2 ANISOTROPIAS MAGNEacuteTICAS

Anisotropia eacute uma tendecircncia direcional de uma propriedade fiacutesica de um material Se uma propriedade por exemplo a suscetibilidade magneacutetica natildeo varia quando a medimos ao longo de trecircs eixos perpendiculares entre si dizemos que a amostra eacute isotroacutepica em relaccedilatildeo a sua suscetibilidade magneacutetica Caso contraacuterio dizemos que existe uma anisotropia de suscetibilidade magneacutetica (ASM) O magnetismo nos materiais depende basicamente de trecircs fatores (i) da intensidade dos momentos magneacuteticos associados aos aacutetomos ou iacuteons vizinhos (ii) da distacircncia entre os iacuteons vizinhos e (iii) da simetria da rede cristalina Assim as propriedades magneacuteticas da maioria dos materiais ferromagneacuteticos satildeo dependentes da direccedilatildeo Veremos que os comportamentos magneacuteticos das rochas e minerais satildeo fortemente dependentes do tamanho e da forma dos gratildeos magneacuteticos os quais estatildeo associados a anisotropias magneacuteticas Existem trecircs tipos principais de anisotropias anisotropia magnetocristalina anisotropia magnetoestrictiva (ou magnetoelaacutestica) e anisotropia magnetostaacutetica (ou de forma)

21 ANISOTROPIA MAGNETOCRISTALINA

A magnetizaccedilatildeo espontacircnea em um material ferromagneacutetico natildeo eacute arbitraacuteria O forte campo molecular origina uma interaccedilatildeo de troca direta entre spins de aacutetomos vizinhos que os orientam paralelamente no gratildeo magneacutetico A simetria da estrutura da rede cristalina entretanto afeta os processos de troca fazendo com que existam determinados eixos preferenciais de magnetizaccedilatildeo originando assim uma anisotropia magnetocristalina Esta preferecircncia na orientaccedilatildeo dos momentos magneacuteticos estaacute associada a uma energia de anisotropia magnetocristalina a qual eacute miacutenima quando os momentos magneacuteticos estatildeo orientados ao longo destes eixos Estes eixos satildeo denominados de eixos faacuteceis de magnetizaccedilatildeo

Para ilustrar este efeito a Figura 21 mostra as curvas de magnetizaccedilatildeo (momento magneacutetico em funccedilatildeo do campo magneacutetico aplicado) ao longo de dois eixos cristalograacuteficos lt111gt e lt100gt da estrutura cristalina cuacutebica da magnetita Pode-se notar que a magnetizaccedilatildeo satura mais facilmente ao longo do eixo lt111gt (diagonal do cubo) o qual representa o eixo faacutecil (easy axis) de magnetizaccedilatildeo O eixo lt100gt necessita mais energia magneacutetica para saturar a amostra e corresponde ao eixo difiacutecil (hard axis) de magnetizaccedilatildeo

A energia potencial magneacutetica relacionada com um campo magneacutetico H que induz uma magnetizaccedilatildeo M em um material inicialmente desmagnetizado (assumindo M paralelo a H) eacute descrita pela seguinte equaccedilatildeo middot d micro d micro middot d micro H micro d (21)

Onde d micro d d

O primeiro termo da segunda parte da igualdade na equaccedilatildeo (21) existe em todo o espaccedilo enquanto o segundo termo eacute especiacutefico do material Este termo corresponde agrave aacuterea entre a curva de magnetizaccedilatildeo e o eixo das ordenadas (momento magneacutetico) na Figura 21 (aacuterea hachurada) Note que esta energia eacute claramente maior para a magnetizaccedilatildeo ao longo do eixo difiacutecil (lt100gt) quando comparada com a energia associada a magnetizaccedilatildeo ao longo do eixo faacutecil (lt111gt) A diferenccedila entre as duas energias (aacuterea entre as curvas) eacute uma medida da anisotropia magnetocristalina (EK)

Figura 21 Curvas de magnetizaccedilatildeo para a magnetita ao longo dos eixos faacutecil (lt111gt) e difiacutecil (lt100gt) A aacuterea entre as duas curvas eacute a diferenccedila em energia potencial magneacutetica entre as magnetizaccedilotildees ao longo dos eixos faacutecil e difiacutecil e corresponde agrave energia de anisotropia magnetocristalina (Fonte Dunlop e Oumlzdemir 1997)

A energia de anisotropia magnetocristalina (EK) eacute normalmente muito menor do que o seu valor maacuteximo pois a magnetizaccedilatildeo espontacircnea estaacute orientada ao longo de um eixo faacutecil Em um cristal cuacutebico EK pode ser representado pela equaccedilatildeo

(22)

Onde K1 e K2 satildeo as constantes de anisotropia V eacute o volume e αis satildeo os cossenos diretores de Ms com respeito ao eixo lt100gt (vide definiccedilatildeo de acircngulos e cossenos diretores no apecircndice A) A equaccedilatildeo (22) se aplica em qualquer regiatildeo de uma magnetizaccedilatildeo uniforme M Na definiccedilatildeo de cossenos diretores (vide apecircncice A) vale a seguinte relaccedilatildeo 1 (23)

Podemos determinar a energia de anisotropia magnetocristalina calculando a diferenccedila entre as energias magnetocristalinas ao longo do eixo difiacutecil e ao longo do eixo faacutecil Para a titanomagnetita com alta concentraccedilatildeo de titacircnio ou para o ferro puro K1 gt 0 Neste caso a energia de anisotropia magnetocristalina eacute miacutenima quando a magnetizaccedilatildeo estiver ao longo do eixo lt100gt Com a magnetizaccedilatildeo ao longo deste eixo os cossenos diretores teratildeo os seguintes valores α1 = 1 e α2 = α3 = 0 Utilizando a equaccedilatildeo (22) teremos

iacute 0 (24)

A energia de anisotropia eacute maacutexima quando a magnetizaccedilatildeo estiver ao longo do eixo lt111gt Neste caso radic Utilizando a equaccedilatildeo (22) teremos

aacute (25)

A equaccedilatildeo (25) representa a energia de anisotropia magneacutetica determinada para titanomagnetitas com alta concentraccedilatildeo de titacircnio (por exemplo a TM60 encontrada nos basaltos de fundo oceacircnico) ou no ferro puro

Vimos acima que a magnetita apresenta energia magnetocristalina miacutenima quando a magnetizaccedilatildeo espontacircnea estaacute ao longo da diagonal do cubo isto eacute ao longo do eixo lt111gt O mesmo vale para titanomagnetitas com baixo teor de titacircnio Para estes minerais K1 lt 0 e K2 lt 0 (os valores para a magnetita satildeo respectivamente K1 = -136 x 104 Jm-3 e K2 = -044 x 104 Jm-3) e a energia magnetocristalina miacutenima utilizando (22) seraacute EK iacute K V K V (26)

A equaccedilatildeo (26) mostra que a energia magnetocristalina miacutenima eacute negativa A energia maacutexima ocorre quando a magnetizaccedilatildeo espontacircnea estaacute ao longo do eixo lt100gt e de acordo com a equaccedilatildeo (22) seraacute igual a

EK = 0 (27)

Os valores das constantes de anisotropia satildeo determinados atraveacutes da anaacutelise de Fourier levando em conta a dependecircncia angular do torque exercido por um campo forte (H) aplicado na amostra magnetizada ou tambeacutem atraveacutes de ressonacircncia ferromagneacutetica

Muitos minerais apresentam anisotropia uniaxial Podemos citar como exemplos (i) o Cobalto com estrutura hexagonal sendo o eixo c o de faacutecil magnetizaccedilatildeo (ii) o ferro e o niacutequel que apresentam cela unitaacuteria cuacutebica a borda do cubo representa o eixo faacutecil no caso do ferro e a diagonal do cubo representa o eixo faacutecil no caso do niacutequel (iii) e a hematita com estrutura romboeacutedrica (hexagonal Figura 22) sendo que o eixo c (perpendicular ao plano basal hexagonal) representa o eixo faacutecil Quando a magnetizaccedilatildeo espontacircnea (Ms) estaacute a um acircngulo θ do eixo c a energia de anisotropia uniaxial pode ser expressa pelo seguinte termo de primeira ordem sin (28)

No caso da hematita Ku = -10-3 Jm-3 O valor negativo da constante de anisotropia indica que EK (28) seraacute miacutenima quando θ = 90deg Assim a magnetizaccedilatildeo espontacircnea da hematita fica no plano basal perpendicular ao eixo c (Figura 22)

Figura 22 Estrutura magneacutetica hexagonal da hematita O eixo c eacute perpendicular agrave base hexagonal da rede cristalina Note que os momentos magneacuteticos estatildeo situados nos planos basais e satildeo paralelos a eles (Fonte Dunlop e Oumlzdemir 1997)

22 ANISOTROPIA MAGNETOESTRICTIVA OU MAGNETOELAacuteSTICA

Magnetoestricccedilatildeo eacute uma mudanccedila espontacircnea nas dimensotildees de um cristal ferromagneacutetico quando o mesmo eacute submetido a um campo magneacutetico Dentro da rede cristalina a energia de interaccedilatildeo entre os momentos magneacuteticos atocircmicos depende da separaccedilatildeo entre eles e de suas orientaccedilotildees isto eacute da direccedilatildeo de magnetizaccedilatildeo Um campo aplicado no material muda a orientaccedilatildeo dos momentos magneacuteticos de tal forma que a energia de interaccedilatildeo aumenta e as distacircncias entre as ligaccedilotildees se ajustam para reduzir a energia total Isto produz tensotildees que resultam em mudanccedilas na forma do material ferromagneacutetico Este fenocircmeno eacute chamado de magnetoestricccedilatildeo A magnetoestricccedilatildeo eacute positiva se o material se alonga na direccedilatildeo da magnetizaccedilatildeo e eacute negativa se ele diminui paralelo agrave magnetizaccedilatildeo

