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MATEMÁTICA I – RAPHAEL LIMA 2018

3O ANO EM

Matemática I

Lista 1 1. (Enem PPL 2012) O Museu do Louvre, localizado em Paris, na França, é um dos museus mais visitados do mundo. Uma de suas atrações é a Pirâmide de Vidro, construída no final da década de 1980. A seguir tem-se, na Figura 1, uma foto da Pirâmide de Vidro do Louvre e, na Figura 2, uma pirâmide reta de base quadrada que a ilustra.

Considere os pontos A, B, C, D como na Figura 2. Suponha que alguns reparos devem ser efetuados na pirâmide. Para isso, uma pessoa fará o seguinte deslocamento: 1) partir do ponto A e ir até o ponto B. deslocando-se pela aresta AB; 2) ir de B até C, deslocando- se pela aresta que contém esses dois pontos; 3) ir de C até D, pelo caminho de menor comprimento; 4) deslocar se de D até B pela aresta que contém esses dois pontos. A projeção do trajeto da pessoa no plano da base da pirâmide é melhor representada por

a)

b)

c)

d)

e)

RAPHAEL LIMA

MATEMÁTICA I – RAPHAEL LIMA - 2015

2. (Enem 2ª aplicação 2016) Um grupo de escoteiros mirins, numa atividade no parque da cidade onde moram, montou uma barraca conforme a foto da Figura 1. A Figura 2 mostra o esquema da estrutura dessa barraca, em forma de um prisma reto, em que foram usadas hastes metálicas.

Após a armação das hastes, um dos escoteiros observou um inseto deslocar-se sobre elas, partindo

do vértice A em direção ao vértice B, deste em direção ao vértice E e, finalmente, fez o trajeto do

vértice E ao C. Considere que todos esses deslocamentos foram feitos pelo caminho de menor

distância entre os pontos.

A projeção do deslocamento do inseto no plano que contém a base ABCD é dada por

a)

b)

c)

d)

e)


3. (Enem 2016) A figura representa o globo terrestre e nela estão marcados os pontos A, B e C. Os

pontos A e B estão localizados sobre um mesmo paralelo, e os pontos B e C, sobre um mesmo

meridiano. É traçado um caminho do ponto A até C, pela superfície do globo, passando por B, de

forma que o trecho de A até B se dê sobre o paralelo que passa por A e B e, o trecho de B até C

se dê sobre o meridiano que passa por B e C.

Considere que o plano α é paralelo à linha do equador na figura.

A projeção ortogonal, no plano ,α do caminho traçado no globo pode ser representada por

a)

b)

c)

d)

e)


4. (Enem 2014) O acesso entre os dois andares de uma casa é feito através de uma escada circular

(escada caracol), representada na figura. Os cinco pontos A, B, C, D, E sobre o corrimão estão

igualmente espaçados, e os pontos P, A e E estão em uma mesma reta. Nessa escada, uma pessoa

caminha deslizando a mão sobre o corrimão do ponto A até o ponto D.

A figura que melhor representa a projeção ortogonal, sobre o piso da casa (plano), do caminho percorrido pela mão dessa pessoa é:

a)

b)

c)

d)

e) 5. (Enem 2013) Gangorra é um brinquedo que consiste de uma tábua longa e estreita equilibrada e fixada no seu ponto central (pivô). Nesse brinquedo, duas pessoas sentam-se nas extremidades e, alternadamente, impulsionam-se para cima, fazendo descer a extremidade oposta, realizando, assim, o movimento da gangorra. Considere a gangorra representada na figura, em que os pontos A e B são equidistantes do pivô:

A projeção ortogonal da trajetória dos pontos A e B, sobre o plano do chão da gangorra, quando esta se encontra em movimento, é:


a)

b)

c)

d)

e) 6. (G1 - epcar (Cpcar) 2018) Com a intenção de padronizar as barracas dos vendedores ambulantes, a prefeitura da cidade de Eulerópolis solicitou a uma empresa especializada no ramo que fizesse um orçamento do material a ser empregado e do custo para finalização das barracas. Segue um esboço do que foi apresentado pela empresa:

O ponto O é a projeção ortogonal do ponto V sobre a base hexagonal regular da barraca.

Considere: 7 2,6 e 2 1,4.

No modelo apresentado, a parte hachurada indica onde existe tecido, ou seja, no telhado e na parte de

baixo da lateral, ao custo de R$ 2,00 o metro quadrado.

Além disso, em cada aresta está uma barra de alumínio ao custo de R$ 4,00 o metro linear.

Se a empresa cobra uma taxa de mão de obra equivalente a 30% do custo de todo o material gasto,

então é correto afirmar que o custo total de uma barraca padrão, em reais, é um número compreendido entre

a) 390 e 400 b) 401 e 410 c) 411 e 420 d) 421 e 430


7. (Ufu 2017) Um designer de jogos virtuais está simulando alguns deslocamentos associados com

uma pirâmide quadrangular regular, em que o lado do quadrado da base mede 40 cm.

Ele simula a trajetória de um lagarto pelas faces da pirâmide. Inicialmente o lagarto desloca-se de A

até E e, posteriormente, de E até F, em que F é o ponto médio de CD. Cada um desses dois trechos

da trajetória ocorre em linha reta.

