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MEAer / MEMEc / LEAN Ano Lectivo de 2014/2015

Instituto Superior Técnico 27 de Junho de 2015

2º Exame de Mecânica Aplicada II

Este exame é constituído por 4 perguntas e tem a duração de três horas.

Justifique convenientemente todas as respostas apresentando cálculos intermédios.

Responda a cada pergunta em folhas separadas.

Pergunta 1 (5 Val.)

A figura ao lado representa um sistema que inclui

uma engrenagem de pinhão e cremalheira, no qual os

apoios A e D são pontos fixos. Sabendo que a

cremalheira R se move na vertical de baixo para cima

com uma velocidade constante de 120 cm/s, calcule:

a) A velocidade angular e a aceleração angular do

pinhão com eixo em D. [1 Val.]

b) A velocidade angular da barra BC. [2 Val.]

c) A aceleração angular da barra BC. [2 Val.]

Pergunta 2 (5 Val.)

Na vista em planta ao lado figuram duas partículas A e B, ambas de massa m, ligadas por uma barra rígida de

peso desprezável e de comprimento L. Num dado instante uma partícula C, igualmente de massa m, atinge a

barra AB a um quarto do seu comprimento medido a partir de B. A respetiva velocidade (perpendicular à

barra) é nesse instante V, e a partícula C permanece ligada à barra após a colisão. Note ainda que todo o

conjunto se encontra sobre uma superfície horizontal sem atrito.

a) Calcule o momento linear e o momento angular do conjunto em

relação ao seu centro de massa, antes do choque. [1 Val.]

Sugestão: Utilizando um referencial centrado em B, comece por

determinar a localização do centro de massa do conjunto.

b) Quais as velocidades das massas A, B e C imediatamente após o

impacto? [2 Val.]

c) Calcule as velocidades das massas A e B após a barra ter rodado

180º. [2 Val.]

Pergunta 3 (5 Val.)

Uma bola de râguebi é lançada pelo ar. Observa-se que o respetivo vetor velocidade angular é horizontal e o

eixo de simetria OC encontra-se orientado conforme ilustrado na figura. Sabendo que a magnitude da

velocidade angular é 200 rpm e que a razão entre os momentos de inércia axial e transversal é ,

determine:

a) O ângulo entre o eixo de precessão AO e o vetor velocidade

angular , representando num digrama de corpo livre os eixos

locais xyz e todos os ângulos relevantes para a análise. [2 Val.]

b) As velocidades angulares de precessão e rotação própria. [2 Val.]

c) O tipo de precessão da bola, justificando. [1 Val.]



Pergunta 4 (5 Val.)

Recorde que as coordenadas polares podem ser definidas em por .

A figura ao lado ilustra a trajetória de uma partícula de massa kg para s. Em coordenadas

polares esta trajetória é definida por , com rad/s e m.

a) Mostre que em coordenadas polares todos os símbolos de Christoffel são nulos,

excetuando os seguintes: e . [1 val.]

b) Determine as componentes (polares) contravariantes e físicas da velocidade da

partícula num instante genérico . [2 val.]

c) Determine as componentes (polares) físicas da força a que está sujeita a partícula

num instante genérico . [2 val.]

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Formulário

Relações fundamentais da dinâmica:

_______________________________________________________________________________________

Movimento livre de um corpo axissimétrico:

_______________________________________________________________________________________

Lei de transformação tensorial:

Símbolos de Christoffel em coordenadas ortogonais:

Aceleração em coordenadas curvilíneas:



Resolução Pergunta 1

a) A velocidade constante de cremalheira R implica que a aceleração angular do pinhão seja nula.

Sendo o movimento da cremalheira vertical de baixo para cima, a velocidade angular do pinhão terá o

sentido anti-horário (aqui considerado como positivo, por convenção) e módulo:

b) Sendo i e j os versores dos eixos x e y (sentidos positivos para a direita e para cima, respetivamente), a

velocidade do ponto C, imposta pela rotação do pinhão, é dada por:

Por sua vez, a velocidade do ponto B, calculada à custa da velocidade anterior, é dada por:

Neste sistema, a velocidade do ponto B pode também ser calculada em termos da velocidade angular da

manivela AB, ou seja:

Naturalmente, a velocidade do ponto B é única, pelo que se podem igualar as expressões vetoriais anteriores

cujas (duas) componentes no plano permitem determinar duas incógnitas. Logo:

Resolvendo em ordem às velocidades angulares das barras AB e BC, resulta:

c) A aceleração do ponto C, imposta pela rotação do pinhão, é dada por:

Por sua vez, a aceleração do ponto B, calculada à custa da aceleração anterior, é dada por:



Neste sistema, a aceleração do ponto B pode também ser calculada em termos da aceleração da manivela AB,

ou seja:

Naturalmente, tal como a respetiva velocidade, a aceleração do ponto B também é única, pelo que se podem

igualar as expressões vetoriais anteriores cujas componentes no plano permitem igualmente determinar duas

incógnitas. Logo:

Resolvendo em ordem às acelerações angulares das barras AB e BC, resulta:



Pergunta 2



Pergunta 3



Pergunta 4

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