No caso da magnetita que tem estrutura cuacutebica a magnetoestricccedilatildeo seraacute positiva se o material se alongar na direccedilatildeo do eixo lt111gt e seraacute negativa se o material se alongar na direccedilatildeo lt100gt A diferenccedila maacutexima entre a tensatildeo magnetoestrictiva que ocorre entre o estado desmagnetizado e o estado de magnetizaccedilatildeo de saturaccedilatildeo eacute denominada de magnetoestricccedilatildeo de saturaccedilatildeo λs Para um conjunto de gratildeos orientados ao acaso dentro da rocha a magnetoestricccedilatildeo de saturaccedilatildeo pode ser expressa pela relaccedilatildeo

λ λ λ (29)

Onde λ e λ satildeo respectivamente a magnetoestricccedilatildeo de saturaccedilatildeo medida na direccedilatildeo lt100gt e a magnetoestricccedilatildeo de saturaccedilatildeo medida na direccedilatildeo lt111gt com a magnetizaccedilatildeo M na mesma direccedilatildeo em cada caso

Podemos ter tambeacutem um processo inverso em que uma tensatildeo eacute aplicada em uma das faces de um cristal cuacutebico por exemplo Neste caso ele diminuiraacute elasticamente ao longo da direccedilatildeo da tensatildeo e expandiraacute na direccedilatildeo perpendicular a ela Estas tensotildees alteram a separaccedilatildeo dos momentos atocircmicos e com isto os efeitos que datildeo origem a anisotropia magnetocristalina Portanto a aplicaccedilatildeo de tensotildees em um material origina mudanccedilas na sua magnetizaccedilatildeo Este efeito eacute chamado de piezomagnetismo

A densidade de energia anisotroacutepica Ea para um material magneacutetico uniaxial seraacute λ cos (210)

Onde θ eacute o acircngulo entre a magnetizaccedilatildeo de saturaccedilatildeo e a tensatildeo (σ) e λ eacute a magnetoestricccedilatildeo de saturaccedilatildeo como definida em (29)

Para a magnetita que apresenta estrutura cuacutebica as magnetoestricccedilotildees de saturaccedilatildeo ao longo dos eixos lt111gt e lt100gt satildeo respectivamente

λ111 = 726x10-6 e λ100 = -195x10-6

Com estes valores podemos determinar a magnetoestricccedilatildeo de saturaccedilatildeo para um conjunto de gratildeos de magnetita ao acaso atraveacutes da equaccedilatildeo (29) o que resulta em um valor de λs = 358x10-6 O campo coercivo (Bc = microo Hc) associado aos gratildeos de magnetita sob tensatildeo interna σ = 10 MPa pode ser determinado atraveacutes da expressatildeo B micro H λ σM middot middot 22 10 T 22 mT (211)

Este valor eacute baixo quando comparado agrave coercividade associada agrave anisotropia magnetocristalina Neste caso a constante de anisotropia K1 = -136x104 Jm-3 e a coercividade eacute dada pela expressatildeo B micro H K M middot 142 10 T 142 mT (212)

O mesmo natildeo ocorre para gratildeos de titanomagnetita com alta concentraccedilatildeo de titacircnio Por exemplo a TM60 (titanomagnetita com x=06) apresenta magnetoestricccedilotildees de saturaccedilatildeo ao longo dos eixos lt111gt e lt100gt respectivamente

λ111 = 954x10-6 e λ100 = 1425x10-6

Estes dados fornecem um valor de λs = 114x10-6 (equaccedilatildeo 29) Sendo a magnetizaccedilatildeo espontacircnea Ms associada aos gratildeos de TM60 igual a 125 kAm a sua coercividade pode ser calculada para uma tensatildeo σ = 10 MPa como sendo B micro H λ σM middot middot 274 10 T 274 mT (213)

Sabendo que a constante de anisotropia magnetocristalina (K1) associada aos gratildeos de TM60 eacute igual a 202x103 Jm3 podemos determinar a sua coercividade associada agrave anisotropia magnetocristalina B micro H K M middot 8 10 T 142 mT (214)

Os valores de coercividades calculados em (213) e (214) mostram que tensotildees internas nos cristais de TM60 tecircm uma contribuiccedilatildeo maior para a estabilidade da magnetizaccedilatildeo neste mineral do que a decorrente da anisotropia magnetocristalina

Jaacute para a hematita em decorrecircncia da presenccedila de tensotildees internas e de sua baixa magnetizaccedilatildeo espontacircnea (Ms = 25x103 Am) a coercividade eacute dominada pela anisotropia magnetoestrictiva Sabendo-se que a magnetoestricccedilatildeo de saturaccedilatildeo da hematita eacute igual a 8x10-6 a coercividade da hematita para uma tensatildeo de 100 MPa seraacute

B micro H λ σM middot middot 5455 10 T 5455 mT (215)

Para efeito de comparaccedilatildeo sabendo-se que a constante de anisotropia magnetocristalina no plano basal eacute de 10 a 100 Jm3 a coercividade maacutexima associada seraacute B micro H K M middot 20 10 T 20 mT (216)

Os valores de coercividades calculados em (215) e (216) mostram que tensotildees internas nos cristais de hematita tecircm uma contribuiccedilatildeo muito maior do que a decorrente da anisotropia magnetocristalina para a estabilidade da magnetizaccedilatildeo neste mineral

Tanto a anisotropia magnetocristalina quanto a anisotropia magnetoestritiva variam com a temperatura (Figura 23) A anisotropia magnetocristalina varia com a potecircncia de 10 da variaccedilatildeo da magnetizaccedilatildeo (217)

Figura 23 Comparaccedilatildeo entre as variaccedilotildees da magnetizaccedilatildeo espontacircnea (Ms) da constante magnetoestrictiva (λs) e da constante de anisotropia magnetocristalina (K1) com a temperatura para a magnetita (Fonte Dunlop e Oumlzdemir 1997)

23 ENERGIA MAGNETOSTAacuteTICA

Natildeo fossem outros fatores a ser considerado o acoplamento de troca faria com que os materiais ferromagneacuteticos se magnetizassem ateacute a saturaccedilatildeo ao longo dos eixos faacuteceis magnetocristalinos ou magnetoelaacutesticos dificultado somente pela agitaccedilatildeo teacutermica Tais gratildeos de domiacutenio simples (SD) de fato existem mas na maioria dos materiais eles satildeo bem pequenos frequentemente menores do que 1 microm no caso de gratildeos de magnetita

O que ocorre realmente eacute que gratildeos maiores se subdividem espontaneamente em dois ou mais domiacutenios com magnetizaccedilatildeo uniforme (Ms) em cada um deles poreacutem com direccedilotildees diferentes Isto ocorre devido a um efeito de interaccedilatildeo dipolo-dipolo de longo alcance entre momentos magneacuteticos que produz uma energia magnetostaacutetica ou desmagnetizante a qual eventualmente supera a energia magnetocristalina

231 CAMPO DESMAGNETIZANTE

2311 CAPACITOR DE PLACAS PARALELAS O ANAacuteLOGO ELETROSTAacuteTICO

Para entendermos a origem da energia desmagnetizante vamos recordar o efeito que ocorre em um dieleacutetrico colocado no interior de um capacitor com densidade de cargas plusmnσf produzida pela diferenccedila de potencial V entre as placas do capacitor (Figura 24a) Dieleacutetrico eacute um material isolante que pode ser um plaacutestico ou oacuteleo mineral A diferenccedila de potencial produziraacute um campo eleacutetrico Eo entre as placas do capacitor com sentido na direccedilatildeo da placa com cargas negativas (Figura 24a) Uma carga de prova positiva colocada no interior do capacitor se deslocaraacute no sentido do campo eleacutetrico

Figura 24 (a) Linhas de campo eleacutetrico em um capacitor de placas paralelas (b) Polarizaccedilatildeo de um dieleacutetrico entre as placas do capacitor formando cargas de ligaccedilatildeo na superfiacutecie com densidade σb (c) Campo despolarizante Ed causado pelas cargas de superfiacutecie (Fonte Dunlop e Oumlzdemir 1997)

Como os eleacutetrons estatildeo presos agrave rede cristalina do dieleacutetrico o efeito do campo eleacutetrico Eo seraacute o de deslocar as cargas positivas nos aacutetomos para a direita e as cargas negativas nos aacutetomos para a esquerda Embora este deslocamento seja pequeno ele cria momentos de dipolo na escala atocircmica todos alinhados com o campo eleacutetrico Eo Este efeito eacute conhecido como polarizaccedilatildeo eleacutetrica a qual eacute definida como momento de dipolo por unidade de volume A polarizaccedilatildeo eleacutetrica eacute representada pela letra P e tem o mesmo

sentido de Eo No total o dieleacutetrico eacute neutro mas haacute duas faixas com espessura na escala atocircmica nas superfiacutecies da esquerda e da direita do dieleacutetrico que satildeo carregadas eletricamente com cargas negativas e positivas respectivamente (Figura 24b) Elas satildeo denominadas de cargas de ligaccedilatildeo por natildeo estarem livres como eacute o caso dos eleacutetrons de conduccedilatildeo Defini-se uma densidade de cargas (σb) em cada superfiacutecie do dieleacutetrico como sendo

σ middot (218)

Onde eacute o vetor unitaacuterio normal agrave superfiacutecie (Figura 24c)

As cargas de superfiacutecie vatildeo gerar um campo eleacutetrico Ed sendo que cada linha de campo comeccedila na superfiacutecie de cargas positivas e termina na superfiacutecie de cargas negativas (Figura 24c) Como o campo eleacutetrico Ed eacute oposto agrave polarizaccedilatildeo P ele atua no sentido de reduzir a polarizaccedilatildeo produzida pelo campo eleacutetrico Eo isto eacute ele cancela parcialmente o campo Eo que criou a polarizaccedilatildeo P Neste sentido Ed eacute chamado de campo despolarizante

