-seumdado,aprobabilidadedesairumnmparnafacevoltadaparacima obtida da seguinte forma: ={1,2,3,4,5,6} ; n( )=6 E: sair um nmero mpar E={1,3,5} ; n(E)=3 ) ( n) E ( n) E ( P= =2163= = 0,5 Portanto, podemos concluir que a probabilidade de sair um nmero mpar na face voltada para cima igual a 0,5. (Ou, poderamos dizer que existe 50% de chance de sair um nmero mpar na face voltada para cima). 2)Escolhidoaoacasoumelementodoconjuntodosdivisoresde30,determinara probabilidade de que ele seja primo. ={1,2,3,5,6,10,15,30} ; n( )=6 E: o nmero ser primo E= {2, 3,5}; n(E) =3 ) ( n) E ( n) E ( P= = 375 , 083= A probabilidade de que um nmero, escolhido ao acaso, do conj. dos divisores de 30 seja um nmero primo de 0, 375. OBS.:Nemsemprepossveldescreveroselementosdeumeventoouespaoamostral. Nesse caso, devemos utilizar outras tcnicas tais como as distribuies de probabilidades. 9 3) Considere uma urna com trs bolas brancas e duas bolas pretas. Extrair casualmente duas bolas, sendo uma aps a outra. Obter a distribuio da varivel X={nmero de bolas brancas}. Diagrama da rvore: a-) Repondo a primeira bola Eventos A= BB {X=2} B= BP {X=1} C= PB {X=1} D= PP {X=0} Distribuio de XProbabilidade de X 2 P(X=2)= 2595353= == = 1 P(X=1)=251253525253= == = + ++ + 0 P(X=0)= 2545252= == = B P 53 53 52 52 B B P P Primeira Extrao Segundo Extrao 53 52 12b-) Sem repor a primeira bola Eventos A= BB {X=2} B= BP {X=1} C= PB {X=1} D= PP {X=0} Distribuio de X Probabilidade de X 2 P(X=2) = 2064253= == = 1 P(X=1) = 201243524253= + 0 P(X=0) = 2024152= == = 1.5UNIO DE DOIS EVENTOS ConsiderandoAeBdoiseventoscontidosemummesmoespaoamostral,o nmerodeelementosdareuniodeAcomBigualaonmerodeelementosdoeventoA somadoaonmerodeelementosdeeventoB,subtradodonmerodeelementosda interseco de A com B. ) B A ( n ) B ( n ) A ( n ) B A ( n + = B P 42 43 41 B B P P Primeira Extrao Segundo Extrao 53 52 42 13Sendon( )onmerodeelementosdoespaoamostral,vamosdividirosdois membros da equao por n( ) a fim de obter a probabilidade P ) B A ( . Assim, temos: ) ( n) B A ( n) ( n) B ( n) ( n) A ( n) ( n) B A ( n+= Logo, ) B A ( P ) B ( P ) A ( P ) B A ( P + = Para ficar bem claro esta definio vamos utilizar Diagramas de Venn em algumas situaes para visualizar melhor operaes com eventos. Porexemplo:SejamA,B,B A eventosquaisquercomprobabilidades,respectivamente, iguais a 0.6, 0.3, 0.2. Encontre as probabilidades abaixo: a)P( B A ) = b)P(A-B) = c)P(B-A) = OBS: Para eventos mutuamente exclusivos, ( O B A / = ), a equao obtida fica: ) B ( P ) A ( P ) B A ( P + = Exemplos: 1)De uma urna com 20 bolinhas numeradas de 1 a 20, retira-se ao acaso uma bolinha. Para calcularaprobabilidadedeessabolinhaterumnmerodivisvelpor2ou3, consideramos: ={1, 2, 3, ..., 20} A: conjunto dos nmeros divisveis por 2 A={2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20} B: conjunto dos nmeros divisveis por 3 B={3, 6, 9, 12, 15, 18} B A : conjunto dos nmeros divisveis por 2 e por 3 B A ={6, 12, 