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Operadores hiperćıclicos

em espaços vetoriais topológicos

Débora Cristina Brandt Costa

DISSERTACÃO APRESENTADA

AO

INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA

DA

UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO

PARA

OBTENCÃO DO GRAU DE MESTRE

EM

CIÊNCIAS

Área de concentração: Matemática

Orientadora: Profa. Dra. Mary Lilian Lourenço

Durante a elaboração deste trabalho, a autora recebeu apoio financeiro da FAPESP.

São Paulo, março de 2007.

Operadores hiperćıclicos

em espaços vetoriais topológicos

Este exemplar corresponde à redação

final da dissertação devidamente corrigida

e defendida por Débora Cristina Brandt Costa

e aprovada pela comissão julgadora.

São Paulo, 16 de março de 2007.

Banca examinadora:

• Prof. Dr. Mary Lilian Loureno IME-USP

• Prof. Dr. André Arbex Hallack UFJF

• Prof. Dr. Leonardo Pellegrini IME-USP

i

Aos Meus Pais,

Helga e Darcy.

i

Agradecimentos

Reservo este espaço para expressar minha gratidão àqueles que, de alguma forma,

contribúıram para a concretização deste trabalho.

Primeiramente, agradeço à professora Mary Lilian Lourenço, não apenas pela

orientação, mas pela amizade e compreensão ao longo desses últimos três anos.

Também sou grata ao prof. André Arbex Hallack, pela disposição em ajudar-me

nos assuntos pertinentes à esse trabalho, por ter assistido meus seminários e ter lido

várias versões preliminares desta dissertação.

Agradeço à Neusa Rogas Tocha, pelo companheirismo, paciência em me ouvir

treinar apresentações e ajudar em muitos momentos no decorrer desse mestrado.

Aos meus colegas de graduação e mestrado Eliza R. Andrade, Tatyana Okano, Maria

Cristina (Macris) Amaral, Ednei Reis, Márcio M. Onodera, Márcio Villar, Rodnei

Silva, Sérgio Malacrida, Carlos Griese e Guilherme Benitez, pela amizade e pela

cumplicidade em tantos momentos que passamos juntos nesses vários anos aqui no

IME; em especial ao Paulo (Piu) Taneda, Pedro Kaufmann e Fernando (Bolha)

Lima, pelo aux́ılio nos últimos momentos antecedentes à defesa.

O meu muito obrigada aos demais professores e funcionários do IME pela atenção

e solicitude com que sempre me trataram nos assuntos acadêmicos e burocráticos.

Também aos meus colegas do Maps Risk, principalmente ao senhor Victor Hugo

Pafume, pela boa vontade em me liberar todas as quintas à tarde, para que pudesse

concluir esse trabalho.

Tenho muito a agradecer aos meus pais, pelo carinho e compreensão e prin-

cipalmente ao meu marido Lúcio, pela força, companheirismo, paciência e apoio

incondicional em todos os momentos, que só quem ama consegue dedicar.

Por fim, agradeço à Fapesp pelo apoio financeiro.

ii

Resumo

Dado E um espaço vetorial topológico e T um operador linear cont́ınuo em E,

diremos que T é hiperćıclico se, para algum elemento x ∈ E, a órbita de x sob T ,Orb(x, T ) = {x, Tx, T 2x, ...}, for densa em E. Nosso objetivo será apresentar al-guns resultados sobre hiperciclicidade e observar como alguns espaços comportam-se

diante dessa classe de operadores.

Abstract

Let E be a topological vector space and T a continuous linear operator on E.

We say that T is hypercyclic if, for some x ∈ E, the orbit of x on T , Orb(x, T ) ={x, Tx, T 2x, ...}, is dense in E. Our aim will be to study some results about hyper-cyclicity and to observe how some spaces behave regarding this class of operators.

Índice

Notação iv

Introdução 1

1 Preliminares 4

1.1 Categorias de Baire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Topologias Fraca e Fraca-Estrela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 Operadores em Espaços de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4 Espaços Localmente Convexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.5 Espaço C(G) de Funções Cont́ınuas (G ⊂ C aberto) . . . . . . . . . . 131.6 O Espaço H(C) das Funções Inteiras em C. . . . . . . . . . . . . . . . 18

2 Hiperciclicidade 22

2.1 Exemplos Clássicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.2 Alguns Resultados sobre Hiperciclicidade . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3 Hiperciclicidade em ‘Weighted Shifts’ Bilaterais 38

4 Os Operadores de Convolução 54

5 Polinômios d-Homogêneos em Espaços de Banach 66

5.1 Polinômios Homogêneos em Espaços Normados . . . . . . . . . . . . 66

5.2 Existência de Polinômio Hiperćıclicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

Referências 82

iii

Notações

Ao longo desta dissertação, estaremos utilizando as seguintes notações:

X espaço normado

E espaço vetorial topológico

N0 o conjunto dos números inteiros não negativos

N o conjunto dos números naturais

K o corpo R ou C

lp(I) o espaço de Banach das seqüências (xn)n∈I p−somáveis,onde p é um número natural e I = N ou I = Z

BX a bola unitária fechada de um espaço normado X

B◦X a bola unitária aberta de um espaço normado X

X∗ o dual topológico de X, munido da sua norma usual

B(X, Y ) o espaço de todas as aplicações lineares limitadas entre osespaços normados X e Y

T ∗ o operador adjunto de T ∈ B(X,Y ),ek a seqüência (0, 0, ..., 0, 1, 0, ...) com 1 na k − ésima posição,

pertencente a lp(N)

[x, y] o subespaço vetorial gerado pelos elementos x e y

H(C) o espaço das funções inteiras f : C → Cf (n) a derivada n-ésima de f ∈ H(C)

T n(x) o operador T aplicado n vezes sobre o vetor x

iv

Introdução

Sabemos que a Análise se caracteriza pelo estudo de processos limitantes. Clara-

mente, nem todo processo limitante converge. Entretanto, ao longo do tempo, foram

encontrados exemplos de processos que, apesar de divergirem, o faziam de uma

maneira maximal. Essa “divergência maximal” está freqüentemente associada ao

fenômeno da universalidade.

Definição Dados E e F espaços topológicos, uma famı́lia de aplicações cont́ınuas

Tl : E → F , (l ∈ I), é dita universal se o conjunto {Tlx : l ∈ I} for denso em Fpara algum x ∈ E.

A importância do estudo das universalidades reside na observação que qualquer

processo em Análise que diverge ou se comporta irregularmente parece produzir (em

alguns casos) um elemento universal e, se é confirmada a existência, ela é abundante:

em muitos casos, quase todo elemento é universal (no sentido de categorias de Baire).

Assim, universalidade tem-se mostrado um fenômeno genérico em Análise.

O primeiro exemplo conhecido de operadores universais vem de 1929, com um

trabalho de G. D. Birkhoff [6], no qual foi provada a existência de uma função f no

espaço de Fréchet H(C) das funções inteiras em C munido da topologia compacto-aberta, tal que o conjunto {f(z), f(1 + z), ..., f(n+ z), ...} é denso em H(C). Já em1952, MacLane provou em [18] que existe uma função f ∈ H(C) tal que o conjunto{f, f ′, ..., f (n), ...} é denso em H(C).

Durante os últimos 20 anos, um tipo particular de universalidade vem sendo estu-

dado intensamente: em espaços vetoriais topológicos, usualmente espaços de Banach

ou Hilbert, considera-se uma seqüência (Tn)n∈N de operadores gerada a partir de um

único operador linear cont́ınuo T via iteração. Se tal seqüência for universal, dize-

mos que T é um operador hiperćıclico. Mais precisamente:

Definição Sejam E um espaço vetorial topológico e T um operador linear cont́ınuo

em E. Diremos que T é hiperćıclico se, para algum elemento x ∈ E, a órbita dex sob T , Orb(x, T ) = {x, Tx, T 2x, ...}, for densa em E. Nesse caso, tal elemento

1

Introdução 2

x ∈ E será chamado um vetor hiperćıclico para T .

Em hiperciclicidade, além dos aspectos de universalidade mencionados acima,

temos um terceiro aspecto: hiperciclicidade é uma propriedade geométrica do ope-

rador T envolvido. Mais precisamente, um elemento x será hiperćıclico se, e somente

se, E não possuir subconjuntos fechados T -invariantes não triviais contendo x.

Os primeiros exemplos conhecidos de operadores hiperćıclicos em espaços de

Banach ou Hilbert são devidos a Rolewicz em 1969 [26]. Considerando determinados

espaços de seqüências complexas X (X = lp, 1 ≤ p 1, existe um vetor hiperćıclico associado a

esses operadores.

Embora os exemplos de Rolewicz tenham sido os primeiros em hiperciclicidade

em espaços de Banach ou Hilbert, salientamos que, tanto o resultado de Birkhoff

quanto o de MacLane, podem ser vistos em termos de operadores hiperćıclicos em

H(C), como operadores translação e diferenciação respectivamente.O termo hiperciclicidade foi utilizado pela primeira vez por B. Beauzamy [4] e foi

motivado pelo bem estabelecido conceito de ciclicidade na teoria de operadores em

espaços de Hilbert: dados H um espaço de Hilbert e T : H → H um operador linearcont́ınuo, dizemos que um vetor x ∈ H é ćıclico se [x, Tx, T 2x, ..., T nx, ...] for densoemH. Os vetores ćıclicos são importantes no estudo de subespaços invariantes: dado

T um operador definido em um espaço de Hilbert H, H não contém subespaços T -

invariantes fechados não triviais se, e somente se, todo vetor não nulo do espaço

H for ćıclico. Assim, como a noção de ciclicidade corresponde ao problema de

subespaço fechado não trivial T -invariante, a noção de hiperciclicidade corresponde

ao problema do subconjunto fechado não trivial T -invariante.

Nosso objetivo nesse texto será estudar alguns resultados sobre hiperciclicidade

e observar como alguns espaços se comportam em termos dela: se possuem vetores

hiperćıclicos associados a algum operador ou, no caso de espaços de operadores, se

possuem operadores hiperćıclicos. Para tal, utilizamos como fontes de estudo os

artigos [1], [2], [5], [7] e [28]. Como texto de referência no assunto, recomendamos o

artigo [13], o qual apresenta, além de uma introdução histórica ao tema, os principais

resultados obtidos até sua publicação. A seguir, daremos uma rápida descrição dos

conteúdos que serão apresentados ao longo desta dissertação.

Introdução 3

O primeiro caṕıtulo apresentará alguns resultados e definições conhecidos tanto

de Análise Funcional como de Análise Complexa. Com isso, pretendemos apresentar

os pré-requisitos para o entendimento dessa dissertação, tornando-a o mais auto-

consistente posśıvel.

Em seguida, apresentaremos alguns resultados gerais sobre hiperciclicidade exis-

tentes nos artigos [1], [7] e [11], juntamente com os primeiros exemplos conhecidos

de operadores hiperćıclicos em Análise Complexa. Esse será o conteúdo do caṕıtulo

dois.

Já no terceiro caṕıtulo mostraremos como certos operadores definidos no espaço

de seqüências l2(Z) comportam-se em relação à hiperciclicidade.Ainda nesse sentido, o caṕıtulo quatro será dedicado ao comportamento do

espaço de FréchetH(C). Verificaremos que existem operadores hiperćıclicos definidossobre H(C), a saber, os operadores de convolução .

Outro espaço que iremos estudar sob esse aspecto será o espaço dos polinômios

m-homogêneos. Observamos que, usaremos uma adaptação na definição de hiper-

ciclicidade para esse caso: rigorosamente, não faria sentido estudar hiperciclicidade

nesse espaço quando m > 1. Esse será o assunto do quinto caṕıtulo.

Caṕıtulo 1

Preliminares

O objetivo deste caṕıtulo é apresentar algumas definições e resultados que serão

utilizados ao longo deste trabalho.

1.1 Categorias de Baire

No que segue, enunciaremos o Teorema de Baire, pois este será útil no Caṕıtulo 2

para o estudo de vetores hiperćıclicos.

Teorema 1.1 (Teorema de Baire) Seja M um espaço métrico completo. Então

toda intersecção enumerável de abertos densos em M é também um subconjunto

denso em M .

Demonstração: Ver [21], página 37.

1.2 Topologias Fraca e Fraca-Estrela

As definições e resultados a seguir serão utilizados no decorrer desta dissertação, mais

precisamente ao longo dos Caṕıtulos 4 e 5. Inicialmente, definiremos as topologias

fraca e fraca-estrela sobre um espaço de Banach X.

Definição 1.2 Seja X um espaço de Banach.

