28167-rendas-financeiras.pdf

Calculo Financeiro e Atuarial

Formador: Gabriel Silva

1

Rendas

Introduo

2 Gabriel Silva

Rendas

3 Gabriel Silva

Introduo

Uma renda corresponde a um conjunto de capitais (termos das rendas) vencveis em momentos equidistantes, podendo esses capitais ter valores constantes ou variveis.

O conceito de renda resulta da aplicao da equao de valor.

As rendas podem ser:

Imediatas/Diferidas;

Normais (Postecipadas ou Ordinarias)/Antecipadas;

Certas/Incertas;

Termos Constantes/Termos variveis (progr. Geom./Aritm.);

Inteiras/Fraccionadas;

Temporrias/Perpetuas.

Rendas Introduo

As Rendas podem diferir quanto ao momento de vencimento do primeiro termo:

Imediata

Valor actual refere-se ao inicio do 1 perodo de

renda 0 1 2 n-1 n

r r r r .........

.........

Diferida

Valor actual refere-se a perodo anterior ao do inicio do 1 perodo de

renda

0 1 2

r ....

.... n-1

r

n

r ....

4 Gabriel Silva

.... t

Rendas Introduo

As Rendas podem diferir quanto ao momento, dentro de cada perodo, em que a renda paga:

Termos Normais

Vencimento no fim do perodo a que respeitam

0 1 2 n-1 n

r r .........

.........

Termos Antecipados

Vencimento no inicio do perodo a que respeitam 0 1 2 n-1

r

n

r

.........

5 Gabriel Silva

.........

Rendas Introduo

As Rendas podem diferir quanto existncia de contingncias aleatrias associadas ao pagamento:

Certa

Pagamento dos termos da renda independente de

factos aleatrios 0 1 2 n-1 n

r r .........

.........

Incerta

Pagamento dos termos da renda ligados a factos

aleatrios 0 1 2 n-1 n

?

.........

6 Gabriel Silva

......... ? ? ?

r r

Rendas Introduo

As Rendas podem diferir quanto variabilidade dos termos:

Constantes

Valores dos termos constante ao longo do

tempo 0 1 2 n-1 n

r r .........

.........

Variveis

Valores dos termos diferentes ao longo do

tempo 0 1 2 n-1 n

r1

.........

7 Gabriel Silva

.........

r r

r2 rn-1 rn

Rendas Introduo

diferir quanto relao entre perodo da As Rendas podem renda e da taxa:

Inteira

Perodo da renda e da taxa coincidem

0 1 2 n-1 n

r r .........

.........

Fraccionada

Perodo da renda e da taxa no coincidem 0 1 2 n-1 n .........

.........

r r

r/m r/m r/m r/m r/m r/m r/m

8 Gabriel Silva

Rendas Introduo

As Rendas podem diferir quanto existncia de uma data fim para o pagamento:

Temporria

Nmero de termos limitado e conhecido 0 1 2 n-1 n

r r .........

.........

Perptua

Nmero de termos ilimitado

0 1 2

r

.....................

.................... r r

Vitalcia

Nmero de termos Limitado vida do

beneficirio (calculo actuarial)

0 1

r

2 n-1 n .........

......... r r

9 Gabriel Silva

Rendas

Alguns Tipos de Rendas

10 Gabriel Silva

Rendas

Temporrias

Imediatas

Termos Constantes

11 Gabriel Silva

Renda Imediata Temporria de n Termos Normais

e Constantes

Renda cujo valor actual refere-se ao inicio do 1 perodo de renda, com um nmero de termos

vencimento de cada termo ocorre no fim limitado (n), conhecidos e constantes, e o

do perodo a que respeitam.

0 1 2 n

1

Rendas Renda Imediata Temporria de Termos Normais

n-1

1 1 1 1 i 1 1 i 2

1 i (n1) 1 i (n )

1 1 i 1 i n2

1 i n1

Valor Actual

Gabriel Silva 12

Valor Acumulado


r r r

1 i n .....

