2010 el cartesiómetro - una propuesta de aplicación consistente de las leyes del movimiento de...

Filosofia e Hist6ria da Ciencia no Cone SuI

Seleltao de Trabalhos do 6Q Encontro

Editores

lobcrto de Andrade Martins Lucia Levvovvicz Juliana Mesquita Hidalgo FelTeira Cibelle Celestino

Silva Lilian Al-Chueyr Pereira Martins

Editores

Roberto de Andrade Martins Lucia Lewowicz

Juliana Mesquita Hidalgo Ferreira Cibelle Celestino Silva

Lilian Al-Chueyr Pereira Martins


Selecao de Trabalhos do 6Q Encontro

Campinas Associac3o de Filosofia e Hist6ria da Ciencia do Cone SuI (AFHIC)

2010

Sumario

Apresentaltao Xl

Conferencistas convidados

Hugh Lacey 1 Democratic values technoscientific progress and the responsibilities of scientists

Javier Echeverria 10 Filosofia de la pnictica tecnocientifica y val ores

Miguel Espinoza 19 La forma una causa olvidada

Steve Fuller 28 History and philosophy of science as the science of becoming human

Comunica~oes

Adriana Spehrs 33 Representaci6n cientifica como representaci6n estructural

Alberto Oliva 42 Razoes e fatores na reconstrultao da racionalidade cientifica

Alberto Onna Ana Laura Monserrat Federico di Pasquo S 1 El desencanto de la vida en la ciudad del siglo XlX etica y educaci6n ambientales en Henry Thoreau y Marcos Sastre

Alejandro Gabriel Miroli S9 La categoria racionalidad Significado nuclear y significados especiales

Alejandro Gabriel Miroli 72 El debate del escepticismo en ciencias Steve Fuller y el caso Tammy Kitzmiller y otros vs Dover Area School District y otros

Ana Elisa Spielberg Horacio Abeledo 8S Niels Bohr y Werner Heisenberg 2Libre arbitrio 2Irracionalidad 2Misticismo

93

104

v

Ana Liza Tropea Alicia Massarini Controversias metodo16gicas y epistemo16gicas involucradas en los modelos de poblamiento americano sustentados en datos moleculares

Ana Maria Talak Christofredo Jakob la tradici6n neurobio16gica en la primera psicologia en Argentina

Andrea Soledad Fane Maria Gabriela Lorenzo 110 Aportes de la historia la epistemologia y la ftlosofia en los libros de textos universitarios de qufmica organica Un estudio sobre el benceno

Andres Rivadulla 120 Estrategias del descubrimiento cientifico Abduccion y preduccion

Antonio Augusto Videira Rodolfo de Silva de Souza 130 As relalt6es entre ciencia e historia da ciencia segundo Paolo Rossi

Breno Arsioli Moura Cibelle Celestino Silva 136 Forltas entre luz e materia modelos mecanicos da optica corpuscular no inicio do seculo XVIII

Cesar Augusto Battisti 143 o stattls do movimento em Descartes

Cesar Lorenzano 150 El conocimiento perceptual en las imagenes cientificas

Christian Carlos Carman 164 El sistema de epiciclos y deferentes de Saturno (especializacion terminal)

Christian de Ronde 176 No entity no identity

Eduardo Nicolas Giovannini 184 Defmicion y construccion de conceptos en la ftIosofia de la matematica de Kant

Eduardo Sota 192 Reconstruccion (parcial) de la teo ria campo-habitus

Ernesto Schettino Maimone 200 Sinodos El establecimiento de la idea de sistemas solares por Giordano Bruno

Esteban Lythgoe 208 La memoria a historiay eI ovzdo 2continuacion 0 ruptura con respeto al proyecto de Tiempoy naiTaci6n

Evelyn Vargas 213 Leibniz y el problema de la percepcion

Federico Holik Christian de Ronde 219 Modalidad y no-individualidad en la teo ria cuanrica

Fernando Tula Molina 225 Time is monry eficiencia y cultura en la sociedad deseada

Graciela Domenech Hector Freytes Christian de Ronde 232 Interpretaciones modales y de muchos mundos de la mecanica cuantica un analisis de las propiedades fisicas

Guillermo Boido 237 La consolidaci6n del paradigma newtoniano en el siglo XVIII ciencia y masoneria a prop6sito de Jean Theophile Desaguliers (1683-1744)

Vi

110 Guillermo Folguera 243 EI problema de la metdbasis en la biologia evolutiva durante el siglo XX

Gustavo Pereira 250 120 Mas alla de la dicotomia hecho-valor el rol de la hermeneutica en la economia

Jorge Paruelo 257 ~ 30 Trumpingpreemption y la teoria de S Yablo

Jose Antonio Castorina 263 La investigacion psicologica entre el saber estrategico los intercambios discursivos y la autonomia epistemica

Jose Carlos Pinto de Oliveira 272 +3 Sobre a genese (e justificacao) da nova historiografia

Jose Emane Carneiro Carvalho Filho 278 A recepcao da teoria da relatividade no meio filos6fico frances na decada de 1920

Jose Luis Falguera Lopez 287 Ontoepistemosemantica y modelos en la metateoria estructuralista

Juan Ernesto Calderon 296 EI mundo tres en Popper y Frege

Juliana Mesquita Hidalgo Ferrreira 301 William Lilly e 0 eclipse de 1652 previsao ou propaganda

Laura Benitez Grobet 314 92 La materia en Robert Boyle y la nueva metodologia

Liza Skidelsky 321 EI argumento de la pobreza del estimulo que tipo de argumento es y que muestra

Lucia Federico Pablo Lorenzano 330 ) Un analisis epistemologico del segundo secreto de la vida la rama alosterica de la red de

la teoria enzUnatica

Luciana Zaterka 340 ~ 1 3 A Unportancia da historia natural baconiana para a quimica de Robert Boyle e a fllosofia

natural de Robert Hooke

Luciano Nicolas Garcia 348 La ideologia en la psicologia debates politicos y conocimiento psicologico en la Argentina (1960-1976)

Marcelo Akita Hueda Lilian AI-Chueyr Pereira Martins 356 Lamarck Chambers e evolucao organica

Marcelo Etchegoyen Maria Eugerua Onaha 365 La concepcion fllosofica de Mischa Cotlar y su aplicacion en las matematicas Aportes a la historia de la matematica en el Cono Sur

Maria Eugenia Onaha Marcelo Etchegoyen 370 Modelos en la ciencia el caso de Angel Gallardo y su interpretacion del fenomeno de la CarloqUlnesls

Marfa Ines La Greca La paradoja de la justificacion Hayden White entre la investigacion y la escritura historicas

380

Maria Martini La tesis de Merton la Revolucion Cientifica y la sociologia del conocimiento cientifico

388

Mariano Lastiri Martin Narvaja El problema de la interpretacion en mecinica cuantica

396

Mariela Destefano Aspectos conceptuales y no conceptuales del argumento de la pobreza del estimulo