18} P(A)=2010, P(B)=206, P( B A )=203 65 , 02013B) P(A2032062010) B A ( P = = + = 142)A chance de que a populao atual de um pas seja de 110 milhes ou mais de 95%. A chance de ser 110 milhes ou menos de 8%. Calcule a probabilidade de ser 110 milhes. Sendo P(A) a probabilidade de ser 110 milhes ou mais: P(A)=0.95 Sendo P(B) a probabilidade de ser 110 milhes ou menos: P(B)=0.08 P( B A )= a probabilidade de ser 110 milhes: P( B A )= ? P( B A )= 1 Aplicando a regra da unio de dois eventos, temos: P( B A )=P(A) + P(B) P( B A ) 1 = 0,95 + 0,08 - P( B A ) P( B A ) = 0,95 + 0,08 1 P( B A ) = 0,03 3)Trscavalos,A,BeC,estoemumacorrida;Atemduasvezesmaisprobabilidadede ganharqueB,eBtemduasvezesmaisprobabilidadedeganharqueC.Quaissoas probabilidades de vitria de cada um, isto , P(A), P(B) e P(C)? Qual a Probabilidade de B ou C ganhar? Soluo: Vamos supor P(C)= p; desta forma P(B) = 2p e assim, P(A) = 2P(B) = 4p. Como a soma das probabilidades 1, ento: P(A) + P(B) + P(C) = p + 2p + 4p = 1 7p = 1 ou p = 71. Logo, temos: P(A) = 4p = 74714 = == = | || | | || |

\ \\ \| || |; P(B) = 2p = 72712 = == = | || | | || |

\ \\ \| || |; P(C) = p = 71; A probabilidade de B ou C ganhar dada por: 7307172) B A ( P ) C ( P ) B ( P ) C B ( P = == = + ++ + + ++ + = == = + ++ + = == = (OBS.:0 ) C B ( P = == = pois dois cavalos no ganham ao mesmo tempo.) 1.6PROBABILIDADE CONDICIONAL Introduziremos o conceito de probabilidade condicional atravs do seguinte exemplo: Consideremos250 alunosquecursamoprimeirociclodeumafaculdade.Destes alunos 100sohomens(H)e150somulheres(M),110cursamfsica(F)e140cursamqumica (Q). A distribuio dos alunos a seguinte: 15Disciplina Sexo FQTotal H4060100 M7080150 Total110140250 Um aluno sorteado ao acaso. Qual a probabilidade de que esteja cursando qumica, dado que mulher? Pelo quadro vemos que esta probabilidade de 15080 e representamos: ( )15080M | Q P =(probabilidade de que o aluno curse qumica, condicionado ao fato de ser mulher) Observamos, porm, que( )250150) M ( P e25080Q M P = = . Para obtermos o resultado do problema basta considerar que: ( )1508025015025080M | Q P = =Logo: ) M ( P) Q M ( P) M | Q ( P=SejamAeB.DefinimosProbabilidadeCondicionaldeAdadoqueBocorre (A|B) como segue: 0 ) B ( P se ,) B ( P) B A ( P) B | A ( P =ou, de forma anloga 0 ) A ( P se ,) A ( P) B A ( P) A | B ( P = Exemplo 1: Considere o lanamento de um dado. ={1, 2, 3, 4, 5, 6) (6 resultados possveis) Seja o evento A: sair face 4, P(A)=61 = 0,167. Paraentenderoproblemadeprobabilidadecondicional,suponhaqueemborano possamosverodado,algumdigaqueoresultadoumnmeropar.Nestecaso,quala 16probabilidade de A ocorrer? Isto , sabendo que saiu um nmero par, qual a probabilidade de A ocorrer? P(A) = 31 = 0,3333 Assim, a informao de que o valor ocorrido um nmero par afeta a probabilidade de ocorreroeventoA,eovalor0,3333chamadodeprobabilidadecondicional,umavezque ela calculada sob a condio de que o valor na face do dado um nmero par. Notao: