Domingo a tarde, meu filho de 10 anos e eu fomos a umalanchonete tomar sorvete. Mal entramos, ele quis tambem umhamburguer, uma porC;ao de batatas fritas e um refrigerante.

Entao eu disse:- Se voce descobrir quanta custam os tres eu compro.Ele ficou olhando para a tabela de prec;os, tentando encon-

trar mentalmente a resposta. Depois de bastantetempo, ele arriscou:

- Sao 146 cruzados.

Contei-Ihe que errara 0 calculo, mas e claro que Ihe dei asegunda chance. Dessa vez, ele pegou um guardanapo e umlapis e fez a conta corretamente.

Fiquei pensando: quantos fregueses da lanchoneteprecisariam de papel e lapis para fazer a conta ?

Quando 0 garc;on veio trazer 0 lanche, perguntei qual era 0prec;o e 0 moc;o respondeu rapidamente:

- Sao 156 cruzados.

Pedi-Ihe que me contasse como fizera 0 calculo. Eleprecisava somar 75, com 48, com 33. Explicou que efetuaraprimeiro 70 -1- 30 -1- 40; em seguida, 5 -1- 8 -1- 3= 16;e finalmente140 -1- 16= 156.

Por que 0 garc;on teve tanta facilidade para fazer 0 calculoe, meu filho, tanta. dificuldade?

Pouca gentefaz conta de cabe«;a

A habilidade no calculo mentalvaria de pessoa para pessoa, mesmoentre adultos. No entanto, a maiorianao se sai melhor do que 0 garoto de10 anos de nossa hist6ria. Poucaspessoas calculam bem e talvez ape-nas quem utiliza esse calculo em seutrabalho diario (como gan;;ons, en-graxates, caixas de pad arias, bichei-ros, feirantes, camelos etc.) tenhambom desempenho. Entre nossos alu-nos, alguns precisam de papel e la-pis ate para calcular 400 + 700! Issochega a ser desenconrajador.

Uma das dificuldades das pes-soas, ao tentarem calcular mental-mente, e que procuram visualizar 0calculo exatamente como ele e escri-to no papel. Por exemplo, na adic;;ao,muitos tentam utilizar 0 recurso quechamamos "vai um" e, fazendo isso,apenas complicam 0 calculo. Por ou-tro lado, e natural que as pessoasbusquem esse recurso porque a es-cola nao ensina nada alem disso emrelac;;ao a tecnica de adic;;ao.A escolacostuma desenvolver, para todas asoperac;;oes, processos de calculo deum s6 tipo, mais adequados para se-rem efetuados no papel.

Entretanto, para efetuar adic;;oes,ha varios processos interessantes ealguns deles sac muito vantajosospara 0 calculo mental. Vamos verexemplos.

SITUACAO 1Adic;io de dlgitos (algarlsmos)

~'f' 8=/\,.~?~f_-

= I~~f::

15A parce/a maior (8) e decompostade maneira a se obter um numeroigual ao da outra parcela. Em se-guida, somam-se os iguais.

7'18::/\

:=. 7+ 31'5 =\/

::IOt'S::\/'5

Decompoe-se uma das parcelasde modo a obter uma soma parcialigual a to. Adi90es com parcela 10sac mais faceis.

3° exemplo

5" 3 -I- 6~ I- ~ 5 •(jj3~~~&

=J~ t().,,(/)=\ /

.: .I ~ ~(J •'- /2~Neste caso, a adi9ao ap6ia-se naparcela to e em uma associa9aOconveniente das parcelas.

SITUACAO 2 - Adlf;:iio de numeros comdols ou tris digltos.

1° exemplo

1~D~=~(J".J.

= NJO~-NJ.,I/ ="-..,.r/••As parcelas sac decompostas emunidades, dezenas, centenas e asparcelas obtidas sac associadasconvenientemente.2° exemplo

2:3'1.39

'I) 23~40 = 63IJ)63 - 1=6210f'D 23'1.19 = 62

102"1'660 ~

0.) 152 '" TOO = 8526) 852- 20 :832/09" 15b68t7=832

Aqui, pensa-se em dezenas ou cente-nas completas e, depois, subtrai-se 0excesso. Por exemplo, em vez de so-mar 680, soma-se 700 e subtrai-se 20do resultado.

Vale a pena calcular mental-mente?

Estamos na era das calculadoraseletronicas. Lembremos, por exem-plo, a epoca do Plano Cruzado. Ha-via uma certa tabela de deflac;;ao e,para utiliza-Ia, era precise efetuarcalculos como 13775,25 ~1,0017.Nesses casos, ninguem efetuava taiscalculos, nem mentalmente, nem porescrito. Todos recorriam as calcula-

doras. Afinal, se a calculadora e rapi-da e praticamente infalfvel, qual 0sentido de retornar a metodos anti-gos, cansativos e falfveis?