403

Marta Ferreira Abdala Mendes Uma perspectiva historica da divulgaltao cientifica uma viagem No Mundo da Ciencia (Folha de S Paulo 1947 a 1958)

408

Martin Gabriel Labarca Filosofia de la quimica a poco mas de diez aiios de su nacimiento

414

Max Rogerio Vicentini Os tres tipos de evolultao na obra de Peirce

423

Milos SevCik Relaltao entre ciencia e arte na fliosofia de Jan Patocka

431

Myriam R Mitjavila Ciencia tecnica y algo mas los psiquiatras forenses como arbitros de la criminalidad

439

Nelida Gentile El estructuralismo empirista (10 mejor de ambos mundos

447

Nicolas Venturelli Desde abajo hacia arriba el problema de La integracion para una ciencia cognitiva corporizada

452

Nilda Robles Creer 0 no creer El debate ace rca de la existencia de entidades teoricas

460

Olimpia Lombardi Mario Castagnino Una ontologia modal para la mecanica cuantica

465

OsvaLdo PessoaJr Estrutura causal da descoberta do calor radiante

474

Pablo Lorenzano Claudio de Abreu Junior Las teorias de alcance intelmedio de Robert K Merton y las concepciones clasica y estructuralista de las teorias

482

Pablo Lorenzano Daniel Blanco Chis tim Carman Ana Donolo Lucia Federico Santiago Ginnobili Mariano Lastiri Marfa de las Mercedes OLery Maria Eugenia Onaha El cartesi6metro una propuesta de aplicacion consistente de las leyes del movimiento de Descartes

493

Patricia Susana Moreno Karina Roxana Di Francisco Emestina Strata Llevar el problema de las clasificaciones al aula

505

V1ll

Raul Alberto Milone Carga te6rica de la observaci6n perspectiva os6fica de Norwood Russell Hanson

518

3 8 Ricardo J N avia Psicoanalisis y epistemologia un intercambio renovado y enriquecedor

526

Roberto de Andrade Martins EI empleo de ret6rica en la controversia entre Veismann y Spencer acerca de la selecci6n natural y el efecto de uso y desuso

533

Roberto Laura Leonardo Vanni Contexto de historias Un lenguaje para describir propiedades cuanticas a tiempos diferentes

540

Roberto Leon Ponczek Sao os gatos reais Reflexoes ftlos6ficas sobre 0 paradoxo do gato de Schrodinger

548

Rodolfo Gaeta Realismo estructural e inferencia ala mejor explicaci6n

555

Rodrigo Moro La falacia de la conjunci6n y el debate sobre la racionalidad humana

563

31 Santiago Ginnobili La independencia de la teoria de la selecci6n natural de la genetica de poblaciones

571

39 Sergio Barberis EI argumento de la pobreza del eSUmulo una reconstrucci6n

579

-ri-I Silvia Loureiro Marina Miguez Representaciones de ciencia y cientifico entre mitos y realidades

585

~52 Simone Alves de Assis Martorano Maria Eunice Ribeiro Marcondes A metodologia de Imre Lakatos aplicada ao desenvolvimento rust6rico da cinetica quimica e a sua identificaltao nos livros didaticos

594

460 Sofia Ines Albornoz Stein Estruturalismo e descritivismo reflexoes acerca das redes conceituais nas ciencias

604

Susana Lucero Propiedades causales relaciones y estructuras desde una perspectiva realista

611

2

Thais Cyrino de Mello Forato Roberto de Andrade Martins Mauricio Pietro cola Alguns debates hist6ricos sobre a natureza da luz discutindo a natureza da ciencia no enSillO

Verusca Moss Simoes dos Reis Qual e0 valor do conhecimento 0 ethos cientifico e a privatizaltao do conhecimento

616

626

93 Walmir Thomazi Cardoso Constelaltoes do Rio Negro narrativas de uma Hist6ria da Ciencia

639

El cartesi6metro una propuesta de aplicaci6n consistente de las leyes del movimiento de Descartes

Pablo Lorenzano Daniel Blanco Chistian Cannan Ana Donolo

Lucia Federico ~ Santiago Ginnobili ~Il

Mariano Lastiri $ Maria de las Mercedes OLery ss Maria Eugenia Onaha +

1 INTRODUCCION

La preocupaci6n de Descartes acerca de numerosos problemas de la fisica general de la epoca tiene ~u origen en una estrecha relaci6n mantenida hacia f111ales de 1618 y comienzos de 1619 entre eJ y el -atematico Isaac Beeckman Luego de algunos afios de trabajos experimentales y de reflexiones sobre ~ fundamentos te6ricos de la fisica a mediados de 1633 Descartes finaliza su obra Le monde dividida 0 dos secciones el Traite de fa lumiere y el Traite de Ihomme Recien luego de su muerte aparece en ~_~~-den Renatus Descartes De Homine traducci6n latina del TraiN de Ihomme a partir de dos copias del texto ~lllces En 1664 se imprime en Paris Le monde de Mr Descartes ou Traite de fa lumiere basandose en una ia de la primera parte del texto tambien en 1664 Clerselier (cufiado del embajador frances en ~ocolmo Chanut que realiza el inventario del legado de Descartes) publica la segunda parte del - uscrito original de Le monde bajo el titulo Lhomme de Rene Descartes y finalmente en 1677 el original == primera parte Le monde ou TraiN de fa lumiere

Poco mas de una decada despues de que Descartes redactara Le Monde la teoria mecanica propuesta d TraiN de fa lumiere es modificada y desarrollada en una obra donde finalmente Descartes expone la --=-ten global del universo en la forma de sistema escolar metafisico-cientifico los Principia Phiiosophi(Jf - cada en 1644 ~ monde ou TraiN de la lumiere y Principia Philosophi(Jf constituyen los mayores desarrollos y mas

iiticos de la mecanica en Descartes y sientan as las Qases del cartesianismo que continua

o-sidad Naciona de QuilmesCONICET Roque Saenz Pena 352 (B1876BXD) Berna Provo Buenos Aires Argentina ~_ pablolorenzanogmailcom

Cidad Naciona de QuilmesUniversidad Naciona de Tres de FebreroCONICET Argentina Doctorando E-mail ootravelgmailcom

-3idad Nacional de QuilmesCONICET Argentina E-mail ccarmangmailcom ~ersidad Naciona de QuilmesUniversidad Nacional de Tres de FebrcroCONICET Argentina E-mail

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desarrollandose en el siglo XVII de la mana sus seguidores y alcanza quizas su punto maximo en t

obra de un cartesiano poco ortodoxo y muy cntico Christiaan Huygens Esta y no otra fue la tradicion cientifica con la que rompio Newton Basta fijarse en su texw

temprano y que permaneciera inedito De gravitatione et aquipondio fluidorum que pued entenderse como una reaccion cntica a los Pnnczpia philosophite de Descartes el lujo de detalles Hsicoshymatematicos que Newton emplea en el Segundo Libro de los Pnncipia para refutat definitivamente l hipotesis cartesiana de los vortices asi como tambien que su obra maxima recibiera el nombre de Pnnczpia mathematica philosophia naturalis (1 a ed 1687) en claro contrapun to con la mencionada obra dt Descartes