1 i 1 1 i 2 C0

Com r=1:

n

1 ..... 1 i 1 i

C

1 i 1 i 1 1

1 i 2 .... 1 i n 1 1 2 0

Valor Actual (tambm designadas de rendas de actualizao)

0

Gabriel Silva 13

v 1 v 1

n 1 v n

v 1 n C a 1 i 1 1 i 2 .... 1 i n (1 termo) v

n|i

Estamos perante uma progresso geomtrica de:

- razo: 1 i v - 1 termo: 1 i n

- N termos: n

Exemplo

Admita que ir receber 1000 por ano durante trs anos. Qual o valor actual destes recebimentos, considerando uma taxa de juro de 10%? 0,1

3|10% 3|10% 2.486,9 1.000

1 (1,1)3

i r . r .a A

1 (1 i )n

Exemplo

Admita que entrega 5000 a uma seguradora como contrapartida de uma renda imediata de termos normais durante 4 anos. Qual o valor da renda considerando uma taxa de juro de 10%?

0,1 r .3,169 5.000 r

1 (1,1)4

3,169 r

5.000 1.577,35


i


i


Gabriel Silva 15


n C r .1 i n1

r .1 i n2 ..... r .1 i 1 r

Com r=1:

Valor Acumulado (tambm designadas de rendas de acumulao)

v 1

Gabriel Silva 16

1 1.

v 1

v 1

n n

C s 1 i n1 1 i n2 .... 1 i 1 1 1Termov n|i n

C 1 i n1 1 i n2 ..... 1 i 1 1 n


- razo: 1 i v - 1 termo: 1

- N termos: n

Exemplo

Admita que ir receber 1000 por ano durante trs anos. Qual o valor acumulado destes recebimentos, considerando uma taxa de juro de 10%? 0,1

3.310 (1,1)3 1

1.000 i

S r .s r (1 i )n 1

n|i n|i

Exemplo

Admita que ir receber 5000 daqui a 4 anos. Se em alternativa receber uma renda imediata de termos normais, qual ser o valor da renda considerando uma taxa de juro de 10%?

4,641 r

5.000 1.077,35


1 i n 1 S r .s r

n|i n|i i

0,1 r .4,641

1,14 1 5.000 r

n|

i

1 i n 1 i

S r .s r n|i

Gabriel Silva 18

Renda Imediata Temporria de n

Termos Antecipados e Constantes

Renda cujo valor actual refere-se ao inicio do 1 perodo de renda, com um nmero de termos limitado (n), conhecidos e constantes, e o vencimento de cada termo ocorre no principio do perodo a que respeitam.

0 1 2 n

1

Rendas Renda Imediata Temporria de Termos Antecipados

n-1

1 1 1 1 i 1 1 i 2

1 i (n1)

1 i 1 i n2

1 i n1

1

1 i n

Valor Actual

Gabriel Silva 19

Valor Acumulado


Com r=1:

Valor Actual

1 n 1 v (n1)

v n C a 1 1 i 1 1 i 2 .... 1 i (n1) (1 termo) v


- razo: 1 i v - 1 termo:

- N termos: n

1 i (n1)

0 ..... 1 i n1

r

1 i 2 r

1 i 1 r

C r

1

n|i 0 v 1 v 1

Gabriel Silva 20

2 1 (n1) 1 i .... 1 i 1 1 i .....

1 i n1 1 1

C0 1 1 i 1

1 i 2

Exemplo

Admita que ir receber 1000 por ano durante

3|10% 3|10% 2.735,5

i 0,1 r .(1 i )

1 (1 i ) 1.000.(1,1)

1 (1,1) n 3

r .a

trs anos. Qual o valor actual destes recebimentos (feitos no A inicio de cada perodo), considerando uma taxa de juro de 10%?

Exemplo

Admita que entrega 5000 a uma seguradora como contrapartida de uma renda imediata de termos antecipados durante 4 anos. Qual o valor da renda considerando uma taxa de juro de 10%?