Realmente, esses "metodos an-tigos" vam caindo em desuso, naos6 na vida pratica. Tambem nas es-colas, os alunos ja nao efetuam maiscalculos como antigamente; profes-sores e livros didaticos contentam-secom calculos bem mais simples queos de 50 anos atras. Ao mesmo tem-po ,os metodos de ensino modernospreferem desenvolver 0 raciocl-nio e a compreensao e, por isso,naoenfatizam procedimentos mecani-cos, como as contas.

No entanto, 0 calculo eletronicoaliado ao menor contato com 0 cal-culo escrito vem fazendo as pessoasperderem a familiaridade com os nu-meros. Elas nao mais conseguem fa-zer estimativas e encontram dificul-dades para solucionar diversas pe-quenas questoes do dia a dia. Porexemplo, questoes como estas:

- Sera melhor pagar de uma vezs6 com 10% de desconto ou em duasvezes sem desconto? - Sera quepassei 0 limite do cheque especial?- Terei dinheiro suficiente no finaldo mas?

Nessas questoes, que geralmen-te nao exigem respostas exatas, maspedem decisoes imediatas, 0 calculomental aparece como recurso privi-legiado, que pode auxiliar muitagente.

Alem disso, nos dias atuais, osnumeros sac uma presenc;;a constan-te em todos os meios de comunica-c;;ao. Somos bombardeados comuma grande quantidade de informa-c;;oes numericas: inflac;;ao, reajustesde prec;;os e salarios, lucros e prejur-zos de empresas, a divida extern a dopars, e mil outros aspectos da vidamoderna, todos aposentados nume-ricamente. No mundo atual e impor-tante ter familiaridade com os nume-ros, 0 que significa ter desembarac;;opara operar com eles. 0 calculomental promove esse desembarac;;o.Po risso, ele deve ganhar forc;;a en-quanta 0 calculo escrito perdestatus.

o clliculo mental no ensino

A importancia do calculo mentalnao se limita a sua utilidade no dia adia. Ele pode dar notavel contribui-c;;ao a aprendizagem de conceitosmatematicos, ao desenvolvimentodo raciocinio e a formac;;ao emocio-nal do aluno.

Primeiro, vejamos algumas con-tribuic;;oes do Calculo Mental para aaprendizagem da Matematica.

Quando um aluno de 5a serie efe-tua 325 + 123, decompondo os nu-meros e somando as ordens iguais(325 + 123 = 300 + 20 + 5 + 100 + 20+ 3 = 400 + 40 + 8 = 448), ele utilizao principio aditivo e 0 principio dovalor posicional da escrita dos nu-meros. Ele avanc;:a,portanto, na com-preensao de nosso sistema de nume-rac;:ao.

Nesse mesmo calculo, ele utilizaas propriedades associativa e comu-tativa da adic;:ao. Assim, ele pode vi-venciar as propriedades operatoriase tera mais facilidade em aplica-Iasposteriormente (no calculo literal,por exemplo).

Veja outro exemplo: 0 aluno po-de efetuar 250 + 395 efetuando pri-meiro 250 + 400 e depois subtraindo5 do resultado (250 + 395= 250 + 400- 5 = 650 - 5 = 645). Aqui ele utilizauma propriedade de compensac;:aoda sUbtrac;:ao (se a + b = c entao a +b - x = c - x) que mais tarde serabastante util na resoluc;:ao de equa-c;:oes.

Progredindo no calculo mental,o aluno amplia suas condic;:oes paraperceber rapidamente fatos matema-ticos diversos, como igualdade entrefrac;:oes (3/5 = 36/60), relac;:oes deproporcionalidade (3 esta para 7 as-sim como 45 esta para 105), soluc;:oesde equac;:oes (2 e soluc;:ao de x' - 5x +6 = 0 porque 2' - 5.2 + 6 resulta 0)etc.

Em consequencia, ele precisarade menor esforc;:o para cxecutar suastarefas em Matematica. Por exemplo,muitos alunos, mesmo sabendo quea' - b' = (a + b). (a - b), nao conse-guem fatorar x' - 121, apenas porquenao percebem que 121 e 0 mesmoque 11', 0 que revela uma fraca per-cepc;:ao numerica. Ao contrario, 0aluno com melhor percepc;:ao tendea um melhor desempenho nesta tare-fa e em muitas outras do cotidianoda sala de aula.

Pensemos agora no desenvolvi-mento do raciocinio do aluno.

o calculo mental promove 0 ra-ciocinio, mas somente quando am-parado por uma atitude adequada doprofessor. Este deve, em certos mo-mentos, apresentar e treinar algunsmetod os de calculo. Mas deve, tam-bem, cuidar de outros aspectos im-portantes. Por exemplo, e precise in-vestigar os metodos de calculos queos alunos ja possuem, estimular adescric;:ao dos processos utilizadospara efetuar certos calculos, levarem conta opinioes e sugestoes dosalunos em cada tipo de calculo. Emsuma, a atitude adequada do profes-

sor consiste em favorecer a troca deideias e a autonomia, contribuindoassim para os alunos descobriremou inventarem processos pessoaisde calculos. Isto e importante porquesac os instantes de descoberta e detroca de ideias que promovem 0 ra-ciocinio dos alunos.

