2 imersoes em m ir · 2 imersoes em m2 ×ir 2.1 imersoes em m2 ×ir nesta se¸ca˜o faremos alguns...

2Imersoes em M

2 × IR

2.1Imersoes em M

2 × IR

Nesta secao faremos alguns resultados sobre imersoes mınimas e

conformes em M2 × IR, particularizando quando for conveniente para o caso

em que M2 = H

2. Aqui a referencia utilizada e [18].

Proposicao 2.1 Seja ∂x, ∂y, ∂t o referencial adaptado de M2 × IR e seja ∇ a

conexao Riemanniana de M2 × IR, segue que

∇∂x∂x =

σx

σ∂x −

σy

σ∂y

∇∂y∂y = −

σx

σ∂x +

σy

σ∂y

∇∂y∂x = ∇∂x

∂y =σy

σ∂x +

σx

σ∂y

∇∂x∂t = ∇∂y

∂t = ∇∂t∂t = ∇∂t

∂x = ∇∂t∂y = 0

Prova. Faremos a demonstracao da primeira equacao, as demais sao provadas

de modo analogo.

Como ∇∂x∂x e um vetor que pertence ao espaco tangente de M

2 × IR,

temos que

∇∂x∂x = A ∂x + B ∂y + C ∂t,

onde A,B e C ∈ R.

Daı,∇∂x

∂x, ∂x

=

A ∂x + B ∂y + C ∂t, ∂x

=

A ∂x, ∂x

= A σ2, pois

∂y, ∂x

=

∂t, ∂x

= 0 e

∂x, ∂x

= σ2.

Usando as propriedades da conexao, segue que

∇∂x

∂x, ∂x

= A σ2

DBD

PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0710697/CA

Imersoes Mınimas e Conformes em M2 × IR 33

1

2∂x

∂x, ∂x

= A σ2

1

2∂x(σ

2) = A σ2

σσx = A σ2

A =σx

σ.

Temos ainda que,∇∂x

∂x, ∂y

= Bσ2 e

∇∂x

∂x, ∂t

= Cσ2.

Assim, usando novamente as propriedades de conexoes, concluımos que

B = −σy

σe C = 0. Logo,

∇∂x∂x =

σx

σ∂x −

σy

σ∂y.

Proposicao 2.2 Seja

X : Ω −→ M2 × IR

w −→h(w), f(w)

,

onde w = u + iv ∈ Ω, uma imersao de Ω em M2 × IR. Entao

∇XuXu =

Re huu +

(Re hu)2 − (Im hu)2

σx

σ+ 2Re huIm hu

σy

σ

∂x

+

Im huu +

(Im hu)2 − (Re hu)2

σy

σ+ 2Re huIm hu

σx

σ

∂y + fuu∂t

=

Re huu +

hw + hw

2σz

σ+

hw + hw

2σz

σ

∂x

+

Im huu − i

hw + hw

2σz

σ+ i

hw + hw

2σz

σ

∂y + fuu∂t

DBD



∇XvXv =

Re hvv +

(Re hv)2 − (Im hv)2

σx

σ+ 2Re hvIm hv

σy

σ

∂x

+

Im hvv +

(Im hv)2 − (Re hv)2

σy

σ+ 2Re hvIm hv

σx

σ

∂y + fvv∂t

=

Re hvv −

hw − hw

2σz

σ−

hw + hw

2σz

σ

∂x

+

Im hvv + i

hw − hw

2σz

σ− i

hw − hw

2σz

σ

∂y + fvv∂t

∇XvXu =

Re huv +

(Re hu)(Re hv)− (Im hu)(Im hv)

σx

σ

+Re huIm hv + Im huRe hv

σy

σ

∂x+

+

Im huv +

(Re hu)(Im hv) + (Im hu)(Re hv)

σx

σ+

+(Im hu)Im hv − (Re hu)Re hv

σy

σ

∂y + fuv∂t

=

Re huv + i

h2

w − h2w

σz

σ+ i

h2

w − h2w

σz

σ

∂x

+

Im huv +

h2

w − h2w

σz

σ−

h2

w − h2w

σz

σ

∂y + fuv∂t

Prova. Observe que

∇XuXu = ∇Xu

Rehu∂x + Im hu∂y + fu∂t

= Xu(Rehu)∂x + (Rehu)∇Xu∂x + Xu(Imhu)∂y + (Imhu)∇Xu∂y + Xu(fu)∂t + fu∇Xu∂t 0

= (Rehuu)∂x + (Rehu)∇Rehu∂x+Im hu∂y+fu∂t

∂x + (Imhuu)∂y +

+ (Imhu)∇Rehu∂x+Im hu∂y+fu∂t

∂y + fuu∂t

= (Rehuu)∂x + (Rehu)2∇∂x∂x + (Rehu)(Imhu)∇∂y∂x + (Rehu)fu∇∂t∂x + (Imhuu)∂y +

+ (Imhu)(Rehu)∇∂x∂y + (Imhu)2∇∂y∂y + (Imhu)fu∇∂t∂y + fuu∂t,

substituindo os resultados obtidos na proposicao 2.1 e fazendo algumas ma-

nipulacoes algebricas obtemos que:

DBD



∇XuXu =(Rehuu) +

(Rehu)2 − Imh2

u

σxσ + 2RehuImhu

σy

σ

∂x +

(Imhuu) +

(Imhu)2 −

− (Rehu)2σy

σ + 2RehuImhuσxσ

∂y + fuu∂t

.

(2-1)

Usando agora que σz = 12(σx + iσy) e σz = 1

2(σx − iσy), temos que a

equacao 2-1 fica

∇XuXu =

(Rehuu) +

(Rehu)2 + 2iRehuImhu − (Imhu)2

σzσ +

(Rehu)2 −

− 2i(Rehu)(Imhu)− (Imhu)2

σzσ

∂x +

(Imhuu)− i

(Rehu)2 − (Imhu)2 +

+ 2i(Rehu)(Imhu)

σzσ + i

(Rehu)2 − (Imhu)2 − 2i(Rehu)(Imhu)

σzσ

∂y + fuu∂t.

(2-2)

Observe que usando os operadores complexos hw e hw, temos que

(Rehu)2 + 2iRehuImhu− (Imhu)2 = (hw + hw)2 e (Rehu)2− 2i(Rehu)(Imhu)−

(Imhu)2 = (hw + hw)2. E portanto, concluımos que

∇XuXu =

(Rehuu) + (hw + hw)2 σz

σ + (hw + hw)2 σzσ

∂x +

(Imhuu)− i(hw + hw)2 σz

σ +

+ i(hw + hw)2 σzσ

∂y + fuu∂t.

(2-3)

Concluindo assim a demonstracao da primeira parte da proposicao.

Analogamente provamos as outras identidades.

Considerando agora uma imersao X : Ω ⊂ C −→ M2× IR conforme, isto

e,

Xu, Xu

=

Xv, Xv

e

Xu, Xv

= 0, temos os seguintes resultados:

Proposicao 2.3 X : Ω −→ M2 × IR e uma imersao conforme se, e somente

se,

fw

2= −(σ h)2hwhw.

Alem disso, a metrica induzida ds2 = µ2|dw|2 e dada por

DBD



µ2 = (σ h)2|hw| + |hw|

2.

Prova. Observe que

X(u, v) =Re h, Im h, f

,

daı,

Xu =Re hu, Im hu, fu

e Xv =

Re hv, Im hv, fv

.

Sendo a imersao conforme, temos queXu, Xv

= 0 e

Xu, Xu

=

Xv, Xv

.

Assim,

Xu, Xv

= 0

σ2(Re hu · Re hv + Im hu · Im hv) + fufv = 0

σ2Re (huhv) = −fufv. (2-4)

E,

Xu, Xu

=

Xv, Xv

σ2(Re hu)

2 + (Im hu)2− (Re hv)

2− (Im hv)

2

= f 2v − f 2

u

σ2|hu|

2− |hv|

2

= f2v − f2

u (2-5)

DBD



Multiplicando a equacao 2-4 por −2i e somando com a equacao 2-5,

obtemos usando os operadores complexos que

fw

2= −(σ h)2hwhw,

como querıamos.

