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Material Digital do Professor

Matemática – 8º ano

2º bimestre – Sequência didática 1

Congruência de triângulos

Duração: 4 aulas

Referência do Livro do Aluno: Unidade 3

Relevância para a aprendizagem

Os triângulos são elementos muito importantes na Engenharia, na Arquitetura ou mesmo em

design de objetos – como joias ou enfeites ornamentais. Essas figuras geométricas, suas propriedades

e suas características têm grande aplicação no cotidiano e em diversas áreas do conhecimento.

Objetivos de aprendizagem

• Identificar triângulos congruentes;

• Reconhecer e aplicar os casos de congruência de triângulos para resolver problemas.

Objetos de conhecimento e habilidades (BNCC)

Objeto de conhecimento Habilidade

Congruência de triângulos e demonstrações de propriedades de quadriláteros

(EF08MA14) Demonstrar propriedades de quadriláteros por meio da identificação da congruência de triângulos.

Desenvolvimento

Aula 1 – Caso Lado-Lado-Lado (LLL)

Duração: 50 minutos

Local: sala de informática ou sala de aula

Organização dos alunos: em dupla

Recursos e/ou material necessário: papel quadriculado com desenho predeterminado, computador com acesso à

internet ou software livre GeoGebra instalado. Caso não haja recursos tecnológicos disponíveis, régua, compasso,

transferidor, lápis e papel A4




Atividade 1: Discussão inicial

Apresene aos alunos (projetando, ou entregando em mãos em papel) os triângulos

congruentes pelo caso LLL ilustrados a seguir. Caso a opção seja o uso do GeoGebra, deixe a atividade

pronta nos computadores.

Para usar o GeoGebra no modo on-line, acesse <https://www.geogebra.org/graphing> ou

instale previamente o programa nos computadores por meio do site <https://www.geogebra.org/>

(acesso em: 1º out. 2018).

Avits Estúdio Gráfico/Arquivo da editora

Organize os alunos em duplas e peça que discutam sobre as questões indicadas a seguir.

Pergunte aos alunos se os triângulos são congruentes. Em caso afirmativo, questione-os sobre o que é

necessário para que os dois triângulos sejam congruentes:

• Dois lados correspondentes congruentes?

• Três lados correspondentes congruentes?

• Um lado e dois ângulos correspondentes congruentes?

• Dois lados correspondentes e um ângulo entre eles congruentes?

• Três ângulos correspondentes congruentes?

Sugira aos estudantes que meçam cada um dos três lados dos triângulos e cada um dos três

ângulos internos. Isso pode ser feito no GeoGebra ou com régua e compasso. Caso a opção seja o uso

do GeoGebra, basta selecionar os botões:

Reprodução/<geogebra.org>

• Distância, Comprimento ou Perímetro : este comando permite determinar a medida da distância entre dois pontos, do comprimento de um segmento ou do perímetro de uma figura plana. Para usá-lo, basta selecioná-lo e depois clicar em dois pontos, ou um segmento, ou um polígono, ou um círculo. As medidas serão determinadas na tela.

https://www.geogebra.org/





• Ângulo : este botão permite determinar a medida da abertura de um ângulo. Para usá-lo, basta selecioná-lo e depois clicar alternadamente em três pontos A, B e C consecutivos e distintos. A medida da abertura do ângulo associado ao vértice B será determinada na tela.

Após essa análise, espera-se que os estudantes verifiquem que os lados correspondentes dos

dois triângulos possuem a mesma medida de comprimento, assim como os ângulos internos

correspondentes possuem a mesma medida de abertura.

Outra maneira de determinar a medida do comprimento dos lados dos triângulos é

observando a malha quadriculada, ou seja:

• a = BC = EF = d

• b = AC = DF = e

• c = AB = DE = f

A partir de agora, conduza os alunos a verificar quais são as condições mínimas para que haja

a congruência entre triângulos.