2312 MATERIAL FERROMAGNEacuteTICO

Vamos ver agora o que ocorre em um material ferromagneacutetico como o mostrado na Figura 25 no qual eacute aplicado um campo magneacutetico Ho e uma magnetizaccedilatildeo M estaacute associada ao material Do mesmo modo que para o dieleacutetrico no caso do material magnetizado ocorre uma polarizaccedilatildeo magneacutetica a qual gera um campo desmagnetizante Hd Entretanto por causa do forte acoplamento de troca este efeito eacute muito maior no material ferromagneacutetico Outra diferenccedila eacute que para a maioria dos dieleacutetricos um campo eleacutetrico eacute necessaacuterio para induzir a polarizaccedilatildeo P enquanto que no material ferromagneacutetico podemos ter uma magnetizaccedilatildeo sem campo magneacutetico aplicado No caso da aplicaccedilatildeo de um campo Ho a magnetizaccedilatildeo total (M) eacute composta pela magnetizaccedilatildeo induzida pelo campo Ho e a magnetizaccedilatildeo remanente (Mr) Note que macroscopicamente estas magnetizaccedilotildees podem estar associadas a gratildeos magneacuteticos diferentes se o campo Ho natildeo for muito intenso (como o campo da Terra por exemplo) Podemos escrever

M = χ Ho + Mr (219)

Onde χ eacute a suscetibilidade magneacutetica A polarizaccedilatildeo magneacutetica produziraacute cargas (poacutelos) magneacuteticas positivas e negativas nas faces direita e esquerda do material respectivamente (Figura 25) Estas cargas podem ser identificadas por uma densidade de cargas σm definida por

σ middot (220)

Onde eacute o vetor unitaacuterio normal agrave superfiacutecie (Figura 25)

Figura 25 O campo desmagnetizante Hd em um material magneticamente polarizado (Fonte Dunlop e Oumlzdemir 1997)

As cargas magneacuteticas vatildeo produzir um campo desmagnetizante Hd cujas linhas comeccedilam nas cargas positivas e terminam nas cargas negativas Note que o campo desmagnetizante eacute antiparalelo agrave magnetizaccedilatildeo M isto eacute o campo desmagnetizante age no sentido de desmagnetizar o material Em decorrecircncia deste campo um poacutelo magneacutetico positivo fictiacutecio dentro do material se deslocaraacute ao longo da direccedilatildeo do campo Hd Um dipolo magneacutetico com momento m sofreraacute uma rotaccedilatildeo ateacute ficar paralelo ao campo Hd sendo que o poacutelo positivo do dipolo fica mais perto do lado esquerdo (cargas negativas) e o poacutelo negativo do dipolo fica mais perto do lado direito do material (cargas positivas) O momento m do dipolo se orientaraacute com Hd tal como um iacutematilde Podemos associar ao dipolo um torque (τ) e uma energia potencial magneacutetica (Em)

τ (221) E middot (222)

O campo interno (Hi) total seraacute igual a N middot (223)

Onde Hd = -N M N eacute denominado de fator desmagnetizante e pode ser representado por um tensor No interior do prisma representado na Figura 25 em que as linhas do campo

Hd natildeo se espalham Hd eacute constante e exatamente antiparalelo a M Neste caso N passa a ser uma constante Sendo m o momento magneacutetico do material V o seu volume e M a sua magnetizaccedilatildeo entatildeo m = V M Assim a energia potencial magneacutetica (Em) associada pode ser expressa utilizando-se as equaccedilotildees (222) e (223) como sendo ou (224)

O primeiro termo do lado direito da equaccedilatildeo (224) eacute denominado de Energia de Zeeman ou Energia de campo magneacutetico (EH) O segundo termo eacute denominado de Energia magnetostaacutetica ou Energia desmagnetizante (Ed) O fator frac12 na determinaccedilatildeo de Ed decorre do fato que esta energia estaacute relacionada a uma interaccedilatildeo dipolo-dipolo e nesta interaccedilatildeo cada dipolo interage com o dipolo anterior e tambeacutem com o posterior Assim ele eacute contado duas vezes

2313 ESFERA UNIFORMEMENTE MAGNETIZADA

A Figura 26 mostra uma esfera de raio R e magnetizaccedilatildeo M ao longo do eixo z A densidade de cargas em sua superfiacutecie eacute middot isto eacute cos (225)

Os poacutelos magneacuteticos estatildeo concentrados nas superfiacutecies de cima e de baixo da esfera Natildeo haacute poacutelos magneacuteticos ao longo do equador da esfera onde M eacute tangencial a superfiacutecie (θ = 90deg na equaccedilatildeo 225) Para calcular o campo desmagnetizante (Hd) usamos um princiacutepio da teoria de potencial elementar Quando calculamos o campo gravitacional externo a uma esfera de densidade uniforme admitimos que toda a sua massa estaacute concentrada em seu centro Do mesmo modo podemos supor que o campo magneacutetico externo (He) a uma esfera uniformemente polarizada eacute o mesmo de um dipolo situado no centro da esfera e com momento de dipolo m = V M Admitindo que o campo magneacutetico apresente continuidade atraveacutes de qualquer ponto da superfiacutecie da esfera podemos igualar o campo Hd e He na sua superfiacutecie (Figura 26)

Figura 26 Campo externo e campo interno (linhas tracejadas) de uma esfera com magnetizaccedilatildeo uniforme M ao longo do eixo z Cargas ou poacutelos magneacuteticos de superfiacutecie satildeo indicados por + e - (Fonte Dunlop e Oumlzdemir 1997)

O campo (H) de um dipolo com seu eixo ao longo do eixo z eacute representado pela expressatildeo

micro π 2 cos θ sin θ (226)

e satildeo os vetores unitaacuterios radial e tangencial respectivamente

No equador da esfera

Hd = - N M (227)

e o campo externo para r = R seraacute

4 2 cos 90deg sin 90deg 43 4

(228)

O sinal negativo vem do fato de He estar orientado no sentido contraacuterio ao eixo z Igualando (227) e (228) teremos

(229)

O valor de N = 13 foi calculado para o sistema SI No cgs

No poacutelo da esfera ao longo do eixo z r = R e θ = 0 O campo magneacutetico interno (Bi) pode ser expresso por 1 (230)

O campo externo Be pode ser determinado pela equaccedilatildeo (226)

4 2 cos 0deg sin 0deg 2 43 4

(231)

Igualando as equaccedilotildees (230) e (231) teremos 1 (232)

Pode-se mostrar que em qualquer ponto da superfiacutecie e do

interior de uma esfera de domiacutenio simples Logo (SI) em qualquer ponto

No cgs basta multiplicar 13 pelo fator 4π

2314 ESFEROacuteIDE UNIFORMEMENTE MAGNETIZADO E ANISOTROPIA DE FORMA

A Figura 27 ilustra os poacutelos de superfiacutecie e os campos desmagnetizantes para esferoacuteides prolatos (elipsoacuteide de revoluccedilatildeo) uniformemente magnetizados Em (a) o esferoacuteide eacute magnetizado ao longo do semi-eixo maior a Os poacutelos de superfiacutecie estatildeo mais afastados quando comparados aos da esfera de volume correspondente Por analogia com a eletrostaacutetica campos decrescem com a distacircncia isto eacute com 1r2 portanto o campo Hd que surge destes poacutelos eacute menor do que no caso da esfera Assim Na lt 13 Por outro lado em (b) onde o esferoacuteide eacute magnetizado paralelo ao semi-eixo menor b os poacutelos de superfiacutecie estatildeo mais proacuteximos e neste caso Nb gt 13 O campo Hd tambeacutem eacute maior quando comparado com o da esfera

Figura 27 Poacutelos de superfiacutecie e campo desmagnetizante interno Hd para um esferoacuteide prolato com magnetizaccedilatildeo uniforme M (a) ao longo do eixo maior (b) ao longo do eixo menor (c) obliquo ao eixo maior Hd eacute uniforme em todos os casos mas em (c) ele natildeo eacute antiparalelo a M (Fonte Dunlop e Oumlzdemir 1997)

Na Figura 27c M estaacute a um acircngulo θ em relaccedilatildeo ao eixo z ( Hd eacute ainda uniforme entretanto natildeo eacute mais antiparalelo a M Podemos escrever M sin θ M cos θ (233)

Do mesmo modo podemos escrever o campo Hd como N M sin θ N M cos θ (234)

Podemos calcular a energia desmagnetizante (Ed) E micro V middot (235)

Deste modo micro V M sin θ M cos θ middot N M sin θ N M cos θ micro V M N sin θ N cos θ micro V M N N N sin θ (236)

Para um elipsoacuteide com fatores desmagnetizantes Nx Ny e Nz eacute vaacutelida a seguinte relaccedilatildeo 1 (237)

A equaccedilatildeo (236) mostra que a energia desmagnetizante eacute anisotroacutepica natildeo com relaccedilatildeo aos eixos cristalograacuteficos mas com relaccedilatildeo agrave forma externa do cristal a qual determina a separaccedilatildeo dos poacutelos de superfiacutecie para diferentes orientaccedilotildees de M A

anisotropia eacute uniaxial para um esferoacuteide prolato com o eixo faacutecil de magnetizaccedilatildeo sendo paralelo ao eixo maior isto eacute para θ = 0deg ou θ = 180deg Este efeito eacute chamado de anisotropia de forma Ela normalmente mascara as anisotropias magnetocristalina e magnetoelaacutestica nos gratildeos de domiacutenio simples de minerais fortemente magneacuteticos como eacute o caso da magnetita maghemita e ferro puro Para a magnetita se Na difere de Nb em 10 jaacute haacute um predomiacutenio da anisotropia de forma Os esferoacuteides oblatos tambeacutem apresentam anisotropia de forma Entretanto neste caso a magnetizaccedilatildeo M pode girar livremente no plano do eixo maior Uma esfera natildeo apresenta anisotropia de forma pois N = 13 para qualquer direccedilatildeo de M

A Figura 28 mostra a variaccedilatildeo de Na para esferoacuteides prolatos e a variaccedilatildeo de Nb para esferoacuteides oblatos em funccedilatildeo da razatildeo ba Para um esferoacuteide prolato teremos N 2 N 1 (238)

