20-congruencia

8/3/2019 20-congruencia

1/16

Aritmtica modular e algumas de suas aplicaes Ilydio P. de S 1

ARITMTICA MODULAR E ALGUMAS DE SUAS APLICAES

Ilydio Pereira de S1

Introduo:

Uma das ferramentas mais importantes na teoria dos nmeros a aritmtica modular, queenvolve o conceito de congruncia. Uma congruncia a relao entre dois nmeros que,divididos por um terceiro - chamado mdulo de congruncia - deixam o mesmo resto. Porexemplo, o nmero 9 congruente ao nmero 2, mdulo 7, pois ambos deixam resto 2, ao seremdivididos por 7. Representamos essa congruncia do exemplo por 9 2, mod. 7. Foi o brilhanteGauss que observou que usvamos com muita freqncia frases do tipo a d o mesmo resto queb quando divididos por me que essa relao tinha um comportamento semelhante igualdade.Foi Gauss ento que introduziu uma notao especfica para este fato e que denominou decongruncia.

Muito se tem escrito sobre esse tema, principalmente nos livros sobre teoria dos nmeros. um

conceito muito importante e que est relacionado com divisibilidade e os restos de uma diviso denmeros inteiros.

O que no muito comum o estudo das muitas aplicaes que o tema possui no cotidiano detodas as pessoas. Diferentes cdigos numricos de identificao, como cdigos de barras,nmeros dos documentos de identidade, CPF, CNPJ, ISBN, ISSN, criptografia, calendrios ediversos fenmenos peridicos esto diretamente ligados ao tema, conforme mostraremos emnosso estudo.

um tema bastante atual e que pode ser trabalhado j nas classes do Ensino Fundamental egerador de excelentes oportunidades de contextualizao no processo de ensino / aprendizagemde matemtica.

Inicialmente vamos mostrar alguns elementos tericos sobre a aritmtica modular e, na segundaparte do trabalho teremos a apresentao de alguns exemplos de aplicao desse importante einteressante tema da rea de teoria dos nmeros.

1) Noes bsicas da aritmtica modular

1.1) Exemplos iniciais:

Antes de apresentarmos as definies e propriedades relacionadas congruncia, vamos

desenvolver trs exemplos que poderiam ser colocados a alunos da Educao Bsica, ainda nofamiliarizados com o tema, como introduo ao assunto.

Exemplo 1:Vamos apresentar uma questo retirada do banco de questes do site da OBMEP (OlimpadaBrasileira de Matemtica das Escolas Pblicas). L sempre temos encontrado questesinteressantes e provocativas para o preparo de nossos alunos da Educao Bsica.

A, B, C, D, E, F, G e H so os fios de apoio que uma aranha usa para construir sua teia,conforme mostra a figura. A aranha continua seu trabalho. Sobre qual fio de apoio estar onmero 118?

1 Ilydio Pereira de S Mestre em Educao Matemtica, professor da UERJ, da Universidade Severino Sombra e do

Colgio Pedro I, Rio de Janeiro.


2/16


SOLUO:Vejamos o que est acontecendo?

FIOS A B C D E F G H0 1 2 3 4 5 6 78 9 10 11 12 13 14 15

16 17 18 19 20 21 22 2324 25 26 27 28 29 30 31... ... ... ... ... ... ... ...

claro que alguma pessoa bem paciente poderia continuar construindo a tabela at que

aparecesse o nmero 118. Assim ela saberia em qual fio a aranha iria estar. Convenhamosque no seria uma soluo muito prtica e nem rpida. Imagine se a questo perguntasse ofio correspondente ao nmero 890?

Podemos observar que os fios se repetem a cada oito nmeros e essa periodicidade faz comque os nmeros de cada fio formem uma progresso aritmtica de razo igual a 8, ou seja,aumentem de oito em oito. Observamos tambm que cada fio pode ser representado a partirdos mltiplos de 8. O fio A corresponde aos nmeros que so mltiplos de 8, ou seja, nmerosque divididos por 8 deixam resto zero (8. n, com n IN). O fio B corresponde aos nmeros queso mltiplos de 8, mais 1, ou seja, nmeros que divididos por 8 deixam resto 1 (8.n + 1, comn IN). O fio C corresponde aos nmeros que so mltiplos de 8, mais 2, ou seja, nmeros

que divididos por 8 deixam resto 2 (8.n + 2, com n

IN) e essa lgica se mantm at o fio H,definido pelos nmeros que divididos por oito deixam resto 7. claro que para saber sobrequal fio estar o nmero 118, basta verificarmos a qual dessas famlias tal nmero pertence eisso pode ser facilmente obtido ao dividirmos 118 por 8. Vejamos:

118 86 14

Todos os nmeros de nosso exemplo, que esto no mesmo fio, tem uma particularidade emcomum, deixam o mesmo resto ao serem divididos por 8 e, como j comentamos naintroduo, so congruentes entre si, no mdulo 8.O nmero 14, por exemplo, congruente ao nmero 22, no mdulo 8, e isso significa que

esses dois nmeros deixam o mesmo resto quando divididos por 8 (verifique que ambos estosobre o fio G). Verificando:

Verificamos que o nmero 118 igual a 8 . 14 + 6, ou seja, pertence famlia dos nmeros que esto no fio G.


3/16


14 8 22 8

6 1 6 2

Simbolicamente, poderemos escrever: 14 22, mod. 6

Exemplo 2:

Aritmtica do relgio

Trata-se de um caso de congruncia, mdulo 12 (nos relgios analgicos, claro). Note que13 horas congruente a 1 hora, no mdulo 12. Ambos divididos por 12, deixam resto 1. 17horas congruente a 5 horas, mdulo 12. Tanto 17, como 5, divididos por 12, deixam resto 5...e assim, sucessivamente.