Vamos agora calcular a metrica induzida ds2 = µ2|dw|2. Sabemos que

µ2 =1

2

Xu, Xu

+

Xv, Xv

.

Assim,

µ2 =1

2

(σ h)2

(Re hu)

2 + (Im hu)2 + (Re hv)

2 + (Im hv)2

+ f 2u + f 2

v

µ2 =1

2

(σ h)2(|hu|

2 + |hv|2) + f2

u + f2v

(2-6)

Note que hu = hw + hw e hv = ihw − ihw, entao

|hu|2 + |hv|

2 = |hw + hw|2 + |ihw − ihw|

2 = 2|hw|2 + 2|hw|

2.

Alem disso, fu = fw + fw e fv = ifw − ifw, assim

f2u + f2

v = (fw + fw)2 + (ifw − ifw)2 = 4fwfw = 4|fw|2 = 4(σ h)2

|hw||hw|.

Logo a equacao 2-6 fica

µ2 =1

2

2(σ h)2(|hw|

2 + |hw|2) + 4(σ h)2

|hw||hw|

µ2 = (σ h)2|hw|

2 + |hw||hw| + |hw|2

DBD



µ2 = (σ h)2|hw| + |hw|

2

Proposicao 2.4 Seja

X : Ω −→ M2 × IR

w →h(w), f(w)

,

uma imersao conforme. Entao o vetor normal unitario N e dado por

N =

2σReg, 2

σ Img, |g|2 − 1

|g|2 + 1

,

onde

g =fwhw − fwhw

σ|hw||hw| + |hw|

,

e g2 = −hw

hw.

Prova. Temos que mostrar que N satisfaz as seguintes propriedades:

N,Xu

=

N, Xv

= 0 e

N, N

= 1.

Observe que h(u, v) = h1(u, v) + ih2(u, v), logo temos que

Xu =

h1u(u, v), h2u(u, v), fu(u, v)

.

Alem disso, as coordenadas do vetor N sao:

N1 =2

σReg = · · · =

fvh2u − fuh2v

σ2(|hw|2 + |hw|

2)2,

N2 =2

σImg = · · · =

fuh1v − fvh1u

σ2(|hw|2 + |hw|

2)2,

DBD



N3 =|hw|− |hw|

|hw| + |hw|= · · · =

h1uh2v − h2uh1v

σ2(|hw|2 + |hw|

2)2.

Dessa forma, fica claro que

N,Xu

= 0. Analogamente temos que

N,Xv

= 0.

Alem disso,

N, N

=

σ2

4σ2

Reg2 + Img2

+ (|g|2 − 1)2

(|g|2 + 1)2

N,N

=

4|g|2 + (|g|2 − 1)2

(|g|2 + 1)2= 1.

Logo, temos que N realmente e um vetor normal unitario a imersao. E,

atraves de calculos simples concluımos ainda que

g2 = −hw

hw.

2.1.1Equacao da Curvatura de Gauss

Os proximos resultados foram extraıdos de [8] e [18].

Lemma 2.5 Seja X : Ω −→ M2 × IR uma imersao conforme, onde (x, y, t)

coordenadas locais de M2 × IR, z = x + iy sao coordenadas conformes em M

2

e t ∈ IR. Seja R o tensor de curvatura de M2 × IR, entao:

R(∂x, ∂y)∂x = −∆ log(σ)∂y

R(∂x, ∂y)∂y = ∆ log(σ)∂x

R(∂x, ∂x)∂∗ = R(∂y, ∂y)∂∗ = 0

R(∂t, ∂∗)∂∗ = R(∂∗, ∂t)∂∗ = R(∂∗, ∂∗)∂t = 0

,

onde ∂∗ representa ∂x, ∂y ou ∂t, e ∆ e o Laplaciano euclideano.

DBD



Prova. Provaremos a primeira igualdade. As demais sao provadas de modo

analogo. Temos que,

R(∂x, ∂y)∂x = ∇∂y∇∂x

∂x −∇∂x∇∂y

∂x +∇[∂x, ∂y]∂x

0

R(∂x, ∂y)∂x = ∇∂y

σx

σ∂x −

σy

σ∂y

−∇∂x

σy

σ∂x +

σx

σ∂y

R(∂x, ∂y)∂x =

σxσ

y

∂x + σxσ ∇∂y∂x −

σy

σ

y

∂y −σy

σ ∇∂y∂y−

−

σy

σ

x

∂x −σy

σ ∇∂x∂x −

σxσ

x

∂y −σxσ ∇∂x∂y

R(∂x, ∂y)∂x =

σxσ

y

∂x + σxσ

σy

σ ∂x + σxσ ∂y

−

σy

σ

y

∂y −σy

σ

−

σxσ ∂x + σy

σ ∂y

−

−

σy

σ

x

∂x −σy

σ

σxσ ∂x −

σy

σ ∂y

−

σxσ

x

∂y −σxσ

σy

σ ∂x + σxσ ∂y

R(∂x, ∂y)∂x =

σx

σ

y−

σy

σ

x

0

∂x −

σx

σ

x

+σy

σ

y

∂y

R(∂x, ∂y)∂x = −∆ log(σ)∂y

Lemma 2.6 (Equacao da curvatura de Gauss)

Seja S uma imersao conforme parametrizada por X : Ω −→ M2 × IR.

Seja N = (N1, N2, N3) a aplicacao normal de Gauss de S. Seja KS a curvatura

intrınseca de S e Kext a curvatura extrınseca de S. Seja KM2 a curvatura de

Gauss de M2. Entao a equacao de Gauss de S e dada por

DBD



KS(w)−Kext(X(w)) = KM2(h(w)) · N23 (w),

para cada w ∈ Ω.

Prova. Seja (x, y, t) coordenadas locais de M2 × IR, onde z = x + iy sao

coordenadas conformes em M2 e t ∈ IR. Seja R o operador de curvatura de

M2 × IR, dado por 1-10.

Como S e uma imersao conforme, por 2.3, temos que a metrica induzida

em Ω e da forma ds2X = µ2(w)|dw|2 com µ2(w) = (σ h)2(|hw| + |hw|)2.

A equacao da curvatura de Gauss para uma imersao qualquer e dada por:

KS(Xu, Xv)−Kext(Xu, Xv) = K(Xu, Xv),

onde KS e a curvatura intrınseca de S, chamada de curvatura de Gauss, Kext

e a curvatura extrınseca de S e K e a curvatura do espaco ambiente.

Portanto, temos que:

KS(Xu, Xv)−Kext(Xu, Xv) =

R(Xu, Xv)Xu, Xv

|Xu|2|Xv|

2 −Xu, Xv

2


R(Xu, Xv)Xu, Xv

µ4(2-7)

onde <,> e o produto interno em M2 × IR, Xu = Re hu∂x + Im hu∂y + fu∂t e

Xv = Re hv∂x + Im hv∂y + fv∂t.

Assim, usando a linearidade do tensor de curvatura, suas propriedades e

o lema anterior, segue que

R

Xu, Xv)Xu, Xv

= −σ2∆ log(σ)

Re huIm hv − Re hvIm hu

2,

e usando os operadores complexos temos que:

R

Xu, Xv)Xu, Xv

= −σ2∆ log(σ)

|hw|

2− |hw|

22

.

DBD



Lembre que KM2 = −∆ log(σ)

σ2e a ultima coordenada do normal N3 e

dada por

N3 =|g|2 − 1

|g|2 + 1onde g2 = −

hw

hw=⇒ N3 =

|hw|− |hw|

|hw| + |hw|.

