8/16/2019 320_2835110 - TC de Matemática

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S ÉRIE E NSINO

TC

PRÉ-U NIVERSITÁRIO

____/____/____

Rumo ao ITA

Marcelo Mendes

Matemática

A LUNO(A)T URMA T URNO D ATA

S EDE

N°

P ROFESSOR (A)

OSG.: 28351/10

Revisão de Álgebra

Exercíciosde Fixação

01. Encontre os valores das raízes racionais a, b e c de x 3 + ax2 + bx + c.

02. Se f(x)f(y) – f(xy) = x + y," x,y∈R , determine f(x).

03. Encontre x real satisfazendo 1 1 1+ + + =x x.

04. Numa classe com vinte alunos, as notas do exame nalpodiam variar de 0 a 100 e a nota mínima para aprovaçãoera 70. Realizado o exame, vericou-se que oito alunos foramreprovados. A média aritmética das notas desses oito alunosfoi 65, enquanto que a média dos aprovados foi 77. Apósa divulgação dos resultados, o professor vericou que umaquestão havia sido mal reformulada e decidiu atribuir 5 pontosa mais para todos os alunos. Com essa decisão, a média dosaprovados passou a ser 80 e a dos reprovados 68,8.A) Calcule a média aritmética das notas da classe toda antes

da atribuição dos cinco pontos extras.B) Com a atribuição dos cinco pontos extras, quantos alunos,

inicialmente reprovados, atingiram nota para aprovação?

05. Encontre todas a soluções reais positivas da equação

x x x x

+ = +6 2

2

3, onde k denota o maior inteiro menor

que ou igual ao número real k. ( Sugestão: analise o resto dadivisão de x por 6).

06. A função f, denida sobre o conjunto dos pares ordenados deinteiros positivos, satisfaz as seguintes propriedades: f(x, x) =x, f(x, y) = f(y, x) e (x + y) f(x, y) = yf(x, x + y). Calcule f(14, 52).

07. Simplique a expressão 1 1

1 1

1 1

1 1

2 4 2100+

+

+

+

a a a a... .

08. A soma dos algarismos de um número é 12. Invertendo-se a

ordem dos algarismos, tem-se um novo número igual a4

7

do original. Determine o número sabendo que ele tem doisalgarismos.

09. Encontre o menor inteiro positivo n que possui as seguintespropriedades:I. Em sua representação, tem 6 como último dígito.II. Se o último dígito (6) é apagado e colocado na frente dos

dígitos restantes, o número resultante é quatro vezes maiorque o número original n .

10. I. Ache todos os inteiros positivos com dígito inicial 6 tal que o

inteiro formado apagando-se este 6 é1

25 do inteiro original.

II. Mostre que não existe inteiro tal que a retirada do primeiro

dígito produz um novo inteiro que é1

35 do inteiro original.

11. Para quais valores a desigualdade xx

xx

3

3

2

2

1 1+ > + é falsa?

Ejercicios Propuestos

01. D e m o n s t r a r q u e s eA

a

B

b

C

c= = , e n t ã o o c o r r e

Aa Bb Cc A B C a b c+ + = + + + +( )( ).

02. Mostre que sea

b

a

b

a

b1

1

2

2

3

3

= = e p 1, p 2, p 3 não são todos nulos,

entãoab

p a p a p ap b p b p b

n n n n

n n n1

1

1 1 2 2 3 3

1 1 2 2 3 3

= + +

+ + , para todo inteiro positivo n.

03. (IME/2007) Sejam a, b e c números reais não nulos. Sabendo quea b

cb c

ac a

b+

=+

=+ , determine o valor numérico de a b

c+ .