Finalmente, em relac;:ao aos as-pectos emocionais, pode-se notarque 0 progresso nocalculo mental eacompanhado de atitudes mais posi-tivas do aluno frente a Matematica eao estudo em geral.

Enfrentar e vencer desafios au-menta a autoconfianc;:a das pessoas.E quando ocorre a invenc;:ao de umnovo processo de calculo (novo, aomenos para aquela turma) pareceque todos repartem a sensac;:ao deque a Matematica nao e inatingivel.Cada aluno comec;:a a sentir-se capazde criar, nesse dominio. Alem de tu-do isso, e perceptive I 0 aumento dacapacidade do aluno de concentrar-se e estar atento nas aulas, em de-correncia da pratica continuada docalculo mental.

Todo este conjunto de ideiasnos leva a concluir que 0 calculomental esta em perfeito acordo comas modernas concepc;:oes de ensino,que favorecem 0 raciocinio e a com-preensao, propondo uma aprendiza-gem resultante da ac;:ao do proprioaluno. Podemos perceber ainda aimportancia do calculo mental comorecurso pedagogico para a aprendi-zagem da Matematica.

Mais proc8ss0S de ca'culosUma piscina tem 16metros de com-primento. Quantas piscinas precisonadar para completar 500 metros?

o problema parece artificial,mas nao e. Algumas criam;as esta-vam realmente interessadas nele,pois nadavam em um clube que tinhauma piscina de 16 metros e queriamver se conseguiam nadar 500 metros.

Interessante foi a solu9ao (men-tal) apresentada pelo avo das crian-9as. Para resolver 0 problema eraprecise efetuar a divisao 500: 16. Eisa solu9ao do velho senhor:2 x 16 = 32 (duas piscinas e pouco!)3 x 16 = 48 j entao, 30 x 16 = 480

(esta perto de trinta piscinas)480 -i- 16 = 496 (trinta e uma

piscinas e faltam 4 metros);4 e 1/4 de 16;logo, e precise nadar 31 piscinas

mais 1/4 de piscina. (Em outras pala-vras, 16 cabe 311/4 vezes em 500; ou500:16 = 31 1/4.)

Um raciocinio belo e complexo,

envolvendo diversos recursos deCalculo Mental. Ao mesmo tempo,ele mostra que esse calculo nao serestringe aos exemplos que demospara a adi9ao. Vamos ver alguns dosprocessos mais importantes para asoutras operac6es.

SUbtac;oes Mentais

1° exemplo

72-.35 =:: ~2 -Jo'::s:::V-5::

:038

o subtraendo e decomposto em de-zenas e unidades. A subtra9ao e feitapor etapas. E mais facil subtrair de-zenas completas. Por exemplo, emais facil fazer 72 - 30 do que 72 -35.2° exemplo

3a?-12i':0 JJC~27MM 'JG), FA~T-/M.3;.6) A! '.kJ M,,9;f 2t:'t:J, FA~T;fh11(J;

o} N 2(X)iPAMXIO,~~LrAIfI1'a'.1,d) .:J -/ ?O,.'00 ::'703 ' I

~~O, 300 - '2~.:".3 __.JAqui, a subtra9ao e convertida emadi9ao. Utiliza-se a ideia de "quandofalta ". Por exemplo, quanta falta pa-ra ter dezenas completas (ou seja,quanto falta de 127 para 130); etc.

MUltlplicac;oes Mentals

1° exemplo

5,- f,3:

=5x (IOf.3)

t:JI)SKIO:.50

~).sx.3.: ~~/f)fD, &1,3 :.5(NI$:&S

Um dos fatores e decomposto emdezenas e unidades (ou centenas,dezenas e unidades etc). Utiliza-se apropriedade distributiva da multipli-cacao em relacao a adi9ao.

2° exemplo

fJ5x4:

= 1.;s.c'2~Z:2;0,. 2:S40

Um dos fatores e decomposto emdois outros fatores mais simples. Porexemplo, multiplicar por 4 e mUltipli-

car par 2 e par 2; multiplicar par 15 emultiplicar par 3 e par 5 etc.

3° exemplo

.30;( 15

CDI/IIO .3 J{ f5s 45

G.Nr-to 30x15= 4.50

o resultado e encontrado a partir doresultado de uma multiplicaC;{l0 maissimples.