Assim, a equacao 2-7 fica:


R(Xu, Xv)Xu, Xv

(σ h)4(|hw| + |hw|)4

= −∆ log(σ)

σ2·

|hw|

2 − |hw|22

(|hw| + |hw|)4

= −∆ log(σ)

σ2·

|hw|− |hw|

2|hw| + |hw|

2

(|hw| + |hw|)4

= −∆ log(σ)

σ2·

|hw|− |hw|

2

(|hw| + |hw|)2

= KM2(h(w)) · N23 (w)

Corolario 2.1 Se M2 = H

2, entao a equacao de curvatura de Gauss fica,

K(Xu, Xv)−Kext(Xu, Xv) = −N23 (w), (2-8)

onde X e uma imersao conforme em H2 × IR.

Proposicao 2.7 Seja S : H2× IR −→ H

2× IR uma imersao mınima. Assuma

que S seja ”flat”, isto e, KS = Kint = 0. Segue entao que S e parte de um

plano vertical sobre um geodesica, isto e, S ⊂ γ × IR onde γ e uma geodesica

horizontal de H2 × IR.

Prova. Temos pela Equacao de Gauss (corolario 2.1) que Kext = N23 , onde N3

e a terceira componente do normal unitario N a S. Sendo S mınima, segue

que 2H = λ1 + λ2 = 0, onde λi, i = 1, 2 sao as curvaturas principais. Assim

Kext = λ1λ2 ≤ 0, e portanto N3 = 0, ou seja, o normal e horizontal. Assim

existe uma curva plana Γ ⊂ H2 × IR tal que S ⊂ Γ× IR. Como S e mınima, Γ

e uma geodesica horizontal ou parte dela.

DBD



Observacao 2.1 No caso de S mınima com KS = −1, nao implica que S e

um slice. Veja exemplo 8.

2.1.2A curvatura media e a curvatura de Gauss extrınseca em M

2 × IR

Seja

X : Ω ⊂ IR2 −→ M2 × IR

(u1, u2) −→ X(u1, u2),

uma parametrizacao local de uma superfıcie S, nao necessariamente conforme.

Seja N o vetor normal unitario definido numa vizinhanca de p ∈ S.

Definicao 2.8 A primeira forma fundamental da superfıcie S ⊂ M2× IR

e a seguinte forma bilinear simetrica positiva definida,

Ip(w) =< w, w >p= |w|2≥ 0,

onde p ∈ M2 × IR e w ∈ Tp(M2 × IR).

Vamos expressar a primeira forma fundamental na base Xu1 , Xu2

associada a parametrizacao acima. Como um vetor tangente w ∈ TpS e o

vetor tangente a uma curva parametrizada α(t) = X(u1(t), u2(t)), t ∈ (−, ),

com p = α(0) = X(u10 , u20), obtemos

Ip(α(0)) =α(0),α(0)

p

=Xu1u

1 + Xu2u

2, Xu1u

1 + Xu2u

2

p

=Xu1 , Xu1

p(u1)

2 + 2Xu1 , Xu2

pu1u

2 +

Xu2 , Xu2

p(u2)

2

= g11(u1)2 + 2g12u1u

2 + g22(u2)

2

Os coeficientes gij =Xi, Xj

, onde Xi =

∂X

∂ui, sao chamados de

coeficientes da primeira forma fundamental na base Xu1 , Xu2.

A matriz da primeira forma fundamental e denotada por G = (gij).Essa

matriz e simetrica positiva definida.

DBD



Definicao 2.9 A segunda forma fundamental da superfıcie S ⊂ M2 × IR

e a seguinte forma bilinear simetrica:

IIp(w) =−∇wN, w

=

A(w), w

,

onde p ∈ H2×IR, w ∈ TpS com A(w) = −∇wN e ∇ e a conexao Riemanniana

de M2 × IR.

O operador A(w) = −∇wN e chamado de operador de Weingartein

(“Shape Operator”).

Expressando a segunda forma fundamental na base Xu1 , Xu2 associada

a parametrizacao, segue que:

IIp(α(0)) =−∇α(0)N, α(0)

p

=N,∇α(0)α(0)

p

=

N,∇Xu1u

1 + Xu2u

2(Xu1u

1 + Xu2u

2)

p

=N,∇Xu1

Xu1

(u1)

2 + 2N,∇Xu2

Xu1

u1u

2 +

N,∇Xu2

Xu2

(u2)

2

= b11(u1)2 + b12u1u

2 + b22(u2)

2

Os coeficientes da segunda forma fundamental sao dados por:

bij =−∇Xui

N, Xuj

=

N,∇Xui

Xuj

,

onde ∇ e a conexao Riemanniana de M2 × IR e N e o normal unitario.

Denotaremos a matriz da segunda forma fundamental por B = (bij).

Note que A = −∇N e um operador linear e auto-adjunto. Para provar

que A e auto-adjunto, basta mostrarmos num referencial adaptado

∂

∂u,

∂

∂v

A

∂

∂u,

∂

∂v

=

−∇ ∂

∂u

N,∂

∂v

=

N,∇ ∂

∂u

∂

∂v

=

N,∇ ∂

∂v

∂

∂u

=

∂

∂u,A

∂

∂v

DBD



Como A e auto-adjunto, temos que a matriz de A numa base ortonormal

e simetrica e consequentemente os autovalores de A sao reais, digamos λ1,λ2.

Definicao 2.10 A curvatura media H = H(N) e a curvatura de Gauss

extrınseca Kext de S sao definidas por

H(N) =λ1 + λ2

2=

tracoA

2e

Kext = λ1 · λ2 = detA,

respectivamente. Os autovalores de A, λ1 e λ2, sao chamados de curvaturas

principais. O vetor curvatura media e definido por−→H = H(N)N .

Mostraremos agora que podemos calcular uma expressao da curvatura

media H(N) e para a curvatura de Gauss extrınseca Kext em termos dos

coeficientes da primeira e segunda formas fundamentais.

Observe que ∇XuN e ∇XvN , onde u = u1 e v = u2 sao tangentes, logo,

∇XuN = Nu = a11Xu + a21Xv,

∇XvN = Nv = a12Xu + a22Xv

E portanto,

∇αN = (a11Xu + a21Xv)u + (a12Xu + a22Xv)v

;

isto e,

A

u

v

=

a11 a12

a21 a22

u

v

Com isto mostramos que na base Xu, Xv, a matriz (aij) representa o

operador de Weingartein A. Observe que esta matriz nao e necessariamente

simetrica, a nao ser que a base seja ortonormal.

Note que,

−b12 =Nu, Xv

= a11g12 + a21g22,

DBD



−b21 =Nv, Xu

= a12g11 + a22g21,

−b11 =Nu, Xu

= a11g11 + a21g12,

−b22 =Nv, Xv

= a12g21 + a22g22,

o que na forma matricial fica,

−

b11 b12

b21 b22

=

a11 a21

a12 a22

g11 g12

g21 g22

;

⇓

a11 a21

a12 a22

= −

b11 b12

b21 b22

g11 g12

g21 g22

−1

,

donde podemos concluir facilmente que

a11 =b12g12 − b22g22

g11g22 − g212

,

a12 =b22g12 − b12g22

g11g22 − g212

,

a21 =b11g12 − b12g11

g11g22 − g212

,

a22 =b12g12 − b22g11

g11g22 − g212

.

Assim, temos que:

H(N) =1

2traco(A) =

1

2

g11b22 + g22b11 − 2g12b12

g11g22 − g212

e

Kext = det(A) =b11b22 − b2

12

g11g22 − g212

·

Uma imersao X : Ω ⊂ IR2 −→ M2 × IR em que H = 0 e dita imersao

mınima. E quando H =constante, entao a imersao e dita de curvatura media

constante (c.m.c).

DBD



Note que se a imersao e conforme, entao temos que g11 = g22 = σ2, e

portanto a curvatura media e dada por:

H =b11 + b22

2σ2e Kext =

b11b22 − b212

σ2·

Proposicao 2.11 Seja X : Ω −→ M2× IR uma imersao conforme, temos que

−→H =

1

2σ2

∇XuXu +∇XvXv

, onde u = u1 e v = u2 sao as coordenadas de Ω.