1 13 25 ...., mod 125 17 29 ...., mod 12

Assim as horas marcadas num relgio analgico constituem tambm um caso clssico decongruncia, nesse caso com mdulo 12.

Exemplo 3:Vejamos uma aplicao interessante sobre o tema, relacionada aos calendrios:

Vamos supor que voc saiba em qual dia da semana caiu o dia 1 de janeiro de um determinadoano. Em 2006, por exemplo, foi um domingo. Imaginemos que voc deseja saber quando cair umoutro dia qualquer (vale para qualquer ano). s montar uma tabela para essa primeira semana,que no caso ser:

Domingo 1 Segunda 2 Tera 3 Quarta 4 Quinta 5 Sexta 6 Sbado 7

Verificamos aqui que estamos novamente diante de um caso de congruncia, mdulo 7 nessecaso. Digamos que estivssemos interessados em descobrir em que dia da semana caiu o dia 5

de julho (e no temos um calendrio em mos, claro). Primeiro precisamos ver quantos diasexistem de 1 de janeiro at 5 de julho. Vejamos:

Janeiro = 31 diasFevereiro = 28 dias (2006 no bissexto)Maro = 31 diasAbril = 30 diasMaio = 31 diasJunho = 30 diasJulho = 5 diasTotal = 186 dias.Agora, como se tivssemos uma fila de 186 dias e estamos desejando saber, na congruncia de

mdulo 7 (7 dias da semana) qual o correspondente ao186. Acho que voc concorda que estamos


4/16


diante de uma situao bem semelhante que vimos no problema da aranha e tambm noproblema dos relgios analgicos.

Se dividirmos 186 por 7, teremos:

186 7

4 26Logo, o 186 congruente ao 4, no mdulo 7. Como o dia 4 de janeiro de 2006 foi uma quarta-feira, o 186 desse mesmo ano tambm o ser e, claro, que todas as demais quarta-feiras desteano sero ocupados por nmeros congruentes ao 4, mdulo 7.

Assim, com os trs exemplos que mostramos, podemos observar que em nosso cotidiano existeminmeras situaes onde se faz presente a noo de congruncia, mdulo k. Calendrios, relgiosanalgicos e problemas em geral envolvendo repeties peridicas. Mostraremos em nossoestudo que na criptografia e em diversos nmeros de documentos de identificao (como no CPF,por exemplo), tambm est presente a Aritmtica Modular e a noo de congruncia.

1.2) Conceitos Bsicos da Congruncia mdulo k

Se os inteiros a e b do o mesmo resto quando divididos pelo inteiro k (k > 0) entopodemos dizer que a e b so cngruos, mdulo k e podemos representar:

a b mod k

Uma maneira equivalente de dizer isso afirmar que a diferena (a b) ou (b a) divisvel por k, ou que k divisor dessa diferena. Veja um exemplo:47 43 mod 4, logo (47 43) divisvel por 4.

A congruncia define uma equivalncia, pois atende s propriedades reflexiva, simtrica etransitiva, ou seja:a a, mod k (reflexiva)a b, mod k, ento b a, mod k (simtrica)a b, mod k e b c, mod k, ento a c, mod k (transitiva)

Algumas propriedades da congruncia Se a b, mod k e c d, mod k, ento:

a + c b + d,mod k; a - c b - d,mod k; a . c b . d,mod k

claro que todas essas propriedades precisam ser demonstradas. Vejamos a demonstrao daprimeira.

Se a b, mod k, ento a b divisvel por k, analogamente, se c d, mod k, ento c d tambm divisvel por k, para provarmos que a + c b + d, teremos que mostrar que (a + c) (b + d) divisvel por k. Vamos colocar essa diferena na forma (a b) + (c d) e verificar se divisvel pork. Como, pela hiptese, (a b) e (c d) eram divisveis por k, claro que a soma (a b) + (c d) tambm divisvel por k, o que demonstra a primeira propriedade. Tente fazer as demaisdemonstraes, de modo anlogo.


5/16


2) Algumas aplicaes da congruncia

2.1) Sistemas de identificao

Em qualquer texto, um erro de ortografia numa palavra pode ser facilmente percebido, pois ou apalavra no faz parte do idioma ou no faz sentido com o contexto. Por exemplo, se digitamos

engenheior, logo percebemos que fizemos uma inverso das duas ltimas letras. Mas, quandoisso ocorre com os algarismos de um nmero, de um cdigo de identificao qualquer, noteramos como perceber a troca num simples olhar. Para isso e tambm para minimizar fraudes,foram criados os chamados dgitos de controle ou verificao. Tais dgitos so normalmentebaseados na noo de congruncia que mostramos anteriormente.

Mostraremos a seguir alguns desses casos de dgitos de controle usados como identificadores.

2.1.1) ISBN

Um dos exemplos mais antigos o sistema International Standard Book Number (ISBN) decatalogao de livros, CD-Roms e publicaes em braile, que foi criado em 1969. A necessidade

que as editoras tm de catalogar os seus livros e informatizar o sistema de encomendas serviu demotivao na gerao desse cdigo.

A vantagem que, por ser um cdigo numrico, ultrapassa as dificuldades geradas pelos diversosidiomas do mundo, bem como a grande diversidade de alfabetos existentes. Dessa forma,poderamos, por exemplo, identificar atravs do ISBN um livro japons.