Quando ba tende a zero isto eacute o gratildeo tem a forma de agulha 0 e (238) fica 2 1 (239)

Gratildeos de magnetita SD na forma de agulha em minerais silicaacuteticos ou em titanomagnetitas oxidadas em altas temperaturas subdivididas por lamelas de ilmenita apresentam anisotropias de forma muito acentuadas e alta estabilidade magneacutetica Podemos determinar a coercividade para o caso de Na = 0 que eacute representada pelo campo magneacutetico necessaacuterio para inverter a magnetizaccedilatildeo M ao longo do eixo maior para a direccedilatildeo oposta (a 180deg)

H H 90deg H 0deg N N M 12 480 10 240 kAm 3000 Oe

(240)

Para gratildeos oblatos em forma de disco podemos escrever 2 N N 1 (241)

Figura 28 Variaccedilotildees de Nb (para um esferoacuteide oblato) e de Na (para um esferoacuteide prolato) em funccedilatildeo de ba (ba = 1 para a esfera neste caso Na = Nb = 13) (Fonte Diunlop e Oumlzdemir 1997)

Considerando o caso limite do gratildeo oblato que poderia ser representado por uma placa infinita de pequena espessura 0 e (241) fica sendo N 1 (242)

Neste caso a magnetizaccedilatildeo M fica paralela ao plano da placa embora natildeo tenha preferecircncia direcional Tambeacutem o campo desmagnetizante (Hd) ao longo do eixo b eacute ainda maior quando comparada ao do gratildeo prolato Outro fato se refere ao campo magneacutetico interno (Bi) B micro H M B micro ndash N M M (243)

Como N = Nb = 1 teremos Bi = 0 isto eacute o campo se anula dentro da placa Deste modo o campo externo (He) ao gratildeo tambeacutem eacute zero

Na natureza os gratildeos magneacuteticos natildeo apresentam em geral formas esferoidais perfeitas Entretanto mesmo para os cristais reais M Hd e N tendem a ser uniformes no seu interior Somente nas bordas as direccedilotildees e magnitudes de Hd variam muito Todavia estas variaccedilotildees tendem na meacutedia a se anular quando o cristal eacute visto como um todo

Tanto gratildeos microscoacutepicos quanto corpos macroscoacutepicos apresentam anisotropia de forma No caso do paleomagnetismo para evitar deflexatildeo do vetor magnetizaccedilatildeo remanente por campos desmagnetizantes internos ou mesmo nas medidas de anisotropia de suscetibilidade magneacutetica (ASM) precisamos eliminar as possiacuteveis anisotropias de forma da amostra fazendo com que ela se aproxime ao maacuteximo de uma esfera Para uma amostra ciliacutendrica (usada normalmente para as medidas paleomagneacuteticas) em que R representa o raio da base do cilindro e L a sua altura temos a seguinte relaccedilatildeo

09 (244)

Assim para uma amostra ciliacutendrica de uma polegada de diacircmetro a melhor altura L seraacute igual 2 09 229 (245)

Texto escrito por Manoel Souza DrsquoAgrella Filho

Fonte bibliograacutefica

1 David J Dunlop Oumlzden Oumlzdemir ndash Rock Magnetism Fundamentals and Frontiers

Cambridge University Press 1997

2 William Lowrie ndash Fundamentals of Geophysics Cambridge University Press 1997

3 R B Butler Paleomagnetism Magnetic Domains to Geologic Terranes 1992

httpgeographylancsacukcempresourcesButler_bookcontentshtm

4 Lisa Tauxe Lectures in Paleomagnetism 2005

httpearthreforgMAGICbooksTauxe2005

APEcircNDICE A

COSSENOS DIRETORES

Um vetor F pode ser representado pelos cossenos dos acircngulos que ele faz com os trecircs eixos cartesianos X Y e Z descritos por θx θy e θz respectivamente (Figura 29) Estes acircngulos satildeo conhecidos como acircngulos diretores do vetor F e seus respectivos cossenos satildeo denominados de cossenos diretores

Figura 29 Representaccedilatildeo cartesiana de um vetor F mostrando os acircngulos diretores em relaccedilatildeo aos eixos X Y e Z respectivamente

Assim as componentes do vetor F podem ser descritas como cos cos cos

Os cossenos diretores podem ser calculados pelas seguintes expressotildees cos (246)

cos (247)

cos (248)

De modo que 1 (249)

Se o vetor F estiver por exemplo ao longo do eixo X entatildeo cos 1 cos cos 0 (250)

Isto eacute o que ocorre se a magnetizaccedilatildeo M na estrutura cuacutebica da magnetita estiver ao longo do eixo cristalograacutefico lt100gt isto eacute ao longo do eixo difiacutecil (Figura 210) Note entretanto que se a magnetizaccedilatildeo M estiver ao longo da diagonal do cubo (eixo cristalograacutefico lt111gt) isto eacute ao longo do eixo faacutecil teremos cos cos cos radic (251)

Figura 210 Representaccedilatildeo esquemaacutetica da estrutura cuacutebica da magnetita (aresta = a diagonal da face = b) A magnetizaccedilatildeo M estaacute na diagonal do cubo ao longo do eixo cristalograacutefico lt111gt

Podemos deduzir (251) facilmente Se a eacute o lado do cubo entatildeo a diagonal da face (b) seraacute radic2 (252)

Da Figura 210 podemos escrever a magnitude da magnetizaccedilatildeo M como (253)

Usando (252) a equaccedilatildeo (253) fica 2 3 radic3 (254)

Para M ao longo da diagonal do cubo cos cos cos e cos radic radic (255)

Logo cos cos cos radic

cqd

Onde d micro d d

O primeiro termo da segunda parte da igualdade na equaccedilatildeo (21) existe em todo o espaccedilo enquanto o segundo termo eacute especiacutefico do material Este termo corresponde agrave aacuterea entre a curva de magnetizaccedilatildeo e o eixo das ordenadas (momento magneacutetico) na Figura 21 (aacuterea hachurada) Note que esta energia eacute claramente maior para a magnetizaccedilatildeo ao longo do eixo difiacutecil (lt100gt) quando comparada com a energia associada a magnetizaccedilatildeo ao longo do eixo faacutecil (lt111gt) A diferenccedila entre as duas energias (aacuterea entre as curvas) eacute uma medida da anisotropia magnetocristalina (EK)

Figura 21 Curvas de magnetizaccedilatildeo para a magnetita ao longo dos eixos faacutecil (lt111gt) e difiacutecil (lt100gt) A aacuterea entre as duas curvas eacute a diferenccedila em energia potencial magneacutetica entre as magnetizaccedilotildees ao longo dos eixos faacutecil e difiacutecil e corresponde agrave energia de anisotropia magnetocristalina (Fonte Dunlop e Oumlzdemir 1997)

A energia de anisotropia magnetocristalina (EK) eacute normalmente muito menor do que o seu valor maacuteximo pois a magnetizaccedilatildeo espontacircnea estaacute orientada ao longo de um eixo faacutecil Em um cristal cuacutebico EK pode ser representado pela equaccedilatildeo

(22)

Onde K1 e K2 satildeo as constantes de anisotropia V eacute o volume e αis satildeo os cossenos diretores de Ms com respeito ao eixo lt100gt (vide definiccedilatildeo de acircngulos e cossenos diretores no apecircndice A) A equaccedilatildeo (22) se aplica em qualquer regiatildeo de uma magnetizaccedilatildeo uniforme M Na definiccedilatildeo de cossenos diretores (vide apecircncice A) vale a seguinte relaccedilatildeo 1 (23)

Podemos determinar a energia de anisotropia magnetocristalina calculando a diferenccedila entre as energias magnetocristalinas ao longo do eixo difiacutecil e ao longo do eixo faacutecil Para a titanomagnetita com alta concentraccedilatildeo de titacircnio ou para o ferro puro K1 gt 0 Neste caso a energia de anisotropia magnetocristalina eacute miacutenima quando a magnetizaccedilatildeo estiver ao longo do eixo lt100gt Com a magnetizaccedilatildeo ao longo deste eixo os cossenos diretores teratildeo os seguintes valores α1 = 1 e α2 = α3 = 0 Utilizando a equaccedilatildeo (22) teremos

iacute 0 (24)

A energia de anisotropia eacute maacutexima quando a magnetizaccedilatildeo estiver ao longo do eixo lt111gt Neste caso radic Utilizando a equaccedilatildeo (22) teremos

aacute (25)

A equaccedilatildeo (25) representa a energia de anisotropia magneacutetica determinada para titanomagnetitas com alta concentraccedilatildeo de titacircnio (por exemplo a TM60 encontrada nos basaltos de fundo oceacircnico) ou no ferro puro

Vimos acima que a magnetita apresenta energia magnetocristalina miacutenima quando a magnetizaccedilatildeo espontacircnea estaacute ao longo da diagonal do cubo isto eacute ao longo do eixo lt111gt O mesmo vale para titanomagnetitas com baixo teor de titacircnio Para estes minerais K1 lt 0 e K2 lt 0 (os valores para a magnetita satildeo respectivamente K1 = -136 x 104 Jm-3 e K2 = -044 x 104 Jm-3) e a energia magnetocristalina miacutenima utilizando (22) seraacute EK iacute K V K V (26)

A equaccedilatildeo (26) mostra que a energia magnetocristalina miacutenima eacute negativa A energia maacutexima ocorre quando a magnetizaccedilatildeo espontacircnea estaacute ao longo do eixo lt100gt e de acordo com a equaccedilatildeo (22) seraacute igual a

EK = 0 (27)

Os valores das constantes de anisotropia satildeo determinados atraveacutes da anaacutelise de Fourier levando em conta a dependecircncia angular do torque exercido por um campo forte (H) aplicado na amostra magnetizada ou tambeacutem atraveacutes de ressonacircncia ferromagneacutetica