0,1 r .(1,1)3,169 r .3,4868 5.000 r .(1,1)

1 (1,1)4

3,4868

5.000 1.433,96 r


i a

1 1 i n n|i n|i n|i

r .1 i .an|i 1 (1 i )n

i r .a r .1 i . A

n|

i

n|

i

r .1 i .an|i 1 (1 i )n

i r .a r .1 i . A

Gabriel Silva 22


n C r .1 i n

r .1 i n1 ..... r .1 i 1

Com r=1:

Valor Acumulado

1

Gabriel Silva 23

v 1 v 1

n n

C s 1 i n 1 i n1 .... 1 i 1 1Termov 1 (1 i ) v n|i n

n C 1 i n

1 i n ..... 1 i 1


- razo: 1 i v - 1 termo:

- N termos: n

1 i


i n|i

n|i

1 i n 1 r .1 i . r .1 i s

v 1

v n 1 r .s r .1 i


i

n|i 1 i .s 1 i n 1 1 i

n 1

n

v 1 1 i . 1 i . 1 i . v 1 1 i 1

s n|i

n|

i

1 i s n|i s

n

n|i n|i n|i

r .1 i .s i1

1 i

1 i r .s r . S

Gabriel Silva 24

Exemplo

Admita que ir receber 1000 no inicio de cada ano durante trs anos. Qual o valor acumulado destes recebimentos, considerando uma taxa de juro de 10%?

3.641 0,1

3

3|10%

1 1 1.000(1,1)

(1,1)

i r (1 i )

(1 i ) r (1 i )s

n

Exemplo

Admita que ir receber 5000 daqui a 4 anos. Se em alternativa receber uma renda imediata de termos antecipados, qual ser o valor da renda considerando uma taxa de juro de 10%?

5,1051

5.000 979,41 r


1 i n 1 s

n|i i

0,1 r .(1,1).4,641 r .5,1051

1,14 1 5.000 r .(1,1)

.. ..

S n|i r .s n|i r .1 i .s n|i

n|

i

n|

i

r .1 i .s n|i 1 i n 1

i r .1 i r .s S

Gabriel Silva 25


e Constantes

Rendas Renda Imediata (Termos Normais versus Antecipados)

Valor Actual Valor Acumulado

Renda Imediata Temporria de n


1 i n 1 s

n|i i

1 1 i

n

i a

n|i

n|

i

1 i .an!i a n|

i

1 i s n!i s

Gabriel Silva 26

Rendas

Temporrias

Diferidas

Termos Constantes

27 Gabriel Silva

Renda Diferida Temporria de n Termos Normais

e Constantes

Renda cujo valor actual anterior ao inicio do 1 perodo de renda, com um nmero de termos

vencimento de cada termo ocorre no fim limitado (n), conhecidos e constantes, e o


0 1 k+n

Rendas Renda Diferida Temporria de Termos Normais

1 1 1 1 1 i

1 i (k n1) 1 i (k n )

1 1 i 1 i n1

Valor Actual

Valor Acumulado

k+1 ... k+n-1 2 k

Prazo k de diferimento

Gabriel Silva 28



i

k k n

a 1 1 i 1 i an|i .1 i n|i k|

k k n

.1 i 1 i . 1 1 i

i r . a. r r an|i

n|i k| k| A

n|i

Valor Actual

Quando a renda de n termos diferida em k perodos, o valor actual corresponde ao valor actual de uma renda imediata, actualizada em k perodos para o momento zero.

Gabriel Silva 29

Exemplo

Admita que ir receber, daqui a 2 anos, 1000 por ano durante trs anos. Qual o valor actual destes recebimentos, considerando uma taxa de juro de 10% e assumindo que os recebimentos ocorrem no final de cada perodo?


i

k k n

1 1 i 1 i r .an|i .1 i r .k| a.n|i r k| An|i

0,1

Gabriel Silva 30

3|10% 2| 3|10% 2| 1,1 2.055,25 1 1,1 1.000 2

3

r . a. A



i n|i n|i k|

1 i n 1 s s

i k| n|i k|

1 i n 1 s r .s r n|i n|i

S r .

Valor Acumulado

Quando a renda de n termos diferida em k perodos, o valor acumulado no final do prazo da renda corresponde ao valor acumulado de uma renda imediata.