Atividade 2: Caso Lado-Lado-Lado (LLL)

Peça aos alunos que reflitam sobre a seguinte questão: “Se dois triângulos possuem dois lados

correspondentes congruentes, então esses dois triângulos são congruentes?”. Espera-se que eles

verifiquem que a exitência de dois lados correspondentes congruentes não garante a congruência

entre dois triângulos.

Apresente o exemplo a seguir.


Nessa ilustração, é possível perceber que:

• b = AC = DF = e

• c = AB = DE = f




Observa-se então dois lados congruentes. Entretanto, os dois triângulos não são congruentes.

Apresente então a questão: “Três lados correspondentes congruentes é condição suficiente

para a congruência de dois triângulos?”.

Deixar que os alunos discutam a questão. Espera-se que eles verifiquem que essa condição é

suficiente para que os triângulos sejam congruentes. Trata-se de um caso de congruência de

triângulos, o caso lado-lado-lado (LLL).

Pode-se apresentar um exemplo desse caso por meio de uma construção geométrica no

GeoGebra ou com régua e compasso. Os passos estão descritos a seguir.


1o PASSO: Traçar um segmento de 6 unidades. No GeoGebra, selecionar o botão Segmento

e traçá-lo usando a malha quadriculada para auxiliar.


2o PASSO: Traçar uma circunferência de centro no ponto A e medida do raio 4 unidades. No

GeoGebra, selecionar o botão Círculo dados centro e raio e informar que o raio tem medida

de comprimento igual a 4.

3o PASSO: Traçar uma circunferência de centro no ponto B e medida de comprimento do raio

igual a 3 unidades.


4o PASSO: Determinar os pontos de intersecção C e D das duas circunferências. No GeoGebra,

clicar no botão Intersecção de dois objetos e depois clicar nas duas circunferências.






5o PASSO: Construir dois triângulos de vértices ABC e ABD. No GeoGebra, clicar no botão

Polígono e depois clicar nos pontos A, B e C para que um dos triângulos seja demarcado.

Repita a operação para os pontos A, B e D.

6o PASSO: Veriricar a medida de comprimento dos lados e de abertura dos ângulos internos

de cada triângulo.





Por fim, após o 6º passo, verifica-se que todos os ângulos correspondentes dos triângulos ABC

e ABD são congruentes e que todos os lados correspondentes dos triângulos ABC e ABD são

congruentes, provando o caso LLL.

Aula 2 – Caso Ângulo-Lado-Ângulo (ALA) e Ângulo-Lado-Ângulo oposto (ALAo)



Organização dos alunos: em duplas



transferidor, esquadro, lápis e papel A4

Nesta aula, vamos trabalhar mais dois casos de congruência de triângulos. Apresente a

questão: “A existência de um lado e dois ângulos correspondentes congruentes é condição suficiente

para que dois triângulos sejam congruentes?”.

Há dois casos de congruência de triângulos relacionados a essa questão: ALA e ALAo. Pode-se

ilustrar ambos os casos por meio de uma construção geométrica no GeoGebra ou com régua e

compasso*. Os passos estão descritos a seguir.

Atividade 1: Caso ALA


1o PASSO: Marcar um ponto qualquer A e outro B, de modo que a distância entre eles seja de

6 unidades. No GeoGebra, selecionar o botão Ponto e marcar os pontos nas posições

desejadas.

*Para o caso da construção geométrica no papel, troque o 2º, o 3º, o 4º, o 5º, o 6º e o 7º

passos. Solicite aos alunos que tracem, com auxílio do transferidor e da régua, a semirreta que forma

35° no sentido anti-horário com o segmento AB. Em seguida, tracem a semirreta que forma 51° no

sentido horário com o segmento AB. O ponto E é a intersecção entre as semirretas.


2o PASSO: Traçar um ângulo de 35° com vértice no ponto A. No GeoGebra, selecionar o botão

Ângulo com amplitude fixa e marcar o ponto C, de modo que seja colinear a A e B e esteja

entre eles, informar que a medida do ângulo será de 35° no sentido anti-horário. O software demarcará

o ponto C'.