Muitos minerais apresentam anisotropia uniaxial Podemos citar como exemplos (i) o Cobalto com estrutura hexagonal sendo o eixo c o de faacutecil magnetizaccedilatildeo (ii) o ferro e o niacutequel que apresentam cela unitaacuteria cuacutebica a borda do cubo representa o eixo faacutecil no caso do ferro e a diagonal do cubo representa o eixo faacutecil no caso do niacutequel (iii) e a hematita com estrutura romboeacutedrica (hexagonal Figura 22) sendo que o eixo c (perpendicular ao plano basal hexagonal) representa o eixo faacutecil Quando a magnetizaccedilatildeo espontacircnea (Ms) estaacute a um acircngulo θ do eixo c a energia de anisotropia uniaxial pode ser expressa pelo seguinte termo de primeira ordem sin (28)

No caso da hematita Ku = -10-3 Jm-3 O valor negativo da constante de anisotropia indica que EK (28) seraacute miacutenima quando θ = 90deg Assim a magnetizaccedilatildeo espontacircnea da hematita fica no plano basal perpendicular ao eixo c (Figura 22)

Figura 22 Estrutura magneacutetica hexagonal da hematita O eixo c eacute perpendicular agrave base hexagonal da rede cristalina Note que os momentos magneacuteticos estatildeo situados nos planos basais e satildeo paralelos a eles (Fonte Dunlop e Oumlzdemir 1997)

22 ANISOTROPIA MAGNETOESTRICTIVA OU MAGNETOELAacuteSTICA

Magnetoestricccedilatildeo eacute uma mudanccedila espontacircnea nas dimensotildees de um cristal ferromagneacutetico quando o mesmo eacute submetido a um campo magneacutetico Dentro da rede cristalina a energia de interaccedilatildeo entre os momentos magneacuteticos atocircmicos depende da separaccedilatildeo entre eles e de suas orientaccedilotildees isto eacute da direccedilatildeo de magnetizaccedilatildeo Um campo aplicado no material muda a orientaccedilatildeo dos momentos magneacuteticos de tal forma que a energia de interaccedilatildeo aumenta e as distacircncias entre as ligaccedilotildees se ajustam para reduzir a energia total Isto produz tensotildees que resultam em mudanccedilas na forma do material ferromagneacutetico Este fenocircmeno eacute chamado de magnetoestricccedilatildeo A magnetoestricccedilatildeo eacute positiva se o material se alonga na direccedilatildeo da magnetizaccedilatildeo e eacute negativa se ele diminui paralelo agrave magnetizaccedilatildeo

No caso da magnetita que tem estrutura cuacutebica a magnetoestricccedilatildeo seraacute positiva se o material se alongar na direccedilatildeo do eixo lt111gt e seraacute negativa se o material se alongar na direccedilatildeo lt100gt A diferenccedila maacutexima entre a tensatildeo magnetoestrictiva que ocorre entre o estado desmagnetizado e o estado de magnetizaccedilatildeo de saturaccedilatildeo eacute denominada de magnetoestricccedilatildeo de saturaccedilatildeo λs Para um conjunto de gratildeos orientados ao acaso dentro da rocha a magnetoestricccedilatildeo de saturaccedilatildeo pode ser expressa pela relaccedilatildeo

λ λ λ (29)

Onde λ e λ satildeo respectivamente a magnetoestricccedilatildeo de saturaccedilatildeo medida na direccedilatildeo lt100gt e a magnetoestricccedilatildeo de saturaccedilatildeo medida na direccedilatildeo lt111gt com a magnetizaccedilatildeo M na mesma direccedilatildeo em cada caso

Podemos ter tambeacutem um processo inverso em que uma tensatildeo eacute aplicada em uma das faces de um cristal cuacutebico por exemplo Neste caso ele diminuiraacute elasticamente ao longo da direccedilatildeo da tensatildeo e expandiraacute na direccedilatildeo perpendicular a ela Estas tensotildees alteram a separaccedilatildeo dos momentos atocircmicos e com isto os efeitos que datildeo origem a anisotropia magnetocristalina Portanto a aplicaccedilatildeo de tensotildees em um material origina mudanccedilas na sua magnetizaccedilatildeo Este efeito eacute chamado de piezomagnetismo

A densidade de energia anisotroacutepica Ea para um material magneacutetico uniaxial seraacute λ cos (210)

Onde θ eacute o acircngulo entre a magnetizaccedilatildeo de saturaccedilatildeo e a tensatildeo (σ) e λ eacute a magnetoestricccedilatildeo de saturaccedilatildeo como definida em (29)

Para a magnetita que apresenta estrutura cuacutebica as magnetoestricccedilotildees de saturaccedilatildeo ao longo dos eixos lt111gt e lt100gt satildeo respectivamente

λ111 = 726x10-6 e λ100 = -195x10-6

Com estes valores podemos determinar a magnetoestricccedilatildeo de saturaccedilatildeo para um conjunto de gratildeos de magnetita ao acaso atraveacutes da equaccedilatildeo (29) o que resulta em um valor de λs = 358x10-6 O campo coercivo (Bc = microo Hc) associado aos gratildeos de magnetita sob tensatildeo interna σ = 10 MPa pode ser determinado atraveacutes da expressatildeo B micro H λ σM middot middot 22 10 T 22 mT (211)

Este valor eacute baixo quando comparado agrave coercividade associada agrave anisotropia magnetocristalina Neste caso a constante de anisotropia K1 = -136x104 Jm-3 e a coercividade eacute dada pela expressatildeo B micro H K M middot 142 10 T 142 mT (212)

O mesmo natildeo ocorre para gratildeos de titanomagnetita com alta concentraccedilatildeo de titacircnio Por exemplo a TM60 (titanomagnetita com x=06) apresenta magnetoestricccedilotildees de saturaccedilatildeo ao longo dos eixos lt111gt e lt100gt respectivamente

λ111 = 954x10-6 e λ100 = 1425x10-6

Estes dados fornecem um valor de λs = 114x10-6 (equaccedilatildeo 29) Sendo a magnetizaccedilatildeo espontacircnea Ms associada aos gratildeos de TM60 igual a 125 kAm a sua coercividade pode ser calculada para uma tensatildeo σ = 10 MPa como sendo B micro H λ σM middot middot 274 10 T 274 mT (213)

Sabendo que a constante de anisotropia magnetocristalina (K1) associada aos gratildeos de TM60 eacute igual a 202x103 Jm3 podemos determinar a sua coercividade associada agrave anisotropia magnetocristalina B micro H K M middot 8 10 T 142 mT (214)

Os valores de coercividades calculados em (213) e (214) mostram que tensotildees internas nos cristais de TM60 tecircm uma contribuiccedilatildeo maior para a estabilidade da magnetizaccedilatildeo neste mineral do que a decorrente da anisotropia magnetocristalina

Jaacute para a hematita em decorrecircncia da presenccedila de tensotildees internas e de sua baixa magnetizaccedilatildeo espontacircnea (Ms = 25x103 Am) a coercividade eacute dominada pela anisotropia magnetoestrictiva Sabendo-se que a magnetoestricccedilatildeo de saturaccedilatildeo da hematita eacute igual a 8x10-6 a coercividade da hematita para uma tensatildeo de 100 MPa seraacute

B micro H λ σM middot middot 5455 10 T 5455 mT (215)

Para efeito de comparaccedilatildeo sabendo-se que a constante de anisotropia magnetocristalina no plano basal eacute de 10 a 100 Jm3 a coercividade maacutexima associada seraacute B micro H K M middot 20 10 T 20 mT (216)

Os valores de coercividades calculados em (215) e (216) mostram que tensotildees internas nos cristais de hematita tecircm uma contribuiccedilatildeo muito maior do que a decorrente da anisotropia magnetocristalina para a estabilidade da magnetizaccedilatildeo neste mineral

Tanto a anisotropia magnetocristalina quanto a anisotropia magnetoestritiva variam com a temperatura (Figura 23) A anisotropia magnetocristalina varia com a potecircncia de 10 da variaccedilatildeo da magnetizaccedilatildeo (217)

Figura 23 Comparaccedilatildeo entre as variaccedilotildees da magnetizaccedilatildeo espontacircnea (Ms) da constante magnetoestrictiva (λs) e da constante de anisotropia magnetocristalina (K1) com a temperatura para a magnetita (Fonte Dunlop e Oumlzdemir 1997)

23 ENERGIA MAGNETOSTAacuteTICA

Natildeo fossem outros fatores a ser considerado o acoplamento de troca faria com que os materiais ferromagneacuteticos se magnetizassem ateacute a saturaccedilatildeo ao longo dos eixos faacuteceis magnetocristalinos ou magnetoelaacutesticos dificultado somente pela agitaccedilatildeo teacutermica Tais gratildeos de domiacutenio simples (SD) de fato existem mas na maioria dos materiais eles satildeo bem pequenos frequentemente menores do que 1 microm no caso de gratildeos de magnetita

O que ocorre realmente eacute que gratildeos maiores se subdividem espontaneamente em dois ou mais domiacutenios com magnetizaccedilatildeo uniforme (Ms) em cada um deles poreacutem com direccedilotildees diferentes Isto ocorre devido a um efeito de interaccedilatildeo dipolo-dipolo de longo alcance entre momentos magneacuteticos que produz uma energia magnetostaacutetica ou desmagnetizante a qual eventualmente supera a energia magnetocristalina

231 CAMPO DESMAGNETIZANTE

2311 CAPACITOR DE PLACAS PARALELAS O ANAacuteLOGO ELETROSTAacuteTICO

Para entendermos a origem da energia desmagnetizante vamos recordar o efeito que ocorre em um dieleacutetrico colocado no interior de um capacitor com densidade de cargas plusmnσf produzida pela diferenccedila de potencial V entre as placas do capacitor (Figura 24a) Dieleacutetrico eacute um material isolante que pode ser um plaacutestico ou oacuteleo mineral A diferenccedila de potencial produziraacute um campo eleacutetrico Eo entre as placas do capacitor com sentido na direccedilatildeo da placa com cargas negativas (Figura 24a) Uma carga de prova positiva colocada no interior do capacitor se deslocaraacute no sentido do campo eleacutetrico

