2 avaliação de áreas - · pdf file2 supondo que uma superfície...
TRANSCRIPT
![Page 1: 2 Avaliação de Áreas - · PDF file2 Supondo que uma superfície extra-poligonal tenha sido dividida em segmentos ... Microsoft PowerPoint - AULA 11 Calculo de areas.pptx Author:](https://reader034.vdocuments.com.br/reader034/viewer/2022051721/5a936a7f7f8b9a18628be4a6/html5/thumbnails/1.jpg)
1
![Page 2: 2 Avaliação de Áreas - · PDF file2 Supondo que uma superfície extra-poligonal tenha sido dividida em segmentos ... Microsoft PowerPoint - AULA 11 Calculo de areas.pptx Author:](https://reader034.vdocuments.com.br/reader034/viewer/2022051721/5a936a7f7f8b9a18628be4a6/html5/thumbnails/2.jpg)
2
A avaliação de áreas é fundamental paraplanejamentos de engenharia, agricultura,loteamentos, limites de preservação ambiental,levantamentos cadastrais para compra e venda,partilha, escrituras, etc.
As áreas topográficas são projeções horizontaisdas obras projetadas e executadas pela engenharia.
Avaliação de Áreas
![Page 3: 2 Avaliação de Áreas - · PDF file2 Supondo que uma superfície extra-poligonal tenha sido dividida em segmentos ... Microsoft PowerPoint - AULA 11 Calculo de areas.pptx Author:](https://reader034.vdocuments.com.br/reader034/viewer/2022051721/5a936a7f7f8b9a18628be4a6/html5/thumbnails/3.jpg)
3
• analíticos;• computacionais;• gráficos;• mecânicos;• mistos
Avaliação de ÁreasProcessos de Cálculo:
![Page 4: 2 Avaliação de Áreas - · PDF file2 Supondo que uma superfície extra-poligonal tenha sido dividida em segmentos ... Microsoft PowerPoint - AULA 11 Calculo de areas.pptx Author:](https://reader034.vdocuments.com.br/reader034/viewer/2022051721/5a936a7f7f8b9a18628be4a6/html5/thumbnails/4.jpg)
4
- foram os primeiros métodos desenvolvidos para ocálculo de área de poligonais, sendo baseados emfórmulas matemáticas, limitantes da figura.
• Fórmula de Gauss• Método de Bezout• Método de Poncelet• Método de Simpson
Avaliação de ÁreasProcessos Analíticos
![Page 5: 2 Avaliação de Áreas - · PDF file2 Supondo que uma superfície extra-poligonal tenha sido dividida em segmentos ... Microsoft PowerPoint - AULA 11 Calculo de areas.pptx Author:](https://reader034.vdocuments.com.br/reader034/viewer/2022051721/5a936a7f7f8b9a18628be4a6/html5/thumbnails/5.jpg)
5
(Áreas delimitadas por poligonais regulares: triângulos, trapézios, etc)
- baseia-se na soma e subtração da área detrapézios formados pelos vértices e projeções sobre oseixos N, E.
- essa operação pode ser expressa por diferentesequações, como a equação a seguir, que utiliza apropriedade distributiva.
n
i
n
iiiii NEENS
1 1115,0
FÓRMULA DE GAUSSProcessos Analíticos
![Page 6: 2 Avaliação de Áreas - · PDF file2 Supondo que uma superfície extra-poligonal tenha sido dividida em segmentos ... Microsoft PowerPoint - AULA 11 Calculo de areas.pptx Author:](https://reader034.vdocuments.com.br/reader034/viewer/2022051721/5a936a7f7f8b9a18628be4a6/html5/thumbnails/6.jpg)
6
FÓRMULA DE GAUSSProcessos Analíticos
N
E
+ + - - =
Exemplo: Base dos trapézios no eixo “E”
1
23
4
5
![Page 7: 2 Avaliação de Áreas - · PDF file2 Supondo que uma superfície extra-poligonal tenha sido dividida em segmentos ... Microsoft PowerPoint - AULA 11 Calculo de areas.pptx Author:](https://reader034.vdocuments.com.br/reader034/viewer/2022051721/5a936a7f7f8b9a18628be4a6/html5/thumbnails/7.jpg)
7
FÓRMULA DE GAUSSProcessos Analíticos
Exemplo: Base dos trapézios no eixo “E”
N1
N1
N2
N2
N3
N3
N4
N4
N5
N5
E1-E5 (<0)
E2 –E1
E3-E2E4-E3
E5-E4 (<0)
S = 0,5 x [ (E2-E1) x (N1+N2)+ (E3-E2) x (N3+N2)+ (E4-E3) x (N4+N3)+ (E5-E4) x (N5+N4)+ (E1-E5) x (N1+N5)]
(uma das formas da fórmula de Gauss)
![Page 8: 2 Avaliação de Áreas - · PDF file2 Supondo que uma superfície extra-poligonal tenha sido dividida em segmentos ... Microsoft PowerPoint - AULA 11 Calculo de areas.pptx Author:](https://reader034.vdocuments.com.br/reader034/viewer/2022051721/5a936a7f7f8b9a18628be4a6/html5/thumbnails/8.jpg)
8
(Áreas que se delimitam por poligonais irregulares)Para n qualquer (par ou ímpar) esse método interpreta acurva como uma série de trapézios de altura d.
