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1.4. Determinação do centróide por integração

O centróide de uma superfície limitada por curvas analíticas

pode ser determinado pelo cálculo dos integrais:

x . A = xdA∫ y . A = ydA∫

Se o elemento de área dA é escolhido como sendo um pequeno

rectângulo de lados dx e dy, a determinação do centróide requer

uma dupla integração em x e em y (acontece o mesmo se forem

utilizadas coordenadas polares).

Contudo, é possível, na maioria dos casos, determinar as

coordenadas do centróide de uma superfície efectuando-se uma

única integração. Consegue-se isto escolhendo dA como um

rectângulo estreito ou uma faixa fina, ou um fino sector ou

elemento em forma de sector circular.

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As coordenadas do centróide são obtidas igualando o momento

estático de toda a área em relação a cada eixo, à soma (integral)

dos momentos das áreas elementares.

Qy = x . A = elx dA∫ Qx = y . A = el

y dA∫

1.6. Cargas distribuídas em vigas

O conceito de centróide de uma área pode ser utilizado para

resolver problemas de vigas com cargas distribuídas.

Consideremos uma viga que suporta uma carga distribuída.

Esta carga pode ser constituída pelo peso de materiais

apoiados directa ou indirectamente sobre a viga ou ser

causada pelo vento ou pressão hidrostática.

A carga distribuída pode ser representada pelo diagrama:

Sendo:

w: carga suportada por unidade de comprimento, expressa em N/m

dw: módulo da força exercida sobre um elemento de viga dx (dw = wdx)

W: carga concentrada (resultante), expressa em N

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W = 0

L

wdx∫

W = dA∫ = A

A carga total suportada pela viga é dada por:

Mas o produto wdx é igual, em módulo, ao elemento de área dA.

Por conseguinte, W é igual à área total A sob a curva de carga.

O ponto de aplicação D da carga concentrada equivalente W é

obtido igualando-se o momento de W à soma dos momentos das

cargas elementares dw em relação ao ponto O.

(OD)W = xdw∫ ou (OD)A = 0

L

xdA∫

(pois dw = wdx = dA e W = A)

Como o integral representa o momento estático em relação ao

eixo w da área sob a curva de carga, ele pode ser substituído

pelo produto .x A , então OD = x , sendo x a distância do eixo

w ao centróide C da área A.

Uma carga distribuída sobre uma viga pode ser substituída

por uma carga concentrada. O módulo desta carga é igual à

área sob a curva de carga e a sua linha de acção passa pelo

centróide dessa área.