04. Se x é um número satisfazendo a equação x x+ − − =9 9 33 3 , então x 2 está entre:A) 55 e 65B) 65 e 75C) 75 e 85D) 85 e 95E) 95 e 105

05. Considere todas as retas que encontram o gráco da funçãof(x) = 2x4 + 7x 3 + 3x – 5 em quatro pontos distintos, digamos

(x1, y1), (x2, y2), (x3, y3), (x4, y4). O valor de x x x x1 2 3 4

4+ + + é:

A) 2 B) 7

8

C)7

2 D) independente da reta.

E) NDA

06. Qual das sentenças seguintes não é verdadeira para a equaçãoix2 – x + 2i = 0, sendo i = − 1?A) A soma das raízes é 2.B) O discriminante é 9.C) As raízes são imaginárias.D) As raízes podem ser encontradas usando a fórmula

quadrática.E) As raízes podem ser encontradas por fatoração, usando

números imaginários.

07. Se a parábola y = ax 2 + bx +c passa pelos pontos (–1, 12), (0,5) e (2, –3), então o valor de a + b + c é:A) –4 B) –2C) 0 D) 1E) 2

08. (IME/2007) Sejam x1 e x2 as raízes da equação x2

+ (m – 15)x + m= 0. Sabendo que x 1 e x 2 são números inteiros, determine oconjunto de valores possíveis para m .

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2

09. Se x =+1 1996

2 então 4x 3 – 1999x – 1997 é igual a:

A) 0 B) 1C) –1 D) 2E) –2

10. (EUA) Para quais valores de K a equação x = K 2(x – 1)(x – 2)

tem raízes reais?A) NenhumB) –2 < K < 1C) − < 1 ou K < –2E) Todos

11. (Romênia/2006) Encontre todos os números reais a e b satisfazendo 2(a 2 + 1)(b 2 + 1) = (a + 1)(b + 1)(ab + 1).(Sugestão : Equação do 2º grau em a ).

12. Suponha que a função f: → satisfaz f(xy) = xf(y) + yf(x)para todos x, y e . Podemos armar que:A) f(1) = 0B) f(1) = 1C) f é uma função constanteD) f(4) = 2f(2)E) NDA

13. Seja f: * → a função denida por f xsen

x

x

( ) .=

+

1

1 21 Mostre que

existem números reais b 0 , b 1 , b 2 , ..., b k, ... tais que

1 22 3

1

+

= −

bk

k f b( ) .π

14. (IME/2007) Seja f: → uma função tal que f k nnkn ( ) ,= ⋅ +

+=∑ 2008 1

20

onde e o são, respectivamente, o conjunto dos númerosnaturais e o dos números reais. Determine o valor numérico

de1

2006f( ).

15. Seja f: → uma função satisfazendo f(n 2) = f(n + m) f(n–m) + m 2, " m, n ∈ . Então f(0) =A) 0 B) 1C) 0 ou 1 D) 4E) NDA

16. Se f(x) = ax2

– c satisfaz –4 ≤ f(1) ≤–1 e –1 ≤ f(2) ≤5, entãoA) 7 ≤ f(3) ≤26 B) –1 ≤ f(3) ≤20C) –4 ≤ f(3) ≤15 D) − ≤ ≤28

33

353

f( )

E)83

3 13

3≤ ≤f( )

17. I) Se n é um inteiro positivo tal que 2n + 1 é quadrado perfeito,mostre que n + 1 é a soma de dois quadrados perfeitossucessivos.

II) Se 3n + 1 é um quadrado perfeito, mostre que n + 1 é asoma de três quadrados.

18. Suponha que um número inteiro n é a soma de dois números

triangulares n a a b b

=+

++

2 2

2 2. Mostre que 4n + 1 pode ser

escrito como a soma de dois quadrados em termos de a e b .