1
12
n
ii
no yyydS
d d d d d d d d
yo y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7 y8
Processos AnalíticosMÉTODO DE BEZOUT
![Page 9: 2 Avaliação de Áreas - · PDF file2 Supondo que uma superfície extra-poligonal tenha sido dividida em segmentos ... Microsoft PowerPoint - AULA 11 Calculo de areas.pptx Author:](https://reader034.vdocuments.com.br/reader034/viewer/2022051721/5a936a7f7f8b9a18628be4a6/html5/thumbnails/9.jpg)
9
(Áreas que se delimitam por poligonais irregulares)Para n par, interpreta a curva como uma série de trapéziosde altura 2d.
4
)(2 111
1
nnon
ii
yyyyydS
Processos AnalíticosMÉTODO DE PONCELET
![Page 10: 2 Avaliação de Áreas - · PDF file2 Supondo que uma superfície extra-poligonal tenha sido dividida em segmentos ... Microsoft PowerPoint - AULA 11 Calculo de areas.pptx Author:](https://reader034.vdocuments.com.br/reader034/viewer/2022051721/5a936a7f7f8b9a18628be4a6/html5/thumbnails/10.jpg)
10
(Áreas que se delimitam por poligonais irregulares)Para n par, interpreta a curva como uma série de trechosde parábola de base 2d, e calcula-se a área porintegração.
onde: yp= y2 + y4 + y6 + ...+ yn – 2yi= y1 + y3 + y5 + ...+ yn - 1
ipn yyyydS 423 0
Processos AnalíticosMÉTODO DE SIMPSON
![Page 11: 2 Avaliação de Áreas - · PDF file2 Supondo que uma superfície extra-poligonal tenha sido dividida em segmentos ... Microsoft PowerPoint - AULA 11 Calculo de areas.pptx Author:](https://reader034.vdocuments.com.br/reader034/viewer/2022051721/5a936a7f7f8b9a18628be4a6/html5/thumbnails/11.jpg)
11
Processos AnalíticosMÉTODO DE SIMPSON
![Page 12: 2 Avaliação de Áreas - · PDF file2 Supondo que uma superfície extra-poligonal tenha sido dividida em segmentos ... Microsoft PowerPoint - AULA 11 Calculo de areas.pptx Author:](https://reader034.vdocuments.com.br/reader034/viewer/2022051721/5a936a7f7f8b9a18628be4a6/html5/thumbnails/12.jpg)
12
A partir de uma mesa digitalizadora acoplada a umcomputador que disponha de um editor de desenho(AutoCAD ou similar), fornecem-se as coordenadas (x,y)de pelo menos dois pontos. O cursor passa a fornecercoordenadas reais.
Processos Computacionais
![Page 13: 2 Avaliação de Áreas - · PDF file2 Supondo que uma superfície extra-poligonal tenha sido dividida em segmentos ... Microsoft PowerPoint - AULA 11 Calculo de areas.pptx Author:](https://reader034.vdocuments.com.br/reader034/viewer/2022051721/5a936a7f7f8b9a18628be4a6/html5/thumbnails/13.jpg)
13
O programa utiliza a fórmula de Gauss, já que ocontorno da figura é na realidade uma poligonal demuitos lados.
Processos Computacionais
cursor
LENTE DE AUMENTO
MIRA DO CURSOR
256.342, 651.976
![Page 14: 2 Avaliação de Áreas - · PDF file2 Supondo que uma superfície extra-poligonal tenha sido dividida em segmentos ... Microsoft PowerPoint - AULA 11 Calculo de areas.pptx Author:](https://reader034.vdocuments.com.br/reader034/viewer/2022051721/5a936a7f7f8b9a18628be4a6/html5/thumbnails/14.jpg)
14
• Transformação Geométrica• Faixas de Igual Espessura• Divisão de Quadrículas• Figuras Geométricas Equivalentes
Processos Gráficos
![Page 15: 2 Avaliação de Áreas - · PDF file2 Supondo que uma superfície extra-poligonal tenha sido dividida em segmentos ... Microsoft PowerPoint - AULA 11 Calculo de areas.pptx Author:](https://reader034.vdocuments.com.br/reader034/viewer/2022051721/5a936a7f7f8b9a18628be4a6/html5/thumbnails/15.jpg)
15
Consiste em transformar as poligonais regulares em umtriângulo de área equivalente.