4° exemplo

qyfl-a) ItUn:r fl0

~) 1?e'-'7': f5J

De novo a resultado e encontradoapoiando-se em outra multiplicac;aomais simples. Neste caso. a racioci-nio e mais sutil que 0 anterior

Divisoes Mentais

1° exemplo

624+.3 =/ '-= (600-1'24) -i-3

a) 6<X)+.J= 2tXJ

6) 2~ f4#B/~, 62t1i-J:2tXu8:208

o dividendo e decomposto em par-celas. Tambem aqui utilizamos a pro-priedade distributiva.

2° exemplo

.150-':-25

Q) 4",2,:: 'e>O4> 8Jr25 = 200e) ,zK2S ~ kJtt1tI)2 r~S. .so

6/ffAO, .3.50~25= f~

A divisao e efetuada utilizando muiti-plicac;6es. E preciso operar com ten-tativas.

Se dedicarmos um pouquinhode tempo de cada aula ao calculomental e trabalharmos 0 assunto aolongo do ana letivo, nossos alunosserao capazes de progressos nota-veis. No entanto, 0 sucesso dos alu-nos dependera bastante de nossasatitudes, como ja observamos umavez. Avaliar cuidadosamente os de-safios adequados a c1asse, ouvir eestimular a participaCao dos alunos,sac requisitos fundamentais. S6 as-sim 0 calculo mental deixa de seruma simples tecnica para se conver-

ter em um instrumento que desen-volve 0 raciocfnio dos alunos.

E importante termos paciencia.Devemos saber esperar os resulta-dos do trabalho e, a cada momento,saber esperar a res posta dos alunosExigir rapidez apenas serve para de-sencoraja-Ios.

Finalmente, 0 trabalho com cal-culo mental exige organizaCao. Quetipo de calculo apresentar primeiro?Quais problemas devem ser propos-tos para permitir ao aluno descobrirrecursos de calculo? Em que mo-mento das aulas inserir 0 calculomental?

Com 0 tempo 0 professor vai ob-tendo respostas a essas quest6es econsegue preparar urn roteiro de ati-vidades para desenvolver 0 calculomental.

E certo que neste ponto podemsurgir dificuldades: nao costuma sersimples elaborar um roteiro de ativi-dades de calculo mental. Por isso,vamos encerrar 0 artigo, oferecendoalguma contribuiCao para esse ro-teiro

Ideias para um roteirode calculo mental

1" e 2" series

As series iniciais constituem umestagio preparat6rio para 0 desen-volvimento do calculo mental. Nes-sas series, grande parte do conteudoja envolve numeros e raciocfnio nu-merico Vamos dar atencao apenas aalgumas atividades que contribuemmais diretamente para 0 calculomental.

Usando os dedos

Calculos como 3 + 4, 8 - 5 etcenvolvendo numeros ate 10, podemser explorados oral mente Os dedosdas maos sao um born recurso paraconcretizar essas contas: somar sig-nifica juntar dedos: subtrair significati rar dedos.

Compondo os numeros

E importante que a crianca per-ceba as varias formas de compor adi-tivamente os numeros. Uma ativida-de interessante com essa finalidadee lancar moedas. Por exemplo, 6moedas sac lancadas, resultando 2caras e 2 coroas; anotamos entao: 2+ 4 =6. Novo lancamento das moe-das resulta em outra adiCao, diga-mos 5 + 1 =6 Ap6s alguns lan<;a-mentos. pedimos que as criancas en-contrem, ja sem utilizar as moedas.

todas as adic6es de duas parcel ascom resultado

Depois deve-se repetir a ativi-dade com outros numeros.

Existem muitas outras ativida-des com 0 mesmo objetivo. Uma de-las consiste em pedir a crianca quemostre uma quantidade usando doismateriais diferentes. Por exem plo,veja uma das maneiras de mostrar aquantidade 8 usando moedas e tam-pinhas de garrafas'

@)(j(i0~~@~Mais tarde, podem ser propostos

diversos exercicios como estesa) Complete. sempre com numerosdiferentes.·

-i- = 11..... -i- = 11..... -i- = 11b) Complete.5 -i- = 127 -i- . = 106 -i- . = 11o exercicio (b), tambem pode serproposto oral mente

Alguns jogos contribuem muitopara 0 raciocfnio numerico. Domin6,baralho etc. podem ser usados paraesse fim. Um jogo muito simples querecomendamos e uma "corrida", so-bre uma pista desenhada na lousa. Acrianca (ou a equipe) lanca um dado(ou sorteia um numero) e avanca napista a quantidade de casas sor-teadas.

Depois. esta ideia pode ser ex-plorada em exercicios envolvend 0u ma representacao mais abstrata.Veja exemplos:

y-, I I I I I I I I Io 2 3 4 5 tJ 7 8 <1'0

ft-, , I I I I I I I I I" (2 (J f4 (4 (6 (1 (8'" 202'

Onde vai cair a flecha ?Em breve a crianca estara so-

mando com a ideia de .'contar para afrente". Ou seja. Ela efetua 16 + 7contando 7 numeros alem de 16, nasequencia dos numeros (17, 18. 19,20, 21, 22. 23).