P(A|B) (l-se, probabilidade de ocorrer o evento A, sabendo-se (dado) que o evento B j ocorreu. Exemplo2:Nolanamentodedoisdados,observandoasfacesdecima,paracalculara probabilidade de sair o nmero 5 no primeiro dado, sabendo que a soma dos dois nmeros maior que 7, fazemos: ={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6) (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)} Evento A: nmero 5 no primeiro dado A={(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)} Evento B: a soma dos dois nmeros maior que 7 B={(2,6),(3,5),(3,6),(4,4),(4,5),(4,6),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)} B A : o primeiro nmero 5 e a soma dos dois nmeros maior que 7. B A ={(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)} P( B A )=364 e P(B)=3615 Logo, ) B ( P) B A ( P) B | A ( P= 1543615364) B | A ( P = = Exemplo 3: Sendo P(A) = 31, P(B) = 43 e 1211) B A ( P = , calcular P(A|B). Resoluo: Como ) B ( P) B A ( P) B | A ( P= , devemos calcular). B A ( P Como P( ) B A ( P ) B ( P ) A ( P ) B A + = , temos: 17 61122) B A ( P ) B A ( P43311211= = + = Logo, 924361) B | A ( P = = 1.7 MULTIPLICAO DE PROBABILIDADES TiramosdadefiniodeprobabilidadecondicionalochamadoTEOREMADO PRODUTO:SejamAeB.Ento,aprobabilidadedeocorrerP( B A )igualao produto da probabilidade de um deles pela probabilidade do outro em relao ao primeiro, ou seja: Sendo: ) B ( P) B A ( P) B | A ( P= ou) A ( P) B A ( P) A | B ( P= , ento ) B | A ( P ) B ( P ) B A ( P = ou ) A | B ( P ) A ( P ) B A ( P = Exemplos: 1-) Duas bolas vo ser retiradas de uma urna que contm 2 bolas brancas, 3 pretas e 4 verdes. Qual a probabilidade de que ambas a)sejam verdes? b)Sejam da mesma cor? Resoluo: Temos que: P(B) = 92, P(P) = 93 e P(V) = 54 a) 618394) V | V ( P ) V ( P ) V V ( P = = = b)) V V ( P ) P P ( P ) B B ( P ) Cor Mesma ( P + + =

839482938192) Cor Mesma ( P + + =

1857220) Cor Mesma ( P = = A generalizao do teorema do produto : 18( ) ( ) ( )1 n 2 1 n 2 1 3 1 2 in1 iiA A A | A P A A | A P A | A P ) A ( P A P= =|||

\|K KI Exemplo:UmaurnacontmasletrasA,A,A,R,R,S.Retira-seletraporletra.Quala probabilidade de sair a palavra ARARAS? 60112131425263) A R A R A | S ( P ) R A R A | A ( P) A R A | R ( P ) R A | A ( P ) A | R ( P ) A ( P ) S A R A R A ( P= == = 1.8 EVENTOS INDEPENDENTES (OU INDEPENDNCIA ESTATSTICA) Dois eventos A e B so estatisticamente independentesse a ocorrncia (ou no ocorrncia) de um dos eventos no afetar a probabilidade de ocorrncia do outro evento. Em outras palavras, dizemos que um evento B estatisticamente independente de um evento A se a ocorrncia de A no afeta a probabilidade de ocorrer o evento B. Em smbolos: ) A ( P ) B | A ( P =ou) B ( P ) A | B ( P = TemostambmquesedoiseventosAeBsoditosindependentes,entoa probabilidade deles ocorrerem conjuntamente pode ser dada por: ) B | A ( P ) B ( P ) B A ( P = (I) e ) A ( P ) B | A ( P = (II) Substituindo II em I, obtemos: ) B ( P ) A ( P ) B A ( P = Exemplo 1: Lanando-se