Em tal sistema, as publicaes so identificadas atravs de 10 algarismos, sendo que o ltimo(dgito de controle) calculado atravs da aritmtica modular envolvendo operaes matemticascom os outros nove dgitos. Esses nove primeiros dgitos so sempre subdivididos em 3 partes, detamanho varivel, separadas por hfen, que transmitem informaes sobre o pas, editora e sobreo livro em questo.

Por exemplo, a lngua inglesa identificada somente pelo algarismo 0 e a editora McGraw-Hill temum cdigo de 2 algarismos que a identifica, dessa forma, restam ainda 6 algarismos para aidentificao de suas publicaes, havendo pois a possibilidade de 10

6= 1 000 000 de ttulos.

Vejamos como se processa o clculo do dgito final do ISBN (controle).

Representando por aaaaaaaaa 987654321 a seqncia formada pelos 9 primeiros dgitos,

devemos multiplica-los, nessa ordem, pela base {10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2} e somar os produtosobtidos. O dgito que est faltando, que vamos representar por a

10deve ser o menor valor

possvel, tal que ao ser acrescentado soma obtida, deve gerar um mltiplo de 11, isto , se asoma obtida S, o nmero S + a10 deve ser mltiplo de 11, ou seja, S + a10 0 mod 11.

Vejamos um exemplo:

Na contracapa do livro Temas e Problemas Elementares, da Coleo Professor de Matemtica, daSBM, temos o seguinte cdigo do ISBN: 85-85818-29-8. Vejamos o clculo do dgito de controleque, como estamos observando, igual a 8.

8 5 8 5 8 1 8 2 910 9 8 7 6 5 4 3 2Efetuando as multiplicaes correspondentes e somando os produtos obtidos, teremos:

8 . 10 + 5 . 9 + 8 . 8 + 5 . 7 + 8 . 6 + 1 . 5 + 8 . 4 + 2 . 3 + 9 . 2 =


6/16


= 80 + 45 + 64 + 35 + 48 + 5 + 32 + 6 + 18 = 333

333 11

3 30

Para obtermos um mltiplo de 11, ao acrescentarmos o dcimo algarismo, o menor valor que

atende a tal condio ser o nmero 8, pois 11 3 = 8. O que confere o valor apresentado nocdigo dado. Isso significa dizer que 333 + 8 = 341 um mltiplo de 11, ou ainda, que 341 0mod 11.

Um outro exemplo:

O livro Matemtica Aplicada Administrao, Economia e Contabilidade, da Editora Thompson,tem o seguinte cdigo ISBN 85-221-0399-?Qual o seu dgito de controle?

Soluo:

8 5 2 2 1 0 3 9 910 9 8 7 6 5 4 3 2

Efetuando a soma dos produtos correspondentes, teremos:

80 + 45 + 16 + 14 + 6 + 0 + 12 + 27 + 18 = 218

218 11

9 19

Dessa forma, o dgito de controle ser igual a 2 (11 9 = 2).Podemos observar que os dois livros que usamos como exemplo tem o prefixo 85, que identificalivros publicados no Brasil.

Vejamos um exemplo de outro pas:

O livro Hilbert, de Constance Reid, publicado em alemo (Berlim), tem o seguinte cdigo ISBN:3-540-04999-1. Faamos a verificao do clculo do dgito de controle (1).

3 5 4 0 0 4 9 9 910 9 8 7 6 5 4 3 2

30 + 45 + 32 + 0 + 0 + 20 + 36 + 27 + 18 = 208

208 11

10 18

Logo, o dgito igual a 1 (11 10).

OBSERVAES: No ISBN, se o dgito for igual a 10 (no caso do resto da diviso por 11 ser igual a

1), usada a representao do 10 em algarismos romanos, ou seja usa-se um X.


7/16


Em todos os casos que iremos mostrar, que usam aritmtica modular, so usadasbases de multiplicao que operadas com os dgitos do nmero geram umdeterminado valor S. A esse valor obtido deve ser somado ou subtrado um valor x,de modo a que exista uma congruncia ao zero, num mdulo que normalmente 11 ou 10, conforme o caso.

A partir de janeiro de 2007 os cdigos do ISBN esto sendo representados com 13

dgitos. No caso dos livros editados no Brasil h um acrscimo dos dgitos 978antes do 85.

2.1.2) CDIGO DE BARRAS EAN-13

Um dos cdigos de barras mais usados no mundo todo o EAN-13, constitudo de 13 algarismos,sendo que o ltimo o dgito de controle. Nesse caso usada a congruncia mdulo 10 e osfatores que compem a base de multiplicao so os dgitos 1 e 3, que vo se repetindo daesquerda para a direita.

Se aaaaaaaaaaaa 121110987654321 a seqncia formada pelos 12 primeiros dgitos, devemosmultiplic-los, nessa ordem, pela base {1, 3, 1, 3, 1, 3, 1, 3, 1, 3, 1, 3} e somar os produtosobtidos. Vamos representar por S a soma obtida. O dgito que est faltando, que vamosrepresentar por a

13deve ser tal que ao ser somado com S, deve gerar um mltiplo de 10, isto , o

nmero S + a13

deve ser mltiplo de 10, ou seja, S + a13

0 mod 10.

Vejamos um exemplo:

Numa embalagem de uma garrafa para bebidas, de Portugal, temos o seguinte cdigo de barras:

Vamos efetuar os clculos para a determinao do dgito de controle (que estamos vendo ser odgito 7).