(i) Chamamos de topologia fraca, ou w-topologia, sobre X a topologia gerada pelos

conjuntos

O = {x ∈ X : |fj(x− x0)| < ε, para j = 1, ..., n},

quaisquer que sejam x0 ∈ X, f1, ..., fn ∈ X∗ e ε > 0 e a denotamos tal topologiapor σ(X,X∗).

4

Caṕıtulo 1. Preliminares 5

(ii) A topologia fraca-estrela, ou w∗-topologia, definida sobre o espaço dual de X,

X∗, é a topologia gerada por uma base formada pelos conjuntos

O∗ = {f ∈ X∗ : |(f − f0)(xj)| < ε, para j = 1, ..., n},

quaisquer que sejam f0 ∈ X∗, x1, ..., xn ∈ X e ε > 0. Denotamos tal topologiapor σ(X∗, X).

Dizemos que uma seqüência é fracamente convergente (w-convergente) se con-

vergir com respeito à topologia fraca em X. Analogamente, uma seqüência é dita

fraca-estrela convergente (w∗-convergente) se convergir com respeito à topologia

fraca-estrela em X∗.

A seguir, introduziremos uma proposição que será utilizada ao longo do Caṕıtulo

5, mais precisamente na Proposição 5.14. Visando facilitar a sua demonstração,

consideraremos o seguinte resultado:

Lema 1.3 Seja X um espaço normado separável de dimensão infinita. Então:

(a) existe uma seqüência (vn)n∈N linearmente independente densa em X.

(b) existe uma seqüência (y∗n)n∈N linearmente independente densa em X∗ na topolo-

gia fraca-estrela.

Demonstração: ([14], página 57, Proposições 3 e 4).

Proposição 1.4 Sejam X um espaço de Banach separável de dimensão infinita e

X∗ o seu dual. Então existem seqüências (xn)n∈N ⊂ X e (x∗n)n∈N ⊂ X∗ linearmenteindependentes tais que

[xn : n ∈ N] = X,[x∗n : n ∈ N]

w∗

= X∗,

x∗m(xn) = δmn .

Demonstração: Sejam (yn)n∈N uma seqüência de elementos não nulos de X tais

que [yn : n ∈ N] = X (cuja existência é garantida pelo Lema 1.3(a)), e (y∗n)n∈N ⊂ X∗

uma seqüência tal que [y∗n : n ∈ N]w∗

= X∗ (Lema 1.3(b)).

Observe que, se para todo n ∈ N, y∗n(x0) = 0 com x0 ∈ X, segue que g∗(x0) = 0,para todo g∗ ∈ [y∗n : n ∈ N]. Consideremos agora f ∈ X∗, e R > 0 tal quef ∈ RBX∗ . Como X é um espaço de Banach separável, RBX∗ é metrizável natopologia fraca-estrela ([10], Proposição 3.24) e, portanto, separável. Então existe


(g∗n)n∈N ⊂ [y∗n : n ∈ N] ∩ RBX∗ tal que, para todo x ∈ X, temos limj→∞

g∗j (x) = f(x).

Em particular,

y∗n(x0) = 0, ∀n ∈ N =⇒ g∗j (x0) = 0, ∀j ∈ N =⇒ f(x0) = limj→∞

g∗j (x0) = 0.

Nesse caso, como f foi escolhido arbitrariamente, segue que x0 = 0, se y∗n(x0) = 0,

para todo n ∈ N (1).Feita essa observação, vamos construir indutivamente elementos (xn)n∈N em X

e (x∗n)n∈N em X∗ tais que

x∗m(xn) = δmn ,

[yn : n ∈ N] = [xn : n ∈ N],[y∗n : n ∈ N] = [x∗n : n ∈ N].

Comecemos considerando x1 = y1 e x∗1 =

y∗k1y∗k1

(y1), onde k1 é qualquer inteiro tal que

y∗k1(y1) 6= 0 (como y1 6= 0, por (1), existe tal k1). Então Seja h2 o menor inteiro talque y∗h2 6∈ [x

∗1] e consideremos

x∗2 = y∗h2− x∗1.y∗h2(x1).

Pela forma como foi escolhido, x∗2 6= 0. Podemos então tomar

x2 =yk2 − x1.x∗1(yk2)

x∗2(yk2),

onde k2 é qualquer ı́ndice tal que x∗2(yk2) 6= 0 (cuja existência é garantida por (1)).

Note que

x∗1(x1) =y∗k1(y1)

y∗k1(y1)= 1;

x∗1(x2) = x∗1

(yk2 − x1.x∗1(yk2)

x∗2(yk2)

)=

=x∗1(yk2)− x∗1(x1).x∗1(yk2)

x∗2(yk2)= 0;

x∗2(x1) = (y∗h2− x∗1.y∗h2(x1))(x1) =

= y∗h2(x1)− x∗1(x1).y

∗h2

(x1) = 0;

x∗2(x2) = x∗2

(yk2 − x1.x∗1(yk2)

x∗2(yk2)

)=

=x∗2(yk2)− x∗2(x1).x∗1(yk2)

x∗2(yk2)= 1.


Assim, pela nossa escolha, x∗m(xn) = δmn para 1 ≤ m,n ≤ 2.

No próximo passo, seja h3 o menor inteiro tal que yh3 6∈ [x1, x2] e consideremos

x3 = yh3 − x1.x∗1(yh3)− x2.x∗2(yh3),

x∗3 =y∗k3 − x

∗1.y

∗k3

(x1)− x∗2.y∗k3(x2)y∗k3(x3)

,

onde k3 é qualquer ı́ndice tal que y∗k3

(x3) 6= 0. Assim, pode-se mostrar que x∗m(xn) =δmn para 1 ≤ m,n ≤ 3.Continuamos a construção da seqüência dessa mesma forma: no passo 2n, começamos

em X∗ e constrúımos primeiro o elemento x∗2n, enquanto no passo 2n+1, começamos

construindo o x2n+1. Por construção, as seqüências (xn)n∈N e (x∗n)n∈N são linearmente

independentes.

Observe agora que, do modo como foram constrúıdos os vetores xn, temos que

[yn : n ∈ N] = [xn : n ∈ N]. De fato, claramente, [xn : n ∈ N] ⊂ [yn : n ∈ N].Por outro lado, pela forma como foi definido x1, temos que y1 ∈ [x1]. Considerandoentão y2, claramente y2 /∈ [x1], pois y1 e y2 são linearmente independentes. Entãoou y2 ∈ [x1, x2] ou o ı́ndice 2 é o menor inteiro tal que y2 /∈ [x1, x2]. Nesse caso,pela forma como x3 foi constrúıdo, segue que y2 = x3 + x1.x

∗1(y2) + x2.x

∗2(y2), ou

seja, y2 ∈ [x1, x2, x3]. Novamente, y3 /∈ [x1, x2, x3], pois y1, y2 e y3 são l.i. Assim, ouy3 ∈ [x1, x2, x3, x4] ou o ı́ndice 3 é o menor inteiro tal que y3 /∈ [x1, x2, x3, x4]. Entãoy3 = x5+x1.x

∗1(y3)+x2.x

∗2(y3)+x3.x

∗3(y3)+x4.x

∗4(y3), ou seja, y3 ∈ [x1, x2, x3, x4, x5].

Generalizando, yn ∈ [x1, x2, x3, ..., x2n−1], para todo n ∈ N.Assim, mostramos que [yn : n ∈ N] = [xn : n ∈ N]. Por um argumento

análogo, mostramos que [y∗n : n ∈ N] = [x∗n : n ∈ N]. Como [yn : n ∈ N] = X,e [y∗n : n ∈ N]

w∗

= X∗, segue que[yn : n ∈ N] = [xn : n ∈ N] e [xn : n ∈ N] = X,[y∗n : n ∈ N] = [x∗n : n ∈ N] e [x∗n : n ∈ N]

w∗

= X∗,

x∗m(xn) = δmn .

1.3 Operadores em Espaços de Banach

Sejam X e Y espaços de Banach complexos. Denotaremos por B(X,Y ) o espaço deBanach das aplicações lineares limitadas de X em Y . Se X = Y , denotaremos tal

espaço por B(X).Considerando agora os duais X∗ e Y ∗ de X e Y respectivamente, a aplicação T ∗

de Y ∗ em X∗ é definida da seguinte forma:

Para cada g ∈ Y ∗, T ∗(g)(x) = g(Tx), para todo x ∈ X.


Definição 1.5 Sejam X um espaço de Banach complexo e T ∈ B(X, Y ). O espectroσ(T ) de T é definido por

σ(T ) = {λ ∈ C : λI − T não é invert́ıvel},

onde I é o operador identidade. Chamamos de espectro pontual de T , σp(T ), ao

conjunto dos autovalores de T , isto é, ao conjunto de todos os λ ∈ σ(T ) para osquais a aplicação (T − λI) não é injetora.

A próxima proposição nos fornece uma relação entre a aplicação T ∈ B(X) e suaadjunta T ∗ ∈ B(X∗), onde X é um espaço de Banach. Tal resultado será utilizadoao longo do Caṕıtulo 2.

Proposição 1.6 Sejam X um espaço de Banach e T ∈ B(X). Então o operadorT ∗ será injetor se, e somente se, a imagem de T for densa em X.

Demonstração: Ver [21], página 290, Teorema 3.1.17(b).

O teorema a seguir diz respeito a extensões de aplicações lineares cont́ınuas

definidas sobre espaços de Banach. Tal resultado será utilizado ao longo do Caṕıtulo

4.

Teorema 1.7 Sejam Y um espaço de Banach e Z um subespaço de um espaço

normado X. Se T : Z → Y for uma aplicação linear cont́ınua, então T possui umaextensão T̃ : Z̄ → Y linear cont́ınua de norma ‖T‖ = ‖T̃‖.

Demonstração: Consideremos x ∈ Z̄. Então existe uma seqüência (xn)n∈N ⊂ Ztal que xn → x. Agora, T é cont́ınua; logo, quaisquer que sejam m,n ∈ N,

‖Txn − Txm‖ = ‖T (xn − xm)‖ ≤ ‖T‖‖xn − xm‖.

Assim, a seqüência (Txn)n∈N é de Cauchy em Y , uma vez que (xn)n∈N é convergente

em X.

Como Y é completo, existe y ∈ Y tal que Txn → y. Definamos então T̃ x = y.Note que tal y independe da escolha feita para a seqüência (xn)n∈N: de fato, se

considerarmos duas seqüências (xn)n∈N, (wn)n∈N ∈ Z convergindo ambas para x,teremos

‖Txn − Twn‖ ≤ ‖T‖‖xn − wn‖ −→ 0, quando n→∞.

Logo Txn e Twn têm o mesmo limite. Assim, T̃ está bem definida.


Vamos mostrar a seguir que T̃ é linear.

Sejam y, z ∈ Z̄ e λ ∈ K quaisquer. Então existem (yn)n∈N, (zn)n∈N ∈ Z tal que

y = lim yn =⇒ T̃ y = limTyn e z = lim zn =⇒ T̃ z = limTzn.

Logo

T̃ y + λT̃ z = limTyn + λ limTzn = lim(Tyn + λTzn) =

= limT (yn + λzn) = T̃ (y + λz),

pois yn + λzn → y + λz.Dados x ∈ Z̄ e (xn)n∈N ∈ Z com xn → x, vimos que limTxn = T̃ x. Como T

é cont́ınua, ‖Txn‖ ≤ ‖T‖‖xn‖ para todo n e, pela continuidade da norma temos‖T̃ x‖ ≤ ‖T‖‖x‖. Agora

‖T̃‖ = inf{M > 0 : ‖T̃ x‖ ≤M.‖x‖ ∀x},

o que implica em ‖T̃‖ ≤ ‖T‖. Agora, como T̃ é extensão de T , ‖T̃‖ ≥ ‖T‖. Portanto‖T̃‖ = ‖T‖.

1.4 Espaços Localmente Convexos

Dado E um espaço vetorial sobre um corpo K munido de uma topologia τ , dizemosque E é um espaço vetorial topológico, ou simplesmente um EVT, se as aplicações

(x, y) ∈ E × E → x+ y ∈ E e(λ, y) ∈ K× E → λ.y ∈ E

são cont́ınuas.

Exemplo: Qualquer espaço normado é um espaço vetorial topológico.

Definição 1.8 Sejam E um espaço vetorial sobre K e A um subconjunto de E.Diremos que A é convexo se, para quaisquer x, y em A e para quaisquer α, β ≥ 0com α+ β = 1, temos que αx+ βy ∈ A.

Se X é um espaço normado, as bolas são exemplos de conjuntos convexos.