A projeção perpendicular dessa trajetória em ABCD, presente no plano da base da pirâmide, descreve

uma curva R, a qual é a união de dois segmentos.

Nessas condições, o comprimento de R, em cm, é igual a

a) 20 2

b) 40 2

c) 40(1 2)

d) 20(1 2)

8. (Ime 2015) Em um prisma oblíquo ABCDEFA 'B'C'D'E'F', cuja base ABCDEF é um hexágono

regular de lado a, a face lateral EFF'E' está inclinada 45 em relação à base, e a projeção ortogonal

da aresta F'E' sobre a base ABCDEF coincide com a aresta BC. O volume do prisma é:

a) 33 3

a2

b) 39a

4

c) 35 3

a3

d) 39a

2

e) 35a

2


9. (Enem 2012) João propôs um desafio a Bruno, seu colega de classe: ele iria descrever um deslocamento pela pirâmide a seguir e Bruno deveria desenhar a projeção desse deslocamento no plano da base da pirâmide.

O deslocamento descrito por João foi: mova-se pela pirâmide, sempre em linha reta, do ponto A ao ponto E, a seguir do ponto E ao ponto M, e depois de M a C. O desenho que Bruno deve fazer é

a)

b)

c)

d)

e)


10. (Enem 2017) A famosa Torre de Pisa, localizada na Itália, assim como muitos outros prédios, por motivos adversos, sofrem inclinações durante ou após suas construções.

Um prédio, quando construído, dispunha-se verticalmente e tinha 60 metros de altura. Ele sofreu uma

inclinação de um ângulo ,α e a projeção ortogonal de sua fachada lateral sobre o solo tem largura

medindo 1,80 metro, conforme mostra a figura.

O valor do ângulo de inclinação pode ser determinado fazendo-se o uso de uma tabela como a apresentada.

Ângulo α

(Grau) Seno

0,0 0,0

1,0 0,017

1,5 0,026

1,8 0,031

2,0 0,034

3,0 0,052

Uma estimativa para o ângulo de inclinação ,α quando dado em grau, é tal que

a) 0 1,0α

b) 1,0 1,5α

c) 1,5 1,8α

d) 1,8 2,0α

e) 2,0 3,0α


GABARITO Resposta da questão 1:

[C]

A figura abaixo mostra a projeção do caminho feito sobre a pirâmide no plano de sua base.

Portanto, alternativa [C] está correta.

Resposta da questão 2:

[E]

Sabendo que o caminho de comprimento mínimo corresponde à linha poligonal ABEC, e que a face EBC é

perpendicular ao plano ABCD, podemos concluir que a resposta é a figura apresentada na alternativa [E].


[E]

Desde que o arco »AB pertence a um plano paralelo a ,α sua projeção ortogonal sobre α também é um arco.

Ademais, como B e C não são simétricos em relação ao plano que contém o equador e o arco »BC pertence a

um plano perpendicular a ,α sua projeção ortogonal sobre α é um segmento de reta. Em consequência, a

melhor representação é a da alternativa [E]. Resposta da questão 4:

[C]

A projeção ortogonal sobre o piso da casa, do caminho percorrido pela mão da pessoa, do ponto A até o ponto

E, corresponde a uma circunferência. Logo, do ponto A ao ponto D, temos aproximadamente 3

4 de uma

circunferência, o que corresponde à figura da alternativa [C]. Resposta da questão 5:

[B]

Considere a figura.


De acordo com a figura, segue que a projeção ortogonal da trajetória dos pontos A e B, sobre o plano do chão

da gangorra, corresponde aos segmentos AC e B'D.


[B]

Calculando:

2lateral

22 2

2telhado

área lateral debaixo S 6 2 1 12 m

Triângulo VMO':

h 3 2 h 7

2 7área do telhado S 6 6 7 15,6 m

2

arestas 6 2 6 1 6 2 6 1 6 2 6 2 2 48 12 2 52,8 m

Custo (12 15,6) 2 64,8 4 1,3 408,72 reais


[D]

Do enunciado e da figura, temos:


G é ponto de encontro das diagonais do quadrado ABCD, pois EABCD é uma pirâmide quadrangular regular.

O comprimento de R é dado por AG GF, pois AG é a projeção perpendicular de AE sobre ABCD e GF é

a projeção perpendicular de EF sobre ABCD.

Note que 1

AG AC2

e 1

GF AD.2

No triângulo ACD,

2 2 2

2 2

2 2

AC 40 40

2AG 2 40

4 AG 2 40

Como AG 0,

2 24 AG 2 40

2AG 40 2

AG 20 2 cm

Como AD 40 cm,

1GF 40

2

GF 20 cm

Assim,

AG GF 20 2 20 cm

AG GF 20 1 2 cm


[D]


Calculando , inicialmente, a medida HM :

a 32 a

2H x 3M

No triângulo MHN, temos:

h htg45 1 h a 3

a 3 a 3

.

Portanto o volume será dado por:

23a 3 9

V 6 a 3 a4 2


[C]

Supondo que a pirâmide é regular, temos que a projeção ortogonal do deslocamento no plano da base da

pirâmide está corretamente descrita na figura da alternativa [C]. Resposta da questão 10:

[C]

Segue de imediato que

1,8sen sen 0,03.

60α α

Portanto, de acordo com as informações da tabela, podemos afirmar que [1,5;1,8[.α

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