Existe sin embargo una diferencia fundamental entre estas teonas que nos interesa patticularmenre La mecanica de Descartes carece del concepto de masa Tampoco cuenta con un concepto similar al Ct fuerza Esto podria sugerir que es una teona puramente fenomenologica en el sentido de no propone ninglin nuevo concepto teorico con fines explicativos

Ahora bien si la teona es fenomenologica la velocidad que Descartes predica de los cuerpos eeO simplemente la distancia recorrida en un lapso de tiempo dado Se produce entonces un dilema que pc ambos cuernos nos lleva a consecuencias indeseables Si la velocidad puede ser determinada desd t cualquier marco de referencia y la naturaleza del movimiento es relacional tal como parece sugeri Descartes en muchos pasajes las reglas son inconsistentes Por otro lado si la velocidad solo puede se medida des de un marco de refetencia privilegiado habiendo diferencias esenciales entre el reposo - e movimiento entonces las reglas del choque no son inconsistentes pero dada la cosmologia cie Descartes en la que la Tierra se encuentra en movimiento la mecanica de Descartes es inaplicable pu no podemos saber cual sea ese sistema de referencia privilegiado

Utilizando el marco metateorico estructuralista que brinda el enfoque mas sofisticado disponibl- acerca de la estructura fina de las teonas y de la forma en que estas se aplican podemos mostrar gil

este dilema es evitable1 Ya que es posible reconstruir de un modo consistente una teoria aplicable ~

consideramos que la mecanica de Descartes propone un nuevo concepto distinto al de velocidad el Cr rapidez En consecuencia la teona de Descartes no sena fenomenologica

Nuestro objetivo es teconstruit la mecanica de Descartes de modo tal que sea consistente -shyaplicable Mostraremos en que sentido esto puede lograrse asumiendo que Descartes propone -=shyconcepto distinto al de velocidad el ya mencionado de rapidez Para ello comenzaremos con ul presentacion intuitiva de esta teona mecanica analizaremos luego la teoricidad de los concepr(~

fundamentales de la teona y ftnalmente mostraremos como la utilizacion del cartesiometro permi~~ ofrecer una presentacion consistente de la teona

2 PRESENTACION INTUITIVA DE LA MECANICA DE DESCARTES

21 La ley fundamental y los conceptos de la teoria

Partiendo de los atributos de Dios y de la suposicion de que este provee una cierta cantidad u movimiento a los objetos de la creacion Descartes se plantea dos posibilidades 0 bien esa cantiru de movimiento se mantiene constante desde el mismo comienzo 0 bien hemos de dudar de L

inmutabilidad del creador Como era de esperar no se permite abrazar esta segunda alternativa

Dios (siendo) inmutable y [ J actuando siempre del mismo modo produce siempre el mismo efect( Suponiendo que ha puesto una determinada cantidad de movimientos en toda la materia en general de5u

1 Para una presentacion completa y detallada de esta concepcion m etate6rica ver Balzer Mou1ines amp Sneed (1987) para tiL

presentaci6n sucinta ver Diez amp Lorenzano (2002)

494

el primer instante que la cre6 es preciso sostener que conserva siempre La mlr- - --- _ ~shy

no acrua siempre de la misma manera (Descartes 1677 VII)2

Aqui encontramos explicitado el enunciado legaliforrne que corresponde a la le- fu nm -- -- w2 ~ _ mecanica de Descartes el asi llamado principio de conservaci6n de la cantidad de mmimiemo middot == 0

cual tam bien es posible identificar los conceptos basicos de la teoria que nos ocupa En primer lugar tenemos entidades susceptibles de moverse y eventualmente de colisionar e5 [o C

cuerpos (porciones de materia perfectamente s6lidos 0 duros) Ademas y dado que la cantidad de movimiento equivale al producto del volumen (que Descartes

denornina tam bien figura 0 tamano y que se calcula multiplicando los valores largo ancho y profundo) por la velocidad (siempre de estos cuerpos) sera necesario caracterizar estas dos propiedades 0 modos de los cuerpos el volumen (un numero positivo) y la celeridad 0 velocidad (tam bien un nlimero positivo salvo cuando el cuerpo esta reposo en que es cero) Este volumen proviene de la geometria y no debe confundirse (por razones que discutiremos luego) con la extension conceptualizaci6n propia y central shypero diferente - de la ftlosofia cartesiana

Naturalmente dado que esta celeridad 0 velocidad se da a traves del tiempo y que la conservaci6n del movirniento es tam bien trans temporal el tiempo y una relaci6n de orden en ese tiempo tambien constituyen conceptos basicos de la teoria

Ademas se considera el sentido del movimiento de un cuerpo 00 que Descartes llama determinacion shydeterminatzo) Utilizaremos por convenci6n el signa - para representar que un cuerpo se mueve con cierta velocidad de derecha a izquierda mientras que en el caso en que el cuerpo se mueva con cierta velocidad de izquierda a derecha no utilizaremos ninglin signa especiaL

Asirnismo veremos luego la necesidad de introducir un nuevo concepto (rapideZ) enfrentados a tomar una decision entre hacer de la teoria una construccion falsa -aunque consistente y aplicable - 0

una inconsistente

22 Las reglas de fa teoria

Como insinuamos la teoria que nos ocupa presenta ademas de su ley fundamental tres leyes que son especializaci6n de aquella las asi llamadas reglas de la naturaleza

Tambien estas reglas aparecen en las dos obras aludidas aunque 10 hacen en un orden dispar y con algunas diferencias sutiles Tal es el caso de la primera ley

(1) La ley de inercia (constancia persistencia 0 perseverancia de los estados en particular del movirnien to)

Dice Descartes en Principia philosophice

Primera ley de la naturaleza cada cosa en 10 que de ella depende persevera siempre en su estado y as 10 que es movido una vez continua moviendose siempre [ JLa primera de estas es que toda cosa en tanto que simple e indivisa queda por 10 que de ella depende siempre en el mismo estado y nunca puede cambiarse sino por causas (Descartes 1644 2 37)

La primera especializacion puede ser formulada en dos versiones una mas general que incluye la constancia del volumen y otra mas restringida y que es la versi6n sobre la que se concentrara Descartes posteriorrnente que se limita a la constancia de velocidad del movirniento Asi si no hay cosas (segun Ie monde) 0 choques (segun Principia philosophice) tanto el volumen como la velocidad se conservan

(2) La ley de rectilineareidad Oa tendencia de los cuerpos en movirniento a seguir trayectorias rectilineas de modo que los cuerpos que se mueven circularmente procuran alejarse de los centros de su rotaci6n)