É fácil ver que a topologia τ de um espaço vetorial topológico E é invariante sob

translações, isto é, se U ⊂ τ , então a + U ⊂ τ , para todo a ∈ E. Este fato nosgarante que, se uma dada propriedade é válida nas vizinhanças de zero em E, ela é

válida para qualquer vizinhança em E.


Definição 1.9 Um espaço vetorial topológico E é denominado espaço localmente

convexo (ELC) se cada vizinhança de zero contém uma vizinhança convexa. Nesse

caso, diremos que a topologia de E é uma topologia localmente convexa.

Dado um espaço normado X qualquer, vimos que X é um EVT com a topologia

induzida pela norma. As bolas

B(0; ε) = {x ∈ X : ‖x‖X < ε}

com ε > 0, formam uma base de vizinhanças convexas de zero. Conseqüentemente,

cada espaço normado é um espaço localmente convexo.

Definição 1.10 (i) Um espaço vetorial topológico E é dito metrizável se existe

uma métrica em E que define sua topologia.

(ii) Todo espaço localmente convexo metrizável completo será chamado espaço de

Fréchet.

Exemplo: Todo espaço de Banach X é um espaço de Fréchet.

Proposição 1.11 Seja (Tn) uma seqüência de aplicações lineares cont́ınuas definidas

de um espaço de Fréchet E com valores em um espaço vetorial topológico Hausdorff

F tal que limn→∞

Tn(x) existe para cada x ∈ E. Consideremos a aplicação T definidacomo

T : E −→ Fx 7−→ Tx = lim

n→∞Tn(x).

Então T é uma função linear cont́ınua de E em F .

Demonstração: Ver a demonstração em [21], página 200.

OBS: Na verdade, para a proposição acima ser válida, basta que E seja um espaço

vetorial topológico de Baire ([22], página 58). Como todo espaço metrizável completo

é de Baire, e trabalharemos no decorrer da dissertação com espaços de Fréchet,

optamos por enunciá-lo desta forma.

A seguir vamos estudar algumas topologias localmente convexas a partir de

famı́lias de seminormas.

Definição 1.12 Seja E um espaço vetorial. Uma função p : E → R é chamada deseminorma se verifica as seguintes propriedades:


(a) p(x) ≥ 0 para todo x ∈ E;

(b) p(λx) = |λ|p(x) para todo x ∈ E e λ ∈ K;

(c) p(x+ y) ≤ p(x) + p(y) para todo x, y ∈ E.

OBS: Uma seminorma p será uma norma se p(x) = 0 implicar em x = 0.

Dados E um espaço vetorial qualquer e p : E → R uma seminorma, consideremoso conjunto

Up,ε = {x ∈ E : p(x) < ε},

onde ε > 0.

Consideremos agora P uma famı́lia de seminormas em E e o conjunto

B0 = {∩p∈P0Up,ε : P0 ⊂ P finito , ε > 0}.

Pode-se mostrar que existe uma única topologia localmente convexa τ0 em E que

admite B como base de vizinhanças de zero. Essa topologia é a mais fraca em E talque cada p ∈ P é cont́ınua. Chamamos τP de topologia localmente convexa definidapor P . A demonstração desse fato pode ser encontrada em [22], página 88. Na ver-

dade, toda topologia localmente convexa é gerada por uma famı́lia de seminormas.

Exemplo: As topologias fraca w e fraca-estrela w∗ definidas anteriormente são ger-

adas a partir de famı́lias dirigidas de seminormas. De fato, lembrando da definição

de conjunto dirigido:

Um conjunto Λ é dito ser dirigido se existe uma relação ≺ sobre Λ satisfazendo:

(a) λ ≺ λ, para cada λ ∈ Λ;

(b) se λ1 ≺ λ2 e λ2 ≺ λ3, então λ1 ≺ λ3,

(c) se λ1, λ2 ∈ Λ, então existe um λ3 ∈ Λ satisfazendo λ1 ≺ λ3 e λ2 ≺ λ3,

Sejam E um espaço normado e E∗ o espaço dual de E. Para cada A ⊂ E∗ finito,definimos a seminorma

pA : E −→ Rx 7−→ pA(x) = max

y∗∈A|y∗(x)|.

A famı́lia {pA : A ⊂ E∗ é finito } é dirigida pela relação

A1 ⊂ A2 =⇒ pA2 ≤ pA1 ,


e os conjuntos

UA,ε = {x ∈ E : pA(x) < ε},

onde ε > 0 e A ⊂ E∗ finito, formam uma base de vizinhanças de zero.Analogamente, definindo a famı́lia dirigida de seminormas

pB : E∗ −→ Ry∗ 7−→ pB(y∗) = max

x∈B|y∗(x)|,

com B ⊂ E finito, os conjuntos

UB,ε = {y∗ ∈ E∗ : pB(y∗) < ε},

onde ε > 0, formam uma base de vizinhanças convexas de zero.

O exemplo a seguir trata de dois espaços dos quais voltaremos a falar nas

próximas seções deste caṕıtulo.

Exemplo: Seja E um espaço topológico e consideremos C(E) o espaço vetorialsobre o corpo C de todas as funções cont́ınuas definidas em E com valores em C.Consideremos a famı́lia de seminormas pK : C(E) → R definidas por

pK(f) = supx∈K |f(x)|,

onde K é um subconjunto compacto de E. Os conjuntos

UK,ε = {f ∈ C(E) : pK(f) < ε},

com ε > 0 formam uma base de vizinhanças abertas convexas de zero e, portanto, in-

duzem uma topologia τP localmente convexa. Chamamos essa topologia de topologia

compacto-aberta em C(E) e a denotamos por τ0.Consideremos agora o espaço H(C) constitúıdo de todas as funções f : C → C

holomorfas. Claramente, H(C) ⊂ C(C). Mais ainda: se considerarmos a mesmafamı́lia de seminormas pK onde K ⊂ C compacto, os conjuntos

UK,ε = {f ∈ H(C) : pK(f) < ε},

com ε > 0, formam a base de vizinhanças de zero na topologia τ0. Logo H(C) ésubespaço topológico de C(C), munido da topologia compacto-aberta.

Proposição 1.13 Sejam E e F dois espaços localmente convexos e sejam P e Q

famı́lias dirigidas de seminormas que definem as topologias de E e F respectiva-

mente. Então uma aplicação linear T : E → F é cont́ınua se, e só se, dada q ∈ Q,existem p ∈ P e c > 0 tais que q(Tx) ≤ cp(x), para todo x ∈ E.


Demonstração: Seja q ∈ Q e suponhamos T : E −→ F uma aplicação linearcont́ınua. Então existem p ∈ P e δ > 0 tais que p(x) ≤ δ =⇒ q(Tx) ≤ 1. Sejax ∈ E tal que p(x) 6= 0, e consideremos y = δ

p(x)x. Então p(y) = δ e portanto

q(Ty) ≤ 1. Logo

q

(T

(δ

p(x)x

))=

δ

p(x)q(Tx) ≤ 1 =⇒ q(Tx) ≤ 1

δp(x).

Se p(x) = 0, claramente q(Tx) ≤ 1δp(x) ≤ 1 e, portanto, a desigualdade acima

continua válida. Assim, tomando c = 1δ, segue que q(Tx) ≤ cp(x), para todo x ∈ E.

Reciprocamente, suponhamos que para cada q ∈ Q, existem p ∈ P e c > 0 taisque q(Tx) ≤ cp(x), para todo x ∈ E. Dado ε > 0, consideremos δ = ε

c. Se x ∈ E

for tal que p(x) < δ, então q(Tx) ≤ cp(x) ≤ c εc

= ε. Segue que T é cont́ınua em 0

e, portanto, em E.

1.5 Espaço C(G) de Funções Cont́ınuas (G ⊂ C aberto)

O desenvolvimento a seguir objetiva mostrar que o espaço das funções cont́ınuas

definidas num aberto G ⊂ C, C(G), munido da topologia compacto-aberta é umespaço de Fréchet. Para provar tal afirmação, recordamos que, sendo E um espaço

topológico, um subconjunto A ⊂ E será dito conexo se não existirem abertos V eW disjuntos de E tais que A ∩ V 6= ∅, A ∩W 6= ∅ e A ⊂ V ∪W . Um subconjuntoconexo maximal de A será chamado de componente conexa de A.

Observemos que quaisquer duas componentes conexas de A são disjuntas e, além

disso, A é a união de suas componentes conexas. De fato, se considerarmos V e W

duas componentes conexas distintas de A, e supormos V ∩W 6= ∅, então V ∪W seráum subconjunto conexo, contrariando o fato de V e W serem componentes conexas

de A.

Proposição 1.14 Seja G um aberto em C. Então existe uma seqüência (Kn)n∈N

de subconjuntos compactos de G tal que G =∞⋃

n=1

Kn. Mais ainda: os conjuntos Kn

podem ser escolhidos de tal forma que satisfaçam as seguintes condições:

(a) Kn ⊂ intKn+1;

(b) se K for um subconjunto compacto de G, então K ⊂ Kn, para algum n ∈ N.


Demonstração: Dado z ∈ G qualquer, temos que

d(z,C \G) = inf{|z − w| : w ∈ C \G}.

Para cada n ∈ N , seja

Kn = {z : |z| ≤ n} ∩ {z : d(z,C \G) ≥1

n} ⊂ G.

Como {z : |z| ≤ n} é a imagem inversa do intervalo [0, n] pela função módulo, queé cont́ınua, segue que {z : |z| ≤ n} é fechado.

Também o conjunto {z : d(z,C \ G) < 1n} é imagem inversa do intervalo [0, n]

pela função cont́ınua,

g : G −→ Rz 7−→ g(z) = inf{|z − w| : w ∈ C \G},

do aberto (0, 1/n). Assim, cada Kn é fechado, e limitado em C. Segue que cada Kné compacto. Além disso,

Kn ⊂({z : |z| < n+ 1} ∩

{z : d(z,C \G) > 1

n+ 1

})é aberto, contém Kn e está contido em Kn+1. Dáı segue o item (a).

Vamos mostrar a seguir que G =∞⋃

n=1

Kn. Para isso, consideremos z ∈ G. Então

existe n1 ∈ N tal que |z| ≤ n1. Também existe n2 ∈ N para o qual d(z,C \G) ≥ 1n2 .

Sendo então n = max{n1, n2}, segue que z ∈ Kn. Em outras palavras, G ⊂∞⋃

n=1

Kn.

Por outro lado, Kn ⊂ G para todo n. Portanto G =∞⋃

n=1

Kn. Mais ainda: do fato

de G ser aberto, segue que

G =∞⋃

n=1

intKn.

Assim, estamos em condições de provar (b): de fato, se K for um subconjunto com-

pacto de G, visto que G =∞⋃

n=1

Kn com Kn ⊂ Kn+1 para cada n ∈ N, segue que

existe n0 ∈ N tal que K ⊂ Kn0 .

Seja G um aberto em C tal que G =∞⋃

n=1

Kn, onde cada Kn é compacto e Kn ⊂

intKn+1. Para cada n, definamos ρn(f, g) = supz∈Kn

{|f(z) − g(z)|}, com f, g ∈ C(G).


Definamos também

ρ(f, g) =∞∑

n=1

1

2nρn(f, g)

1 + ρn(f, g), ( 1)

para f, g ∈ C(G) quaisquer. Note que a série (1) é dominada pela série∞∑

n=1

1

2n, que

converge.

Lema 1.15 A função ρ : C(G)×C(G) → [0,∞) definida em (1) é uma métrica emC(G).

Demonstração: Para ρ ser uma métrica, ρ tem que satisfazer as seguintes pro-

priedades:

(a) ρ(f, g) ≥ 0, ∀f, g ∈ C(G);

(b) ρ(f, g) = 0 =⇒ f = g;

(c) ρ(f, g) = ρ(g, f), ∀f, g ∈ C(G);

(d) Dados f, g ∈ C(G) quaisquer, ρ(f, g) ≤ ρ(f, g) + ρ(f, g).

Dos itens acima, o único que não é trivial é o item (d). Para demonstrá-lo, seja F a

função de [0,∞) em [0,∞) definida por F (t) = t1+t

. Observe que F é cont́ınua para

todo t ≥ 0, e F ′(t) = 1(1+t)2

≥ 0. Logo a função é crescente.Consideremos agora f, g, h ∈ C(G). Para todo z ∈ C,

|f(z)− g(z)| ≤ |f(z)− h(z)|+ |h(z)− g(z)|.