3o PASSO: Traçar um ângulo de 51° com vértice no ponto B. No GeoGebra, selecionar o botão

Ângulo com amplitude fixa e marcar o ponto D, de modo que D seja colinear a B e C e esteja entre eles,

informar que a medida do ângulo será de 51° no sentido horário. O software demarcará o ponto D'.

4o PASSO: Traçar o segmento AB .


5o PASSO: Traçar as semirretas 'AC e 'BD . No GeoGebra, selecionar o botão Semirreta

e traçar 'AC 'BD e, selecionando primeiro os pontos A ou D e depois os pontos C' ou D'.

6o PASSO: Determinar o ponto de intersecção E das semirretas.

7o PASSO: Construir um triângulo de vértices ABE.

8o PASSO: Medir o comprimento dos lados e a abertura dos ângulos internos do triângulo ABE.


9o PASSO: Repetir os passos anteriores, a partir de dois pontos F e G separados também por 6

unidades.


Por fim, após o último passo, verifica-se que todos os ângulos correspondentes dos triângulos

ABE e FGJ são congruentes e que todos os lados correspondentes dos dois triângulos são congruentes.




Atividade 2: Caso ALAo


6 unidades.

*Para o caso da construção geométrica no papel, troque o 2º passo. Solicite aos alunos que

tracem, com auxílio do transferidor e da régua, a semirreta que forma 41° no sentido anti-horário com

o segmento AB .

2o PASSO: Traçar um ângulo de 41° com vértice no ponto A, sentido anti-horário. Caso use o

GeoGebra será demarcado os pontos C e C'.

3o PASSO: Traçar a semirreta 'AC .


4o PASSO: Marcar o ponto D sobre a semirreta 'AC . No GeoGebra, usar o botão Ponto em

objeto e marcar o ponto D sobre a semirreta 'AC . Esse comando serve para criar um ponto

no objeto ou em sua fronteira. Para isso, basta clicar no local onde deseja criar esse ponto dentro do

objeto ou em sua fronteira.


tracem em um ponto D da semirreta, com auxílio do transferidor e da régua, a reta que forma 73° com

semirreta 'AC .

5o PASSO: Traçar um ângulo de 73° com vértice no ponto D. No GeoGebra, selecionar o botão

Ângulo com amplitude fixa e marcar o ponto E, de modo que E seja colinear a D e A e esteja entre eles,

informar que a medida do ângulo será de 73° no sentido anti-horário. O software desenhará o ponto

E'.






6o PASSO: Traçar a reta 'DE . No GeoGebra, selecionar o botão Reta e traçar 'DE

selecionando os pontos D e E'.

* Para o caso da construção geométrica no papel, troque o 7º passo. Solicite aos alunos que,

com o auxílio do esquadro, tracem uma paralela à reta 'DE que contenha o ponto B.


7o PASSO: Traçar uma reta paralela à reta 'DE que passa pelo ponto B. No GeoGebra,

selecionar o botão Reta paralela e clicar na reta 'DE e no ponto B.

8o PASSO: Determinar o ponto de intersecção F da semirreta 'AC com a reta paralela à reta

'DE .

9o PASSO: Construir um triângulo de vértices ABF.

10o PASSO: Medir os lados e os ângulos internos do triângulo ABF.


11o PASSO: Repetir os passos anteriores, a partir de dois pontos G e H separados também por

6 unidades.






ABF e GHL são congruentes e que todos os lados correspondentes dos dois triângulos são congruentes.

Aula 3 – Caso Lado-Ângulo-Lado (LAL)






transferidor, lápis e papel A4

Nesta aula, o trabalho será com o caso LAL. Apresente a questão: “Dados dois triângulos, a

existência de dois lados correspondentes e um ângulo entre eles congruentes entre si garante a

congruência entre esses dois triângulos?”.