Gabriel Silva 31


z

n z

k i

(1 i ) 1 i 1 s s

n|i n|i

n

k k i

z S 1 i z 1 i 1 r . s r .s r

n|i n|i n|i

Refira-se que no caso da renda ser diferida em k perodos e o levantamento do valor acumulado da renda de n termos diferida em z perodos, o valor acumulado dessa renda ao fim de n+z perodos ser dado por:

Gabriel Silva 32


Renda Diferida Temporria de n


Renda cujo valor actual anterior ao inicio do 1 perodo de renda, com um nmero de termos

vencimento de cada termo ocorre no inicio limitado (n), conhecidos e constantes, e o


0 1 k+n

Rendas Renda Diferida Temporria de Termos Antecipados

1 1 1

1 i 1 (k n1) 1 i

1 i 1 i n1

Valor Actual

Valor Acumulado

k+1 ... k+n-1 2 k


1

1 i n

Gabriel Silva 33



i

k k n

1 1 i a (1 i ) 1 i (1 i ).an|i .1 i n|i k|

Valor Actual

Quando a renda de n termos antecipados diferida em k perodos, o valor actual corresponde ao valor actual de uma renda imediata de termos antecipados, actualizada em k perodos para o momento zero.

i k k

n

.1 i r .(1 i ). 1 i 1 1 i

i a r .(1 ) A r . an|i

n|i k| n|i k| .

Gabriel Silva 34

Exemplo

Admita que ir receber, daqui a 2 anos, 1000 por ano durante trs anos.

Qual o valor actual destes recebimentos, considerando uma taxa de juro de 10% e assumindo que os recebimentos ocorrem no inicio de cada perodo?


0,1 3|10% 2| 3|10% 2|

1,1 2.260,75 1 1,1 1.000.(1,1)) 2 3

r . a A

k k n

i a .1 i 1 i r .(1 ). 1 1 i

i r .(1 i ) r . a n|i

n|i k| k| A

n|i .

Gabriel Silva 35



i k n|i n|i

1 i n 1 (1 i ) (1 i ).s s

i k k n|i n|i n|i

1 i n 1 r .(1 i ) r . s r .(1 i ).s S

Valor Acumulado

Quando a renda de n termos diferida em k perodos, o valor acumulado no final do prazo da renda corresponde ao valor acumulado de uma renda imediata.

Gabriel Silva 36

Renda Diferida Temporria de

n Termos Normais

e Constantes

Rendas Renda Diferida (Termos Normais versus Antecipados)


Renda Diferida Temporria de

n Termos

Antecipados e Constantes

a a .1 i k n|i n|i k| n|i

1 i n 1 k s sn|i i

a (1 i ).a .1 i k n|i n|i k|

k n|i

1 i n 1 (1 i ).s (1 i )

n|i i s

Gabriel Silva 37

Rendas

39 Miguel Coelho

Perptuas

Termos Constantes

38

Gabriel Silva

Renda Imediata Perptua de

Termos Normais e Constantes

Renda cujo valor actual refere-se ao inicio do 1 perodo de renda (momento 0), com um nmero de termos Ilimitado, conhecidos e constantes, e o vencimento de cada termo ocorre no fim do perodo a que respeitam.

0 1 2

1

Rendas Renda Imediata Perptua de Termos Normais

1 1 1 1 i 1 1 i 2

1 i 3 1 i ( ) Valor

Actual

Gabriel Silva 39

3

.



i A r .a r

1 |i |i

i

1 1 i 1 1 i 1

i

1 i 1 v 1

a v v 1

1 i

|i

1

i a

|i

Valor Actual

r i

Gabriel Silva 40

1 1 i 1 i

r 1 i 1 1 i 1

r .1 i v 1

v 1 r .a r .v

|i

Exemplo

Considere uma renda perptua de 1000 por ano. Qual o valor actual destes recebimentos, considerando uma taxa de juro de 10% e assumindo que os recebimentos ocorrem no final de cada perodo?


0,1

1 10.000 1.000

|10% |10% r .a A

i A r .a r

1 |i |i

Gabriel Silva 41

Renda Diferida Perpetua de


Renda cujo valor actual anterior ao inicio do 1 renda, com um nmero de termos conhecidos e constantes,

perodo de ilimitado, vencimento

e o de cada termo ocorre no fim do

perodo a que respeitam.

0 1

Rendas Renda Diferida Perptua de Termos Normais

1 1 1 1 1 i

1 i (k n1) 1 i ( ) Valor

Actual

k+1 ... k+n-1 2 k


Gabriel Silva 42


Rendas Renda Diferida Perptua de Termos Normais

i

k

1 i a .1 i k 11 i k 1 1 i

i a.

|i |i k|

Valor Actual

i i k i k i k

r 11 i

1 r 1 1 i . A. r a r .a|i .1

|i . k| |i k|

i a.