Particularmente, dado n ≥ 1, |f(z) − g(z)| ≤ |f(z) − h(z)| + |h(z) − g(z)|, paratodo z ∈ Kn. Assim, ρn(f, g) ≤ ρn(f, h) + ρn(h, g), com ρn(f, g), ρn(f, h), ρn(h, g) ∈[0,∞). Então, para cada n,

ρn(f, g)

1 + ρn(f, g)= F (ρn(f, g)) ≤ F (ρn(f, h) + ρn(h, g))

=ρn(f, h)

1 + [ρn(f, h) + ρn(h, g)]+

ρn(h, g)

1 + [ρn(f, h) + ρn(h, g)]

≤ ρn(f, h)1 + ρn(f, h)

+ρn(h, g)

1 + ρn(h, g).


Dáı segue que

ρ(f, g) =∞∑

n=1

1

2nρn(f, g)

1 + ρn(f, g)≤

∞∑n=1

1

2n

[ρn(f, h)

1 + ρn(f, h)+

ρn(h, g)

1 + ρn(h, g)

]

= ρ(f, h) + ρ(h, g).

Vimos na seção anterior que a famı́lia de seminormas {pK : K ⊂ G compacto}definidas no espaço C(G) gera uma topologia τ0 chamada de topologia compacto-aberta. A seguir, vamos mostrar que essa topologia e a gerada pela métrica ρ são

equivalentes.

Lema 1.16 Consideremos o espaço C(G) munido da métrica ρ definida anterior-mente em (1). Dado ε > 0, existem um δ > 0 e um compacto K ⊂ G tais que, paraquaisquer f, g ∈ C(G,C),

supz∈K

{|f(z)− g(z)|} ≤ δ =⇒ ρ(f, g) ≤ ε.

Reciprocamente, dados δ > 0 e K ⊂ G um compacto, existe um ε > 0 tal que,para quaisquer f, g ∈ C(G,C),

ρ(f, g) ≤ ε =⇒ supz∈K

{|f(z)− g(z)|} ≤ δ.

Demonstração: Vimos que existe uma famı́lia de compactos {Kn} tal que G =∞⋃

n=1

Kn e {Kn} satisfaz a Proposição 1.14. Então, dado ε > 0, seja p ∈ N tal que

∞∑n=p+1

1/(2n) < ε/2 e consideremos K = Kp.

Por outro lado, do fato da função F definida anteriormente no Lema 1.15 ser

cont́ınua, existe δ > 0 tal que, se 0 ≤ t < δ,

t

1 + t<

1

2ε.

Tomemos então f, g ∈ C(G) tais que supz∈K{|f(z)− g(z)|} ≤ δ.Como Kn ⊂ K para todo n com 1 ≤ n ≤ p, segue que 0 ≤ ρn(f, g) < δ, para

todo n = 1, ..., p e, portanto,

ρn(f, g)

1 + ρn(f, g)<

1

2ε.


Assim

ρ(f, g) =

p∑n=1

1

2n

(ρn(f, g)

1 + ρn(f, g)

)+

∞∑n=p+1

1

2n

(ρn(f, g)

1 + ρn(f, g)

)

<

p∑n=1

(1

2n

)1

2ε+

∞∑n=p+1

1

2n<

ε

2+ε

2< ε

Reciprocamente, sejam δ > 0 e K ⊂ G um compacto quaisquer. Como

G =∞⋃

n=1

Kn =∞⋃

n=1

intKn

pela Proposição 1.14, existe um p > 1 tal que K ⊂ Kp.Logo

supz∈K

{|f(z)− g(z)|} ≤ supz∈Kp

{|f(z)− g(z)|} = ρp(f, g).

Consideremos então ε > 0 tal que, se 0 ≤ s < 2pε, s1−s < δ (podemos supor a

existência de tal ε pela continuidade da função s1−s para s ∈ [0, 1)). Assim,

ρ(f, g) < ε =⇒∞∑

n=1

ρn(f, g)

2n(1 + ρn(f, g))< ε =⇒ ρp(f, g)

1 + ρp(f, g)< 2pε.

Portanto tomando s = ρp(f,g)1+ρp(f,g)

, teremos que supz∈K{|f(z) − g(z)|} ≤ ρp(f, g) ≤ δ.

Do lema acima, segue que

Lema 1.17 (a) Um conjunto O em (C(G), ρ) é aberto se, e somente se, para cadaf ∈ O, existirem um compacto K ⊂ G e um δ > 0 tal que

{g ∈ C(G) : supz∈K

|f(z)− g(z)| < δ} ⊂ O.

(b) Uma seqüência (fn)n∈N em (C(G), ρ) converge se, e somente se, (fn)n∈N con-vergir uniformemente sobre todos os compactos de G.

Proposição 1.18 O espaço métrico (C(G), ρ) é completo.

Demonstração: Seja (fn)n∈N uma seqüência de Cauchy em C(G). Então, paracada compacto K ⊂ G a seqüência das funções restritas a K, (fn|K)n∈N é de Cauchy,ou seja, dado ε > 0, existe Nε ∈ N tal que

supz∈K

{|fn(z)− fm(z)|} <ε

2, ∀ n,m ≥ Nε. ( 2)


Em particular, para cada z ∈ G, a seqüência (fn(z))n∈N é de Cauchy em C. ComoC é completo, existe ξz ∈ C tal que lim

n→∞fn(z) = ξz. Consideremos então a função

f : G → C definida por f(z) = ξz; vamos mostrar que f é cont́ınua, e que fn|K →f |K uniformemente.

Fixemos ε > 0 e seja Nε ∈ N tal que valha (2). Dado z ∈ K qualquer, peladefinição de f , existe mz > Nε para o qual |fmz(z) − f(z)| < ε2 . Assim, para todon > Nε, temos |fn(z) − f(z)| < |fn(z) − fmz(z)| + |fmz(z) − f(z)| < ε. Segue quesupz∈K

{|fn(z) − f(z)|} < ε, para todo n ≥ Nε. Como n independe de z, a função

f |K é limite uniforme da seqüência (fn|K))n∈N, implicando em f ser cont́ınua emK ([8], página 29, Teorema 6.1). Visto que K ⊂ G foi pêgo arbitrariamente, pelaProposição 1.14, segue que f é cont́ınua em G e, assim, a seqüência {fn} convergeuniformemente sobre compactos para a função cont́ınua f . Portanto, pelo Lema

1.17, (C(G), ρ) é completo.

Os resultados anteriores nos garantem que as topologias compacto-aberta τ0 e

a induzida pela métrica ρ definida acima coincidem. Assim, temos que C(G) é umespaço localmente convexo metrizável completo. Em outras palavras, C(G) é umespaço de Fréchet.

1.6 O Espaço H(C) das Funções Inteiras em C.

Vamos a seguir estudar o subespaço topológico H(C) de C(C). Considerando arestrição da métrica ρ definida anteriormente ao H(C), para que esse subespaçoherde as propriedades de C(C), é necessário e suficiente mostrar que H(C) é fechadoem C(C).

Teorema 1.19 (Teorema de Morera) Seja G um aberto conexo de C e consi-deremos uma função cont́ınua f : G → C tal que

∫Tf = 0, para todo caminho

triangular T em G. Então f será holomorfa.

Demonstração: Ver [8], página 86.

Observamos que a integral definida num caminho triangular T corresponde a

soma das integrais definidas nos segmentos que o compõe.

Teorema 1.20 Sejam (fn)n∈N uma seqüência em H(C) e f uma função em C(C)tal que fn → f . Então f é holomorfa e f (k)n → f (k), para todo inteiro k ≥ 1.


Demonstração: Mostraremos que f é holomorfa aplicando o Teorema de Morera.

Sabemos, por hipótese que fn → f . Então, dado ε > 0, seja T ⊂ C um caminhotriangular qualquer. Como T é compacto (fechado e limitado), existe n0 ∈ N talque

supz∈T

|fn(z)− f(z)| <ε

∆T, ∀ n > n0,

com ∆T denotando a área de T . Em particular, para todo n > n0,∣∣∣ ∫T

fn(z)dz −∫

T

f(z)dz∣∣∣ ≤ ∫

T

|fn(z)− f(z)|dz <ε

∆T∆T = ε.

Então∫

Tfn(z)dz →

∫Tf(z)dz quando n → ∞. Agora, T é uma caminho fechado

e fn é holomorfa para todo n; logo temos que∫

Tfn(z)dz = 0, para todo n e, pela

unicidade do limite,∫

Tf(z)dz = 0. Assim, para qualquer caminho triangular T ∈ C,∫

Tf(z)dz = 0; segue do Teorema de Moreira, que f é holomorfa.

Vamos a seguir, mostrar que f(k)n → f (k), para todo inteiro k ≥ 1, utilizando

para isso a estimativa de Cauchy ([8], página 73). Dado ε > 0, fixemos k ≥ 1 econsideremos K ⊂ C um compacto. Então existe R > 0 tal que K ⊆ RBC e, comofn → f por hipótese, existe n1 ∈ N tal que

supw∈RBC

|fn(w)− f(w)| < εRk

k!, ∀ n > n1,

uma vez que o conjunto RBC é compacto. Agora, para cada z ∈ K, encontramosrz > 0 tal que (rzB + z) ⊆ RBC. Assim, para cada n ∈ N, |fn(v)− f(v)| é limitadoqualquer que seja v ∈ (rzB + z). Aplicando a estimativa de Cauchy,

|f (k)n (z)− f (k)(z)| ≤k!

Rksup

v∈(rzB+z)|fn(v)− f(v)| ≤

k!

Rksup

w∈RBC|fn(w)− f(w)| < ε,

para todo n > n1, qualquer que seja z ∈ K. Em particular,

supz∈K

|f (k)n (z)− f (k)(z)| < ε, ∀ n > n1.

Como K foi escolhido arbitrariamente, seque que f(k)n → f (k) uniformemente sobre

compactos, para todo inteiro k ≥ 1.

Corolário 1.21 O subespaço (H(C), ρ) é um espaço localmente convexo metrizávelcompleto, ou seja, (H(C), ρ) é um espaço de Fréchet.

A seguir, enunciaremos um resultado que será utilizado ao longo do Caṕıtulo 2.


Proposição 1.22 Sejam K um subconjunto compacto de C e G uma vizinhança deK tal que C \ G é conexo. Então, para cada função f anaĺıtica em G, existe umaseqüência de polinômios (pn)n∈N em C convergindo uniformemente para f em K.

Omitiremos aqui a demonstração da proposição acima, mas salientamos que tal

resultado é uma conseqüência do Teorema de Runge, cujos enunciado e demons-

tração podem ser encontrados em ([8], páginas 198 a 200).

O próximo resultado será utilizado no Caṕıtulo 4 dessa dissertação. Entretanto,

antes de enunciá-lo, iremos definir funções de tipo exponencial.

Definição 1.23 Uma função f ∈ H(C) é dita ser de tipo exponencial quando exis-tem C > 0 e R > 0 tais que |f(z)| ≤ CeR|z|, para todo z ∈ C.

O espaço vetorial constitúıdo por todas as funções de tipo exponencial é denotado

por Exp(C).

Proposição 1.24 Sejam f uma função holomorfa e

∞∑n=0

f (n)

n!(x0)(x− x0)n

sua série de Taylor em x0 ∈ C. Então f é de tipo exponencial se, e somente se, aseqüência (|f (n)(x0)|

1n )n∈N for limitada.

Demonstração: Suponhamos inicialmente que a função f seja de tipo exponen-

cial. Então existem C > 0 e R > 0 tais que |f(z)| ≤ CeR|z|, para todo z ∈ C. Vamosmostrar que (|f (n)(x0)|

1n )n∈N é limitada. De acordo com a estimativa de Cauchy ([8],

página 73), para cada n ∈ N e para todo ρ > 0,

|f (n)(x0)| ≤(n!

ρn

)sup

|x−x0|=ρ|f(x)| ≤

(n!

ρn

)sup

|x−x0|=ρ(CeR|x|)

=

(n!

ρn

)sup

|x−x0|=ρ(CeR|(x−x0)+x0|) ≤ CeR|x0|

(n!eRρ

ρn

).

Tomando então ρ = nR, segue que |f (n)(x0)| ≤ CeR|x0|

(n! e

nRn

nn

)para cada n ∈ N.

Agora, a Fórmula de Stirling garante que, para n >> 1, n! = nn

en. Nesse caso,

|f (n)(x0)| ≤ CeR|x0|Rn =⇒ |f (n)(x0)|1n ≤ (CeR|x0|)

1nR.

Logo limn→∞

sup |f (n)(x0)|1n < R e, portanto, a seqüência (|f (n)(x0)|

1n )n∈N é limitada.