8 4 2 4 9 0 6 2 0 1 7 61 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 (esta a base de multiplicao, nesse caso)

Efetuando os produtos, teremos:

8 + 12 + 2 + 12 + 9 + 0 + 6 + 6 + 0 + 3 + 7 + 18 = 83

83 10

3 8

Logo, o dgito de controle ser igual a 7 (10 3). Note que 83 + 7 = 90 (mltiplo de 10)

Sabemos tambm que, no cdigo de barras com 13 algarismos, os trs primeiros dgitos docdigo representam o pas de registro do produto (verifique que para produtos filiados no Brasil

teremos sempre os dgitos 7, 8 e 9); os quatro dgitos seguintes identificam o fabricante; os


8/16


prximos cinco dgitos identificam o produto e o ltimo, como j sabemos, o dgito verificadorou de controle, que se pode calcular atravs da congruncia, mdulo 10.

2.1.3) Cadastro das pessoas fsicas na Receita Federal CPF

Outro exemplo importante, do nosso cotidiano: Verificao dos dois dgitos de controle do CPF de

uma pessoa:

O nmero de CPF de uma pessoa, no Brasil, constitudo de 11 dgitos, sendo um primeiro blococom 9 algarismos e um segundo, com mais dois algarismos, que so, como no ISBN e noscdigos de barra, dgitos de controle ou de verificao . A determinao desses dois dgitos decontrole mais um caso de aplicao da noo de congruncia.

No caso do CPF, o dcimo dgito (que o primeiro dgito verificador) o resultado de umacongruncia, mdulo 11 de um nmero obtido por uma operao dos primeiros nove algarismos.

Se aaaaaaaaa 987654321 a seqncia formada pelos 9 primeiros dgitos, devemos

multiplic-los, nessa ordem, pela base {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} e somar os produtos obtidos. Odgito que est faltando, que vamos representar por a10 deve ser tal que ao ser subtrado da somaobtida, deve gerar um mltiplo de 11, isto , se a soma obtida S, o nmero S - a

10 deve ser

mltiplo de 11, ou seja, S - a10

0 mod 11. Note que tal nmero ser o prprio resto da divisopor 11 da soma obtida.

Por exemplo, se o CPF de uma pessoa tem os seguintes 9 primeiros dgitos: 235 343 104, oprimeiro dgito de controle ser obtido da seguinte maneira:

Escrevemos os nove primeiros e, abaixo deles, a base de multiplicao com os dgitos de 1 a 9.

2 3 5 3 4 3 1 0 4

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Efetuando as multiplicaes correspondentes, teremos:

2 x 1 + 3 x 2 + 5 x 3 + 3 x 4 + 4 x 5 + 3 x 6 + 1 x 7 + 0 x 8 + 4 x 9 = 116.

Dividindo o nmero 116 por 11, teremos:116 11

6 10

Dessa forma, o primeiro dgito de controle ser o algarismo 6.

A determinao do segundo dgito de controle feita de modo similar, sendo que agoraacrescentamos o dcimo dgito (que o que acabamos de calcular) e usamos uma base demultiplicao de 0 a 9.

Vejamos:

2 3 5 3 4 3 1 0 4 6

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Efetuando as multiplicaes, teremos:

2 x 0 + 3 x 1 + 5 x 2 + 3 x 3 + 4 x 4 + 3 x 5 + 1 x 6 + 0 x 7 + 4 x 8 + 6 x 9 = 145

Dividindo o nmero 145 por 11, teremos:

145 112 13


9/16


Logo, o segundo dgito de controle o 2.

Conclumos ento que, no nosso exemplo, o CPF completo seria: 235 343 104 62

Se o resto da diviso fosse 10, ou seja, se o nmero obtido fosse congruente ao 10, mdulo 11,usaramos, nesse caso, o dgito zero.

2.2) Congruncia e Criptografia

Gpukpq Hwpfcogpvcn

Com certeza a frase acima nada significa para voc. Parece algum idioma desconhecido ou deoutro planeta. Experimente agora substituir cada letra pela segunda letra que vem antes dela, naseqncia do alfabeto completo (26 letras, incluindo k, w e y). Sem grande dificuldade voc terescrito Ensino Fundamental.

De uma forma simplificada o que ocorre na criptografia, quando algum deseja transmitir algumainformao que no deseja partilhar com os outros, a no ser o destinatrio final e combina umachave qualquer para transmisso e recepo da informao. O receptor, de posse da chave,decodifica a mensagem, transformando-a novamente para que possa entender e ler o que lhe foienviado. No exemplo que demos, que bastante simples, o emissor substituiu cada letra doalfabeto por uma outra que ficava duas posies depois dela, no alfabeto. O receptor, sabendo dachave dessa criptografia, aplicava a operao inversa na frase recebida, ou seja, substitua cadaletra recebida pela que ficava duas posies antes dela, no alfabeto.

Se designarmos por x a letra original e por y a letra que a substituir no cdigo, como setivssemos uma funo, definida por y = x + 2.

Sabe-se que a primeira aplicao de criptografia foi inventada pelo imperador romano Julio Csar,

que enviava mensagens aos seus generais trocando letras do alfabeto a partir de uma simplesregra, similar que exemplificamos acima, que seria "pule trs" (chave 3). Atravs desteesquema, as letras eram trocadas pela terceira letra anterior no alfabeto. Desta forma, somentequem soubesse da regra conseguia desfazer o algoritmo e ler a mensagem original.

Veja como funcionava essa chave 3, de Julio Csar:

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y ZX Y Z A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W

Ou seja, uma palavra simples como "atacar seria codificada como "xqxzxo". Este sistema eoutros similares, obtidos atravs de permutaes, em que as letras so "embaralhadas", somuito simples e, no difceis de serem decifrados, mas por muito tempo serviram paraesconder mensagens.