Deixe que os estudantes discutam a questão. Espera-se que eles verifiquem que essa condição

é suficiente para que os triângulos sejam congruentes. Os passos de uma construção que ilustra a

situação estão descritos a seguir.


6 unidades.


tracem, com auxílio do transferidor e da régua, a semirreta que forma 39° no sentido anti-horário com

o segmento AB .

2o PASSO: Traçar um ângulo de 39° com vértice no ponto A no sentido anti-horário. Caso use

o GeoGebra, serão demarcados os pontos C e C'.

3o PASSO: Traçar a semirreta 'AC .

4o PASSO: Traçar uma circunferência de centro no ponto A e medida do raio 5 unidades.




5o PASSO: Determinar o ponto de intersecção D da semirreta 'AC com a circunferência.

6o PASSO: Construir um triângulo de vértices ABD.

7o PASSO: Medir os lados e os ângulos internos do triângulo ABD.


8o PASSO: Repetir os passos anteriores, a partir de dois pontos E e F separados também por 6

unidades.

Avits Estúdio Grafico/Arquivo da editora





ABD e EFH são congruentes e que todos os lados correspondentes dos dois triângulos são congruentes,

provando o caso LAL.

Aula 4 – Observando quadriláteros


Local: sala de aula



internet ou software livre GeoGebra instalado. Caso não haja recursos tecnológicos disponíveis, régua, transferidor, lápis

e papel A4

Inicie a atividade questionando os alunos sobre o paralelogramo. Questione-os: “A diagonal

de um paralelogramo o divide em dois triângulos congruentes?”. Apresente a figura abaixo

(projetando ou entregando em mãos em papel), que ilustra o questionamento.


Organize os alunos em duplas e peça que discutam sobre os triângulos ABC e BCD. Verifique

se todos os alunos notaram que, como ABDC é um paralelogramo, AC // BD e AB // CD, portanto:

• • os triângulos ABC e BCD são congruentes, por exemplo, pelo caso ALA.

• • os ângulos ˆ ˆACB e CBD e ˆˆABC e BCD são congruentes, pois são alternos internos.

• • BC é lado comum aos triângulos ABC e BCD.

Se achar conveniente, solicite à turma que repitam essa análise para um quadrilátero diferente

do paralelogramo – quadrado, retângulo, losango ou trapézio. Permita que os alunos, nesse momento,

realizem todas as etapas necessárias para verificar a congruência dos dois triângulos formados pela

diagonal de um quadrilátero.




Aferição do objetivo de aprendizagem

O software GeoGebra é uma ótima ferramenta para o ensino da Geometria, pois, por meio

dessa plataforma, pode-se realizar simulações e verificar resultados de propriedades. Preocupe-se em

apresentar as ferramentas disponíveis no software que serão usadas nas atividades e auxilie os alunos

quando necessário para que possam desenvolver as atividades.

As aulas com material de desenho geométrico exigem precisão para não haver distorção nas

medidas. Se preciso, auxilie os alunos no manejo dos instrumentos, sobretudo o transferidor e o

esquadro.

Verifique se, após analisar os casos de congruência, eles conseguem distingui-los e aplicá-los

em triângulos diferentes dos exemplos desta sequência didática.

Questões para auxiliar na aferição

1. Na figura abaixo há 3 triângulos: ABC, DEF e GHI.


a) Quais deles são congruentes?

b) Sem utilizar instrumentos de desenho, qual é o caso de congruência que pode ser

identificado utilizando a malha quadriculada como referência?




2. Sejam os triângulos da figura:


a) Quais são as relações entre f, g, i e j para que os triângulos sejam congruentes?

b) Qual é o caso de congruência relacionado ao item anterior?

Gabarito das questões

1. a) ABC e DEF

b) LLL

2.

a) f = i, ˆ ˆBAB' DCD'= e g = j

b) LAL

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