Reciprocamente, suponhamos que (|f (n)(x0)|1n )n∈N é limitada e vamos encontrar

C > 0 e R > 0 para os quais |f(z)| ≤ CeR|z|, para todo z ∈ C. Como (|f (n)(x0)|1n )n∈N


é limitada, existe M > 0 tal que |f (n)(x0)|1n ≤ M para todo n ∈ N0, ou seja,

|f (n)(x0)| ≤Mn para todo n ∈ N0. Então

|f(x)| = |∞∑

n=0

f (n)

n!(x0)(x− x0)n| ≤

∞∑n=0

|f (n)(x0)|n!

|x− x0|n

≤∞∑

n=0

Mn

n!|x− x0|n =

∞∑n=0

1

n!(M |x− x0|)n

= eM |x−x0| ≤ eM |x0|eM |x|.

Portanto, tomando C = eM |x0| e R = M segue que |f(z)| ≤ CeR|z|, para todo z ∈ C.

Caṕıtulo 2

Hiperciclicidade

Conforme mencionamos na introdução desse trabalho, o conceito de famı́lias univer-

sais teve sua origem em um trabalho de G. D. Birkhoff em 1929, onde foi provada

a existência de uma função f em H(C) tal que o conjunto {f(z), f(1 + z), ..., f(n+z), ...} é denso em H(C), quando H(C) está munido da topologia compacto-aberta.Mais tarde, em 1952, MacLane encontrou uma função f ∈ H(C) tal que o conjunto{f, f ′, ..., f (n), ...} é denso em H(C). Já o primeiro exemplo conhecido de operadoreshiperćıclicos em espaços de Banach e Hilbert na literatura foi o desenvolvido por

Rolewicz em 1969. A seguir, apresentaremos demonstrações desses resultados. Para

os exemplos de Birkhoff e MacLane, seguiremos o artigo [2] e, para o exemplo de

Rolewicz, reproduziremos a demonstração original existente no artigo [26]. Feito

isso, apresentaremos alguns resultados sobre hiperciclicidade.

Definição 2.1 Sejam E um espaço vetorial topológico e T um operador linear con-

t́ınuo em E. Dizemos que T é hiperćıclico se, para algum elemento x ∈ X, a órbitade x sob T , Orb(T, x) = {x, Tx, T 2x, ...}, for densa em E. Nesse caso, tal elementox ∈ E será chamado de vetor hiperćıclico para T .

De acordo com a definição de operador hiperćıclico, para que um espaço ve-

torial topológico E tenha algum operador hiperćıclico definido em E, E precisa

ser separável, ou seja, E precisa conter um subconjunto enumerável denso. Outra

observação a ser feita é que não existem operadores hiperćıclicos em espaços de di-

mensão finita, uma vez que todo espaço E de dimensão finita m > 0 é isomorfo a

Km. Em particular, se considerarmos um operador linear T definido no espaço Ee a forma de Jordan de T em relação a uma base apropriada B, teremos uma das

22

Caṕıtulo 2. Hiperciclicidade 23

seguintes situações:

(i) [T ]B =

λ 0 ... 0

0... A(m−1)×(m−1)

0

no caso de E ter pelo menos um autovalor λ ou

(ii) [T ]B =

a −b 0 ... 0b a 0 ... 0

0 0...

... B(m−2)×(m−2)

0 0

no caso de E ser um R-espaço vetorial e não possuir autovalor. Nesse caso, podemosconsiderar a+ ib=r(cosϕ+ i senϕ), com r > 0 e ϕ ∈ R ([14]).

Vamos analisar ambos os casos separadamente.

(i) Consideremos x ∈ E e escrevamos x na base B como x = (x1, x2, ..., xm)B.Então, tomando n ∈ N,

[T n]B.

x1

x2...

xm

=

λn 0 ... 0

0... A′(m−1)×(m−1)0

.

x1

x2...

xm

=

λnx1

v2...

vm

quaisquer que sejam as coordenadas v2, ..., vm−1, vm.

Supondo λ = |λ|(cos θ + i senθ) e x1 6= 0, e tomando n → ∞, teremos trêssituações:

|λ| < 1 ⇒ |λnx1| → 0,|λ| = 1 ⇒ |λnx1| = |x1|,|λ| > 1 ⇒ |λnx1| → ∞,

implicando em {λnx1 : n ∈ N} não ser denso em K.

(ii) Por outro lado, se T não tem auto-valores

[T n]B.

x1

x2

x3...

xm

=

rn cos(nϕ) −rnsen(nϕ) 0 ... 0rnsen(nϕ) rn cos(nϕ) 0 ... 0

0 0...

... B′(m−2)×(m−2)0 0

.

x1

x2

x3...

xm


=

rn cos(nϕ)x1 − rnsen(nϕ)x2rnsen(nϕ)x1 + r

n cos(nϕ)x2

w3...

wm

para alguns w3, ..., wm. Note que

‖(rn(cos(nϕ)x1− sen(nϕ)x2), rn(sen(nϕ)x1 +cos(nϕ)x2))‖2 = |r|n(x21 +x22)1/2.

Logo, fazendo o mesmo tipo de análise da feita no caso (i), concluiremos que

{(rn(cos(nϕ)x1 − sen(nϕ)x2), rn(sen(nϕ)x1 + cos(nϕ)x2)) : n ∈ N}

não pode ser denso em K2.

Agora, para j ∈ {1, ...,m}, consideremos a função

f : Km −→ Kj

(y1, ..., yj−1, yj, yj+1, ..., ym) 7−→ (y1, ..., yj−1, yj).

Claramente, f é cont́ınua e sobrejetora. Logo, leva densos de Km em densos deKj. Suponhamos agora que x = (x1, ..., xm) seja um vetor hiperćıclico associadoa T . Então a órbita Orb(T, x) = {T n(x1, ..., xm) : n ∈ N} é densa em Km e,conseqüentemente, f(Orb(T, x)) também seria densa em Kj. Entretanto, acabamosde demonstrar que para j = 1, 2 isso não ocorre. Portanto, {T nx : n ∈ N} não édenso em E, qualquer que seja x ∈ E, ou seja, T não pode ser hiperćıclico.

Resumindo: não existem operadores hiperćıclicos em espaços de Banach de di-

mensão finita.

Sendo assim, de agora em diante, trabalharemos apenas com espaços de Fréchet

separáveis de dimensão infinita.

2.1 Exemplos Clássicos

Mencionamos na introdução deste trabalho que o primeiro exemplo conhecido de

operadores hiperćıclicos foi dado por Birkhoff em 1929 ([6]). A seguir, exibiremos

tal exemplo, seguindo para isso a demonstração dada por Aron e Markose no artigo

[2].

Teorema 2.2 (Birkhoff) Existe uma função f ∈ H(C) com a seguinte propriedade:Dados uma função g ∈ H(C) e ε > 0 quaisquer, para todo R > 0 existe um número


natural n tal que |f(z + n)− g(z)| < ε qualquer que seja z com |z| ≤ R. Em outraspalavras, o operador

L : H(C) −→ H(C)f 7−→ L(f),

onde L(f)(z) = f(z + 1), ∀z ∈ C, é hiperćıclico.

Demonstração: Sabemos que o espaço dos polinômios com coeficientes complexos

P(C) é denso em H(C). Como ele é separável, podemos escolher uma seqüência depolinômios (Pj)j∈N densa em H(C). Para facilitar o argumento da demonstração,vamos supor que cada Pj aparece uma quantidade infinita de vezes na seqüência.

Consideremos agora (Dj)j∈N uma seqüência de discos fechados disjuntos, cada

Dj com raio j e centro cj de tal forma que (cj)j∈N é uma seqüência crescente de

números inteiros positivos. Seja também (Ej)j∈N uma seqüência de discos fechados

centrados na origem e de tal forma que Dj ⊂ Ej e Dj+1 ∩ Ej = ∅. Em outraspalavras,

Dk ⊂ Ej, para todo 0 ≤ k ≤ j eDk ∩ Ej = ∅, para todo k ≥ j.

Vamos a seguir construir a função f .

Seja Q1 = P1 e consideremos K1 = E1 ∪D2.Como E1 e D2 são compactos, segue que K1 é compacto, e podemos considerar uma

função h1 holomorfa em uma vizinhança de K1 satisfazendo

h1(z) =

{0 se z ∈ E1P2(z − c2)−Q1(z) se z ∈ D2

uma vez que E1 e D2 são disjuntos. Como C \ K1 é conexo por caminhos, pelaProposição 1.22, existe um polinômio Q2 tal que

‖Q2‖E1 <1

2e sup

z∈D2|Q2 − (P2(z − c2)−Q1(z))| <

1

2.

Repetindo o procedimento acima, podemos encontrar um polinômio Q3 tal que

‖Q3‖E2 <1

22e sup

z∈D3|Q3 − h2(z)| <

1

22,

onde h2(z) é uma função holomorfa em uma vizinhança de E2 ∪D3 tal que h2(z) =P3(z − c3)−Q1(z)−Q2(z), para todo z ∈ D3.


Em geral, seja Qn um polinômio tal que

‖Qn‖En−1 <1

2n−1e sup

z∈Dn|Qn − (Pn(z − cn)−

n−1∑j=1

Qj(z))| <1

2n−1. ( 1)

Observemos que a série∞∑

n=1

Qn é de Cauchy. De fato, seja ε > 0. Então, dado K

um compacto de C, existe N ∈ N para o qual K ⊂ EN e 1/(2N) < ε. Assim, paran > m ≥ N suficientemente grandes,

supz∈K |n∑

j=1

Qj(z)−m∑

j=1

Qj(z)| ≤ supz∈EN

|n∑

j=1

Qj(z)−m∑

j=1

Qj(z)|

= supz∈EN

|n∑

j=m+1

Qj(z)| ≤ supz∈EN

n∑j=m+1

|Qj(z)|

≤n∑

j=m+1

1

2j<

1

2m<

1

2N< ε. ( 2)

Como esse espaço é completo, segue que∞∑

n=1

Qn é convergente. Seja então f ∈ H(C)

dada por f =∞∑

n=1

Qn e vamos mostrar que a órbita de f sob translações é densa em

H(C). Para isso, basta mostrar que, dados ε > 0 e R > 0, para cada Pk ∈ (Pj)j∈Né posśıvel encontrar lk ∈ N tal que sup

|z|≤R|f(z + clk) − Pk(z)| < ε. De fato, como

a seqüência (Pj)j∈N é densa em H(C), para cada g ∈ H(C) existe k ∈ N tal quesup|z|≤R

|g(z)− Pk(z)| < ε. Logo,

sup|z|≤R

|f(z + clk)− g(z)| ≤ sup|z|≤R

|f(z + clk)− Pk(z)|+ sup|z|≤R

|g(z)− Pk(z)| < 2ε.

Conseqüentemente, {f(z + clj) : j ∈ N} ⊂ {f(z + n) : n ∈ N} também será densoem H(C).

Consideremos então Pk ∈ (Pj)j∈N. Como, por hipótese, Pk aparece uma quanti-dade infinita de vezes na seqüência, existe l ∈ N suficientemente grande para que

l > R,1

2l−1<ε

2, e Pl = Pk. ( 3)

Notemos que, se z ∈ C for tal que |z| ≤ R, então w = z + cl ∈ (RBC + cl) ⊂(lBC + cl) ⊂ Dl ⊂ El. Logo

sup|z|≤R |f(z + cl)− Pk(z)| ≤ supw∈Dl

|f(w)− Pl(w − cl)|


≤ supw∈Dl

∣∣∣f(w)− l∑j=1

Qj(w)∣∣∣ + sup

w∈Dl

∣∣∣ l∑j=1

Qj(w)− Pl(w − cl)∣∣∣

≤ supw∈Dl

∣∣∣ ∞∑n=1

Qn(w)−l∑

j=1

Qj(w)∣∣∣ + sup

w∈Dl

∣∣∣ l∑j=1


≤ supw∈Dl

∞∑n=l+1

|Qn(w)|+ supw∈Dl

∣∣∣ l∑j=1


≤ 12l

+1

2l−1< ε, por (2), (1) e (3) respectivamente.

Segue que sup|z|≤R

|f(z + cl)− Pk(z)| < ε e, portanto, o conjunto {f(z + n) : n ∈ N} é

denso em H(C).

Em 1952, MacLane provou em [18] que o operador diferenciação definido no

espaço H(C) é hiperćıclico. Novamente, vamos seguir o artigo [2] de Aron e Markosepara exibir essa demonstração.

Teorema 2.3 (MacLane) Existe uma função inteira f tal que {f (n) : n ∈ N} édenso em H(C).