simultaneamente um dado e uma moeda, determine a probabilidade de se obter 3 ou 5 no dado e cara na moeda. ={(1,c),(1,k),(2,c),(2,k),(3,c),(3,k),(4,c),(4,k),(5,c),(5,k),(6,c)(6,k)} Evento A: 3 ou 5 no dado P(A)=31124=A={(3,c),(3,k),(5,c),(5,k)} Evento B: cara na moeda P(B)= 21126=B={(1,k),(2,k),(3,k),(4,k),(5,k),(6,k)} 19Os eventos so independentes, pois o fato de ocorrer A nomodifica a probabilidade de ocorrer B. Assim, temos: ) B ( P ) A ( P ) B A ( P = Portanto, 612131) B A ( P = = Note queB A ={(3,k),(5,k)} e P( B A ) poderia ser calculado por: 61122) ( n) B A ( n) B A ( P = == . No entanto, nem sempre a obteno de n( B A ) simples. Exemplo 2: Uma roleta contm 38 nmeros dos quais 18 so vermelhos, 18 so pretos, e dois so verdes. Quando a roleta girada e a bola solta, igualmente provvel que a bola caia em qualquer um dos 38 nmeros. Em duas jogadas da roleta, qual a probabilidade de que: a)a bola caia no vermelho duas vezes? b)A bola caia no verde na primeira vez e no preto na segunda vez? Soluo: razovelsuporqueasjogadassucessivasdaroletasoindependentes,ouseja,o resultado da 1 rodada no interfere no resultado da 2 rodada. a)Sejam os eventos: 1V :abolacainovermelhonaprimeirarodadae 2V :abolacainovermelhona segunda rodada. Queremosaprobabilidadedequeemduasrodadassucessivasddoisresultados vermelhos, ou seja, a bola caia no vermelho nas duas rodadas. Ento queremos) V V ( P2 1 . Comoaocorrnciade 1V nointerferenaocorrnciade 2V ,isto,como 1V e 2V so eventos independentes, fazemos: ) V ( P ) V ( P ) V V ( P2 1 2 1= =(18/38) x (18/38) =0,224 Existe uma chance de 22,5% de que a bola caia duas vezes no vermelho. b)Seja os eventos: 1Vd :abolacainoverdenaprimeirarodadae 2P :abolacainopretonasegunda rodada. = = ) P ( P ) Vd ( P ) P Vd ( P2 1 2 1(2/38) x (18/38) =0,025 Existe uma chance de 2,5% de que a bola caia a primeira vez no verde e a segunda vez no preto. IMPORTANTE:comumconfundirosconceitosdeeventosmutuamenteexclusivose eventosindependentes.Estestermosnosignificamamesmacoisa.Oconceitode 20mutuamente exclusivo envolve se ou no dois eventos podem ocorrer simultaneamente. Por outro lado, o conceito de independncia envolve se ou no a ocorrncia de um evento afeta a probabilidade de ocorrncia do outro. Exemplo 3: Sejam A e B eventos tais que P(A) = 0,2, P(B) = P, P(AB) = 0,6. Calcular P considerando A e B: a)mutuamente exclusivos; b)independentes. Resoluo: a-) A e B mutuamente exclusivos 0 ) B A ( P = como P(AB) = P(A) + P(B) P(AB) vem 0,6 = 0,2 + P 0 P = 0,4 b-) A e B independentes P 2 , 0 ) B ( P ) A ( P ) B A ( P = = comoP(AB) = P(A) + P(B) P(AB) vem 0,6 = 0,2 + P 0,2P 0,4 = 0,8P P = 0,5 OBS.: Se os eventos A1, A2, ..., An so independentes ento: = ==|||