Prova. De fato, temos que:

−∇XuN = a11Xu + a12Xv

−∇XvN = a21Xu + a22Xv

Daı,

−∇XuN, Xu

= a11g11 =⇒

∇XuXu, N

= a11g11

−∇XvN,Xv

= a22g11 =⇒

∇XvXv, N

= a22g11

∴∇XuXu +∇XvXv

2g11, N

=

−→H, N

= H(N)

Para demonstrar a proposicao, devemos provar que ∇XuXu + ∇XvXv e

normal.

Temos entao que mostrar que∇XuXu, Xu

+

∇XvXv, Xu

= 0 e que

∇XuXu, Xv

+

∇XvXv, Xv

= 0.

De fato,

∇XuXu, Xu

=

1

2g11u,

e,

∇XvXv, Xu

= Xv

Xv, Xu

−

Xv,∇XuXv

= −

Xv,∇XuXv

=

= −1

2Xu

Xv, Xv

= −

1

2g11u

DBD



Somando, obtemos que∇XuXu, Xu

+

∇XvXv, Xu

= 0.

Analogamente, obtemos que∇XuXu, Xv

+

∇XvXv, Xv

= 0.

Assim, concluımos a afirmacao.

Como temos formulas explıcitas para ∇XuXu e ∇XvXv, podemos encon-

trar uma formula para a curvatura media de uma imersao conforme, usando a

linguagem complexa.

Assim, segue o proximo resultado:

Proposicao 2.12 Seja X : Ω ⊂ IR2 → M2 × IR uma imersao conforme. O

vetor curvatura media de X e dado por:

2−→H =

1

g11

4Re

hww + 2

σz

σhwhw

∂x + 4Im

hww + 2

σz

σhwhw

∂y + ∆f∂t

,

onde ∆f = fuu + fvv.

Prova. Pela afirmacao anterior, temos que−→H =

1

2σ2

∇XuXu + ∇XvXv

. E

na proposicao 2.2 calculamos ∇XuXu e ∇XvXv usando linguagem complexa.

Atraves de algumas manipulacoes algebricas, concluımos o resultado.

Corolario 2.13 Uma imersao conforme X e mınima se, e somente se,

hww + 2σz

σhwhw = 0 e ∆f = 0.

Definicao 2.14 Dizemos que uma aplicacao h : Ω ⊂ IR2 −→ M2 satisfazendo

hww + 2σz

σhwhw = 0

e chamada de aplicacao harmonica. E uma funcao f : Ω ⊂ IR2 −→ IR

satisfazendo

∆f = 0

e denominada uma funcao harmonica.

DBD



Na proxima secao daremos uma atencao especial as aplicacoes

harmonicas.

A funcao φ(w) := −(σ h)2hwhw e conhecida como funcao de Hopf. E

definimos a diferencial quadratica de Hopf, como sendo a aplicacao:

Φ(w) = φ(w)(dw)2.

Proposicao 2.15 A diferencial quadratica de Hopf Φ(w) = φ(w)(dw)2 de

uma imersao conforme e mınima e global e a funcao de Hopf e uma funcao

holomorfa, ou seja, φw = 0.

Prova. Derivando φ(w) = −(σ h)2hwhw em relacao a w, temos que:

φw = −(σ h)2

whwhw + (σ h)2(hwhw)w

= −2(σ h)(σ h)whwhw + (σ h)2(hwhw)w

= −2(σ h)(σzhw + σzhw)hwhw + (σ h)2(hwwhw + hwhww)

= −(σ h)2

hw

hww +

2σz

σhwhw

+ hw

hww +

2σz

σhwhw

= −(σ h)2

hw

hww +

2σz

σhwhw

+ hw

hww +

2σz

σhwhw

Como a imersao conforme e mınima, temos que h e harmonica. Logo,

hww +2σz

σhwhw = 0 e consequentemente φw = 0.

Falta provarmos que a diferencial quadratica e global, para isso vamos

considerar duas cartas coordenada w = u+ iv e z = x+ iy e vamos provar que

na interseccao dessas cartas a diferencial coincide. De fato, note que

∂u =∂x

∂u∂x +

∂y

∂u∂y

∂v =∂x

∂v∂x +

∂y

∂v∂y

(2-9)

Temos que

DBD



∂w =1

2(∂u − i∂v)

=1

2

∂x

∂u∂x +

∂y

∂u∂y − i

∂x

∂v∂x +

∂y

∂v∂y

por 2− 9

=1

2

∂x

∂u− i

∂x

∂v

∂x− i

i∂y

∂u+

∂y

∂v

∂y

=1

2

∂x

∂u− i

∂x

∂v

∂x− i

− i

∂x

∂v+

∂x

∂u

∂y

(por Cauchy-Riemann)

=1

2(∂x− i∂y)

∂x

∂u− i

∂x

∂v

=

∂x

∂u− i

∂x

∂v

∂z

⇓

∂w =

∂x

∂u− i

∂x

∂v

∂z. (2-10)

E, observe que

∂z

∂w=

∂

∂w(x + iy) =

1

2

∂u − i∂v

(x + iy),

usando novamente as equacoes 2-9 e as condicoes de Cauchy-Riemann con-

cluımos que

∂z

∂w=

∂x

∂u− i

∂x

∂v(2-11)

Daı, de 2-9 e 2-9, segue que

∂w =∂z

∂w∂z. (2-12)

Temos ainda que

dw =∂w

∂zdz +

∂w

∂z=0

dz

⇓

DBD



dw =∂w

∂zdz. (2-13)

Daı, usando as equacoes 2-9, 2-12 e 2-13, obtemos que

Φ(w) = −σ2∂w(h)∂w(h)(dw)2

= −σ2 ∂z

∂w∂z(h)

∂z

∂w∂z(h)(

∂w

∂z)2(dz)2

= −σ2hzhz(dz)2

= Φ(z)

Portanto,provamos que na interseccao de duas cartas coordenadas as

diferenciais quadraticas de Hopf coincidem. Logo, Φ e definida globalmente.

Exemplo 2 A fim de darmos exemplos de funcoes de Hopf, apresentamos

duas imersoes mınimas bastante conhecidas em H2× IR, a saber, os helicoides

e os catenoides. A parametrizacao de um helicoide com passo l, e a seguinte

X(ρ,ψ) =

tanh

ρ

2cos ψ, tanh

ρ

2sen ψ, lψ

Figura 2.1: Helicoide

DBD



A descricao geometrica do helicoide e dada pela rotacao euclideana de

uma geodesica horizontal seguida de translacoes na direcao do eixo vertical ∂∂t

.

A parametrizacao de um catenoide e

X(ρ,ψ) =

tanh

ρ

2cos ψ, tanh

ρ

2sen ψ, λ(ρ)

Figura 2.2: curva geratriz do semi-catenoide

Figura 2.3: Catenoide

Observacao 2.2 Os catenoides sao superfıcies mınimas de revolucao.

A funcao holomorfa de Hopf para superfıcies da forma X(ρ,ψ) =tanh

ρ

2cos ψ, tanh

ρ

2sen ψ, λ(ρ) + lψ

, ou seja, imersoes screw motions

mınimas parametrizadas pelos parametros conformes (naturais) η e τ dados

pelo lema de Bour, ou seja, a metrica e dada por U2(s)(dη2 + dτ 2) (veja A.1),

satisfaz

DBD



4Re(φ) =l2

m2−

1

m2·

sinh4 ρλ2

l2 + sinh2 ρ + λ2 sinh2 ρ.

A parte imaginaria para a superfıcie rotacional e zero. Se l = 0, entao φ

satisfaz

4Re(φ) =l2

m2−

4m2

l2(Im(φ))2.

Se d ≥ 0, entao φ e constante e e dada por

4φ =l2 − d2

m2+ i

2l

m2d.

Uma prova dessas formulas pode ser encontrada em [18].

2.1.3Planos totalmente geodesicos de H

2 × IR

A fim de darmos exemplos de superfıcies em H2×IR, nesta secao falaremos

de superfıcies bastantes especıficas deste espaco. Como referencia para tal

secao, usamos as notas de aulas do Professar Ricardo Sa Earp e a referencia [2].