Vejamos um exemplo mais completo e a relao que tem com a aritmtica modular:

a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26

Chave:Somar 4

Cada letra fica representada por um nmero que representa a sua posio no alfabeto. Com essachave, ela fica substituda pela letra cujo nmero corresponde ao nmero original, aumentado de

4. Quando acontecer do resultado ser superior ao 26, voltamos ao incio do alfabeto. Por exemplo,o nmero 28 corresponder letra b, pois 28 = 26 + 2 e, como j sabemos 28 2 mod 26.


10/16


Atividades como essa, aplicadas nas classes do Ensino Fundamental, levaro os alunos aperceber que, na traduo da mensagem enviada eles tero, que aplicar a operao inversa daque foi usada pelo emissor da mensagem, na criao da mensagem criptografada.

Em classes do Ensino Mdio o professor poderia representar cada chave por uma funo bijetora(para que tivesse inversa) e o receptor da mensagem criptografada teria que obter a funoinversa, para traduzir a mensagem recebida.

Ainda no Ensino Mdio a chave poderia ser representada por matrizes inversveis e adecodificao pelo receptor seria atravs da matriz inversa

Atravs da chave dada como exemplo (somar 4 ou y = x + 4), se a mensagem a ser enviada fosseCIDADE MARAVILHOSA, o grupo emissor teria que criptograf-la como: GMHEHIQEVEZMPLSWE.

O grupo receptor da mensagem, sabendo que a chave foi somar 4, teria agora que subtrair 4unidades dos nmeros que representam cada letra da mensagem criptografada, para obter amensagem original, decifrando o cdigo. Vejamos:

G 7 4 = 3 = C

M 13 4 = 9 = I

H 8 4 = 4 = D

E 5 4 = 1 = A

H = D

I 9 4 = 5 = E

Durante a segunda guerra mundial sistemas eletromecnicos na codificao e decodificao dasmensagens foram muito usados. Nestes dispositivos, rotores incorporavam internamente umapermutao e sua instalao em mecanismos parecidos com "counters" (ou contadores)permitiam transformaes polialfabticas produzindo uma quantidade impressionante decombinaes.

Graas aos mais de sete mil ingleses que trabalharam no famoso Quartel General dasComunicaes Governamentais ("Government Communications Headquarters") em "BletcheyPark", os cdigos alemes foram quebrados. Eles tratavam em torno de quatro mil sinais alemespor diae, secretamente, mantinham os comandos britnico e americano muito bem informados.Ainda durante a guerra computadores (como o "Colossus") foram usados na "quebra" de cdigosalemes, italianos e japoneses e, desde ento, a Criptografia passou a ser estudada de formamais cientfica.

Depois da Segunda Guerra Mundial, com o desenvolvimento dos computadores, a rea realmentefloresceu incorporando complexos algoritmos matemticos. Na verdade, esse trabalhocriptogrfico formou a base para a cincia da computao moderna.

Diversos filmes e livros tm explorado de forma inteligente esse tema, como Uma MenteBrilhante um filme estrelado por Russel Crowe e que contava a histria do brilhante matemtico

Q 17 4 = 13 = M

E 5 4 = 1 = A

V 22 4 = 18 = R

E = A

Z 26 4 = 22 = V

M 13 4 = 9 = I

P 16 4 = 12 = L

L 12 4 = 8 = H

S 19 4 = 15 = OW 23 4 = 19 = S

E = A


11/16


John Nash. Os livros Fortaleza Digital e Cdigo Da Vinci, de Don Brown tambm tratam dessetema.

Mas como funciona a aritmtica modular na Criptografia?

Imaginemos um casal, Alice e Bob, que vivem isolados e apenas podem comunicar atravs docorreio. Eles sabem que o carteiro um tremendo fofoqueiro e que l todas as suas cartas. Alicetem uma mensagem para Bob e no quer que ela seja lida. Que que pode fazer? Ela pensou emlhe enviar um cofre com a mensagem, fechado a cadeado. Mas como lhe far chegar a chave?No pode enviar dentro do cofre, pois assim Bob no o poder abrir. Se enviar a chavem emseparado, o carteiro pode fazer uma cpia.

Depois de muito pensar, ela tem uma idia. Envia-lhe o cofre fechado com um cadeado. Sabe queBob esperto e acabar por perceber a sua idia. Com mais uma ida e uma volta do correio, esem nunca terem trocado chaves, a mensagem chega at Bob, que abre o cofre e a l. Como que voc acha que resolveram o problema? Pense bem no assunto, tente responder a questo. simples... depois que voc descobrir, claro.

O truque usado foi o seguinte: Bob colocou um outro cadeado no cofre e ele tinha a chave dessesegundo cadeado. Devolve o cofre a Alice por correio, desta vez fechado com os dois cadeados.Alice remove o seu cadeado, com a chave que possui e reenvia o cofre pelo correio s com ocadeado colocado por Bob. claro que Bob tem apenas que abrir o cofre, com a sua prpriachave e ler a mensagem enviada pela sua amada. O carteiro no tem como saber o contedo docofre.

CRATO, N,. Alice e Bob.Expresso / Revista, 22 de Setembro, pp. 118-120. (2001)

Na criptografia usam-se chaves que, de certa forma, so anlogas estratgia usada pelosnamorados de nossa histria.Esta histria relata a velha charada do sigilo nas comunicaes e uma de suas brilhantessolues. Talvez tenha servido de inspirao para os trs jovens norte-americanos, WhitefieldDiffie, Martin Hellman e Ralph Merkle, ao construirem em 1976 um sistema de criptografia emque o segredo da comunicao assegurado por duas chaves, que os comunicantes noprecisam trocar entre si, como aconteceu na historinha do Bob e da Alice. Foi esta inveno queinspirou o sistema de criptografia RSA.