19. Ache todos os inteiros positivos x, y tais que: y2 – x(x + 1)(x + 2)(x + 3) = 1

20. Para quantos inteiros positivos n entre 1 e 100 é possívelfatorar x 2 + x – n como produto de dois fatores lineares comcoecientes inteiros?A) 0 B) 1C) 2 D) 9

E) 10

21. Dena a operação “o” por xoy = 4x – 3y + xy, " x, y∈ . Paraquantos números reais y tem-se 3oy = 12?A) 0 B) 1C) 3 D) 4E) mais que 4

22. (Latvian/1997) Quantos dígitos de n = + + + +9 99 999 99 92001

... ...

são iguais a 1?A) 1997B) 1998C) 1999D) 2000E) 2001

23. Seja n > 1 um inteiro. Prove que o número 11 144 4

2

... ...n n

nãoé racional.

24. A) Se tgα

2 é um número racional (a ≠kp, k ∈ ), prove que

cosa e sen a são números racionais.

B) Reciprocamente, se cos a e sen a são números racionais,prove que tg

α

2 é um número racional.

25. Considere as armativas:I. Entre dois números racionais sempre existe um outro

número racional.II. A soma de dois números irracionais é sempre irracional.III. O produto de dois números irracionais é sempre irracional.IV. Existe sempre um número racional entre dois números

inteiros.V. Existe sempre um número inteiro entre dois números

racionais.

Conclua que:A) 1 ,3, 4 são verdadeiras.B) 1, 2, 3 são verdadeiras.

C) Somente 1 e 4 são verdadeiras.D) Somente 2 e 4 são verdadeiras.E) Somente 3 e 5 são falsas.

26. O número de soluções reais da equação:

x x x x

x

22

1 2 2 1

1− + =

− +

− é:

A) 0 B) 1C) 2 D) 3E) maior que 3

27. Sendo |x| + x + y = 10 e x + |y| – y = 12, encontre x + y.A) –2 B) 2

C) 185

D) 223

E) 22

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3

28. (ITA/2007) Sobre a equação na variável real x, |||x – 1| –3| –2| =0, podemos armar que:A) ela não admite solução real.B) a soma de todas as suas soluções é 6.C) ela admite apenas soluções positivas.D) a soma de todas as soluções é 4.E) ela admite apenas duas soluções reais.

29. Qual é o produto das raízes da equação:x x x x2 218 30 2 18 45+ + = + + ?

A) 10 B) 20C) 30 D) 40E) NDA

30. Um número primo e positivo é formado por 2 algarismosnão nulos. Se, entre esses algarismos, colocarmos um zero, onúmero cará aumentado em 360 unidades. Dessa forma, asoma desses 2 algarismos pode ser:A) 8 B) 7C) 6 D) 9E) 10

31. (EUA) No sistema de numeração de base 10, o número 526representa 5 10 2 10 62⋅ + ⋅ + . Em Terras Brasilis, entretanto,os números são escritos na base r. Wellington compra umautomóvel lá por 440 unidades monetárias (abreviada poru.m.). Ele dá ao vendedor uma cédula de 1000u.m. e recebede troco 340u.m. A base r é:A) 2 B) 5C) 7 D) 8E) 12

32. (EUA) O número 695 é escrito no sistema de numeração debase fatorial, isto é, 695 = a 1 + a 2 ⋅2! + a 3 ⋅3! + ...+a n ⋅n!,onde a 1, a 2, ..., a n são inteiros tais que 0 ≤ak ≤k, e n! representan ⋅ (n – 1) ⋅ (n – 2) ⋅ ... ⋅2 ⋅1. Encontre a 4.A) 0 B) 1C) 2 D) 3E) 4

33. (EUA) O número 121 b, escrito na base inteira b , é o quadradode um inteiro para:A) b = 10, apenasB) b = 5 e b = 10, apenasC) 2 ≤b ≤10D) b > 2E) Nenhum valor de b

34. Se as igualdades a 3 + b 3 + c3 = a 2 + b 2 + c2 = a + b + c = 1 sãosatisfeitas, então abc =A) 0 B) –1C) 1 D) 26

E) NDA

35. O número de alunos prestando vestibular para o ITA era, emum dado ano, um quadrado perfeito. No ano seguinte, comum acréscimo de 100 participantes, o número de alunospassou a ser um quadrado perfeito mais 1. Um ano depois,com mais um acréscimo de 100 participantes, o númerode alunos passa a ser novamente um quadrado perfeito. Aquantidade inicial de alunos é um múltiplo de:A) 3