Definicao 2.16 Chamaremos de slices cada copia de H2, da forma H

2×t,

em H2 × IR, ou seja, para cada t ∈ IR, temos o slice H

2 × t.

Definicao 2.17 Seja Γ ⊂ H2 × IR uma geodesica contida no slice H

2 × 0.

Chamaremos de plano vertical a superfıcie dada pelo produto Γ×t t ∈ IR.

Definicao 2.18 Seja S ⊂ H2 × IR, dizemos que S e um plano totalmente

geodesico se as geodesicas de S tambem sao geodesicas do ambiente. Ou seja,

dado p ∈ S e v ∈ TpS com |v| = 1, a geodesica do ambiente passando por p

com velocidade v esta contida em S.

Daı concluımos que os slices H2×t e os planos verticais sao totalmente

geodesicos.

Uma outra caracterizacao dos planos totalmente geodesicos e que a

segunda forma fundamental e identicamente nula.

DBD



Figura 2.4: Superfıcies totalmente geodesicas de H2 × IR

Observacao 2.3 Seja p ∈ H2 × IR, observe que se temos vetores da forma

ui = (ai, 0) ∈ TP H2 × IR, i = 1, ..., 4, ou seja, se os vetores sao horizontais,

entao

RH2×IR(u1, u2, u3, u4) =RH2×IR(u1, u2)u3, u4

= RH2(a1, a2, a2, a4) (2-14)

Alem disso, temos que para quaisquer X,Y, Z ∈ TpH2 × IR,

RH2×IR(X, Y, Z, V ) = 0 se V = (0, v), (2-15)

ou seja, se V for um vetor vertical. A ultima igualdade segue do fato de que

∇∂t∂∗ = 0, onde ∂∗ = ∂x, ∂y, ∂t.

O proximo resultado, foi obtido por Daniel Benoit em [2].

Lema 2.2 Seja R o tensor de curvatura de H2× IR. Seja S uma superfıcie de

H2× IR e seja N o vetor normal unitario a S. Dados X,Y ∈ X (S), segue que

RH2×IR(X,Y )N = −η

< Y, T > X− < X, T > Y, (2-16)

onde η :=< N,∂

∂t> e T =

∂

∂t− ηN .

Prova. Qualquer vetor em H2 × IR pode ser escrito na forma X = Xv + Xh,

onde Xv e a parte vertical do vetor, ou seja, a componente que esta na direcao∂

∂te Xh e a componente do vetor que pertence ao slice no qual o vetor X tem

ponto inicial p.

DBD



Assim, das equacoes 2-14 e 2-15 da observacao anterior, temos que para

todos vetores X,Y, Z,W ∈ H2 × IR,

RH2×IR(X(p), Y (p))Z(p), W (p)

=

RH2(Xh, Y h)Zh,W h

= −

< Xh, Zh >< Y h,W h > − < Y h, Zh >< Xh,W h >

Logo, podemos deduzir que

RH2×IR(X(p), Y (p))N(p) = −

< Xh, Nh > Y h

− < Y h, Nh > Xh

Temos que Xh = X− < X, T >∂

∂t, Y h = Y− < Y, T >

∂

∂te

Nh = N − η∂

∂t. Daı substituindo essas equacoes na equacao acima, temos

que

RH2×IR(X,Y )N = −

X− < X, T >

∂

∂t, N − η

∂

∂t

Y− < Y, T >

∂

∂t

−

−

Y− < Y, T >

∂

∂t, N − η

∂

∂t

X− < X, T >

∂

∂t

= −

− η

X,

∂

∂t

Y− < Y, T >

∂

∂t

−

− η

Y,

∂

∂t

X− < X, T >

∂

∂t

= −η

− < X,

∂

∂t> Y + < X,

∂

∂t>< Y, T >

∂

∂t+ < Y,

∂

∂t> X−

− < Y,∂

∂t>< X, T >

∂

∂t

,

observe que < X,∂

∂t>=< X, T + ηN >=< X, T > +η < X,N >

=0

=< X, T >,

o mesmo para Y . Daı,

RH2×IR(X,Y )N = −η

< Y, T > X− < X, T > Y

.

DBD



Proposicao 2.19 Os unicos planos totalmente geodesicos de H2 × IR sao os

planos verticais sobre uma geodesica e os slices.

Prova. Faremos a demonstracao, considerando planos totalmente umbılicos,

uma vez que sabemos que totalmente geodesicos implica em totalmente

umbılicos. Seja entao S um plano totalmente umbılico. Sabemos que S e local-

mente imagem de um mergulho X : Ω −→ H2× IR, onde Ω e um aberto de C.

Sejam (u, v) as coordenadas de Ω e N o campo normal unitario a X(Ω) = S.

Como S e totalmente geodesico, entao existe uma funcao λ : Ω → IR tal

que

∇XuN = λXu

∇XvN = λXv.

Derivando a primeira equacao em relacao a Xv e a segunda em relacao a

Xu, obtemos:

∇Xv

∇XuN

= λvXu + λ∇XvXu

∇Xu

∇XvN

= λuXv + λ∇XuXv

Subtraindo as duas ultimas igualdades, e usando o fato de que λ e

constante, obtemos que

R(Xu, Xv)N = ∇Xv

∇XuN

−∇Xu

∇XvN

= 0, (2-17)

onde R e o tensor de curvatura de H2 × IR e usamos o fato de que na base

Xu, Xv o colchete [Xu, Xv] = 0.

Defina a funcao η em Ω como no lema 2.2, ou seja, η :=< N, ∂∂t >, e seja

T = ∂∂t − ηN .

Pelo lema, vimos que o tensor de curvatura de H2 × IR e dado por

R(Xu, Xv)N = −η

< Xv, T > Xu− < Xu, T > Xv

, (2-18)

Portando de 2-17 e de 2-18 segue que

DBD



η < Xv, T >= 0

η < Xu, T >= 0

Portanto, temos que ou η = 0 ou < Xu, T >=< Xv, T >= 0. Se η = 0,

entao como η =< N, ∂∂t > segue que N e ortogonal a ∂

∂t , ou seja, N e horizontal.

Daı pela proposicao 2.7, segue que S tem que ser um plano vertical.

No caso em que < Xu, T >=< Xv, T >= 0, temos que N e paralelo a∂∂t , ou seja, N e vertical. Nesse caso, observe que toda direcao ortogonal a N

pertence a H2 × 0, que e totalmente geodesico. Entao, seja v um direcao

ortogonal a N , temos que v ∈ T(0,0,0)S e seja β a unica geodesica que passa

por (0, 0, 0) com direcao v, como S e totalmente geodesico, temos que β ⊂ S

e como v tambem pertence a H2 × 0, entao β tambem pertence ao slice

H2 × 0. Logo mostramos que S ⊂ H

2 × 0 e portanto S tem que ser de

fato H2×0, uma vez que a uniao das geodesicas horizontais (completas) que

passam pela origem e o proprio H2 × 0.

Observacao 2.4 Um resultado sobre superfıcies totalmente umbılicas em H2×

IR e o seguinte:

Seja S ⊂ H2×IR uma superfıcie totalmente umbılica. Entao S e parte de

uma superfıcie completa totalmente umbılica mergulhada S, a qual e invariante

por um grupo a 1-parametro de isometrias de H2 × IR.

A referencia para tal resultado e o artigo do professor Eric Toubiana com

Rabat Souam, [22].

2.1.4A curvatura media para graficos verticais em M

2 × IR

Continuando com o intuito de dar exemplos de superfıcies em H2 × IR,

daremos a definicao de graficos verticais neste espaco, a equacao de curvatura

media para tais graficos e alguns exemplos de graficos verticais com curvatura

media constante. Nesta secao usaremos os resultados dos artigos [14] e [15].