En Principia philosophice Descartes la describe de la siguiente manera

2 Una formulaci6n similar aparece en Principia philosophUe (Descartes 1644 2 36)

495

La segunda ley de la naturaleza es que todo es recto de suyo y pOl eso las cosas que se muc-~ circularmente tienden siempre a separarse del centro del c1rculo que describen Segunda le- de shynaturaleza cada parte de la materia mirada pOl separado nunca tiende a seguirse moviendo seglin ning= linea curva sino s610 seglin Iineas rectas si bien muchas se yen obligadas a torcer pOl el encuentro ~ ~

otras y como poco antes se ha clicho en cualquier movimiento se produce como un clrculo de tod2 ~ materia monda al mismo tiempo (Descartes 16442 39)

(3) La ley del choque Descartes dice en Le monde (cap VII) respecto de esta tetcera ley Oa segunda en este texto) que pa

cualquier par de instantes uno anterior al choque y uno posterior a este la suma de la cantidad Cz movimiento de dos cuerpos antes del choque coincide con la suma de la cantidad de movimiento C tales cuerpos despues del choque Toda ganancia (si la hubiera) en uno tiene lugar en desmedro de Ul

perdida equivalente en el otro Por su parte en los Principia phziosophice introduce esta regIa como sigue

Tercera ley que un cuerpo al chocar con otro mas fuerte no pierde nada de su movimientolll1 ehoeando con otro menos fuerte pierde tanto euanto trasmite al otro La tereera ley de la naturaleza e ~ siguiente cuando un cuerpo en movimiento se eneuentra con otro si tiene menos fuerza para seguir e-_ linea recta que el otro para resistirle entonces se desvia hacia otra parte y reteniendo su movimiento 56~ ~

pierde la detenninaei6n de su movimiento pero si tiene mas entonees mueve consigo al otro cuerpo shypierde tanto movimiento euanto Ie da del suyo (Descartes 1644 240)

De este modo si se da el choque de dos cuerpos y la cantidad de movimiento de uno es menor ~ volumen del segundo como resultado del choque el primero mantendra su velocidad (retiene movimiento) pero siguiendo una trayectoria con un sentido opuesto al que tenia antes de la colisi6 Oa perdida de determinacion de la que habla Descartes) Por otro lado si la cantidad de movimiento de primero es superior al volumen del segundo entonces (otra vez) la suma de la cantidad de movimiem~ de dos cuerpos antes del choque coincide con la suma de la cantidad de movimiento de tales cuerpoi despues del choque debido a que mueve consigo al otro cuerpo perdiendo tanto movimiem shycuanto Ie da del suyo

La especializacion de esta tercera da lugar a nuevos elementos teoricos las especial1zaciooco terminales de la teoria

23 Las especializaciones tenninales de la teoria

El tratamiento mas pormenorizado que realiza Descartes de situaciones empmcas particulare aparecen bajo la forma de siete reglas del choque las especializaciones terminales que nos ocupa

En estos elementos teoricos se da el tratamiento de tres casos En el primero el primer cuerpo c mueve de izquierda a derecha mientras que el segundo cuerpo 10 hace de derecha a izquierda (reglas 1 y 3) En el segundo caso el segundo cuerpo esta en reposo y el primer cuerpo choca con el (reglas 4 j

Y 6) Finalmente en el tercer caso ambos cuerpos se mueven en la misma direccion pero la velocidac

del primer cuerpo es superior a la velocidad del segundo (regIa 7 que cubre tres posibles situaciones)3 Caso I Antes del choque el primer cuerpo se mueve de izquierda a derecha y el segundo cuerpo sc

mueve de derecha a izquierda

RegIa 1 Si los cuerpos tienen identico volumen y ambos cuerpos se mueven con igual velocidaci antes del choque la velocidad se conservara luego del choque aunque el sentido del recorrido de ambo cuerpos sera el opuesto al que tenian antes del choque (ver Descartes 16442 46)

P 1E (Odas los casas tematizados q es el valumen v la velacidad CJ el primer cuerpo cz el segundo cuerpa II un instanteuro illenor al chague ) 12 un instante posterior al cbogue

CV

RegIa 2 Si el volumen del primero es mayor al del segundo entonces el primer cc -----= _ novimiento y el segundo sigue pegado a el es decir se mueve en el mismo semido _e ~ -==- cuerpo La velocidad de ambos cuerpos es calculable segun una fo=ula que ofrece De5cu o Descartes 16442 47)4

RegIa 3 Si los cuerpos tienen identico volumen y la velocidad del primero es mayor a la del segundo entonces ambos seguiran juntos en el sentido del primero (es decir el primer cuelpo continua su movimiento y el segundo cambia su sentido con una velocidad igual a la mitad de la suma de la -elocidad inicial de ambos cuerpos (ver Descartes 16442 48)

Caso II EI primer cuerpo choca con el segundo estando este ultimo en reposo

Regia 4 Si el volumen del primer cuerpo es inferior al volumen del segundo entonces este continuara en reposo y el primero rebotani contra el moviendose despues del choque en un sentido opuesto al que tenia antes (ver Descartes 1644 2 49)

Regia 5 Si el volumen del primer cuerpo es mayor al volumen del segundo entonces ambos seguiran juntos en el sentido en que se movia el primero a una velocidad calculable segun una fo=ula que ofrece Descartes (ver Descartes 16442 50) 5

RegIa 6 Si los cuerpos tienen identico volumen entonces el segundo cuerpo se mueve en el sentido en que se movia el primero antes del choque a un cuarto de la velocidad que poseia el primero antes del choque Por su parte el primer cuerpo cambiara su sentido deslizandose a una velocidad equivalente a tres cuartos de la velocidad que tenia antes del choque (ver Descartes 16442 51)

Caso III Ambos cuerpos se mueven en el mismo sentido siendo la velocidad del primero mayor a Ia del segundo

Regia 7 primera posibilidad Si el volumen del primero es inferior al del segundo y el exceso en velocidad en el primer cuerpo es mayor que el exceso de tamano en el segundo cuerpo6 entonces shydespues del choque - el primer cuerpo Ie transfiere al segundo suficiente movimiento como para que ambos se muevan igual de rapido y en el mismo sentido a una velocidad calculable seglin una formula que ofrece Descartes (ver Descartes 16442 52)7

Regia 7 segunda posibilidad Si el volumen del primer cuerpo es inferior al volumen del segundo y el exceso de velocidad en el primer cuerpo es menor que el exceso de tamano en el segundo8 entonces despues del choque el primer cuerpo cambia su sentido manteniendo todo su movimiento y el segundo cuerpo continua moviendose en el mismo sentido en el que 10 hacia antes del choque De este modo ambos cuerpos conservan la velocidad que tenian antes del choque (ver Descartes 16442 52)

Regia 7 tercera posibilidad Si el volumen del primer cuerpo es inferior al volumen del segundo y la razon de las velocidades iniciales es igual a la inversa de los volumenes entonces el primer cuerpo transfiere una parte de su movimiento al otro para luego rebotar (ver Descartes 1644 2 52F)9