B) 7C) 9D) 11E) 17

36. São dados a, b, c ∈ . Sabe-se que a + b + c > 0, bc + ca +ab > 0 e abc > 0. Prove que a > 0, b > 0, c > 0.

37. Sejam a, b, c, d reais tais que a 2 + b 2 = c 2 + d 2 = 1, ac + bd =0. Calcular ab + cd.

38. Se x e y são reais tais que x x y y+ +( ) + +( ) =2 21 1 1, proveque x + y = 0.

39. (ITA/2007) Sendo c um número real a ser determinado,decomponha o polinômio 9x 2 – 63x + c numa diferença dedois cubos (x + a) 3 – (x + b) 3. Neste caso, |a + |b| – c| é igual a:A) 104 B) 114C) 124 D) 134E) 144

40. Para x e y números reais distintos, seja M(x, y) o maiornúmero entre x e y e seja m(x, y) o menor número entre x e y.Se a < b < c < d < e, então M(M(a, m(b, c)), m(d, m(a, e))) =A) a B) bC) c D) d

E) e

41. (EUA)2 6

2 3 5+ + é igual a:

A) 2 3 5+ − B) 4 2 3− −

C) 2 3 6 5+ + − D)2 5 3

2

+ −

E) 3 5 23

+ −

42. (EUA) O número de soluções distintas da equação: |x – | 2x + 1 || = 3 é:

A) 0 B) 1C) 2 D) 3E) 4

43. (EUA) O número de triplas (a, b, c) de inteiros positivos quesatisfazem simultaneamente as equações:

ab + bc = 44 ac + bc = 23, é

A) 0 B) 1C) 2 D) 3E) 4

44. (EUA) Seja S a seguinte sentença: Se a soma dos dígitos donúmero inteiro n é divisível por 6, então n é divisível por 6.”Um valor de n que mostra que S é falsa é:A) 30B) 33C) 40D) 42E) NDA

45. (EUA) Qual dos seguintes números está mais próximo de65 63− ?

A) 0,12B) 0,13C) 0,14D) 0,15E) 0,16

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4

46. Prove que a fração21 4

14 3

n

n

+

+ é irredutível para todo número

natural n .

47. Qual é o produto das raízes da equaçãox x x x2 218 30 2 18 45+ + = + + ?

A) 10 B) 20C) 30 D) 40E) NDA

48. Seja n um inteiro não negativo. O polinômio T n(x) é denido,para –1 ≤x ≤1, por T 0(x) = 1 e Tn(x) = cos n (arccos x), n ≥1.Considere as armações sobre T n(x):I. Seu grau é n;II. Seu coeciente líder é 2 n;III. T4(x) = 8x

4 – 8x 2 +1;IV. A soma de seus coecientes é 1.

Quantas são verdadeiras ?A) 0 B) 1C) 2 D) 3E) 4

49. O número de pares ordenados (x, y) com x, y ∈Z, satisfazendo2x2 – 3xy – 2y 2 = 7 é:A) 0 B) 1C) 2 D) 3E) maior que 3

50. Quantos pares de números reais (a, b) existem taisque a função f(x) = ax + b satisfaz a desigualdade

( ( )) cos ( ) , [ , ]?f x x f x sen x x2 214

0 2− ⋅ < ∀ ∈ π

A) 0 B) 1C) 2 D) 3E) mais que 3

51. Dada a equação x ⋅{x} + x = 2{x} + 10, sendo x a parteinteira de x e {x} a parte fracionária de x (0 ≤ {x} < 1):A) mostra que ( x –1({x} + 1) = 9;B) encontre todas as soluções dessa equação.