Um grafico vertical em M2 × IR e definido por

Gr(f) = (x, y, t) ∈ M2× IR; (x, y) ∈ Ω ⊂ M

2 e t = u(x, y),

DBD



onde Ω e um aberto de M2 e u : M

2 −→ IR e uma funcao de classe C2.

Queremos encontrar uma expressao para a curvatura media de uma

superfıcie dada por um grafico vertical, isto e, uma superfıcie parametrizada

por X(x, y) = (x, y, u(x, y)), onde (x, y) ∈ Ω e u e uma funcao diferenciavel.

Para isto, vamos calcular os coeficientes das primeira e segunda formas

fundamentais.

Note que,

Xx(x, y) = (1, 0, ux(x, y)), Xy(x, y) = (0, 1, uy(x, y)).

Daı, temos que os coeficientes da primeira forma fundamental sao dados

por:

g11 =Xx, Xx

= σ2 + u2

x

g12 = g21 =Xx, Xy

= uxuy

g22 =Xy, Xy

= σ2 + u2

y

Para calcular os coeficientes da segunda forma fundamental, precisaremos

do vetor normal unitario a superfıcie. Seja entao N = (N1, N2, N3), um vetor

normal as superfıcie S, temos queN , Xx

= 0 e

N ,Xy

= 0, portanto,

N , Xx

= 0 =⇒ σ2N1 + N3ux = 0 =⇒ N1 = −

N3ux

σ2, e

N , Xy

= 0 =⇒ σ2N2 + N3uy = 0 =⇒ N2 = −

N3uy

σ2.

Portanto temos que N =

−

N3ux

σ2,−

N3uy

σ2, N3

.

Sendo assim o vetor normal unitario sera dado por N =N

|N |, isto e,

N =σ2

N23 (u2

x + u2y + σ2)

−

N3ux

σ2,−

N3uy

σ2, N3

N =1

N3

−

ux

(u2x + u2

y + σ2),−

uy

(u2x + u2

y + σ2),

σ2

(u2x + u2

y + σ2)

,

fazendo, por exemplo, N3 = 1, obtemos que

DBD



N =

−

ux

(u2x + u2

y + σ2),−

uy

(u2x + u2

y + σ2),

σ2

(u2x + u2

y + σ2)

(2-19)

Daı, segue que os coeficientes da segunda forma fundamental sao dados

por,

L11 =N,∇XxXx

L12 =

N,∇XyXx

L21 =N,∇XxXy

L22 =

N,∇XyXy

.

Usando as propriedades da conexao Riemanniana de M2 × IR e a

proposicao 2.1 obtemos que

L11 =−uxσx + uyσy + uxxσ

u2x + u2

y + σ2

L12 = L21 =−uxσy − uyσx + uxyσ

u2x + u2

y + σ2

L22 =uxσx − uyσy + uyyσ

u2x + u2

y + σ2.

(2-20)

Vimos que a equacao da curvatura media de uma superfıcie imersa em

M2 × IR pode ser escrita em termos dos coeficientes da primeira e segunda

formas fundamentais como segue:

H =1

2

g11L22 + g22L11 − 2g12L12

g11g22 − g212

.

Portanto a equacao da curvatura media de um grafico vertical e dada

por:

2σ2H =(σ2 + u2

x)σuyy + (σ2 + u2y)σuxx − 2σuxuyuxy + (u2

x + u2y)(uxσx + uyσy)

(u2x + u2

y + σ2)32

(2-21)

Observacao 2.5

(i) Como exemplo de grafico vertical podemos citar t = a ln y que e uma

superfıcie descoberta por Abresch and Rosenberg ( [1]), onde a =−2H

√1− 4H2

com 2H < 1 constante;

(ii) Outro exemplo e o grafico t = lx, y > 0, que se trata de uma superfıcie

mınima de H2 × IR, veja referencia [14] e o exemplo 3.

DBD



No caso em que M2 e o plano hiperbolico H

2, representado pelo modelo

do semi-plano superior

σ =

1

y

, temos que a equacao da curvatura media

para um grafico vertical sera:

21

y2H =

(1 + y2u2x)uyy + (1 + y2u2

y)uxx − 2y2uxuyuxy − (u2x + u2

y)yuy

(y2u2x + y2u2

y + 1)32

(2-22)

Agora, se H2 estiver sendo representado no modelo do disco unitario de

Poincareσ =

2

1− x2 − y2

, temos que a equacao de uma superfıcie vertical mınima

sera:

0 =

1 +

(1− x2 − y2)2

4u2

x

uyy +

1 +

(1− x2 − y2)2

4u2

y

uxx−

−2(1− x2 − y2)2

4uxuyuxy + 2

(1− x2 − y2)

4(u2

x + u2y)(uxx + uyy)

Da mesma forma que encontramos a equacao da curvatura media para

graficos verticais, podemos encontrar uma formula para graficos horizontais

da forma y = g(x, t), onde g e um funcao de classe C2 positiva. Tal formula e

dada por,

2H =(g2

t + 1)σgxx + (g2x + 1)σgtt − 2σgxgtgxt + (g2

x + 1)(gxσx − σy)

(g2x + 1 + σ2g2

t )32

(2-23)

⇓

2H =

g2

gxx(g2 + g2

t ) + gtt(1 + g2x)− 2gxgtgxt + g(1 + g2

x)

g2

t + g2(1 + g2x)

32

(2-24)

Observacao 2.6 Observe que podemos recuperar a superfıcie Abresch-

Rosenberg, vista agora como exemplo de grafico horizontal y = et/a.

DBD



Proposicao 2.20 A equacao da curvatura media para um grafico t = u(x, y)

em M2 × IR e dada por:

divM

∇Mu

Wu

= 2H,

onde ∇Mu e o gradiente de u em M e Wu =

1 + |∇Mu|2.

Prova. Seja u : M2 × IR −→ IR dada por u(x, y, t) = u(x, y). E defina a

seguinte aplicacao,

F : M2 × IR −→ IR

(x, y, t) −→ F (x, y, t) = t− u(x, y, t).

Observe que F−1(0) = Gr(u), ou seja, 0 e valor regular de F , entao

podemos concluir, via exercıcio 11 pg.141 de [11], que a curvatura media H de

Gr(u) e dada por

2H = −divM2×IR

∇F

|∇F |

. (2-25)

Seja

E1 =

∂x

λ, E2 =

∂y

λ, E3 = ∂t

um referencial ortonormal de M

2×IR.

Note que E3 e um campo de Killing, ou seja, E3 satisfaz

∇XE3, Y

+

∇Y E3, X

= 0, ∀ X, Y ∈ X (M2

× IR). (2-26)

Afirmacao: divM2×IR(E3) = 0. De fato, fazendo X = Y em 2-26

temos que∇XE3, X

= 0. Por outro lado, temos por definicao que

divM2×IRX =3

i=1

∇EiX, Ei

, onde E1, E2, E3 e um referencial ortonormal.

Logo, divM2×IR(E3) = 0, e portanto provamos a afirmacao.

Observe que ∇F = aE1 + bE2 + cE3. Vamos entao encontrar a, b e c,

a =∇F, E1

= dF (E1) = dF

∂x

λ

=

1

λdF (∂x) = −

ux

λ

b =∇F, E2

= dF (E2) = dF

∂y

λ

=

1

λdF (∂y) = −

uy

λ

DBD



c =∇F, E3

= dF (E3) = dF (∂t) = 1.

Logo, ∇F = −ux

λE1 −

uy

λE2 + E3.

Seja W = |∇F |. Fazendo X =∇F

|∇F |= A + B , onde A = −

ux

WλE1 −

uy

WλE2 e B =

1

WE3.

Logo, divM2×IR(X) = divM2×IR(A) + divM2×IR(B). Mas

divM2×IR(B) = divM2×IR

1

WE3

=

∇

1

W,E3

+

1

WdivM2×IR(E3)

=0(afirmacao)

= ∂t

1

W

= 0

Daı,

divM2×IR(X) = divM2×IR(A)

=∇E1A,E1

+

∇E2A,E2

+

∇E3A,E3

=0

Atraves de alguns calculos, usando as propriedades da conexao Rieman-

niana, concluımos que

divM2×IR(X) =∇e1A, e1

+

∇e2A, e2

= divM

∇Mu

Wu

= 2H

Em particular a equacao da curvatura media para uma superfıcie mınima

e dada por

divM

∇Mu

Wu

= 0.