N A B M
E
D
C
N M
D
A B
E
D
C
Processos GráficosTRANSFORMAÇÃO GEOMÉTRICA
![Page 16: 2 Avaliação de Áreas - · PDF file2 Supondo que uma superfície extra-poligonal tenha sido dividida em segmentos ... Microsoft PowerPoint - AULA 11 Calculo de areas.pptx Author:](https://reader034.vdocuments.com.br/reader034/viewer/2022051721/5a936a7f7f8b9a18628be4a6/html5/thumbnails/16.jpg)
16
(Áreas que se delimitam por poligonais irregulares)Consiste em efetuar a divisão da figura em faixas deespessura constante (e), medindo-se as larguras (li) dasmesmas.
i
ileS
Processos GráficosFAIXAS DE IGUAL ESPESSURA
![Page 17: 2 Avaliação de Áreas - · PDF file2 Supondo que uma superfície extra-poligonal tenha sido dividida em segmentos ... Microsoft PowerPoint - AULA 11 Calculo de areas.pptx Author:](https://reader034.vdocuments.com.br/reader034/viewer/2022051721/5a936a7f7f8b9a18628be4a6/html5/thumbnails/17.jpg)
17
(Áreas que se delimitam por poligonais irregulares)Consiste na contagem direta dos quadrados multiplicadospela área deles (papel milimetrado poderá ser usado parafacilitar a tarefa).
i
iAS
Processos GráficosDIVISÃO EM QUADRÍCULAS
![Page 18: 2 Avaliação de Áreas - · PDF file2 Supondo que uma superfície extra-poligonal tenha sido dividida em segmentos ... Microsoft PowerPoint - AULA 11 Calculo de areas.pptx Author:](https://reader034.vdocuments.com.br/reader034/viewer/2022051721/5a936a7f7f8b9a18628be4a6/html5/thumbnails/18.jpg)
18
(Áreas que se delimitam por poligonais irregulares)Consiste em dividir a área em figuras geométricasequivalentes: retângulos, triângulos e trapézios, de modo acompensar as áreas que ficaram dentro e fora da figurageométrica.
i
iAS
Processos GráficosFIGURAS GEOMÉTRICAS EQUIVALENTES
![Page 19: 2 Avaliação de Áreas - · PDF file2 Supondo que uma superfície extra-poligonal tenha sido dividida em segmentos ... Microsoft PowerPoint - AULA 11 Calculo de areas.pptx Author:](https://reader034.vdocuments.com.br/reader034/viewer/2022051721/5a936a7f7f8b9a18628be4a6/html5/thumbnails/19.jpg)
19
O planímetro é um equipamento que possui dois braços articulados com um pólo, que deve permanecer fixo, numa extremidade, e um cursor na outra, este devendo percorrer todo o contorno da área até retornar ao ponto inicial.
Processo MecânicoPLANÍMETRO
![Page 20: 2 Avaliação de Áreas - · PDF file2 Supondo que uma superfície extra-poligonal tenha sido dividida em segmentos ... Microsoft PowerPoint - AULA 11 Calculo de areas.pptx Author:](https://reader034.vdocuments.com.br/reader034/viewer/2022051721/5a936a7f7f8b9a18628be4a6/html5/thumbnails/20.jpg)
20
Processo MecânicoPLANÍMETRO
pólo fixo
braço polar
lupa de medição do cursor
braço de medição
rolo de medição
Um tambor giratório no mesmo braço do cursor, situado na extremidade oposta, faz girar um ponteiro sobre o círculo de leitura. Pode-se demonstrar que o giro do tambor, e portanto a diferença de leituras, é proporcional à área envolvida pelo contorno percorrido.