52. Analise as sentenças a seguir:I. Existem exatamente 10 números naturais de 4 dígitos que

são cubos perfeitos;II. A soma dos cubos de três números inteiros positivos e

consecutivos é divisível pelo número do meio e por 9;III. O cubo de um número natural ou é múltiplo de 8 ou deixa

resto 1 na divisão por 4;IV. A soma dos qua drados de do is núme ros ímpares

consecutivos é um número par não múltiplo de 4.

Quantas são verdadeiras ?A) 0 B) 1C) 2 D) 3E) 4

53. Seja A = 77 ... 77 um número em que o dígito 7 aparece 1001vezes. Determine o quociente e o resto da dívisão de A por1001.

54. O conjunto solução da inequaçãox

x x x

4

4 3 2

1

3 20

−

− + −< é:

A) (–∞, –1) ∪ (2, ∞)B) (–∞, –1) ∪ (1, 2)C) (–∞, –1) ∪ (0, 2)D) (–∞, –1) ∪ (1, 2)E) (–∞, –1) ∪ (–1, 0)

55. (ITA/2008) Dado o conjunto A x x x x= ∈ +

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64. O crescimento da quantidade de coelhos do professor FabrícioMaia obedece, mês a mês, a sequência de Fibonacci, isto é,ao nal do primeiro mês ele tinha c 1 = 2 coelhos, ao naldo segundo, c 2 = 3 coelhos e, a partir do terceiro mês, paradesespero do professor Fabrício, o número de coelhos ao naldo n-ésimo mês satisfazia c n = cn – 1 + cn – 2 , n ≥3. Se após umano e meio ele tinha 6.765 coelhos e nos dois meses seguintesnasceu um total de 10.946 coelhos, quantos comedores de

cenoura o professor Fabrício possuía ao nal do 20º mês?A) 17.711 B) 10.946C) 6.766 D) 5.473E) n.d.a.

65. (OBM) Qual é a quantidade total de letras de todas as respostasincorretas desta questão?A) quarenta e oito.B) quarenta e nove.C) cinquenta.D) cinquenta e um.E) cinquenta e quatro.

66. Quantos inteiros positivos N de três dígitos existem tais queN e a soma de seus dígitos são divisíveis por 11?A) 0B) 1C) 2D) 3E) mais de 3

67. O valor da soma S = 1 ⋅2 + 2 ⋅3 + 3 ⋅4 + ... + 2008 ⋅2009 é:

A)2008 2009 2010

3

⋅ ⋅ B)2008 2009 2010

6

⋅ ⋅

C)2007 2008 2009

3

⋅ ⋅ D)

2008 2009 2010

6

⋅ ⋅

E) n.d.a.

68. Dada a sequência de equações x 1 + 1 = 1, x 2 + 2 = 4, x 3 + 3 =9, ..., x n + n = n

2, calcule o valor de x 1 + x2 + x3 + ... + x n.

A)n 2 1

3

−

B)n n( )2 1

3

−

C)n 2 1

3

+

D) n n( )2 13

+

E) n.d.a

69. (EUA) Seja N = 2100 2 + 2099 2 – 2098 2 – 2097 2 + 2096 2 + ... + 2004 2 + 2003 2 – 2002 2 – 2001 2, com somas e subtrações alternando-seem pares. O resto de N na divisão por 1000 é:A) 0B) 100C) 200D) 300E) 400

70. Se x12 + 2x6 (1 – 2y 2) + 1 = 0 e x ∈r , então:A) x < 1

B) x≤–2C) y∉r D) x6 – 2x 3y + 1 = 0E) n.d.a.

71. Encontre todos os a reais tais que a 4 + b 4 + 2 aa2b2 ≥ (a + 1)(a3b + ab 3), sempre que a e b são reais.

Sugestão: Mostre que a desigualdade dada é equivalente a(a – b) 2 (a2 + ab – aab + b 2) ≥0.