\|n1 iin1 ii) A ( P A P I onde) A ( P ) A ( P ) A ( P ) A ( Pn 2 1n1 ii ==K . 1.9TABELASDEPROBABILIDADECONJUNTA(OUTABELASDEDUPLA ENTRADA OU TABELAS DE CONTINGNCIA) Em uma tabela de probabilidade conjunta todos os possveis eventos para uma varivel (ouobservao)solistadoscomocabealhosdecolunas,todosospossveiseventospara umaSegundavarivelsolistadoscomocabealhosdelinhas,eovalorincludoemcada caselaresultanteaprobabilidadedecadaocorrnciaconjunta.Muitasvezesas probabilidadesemumadestastabelasestobaseadasemfreqnciasobservadasda ocorrncia dos vrios eventos conjuntos, em lugar de serem a priori por natureza. A tabela das freqncias de ocorrncias conjuntas que pode servir de base para a construo de uma tabela de probabilidade conjunta chamada de tabela de contingncia. Definio 16: Tabelas de contingncia Sotabelasquepermitemclassificarmembrosdeumapopulaooude uma amostra segundo duas caractersticas: Por exemplo: -nvel educacionalvsrenda anual; -idadevssexo; Exemplo: (Tabela de contingncia) Classificao de professores de uma universidade segundo idade e posio na carreira. 21 Posio na carreira Professor Titular (1R ) Professor Associado (2R ) Professor Assistente (3R ) Instrutor (4R ) Total (iA ) i=1,2,3,4 e 5 < 30 (1A ) 2357668 30 39 (2A ) 5217016317402 idade40 49 (3A ) 156125616348 50 59 (4A ) 14568364253 60 (5A ) 75153093 Total (iR ) i=1,2,3 e 4 430381320331164 Experimento: Selecionar um professor ao acaso. Evento 1A : O professor selecionado tem menos de 30 anos. Evento 2A : O professor selecionado tem entre 30 e 39 anos. Evento 3A : O professor selecionado tem entre 40 e 49 anos. Evento 4A : O professor selecionado tem entre 50 e 59 anos. Evento 5A : O professor selecionado tem mais de 60 anos. Evento 1R : O professor selecionado um professor titular. Evento 2R : O professor selecionado um professor associado. Evento 3R : O professor selecionado um professor assistente. Evento 4R : O professor selecionado um instrutor. Notas:Os eventos 1A 5Aso mutuamente exclusivos (entre si) Os eventos 1R 4Rso mutuamente exclusivos (entre si) Os eventos iA s com iR s no so mutuamente exclusivos (entre si) Podemos considerar os eventos iA s conjuntamente aos eventos iR s. PorExemplo:-oprofessorselecionadotemmenosde30anos(1A )etambmum professor associado (2R ), isto pode ser expresso por (1Ae 2R ) ou (1A2R ). (1A e 2R )=(1A2R )=oprofessorselecionadoumprofessorassociadocomidade inferior a 30 anos. Usando probabilidade temos: 22P(1A ) = 116468 = 0,058; P(2R )=1164381 = 0,327 ouseja,5,8%dosprofessorestmmenosque30anose32,7%dosprofessoresso associados. Alm de podermos determinar a probabilidade de cada evento iAe iR , podemos tambmdeterminaraprobabilidadeparaeventosconjuntos,denominadaprobabilidade conjunta. Exemplo: P(1Ae 2R ) = P(1A2R ) = 11643 = 0,003 ou seja, 0,3% dos professores tm menos de 30 anos e so associados. OBS: Esta probabilidade conjunta pode ser calculada para quaisquer iA s conjuntamente aos iR s. A tabela de distribuies de probabilidades conjunta fica: Posio na carreira Professor Titular P(1R ) Professor Associado P(2R ) Professor Assistente P(3R ) Instrutor P(4R ) Total P(iA ) i=1,2,3,4 e 5 < 30 P(1A ) P(1A1R )=0,002 P(1A2R )=0,003 P(1A3R )=0,049 