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ESCOLA SECUNDRIA S DE MIRANDA
Ficha de trabalho n 2 12 5 e 6
Novembro 2009
Fernanda Carvalhal
1. Estuda a existncia de assntotas ao grfico das funes reais de
varivel real definidas por:
1.1 f x( ) =3x
3+ 3x
2
x3! x
2! 2x
1.2 f x( ) =2 ! x
3
x2! 4x + 3
1.3 h x( ) = 21
x!3
1.4 h x( ) =x!1
ex!e
1.5 h x( ) = 3+ln x +1( )
x
1.6 f x( ) = 1! lnx ! 4x
"#$
%&'
1.7 f x( ) =
2x2
x +1! x < "1
3! x = "1
x +1
ex+1 "1
! x > "1
#
$
%
%
&
%%%
2. O limx!+"
1#ln x
x
%&
()
A) !" B) 1 C) 0 D) +!
3. O limx!0
ex
x "1
$%% '((
A) !" B) - 1 C) 0 D) +!
4. O valor de limx!2
x2 " 4
ex " e2
$%% '((
A) ! 4
e2
B) 4 C) 4
e2
D) !4
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Ficha de trabalho n 2 2009/10
Fernanda Carvalhal
5. Na figura junta estorepresentadas, em referencial o.n.xOy:
parte do grfico da funo f, de
domnio IR, definida por f x( ) =1+ ex parte do grfico da funo g, de
domnio 1,+!] [, definida por
g x( ) = ln x !1( ) O ponto A o ponto de interseco do grfico de f com o eixo Oy e o ponto B
o ponto de interseco do grfico de f com o eixo Ox.
Na figura est tambm representado um tringulo [CDE].
O ponto C pertence ao eixo Oy, o ponto D pertence ao grfico de f e o ponto E
pertence ao grfico de g.
Sabe-se ainda que:
a recta BD paralela ao eixo Oy e a recta CE paralela ao eixo Ox
AC =OA
5.1 Determine as coordenadas dos pontos A, B, C, D e E.
5.2 Determine o valor exacto da rea do tringulo [CDE].
5.3 Determine cada um dos seguintes limites:
5.3.1. limx!0
x2+ 3x
2 " f x( )
$%%
'((
5.3.2. limx!2
g x( )2" x
$%% '((
5.4. Os grficos das funes f e g so simtricos relativamente bissectriz
dos quadrantes mpares. Prove esta afirmao.
6. Considere a funo f, de domnio 0,+!"# $% \ 1{ } , definida por
f(x) =3 ! log
2x
x !1
Sem recorrer calculadora resolva as questes seguintes:
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6.1 Prove que f4
3
"#
%&= log2 216( ).
6.2 Calcule lim
x!0
+
f x( )e interprete graficamente o resultado.
7. Considere a funo real de varivel real, h, definida por
h x( ) =
x3 !1
x2 ! 4x + 3
se x >1
a se x =1
b
x2 ! 2x
se x
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10. Seja h a funo real de varivel real definida por
h x( ) =1! log2 4x ! x2( )
10.1. O domnio de h o intervaloA) 0,4[ ] B) 0,4] [ C) IR \ 0,4] [ D) IR \ 0,4[ ]
10.2. O conjunto soluo da condio h x( ) = !1
A) !2,4{ } B) 2,!4{ } C) 2{ } D) 4{ }
11. O limx!+"
x2+ 4
x2
#
$
%%&
'
((
2x
igual a
A) 1 B) e8 C) +! D) e4
12. A funo f de domnio IR admite como assimptotas ao seu grfico as rectas
de equao x = 3 e y = -5.
Indique, justificando, o valor lgico de cada uma das proposies:
12.1 A funo g definida por g x( ) = 3+ f x + 2( ) admite como
assimptotas ao seu grfico as rectas de equao x = 1 e y = - 2.
12.2 A funo h definida por h x( ) = f !x( ) admite como assimptotas ao
seu grfico as rectas de equao x = 3, x = -3 e y = - 5.
12.2 A funo f contnua em todo o dominio.
13 Uma funo g definida por g x( ) =
ex ! e
1! xse x
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14.2 Indique o conjunto soluo da condio f x( ) = 3.
14.3 Estude a existncia de assimptotas ao grfico de f.
15. Prove que loga 1x!"#
$%&= log
1
a
x( ) , com x '!+ , a '!+ \ 1{ }
16. Prove que logak
ap( )=p
k, com a !!+ \ 1{ }
17. Prove que se f uma funo mpar de domnio ! e a recta y =b uma
assntota ao seu grfico em +! , ento a recta de equao y = !b uma
assntota ao seu grfico em !" .