Demonstração: Para construir tal função f , vamos utilizar a aplicação I : H(C) →H(C) definida por

I(h)(z) =

∫ z0

h(w)dw.

Sabemos que o espaço de polinômios é denso em H(C). Pensando em facilitar ademonstração do teorema, estudaremos inicialmente o comportamento de I aplicado

ao polinômio g(z) = zn, com n ∈ N. Como I(g)(z) = zn+1n+1

, temos que

Ik(g)(z) =zn+k

(n+ k)...(n+ 1), para todo k ∈ N.

Então, se considerarmos z ∈ C, com |z| ≤ R,

|Ik(g)(z)| ≤ Rn+k

(n+ k)...(n+ 1)≤ RnR

k

k!, ∀ k ∈ N.

Assim, temos que sup|z|≤R |Ik(g)(z)| → 0 quando k →∞.Dados P um polinômio, δ > 0 e R > 0 quaisquer, existe k̃ ∈ N para o qual

sup|z|≤R |Ik(P )(z)| < δ sempre que k ≥ k̃.


Consideremos agora h uma função inteira qualquer. Dados ε > 0 e M ∈ N,suponhamos R ≥ 2 e δ < ε

M !; se sup|z|≤R |h(z)| < δ então, pela estimativa de

Cauchy,

sup|w|≤R

2

|h(j)(w)| ≤j! sup|z|≤R |h(z)|

(R/2)j≤ j!

(2

R

)jδ < ε

para qualquer j = 0, ...,M (lembrando que 0! = 1).

Assim, dados P um polinômio, ε > 0, R ≥ 2 e M ∈ N quaisquer, existem δ < εM !

e k̃ ∈ N tal que, se k ≥ k̃, então sup|z|≤2R |Ik(P )(z)| < δ. Denotando Ik(P )(z) porQ(z), temos

sup|z|≤R

|Q(j)(z)| < ε ( 4)

para qualquer j = 0, ...,M .

Consideremos uma seqüência de polinômios (Pj)j∈N densa em H(C) tal que cadaPj aparece uma quantidade infinita de vezes na seqüência. Construiremos a função

f de tal forma que

f =∞∑

j=1

Ikj(Pj)

para ı́ndices kj apropriados.

Consideremos k1 = 0, Q1 = P1. Tomando ε = 1/22, R = 2 e M = k1, por (4)

existe um k̃ ∈ N tal que, se k ≥ k̃ e Ik(P )(z) ≡ Q(z), temos

sup|z|≤2

|Q(k1)(z)| < 122.

Assim, seja k2 > max{k1 + degP1, k̃}. Então, chamando Q2 = Ik2(P2), teremossup|z|≤2 |Q2(z)| < 1/22.Procedendo de modo análogo, agora para ε = 1/23, R = 3 e M = k2, podemos

escolher k3 tal que k3 > k2 + degP2 e, sendo Q3 = Ik3(P3),

sup|z|≤3

|Q3(z)| <1

23,

sup|z|≤3

|Q′3(z)| <1

23,

(...)

sup|z|≤3

|Q(k2)3 (z)| <1

23.


Em geral, seja kn > kn−1 + degPn−1 grande o suficiente para que, se Qn = Ikn(Pn),

sup|z|≤n

|Qn(z)| <1

2n,

sup|z|≤n

|Q′n(z)| <1

2n,

(...)

sup|z|≤n

|Q(kn)n (z)| <1

2n.

Note que∞∑

n=1

Qn é de Cauchy. De fato, seja ε > 0. Então, dado K um compacto de

C, existe N ∈ N para o qual K ⊂ NBC. Assim, para n > m ≥ N suficientementegrandes,

supz∈K

|n∑

j=1

Qj(z)−m∑

j=1

Qj(z)| ≤ supz∈NBC

|n∑

j=1

Qj(z)−m∑

j=1

Qj(z)|

= supz∈NBC

|n∑

j=m+1

Qj(z)|

≤ supz∈NBC

n∑j=m+1

|Qj(z)|

≤n∑

j=m+1

1

2< ε.

Como o espaço H(C) é completo, segue que∞∑

n=1

Qn é convergente.

Consideremos então a função f =∞∑

n=1

Qn e vamos mostrar que f é a função na

qual estamos interessados.

Sejam g ∈ H(C), R > 0 e ε > 0 quaisquer e escolhamos n0 ∈ N tal que n0 > R e(1/2n0−1) < ε/2.

Pela escolha da seqüência de polinômios (Pn), existe l > n0 para o qual

sup|z|≤n0

|g(z)− Pl(z)| <ε

2.

Assim, lembrando que Qj = Ikj(Pj), ∀j ∈ N,

sup|z|≤n0

|g(z)− f (kl)(z)| = sup|z|≤n0

|g(z)−∞∑

j=1

Q(kl)j (z)|


≤ sup|z|≤n0

(|g(z)− Pl(z)|+ |Pl(z)−∞∑j=l

Q(kl)j (z)|)

≤ sup|z|≤n0

|g(z)− Pl(z)|+ sup|z|≤n0

|∞∑

j=l+1

Q(kl)j (z)|)

≤ ε2

+∞∑

j=l+1

1

2j≤ ε

2+

1

2l<ε

2+

1

2n0−1< ε

Portanto o conjunto {f (n) : n ∈ N} é denso em H(C).

Os dois resultados anteriores exibiram exemplos de hiperciclicidade em H(C).Já em espaços de Banach ou Hilbert, os primeiros exemplos conhecidos na literatura

foram dados por Rolewicz em 1969 ([26]): ele construiu vetores hiperćıclicos para os

operadores conhecidos como “weighted backward shifts” em determinados espaços

de seqüências complexas (lp(N), 1 ≤ p 1. Mostraremos que o operador Ta

é hiperćıclico. Para isso, construiremos o vetor y ∈ lp(N) cuja órbita Orb(Ta, y) édensa em lp.

Consideremos a seqüência (xn)n∈N ⊂ lp(N) tal que, para cada n, xn = (xn1 , xn2 , ...) ∈lp(N) possui apenas uma quantidade finita de coordenadas não nulas. Sabemos queessa seqüência é densa em lp(N). Seja k(n) o maior ı́ndice da coordenada de xn quenão é 0. Tomemos agora uma seqüência r(n) de inteiros positivos tal que

r(n) > max1≤i≤n

k(i) e ( 5)

||Br(n)xn|| = 1ar(n)

||xn|| < 12n.


Sendo p(n) =n∑

i=1

r(i), consideremos y =∑

n

Bp(n)xn; por (5), y está bem definido.

Por outro lado, de (5) também segue que Tr(n)a xi = 0, para todo i < n. Logo,

T p(n)a y = xn +

∞∑m=n+1

Bp(m)−p(n)xm.

Mas

||∞∑

m=n+1

Bp(m)−p(n)xm|| ≤∞∑

m=n+1

||Bp(m)−p(n)xm|| ≤∞∑

m=n+1

1

ap(m)−p(n)||xm||

≤∞∑

m=n+1

1

ar(m)||xm|| ≤

∞∑m=n+1

1

2m=

1

2n.

Portanto ||T p(n)a y − xn|| ≤ 12n .Vamos, a seguir, provar a densidade de Orb(Ta, y) em lp(N). Seja ε > 0; então

existe m ∈ N tal que 12m

< ε. Considerando agora a subseqüência (xk)k∈I onde

I = N \ {n | n < m}, temos que (xk)k∈I continua densa em lp(N). Assim, dado umelemento z ∈ lp(N), existe n ∈ I tal que ||z − xn|| < ε e 12n < ε. Logo,

||T p(n)a y − z|| ≤ ||T p(n)a y − xn||+ ||xn − z||

≤ 12n

+ ε < 2ε.

Como z ∈ X arbitrário, segue que Orb(Ta, y) é denso em lp(N) e, conseqüentemente,Ta é um operador hiperćıclico em lp(N).

2.2 Alguns Resultados sobre Hiperciclicidade

Consideremos E um espaço de Fréchet. A topologia em E é induzida por uma

métrica completa invariante sob translações d. Então, para cada y ∈ E, escrevemos

B(y, ε) = {x ∈ E : d(y, x) < ε}

a bola aberta de centro y e raio ε > 0.

Conforme mencionamos na introdução desse trabalho, sob hipóteses muito natu-

rais, um tipo de Lei Zero-Um Topológica vale: em um espaço de Fréchet, ou o

conjunto dos elementos hiperćıclicos é vazio, ou quase todo elemento do espaço é

hiperćıclico. Vamos a seguir demonstrar esse fato, de acordo com o artigo [11].

Proposição 2.5 Sejam E um espaço de Fréchet separável e T um operador hiperćı-

clico em E. Então E possui um conjunto Gδ denso constitúıdo de vetores hiperćıclicos

associados a T .


Demonstração: Seja (yj)j∈N uma seqüência densa em E. Como T é cont́ınuo,

para cada n ∈ N, T n também é cont́ınuo e, assim, T−n(B

(yj,

1k

))é aberto, quais-

quer que sejam n, j, k ∈ N.Seja HC(T ) o conjunto de todos os vetores hiperćıclicos para T .Por hipótese,

HC(T ) é não vazio e, para cada x ∈ HC(T ), a órbita de x sob T , Orb(T, x), édensa em E. Então, dado x ∈ HC(T ), para cada j, k ∈ N existe nj,k ∈ N tal queT nj,kx ∈ B

(yj,

1k

). Logo, para cada j, k ∈ N, x ∈ T−nj,kB(yj, 1/k). Considerando

então, para cada j, k ∈ N, o conjunto aberto

Gj,k =⋃n∈N

T−n(B

(yj, 1/k

)),

segue que HC(T ) ⊂ ∩j,k∈NGj,k.Por outro lado, se x ∈ ∩j,k∈NGj,k, vamos mostrar que x ∈ HC(T ). Dado ε > 0,

para cada z ∈ E, existem j0, k0 ∈ N tais que 1/k0 < ε/2 e d(z, yj0) < ε2 . Comox ∈ Gj0,k0 , T n0x ∈ B(yj0 , 1/k0) para algum n0 ∈ N. Assim,

d(T n0x, z) ≤ d(T n0x, yj0) + d(yj0 , z) <1

k0+ε

2< ε.

Logo a órbita de x sob T é densa em E, para todo x ∈ ∩j,k∈NGj,k. Segue queHC(T ) = ∩j,k∈NGj,k.

Agora, se x for um vetor hiperćıclico para T , para todo n ∈ N, T nx também serápois a órbita Orb(T, T nx) é igual a órbita Orb(T, x) menos uma quantidade finita de

elementos, permanecendo, portanto, densa no espaço E. Logo Orb(T, x) ⊂ HC(T ).Dáı segue que HC(T ) = ∩j,k∈NGj,k é denso em E.

Nem sempre é fácil mostrar que um dado operador T num espaço de Fréchet

é hiperćıclico exibindo o vetor cuja órbita é densa no espaço. Entretanto, existe

um critério que nos diz se o operador em questão é hiperćıclico. Esse resultado é

conhecido como Critério de Hiperciclicidade.

Teorema 2.6 (Critério de Hiperciclicidade) Seja T um operador linear cont́ınuo

em um espaço de Fréchet E separável. Suponhamos que existem subconjuntos densos

Z e Y de E, uma seqüência de inteiros positivos (nk)k∈N e uma famı́lia de aplicações

Snk : Z → Z tal que

(i) para cada y ∈ Y , T nky 7→ 0, quando k →∞;

(ii) para cada z ∈ Z, Snkz 7→ 0, quando k →∞;

(iii) T nk ◦ Snkz 7→ z, quando k →∞, para todo z ∈ Z.Então T é hiperćıclico.


Demonstração: Seja (yj) uma seqüência enumerável densa em E. Para cada

j, k ∈ N, consideremos novamente os conjuntos Gj,k = ∪n∈NT−nB(yj, 1/k). Parademonstrarmos o teorema, basta mostrarmos que, para cada j e para cada k, Gj,k é

denso em E. Ao provarmos isso, pelo Teorema de Baire (Teorema 1.1), teremos que

∩j,kGj,k é denso em E. Como mostramos que todo elemento de ∩j,kGj,k é hiperćıclicopara T , poderemos concluir que T é hiperćıclico.

Fixemos Gj,k. Para facilitar a notação, denotaremos yj por y e 1/k por ε.

Sejam z ∈ E e δ > 0. Precisamos encontrar um elemento x ∈ Gj,k tal que d(x, z) < δ.Como por hipótese Z e Y são densos em E, existem y0 ∈ Y e z0 ∈ Z tais que

d(y, z0) <ε

2e d(z, y0) <

δ

2.