4 () _q(c--)__ c-1 )_ q-- (c_- v( +--- (c-=)_v---=t-) v(ct ) + v ct - shy

q(c) + q(c)

5 V(CI h) = v(C2 h) = q(Cl) V (CI 11)q(cI) + q(C2) La f6rmula es inferida del ejemplo dado en Pr 2 50 usando el principio de conservaci6n

6 vCC1 11) V(C2 11) gt q(ez) q(Cl) 7 vCC1 12) == V(C2 12) == q(Cl) v (Cl 11) + q(C2) v (ez 11) q(CI) + q(C2) La f6rmula es inferida del ejemplo dado en Pr 252 usando el

principio de conservnci6n En la versi6n francesa Descartes elimina la condici6n q(Cl) lt q(C2) 8 v(q II ) V(C2 II ) lt q(C2) q(Cl) 9 Este cnso s610 se encuentra en In edici6n francesa D escartes no proporciona en el texto un ejemplo del cual e p~el2 ~ie=

una f6rmula pero quizas trata de decir que significa que el primer cuerpo transferiria In mitad de u r3pa C ~-r--=o

cuerpo de forma tal que por el principio de la conservaci6n v(c 12) == v(Cl 11 ) 2 Y V(CI 12) == (3 2) I~ t -1 shy

3 TEORICIDAD DE LOS CONCEPTOS FUNDAMENTALES DE LA MECANICA DE DESCARTES

Las teonas son usadas basicamente para explicar ciertos fenomenos La naturaleza de la explicacion cientifica ha sido uno de los temas tradicionalmente tratados por la ftlosofia de la ciencia en el marco de la denominada concepcion heredada 0 clasica de las teonas cientificas Existe tam bien un tratamiento de la tematica en el marco de las denominadas concepciones semanticas modeloteoricas en particular en el de la concepcion estructuralista de las teonas La idea basica es 12 misma del anilisis clasico de acuerdo con el cual explicar un fenomeno significa subsumirlo bajo algum ley pero precisada en terminos modeloteoricos Asi llegamos al modelo de explicacion de jenom8llo particulares como subsuncion modeloteorica mas espedficamente entendida como subsuncion teorica en patrones nomicos Explicar un fenomeno consiste en subsumir el fenomeno en un patron nomi1 proporcionado por las distintas leyes tanto fundamentales como especialesl0

Si bien esto es compatible con la existencia de teonas fenomenologicas (en el sentido ya mencionack de carecer de terminos teoricos) por 10 general la explicacion de fenomenos particulares 10 es po subsuncion teorica ampliativa en patrones nomicos Conectando de este modo el concepto ce explicacion con el de T-teoricidadl1 obtenemos la nocion de explicacion como extension 0 ampla teonca formulable en los siguientes terminos

La teoria T explica (0 se aplica exitosamente a) un fenomeno particular si dicho fenome-rv conceptualizado T-no-teoricamente se extiende 0 amplia con conceptos T-te6ricos de forma tal que satisfacen las ley es fundamental es y las leyes especiales12 ee el patron n6mico

En una publicacion anterior (Lorenzano et aI 2007) proporcionamos una primera aproximacioJ la mednica de Rene Descartes dentro del formato del estructuralismo metateorico Alli considerabam~

la posibilidad de que el concepto de volumen fuese teorico en la mecanica de Descartes En ciL medida resultaba en un principio sugerente plantear tal supuesto a partir de identificar intuitivamene ~ concepto de volumen cartesiano con el concepto de masa de la mecanica clasica de parcicula5 - ~

teoricidad del concepto de masa tanto para la mecanica newtoniana como para la mecanica del choc=

de Huygens ha sido suficientemente argumentada (Balzer Moulines amp Sneed 1987) Similarmente al concepto de masa en la mecanica newtoniana el concepto de volumen ~~

representado en nuestro intento de axiomatizacion de la mecanica de Descartes como una fuoc~ numerica a la que denominamos 1 En los axiomas de interpretacion q representa una funcion q~ asigna a cada cuerpo su volumen (tamano figura) dado en largo ancho y profundo (un solo nWLe-

resultado de la multiplicacion de los tres valores) Formalmente entonces q C ~ ~- E ~ reconstruccion bajo el enfoque estructuralista de la mecanica clasica de parciculas la funci6- representa al concepto de masa e intuitivamente expresa una relaci6n similar a partir de la cual -~ particula es posible asignarle un valor numerico que refleje la quantitas materiae (Balzer Moulines

Sneed 1987 p 53) Sin embargo la mica cantidad de materia concebida por Descartes es la C21- de extension es decir la extension espaciaL As 10 establece inequivocamente en Principia PhiloJoh z

[ J 0 que haya mas materia 0 sustancia cuando un vasa esta lleno de plomo u oro 0 cualqti cuerpo duro y pesado que cuando s610 contienen aire y se considera vacio pues la cantidad de ill l=shy

10 Y demas constricciones nomicas que tambien son identificadas en un analisis de tipo estrucruralista las condic-r---5 ligadura y los vlnculos interte6ricos

11 La idea es que un concepto es T-teorico si no se puede determllar sin presuponer la aplicabilidad de -=- 0

procedimiento para su determinacion la presupone y es Tmiddotno-teorico si tiene algUn procedimiento de de[erm~ independiente si es posible determinarlo sin suponer la aplicacion de la teona por mas que tambien [el1F~

dependientes demas de las condiciones de ligadura y los vinculos interteoricos -+98

0

las partes no depende de su peso 0 dureza sino de la sola extension que siempre es igual en el mismo c (Descartes 1644 2 19)

Determinar este tipo de conceptos expresados a partir de funciones que asignan a elementos de un determinado conjunto valores numericos -tales como el de masa (en el caso de la mecanica newtoniana) ode volumen (en la mecanica de Descartes)- presupone disponer de criterios generales a partir de los cuales pueda ser identificado el valor numerico que la fun cion adscribira a cada uno de los elementos del dominio en cuestion involucrando asi la existencia de procedimientos de medicion (Balzer Moulines amp Sneed 1987 p 50)

A partir de todo 10 antes dicho y teniendo en cuenta el criterio informal de T -teoricidad el concepto de volumen en la mecanica de Descartes podra considerarse cartesiano-teorico solo si todos los procedimientos de medicion involucrados en su determinacion son 0 presuponen modelos actuales de dicha teona mecanica Y resulta claro que para determinar el volumen (tamano figura) 0 10 que es 10 mismo la extension de un cuerpo entendida como su largo ancho y profundo y expresado mediante un solo nillnero resultado de la multiplicaci6n de los valores largo ancho y profundo de un cuerpo perfectamente homogeneo no se necesita presuponer la mecanica de Descartes pudiendose hacer asi de un modo independiente