72. (OBM) O maior inteiro que não supera3 2

3 2

2010 2010

2008 2008

+

+ é

igual a:A) 4 B) 6C) 7 D) 8E) 9

73. Sejam a, b, c, d inteiros distintos tais que a equação (x – a)(x – b) (x – c) (x – d) – 4 = 0 tem uma raiz inteira r. Então,A) 4r = a + b + c + d B) r = a + b + c + dC) a + b + c + d = 0 D) r = 0E) n.d.a.

74. Quantas soluções x, y, z inteiras a equação 3x 2 + y2 + z 2 =2x(y + z) possui?A) 0 B) 1D) 2 C) 3E) mais de 3

75. Sejam x, y, z números naturais. Se x é um número primo ex2 + y2 = z 2, então y é igual a:

A)x 2 1

2

− B)x 2 1

2

+

C) x D) x2 – 1E) x2 + 1

76. Seja p um número primo ímpar dado. Quantos valores de k

inteiro positivo existem tais que k pk2 − é também um inteiro

positivo?A) 0B) 1C) 2D) 3E) mais de 3

77. Para quais valores de a as duas raízes de x 2 – ax + 2 = 0pertencem ao intervalo [0; 3]?

78. Sendo l um parâmetro real, –1 ≤ l ≤1, resolva a inequaçãoquadrática x 2 – l x + 1 < 0.

79. Determine todas as soluções reais da inequaçãox 3 – 2x 2 – 4 x + 3 < 0.

80. Resolva em R o sistema de equaçõesx y zx yyz

+ + == −

=

62

3.

81. São dados os números reais a 1, a 2. Se a desigualdadex2 – (a 1 + a 2) x + a 1 ⋅ a2 > 0 tem como conjunto solução R – { a},a ≠0, então

α

a a1 2+ é igual a:

A) 2 B)1

2

C) 3 D)1

3

E) 1

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82. (EUA) Dena na! para n e a positivos como n a! = n(n – a)(n – 2a)(n – 3a) ... (n – ka), sendo k o maior inteiro para o qual n > ka.

Então o quociente72

18

8

2

!

! é igual a:

A) 45 B) 46C) 48 D) 49E) 412

83. O número de soluções reais distintas da equação x x3 3 7 3+ − =

é igual a:A) 0 B) 1C) 2 D) 3E) 4

84. Se x é um número satisfazendo x x+ − − =9 9 33 3 , então x 2 está entre:A) 55 e 65B) 65 e 75C) 75 e 85D) 85 e 95E) 95 e 105

85. Considere as armações:I. A função f associa a cada real x o menor elemento do

conjunto x x+ −1 152

, . O valor máximo de f(x) é 163

;

II. Existe apenas um valor real de x que satisfaz a inequação

xx

+ ≤1

2;

III. A soma das raízes reais de x 3 + 3x 2 + 3x – 1 = 0 é –3;

IV. Há exatamente 20 valores inteiros de x para os quaisx

x

+

+

99

19

também é um número inteiro.

Quantas são verdadeiras:A) 0 B) 1C) 2 D) 3

E) 486. Considere o polinômio quadrático P(x) = ax 2 – bx + c, abc ≠0,.

Se uma de suas raízes está no intervalo de (–2; –1) e a outrano intervalo (2; 3), analise as seguintes sentenças e marque oitem correto .I. P(0) < 0II. abc < 0

III. P P( )1 1

20⋅ −

>

A) VVV B) VFVC) VFF D) FVVE) FFV

87. Considere a expressão matemática f x xx

( ) =+

2

6 tal que f( a) =

b, {a , b}⊂Z. Indique o número de valores diferentes que a pode assumir.A) 18 B) 20C) 28 D) 36E) 40