Agora, por (i), T nk(y0) → 0 quando k → ∞. Assim, existe um inteiro positivoK1 para o qual T

nky0 ∈ B(0, ε4), para todo k ≥ K1. Também por (ii) e (iii),Snk(z0) → 0 e T nk ◦Snkz0 → z0 quando k →∞. Logo, existe um inteiro positivo K2para o qual Snkz0 ∈ B(0, δ2) e T

nk ◦ Snkz0 ∈ B(z0, ε4), para todo k ≥ K2. Fixemosentão k > max{K1, K2} e consideremos o vetor x = Snkz0 + y0 pertencente a E.Como T nkx = T nk(Snkz0 + y0) = T

nkSnkz0 + Tnky0 e z0 ∈ Z,

T nkx ∈ B(z0, ε2)y ∈ B(z0, ε2)

}=⇒ d(T nkx, y) < ε.

Logo T nkx ∈ B(y, ε), ou seja, x ∈ T−nk(B(y, ε)) ⊂ Gj,k. Além disso,

x = Snkz0 + y0 ⇒ (x− y0) ∈ B(0, δ2) ⇒ x ∈ B(y0,δ2)

z ∈ B(y0, δ2)

}=⇒ d(x, z) < δ.

Como z foi escolhido arbitrariamente, segue que Gj,k é denso em E, para todos

j, k ∈ N, ou seja, ∩j,k∈NGj,k é denso em E.

Aplicando o Critério de Hiperciclicidade no operador diferenciação (MacLane,

por exemplo), podemos mostrar de uma maneira bem mais simples que ele é hiperćıclico.

De fato, se considerarmos Y = Z = P , onde P é o conjunto dos polinômios, aseqüência de inteiros positivos (n)n∈N e a famı́lia de aplicações Sn : Z → Z comSn = S

n, onde S é a aplicação definida por Sf(z) =∫ z

0f(w)dw, para todo f ∈ P ,

teremos as hipóteses do Critério satisfeitas e, portanto, o operador diferenciação é

hiperćıclico. Entretanto, perde-se informação: não sabemos quais são os vetores

hiperćıclicos associados a ele.

No exemplo acima, aplicamos um caso particular do Critério de Hiperciclicidade,

conhecido na literatura como Critério de Kitai:


Corolário 2.7 (Critério de Kitai) Seja T um operador linear cont́ınuo em um

espaço de Fréchet E separável. Suponhamos que existem subconjuntos densos Z e

Y de E e que existe uma aplicação S : Z → Z tal que

(i) para cada y ∈ Y , T ny 7→ 0, quando n→∞;

(ii) para cada z ∈ Z, Snz 7→ 0, quando n→∞;

(iii) T ◦ S = IdZ.Então T é hiperćıclico.

Um resultado interessante para o caso em que X é um espaço de Banach com-

plexo, é o fato de, para cada operador hiperćıclico T , existir um subespaço vetorial

denso T -invariante em X constitúıdo inteiramente, exceto pelo vetor nulo, de ve-

tores hiperćıclicos. Esse teorema foi demonstrado por Bourdon em [7] e pretendemos

apresentá-lo aqui. Para isso, antes precisaremos do seguinte resultado:

Proposição 2.8 Sejam X um espaço de Banach separável e T um operador hiper-

ćıclico em X. Então o espectro pontual do operador adjunto T ∗ é vazio.

Demonstração: Suponhamos por absurdo que T ∗ tenha um autovalor λ e que

f ∈ X∗ \ {0} seja o autovetor correspondente. Então, dado x ∈ X um elementoqualquer,

{f ◦ T n(x) : n = 0, 1, 2, ...} = {(T ∗)n(f)(x) : n = 0, 1, 2, ...}= {λnf(x) : n = 0, 1, 2, ...},

que não é denso em C, uma vez que f(x) ∈ C está fixo. Como f é sobrejetor, segueque {(T n(x) : n = 0, 1, 2, ...} também não é denso em C e, conseqüentemente, x nãopode ser um vetor hiperćıclico para T , qualquer que seja x ∈ X: contradição.

Sabemos que, dado um operador T ∈ B(X), onde X é um espaço de Banach, T ∗

será injetor se, e somente se, a imagem de T for densa em X (Proposição 1.6). Com

base nesse resultado, o fato de σp(T∗) ser vazio implica em T ∗−λI ser injetor, para

todo λ ∈ σ(T ∗) e, em particular, para todo λ ∈ C. Logo a imagem de T − λI serádensa, para todo λ ∈ C, e a proposição anterior pode ser reenunciada da seguinteforma:

Se X for um espaço de Banach separável e T ∈ B(X) hiperćıclico, então (T − λI)terá imagem densa, para todo λ ∈ C.


Teorema 2.9 Seja T um operador hiperćıclico em X. Então existe um subespaço

denso T -invariante de X constitúıdo inteiramente, com exceção do zero, de vetores

hiperćıclicos para T .

Demonstração: Seja x um vetor hiperćıclico para T . Consideremos também C[z]a coleção de todos os polinômios em z com coeficientes complexos. Então o subes-

paço linear

M = {p(T )x : p é um polinômio em C[z]}

é denso em X, uma vez que contém a órbita do vetor hiperćıclico x, e é T -invariante.

Precisamos mostrar então que qualquer elemento não nulo de M é hiperćıclico para

T .

Seja p(T )x um elemento qualquer de M . Para mostrar que p(T )x é hiperćıclico,

ou seja, que Orb(T, p(T )x) é denso em X, é suficiente mostrar que p(T ) tem imagem

densa. De fato, como T comuta com p(T ), segue que

Orb(T, p(T )x) = p(T )Orb(T, x),

isto é, a órbita de p(T )x sob T é a imagem de Orb(T, x) sob a aplicação p(T ).

Agora, se p(T ) tiver imagem densa, então Orb(T, p(T )x) será denso, uma vez que

será a imagem do conjunto denso Orb(T, x) sob um operador com imagem densa.

Portanto, é suficiente mostrar que p(T ) tem imagem densa.

Como p(T ) é um polinômio em C, podemos decompô-lo totalmente em fatoreslineares da forma T − λI, com λ ∈ C. Agora, pela Proposição 2.7, como T éhiperćıclico, cada um dos fatores T − λI tem imagem densa. Portanto, p(T ) temimagem densa.

Conforme mencionamos anteriormente, se x ∈ E for um vetor hiperćıclico paraum operador linear cont́ınuo T definido em E, onde E é um espaço de Fréchet

separável, sabemos que o vetor T nx também será hiperćıclico para T , qualquer que

seja n ∈ N. Então parece natural nos perguntarmos se tal vetor x será hiperćıclicopara T n, qualquer que seja n. Em 1995, utilizando o Teorema 2.8, Ansari provou

em [1] o seguinte teorema para espaços de Banach separáveis:

Teorema 2.10 Se um vetor x em X for hiperćıclico para um operador T ∈ B(X),então x será hiperćıclico para T n, para todo n ≥ 1.


Demonstração: Seja x um vetor hiperćıclico para T e consideremos M o subes-

paço linear M = {p(T )x : p é um polinômio}. Então M é um subespaço T -invariante. Consideremos agora A = T |M . Claramente A é cont́ınuo em M .

Por outro lado, o Teorema 2.8 nos garante que todo vetor de M é hiperćıclico

para T . Segue que o conjunto {y, Ay,A2y, ...} é denso em M , para todo vetor y emM .

Consideremos agora o conjunto S = {x,Anx,A2nx, ...}. Queremos provar que Sé denso em M , isto é, que S

M= M . Claramente, S

M ⊂ M . Tomemos então osconjuntos da forma

Sk = ∪{Ai1SM ∩ ... ∩ AikSM | 0 ≤ i1 < ... < ik ≤ n− 1},

para cada k com 1 ≤ k ≤ n. Então, utilizando o fato de Orb(A, x) ser denso em M ,

S1 = A0SM ∪ A1SM ∪ ... ∪ An−1SM = M e

Sn = A0SM ∩ A1SM ∩ ... ∩ An−1SM

Além disso, cada Sk é fechado em M e Sn ⊂ Sn−1 ⊂ ... ⊂ S1. Provaremos que

(i) Sk é A-invariante para cada k = 1, ...n,

(ii) 0 ∈ Sn, e

(iii) Sn = M .

Como Sn ⊂ SM

, teremos demonstrado o teorema.

(i) Para qualquer 0 ≤ i1 < ... < ik ≤ n− 1, existe 1 ≤ j1 < ... < jk ≤ n tal que

A(Ai1SM ∩ ... ∩ AikSM) ⊂ Ai1+1SM ∩ ... ∩ Aik+1SM

= Aj1SM ∩ ... ∩ AjkSM ⊂ Sk.

Logo, A(Sk) ⊂ Sk.

(ii) Sabendo que 0 ∈ S1, temos 0 ∈ AiSM

para algum i. Como

A(AiSM

) ⊂ Ai+1SM e AnSM ⊂ SM ,

segue que 0 ∈ A0SM ∩ ... ∩ An−1SM = Sn.

(iii) Vimos que S1 = M . Então, se Sk = M para algum k com 1 ≤ k < n,provaremos que Sk+1 = M . Suponhamos por absurdo que Sk+1 6= M . Como


Sk+1 é A-invariante e todo vetor não nulo de M é hiperćıclico para A, temos

Sk+1 = {0}. Notemos agora que, se {i1, ...ik} 6= {j1, ..., jk}, então

[Ai1SM ∩ ... ∩ AikSM ] ∩ [Aj1SM ∩ ... ∩ AjkSM ] ⊂ Sk+1.

Logo

[(Ai1SM ∩ ... ∩ AikSM) \ {0}] ∩ [(Aj1SM ∩ ... ∩ AjkSM) \ {0}] ⊂ Sk+1 \ {0}

e Sk+1 \ {0} = ∅.

Assim, Sk \ {0} (= M \ {0}) é uma união finita de conjuntos fechados (relati-vamente a M \ {0}) da forma

[(Ai1SM ∩ ... ∩ AikSM) \ {0}].

Como Sk \ {0} é conexo (todo espaço vetorial normado é conexo), um dosconjuntos desta forma é igual a M \ {0} e os outros conjuntos são vazios.Segue desse argumento na demonstração de (i) que A(M \ {0}) = ∅; absurdo.

Logo, M = Sn ⊂ SM

, implicando no vetor x também ser hiperćıclico para T n,

qualquer que seja n ∈ N.

Caṕıtulo 3

Hiperciclicidade em ‘Weighted Shifts’ Bilaterais

Vimos no caṕıtulo anterior (Teorema 2.4) que os operadores weighted backward shifts

definidos em lp(N) são hiperćıclicos. Nosso objetivo agora será estudar operadoressimilares em termos de hiperciclicidade, definidos não apenas em l2(N), mas eml2(Z). Para isso, seguiremos o artigo de Salas [28].

Seja l2(Z) o espaço de Hilbert das seqüências 2-somáveis em C munido do produtointerno natural .

Definição 3.1 Um operador T definido em l2(Z) será chamado de operador weightedforward shift bilateral com respeito à base canônica {en : n ∈ Z} de l2(Z) se, paracada n ∈ Z, Ten = anen+1, onde {an : n ∈ Z} é um subconjunto limitado de C\{0}.Analogamente, um operador S definido em l2(Z) será chamado de operador weightedbackward shift bilateral com respeito à base canônica {en : n ∈ Z} de l2(Z) se, paracada n ∈ Z, Ten = bnen−1, onde {bn : n ∈ Z} é um subconjunto limitado de C \ {0}.

No decorrer do caṕıtulo, iremos nos referir aos subconjuntos {an : n ∈ Z} porseqüências de pesos. Também estaremos supondo sem perda de generalidade que

an ∈ R com an > 0 para todo n ∈ Z. Essa medida se justifica pelo fato de nãotrabalharmos com os pesos propriamente ditos (que são números complexos), mas

com seus módulos.

Inicialmente, enunciaremos um teorema (Teorema 3.3) que será utilizado ao longo

de todo o presente caṕıtulo. Ele fornece uma condição necessária e suficiente sobre

a seqüência de pesos associada a um weighted shift bilateral para que tal operador

seja hiperćıclico. Entretanto, para demonstrá-lo precisamos do seguinte lema:

Lema 3.2 Seja T um operador weighted shift bilateral definido em l2(Z) e, dadosq ∈ N0, ε > 0 e g, h ∈ [ej : |j| ≤ q], vamos supor que existem n arbitrariamentegrande e um vetor u ∈ [ej : −q − n ≤ j ≤ q − n] tais que

(i) ‖u‖ < ε,

38

Caṕıtulo 3. Hiperciclicidade em ‘Weighted Shifts’ Bilaterais 39

(ii) ‖T n(u)− g‖ < ε,

(iii) ‖T n(h)‖ < ε.