Alice e Bob so personagens fictcios, mas so nomes sistematicamente utilizados pelosespecialistas de criptografia. mais interessante do que falar apenas no emissor e receptor, ouapenas em A e B. Costuma se acrescentar a eles uma terceira personagem, representada nanossa histria pelo carteiro, que costuma receber o nome de Eva - Eve, em ingls - e querepresenta aquela que se pe escuta - ou seja, aquela que eavesdrop".

At descoberta de Diffie, Hellman e Merkle, a comunicao de mensagens cifradas exigia umatroca da chave da cifra, como fizemos nas atividades anteriores e como era feito nas chaves deJlio Csar. Era preciso que Alice e Bob se encontrassem previamente e combinassem umachave que apenas eles dois conhecessem. S isso lhes permitiria, posteriormente, trocarmensagens distncia sem que Eva, sempre escuta, conseguisse perceb-las. Assimfuncionaram as mensagens secretas desde os tempos de Csar at aos tempos modernos, assimfuncionaram espies, conspiradores e simples amantes. A chave poderia ser simples, mas erasempre necessrio que Alice e Bob combinassem tudo antes, e nem sempre isso era possvel.

A idia de Diffie, Hellman e Merkle pois revolucionria. Segundo o esquema que propuseram,Alice e Bob comeam por acordar em dois nmeros. E estes podem ser pblicos, pois mesmo que

Eva os consiga descobrir no ter como descobrir a chave do processo. Cada um deles escolheum outro nmero, que mantm secreto. Feitas algumas contas, baseadas em aritmtica modular,


12/16


ambos chegam a um mesmo resultado: um nmero que mais ningum conhece e que ser achave de codificao das suas mensagens. O processo que inventaram relativamente simples,embora muito engenhoso, e ser mostrado no quadro abaixo. Tudo se passa de forma parecidacom a da histria dos dois cadeados. As chaves no so trocadas, mas cada um acaba por poderabrir o cofre, sem que o carteiro, o consiga.

O processo inventado por Diffie, Hellman e Merkle marca o nascimento da criptografia comchaves pblicas, que funcionam em conjunto com chaves secretas que no precisam sertrocadas. Baseia-se na aritmtica modular, que consiste, essencialmente, em trabalhar com osrestos da diviso inteira por um nmero determinado, chamado mdulo. Esse processo foidenominado de congruncia, mdulo k, pelo famoso gnio da Matemtica Gauss, conforme jobservamos introduo desse artigo.

Simon Singh , no seu Livro dos Cdigos, d um exemplo que retrata bem o processo matemticoda aritmtica modular, envolvido nessas chaves pblicas.

Os comunicantes, como Alice e Bob combinam nos nmeros que servem: o primeiro de base parauma potenciao e o segundo para o mdulo da congruncia. Digamos que tenham optado pelos

nmeros 5 e 11. Estariam ento se referindo ao clculo de 5x

e da congruncia no mdulo 11.(O expoente x seria secreto, escolha de cada um deles).

Alice escolhe 3 para seu nmero secreto (expoente da potncia)Alice calcula 53 = 125 e, atravs de congruncia mdulo 11, gera o nmero 4, pois 125 divididopor 11 deixa resto 4.

Alice envia o resultado, 4, para Bob.

Bob escolhe 6 para seu nmero secreto (novamente o expoente da potncia)Bob calcula 56 = 15 625 e, atravs de congruncia mdulo 11, gera o nmero 5, pois 15 625dividido por 11 deixa resto 5.

Bob envia o resultado, 5, para Alice

Note que, mesmo que esses dois nmeros que eles enviaram um ao outro, fossem interceptados,as pessoas no teriam como saber a chave final do processo.

Alice pega o resultado de Bob, 5, e o seu nmero secreto, 3, e calcula 53 = 125 = 4 (mod 11). 125dividido por 11 deixa resto 4.

Bob pega o resultado de Alice, 4, e o seu nmero secreto, 6, e calcula 46 = 4096 = 4 (mod 11).4096 dividido por 11 tambm deixa resto 4.

Veja que Alice e Bob encontraram o mesmo nmero, 4, sem que tivessem informado um ao outroos seus nmeros secretos pessoais. Esse nmero seria agora usado como chave para acomposio das mensagens criptogrficas. A congruncia, como foi aplicada aqui, funcionouexatamente como a histria dos cadeados e do correio, contada por Crato.

Tente fazer com outros nmeros secretos, verifique que voc sempre ir obter resultados iguais.

atravs da criptografia que, diariamente, atravs da internet, uma luta sempre se processa: a deenviar dados e a de tentar captar esses dados (so os famigerados hackers).

claro que o tema criptografia muito mais complexo do que mostramos aqui. O queexemplificamos, atravs de chaves criptogrficas simples, foi para mostrar a relao que existeentre esse tema e a aritmtica modular. um assunto bastante atual, interessante, e que pode ser

usado em classes da Educao Bsica, relacionado a conceitos importantes da Matemtica, comoOperaes Inversas, divisibilidade e Funes.


13/16


2.3) Criptografia e calendrios: Em que dia da semana voc nasceu?

No sbado, dia 22 de julho de 2006, eu assistia ao programa Caldeiro do Huck, da Rede Globode televiso quando, numa certa parte do programa, apareceu um rapaz de So Paulo que foiapresentado como o brasileiro possuidor da melhor memria. Ele representaria o Brasil numcampeonato mundial de memorizao. Esse rapaz, alm da proeza de uma memria bemtreinada, mostrou um truque que surpreendeu a todos: ele era capaz de descobrir o dia dasemana correspondente a uma data qualquer que as pessoas escolhessem. O programa, muitobem produzido, colocou no telo um software que, aps a pessoa ter escolhido uma dataqualquer, mostrava o calendrio do ms e do ano escolhidos, destacando o dia mencionado pelapessoa. O rapaz, com uma venda colocada nos olhos, acertou todos.