88. O valor mínimo da função real e de variável real dada porf(x) = x + 3 + x – 2 + x – 4 é:A) 0 B) 1C) 2 D) 4E) 7

89. Qual é a soma das soluções da equação:x + 3 – x – 2 – x – 1 = 0 ?

A) 6 B) 8C) 10 D) –14E) 0

90. Considere os conjuntos A = {x – 1 ∈ r /x 2 < 1},B = {x∈z / x2 < 1}, C = {x∈z /|x| > x}, então A – (B ∪C) é oconjunto:A)∅ B) (1; 2)C) (–2; 0) – {1} D) (–2; 0) – {–1}E) (–1; 1)

91. Se a soma das soluções inteiras da inequação (x – n) (x – n – 3)(x – n – 6) (x – n – 9) (x – n – 12) (x – n – 15) < 0 é 39, indique

o valor inteiro de n.A) 5 B) 1C) –2 D) –1E) 3

92. Determine a quantidade de pares ordenados de números reaisque vericam a equação 5x 2 – 2xy + 2y 2 – 2x – 2y + 1 = 0.A) 0 B) 1C) 2 D) 3E) mais de 3

93. (China-Adaptado) Seja n um número inteiro positivo e d(n),a quantidade de divisores positivos de n. Encontre todosos inteiros c não negativos tais que existe n satisfazendod(n) + j (n) = n + c, sendo j a função de Euler.

94. (IME/2010) Sejam r, s, t e v números inteiros positivos tais quers

t

v< . Considere as seguintes relações:

I. r ss

t v

v

+( )<

+( )

II.r

r s

t

t v+( ) <

+( )

III. rs

r t

s v<

+( )+( )

IV. r ts

r t

v

+( )<

+( )

O número total de relações que estão corretas é:A) 0 B) 1C) 2 D) 3E) 4

Gabarito – Exercícios de FixaçãoRevisão de Álgebra

01 02 03 04 05 06

* * * * * *

07 08 09 10 11

* * * * *

* 01: a = b = c = 0; a = 1, b = –2, c = 0; a = 1, b = c = –1 02: f(x) = x + 1

03: 1 5

2

+

04: a) 72,2 b) 3 05: x∈ , x ≠6k + 1 06: 1456

07: 1

1

1 1

2101−

−

a

a

08: 84 09: 153846 10: I. 2k–2 ⋅5k, k ≥2 11: (–∞, 0] ∪{1}

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TC – MATEMÁTICA

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* 01: Demonstração 02: Demonstração 03: 2 ou –1 08: {0, 7, 9, 25, 27, 34} 11: a = b = 1 13: Demonstração 14: 2007 17: Demonstração 18: Demonstração 19: y = x(x + 3) + 1 23: Demonstração 24: Demonstração 36: Demonstração 38: Demonstração 46:

51: B) 6, 8; 7, 5;58

7; 9, 125; 10

53: q = 777 ⋅A ⋅ 10 5 ⋅ 77, sendo A = 1000001000001...1 (com166 1’s) e r = 700

55: ( ; ) ; ( , )−∞ − ∪ − −

∪ + ∞1 1 2

32

Gabarito – Exercícios Propostos01 02 03 04 05 06 07

– – * C D A C

08 09 10 11 12 13 14

* E E * A – *

15 16 17 18 19 20 21

A B – – * D E

22 23 24 25 26 27 28

B – – C C C D

29 30 31 32 33 34 35

B B D D D A B

36 37 38 39 40 41 42

– 0 – B B A C

43 44 45 46 47 48 49

C B B – B E C

50 51 52 53 54 55 56

A * C * A * C

78 79 80 81 82 83 84∅ * * B D E C

64 65 66 67 68 69 70

A D B A B B A

92 93 94

B * D

57 58 59 60 61 62 63

E B D * * B C

85 86 87 88 89 90 91D E A E A D B

71 72 73 74 75 76 77

* D A B A B *

60: Não 61: np

k− 1, p primo

71: –3 ≤ a ≤177: 2 2

11

3≤ ≤a

79: − −

∪

−

3

1 5

2

5 1

23, ,

80: {(2, –1, –3), (–2, –1, –3)} 93: c = 0 ou 1

Anotações

FM – 13/02/10Rev.: MA

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