Material base dez

No trabalho com numeros maio-res que 10, 0 chamado "material ba-se dez" e um recurso valioso. Essematerial po de ser confeccionado emcartolina, de acordo com 0 modeloseguinte.

unidadeum quadrado de lade 2 cm 0

dezenaum retangulo delados 2 cm e 20 cmcom divis6es indicando10 unidades

centenaum quadradode lado 20 cmcom divis6esindicandoas dezenas.

Primeiro, as crian<;;as devem re-presentar numeros com 0 material;depois, essa representa<;;ao pode serfeita no caderno, usando desenhossimplificados. Por exemplo:

Esse material favorece a com-preensao de nosso sistema de nume-ra<;;aoe, em consequencia, de diver-sos processos de calculo mental ouescrito.

SeqOencias

Um primeiro usa do material ba-se dez, no ensino do calculo mental,aparece em exercicios de "continuarsequencias". Por exemplo, arruma-mos 0 material no chao da sala eexplicamos as crian<;;as que ha umacerta organiza<;;ao nesse "trem":

0000 00

000000

A pergunta e como devemoscontinuar essa arruma<;;ao?

No exemplo acima, a continua-<;;aoe 0000

0000

00000aOODO

Coloque nos circulos os nume-ros corretos:

No final da 2' serie, esta ideia dedecomposi<;;ao e composi<;;ao podeser aproveitada em subtra<;;6es orais,orientadas pelo professor. Por exem-plo, efetua-se 25 - 13 por partes: pri-meiro, 25 - 10 = 15 e depois 15 - 3 =12.

As propriedades operat6rias cer-tamente auxiliam 0 calculo mental. 0professor deve real<;;a-Ias de maneirainformal. Uma possibilidade e proporexercicios como este:

4+5+6+5+10

Obtida a resposta, deve-se con-versar com a classe sobre como foiefetuado 0 calculo. Se necessario, 0

professor sugere que ele pode setornar mais facil somando as parce-las em uma outra ordem. Porexemplo:

= fa.,. 10 ::-

20

E util discutir varias situa<;;6es domesmo tipo.

38 e 48 seriesA partir da 3' sene, e razoavel

reservar tempo exclusivo para ses-s6es de calculo mental, durante todoo ana letivo. Vamos relacionar osrecursos mais importantes de calcu-10 mental, que poderao ser 0 tema deuma ou mais dessas sess6es.

Adic;oes e sUbtrac;oesde numeros menores que 10

o professor prop6e que se cal-culem mental mente express6esco m 0 : 5 -i- 7 -i- 3 -i- 8

au9 - 6 -i- 2 - 4

pois a sequencia aumenta de doisem dois. Quando a crian<;;a percebe aorganiza<;;ao do material base dez,ela pode substitui,r

~gg~gpo'lDiversos exerCICIOS de sequen-

cias podem ser propostos com 0 ma-terial e, mais tarde, de forma pura-mente numerica:

Continue:o 2 4 6 .....

(sequencia de "2 a mais")3 5 7 .

(outra sequencia de "2 a mais")11 21 31 41 .

(sequencia de "10 a mais")

26 21 1611 .(sequencia de "5 a menos")

A est a altura, pode-se estimulara contagem de objetos concretos, dedois em dois ou tres em tres etc. Porexemplo, e natural contar os dedosde todas as crian<;;as da classe decinco em cinco.

Tambem e util recitar de formarftmica sequencias como:zero, dois, quatro, ate vinte;cinco, dez, quinze, ate cinquenta.

Estas atividades favorecem 0calculo de multiplica<;;6es, entre ou-tras coisas.M uItiplicac;oes

Em uma primeira abordagem amUltiplica<;;ao deve ser tratada comouma adi<;;ao de parcelas iguais. As-sim, a crian<;;a efetua 3 x 5 calculan-do (mentalmente ou nao) 5 + 5 + 5.

Nas series iniciais nao e conve·niente decorar tabuadas. Ao contra-rio, a crian<;;a deve ter oportunidadesparadescobrir fatos damultiplica<;;ao.Por exemplo, 0 professor pode pro-por oralmente pequenos problemascomo este:

- Voce ja sabe que 5 x 8 e 40.Entaa, quanta e 6 x 8?

Aqui, pretende-se que a crian<;;aperceba que 6 x 8 inclui "um 8 amais" que 5 x 8.

Para subtrair commaior eficiencia

Eis alguns exercicios que levama crian<;;a a perceber a composi<;;aode numeros de outra maneira:

Nesta atividade e convenienteconversar com os alunos como ja foisugerido na ultima atividade propos-ta para l' e 2" serie. a objetivo e faze-los perceberem a possibilidade deutilizar propriedades operat6rias quefacilitem 0 calculo.