Figura 24 (a) Linhas de campo eleacutetrico em um capacitor de placas paralelas (b) Polarizaccedilatildeo de um dieleacutetrico entre as placas do capacitor formando cargas de ligaccedilatildeo na superfiacutecie com densidade σb (c) Campo despolarizante Ed causado pelas cargas de superfiacutecie (Fonte Dunlop e Oumlzdemir 1997)

Como os eleacutetrons estatildeo presos agrave rede cristalina do dieleacutetrico o efeito do campo eleacutetrico Eo seraacute o de deslocar as cargas positivas nos aacutetomos para a direita e as cargas negativas nos aacutetomos para a esquerda Embora este deslocamento seja pequeno ele cria momentos de dipolo na escala atocircmica todos alinhados com o campo eleacutetrico Eo Este efeito eacute conhecido como polarizaccedilatildeo eleacutetrica a qual eacute definida como momento de dipolo por unidade de volume A polarizaccedilatildeo eleacutetrica eacute representada pela letra P e tem o mesmo

sentido de Eo No total o dieleacutetrico eacute neutro mas haacute duas faixas com espessura na escala atocircmica nas superfiacutecies da esquerda e da direita do dieleacutetrico que satildeo carregadas eletricamente com cargas negativas e positivas respectivamente (Figura 24b) Elas satildeo denominadas de cargas de ligaccedilatildeo por natildeo estarem livres como eacute o caso dos eleacutetrons de conduccedilatildeo Defini-se uma densidade de cargas (σb) em cada superfiacutecie do dieleacutetrico como sendo

σ middot (218)

Onde eacute o vetor unitaacuterio normal agrave superfiacutecie (Figura 24c)

As cargas de superfiacutecie vatildeo gerar um campo eleacutetrico Ed sendo que cada linha de campo comeccedila na superfiacutecie de cargas positivas e termina na superfiacutecie de cargas negativas (Figura 24c) Como o campo eleacutetrico Ed eacute oposto agrave polarizaccedilatildeo P ele atua no sentido de reduzir a polarizaccedilatildeo produzida pelo campo eleacutetrico Eo isto eacute ele cancela parcialmente o campo Eo que criou a polarizaccedilatildeo P Neste sentido Ed eacute chamado de campo despolarizante

2312 MATERIAL FERROMAGNEacuteTICO

Vamos ver agora o que ocorre em um material ferromagneacutetico como o mostrado na Figura 25 no qual eacute aplicado um campo magneacutetico Ho e uma magnetizaccedilatildeo M estaacute associada ao material Do mesmo modo que para o dieleacutetrico no caso do material magnetizado ocorre uma polarizaccedilatildeo magneacutetica a qual gera um campo desmagnetizante Hd Entretanto por causa do forte acoplamento de troca este efeito eacute muito maior no material ferromagneacutetico Outra diferenccedila eacute que para a maioria dos dieleacutetricos um campo eleacutetrico eacute necessaacuterio para induzir a polarizaccedilatildeo P enquanto que no material ferromagneacutetico podemos ter uma magnetizaccedilatildeo sem campo magneacutetico aplicado No caso da aplicaccedilatildeo de um campo Ho a magnetizaccedilatildeo total (M) eacute composta pela magnetizaccedilatildeo induzida pelo campo Ho e a magnetizaccedilatildeo remanente (Mr) Note que macroscopicamente estas magnetizaccedilotildees podem estar associadas a gratildeos magneacuteticos diferentes se o campo Ho natildeo for muito intenso (como o campo da Terra por exemplo) Podemos escrever

M = χ Ho + Mr (219)

Onde χ eacute a suscetibilidade magneacutetica A polarizaccedilatildeo magneacutetica produziraacute cargas (poacutelos) magneacuteticas positivas e negativas nas faces direita e esquerda do material respectivamente (Figura 25) Estas cargas podem ser identificadas por uma densidade de cargas σm definida por

σ middot (220)

Onde eacute o vetor unitaacuterio normal agrave superfiacutecie (Figura 25)

Figura 25 O campo desmagnetizante Hd em um material magneticamente polarizado (Fonte Dunlop e Oumlzdemir 1997)

As cargas magneacuteticas vatildeo produzir um campo desmagnetizante Hd cujas linhas comeccedilam nas cargas positivas e terminam nas cargas negativas Note que o campo desmagnetizante eacute antiparalelo agrave magnetizaccedilatildeo M isto eacute o campo desmagnetizante age no sentido de desmagnetizar o material Em decorrecircncia deste campo um poacutelo magneacutetico positivo fictiacutecio dentro do material se deslocaraacute ao longo da direccedilatildeo do campo Hd Um dipolo magneacutetico com momento m sofreraacute uma rotaccedilatildeo ateacute ficar paralelo ao campo Hd sendo que o poacutelo positivo do dipolo fica mais perto do lado esquerdo (cargas negativas) e o poacutelo negativo do dipolo fica mais perto do lado direito do material (cargas positivas) O momento m do dipolo se orientaraacute com Hd tal como um iacutematilde Podemos associar ao dipolo um torque (τ) e uma energia potencial magneacutetica (Em)

τ (221) E middot (222)

O campo interno (Hi) total seraacute igual a N middot (223)

Onde Hd = -N M N eacute denominado de fator desmagnetizante e pode ser representado por um tensor No interior do prisma representado na Figura 25 em que as linhas do campo

Hd natildeo se espalham Hd eacute constante e exatamente antiparalelo a M Neste caso N passa a ser uma constante Sendo m o momento magneacutetico do material V o seu volume e M a sua magnetizaccedilatildeo entatildeo m = V M Assim a energia potencial magneacutetica (Em) associada pode ser expressa utilizando-se as equaccedilotildees (222) e (223) como sendo ou (224)

O primeiro termo do lado direito da equaccedilatildeo (224) eacute denominado de Energia de Zeeman ou Energia de campo magneacutetico (EH) O segundo termo eacute denominado de Energia magnetostaacutetica ou Energia desmagnetizante (Ed) O fator frac12 na determinaccedilatildeo de Ed decorre do fato que esta energia estaacute relacionada a uma interaccedilatildeo dipolo-dipolo e nesta interaccedilatildeo cada dipolo interage com o dipolo anterior e tambeacutem com o posterior Assim ele eacute contado duas vezes

2313 ESFERA UNIFORMEMENTE MAGNETIZADA

A Figura 26 mostra uma esfera de raio R e magnetizaccedilatildeo M ao longo do eixo z A densidade de cargas em sua superfiacutecie eacute middot isto eacute cos (225)

Os poacutelos magneacuteticos estatildeo concentrados nas superfiacutecies de cima e de baixo da esfera Natildeo haacute poacutelos magneacuteticos ao longo do equador da esfera onde M eacute tangencial a superfiacutecie (θ = 90deg na equaccedilatildeo 225) Para calcular o campo desmagnetizante (Hd) usamos um princiacutepio da teoria de potencial elementar Quando calculamos o campo gravitacional externo a uma esfera de densidade uniforme admitimos que toda a sua massa estaacute concentrada em seu centro Do mesmo modo podemos supor que o campo magneacutetico externo (He) a uma esfera uniformemente polarizada eacute o mesmo de um dipolo situado no centro da esfera e com momento de dipolo m = V M Admitindo que o campo magneacutetico apresente continuidade atraveacutes de qualquer ponto da superfiacutecie da esfera podemos igualar o campo Hd e He na sua superfiacutecie (Figura 26)

Figura 26 Campo externo e campo interno (linhas tracejadas) de uma esfera com magnetizaccedilatildeo uniforme M ao longo do eixo z Cargas ou poacutelos magneacuteticos de superfiacutecie satildeo indicados por + e - (Fonte Dunlop e Oumlzdemir 1997)

O campo (H) de um dipolo com seu eixo ao longo do eixo z eacute representado pela expressatildeo

micro π 2 cos θ sin θ (226)

e satildeo os vetores unitaacuterios radial e tangencial respectivamente

No equador da esfera

Hd = - N M (227)

e o campo externo para r = R seraacute

4 2 cos 90deg sin 90deg 43 4

(228)

O sinal negativo vem do fato de He estar orientado no sentido contraacuterio ao eixo z Igualando (227) e (228) teremos

(229)

O valor de N = 13 foi calculado para o sistema SI No cgs

No poacutelo da esfera ao longo do eixo z r = R e θ = 0 O campo magneacutetico interno (Bi) pode ser expresso por 1 (230)

O campo externo Be pode ser determinado pela equaccedilatildeo (226)

4 2 cos 0deg sin 0deg 2 43 4

(231)

Igualando as equaccedilotildees (230) e (231) teremos 1 (232)

Pode-se mostrar que em qualquer ponto da superfiacutecie e do

interior de uma esfera de domiacutenio simples Logo (SI) em qualquer ponto

No cgs basta multiplicar 13 pelo fator 4π

2314 ESFEROacuteIDE UNIFORMEMENTE MAGNETIZADO E ANISOTROPIA DE FORMA

A Figura 27 ilustra os poacutelos de superfiacutecie e os campos desmagnetizantes para esferoacuteides prolatos (elipsoacuteide de revoluccedilatildeo) uniformemente magnetizados Em (a) o esferoacuteide eacute magnetizado ao longo do semi-eixo maior a Os poacutelos de superfiacutecie estatildeo mais afastados quando comparados aos da esfera de volume correspondente Por analogia com a eletrostaacutetica campos decrescem com a distacircncia isto eacute com 1r2 portanto o campo Hd que surge destes poacutelos eacute menor do que no caso da esfera Assim Na lt 13 Por outro lado em (b) onde o esferoacuteide eacute magnetizado paralelo ao semi-eixo menor b os poacutelos de superfiacutecie estatildeo mais proacuteximos e neste caso Nb gt 13 O campo Hd tambeacutem eacute maior quando comparado com o da esfera