De este modo consideramos necesario desestimar la posibilidad de que el concepto de volumen pueda seguir considerandose como cartesiano-teorico y pasamos al analisis del concepto de rapidez

En algunos pasajes Descartes parece sostener la naturaleza relacional del movimiento es decir que no existe una diferencia esencial entre el reposo y el movimiento (ver p e Descartes 16442 25)

No obstante si se concede tal cosa nos encontramos ante consecuencias indeseables en especial si hemos de pensar caritativamente la formulacion de Descartes si en efecto no existe una diferencia objetiva entre reposo y movimiento las reglas de choque se vuelven inconsistentes

Esto nos lleva a pensar que estas reglas suponen una distincion absoluta entre reposo y movimiento tomandose dificultoso considerar al movimiento des de un punto de vista relacional A los fines presentes baste al lector saber que asumimos una diferencia esencial entre movimiento y reposo de modo de volver consistente a la teona Nos vemos obligados entonces en la reconstruccion a diferenciar la velocidad que puede ser medida con independencia de la mecanica de Descartes de la rapidez que no

Esta decision a la hora de la interpretacion trae consigo una consecuencia importante las reglas no hablan meramente (como las hemos interpretado hasta ahora) de la velocidad - que sin duda es un termino relacional - sino de rapidez esto es de la velocidad medida desde un sistema de referencia privilegiado a saber aquel que esta en reposo absoluto Si no es posible dar con tal cos a entonces tampoco es posible aplicar la teoria (es decir se vuelve una teona consistente pero inaplicable)

Afortunadamente sf existe un modo que no es independiente de la teoria pues puede calcularse observando la manera en que chocan los cuerpos es decir aplicando justamente las leyes de la teona

Naturalmente y como uno de los corolarios metateoricos de esta propuesta la teona ya no sera meramente fenomenologica pues introduce un termino teorico para la teona el de rapidez

Ello no quiere dem que en vez de reconstruir la teoria real que propuso Descartes nos propongamos reconstruir una idea platonica de ella hecha coherente por nosotros mismos al solo efecto de que sea reconstruible desentendiendonos por completo de la cuestion historica Sino que mas bien como creemos que los cientificos intentan en la medida de 10 posible no proponer teorhs inconsistentes - por 10 menos no patentemente inconsistentes como sena el caso si se entendiera el movimiento de manera relacional - mostrar que hay una version coherente de la teona de Descartes debena ser leido como un elemento a favor de la plausibilidad historica de esta interpretacion Cn segundo tipo de argwnentacion que por razones de espacio dejaremos para otro trabajo consistira en seiialar evidencia textual para esta interpretacion historiografica

Pero nuestra propuesta de interpretacion engendra un problema en la aplicacion de las reglas porque para saber que regia debemos aplicar debemos conocer primero su rapidez y no solo su velocidad para 10 cual debemos establecer el reposo absoluto como sistema de referencia privilegiado

Por 10 tanto si no sabemos si el marco de referencia desde el que medimos esta 0 no en reposo absoluto no podemos medir el estado de movimiento intrinseco de los cuerpos esto es su rapidez Pero ~puede medirse el reposo absoluto Evidentemente no con independencia de la teor1a En otro sitio (Lorenzano et ai 2008) ya probamos que S1 es posible hacerlo observando como chocan lo~ cuerpos es decir aplicando las leyes de la teoria con la ayuda de un dispositivo que llamam05 cartesiometro Asi solo podemos determinar el reposo absoluto de un cuerpo mediante la aplicacion de la mecanica de Descartes Por 10 tanto reposo sera un concepto mecanico cartesiano-teorico

4 COMO FUNCIONA EL CARTESIOMETRO

Brevemente mostraremos aqu1 como podria obtenerse la rapidez mediante la aplicacion de las le~middott

de la teoria La relacion entre la velocidad de un cuerpo en un determinado momento y su rapidez puecle

expresarse mediante la siguiente formula

rsr +V(c l sr) = r(c )

Es esta pues la ecuacion que vincula el termino cm1esiano-teorico rapidez con los componem c-shycartesiano-no-teoricos la velocidad

Para determinar la rapidez utilizaremos dos cuerpos que tienen el mismo volumen y velocidc c iguales y contrarias Siendo el volumen y la velocidad conceptos cm1esial0-no teoricos no b dificultades en lograrlo Existen solo tres reglas que se aplican a cas os de cuerpos con el mis shyvolumen las reglas 1 3 Y 6

La clave para poder obtener la rapidez del sistema de referencia es notar que los resultados de 0shychoques en fun cion de su rapidez tienen una contrapartida obsenJable inequivoca fruto de la ecuaci60 mostramos y de las condiciones iniciales en las que pusimos el sistema

41 Aplicacion de Ia regIa 3

Es evidente que dos cuerpos tienen la misma rapidez siy solo si tienen tambien la misma velocidad medii ~-

mismo sistema de referencia (se desprende inmediatamente de la ecuacion) Por 10 tanto si luego del cho-~ los dos cuerpos salen pegados esto es con la misma velocidad sabremos que han salido tambieD cc -= misma rapidez (ver fig 1)

Ahora bien si es aS1 solo puede tratarse de un caso de la regia 3 Y si es un caso de la f_ _

podemos calcular el valor de rsr de la siguiente manera La regia nos dice que

reel I) + r( e t) r =r =

( c] II) (CdI) 2

Si aplicamos la ley que vincula la rapidez con la velocidad y reemplazamos las rapidece relaciones con la velocidad obtenemos

V (e] sr) + rsr + v(e sr) - rsr r +V =r +V = -Sl (e] sr) sr (e I sr) 2

Despejando r obtenemos que

r =V -vSl (e ] sr) (c ] sr)

JOO

y a la derecha de la ecuaci6n tenemos todas variables cartesiano-no-te6ricas (1a velocidad final dei S13 [t -- ~

y las velocidades iniciales) por 10 que a partir de 10 medido puede obtenerse el valor de la rapidez de sistema de referencia

Figura 1 Cartesiometro implicando regIa 3

42 Aplicacion de la regia 1

La regIa 1 exige que en el estado inicial las rapideces sean iguales y contrarias Por 10 tanto si la regIa 1 se aplica en nuestro sistema las velocidades y las rapideces deberan coincidir por 10 que la rapidez del sistema de referenda es 0 (10 cual implica que nuestro dispositivo se encuentra en reposo absoluto) Evidentemente en esta situaci6n como las rapideces finales -segun la regla- seran iguales y contrarias a las iniciales as seran tambien las velocidades Por 10 tanto si observamos que las velocidades finales de nuestro sistema son iguales y contrarias a las origin ales la rapidez del sistema de referencia es 0 y es el unico casu en el que se puede dar la regIa 1 (ver fig 2)



Como en esta regIa uno de los cuerpos se encuentra en reposo absoluto y por disposicion del sistema ambos cuerpos parten con velocidades iguales y contrarias la rapidez del sistema de refete _C2 (esto es del dispositivo) sera igual a la velocidad inicial del cuerpo que se encuentre en rep()~o