Adic;oes e sUbtrac;oesde numeros maiores que 10

Inicialmente deve-se propor al-gumas adi90es para 0 aluno efetuarcom 0 material base dez (ou comdesenhos do material).

Estando claro para 0 aluno queele soma separadamente dezenas eunidades podemos propor calcu-los mentais como:

a) 34 + 13o aluno efetua

(30 + 10) + (4 + 3) = 40 + 7 = 47

b) 34 - 13o aluno efetua'

Mals tarde, podemos sugeriruma forma ainda mais eficaz de fazeresses calculos, decompondo apenaso segundo numero. Veja:

54 ~- 17=54 ~- 10 ~- 7=64 ~- 7= 7154 - 17 = 54 - 10 - 7 = 44 - 7 = 37

Na 4' serie e possivel que os alu-nos consigam fazer esses calculoscom numeros da ordem das cen-ten as.

Outro rec.urso para tornar maiseficiente a subtra9ao pode ser usa-do depois que a crian9a percebe quea pergunta "quanto falta" envolveuma subtra9ao. Por exemplo, de 7para12 "faltam'5 e,portanto, 12 -7=5. No entanto, isto nao e faci I de serpercebido Esse usa de subtra9aovai, aos poucos, tornando-se clarodurante a 2' serie, mediante a resolu-9ao de certos problemas. Normal-mente, e um recurso de calculo ade-quado apenas para a 3' serie. Nessaaltura, tendo os alunos percebidoclaramente que 0 "quanto falta" im-plica uma subtra9ao, podem ser pro-postos problemas como este:

- De 75 para 110, quanta falta?De pequenos "pulos" para sair de 75e chegar a 110

- Observe uma solu9ao: de 75para 80, faltam 5; de 80 para 100,faltam 20; de 100 para 110, faltam 10;entao, 0 resultado e 5 + 20 + 10 = 35

Este recurso merece tanta aten-9aO quanta 0 da decomposi9ao 0calculo mental e uma atividade mui-to pessoal e 0 professor nao deveimpor metodos unicos para realiza-10

Multlplicac;oes usando a dlstrlbutividade

De novo, exercicios a partir do material base dez, auxiliam 0 alunoa perceber 0 recurso que sera utilizado. Veja um exemplo:

Complete a tabela:

IDD II DOCJ 0 262)( DO

~ 0

IDO0

31( 00 ¢

Quando 0 aluno compreende que esta distribuindo a muItiplica9aopelas dezenas e unidades (e, depois, somando os resultados), ele estaapto a efetuar mentalmente calculos como: 3 x 12, 5x 23, 4 x 15, etc.

Um recurso basi co para efetuar divisoes e perceber que essaopera9ao e a inversa da mUltiplica9ao. Assim, 72 : 8 = 9 porque 9 x 8 =72. Se os alunos compreendem esse fato, podemos exercitar, aomesmo, tempo as multiplica90es da tabuada e as divisoes inversas.

Mais tarde, podemos efetuar divisoes com dividendos maiores,utilizando a decomposi9ao do dividendo e a distributividade. E conve-niente que 0 aluno de 4' serie tenha antes algumas experiimciasconcretas com essa ideia, para melhor compreende-Ia. 0 material basedez ou dinheiro (notas de Cz$ 100 para as centenas, de Cz$ 10 para asdezenas e moedas de Cz$ 1 para as unidades) podem proporcionaressas experiencias.

Veja um exemplo: a divisao 363 : 3 = 121, efetuada com 0 materialbase dez.

•••II II IIo

121of2f

'v'"363

A partir dai, a crian9a come9a a efetuar divisoes mentais decom-pondo 0 dividendo. Por exemplo:

Ja:)-:-.3 = f(}()

60-:-.3:: 203~.3:/

618-:-.3 _ 600+-.3:200--20618 -:-.1•• 5

Alem dos recursos basicos decalculo mental que apresentamos,ha muitos mais. Alguns bem comunscomo por exemplo saber multiplicar(ou dividir) por 10, 100 ou 1.000. Ou-tros, mais sutlS, como este: 9 x 17 =10x17-17.

Quais desses calculos devem serexplorados depende de uma opc;aodo professor diante das condic;6esde sua classe.

Nesta altura, todos os processosanteriores podem ser trabalhados eaprimorados.

Nessa altura, e recomendaveiainda abordar calculos simples comfrac;6es, decimais e porcentagens.Calculos como estes, por exemplo:

E possivel tambem desenvolverprocessos novos. Algumas possibili-dades foram apresentadas nas ses-s6es iniciais deste artigo. Outras,surgirao certamente at raves de dia-logo com os alunos.

a)1+1/2; 2+1/3;1/4 de 20;

c) 5 e quanto por cento de 20?quanto e 10% de 75 ?