![Page 21: 2 Avaliação de Áreas - · PDF file2 Supondo que uma superfície extra-poligonal tenha sido dividida em segmentos ... Microsoft PowerPoint - AULA 11 Calculo de areas.pptx Author:](https://reader034.vdocuments.com.br/reader034/viewer/2022051721/5a936a7f7f8b9a18628be4a6/html5/thumbnails/21.jpg)
21
Processo MecânicoPLANÍMETRO
Esquema de operação
![Page 22: 2 Avaliação de Áreas - · PDF file2 Supondo que uma superfície extra-poligonal tenha sido dividida em segmentos ... Microsoft PowerPoint - AULA 11 Calculo de areas.pptx Author:](https://reader034.vdocuments.com.br/reader034/viewer/2022051721/5a936a7f7f8b9a18628be4a6/html5/thumbnails/22.jpg)
22
Processo MecânicoPLANÍMETRO
Esquema de operação
![Page 23: 2 Avaliação de Áreas - · PDF file2 Supondo que uma superfície extra-poligonal tenha sido dividida em segmentos ... Microsoft PowerPoint - AULA 11 Calculo de areas.pptx Author:](https://reader034.vdocuments.com.br/reader034/viewer/2022051721/5a936a7f7f8b9a18628be4a6/html5/thumbnails/23.jpg)
23
S – áreaLf – leitura finalLi – leitura inicialk – constante do aparelho
Para determinar o valor de k, sugere-se planimetrar nvezes uma área S conhecida.
)( if LLkS
Processo MecânicoPLANÍMETRO
![Page 24: 2 Avaliação de Áreas - · PDF file2 Supondo que uma superfície extra-poligonal tenha sido dividida em segmentos ... Microsoft PowerPoint - AULA 11 Calculo de areas.pptx Author:](https://reader034.vdocuments.com.br/reader034/viewer/2022051721/5a936a7f7f8b9a18628be4a6/html5/thumbnails/24.jpg)
24EXERCÍCIOS RESOLVIDOS1 Dada a poligonal fechada ABCDEA, determinar sua área pelo método de Gauss
Obs.:1) deve-se procurar que as coordenadas (NE) de todos os vértices sejampositivas. Se for o caso somando uma constante adequada a todas elas;2) deve-se efetuar a diferença entre as duas somatórias, tomando-se ao final omódulo e dividindo por dois para obter a área.
2.S = (293.815,60 - 330.001,07) = 36.185,47 m2S = 18.092, 74 m2
Solução
![Page 25: 2 Avaliação de Áreas - · PDF file2 Supondo que uma superfície extra-poligonal tenha sido dividida em segmentos ... Microsoft PowerPoint - AULA 11 Calculo de areas.pptx Author:](https://reader034.vdocuments.com.br/reader034/viewer/2022051721/5a936a7f7f8b9a18628be4a6/html5/thumbnails/25.jpg)
25EXERCÍCIOS RESOLVIDOS2 Supondo que uma superfície extra-poligonal tenha sido dividida em segmentoscom as alturas relacionadas abaixo e sendo d = 2,0 metros o espaçamento, calcular aárea desse trecho pelos três métodos (fórmulas) apresentados.
DADOS:y0 = 3,0 m y5 = 2,6 my1 = 3,5 m y6 = 2,4 my2 = 3,8 m y7 = 2,0 my3 = 3,2 m y8 = 1,8 my4 = 2,6 m
Como se pode ver, as fórmulas chegam a valores muito semelhantes: no casomais desfavorável a diferença é menor que 0,5%.
![Page 26: 2 Avaliação de Áreas - · PDF file2 Supondo que uma superfície extra-poligonal tenha sido dividida em segmentos ... Microsoft PowerPoint - AULA 11 Calculo de areas.pptx Author:](https://reader034.vdocuments.com.br/reader034/viewer/2022051721/5a936a7f7f8b9a18628be4a6/html5/thumbnails/26.jpg)
26
1. Transformar esquematicamente a superfície de um polígono de 7 ladosqualquer, na de um triângulo de mesma área, utilizando o processo deredução ou equivalência geométrica.
2. Calcule a área da poligonal fornecida abaixo, através do método analítico. Obs.:não esqueça de repetir, ao final, a coordenada do primeiro vértice.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
![Page 27: 2 Avaliação de Áreas - · PDF file2 Supondo que uma superfície extra-poligonal tenha sido dividida em segmentos ... Microsoft PowerPoint - AULA 11 Calculo de areas.pptx Author:](https://reader034.vdocuments.com.br/reader034/viewer/2022051721/5a936a7f7f8b9a18628be4a6/html5/thumbnails/27.jpg)
27EXERCÍCIOS PROPOSTOS
PONTOSCOORDENADAS
N E
A 22 3
B 22 7
C 24 9
D 27 5
E 25 2
3. Calcular a área do desenho abaixo reproduzido, utilizando os métodos deBezout, Simpson e Poncelet.
4. Calcular a área do polígono de 5 lados, cujas coordenadas estão indicadasabaixo, através dos processos analíticos (fórmula de Gauss e de redução –equivalência geométrica).