Na entrevista que deu ao apresentador do programa, o rapaz comentou que essa atividade no setratava tanto de memria, mas sim de um clculo que ele efetuava e que envolvia o nmero 7.

Lembrei que j tinha visto vrios truques similares e que na Internet existem diversos sites comsoftwares onde voc digita uma data qualquer e imediatamente aparece o dia da semanacorrespondente. Algumas calculadoras financeiras tambm tm programas prontos (funo

calendrio) que fazem o mesmo. O que me ocorreu na hora que, normalmente, a justificativado mtodo usado no dada. As pessoas seguem certas regrinhas decoradas e conseguemdescobrir os dias da semana desejados, que so normalmente datas de nascimento, casamentoetc.

Aps alguma pesquisa e com a fundamental ajuda do meu filho Vincius, apresento aqui umadessas regrinhas, acompanhada de sua justificativa matemtica. Aos professores informo que mais uma excelente atividade para sala de aula, envolvendo novamente a aritmtica modular(congruncia mdulo 7).

Vejamos a regra prtica, alguns exemplos e, finalmente, a explicao. O procedimento queescolhemos funciona para datas entre 1900 e 2399 (devido a uma particularidade dos anosbissextos terminados em 00). Com algumas modificaes, contudo, pode ser adaptado paraatender quaisquer datas.1) Calcule quantos anos se passaram desde 1900 at o ano em que voc nasceu. Por exemplo,se voc nasceu em 1980, ir anotar 80. Vamos chamar essa quantidade de A.

2) Calcule quantos 29 de fevereiro existiram depois de 1900. Para isso, basta dividir por 4 o valorA, sem considerar o resto da diviso. Vamos chamar essa nova quantidade de B.

3) Considerando o ms do nascimento, obtenha o nmero associado a ele, que est na tabelalogo abaixo. Procure o ms e anote o nmero que est ao lado dele. Vamos chamar essenmero de C.

Tabela dos mesesJaneiro 0 Julho 6

Fevereiro 3 Agosto 2

Maro 3 Setembro 5

Abril 6 Outubro 0

Maio 1 Novembro 3

Junho 4 Dezembro 5


14/16


4) Considere o dia do nascimento (x). Calcule x 1, que vamos chamar de D.

5) Some agora os quatro nmeros que voc obteve nas etapas anteriores (A + B + C + D). Dividaessa soma obtida por sete (7) e verifique o valor do resto dessa diviso.

6) Finalmente, procure esse resto na tabela a seguir. Voc ter o dia da semana do seunascimento ou de qualquer outra pessoa que queira descobrir.

SEGUNDA-FEIRA 0 SEXTA-FEIRA 4TERA-FEIRA 1 SBADO 5QUARTA-FEIRA 2 DOMINGO 6QUINTA-FEIRA 3

Vejamos um exemplo. Vamos imaginar uma pessoa que tenha nascido em 16 de fevereiro de1918. Qual foi o dia da semana?

1) 18 (1918 1900), logo, A = 18

2) 18:4 = 4 (desconsidere o resto), logo, B = 43) O ms Fevereiro, ento C = 3 (ver na tabela)4) x = 16 (dia do nascimento), logo, D = 15 (x 1)5) Somando os quatro nmeros, teremos 18 + 4 + 3 + 15 = 40

40 : 7 = 5 e resto 5. Na tabela o 5 um SBADO.

S para conferir, fomos procurar um calendrio de 1918, destacando o ms de fevereiro. Veja queo dia 16 foi realmente um SBADO.

Fevereiro - 1918

D S T Q Q S S1 23 4 5 6 7 8 910 11 12 13 14 15 1617 18 19 20 21 22 2324 25 26 27 28

Interessante, no?

Justificativa matemtica:

Fato nmero 1. O algoritmo (regrinha) que foi montado partiu do fato de que o dia 1 de janeirode 1900 foi uma segunda-feira (0, na tabela). Todos os passos que foram colocados na regraprtica visam determinar o deslocamento, na seqncia de dias da semana, que a dataprocurada tem em relao quela segunda-feira, 01/01/1900, que nosso ponto de partida.

Fato nmero 2. Cada ano de 365 dias v seu primeiro de janeiro afastado de uma posio paraa direita no ciclo dos dias da semana (segunda, tera, quarta, quinta, sexta, sbado, domingo,segunda, etc.) em relao ao dia-da-semana em que caiu o primeiro de janeiro do ano anterior.Isto porque 365 dividido por 7 deixa resto 1. Quando a pessoa faz a diferena entre o ano de seunascimento e o ano 1900, est descobrindo quantos afastamentos, ou deslocamentos, essa dataprimeira sofreu em relao ao quele 01/01/1900. Quando descobrimos, na fase seguinte, a

quantidade de anos bissextos (ao dividir o resultado anterior por 4), estamos acrescentando odeslocamento adicional de mais uma casa, no ciclo de dias da semana, para cada ano bissexto


15/16


considerado. Isto porque os anos bissextos afastam o primeiro de janeiro do ano seguinte no em1 casa, mas em 2, j que 366 deixa resto 2 quando dividido por 7.

Os dois primeiros passos do processo serviram apenas para localizar o dia 1 de janeiro do anoconsiderado, ou seja, at aqui apenas o ANO da data desejada foi considerado. Agora a vez deacrescentarmos os deslocamentos gerados pelo ms e pelo dia da data procurada.