Um entusiasta do Calculo Mentalo trabalho desenvolvido pelo Prof. Aguinaldo Ramos de Miranda, nas

redes pUblicas estadual e municipal e no Externato Ibirapuera em Sao Paulo,e um exemplo de dedica((ao e criatividade.

Raramente encontramos calculo mental nassalas de aula. Em Sao Paulo, podemos citar bempoucos exemplos. 0 Colegio Vera Cruz tem traba-Ihado 0 tema com seus alunos, sob a orientac;:ao daProf" Lucilia Bechara Sanchez, uma importantepesquisadora no campo da educac;:ao matematica.Com uma proposta pedagogica bem diferente,tambSm 0 tradicional COh3gio Porto Seguro promo-ve 0 calculo mental, obtendo bons resultados. Fi-nalmente, conhecemos 0 metoda Kumon, pratica-do por professores particulares e anunciado comouma forma de resolver as dificuldades escolaresdas crianc;:as. Esse metodo, originario do Japao,baseia-se no treino de tecnicas de calculo.

Os trabalhos citados apoiam-se em institui-c;:6essolidas, de carater privado e utilizam a expe-ri€mcia de varios mestres. No entanto, aqui em SaoPaulo, encontramos ainda um trabalho desenvolvi-do individual mente, sem nenhum apoio especifico,por um veterano professor das redes pUblicas esta-dual e municipal. Seus resultados, evidenciadospor depoimentos de colegas e ex-alunos de 10 e 20

graus, podem ser classificados de notaveis.Conversamos com esse dedicado trabalhador

do ensino, 0 Professor Aguinaldo Ramos de Miran-da. Muito do que ele nos contou merece ser repro-duzido.

Como Aguinaldo chegou ao calculo mental

o professor Aguinaldo comec;:ou a trabalharmuito jovem, bem antes de completar seus estu-dos. Durante alguns anos esteve no controle dequalidade das maquinas calculadoras Olivetti, ma-quinas eletromecanicas, com manivelas, que atual-mente sac pouco usadas.

Nao pense que isso tenha levado 0 professor aadquirir habilidades no calculo mental. Em com-pensac;:ao, ele ganhou uma enorme agilidade na

digitac;:ao das maquinas, podendo executar os cal-culos mais complexos com a rapidez do raio. Issomotivou um convite para um campeonato. Umcampeonato de calculo!

Esses campeonatos sac uma tradic;:ao japone-sa. Em Sao Paulo, a Cooperativa Agricola de Cotia,uma grande organizac;:ao fundada por imigrantesjaponeses, tinha por habito (e talvez ainda tenha)promover anualmente esses torneios. Os partici-pantes, todos eles japoneses ou nisseis, faziamcontas enormes (tipo 1234 x 51798), todas de cabe-c;:a.Naturalmente, tin ham tango treino anterior coma maquina calculadora tradicional do Japao: 050-roban, uma espacie de abaco.

Para enfrentar os especialistas orientais, la sefoi Aguinaldo com sua calculadora eletrica. As con-dic;:6es pareciam-Ihe muito vantajosas mas, apesardisso, ele conseguiu apenas um terceiro lugar na"modalidade" multiplicac;:ao. Uma derrota natural,se considerarmos que os campe6es japoneses desoroban venceram todos os confrontos com calcu-ladoras e computadores ate 1983!

Impressionado com 0 desempenho dos adver-sarios, Aguinaldo procurou descobrir 0 segredo detanta habilidade. Comec;:ou aprendendo a utilizar 0'soroban, instrumento que, por si so, agiliza 0 cal-culo mental. Anos mais tarde, ja licenciado emMatematica e lecionando na rede publica, ele con-duziu sua primeira experi€mcia pedagogica, ensi-nando 0 usa do soroban. A experiencia foi umsucesso em relac;:ao as habilidades adquiridas pe-los alunos. Poram, Aguinaldo convenceu-se de queo sorobam era muito estranho a nossa cultura,provocando resistencia em alguns alunos e incom-preensao em muitos pais.

A partir desse momento, ele come<;ou a buscade outros metodos para desenvolver 0 calculomental. Reunindo os conhecimentos provenientes

dos mestres japoneses mais sua experiencia desala de aula (ah~m de uma personalidade tipica-mente mineira, acrescenta ele, brincando), Agui-naldo foi construindo, pouco a pouco, 0 metodoque utiliza atualmente.Oplnioes e conselhos do professor Aguinaldo

Uma descriyao detalhada dos recursos de en-sino de calculo mental, desenvolvidos pelo profes-sor Aguinaldo, e inviavel por problemas de espayo.No entanto, algumas das informay6es indicadas aseguir ajudarao os professores interessados.

o trabalho com calculo mental requer poucotempo. Cinco minutos em cada infcio de aula po-dem ser suficientes, das 58s ate as 88s series. 0importante e a regularidade e a persistencia: todasas aulas deverao ter seu momenta de calculo. "Osalunos so terao motivayao se tambem demonstrar-mos nossa motivayao", explica Aguinaldo.