DBD



Definicao 2.21 Definimos o bordo assintotico de H2×IR, e denotamos por

∂∞H2 × IR como sendo o seguinte conjunto

∂∞H2× IR = (x, y, t) ; x2 + y2 = 1.

Observacao 2.7 O bordo assintotico de uma superfıcie imersa em H2 × IR e

o conjunto formado pelos pontos da superfıcie estao sobre o bordo assintotico

de H2 × IR.

Vejamos agora alguns exemplos de graficos mınimos verticais em H2×IR,

usando o modelo do semi-plano superior para H2.

Exemplo 3 Considere o seguinte grafico vertical em H2 × IR:

u(x, y) = lx, y > 0.

Note que,

ux = l, uy = uyy = uxy = uxx = 0,

e temos que em H2, σ = 1

y , portanto,

σx = 0 e σy = −1

y2.

Substituindo esses valores na equacao

21

y2H =

(1 + y2u2x)uyy + (1 + y2u2

y)uxx − 2y2uxuyuxy − (u2x + u2

y)yuy

(y2u2x + y2u2

y + 1)32

que e a equacao da curvatura media para graficos verticais, chegamos que

H = 0.

DBD



E portanto concluımos que o grafico u(x, y) = lx define uma superfıcie

mınima mergulhada em H2 × IR.

Tal grafico e inteiro e simetrico com respeito a geodesica x = 0 e

a interseccao do grafico com cada slice H2 × t tem dois pontos no bordo

assintotico de H2× IR, sendo que um deles sempre esta sobre a mesma reta do

bordo de H2 × IR.

Logo o bordo assintotico da superfıcie consiste na uniao de uma reta

vertical com um curva mergulhada completa no ∂∞H2×IR, tal curva assintotica

a reta. Veja figura abaixo.

Figura 2.5: Superfıcie Mınima em H2 × IR

Exemplo 4 A equacao

u(x, y) =l

2ln(x2 + y2), y > 0,

tambem define um grafico vertical mınimo em H2 × IR, o qual e simetrico em

relacao a geodesica x2 + y2 = 1, y > 0. O bordo assintotico desse grafico

consiste de duas curvas mergulhadas em ∂∞H2 × IR com dois fins simetricos.

Cada fim assintotico a uma semi-reta vertical. Veja figura

DBD



Figura 2.6: Superfıcie Mınima de H2 × IR

Exemplo 5 A equacao

u(x, y) =

x2 + y2

y, y > 0,

define um grafico vertical em H2 × IR com curvatura media constante igual a

12 . Tal grafico e invariante por translacoes hiperbolicas e tem a propriedade que

a curva u(x, y) = 1 e uma geodesica e as curvas da forma u(x, y) = c, c > 1

sao curvas equidistantes em H2. Veja a figura abaixo:

Figura 2.7: Superfıcie de curvatura media constante igual a1

2em H

2 × IR

Observacao 2.8 Princıpio do Maximo e Aplicacoes

Veremos agora um pouco sobre o princıpio do maximo, o qual e muito

utilizado em resultados da Geometria e da Analise. Apresentamos ainda uma

DBD



aplicacao desse princıpio. As referencias para este assunto sao as notas de

aulas do professor Ricardo Sa Earp e [5], [13], [3].

Considere funcoes reais contınuas aij(x), bi(x) e c(x), 1 ≤ i, j ≤ 2

definidas em um domınio D de IR2. Represente por L o operador

L =2

i,j=1

aij(x)∂2

∂xi∂xj

+2

i=1

bi(x)∂

∂xi

+ c(x).

Suponha que aij = aji. Dizemos que L e um operador elıptico quando

a forma quadratica

QL(X, X) =

x1 x2

a11 a12

a21 a22

x1

x2

,

e positiva definida em todos os pontos de D. Seja f uma funcao contınua

qualquer definida em D. Queremos considerar solucoes da equacao diferencial

parcial

Lu = f,

onde u ∈ C0(D) ∩ C2D.

Teorema 2.22 (Princıpio do maximo interior de Hopf)

Seja L um operador uniformemente elıptico em um domınio D. Suponha

que L(u) ≥ 0 para uma funcao u ∈ C2(D). Entao,

(i) se c = 0 e u atinge seu maximo em D entao u e constante.

(ii) se c ≤ 0 e u atinge seu maximo em D, e seu maximo e nao negativo,

entao u e constante.

Prova. Ver demonstracao de [5].

Consideremos agora, duas superfıcies M1 e M2 no espaco produto H2×IR

que sejam tangentes e tem o mesmo vetor normal unitario no ponto de

tangencia p, ou seja, N(p) = N1(p) = N2(p). Em uma vizinhanca de p, M1 e

DBD



M2 sao dadas por graficos verticais ou horizontais de funcoes f1 e f2 definidas

sobre algum conjunto aberto D de H2 × 0.

Dizemos que M1 esta acima de M2 em D se f1 ≥ f2 e denotaremos

isso por M1 ≥ M2. Sendo assim, o princıpio do maximo para a equacao da

curvatura media para graficos horizontais pode ser estabelecido da seguinte

maneira,

Teorema 2.23 (Princıpio do Maximo Interior)

Sejam M1 e M2 duas superfıcies no espaco H2 × IR, como acima. Sejam

H1 e H2 suas curvaturas medias respectivamente. Em uma vizinhanca de um

ponto de tangencia comum, se M1 ≥ M2 e H1 ≤ H2, entao M1 = M2 em tal

vizinhanca.

Prova. Faremos apenas uma ideia da demonstracao. Sabemos que em tal

vizinhanca cada superfıcie e expressa como um grafico vertical ou horizontal,

cuja curvatura media satisfaz a equacao 2-22 ou 2-24, nas duas situacoes as

equacoes sao elıpticas quasi-lineares de segunda ordem.

Note que f = f2− f1 ≥ 0 numa vizinhanca de p e que f1(p)− f2(p) = 0.

Alem disso, f atinge um maximo local em p e satisfaz uma inequacao elıptica

L(f) ≥ 0, onde L e um operador linear elıptico.

Logo, pelo teorema 2.22 temos que f ≡ 0 nessa vizinhanca.

Existe tambem um teorema do princıpio do maximo no bordo, que nao

vamos apresentar aqui, mas que pode ser encontrado em [5].

Como aplicacao desse teorema, enunciaremos o seguinte resultado:

Teorema 2.24 Nao existem sub-variedades fechadas sem bordo de dimensao

2, mınimas, mergulhadas em H2 × IR.

Prova. Suponha que exista um sub-variedade mınima S de dimensao 2 em

H2 × IR. A menos de translacoes podemos supor que tal sub-variedade esta

inteiramente de um dos lados do plano vertical P sobre a geodesica x = 0 no

slice H2 × 0, veja a figura abaixo.

DBD



Figura 2.8

Agora, podemos aplicar translacoes ao plano vertical P de modo que em

algum momento a sub-variedade S e o plano P tenham um primeiro ponto

de contato. Assim, aplicando o princıpio do maximo, concluımos que S = P

numa vizinhanca, consequentemente globalmente, o que e um absurdo, pois P

nao e uma sub-variedade fechada.

Outras aplicacoes do princıpio do maximo quando o espaco ambiente e

H2 × IR se encontra em [14] e [15].

2.2Aplicacoes Harmonicas

Nesta secao daremos uma atencao especial as aplicacoes harmonicas.

Veremos que as aplicacoes harmonicas sao os pontos crıticos de um funcional.

Tambem apresentaremos as formulas de Bochner, as quais serao importantes

ferramentas para as proximas secoes. A referencia para esta secao e o artigo

[19].