Figura 27 Poacutelos de superfiacutecie e campo desmagnetizante interno Hd para um esferoacuteide prolato com magnetizaccedilatildeo uniforme M (a) ao longo do eixo maior (b) ao longo do eixo menor (c) obliquo ao eixo maior Hd eacute uniforme em todos os casos mas em (c) ele natildeo eacute antiparalelo a M (Fonte Dunlop e Oumlzdemir 1997)

Na Figura 27c M estaacute a um acircngulo θ em relaccedilatildeo ao eixo z ( Hd eacute ainda uniforme entretanto natildeo eacute mais antiparalelo a M Podemos escrever M sin θ M cos θ (233)

Do mesmo modo podemos escrever o campo Hd como N M sin θ N M cos θ (234)

Podemos calcular a energia desmagnetizante (Ed) E micro V middot (235)

Deste modo micro V M sin θ M cos θ middot N M sin θ N M cos θ micro V M N sin θ N cos θ micro V M N N N sin θ (236)

Para um elipsoacuteide com fatores desmagnetizantes Nx Ny e Nz eacute vaacutelida a seguinte relaccedilatildeo 1 (237)

A equaccedilatildeo (236) mostra que a energia desmagnetizante eacute anisotroacutepica natildeo com relaccedilatildeo aos eixos cristalograacuteficos mas com relaccedilatildeo agrave forma externa do cristal a qual determina a separaccedilatildeo dos poacutelos de superfiacutecie para diferentes orientaccedilotildees de M A

anisotropia eacute uniaxial para um esferoacuteide prolato com o eixo faacutecil de magnetizaccedilatildeo sendo paralelo ao eixo maior isto eacute para θ = 0deg ou θ = 180deg Este efeito eacute chamado de anisotropia de forma Ela normalmente mascara as anisotropias magnetocristalina e magnetoelaacutestica nos gratildeos de domiacutenio simples de minerais fortemente magneacuteticos como eacute o caso da magnetita maghemita e ferro puro Para a magnetita se Na difere de Nb em 10 jaacute haacute um predomiacutenio da anisotropia de forma Os esferoacuteides oblatos tambeacutem apresentam anisotropia de forma Entretanto neste caso a magnetizaccedilatildeo M pode girar livremente no plano do eixo maior Uma esfera natildeo apresenta anisotropia de forma pois N = 13 para qualquer direccedilatildeo de M

A Figura 28 mostra a variaccedilatildeo de Na para esferoacuteides prolatos e a variaccedilatildeo de Nb para esferoacuteides oblatos em funccedilatildeo da razatildeo ba Para um esferoacuteide prolato teremos N 2 N 1 (238)

Quando ba tende a zero isto eacute o gratildeo tem a forma de agulha 0 e (238) fica 2 1 (239)

Gratildeos de magnetita SD na forma de agulha em minerais silicaacuteticos ou em titanomagnetitas oxidadas em altas temperaturas subdivididas por lamelas de ilmenita apresentam anisotropias de forma muito acentuadas e alta estabilidade magneacutetica Podemos determinar a coercividade para o caso de Na = 0 que eacute representada pelo campo magneacutetico necessaacuterio para inverter a magnetizaccedilatildeo M ao longo do eixo maior para a direccedilatildeo oposta (a 180deg)

H H 90deg H 0deg N N M 12 480 10 240 kAm 3000 Oe

(240)

Para gratildeos oblatos em forma de disco podemos escrever 2 N N 1 (241)

Figura 28 Variaccedilotildees de Nb (para um esferoacuteide oblato) e de Na (para um esferoacuteide prolato) em funccedilatildeo de ba (ba = 1 para a esfera neste caso Na = Nb = 13) (Fonte Diunlop e Oumlzdemir 1997)

Considerando o caso limite do gratildeo oblato que poderia ser representado por uma placa infinita de pequena espessura 0 e (241) fica sendo N 1 (242)

Neste caso a magnetizaccedilatildeo M fica paralela ao plano da placa embora natildeo tenha preferecircncia direcional Tambeacutem o campo desmagnetizante (Hd) ao longo do eixo b eacute ainda maior quando comparada ao do gratildeo prolato Outro fato se refere ao campo magneacutetico interno (Bi) B micro H M B micro ndash N M M (243)

Como N = Nb = 1 teremos Bi = 0 isto eacute o campo se anula dentro da placa Deste modo o campo externo (He) ao gratildeo tambeacutem eacute zero

Na natureza os gratildeos magneacuteticos natildeo apresentam em geral formas esferoidais perfeitas Entretanto mesmo para os cristais reais M Hd e N tendem a ser uniformes no seu interior Somente nas bordas as direccedilotildees e magnitudes de Hd variam muito Todavia estas variaccedilotildees tendem na meacutedia a se anular quando o cristal eacute visto como um todo

Tanto gratildeos microscoacutepicos quanto corpos macroscoacutepicos apresentam anisotropia de forma No caso do paleomagnetismo para evitar deflexatildeo do vetor magnetizaccedilatildeo remanente por campos desmagnetizantes internos ou mesmo nas medidas de anisotropia de suscetibilidade magneacutetica (ASM) precisamos eliminar as possiacuteveis anisotropias de forma da amostra fazendo com que ela se aproxime ao maacuteximo de uma esfera Para uma amostra ciliacutendrica (usada normalmente para as medidas paleomagneacuteticas) em que R representa o raio da base do cilindro e L a sua altura temos a seguinte relaccedilatildeo

09 (244)

Assim para uma amostra ciliacutendrica de uma polegada de diacircmetro a melhor altura L seraacute igual 2 09 229 (245)

Texto escrito por Manoel Souza DrsquoAgrella Filho

Fonte bibliograacutefica

1 David J Dunlop Oumlzden Oumlzdemir ndash Rock Magnetism Fundamentals and Frontiers

Cambridge University Press 1997

2 William Lowrie ndash Fundamentals of Geophysics Cambridge University Press 1997

3 R B Butler Paleomagnetism Magnetic Domains to Geologic Terranes 1992

httpgeographylancsacukcempresourcesButler_bookcontentshtm

4 Lisa Tauxe Lectures in Paleomagnetism 2005

httpearthreforgMAGICbooksTauxe2005

APEcircNDICE A

COSSENOS DIRETORES

Um vetor F pode ser representado pelos cossenos dos acircngulos que ele faz com os trecircs eixos cartesianos X Y e Z descritos por θx θy e θz respectivamente (Figura 29) Estes acircngulos satildeo conhecidos como acircngulos diretores do vetor F e seus respectivos cossenos satildeo denominados de cossenos diretores

Figura 29 Representaccedilatildeo cartesiana de um vetor F mostrando os acircngulos diretores em relaccedilatildeo aos eixos X Y e Z respectivamente

Assim as componentes do vetor F podem ser descritas como cos cos cos

Os cossenos diretores podem ser calculados pelas seguintes expressotildees cos (246)

cos (247)

cos (248)

De modo que 1 (249)

Se o vetor F estiver por exemplo ao longo do eixo X entatildeo cos 1 cos cos 0 (250)

Isto eacute o que ocorre se a magnetizaccedilatildeo M na estrutura cuacutebica da magnetita estiver ao longo do eixo cristalograacutefico lt100gt isto eacute ao longo do eixo difiacutecil (Figura 210) Note entretanto que se a magnetizaccedilatildeo M estiver ao longo da diagonal do cubo (eixo cristalograacutefico lt111gt) isto eacute ao longo do eixo faacutecil teremos cos cos cos radic (251)

Figura 210 Representaccedilatildeo esquemaacutetica da estrutura cuacutebica da magnetita (aresta = a diagonal da face = b) A magnetizaccedilatildeo M estaacute na diagonal do cubo ao longo do eixo cristalograacutefico lt111gt

Podemos deduzir (251) facilmente Se a eacute o lado do cubo entatildeo a diagonal da face (b) seraacute radic2 (252)

Da Figura 210 podemos escrever a magnitude da magnetizaccedilatildeo M como (253)

Usando (252) a equaccedilatildeo (253) fica 2 3 radic3 (254)

Para M ao longo da diagonal do cubo cos cos cos e cos radic radic (255)

Logo cos cos cos radic

cqd

Onde K1 e K2 satildeo as constantes de anisotropia V eacute o volume e αis satildeo os cossenos diretores de Ms com respeito ao eixo lt100gt (vide definiccedilatildeo de acircngulos e cossenos diretores no apecircndice A) A equaccedilatildeo (22) se aplica em qualquer regiatildeo de uma magnetizaccedilatildeo uniforme M Na definiccedilatildeo de cossenos diretores (vide apecircncice A) vale a seguinte relaccedilatildeo 1 (23)

Podemos determinar a energia de anisotropia magnetocristalina calculando a diferenccedila entre as energias magnetocristalinas ao longo do eixo difiacutecil e ao longo do eixo faacutecil Para a titanomagnetita com alta concentraccedilatildeo de titacircnio ou para o ferro puro K1 gt 0 Neste caso a energia de anisotropia magnetocristalina eacute miacutenima quando a magnetizaccedilatildeo estiver ao longo do eixo lt100gt Com a magnetizaccedilatildeo ao longo deste eixo os cossenos diretores teratildeo os seguintes valores α1 = 1 e α2 = α3 = 0 Utilizando a equaccedilatildeo (22) teremos

iacute 0 (24)

A energia de anisotropia eacute maacutexima quando a magnetizaccedilatildeo estiver ao longo do eixo lt111gt Neste caso radic Utilizando a equaccedilatildeo (22) teremos

aacute (25)

A equaccedilatildeo (25) representa a energia de anisotropia magneacutetica determinada para titanomagnetitas com alta concentraccedilatildeo de titacircnio (por exemplo a TM60 encontrada nos basaltos de fundo oceacircnico) ou no ferro puro