Determinaremos cual es el cuerpo en reposo analizando el estado final del sistema La ley predice que e~

cuerpo en reposo saldni despedido con una rapidez igual a 1 de la rapidez inicial del otto cuerpo y en i rrllsmo sentido en que venia ese cuerpo y el otro en cambio cambiara su sentido y se alejara con un rapidez igual a 3j de la inicial Por otto lado sabemos que la rapidez del sistema de referencia es igual la velocidad inicial del cuerpo en reposo absoluto (solo as puede estar en reposo absoluto con e5~

determinada velocidad) EI sentich del sistema de referencia es contrario al de fa velocidad inicial del cuerpo

movimiento absoluto - puesto que es igual a la del cuerpo en reposo absoluto En estas condiciones 0-0

evidente que la regIa 6 predice que la velocidad fmal de ambos cuerpos ira hacia el rrllsmo lado aunqlt uno se alejara con una velocidad mayor que el otro

Por la configuracion de nuestro sistema sabemos que

v (c i I sr) = X

v =-X(c I sr)

Ahora bien por mor de la argumentacion supongamos que eI cuerpo 2 esta en reposo Puesto que-

r +V =r =0 Sf (cIr ) (c I)

rsr = -V(CI Sr)

Por 10 tanto

r sr =X

siendo conttaria a la velocidad inicial del cuerpo en movirniento absoluto Y esto es suficiente para saber que la rapidez inicial del cuerpo 1

r(c I ) = r sr + v(c I sr) =X + X =2xI i

Y la rapidez inicial de cuerpo 2 es

r(c _) = rsr + V(c I or) = X - X = 02 I

De aqu sabemos que en eI estado fmal las rapideces seran

3 3 r =--2x =--x (c 1f) 4 2

1 1 r =--2x=--x (cIl f ) 4 2

Transformando estas rapideces en velocidades recordando que V(CI sr) = r(c t) - r sr

obtenemos

3 5 V =r -r =--x-x=--x

(CIlfsr) (CIf) sr 2 2

1 1 V =r -r =--x-x=--x

(cfsr) (c f) sr 2 2

Por 10 tanto ambos cuerpos saldran con velocidades distintas pero en eI rrllsmo sentido (ver fig Y eI sentido en eI que salen es contrario al de la rapidez del cuerpo en movirniento por 10 que e 6 rrllsmo sentido de la rapidez del sistema de referencia

Es cierto que eI cartesiometto propuesto utiliza solo tres leyes especiales para averiguar la rapic del sistema de referencia (aquellas que parten de cuerpos con igual volumen) Pero ello por supue cshyno implica que con eI dispositivo no puedan determinarse rapideces de cuerpos con volumezc distintos ya que conocida una rapidez pueden conocerse todas aplicando la primera form~ propuesta

502

5

Figura 3 Cartesiometro implicando regia 6

CONCLUSI6N

En el presente trabajo nos planteamos elaborar una propuesta consistente de la mecamca de Descartes Sugerimos que no se trata de una teona meramente fenomenol6gica sino genuinamente explicativa ya que introduce el concepto cartesiano-te6rico de rapidez como propio y dis tin to del de velocidad EI exito de nuestro emprendimiento muestra una vez mas la fecundidad del enfoque estructuralista en el analisis fino de las teonas y a la vez invita a pensar que la reconstrucci6n ofrecida podria ser la que de hecho tuvo en mente el Descartes hist6rico Poseemos cierta evidencia textual de ello su exposici6n y analisis sin embargo quedara para otro trabajo

AGRADECIMIENTOS

Este articulo fruto del trabajo conjunto dentro del Seminario Permanente en Filosofia de la Ciencia dirigido por Pablo Lorenzano en la Universidad Nacional de Quilmes fue realizado con ayuda de los proyectos de investigaci6n PIC1R2006 Ndeg 2007 Y PICT2007 Ndeg 1558 de la Agencia Nacional de Promoci6n Cientifica y Tecnol6gica y presentado en el Workshop Modelos y representaci6n en la ciencia en el marco del VI Encuentro de Filosojfa e Historia de la Ciencia del Cono Sur

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

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DESCARTES Rene Principia philosophice Amsterdam Louis Elzevier 1644 in DESCARTES Rene Oeuvres de Descartes Publicadas por ADAM Charles TANNERY Paul Paris Vrin 1896-191311 vols

-- Le monde ou Trade de la lumiere Paris Clerselier 1677 in DESCARTES Rene Oeuvres de Descartes Publicadas por ADAM Charles TANNERY Paul Paris Vrin 1896-1913 11 vols

DIEZ Jose Antonio LORENZANO Pablo La concepci6n estructuralista en el contexto de la filosofia de la ciencia del siglo XX Pp 13-78 in DIEZJose Antonio LORENZANO Pablo (eds) Desanvllos aauales de la metateoria estruauralista problemas y discusiones Quilmes Universidad Nacional de QuilmesUniversidad Aut6noma de ZacatecasUniversidad Rovira i Virgili 2002

LORENZANO Pablo BLANCO Daniel CARMAN Christian DONOLO Ana FEDERICO Lucia GINNOBILI Santiago LASTIRI Mariano OLERY Mercedes Maria Eugenia O~_middotI-U_

La mecanica de Rene Descartes Epistemologia e Historia de la Ciencia 13 309-316 2007

--- Cartesiometro 0 de como aplicar la mecanica cartesiana Epistemologia e Historia de la Ciencia 14 303-3092008

NEXTON Isaac De gravitatione et cequipondio f1uidorum [circa 1667] Pp 29-60 in BENITEZ Laura amp ROBLES Jose Antonio (eds) De Newton y los newtonianos Quilmes Universidad Nacional de Quilmes 2006

-- Princzpia mathematica philosophia naturales Londini jussi Societatus Regiae ac typis J osephi Streater ptostat apud plutes bibliopolas [1687] Version cas tellana Priltcipios matemciticos de la filosrifia natural] sistema del mundo Traduccion de Antonio Escotado y M Saenz de Heredia Madrid Editor Nacional1982

504

Editores

Roberto de Andrade Martins Lucia Lewowicz

Juliana Mesquita Hidalgo Ferreira Cibelle Celestino Silva

Lilian Al-Chueyr Pereira Martins


Selecao de Trabalhos do 6Q Encontro

Campinas Associac3o de Filosofia e Hist6ria da Ciencia do Cone SuI (AFHIC)

2010

Sumario

Apresentaltao Xl






Comunica~oes







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1 INTRODUCCION












-[erkcomar


















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una inconsistente











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CV












q(c) + q(c)






















0




























( c] II) (CdI) 2





JOO















v (c i I sr) = X

v =-X(c I sr)


r +V =r =0 Sf (cIr ) (c I)

rsr = -V(CI Sr)