Então T será hiperćıclico.

Demonstração: Vamos exibir explicitamente um vetor hiperćıclico f para T .

Antes de tudo, observemos que as condições (i) e (ii) implicam em ‖T‖ > 1. De fato,dado que (i) e (ii) valem para todo ε > 0 e g ∈ [ej : |j| ≤ q], valem em particularpara ε = 1 e g ∈ [ej : |j| ≤ q] com ‖g‖ > 2. Assim, existem n1 arbitrariamentegrande e u1 ∈ [ej : −q − n1 ≤ j ≤ q − n1] tais que ‖u1‖ < 1 e

∣∣∣‖T n1(u1)‖ − ‖g‖∣∣∣ ≤‖T n1(u1)− g‖ < 1. Logo ‖T n1(u1)‖−‖g‖ < 1 e ‖g‖−‖T n1(u1)‖ < 1; em particular,‖T n1(u1)‖ > ‖g‖ − 1 > 2 − 1 = 1. Agora 1 < ‖T n1(u1)‖ ≤ ‖T‖n1‖u1‖ < ‖T‖n1 .Portanto, ‖T‖ > 1.

Consideremos agora uma seqüência {gk =∑|j|≤k

〈gk, ej〉ej : k ∈ N0} densa em

l2(Z). Note que

gk = (..., 0, 0, gk−k, gk−(k−1), ..., g

k−1, g

k0 , g

k1 , ..., g

kk−1, g

kk , 0, 0...).

Queremos encontrar f ∈ l2(Z) tal que, dado k ∈ N0 qualquer, exista nk ∈ N0 talque T nk(f) esteja suficientemente próxima de gk. Para isso, construiremos uma

seqüência convergente (fk)k∈N0 em l2(Z) satisfazendo

limk→∞

‖T nk(fk)− gk‖ = 0,

onde (nk)k∈N0 é uma seqüência crescente a ser especificada, e f =∑∞

k=1 fk será o

vetor desejado.

1 - Seja ‖T‖ = M > 1 e tomemos n1 = 0 e f1 = g1.2 - Consideremos ε1 =

1Mn122

= 122

.

Note que g2, f1 ∈ [ej : |j| ≤ 2]. Então pela hipótese do lema, existem n2 ∈ N0arbitrariamente grande (portanto, n2 > n1 +1+2) e f2 ∈ [ej : −2−n2 ≤ j ≤ 2−n2]tais que

‖f2‖ <1

22,

‖T n2(f2)− g2‖ <1

22,

‖T n2(f1)‖ <1

22,

3 - Tomando agora ε2 =1

Mn223, temos que g3 ∈ [ej : |j| ≤ 3] e

(f1 + f2) ∈ [ej : −2− n2 ≤ j ≤ 2] ⊂ [ej : |j| ≤ 2 + n2].


Então, novamente pela hipótese do lema, existem n3 ∈ N0 arbitrariamente grandesatisfazendo n3 > n2 + 1 + 2 + 3, e f3 ∈ [ej : −(2 + n2) − n3 ≤ j ≤ (2 + n2) − n3]tais que

‖f3‖ <1

Mn223,

‖T n3(f3)− g3‖ <1

Mn223,

‖T n3(f1 + f2)‖ <1

Mn223, .

Procedendo dessa forma, para cada k ∈ N0 encontramos nk suficientemente grandesatisfazendo nk > nk−1 + 1 + 2 + ...+ k e fk ∈ [ej : −(2 +n2 + ...+nk−1)−nk ≤ j ≤(2 + n2 + ...+ nk−1)− nk] tais que

‖fk‖ <1

Mnk−12k,

‖T nk(fk)− gk‖ <1

Mnk−12k,

‖T nk(f1 + f2 + ...+ fk−1)‖ <1

Mnk−12k, .

Como a série∞∑

k=1

fk converge, chamamos f =∞∑

k=1

fk. Pela forma como foram esco-

lhidos os vetores fk, afirmamos que f é hiperćıclico para T . De fato,

‖T nk(f)− gk‖ = ‖T nk(k−1∑j=1

fj) + Tnk(fk) +

∞∑j=k+1

T nk(fj)− gk‖ ≤

≤ ‖T nk(k−1∑j=1

fj)− gk‖+ ‖T nk(fk)‖+∞∑

j=k+1

Mnk‖fj‖ <

<1

Mnk−12k+

1

Mnk−12k+

∞∑j=k+1

Mnk1

Mnj−12j=

=1

Mnk−12k−1+

(Mnk

Mnk2k+1+

Mnk

Mnk+12k+2+

Mnk

Mnk+22k+3+ ...

)Como M > 1 e nj > nj−1 + 1 + 2 + ...+ j, para todo j, segue que

1

Mnk−12k−1+

(1

2k+1+

1

Mnk+1−nk2k+2+

1

Mnk+2−nk2k+3+ ...

)<

1

2k−2,

e, portanto, ‖T nk(f)− gk‖ < 12k−2

→ 0, quando k →∞. Como a seqüência (gk)k∈N0é densa no espaço, segue que a órbita Orb(f, T ) é densa no espaço.

Teorema 3.3 Seja T um operador weighted forward shift bilateral definido em l2(Z)com uma seqüência de pesos {an : n ∈ Z}. Então T é hiperćıclico se, e somente se,


dados ε > 0 e q ∈ N0, existe um n arbitrariamente grande tal que, para todo j comj ≤ q,

n−1∏s=0

aj+s = ajaj+1....aj+n−1 < ε,

n∏s=1

aj−s = aj−1aj−2....aj−n >1

ε.

Demonstração: Suponhamos que T seja hiperćıclico. De acordo com a Proposição

2.5, o conjunto de vetores hiperćıclicos associados a T , HC(T ), é denso em l2(Z).Dados q ∈ N0 e ε > 0, escolhamos δ > 0 tal que δ < ε(ε+1) . Então podemos encontrarx = (xn)n∈Z em HC(T ) tal que ‖x−

∑|j|≤q

ej‖ < δ, isto é,

‖x−∑|j|≤q

ej‖ = ‖(..., x−q−2, x−q−1, (x−q − 1), (x−q+1 − 1), ..., (xq − 1), xq+1, ...)‖ =

= (∑|j|>q

|xj|2 +∑|j|≤q

|xj − 1|2)12 < δ. ( 1)

Assim

(∑|j|>q

|xj|2)12 < δ =⇒ |xj| = |〈x, ej〉| < δ, se |j| > q

(∑|j|≤q

|xj − 1|2))12 < δ =⇒ |xj − 1| = |〈x, ej〉 − 1| < δ, se |j| ≤ q

Observemos que, para todo j com |j| ≤ q,

1− |〈x, ej〉| < |1− 〈x, ej〉| < δ =⇒ |〈x, ej〉| > 1− δ.

Portanto |〈x, ej〉| > 1− δ, se |j| ≤ q e |〈x, ej〉| < δ, se |j| > q. Mas também

T (x) = T ((xj)) = T (∑j∈Z

〈x, ej〉ej) =∑j∈Z

〈x, ej〉T (ej) =

=∑j∈Z

aj〈x, ej〉ej+1; e

T 2(x) =∑j∈Z

ajaj+1〈x, ej〉ej+2;

(...)

T n(x) =∑j∈Z

n−1∏s=0

aj+s〈x, ej〉ej+n,


para todo n ∈ N0. Como T é hiperćıclico por hipótese, podemos encontrar n > 2qarbitrariamente grande tal que ‖T n(x)−

∑|j|≤q

ej‖ < δ, isto é,

‖ T n(x) −∑|j|≤q

ej‖ = ‖∑k∈Z

(n−1∏s=0

ak+s)〈x, ek〉ek+n −∑|j|≤q

ej‖l=k+nm=n−s

↓=

= ‖∑l∈Z

(n∏

m=1

al−m)〈x, el−n〉el −∑|j|≤q

ej‖ =

= ‖∑|l|>q

(n∏

m=1

al−m)〈x, el−n〉el +∑|l|≤q

(n∏

m=1

al−m)(〈x, el−n〉 − 1)el‖def. norma

↓=

=( ∑|l|>q

|(n∏

m=1

al−m)〈x, el−n〉el|2 +∑|l|≤q

|(n∏

m=1

al−m)〈x, el−n〉 − 1|2) 1

2< δ.

Logo

|n∏

m=1

al−m〈x, el−n〉el| < δ, se |l| > q, ( 2)

|n∏

m=1

al−m〈x, el−n〉 − 1|2 < δ, se |l| ≤ q. ( 3)

Como l = k + n e n > 2q, teremos

|l| > q =⇒ |k| = |l − n| ≤ q, ( 4)|l| ≤ q =⇒ |k| > q. ( 5)

Agora, se tomarmos |k| = |l − n| ≤ q, teremos |l| > q. Logo vale (2). Trocando(l − n) por j,

n−1∏s=0

aj+s|〈x, ej〉| < δ se |j| ≤ q,

implicando em

n−1∏s=0

aj+s <δ

|〈x, ej〉|<

δ

1− δ, se |j| ≤ q.

Por outro lado, para todo j com |j| ≤ q, vale (3). Como δ < 1,

n∏s=1

aj−s|〈x, ej−n〉| > 1− δ, ou seja,n∏

s=1

aj−s >1− δ

|〈x, ej−n〉|.


Agora, se |j| ≤ q, por (5), |l − n| > q. Portanto,n∏

s=1

aj−s >1− δδ

, se |j| ≤ q.

Como δ foi escolhido com δ < ε(ε+1)

, isto é, tal que ε > δ1−δ , para todo j com |j| ≤ q,

n−1∏s=0

aj+s = ajaj+1....aj+n−1 < ε,

n∏s=1

aj−s = aj−1aj−2....aj−n >1

ε.

Reciprocamente, suponhamos agora que, dados ε > 0 e q ∈ N0, existe um n > 0arbitrariamente grande tal que, para todo j com j ≤ q,

n−1∏s=0

aj+s = ajaj+1....aj+n−1 < ε, ( 6)

n∏s=1

aj−s = aj−1aj−2....aj−n >1

ε. ( 7)

Observemos que, dado f =∑|j|≤q

〈f, ej〉ej, e como aj > 0, para todo j ∈ Z,

‖T n(f)‖ = ‖T n(∑|j|≤q

〈f, ej〉ej)‖ = ‖∑|j|≤q

n−1∏k=0

ak+j〈f, ej〉ej + n‖(6)

↓≤

≤ ‖∑|j|≤q

ε〈f, ej〉ej + n)‖ < ε(2q + 1)‖f‖.

Além disso, o operador T é bijetor. Consideremos então o operador inverso a T ,

T−1, dado pela expressão

T−1(ej) =ej−1aj−1

, para todo j.

O vetor f também pertence ao domı́nio do operador T−n, satisfazendo

‖T−n(f)‖ = ‖T−n(∑|j|≤q

〈f, ej〉ej)‖ =∥∥∥∥ ∑|j|≤q

( n∏k=1

1

aj−k

)〈f, ej〉ej−n

∥∥∥∥(7)

↓≤

≤ ‖∑|j|≤q

ε〈f, ej〉ej − n)‖ < ε(2q + 1)‖f‖.

Assim, dados g, h ∈ [ej : |j| ≤ q] com ‖h‖ < 12q+1 e ‖g‖ <1

2q+1, teremos{

‖T−n(g)‖ ≤ ε(2q + 1)‖g‖ < ε,‖T n(h)‖ ≤ K1‖h‖ < ε(2q + 1)‖h‖ < ε,


Tomando u = T−n(g), ‖u‖ < ε‖g‖ < ε,‖T n(h)‖ < ε‖h‖ < ε,‖T n(u)− g‖ = 0 < ε.

Assim, T satisfaz as três hipóteses do Lema 3.2 e, portanto, segue que T é hiperćıclico.

Os operadores weighted backward shifts bilaterais podem ser caracterizados de

uma maneira similar aos operadores forward shifts bilaterais. De fato, sendo S um

weighted backward shift bilateral com uma seqüência de pesos {bn : n ∈ Z}, noteque S(ej) = bjej−1, (j ∈ Z) pode ser visto como S(e−j) = b−je−(j+1), (j ∈ Z). Alémdisso, para cada n ∈ N0,

Sn(ej) =n−1∏l=0

b(j−l)e(j−n), ∀ j ∈ Z.

Assim, uma versão análoga ao Teor

usp · 2007. 10. 18. · i agradecimentos reservo este espa¸co para expressar minha gratid˜ao...

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