2.2.1Energia de uma aplicacao

Sejam Mn, Nk duas variedades Riemannianas com metricas Rie-

mannianas dadas por

DBD



ds2M =

αβ

gαβdxαdxβ, ds2N =

i,j

h(f(x))ijduiduj,

respectivamente. Seja f : Mn → Nk uma aplicacao diferenciavel.

Queremos encontrar uma forma quadratica em M que seja ”puxada” da

metrica de N . Essa forma quadratica e denominada de pull-back e e definida

da seguinte forma

f∗ds2

N

: (TpM

n−→ IR

V −→ f∗ds2

N

V

= ds2

N

df(V )

Em coordenadas locais, o pull-back e dado por

f∗ds2

N

=

α,β

i,j

hij(f(x))∂ui

∂xα

∂uj

∂xβ

dxαdxβ.

O pull-back e uma forma bilinear simetrica globalmente definida, que

denotaremos por q(p), p ∈ M . Ou seja, fixado um ponto p ∈ M , temos que

q(p) : TpM × TpM −→ IR

(v, w) −→ q(p)(v, w) =Av, w

,

e A : TpM → TpM e um operador auto-adjunto. Sendo assim existe uma base

e1, · · · , en de TpM formada por autovetores de A. Sejam λi os autovalores

associados a ei e w1, · · · , wn a base dual, entao temos que dado um vetor

v ∈ TpM , segue que

q(p)(v, v) =n

i=1

λi

wi(v)

2.

Definiremos como sendo a energia da aplicacao f , e denotaremos por

|df |2 o traco da forma quadratica q(p), ou seja,

|df |2 = traco q(p) =

i

λi.

DBD



Observe que na base

∂

∂x1

, · · · ,∂

∂xn

, temos que A

∂

∂xα

=

γ

aαγ∂

∂γ, onde α, γ = 1, · · · , n e aαγ ∈ IR.

A matriz (aαγ) representa A na base

∂

∂x1

, · · · ,∂

∂xn

. Vamos entao

calcular o tr A =

γ

aγγ .

Note que, por um lado

q(p)

∂

∂α,

∂

∂β

=

γ

aαγgγα. (2-27)

E, por outro

q(p)

∂

∂α,

∂

∂β

=

i,j

hij(f(x))∂ui

∂xα

∂uj

∂xβ(2-28)

Usando as equacoes 2-27 e 2-28 temos que

γ

aαγgγβ =

i,j

hij(f(x))∂ui

∂xα

∂uj

∂xβ

Multiplicando por gγβ e somando em β temos que

β

γ

aαγδγβ =

β

i,j

hij(f(x))∂ui

∂xα

∂uj

∂xβgγβ

Daı,

γ

aγγ =

γ,β,i,j

hij(f(x))∂ui

∂xα

∂uj

∂xβgγβ

Logo,

|df |2 =

α

aαα =

α,β,i,j

hij(f(x))∂ui

∂xα

∂uj

∂xβgαβ, (2-29)

e a representacao local da energia de uma aplicacao diferenciavel f : M → N .

DBD



Definicao 2.25 Definimos o funcional energia, denotado por E(f), por

E(f) =

M

|df |2dM.

Os pontos crıticos desse funcional E no espaco das aplicacoes sao chama-

dos de aplicacoes harmonicas, que satisfaz uma equacao chamada de Euler-

Lagrange, para mais detalhes veja [10] e equacoes 2-31 e 2-32.

2.2.2A equacao das aplicacoes harmonicas

Sejam M e N duas superfıcies orientadas compactas sem bordo e

u : M → N onde as coordenadas de M sao z = x + iy e as coordenadas de

N sao u = u1 + iu2. As metricas de M e N sao dadas por ds2M = λ(z)|dz|2 e

ds2N = ρ(u(z))|du|2. Suponha que u se anula fora da vizinhanca coordenada de

M e suponha que sua imagem esteja contida dentro da vizinhanca coordenada

de N.

Usando a equacao 2-29, segue que a energia dessa aplicacao u e dada por

|du|2 = 2ρ(u(z))

λ(z)

|uz|

2 + |uz|2

(2-30)

Seja v = u + tη, onde η e uma funcao complexa C∞ com suporte

compacto. Entao

E(v) =

M

2ρ(v(z))

λ(z)

|vz|

2 + |vz|2

dM,

Suponhamos que u seja uma aplicacao harmonica, ou seja, um ponto

crıtico do funcional energia. Temos entao que

d

dt

E(v)

t=0= 2

M

(ρuη + ρuη)|uz|

2 + ρ(ηzuz + uzηz)+

+(ρuη + ρuη)|uz|2 + ρ(ηzuz + uzηz)

dxdy

= 4

M

Re

ρuη|uz|

2 + ρuzηz + ρuη|uz|2 + ρuzηz

dxdy

DBD



Observe que:

ρuzη

z

=

ρuuzη + ρuuzη

uz + ρuzzη + ρuzηz, e,

ρuzη

z

=

ρuuzη + ρuuzη

uz + ρuzzη + ρuzηz.

Usando o teorema de Stokes, temos que

M

ρuzη

z

dxdy =

M

ρuzη

z

dxdy = 0, daı

d

dt

E(v)

t=0= 2

M

(ρuη + ρuη)|uz|

2 + ρ(ηzuz + uzηz) + (ρuη + ρuη)|uz|2

+ρ(ηzuz + uzηz)

dxdy

= 4

M

Re

ρuη|uz|

2 + ρuzηz + ρuη|uz|2 + ρuzηz

dxdy

= 4

M

Re

ρuzη

z

+

ρuzη

z

− 2ρuuzuzη − 2ρuzzη

dxdy

= 8

M

Re

− ρuuzuz − ρuzz

η

dxdy

= 0 ∀ η

Portanto, concluımos que se u e uma aplicacao harmonica, entao

uzz +

log ρ

u

uzuz = 0 (2-31)

ou

uzz +

log ρ

u

uzuz = 0. (2-32)

Observe que a chegamos a formula usando coordenadas locais, mas se

trocamos a carta em torno do ponto em M, atraves de calculos simples

DBD



concluımos que a equacao nao muda, ou seja, a equacao da aplicacao harmonica

independe da escolha da carta local, portanto acaba sendo uma formula global.

2.2.3Formulas de Bochner

Como as metricas das superfıcies M e N sao conformes, temos que

as curvaturas de Gauss intrınsecas de M e N , sao dadas por

KM = −1

2∆M log λ e KN = −

1

2∆N log ρ,

onde ∆M =4

λ

∂2

∂z∂z.

Fazendo |∂u|2 =ρ

λ|uz|

2 e |∂u|2 =ρ

λ|uz|

2, temos que

log |∂u|2

zz

=log ρ− log λ + log uz + log uz

zz

.

Calculemos entao, separadamente, cada uma das derivadas acima, ou

seja,

(log ρ)zz =(log ρ)uuz + (log ρ)uuz

z

= (log ρ)uuuzuz + (log ρ)uuuzuz + (log ρ)uuzz + ((log ρ)uuz)z,

−(log λ)zz =λ

2KM ,

(log uz)zz =

uzz

uz

z

= −((log ρ)uuz)z

= −(log ρ)uuuzuz − (log ρ)uuuzuz − (log ρ)uuzz,

(log uz)zz =

uzz

uz

z

= −((log ρ)uuz)z.

Somando as equacoes anteriores, temos que

log |∂u|2

zz

=λ

2KM + (log ρ)uuuzuz − (log ρ)uuuzuz

=λ

2KM −

ρ

2KN(|uz|

2− |uz|

2)

=ρ

2

KM −KNJ(u)

,

DBD



onde J(u) = |∂u|2 − |∂u|2.

Assim, chegamos as formulas de Bochner, que sao dadas por

∆M log |∂u| = −KNJ(u) + KM , (2-33)

∆M log |∂u| = KNJ(u) + KM . (2-34)

DBD


2 imersoes em m ir · 2 imersoes em m2 ×ir 2.1 imersoes em m2 ×ir nesta se¸ca˜o faremos alguns...

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