Por 10 tanto

r sr =X




r(c _) = rsr + V(c I or) = X - X = 02 I


3 3 r =--2x =--x (c 1f) 4 2

1 1 r =--2x=--x (cIl f ) 4 2


obtenemos

3 5 V =r -r =--x-x=--x


1 1 V =r -r =--x-x=--x

(cfsr) (c f) sr 2 2



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5


CONCLUSI6N


AGRADECIMIENTOS












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Sumario

Apresentaltao Xl






Comunica~oes







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1 INTRODUCCION












-[erkcomar


















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una inconsistente











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CV












q(c) + q(c)






















0




























( c] II) (CdI) 2





JOO















v (c i I sr) = X

v =-X(c I sr)


r +V =r =0 Sf (cIr ) (c I)

rsr = -V(CI Sr)

Por 10 tanto

r sr =X




r(c _) = rsr + V(c I or) = X - X = 02 I


3 3 r =--2x =--x (c 1f) 4 2

1 1 r =--2x=--x (cIl f ) 4 2


obtenemos

3 5 V =r -r =--x-x=--x


1 1 V =r -r =--x-x=--x

(cfsr) (c f) sr 2 2



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CONCLUSI6N


AGRADECIMIENTOS












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1 INTRODUCCION












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una inconsistente











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CV












q(c) + q(c)






















0




























( c] II) (CdI) 2





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v (c i I sr) = X

v =-X(c I sr)


r +V =r =0 Sf (cIr ) (c I)

rsr = -V(CI Sr)

Por 10 tanto

r sr =X




r(c _) = rsr + V(c I or) = X - X = 02 I


3 3 r =--2x =--x (c 1f) 4 2

1 1 r =--2x=--x (cIl f ) 4 2


obtenemos

3 5 V =r -r =--x-x=--x


1 1 V =r -r =--x-x=--x

(cfsr) (c f) sr 2 2



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CONCLUSI6N


AGRADECIMIENTOS












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1 INTRODUCCION












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q(c) + q(c)






















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v (c i I sr) = X

v =-X(c I sr)


r +V =r =0 Sf (cIr ) (c I)

rsr = -V(CI Sr)

Por 10 tanto

r sr =X




r(c _) = rsr + V(c I or) = X - X = 02 I


3 3 r =--2x =--x (c 1f) 4 2

1 1 r =--2x=--x (cIl f ) 4 2


obtenemos

3 5 V =r -r =--x-x=--x


1 1 V =r -r =--x-x=--x

(cfsr) (c f) sr 2 2



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CONCLUSI6N


AGRADECIMIENTOS












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548


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2



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1 INTRODUCCION












-[erkcomar


















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una inconsistente











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CV












q(c) + q(c)






















0




























( c] II) (CdI) 2





JOO















v (c i I sr) = X

v =-X(c I sr)


r +V =r =0 Sf (cIr ) (c I)

rsr = -V(CI Sr)

Por 10 tanto

r sr =X




r(c _) = rsr + V(c I or) = X - X = 02 I


3 3 r =--2x =--x (c 1f) 4 2

1 1 r =--2x=--x (cIl f ) 4 2


obtenemos

3 5 V =r -r =--x-x=--x


1 1 V =r -r =--x-x=--x

(cfsr) (c f) sr 2 2



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CONCLUSI6N


AGRADECIMIENTOS












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1 INTRODUCCION












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q(c) + q(c)






















0




























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v (c i I sr) = X

v =-X(c I sr)


r +V =r =0 Sf (cIr ) (c I)

rsr = -V(CI Sr)

Por 10 tanto

r sr =X




r(c _) = rsr + V(c I or) = X - X = 02 I


3 3 r =--2x =--x (c 1f) 4 2

1 1 r =--2x=--x (cIl f ) 4 2


obtenemos

3 5 V =r -r =--x-x=--x


1 1 V =r -r =--x-x=--x

(cfsr) (c f) sr 2 2



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AGRADECIMIENTOS












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v (c i I sr) = X

v =-X(c I sr)


r +V =r =0 Sf (cIr ) (c I)

rsr = -V(CI Sr)

Por 10 tanto

r sr =X




r(c _) = rsr + V(c I or) = X - X = 02 I


3 3 r =--2x =--x (c 1f) 4 2

1 1 r =--2x=--x (cIl f ) 4 2


obtenemos

3 5 V =r -r =--x-x=--x


1 1 V =r -r =--x-x=--x

(cfsr) (c f) sr 2 2



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v (c i I sr) = X

v =-X(c I sr)


r +V =r =0 Sf (cIr ) (c I)

rsr = -V(CI Sr)

Por 10 tanto

r sr =X




r(c _) = rsr + V(c I or) = X - X = 02 I


3 3 r =--2x =--x (c 1f) 4 2

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obtenemos

3 5 V =r -r =--x-x=--x


1 1 V =r -r =--x-x=--x

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v (c i I sr) = X

v =-X(c I sr)


r +V =r =0 Sf (cIr ) (c I)

rsr = -V(CI Sr)

Por 10 tanto

r sr =X




r(c _) = rsr + V(c I or) = X - X = 02 I


3 3 r =--2x =--x (c 1f) 4 2

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v (c i I sr) = X

v =-X(c I sr)


r +V =r =0 Sf (cIr ) (c I)

rsr = -V(CI Sr)

Por 10 tanto

r sr =X




r(c _) = rsr + V(c I or) = X - X = 02 I


3 3 r =--2x =--x (c 1f) 4 2

1 1 r =--2x=--x (cIl f ) 4 2


obtenemos

3 5 V =r -r =--x-x=--x


1 1 V =r -r =--x-x=--x

(cfsr) (c f) sr 2 2



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v (c i I sr) = X

v =-X(c I sr)


r +V =r =0 Sf (cIr ) (c I)

rsr = -V(CI Sr)

Por 10 tanto

r sr =X




r(c _) = rsr + V(c I or) = X - X = 02 I


3 3 r =--2x =--x (c 1f) 4 2

1 1 r =--2x=--x (cIl f ) 4 2


obtenemos

3 5 V =r -r =--x-x=--x


1 1 V =r -r =--x-x=--x

(cfsr) (c f) sr 2 2



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v (c i I sr) = X

v =-X(c I sr)


r +V =r =0 Sf (cIr ) (c I)

rsr = -V(CI Sr)

Por 10 tanto

r sr =X




r(c _) = rsr + V(c I or) = X - X = 02 I


3 3 r =--2x =--x (c 1f) 4 2

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obtenemos

3 5 V =r -r =--x-x=--x


1 1 V =r -r =--x-x=--x

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v (c i I sr) = X

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r +V =r =0 Sf (cIr ) (c I)

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r(c _) = rsr + V(c I or) = X - X = 02 I


3 3 r =--2x =--x (c 1f) 4 2

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obtenemos

3 5 V =r -r =--x-x=--x


1 1 V =r -r =--x-x=--x

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2010 el cartesiómetro - una propuesta de aplicación consistente de las leyes del movimiento de...

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