Fato nmero 3 Se todos os meses do ano tivessem 28 dias (que gera resto zero ao ser divididopor 7), todos os meses teriam o seu dia primeiro exatamente no mesmo dia da semana que oprimeiro de janeiro do ano considerado. Mas como temos meses com mais de 28 dias, todosesses meses (transcorridos de janeiro at o ms considerado) empurram o seu dia primeiro umcerto nmero de casas adiante no ciclo dos dias da semana. A tabela criada para o nossoalgoritmo est relacionada aritmtica modular, ou seja, congruncia mdulo 7. Vejamos comosurgiram os nmeros da tabela.

Janeiro a nossa referncia, logo no h qualquer afastamento em relao a ele prprio (no hqualquer ms antes dele, empurrando seu dia primeiro para a direita, no ciclo, em relao aoprprio 1 de janeiro do ano em questo). Por isso, na tabela dada, ao lado do ms de janeiro,

temos o nmero zero.

Como o ms de janeiro tem 31 dias e 31 dividido por 7 deixa resto 3, esse ms vai empurrar oprimeiro dia do ms seguinte 3 casas para a direita em relao ao primeiro de janeiro daqueleano. Por isso, o ms de fevereiro recebe o nmero 3 na tabela.

Como fevereiro tem 28 dias e 28 dividido por 7 deixa resto 0, esse ms no ir acrescentarqualquer deslocamento adicional ao ms seguinte. Logo, o primeiro dia do ms de maro cairno mesmo dia da semana que o primeiro de fevereiro daquele ano, ou seja, ser deslocadoapenas das mesmas 3 casas para a direita, em relao ao primeiro de janeiro daquele ano. Porisso, na tabela dada, o ms de maro tambm tem o nmero 3.

Como maro tem 31 dias e 31 dividido por 7 deixa resto 3, esse ms vai empurrar os dias doms seguinte um total de (3 + 0 + 3) casas para a direita, j que como num domin em cascata,esses deslocamentos so cumulativos. Por isso na tabela, o ms de abril tem o nmero 6.

Como abril tem 30 dias e 30 dividido por 7 deixa resto 2, esse ms vai empurrar os dias do msseguinte um total de (3 + 0 + 3 + 2) casas, mas como a semana s tem 7 dias, na congrunciamdulo 7 o nmero 8 corresponde ao 1 (8 : 7 = 1 e resto 1). Isto , avanar oito casas no ciclode dias da semana o mesmo que avanar uma casa apenas. Por isso o ms de maio natabela tem o nmero 1.

Assim por diante, justificam-se facilmente os nmeros que esto ao lado dos outros meses.

Os passos que demos at aqui determinaram a quantidade de casas em que o primeiro dia doms da data considerada est adiante, no ciclo dos dias da semana, do dia primeiro de janeiro de1900. Precisamos agora, para finalizar, determinar a quantidade de deslocamentos necessriospara atingirmos o exato dia procurado. Ora, se localizamos o dia 1 e queremos localizar o dia x deum determinado ms, precisamos ainda de um deslocamento correspondente a (x 1) passos.Veja, por exemplo, se a data procurada fosse o dia 4 de um determinado ms, teramos aindamais 3 = 4 1 deslocamentos direita no ciclo de dias da semana. Se o dia primeiro daquele mscaiu numa tera-feira, por exemplo, o dia 4 cair numa sexta-feira (que est, evidentemente, 3casas adiante de tera-feira, no ciclo).

claro que a soma dos quatro nmeros obtidos nas etapas do processo ter sempre de serdividida por 7, pois so sete os dias da semana e o ciclo se repete sempre.


16/16


Essa atividade, ou brincadeira, ou truque um outro exemplo interessante da nossa congrunciamdulo k, que nesse caso igual a 7.

Que tal mais um exemplo?

Vamos descobrir em qual dia da semana caiu o Natal do ano 2000. Abaixo todos os passos doprocesso.

1) 100 (2000 1900). A = 1002) 100 : 4 = 25 (anos bissextos). B = 253) Ms dezembro, na tabela = 5. C = 54) Natal = dia 25, x = 25, logo D = 24 (x 1)

Somando A + B + C + D, teremos: 100 + 25 + 5 + 24 = 154

Calculando o resto da diviso por 7.

154 : 7 = 22, resto 0. Na tabela, temos 0 = 2 feira.

Vejamos o calendrio de dezembro de 2000

Dezembro - 2000D S T Q Q S S

1 23 4 5 6 7 8 910 11 12 13 14 15 1617 18 19 20 21 22 2324 25 26 27 28 29 30

31

O rapaz que compareceu ao programa de TV devia usar essa regra ou outra semelhante e s teveque decorar a tabela dos meses e, claro, ter facilidade para clculo mental.

Referncias

BRASIL, RPM, Revista do Professor de Matemtica. Volumes 12 e 45. Sociedade Brasileira deMatemtica.

BUCHMANN, J. Introduo Criptografia. So Paulo: Berkeley, 2002.

BURNETT, S. & PAINE, S. Criptografia e Segurana: o Guia Oficial RSA. So Paulo: Campus,2002.

CRATO, N,. Alice e Bob. Expresso / Revista, 22 de Setembro, pp. 118-120. (2001)

MARTINI, R. Criptografia e Cidadania Digital. Rio de Janeiro: Cincia Moderna, 2001.

SINGH, S. O Livro dos Cdigos. So Paulo: Record, 2001.

TERADA, R. Segurana de Dados: Criptografia em Redes de Computadores. So Paulo: EdgardBlucher, 2000.

20-congruencia

Documents