Ha outros objetivos nesse trabalho, alem dosimples calculo. 0 aluno deve conquistar serenida-de, disciplina, autodomfnio e autoconfianya. Essesgrandes objetivos nao sao, porem,. tao diflceis dealcanyar. Aguinaldo comeya comblnando com osalunos (a partir da 5a serie) que eles devem tentarcalcular sem auxllio dos dedos. E logo ele acres-centa um procedimento bastante oriental:

- todos levantam a mao, segurando 0 lapis;- 0 professor fala uma so vez uma cadeia de

calculos (como 7 + 9 + 1 + 8 + 5 + 9 + 1);- 0 aluno escuta, pensa, abaixa a mao e escre-

ve 0 resultado;- e tudo se repete novamente, cerca de dez

vezes; no final, 0 professor mostra os resultados.Este e um poderoso exercfcio para a concen-

trayao e a memoria. Em poucos dias, todos osalunos conseguem manter absoluto sil~ncio. en-quanta as contas saD apresentadas. Alem dlSSO,quase todos comeyam a acertar mais da metadedas contas. E certo que, apos 0 silencio, quando 0professor apresenta os resultados, os alunos co-memoram ruidosamente seus acertos. Mas essadescontrayao e saudavel e, como diz Aguinaldo, "eplenamente compensada pelos minutos de con-centrayao anteriores".

Em uma apostila de calculo mental elaboradapelo professor Aguinaldo e publicada ha algunsanos pelo Departamento de Planejamento e Orien-tai;:ao (DEPLAN) da Secretaria Municipal de Educa-yao de Sao Paulo, podemos acompanhar uma su-

Soroban': uma especie de abaco muito utilizado nas esco/asdo Japao. Com 0 soroban pode-se fazer calcufos complexoscom grande rapidez.

cessao de exerclcios para 0 calculo. Das cadeiasde adiy6es que ja mostramos (7 + 9 + 1 + 8 + 5 + 9+ 1), passa-se a cadeias mais longas, as ultimasenvolvendo tambem subtray6es. Depois, ha exercf-cios de mUltiplicayao ou divisao (como 6 x 7 ou 72 :9) alternadas com adiy6es e subtray6es como 67 +35 ou 67 + 35 + 13 - 77 etc. Em breve, chega-se acalculos como 34 x 5 ou 136 : 2. No final, osexercfcios parecem muito diflceis: 35 x 19 ou raizquadrada de 88361 No entanto, saD mais diffceispara nos do que para os alunos de Aguinaldo.

"Ha um detalhe tecnico muito importante paraa evoluyao do calculo", observa Aguinaldo. "Eperceber as varias maneiras de compor ou decom-por os numeros. Por exemplo, percebendo que 23eo mesmo que 20 + 3,0 aluno pode efetuar 23 + 18assim: 20 + 18 = 38 e 38 + 3 = 41". Aguinaldo dizque em pouco tempo 0 aluno estara usando esserecurso de forma mais sofisticada, como nos exem-plos seguintes:

~2

~Z8~36~2=3q,

253 J(9:: 253)('10 -253:: 25.30-25.3 ::;2217Os alunos aprendem a utilizar esse recurso aos

poucos. Cada vez que 0 usam em uma nova situa-yao dao um saito no domlnio do calculo. Agui-naldo considera que a composiyao e decomposi-yao de numeros deveria ser mais explorada nasseries iniciais. Ele tem encontrado muitos alunosde 58 serie que descobrem surpresos que 9 = 8+1 =7+2=6+3=5+4!

Na conversa que mantivemos, Aguinaldo quali-ficou seu trabalho de "simples e modesto ... maseficaz". (Um trabalho no estilo de Minas Gerais.)"Aeficacia fica evidente apos um semestre de calculo:temos classes mais atentas nao so na Matematicamas tambem em Portugues ou Geografia. Aos pou-cos, os alunos conseguem melhorar seus habitosde estudo, porque melhoram a concentrayao".

Por tudo isso, 0 professor Aguinaldo e umentusiasta do calculo mental. As vezes ele e contes-tado, com 0 argumento de que as calculadorastornaram desnecessario 0 exercfcio do calculo.Mas quem argumentaria que 0 automovel tornadesnecessario 0 exercfcio de caminhar?

Uma sentenya conclusiva do professor: "Noteque 0 Japao e 0 maior fabricante mundial de calcu-ladoras e, ao mesmo tempo, 0 pais onde as escolasdao mais atenyao ao calculo mental. Isto nao deveser acaso".