11 i k |

i

k|

Gabriel Silva 43

Exemplo

Considere uma renda perptua de 1000 por ano que se inicia daqui a 3 anos. Qual o valor actual destes recebimentos, considerando uma taxa de juro de 10% e assumindo que os recebimentos que ocorrem no final de cada perodo?


1 1.000 (1,1)3 10.000.(1,1)3 7.513,15

0,1 |10% |10% r .a A

i

k r 1 i

1 |

i

r . k| a. |i

k| A.

Gabriel Silva 44

Renda Imediata Perptua


Rendas Renda Perptua (Imediata versus Diferida)

Valor Actual

Renda Diferida Perptua


1

i a

|i

i a

11 i k |

i

k|

Gabriel Silva 45

Rendas

Temporrias

Imediatas

Termos Variveis

46 Gabriel Silva


Variando em Progresso Aritmtica

Renda cujo valor actual refere-se ao inicio do 1 perodo de renda (momento 0), com um nmero de termos limitado (n), conhecidos variando em progresso aritmtica, e o vencimento de cada termo ocorre no fim do perodo a que respeitam.

0 1 2 n

Rendas Renda Imediata Temporria de Termos em Prog. Aritm.

t.1 i 1 t d 1 i 2

(n1) 1 n 1d 1 i

t nd t d 1 i n2

t.1 i n1

Valor Actual

Gabriel Silva 47

Valor Acumulado

1 nd 1 i n

Razo da progresso aritmtica = d

n-1

t n 1d 1 i

t d t t (n 1)d t nd


t t d C

1 i n .....

t n.d

1 i 1 1 i 2 0

d t t t

t t d C

1 i n n.d

..... 1 i n

..... 1 i n

..... t n.d

1 i 2 1 i 1 1 i 2 1 i 1 1 i 2

0

Valor Actual

i i n|i

(a ) n|i

A a t

d n.d

n.d

T a n|i

- Razo da progresso aritmtica = d

- 1 termo da progresso aritmtica = t

i

n.d

i n|i

(a )

t n.d

A 1 1 i n d

i

Gabriel Silva 48

Exemplo

Admita que ir receber, uma renda composta por 5 termos normais anuais variando em progresso aritmtica de razo igual a 200, com um primeiro termo de 1000. Qual o valor actual desta renda considerando uma taxa de juro de 6%.

i

n.d

i n|i

(a )

t n.d

A 1 1 i n d

i

0,06

5(200)

0,06

200

0,06 5|6%

5(200)

1.000

1 1,065 A (a )


5|6% A 5.799,27 (a )

Exemplo

Admita que tem uma divida que se liquida em 5 prestaes a vencer nos prximos 5 meses (500, 400, 300, 200, 100). Sabendo que taxa de juro de 2% ao ms, qual o valor actual da dvida.

0,02 0,02 0,02 5|2% 5(100) 5(100)

100 500

1 1,025

A (a )

5|2%

Gabriel Silva 49

A 1.432,70 (a )


n C 1 i (n1)

t d 1 i (n2) ..... t n.d

Valor Acumulado

i

n.d n|i (a )

i

n|i

t d

S S

T S n|i

i n|i (a )

i i

d n.d t

1 i n 1 S

n

Gabriel Silva 50

C t.1 i (n1) 1 i (n2) .... 1 d 1 i (n2) ..... n.d

Exemplo

Considere uma renda composta por 5 termos anuais normais com um primeiro termo de 1000 e cujos termos seguintes decrescem a uma taxa anual de 200. Qual o seu valor acumulado considerando uma taxa de juro de 6%.


i n|i

(a )

d n.d

i i t

1 i n 1 S

0,06 0,06 0,06

5(200)

200 1.000

5|6%

1,065 1 (a ) S

5|6%

Gabriel Silva 51

S 3.513,45 (a )


Variando em Geomtrica

Renda cujo valor actual refere-se ao inicio do 1 perodo de renda, com um nmero de termos limitado (n), conhecidos variando em progresso geomtrica, e o vencimento de cada termo ocorre no fim do perodo a que respeitam.