18. Prove que se f uma funo par de domnio ! e a recta y =b uma
assntota ao seu grfico em +! , ento a recta de equao y =b uma
assntota ao seu grfico em !" .
19. Prove que se f uma funo mpar de domnio ! e a recta y = mx +b
uma assntota ao seu grfico em +! , ento a recta de equao
y = mx !b uma assntota ao seu grfico em !" .
20. Prove que se f uma funo par de domnio ! e a recta y = mx +b
uma assntota ao seu grfico em +! , ento a recta de equao
y = !mx +b uma assntota ao seu grfico em !" .
21. Mostre que a equao1
x= e
x tem uma e s uma soluo no intervalo
0,+!"# $% . Sugesto: Comece por considerar o intervalo1
2,1
!
"#
$
%& .
22.Sejam f e g duas funes reais de varivel real, de domnio
!+
, queadmitem assntotas obliquas. Prove que a funo f+g admite uma
assntota no vertical.
23. Prove que se f uma funo real de varivel real, contnua e de domnio
! , que se anula para todos os naturais, ento o grfico da funo real
de varivel real g definida por g x( ) =1
f x( )admite infinitas assntotas
verticais.
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24. Considere uma funo f de domnio !+ . Admita que f positiva e que o
eixo Ox assntota ao grfico de f. Mostre que o grfico da funo1
fno
tem assntota horizontal.
25. A soma de todos os termos da sucesso un
( ) definida porun =2!n+1 :
A) 1 B) 2 C)1
4D)
1
2
26. Olimx!+"
x ln x # 3( ) # ln x( )$% &'$% &' igual a
A) 3 B)!3 C) 1 D)e
3
27. De duas funes f e g sabe-se que:
limx!2
f x( ) = "#
limx!"
f x( ) =5
g x( )= f x!3( )!1
Pode-se ento afirmar que o grfico da funo g admite como assmptotas asrectas de equao:
A) x= !1!e!y= 4 B) x= !1!e!y=6C) x=5!e!y=4 D) x=5!e!y=628. A funo f definida porf x( ) = elog2 x( ) idntica funo
A) g x( )= x1
ln2 B) g x( )= x1
ln2 , em IR+
C) g x( )= xln2, em IR+ D) g x( ) = xln2
29. Considere a funo real de varivel real f definida por f x( ) = 2!ln 1! x( )
x.
29.1. Indique o domnio de f.
29.2. Determine, caso existam, cada um dos seguintes limites:
29.2.1. limx!0
f x( )
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29.2.2. limx!1
"
f x( )
29.2.3. limx!"#
f x
( )
29.3. Indique, justificando convenientemente, as equaes das
assmptotas ao grfico de f.
30. Considere duas funes reais de varivel real que verificam as condies:
Df = IR
f mpar e contnua no seu domnio
f estritamente decrescente em IR+
limx!+"
f x( ) = #4
g x( )=!2
log2f x( )( )!3
.
30.1. Construa um possvel grfico de f.
30.2. Determine o domnio de g.
30.3. Verifique a existncia de assmptotas ao grfico de g,paralelas aos eixos coordenados.
31. Considere a funo real de varivel real h definida por
h x( )=
ln x!2( )ex !e3
, se x
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32. De uma funo g de domnio !+ , sabe-se que a bissectriz dos quadrantes
mpares uma assntota ao seu grfico.
Seja h a funo de domnio !+
, definida porh x( ) =g x
( )x2 .
Prove que o eixo Ox uma assntota ao grfico de h.
33. De uma funo g, contnua em ! , sabe-se que:
1 zero de g
g 3( ) > 0
Prove que a equao g x( )=
g 3( )2 tem, pelo menos, uma soluo no
intervalo 1,3!" #$ .
34. Seja f uma funo contnua, de domnio 0,5!" #$ e contradomnio 3,4!" #$
Seja g a funo de domnio 0,5!" #$ , definida porg x( ) = f x( ) ! x .
Prove que a funo g tem pelo menos um zero.
35. Seja f : 0,2!" #$% ! uma funo contnua tal que f 0( ) = f 2( ) = 0 e f 1( ) > 0
Prove que existe pelo menos um nmero real c no intervalo 0,1!" #$ tal que
f c( ) = f c +1( ) . Sugesto: considere a funo g : 0,1!" #$% ! definida por
g x( ) = f x( )! f x +1( ) .
36. Seja c um numero real maior que 1. Na figura est
representada uma parte do grfico de f, de domnio ! ,
definida por f x( ) = ex ! c .
Tal como a figura sugere:
A o ponto de interseco do grfico de f com o eixo Ox
B o ponto de interseco do grfico de f com o eixo Oy
Mostre que se o declive da recta AB c !1 ento c = e .