P(1A4R ) 0,005 P(1A ) =0,058 30 39 P(2A ) P(2A 1R )=0,045 P(2A 2R )=0,146 P(2A 3R )=0,140 P(2A 4R ) 0,015 P(2A ) =0,345 Idade40 49 P(3A ) P(3A 1R )=0,134 P(3A 2R )=0,107 P(3A 3R )=0,052 P(3A 4R ) 0,005 P(3A ) =0,299 50 59 P(4A ) P(4A 1R )=0,125 P(4A 2R )=0,058 P(4A 3R )=0,031 P(4A 4R ) 0,003 P(4A ) =0,217 60 P(5A ) P(5A 1R )=0,064 P(5A 2R )=0,013 P(5A 3R )=0,003 P(5A 4R ) 0,000 P(5A ) =0,080 Total P(iR ) i=1,2,3 e 4 P(1R ) =0,369 P(2R ) =0,327 P(3R ) =0,275 P(4R ) =0,028 1 Notas: 1.Asprobabilidadesdentrodatabelasochamadasdeprobabilidadesconjuntasdos eventos iA s e iR s. 2.As probabilidades da ltima coluna representam as probabilidades marginais dos eventos iA s. 3.Asprobabilidadesdaltimalinharepresentamasprobabilidadesmarginaisdoseventos iR s. 4.Asomadasprobabilidadesconjuntasdeumalinhaoudeumacolunaiguala probabilidade marginal daquela linha ou coluna. 5.Asomadetodasasprobabilidadesconjuntasoudasmarginaisreferenteacadavarivel tem que dar 1. 23Varivel iA= idade; varivel iR= posio na carreira. ExemplosdeProbabilidadecondicionalusandotabeladecontingncia:SuponhaqueAeB sejam2eventos.EntoaprobabilidadedeocorreroeventoAsabendo-sequeoeventoB ocorreu denominada probabilidade condicional. Ela indicada pelo smbolo P(A|B). Exerccios: Considerando o exemplo acima responda: a)Qual a probabilidade de que o professor selecionado esteja na casa dos 50 anos. P(4A )= 217 , 01164253= b)Encontreaprobabilidadedequeoprofessorselecionadoestejanacasados50anos, sabendo-se que um professor assistente foi selecionado. P( 113 , 032036) R | A3 4= = ) c)Interprete as probabilidades encontradas em termos de porcentagem. P(4A )=0,217 indica que 21,7% dos professores da universidade esto na casa dos 50 anos. P( 113 , 0 ) R | A3 4=indica que 11,3% dos professores assistentes esto na casa dos 50 anos. A partir dos exemplos acima, podemos sugerir a seguinte frmula para probabilidade condicional. ) B ( n) B A ( n) B ( P) B A ( P) B | A ( P==ou, analogamente, ) A ( n) B A ( n) A ( P) B A ( P) A | B ( P== Isto implica que: ) B | A ( P ) A ( P ) B A ( P = e ) A | B ( P ) B ( P ) B A ( P = 1)Nolanamentosimultneodedoisdadosconsidereasfacesvoltadasparacimae determine: a)espao amostral b)evento 1E : nmeros cuja soma igual a 5 c)evento: E2nmeros iguais d)evento: E3nmeros cuja soma um nmero par e)evento: E4 nmeros mpares nos 2 dados f)evento: E5nmero dois em pelo menos um dos dados 24g)evento 12 que menor soma cuja nmeros : E6 h)evento: E7nmeros cuja soma maior que 12 i)evento: E8nmeros divisores de 7 nos 2 dados 2)Lanam-se 3 moedas. Enumerar o espao amostral e os eventos: a)faces iguais; b)cara na 1 moeda; c)coroa na 2 e 3 moedas. 3)Umlotecontmpeasde5,10,15,...,30mmdedimetro.Suponhaque2peassejam selecionadas no lote (com reposio). Se x e y indicam respectivamente os dimetros da 1 e2peasselecionadas,opar(x,y)representaumpontoamostral.Usandooplano cartesiano, indicar os seguintes eventos: a)A={x = y} b)B={y < x} c)C={x = y-10} d) )`