0 1 2 n

Rendas Renda Imediata Temporria de Termos em Prog. Geom.

t.1 i 1 t.d 1 i 2

t.d 1 i n2

t.1 i n1

Valor Actual

Gabriel Silva 52

Valor Acumulado

Razo da progresso geomtrica = d

n-1

t.d n2 1 i

t.d t

t.d n2 1 i (n1)

t.d n2

t.d n1 1 i n

t.d n1

n1 t.d

Rendas Renda Imediata Temporria de Termos em Prog. Geo.

t t.d t.d n2 t.d n1

C0 1 i 1

1 i 2 .....

1 i n1

1 i n

Valor Actual

t d n 1 i n

d 1 i A .

1 i n n|i (g )

Gabriel Silva 53

n

d

1 i 1 i .....

1 i 1 i 1

n1

d n2 d n1

2 1 C0 t.

Exemplo

Considere uma renda composta por 5 termos anuais normais variando em progresso geomtrica de razo 1,05. Sabendo que o 1 termo igual a 1000 determine o valor actual considerando uma taxa de juro de 8%.


t . d 1 i

n n

1 i n d 1 i n|

i

(g ) A

. 1,085 5|8%

4.379,5 1,05 1,08

1.000 1,055 1,085 A (g )

Exemplo

Considere uma renda composta por 3 termos anuais normais variando em progresso geomtrica de razo 1,25. Sabendo que o 1 termo igual a 950 determine o valor actual considerando uma taxa de juro de 9%.

.

Gabriel Silva 54

950

1,093 3|9% 3.017,3

1,25 1,09

1,253 1,093 A (g )


n1 n2 (n2) (n1) t.d t.d ..... 1 i t.d t 1 i C0 1 i

Valor Acumulado

t

d n 1 i n

d 1 i (g ) S

n|i

Gabriel Silva 55

Exemplo

Considere uma renda composta por 5 termos anuais normais variando em progresso geomtrica de razo 1,05. Sabendo que o 1 termo igual a 1000 determine o valor acumulado considerando uma taxa de juro de 8%.


5|8% 6.434,88

1,05 1,08

1,055 1,085 S 1.000. (g )

t

d n 1 i n

d 1 i (g ) S

n|i

Gabriel Silva 56

Rendas

Fraccionamento

57 Gabriel Silva

Valor Actual

= Valor actual de uma renda certa temporria, fraccionada de termos constantes normais, com perodo inteiro de 1 e sub-perodo de 1/m

n|i a (m )

n|i i (m ) i

a (m ) a . n|i


n|i i (m ) i

A(m ) r .a(m ) r .a . n|i n|i

Valor Acumulado

Rendas Fraccionamento Renda Imediata Temp. Term. Normais

n|i n|i i (m ) i

s (m ) s .


n|i i (m ) i

S (m ) r .s (m ) r .s . n|i n|i

i = taxa de juro efectiva do perodo inteiro

Gabriel Silva 58

= taxa de juro nominal do perodo inteiro (com m capitalizaes nos m sub-periodos)

(m ) i

Exemplo

Considere uma renda temporria (3 anos) termos normais inteiros e constantes de 800. Assumindo que a taxa de juro efectiva anual de 9%, calcule o valor actual dessa renda.

Rendas Fraccionamento Renda Imediata Temp. Term. Normais

n|

i

n|

i

. i

n|i i (m ) A(m ) r .a (m ) r .a

Exemplo

Considere a hiptese da renda ser fraccionada semestralmente. Calcule o valor actual dessa renda.

1 1 i n

i A r .a r

n|i n|i

0,09 3|9% 2.025

1 1,093 r .a 800

m 2

i (m ) i (2) i (2) 0,088

S 1 i 2 1 i iS 0,04403 iS

3|9% 0,088

2.025.

0,09 2.069,6 A

(2)

Gabriel Silva 59

Renda Imediata Termos Normais


Rendas Sintese

Renda Imediata Termos Antecipados

n|

i

. i

n|i i (m ) a (m ) a

n|

i

. i

n|i i (m ) s (m ) s

1 m

i

i (m ) .1 i a(m ) a .

n|i n|i s

1 m

i

i (m )

n|i

(m

)

n|i

1 i s .

Gabriel Silva 60

28167-rendas-financeiras.pdf

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