Vimos acima que a magnetita apresenta energia magnetocristalina miacutenima quando a magnetizaccedilatildeo espontacircnea estaacute ao longo da diagonal do cubo isto eacute ao longo do eixo lt111gt O mesmo vale para titanomagnetitas com baixo teor de titacircnio Para estes minerais K1 lt 0 e K2 lt 0 (os valores para a magnetita satildeo respectivamente K1 = -136 x 104 Jm-3 e K2 = -044 x 104 Jm-3) e a energia magnetocristalina miacutenima utilizando (22) seraacute EK iacute K V K V (26)

A equaccedilatildeo (26) mostra que a energia magnetocristalina miacutenima eacute negativa A energia maacutexima ocorre quando a magnetizaccedilatildeo espontacircnea estaacute ao longo do eixo lt100gt e de acordo com a equaccedilatildeo (22) seraacute igual a

EK = 0 (27)

Os valores das constantes de anisotropia satildeo determinados atraveacutes da anaacutelise de Fourier levando em conta a dependecircncia angular do torque exercido por um campo forte (H) aplicado na amostra magnetizada ou tambeacutem atraveacutes de ressonacircncia ferromagneacutetica

Muitos minerais apresentam anisotropia uniaxial Podemos citar como exemplos (i) o Cobalto com estrutura hexagonal sendo o eixo c o de faacutecil magnetizaccedilatildeo (ii) o ferro e o niacutequel que apresentam cela unitaacuteria cuacutebica a borda do cubo representa o eixo faacutecil no caso do ferro e a diagonal do cubo representa o eixo faacutecil no caso do niacutequel (iii) e a hematita com estrutura romboeacutedrica (hexagonal Figura 22) sendo que o eixo c (perpendicular ao plano basal hexagonal) representa o eixo faacutecil Quando a magnetizaccedilatildeo espontacircnea (Ms) estaacute a um acircngulo θ do eixo c a energia de anisotropia uniaxial pode ser expressa pelo seguinte termo de primeira ordem sin (28)

No caso da hematita Ku = -10-3 Jm-3 O valor negativo da constante de anisotropia indica que EK (28) seraacute miacutenima quando θ = 90deg Assim a magnetizaccedilatildeo espontacircnea da hematita fica no plano basal perpendicular ao eixo c (Figura 22)

Figura 22 Estrutura magneacutetica hexagonal da hematita O eixo c eacute perpendicular agrave base hexagonal da rede cristalina Note que os momentos magneacuteticos estatildeo situados nos planos basais e satildeo paralelos a eles (Fonte Dunlop e Oumlzdemir 1997)

22 ANISOTROPIA MAGNETOESTRICTIVA OU MAGNETOELAacuteSTICA

Magnetoestricccedilatildeo eacute uma mudanccedila espontacircnea nas dimensotildees de um cristal ferromagneacutetico quando o mesmo eacute submetido a um campo magneacutetico Dentro da rede cristalina a energia de interaccedilatildeo entre os momentos magneacuteticos atocircmicos depende da separaccedilatildeo entre eles e de suas orientaccedilotildees isto eacute da direccedilatildeo de magnetizaccedilatildeo Um campo aplicado no material muda a orientaccedilatildeo dos momentos magneacuteticos de tal forma que a energia de interaccedilatildeo aumenta e as distacircncias entre as ligaccedilotildees se ajustam para reduzir a energia total Isto produz tensotildees que resultam em mudanccedilas na forma do material ferromagneacutetico Este fenocircmeno eacute chamado de magnetoestricccedilatildeo A magnetoestricccedilatildeo eacute positiva se o material se alonga na direccedilatildeo da magnetizaccedilatildeo e eacute negativa se ele diminui paralelo agrave magnetizaccedilatildeo

No caso da magnetita que tem estrutura cuacutebica a magnetoestricccedilatildeo seraacute positiva se o material se alongar na direccedilatildeo do eixo lt111gt e seraacute negativa se o material se alongar na direccedilatildeo lt100gt A diferenccedila maacutexima entre a tensatildeo magnetoestrictiva que ocorre entre o estado desmagnetizado e o estado de magnetizaccedilatildeo de saturaccedilatildeo eacute denominada de magnetoestricccedilatildeo de saturaccedilatildeo λs Para um conjunto de gratildeos orientados ao acaso dentro da rocha a magnetoestricccedilatildeo de saturaccedilatildeo pode ser expressa pela relaccedilatildeo

λ λ λ (29)

Onde λ e λ satildeo respectivamente a magnetoestricccedilatildeo de saturaccedilatildeo medida na direccedilatildeo lt100gt e a magnetoestricccedilatildeo de saturaccedilatildeo medida na direccedilatildeo lt111gt com a magnetizaccedilatildeo M na mesma direccedilatildeo em cada caso

Podemos ter tambeacutem um processo inverso em que uma tensatildeo eacute aplicada em uma das faces de um cristal cuacutebico por exemplo Neste caso ele diminuiraacute elasticamente ao longo da direccedilatildeo da tensatildeo e expandiraacute na direccedilatildeo perpendicular a ela Estas tensotildees alteram a separaccedilatildeo dos momentos atocircmicos e com isto os efeitos que datildeo origem a anisotropia magnetocristalina Portanto a aplicaccedilatildeo de tensotildees em um material origina mudanccedilas na sua magnetizaccedilatildeo Este efeito eacute chamado de piezomagnetismo

A densidade de energia anisotroacutepica Ea para um material magneacutetico uniaxial seraacute λ cos (210)

Onde θ eacute o acircngulo entre a magnetizaccedilatildeo de saturaccedilatildeo e a tensatildeo (σ) e λ eacute a magnetoestricccedilatildeo de saturaccedilatildeo como definida em (29)

Para a magnetita que apresenta estrutura cuacutebica as magnetoestricccedilotildees de saturaccedilatildeo ao longo dos eixos lt111gt e lt100gt satildeo respectivamente

λ111 = 726x10-6 e λ100 = -195x10-6

Com estes valores podemos determinar a magnetoestricccedilatildeo de saturaccedilatildeo para um conjunto de gratildeos de magnetita ao acaso atraveacutes da equaccedilatildeo (29) o que resulta em um valor de λs = 358x10-6 O campo coercivo (Bc = microo Hc) associado aos gratildeos de magnetita sob tensatildeo interna σ = 10 MPa pode ser determinado atraveacutes da expressatildeo B micro H λ σM middot middot 22 10 T 22 mT (211)

Este valor eacute baixo quando comparado agrave coercividade associada agrave anisotropia magnetocristalina Neste caso a constante de anisotropia K1 = -136x104 Jm-3 e a coercividade eacute dada pela expressatildeo B micro H K M middot 142 10 T 142 mT (212)

O mesmo natildeo ocorre para gratildeos de titanomagnetita com alta concentraccedilatildeo de titacircnio Por exemplo a TM60 (titanomagnetita com x=06) apresenta magnetoestricccedilotildees de saturaccedilatildeo ao longo dos eixos lt111gt e lt100gt respectivamente

λ111 = 954x10-6 e λ100 = 1425x10-6

Estes dados fornecem um valor de λs = 114x10-6 (equaccedilatildeo 29) Sendo a magnetizaccedilatildeo espontacircnea Ms associada aos gratildeos de TM60 igual a 125 kAm a sua coercividade pode ser calculada para uma tensatildeo σ = 10 MPa como sendo B micro H λ σM middot middot 274 10 T 274 mT (213)

Sabendo que a constante de anisotropia magnetocristalina (K1) associada aos gratildeos de TM60 eacute igual a 202x103 Jm3 podemos determinar a sua coercividade associada agrave anisotropia magnetocristalina B micro H K M middot 8 10 T 142 mT (214)

Os valores de coercividades calculados em (213) e (214) mostram que tensotildees internas nos cristais de TM60 tecircm uma contribuiccedilatildeo maior para a estabilidade da magnetizaccedilatildeo neste mineral do que a decorrente da anisotropia magnetocristalina

Jaacute para a hematita em decorrecircncia da presenccedila de tensotildees internas e de sua baixa magnetizaccedilatildeo espontacircnea (Ms = 25x103 Am) a coercividade eacute dominada pela anisotropia magnetoestrictiva Sabendo-se que a magnetoestricccedilatildeo de saturaccedilatildeo da hematita eacute igual a 8x10-6 a coercividade da hematita para uma tensatildeo de 100 MPa seraacute

B micro H λ σM middot middot 5455 10 T 5455 mT (215)

Para efeito de comparaccedilatildeo sabendo-se que a constante de anisotropia magnetocristalina no plano basal eacute de 10 a 100 Jm3 a coercividade maacutexima associada seraacute B micro H K M middot 20 10 T 20 mT (216)

Os valores de coercividades calculados em (215) e (216) mostram que tensotildees internas nos cristais de hematita tecircm uma contribuiccedilatildeo muito maior do que a decorrente da anisotropia magnetocristalina para a estabilidade da magnetizaccedilatildeo neste mineral

Tanto a anisotropia magnetocristalina quanto a anisotropia magnetoestritiva variam com a temperatura (Figura 23) A anisotropia magnetocristalina varia com a potecircncia de 10 da variaccedilatildeo da magnetizaccedilatildeo (217)

Figura 23 Comparaccedilatildeo entre as variaccedilotildees da magnetizaccedilatildeo espontacircnea (Ms) da constante magnetoestrictiva (λs) e da constante de anisotropia magnetocristalina (K1) com a temperatura para a magnetita (Fonte Dunlop e Oumlzdemir 1997)

23 ENERGIA MAGNETOSTAacuteTICA

Natildeo fossem outros fatores a ser considerado o acoplamento de troca faria com que os materiais ferromagneacuteticos se magnetizassem ateacute a saturaccedilatildeo ao longo dos eixos faacuteceis magnetocristalinos ou magnetoelaacutesticos dificultado somente pela agitaccedilatildeo teacutermica Tais gratildeos de domiacutenio simples (SD) de fato existem mas na maioria dos materiais eles satildeo bem pequenos frequentemente menores do que 1 microm no caso de gratildeos de magnetita

O que ocorre realmente eacute que gratildeos maiores se subdividem espontaneamente em dois ou mais domiacutenios com magnetizaccedilatildeo uniforme (Ms) em cada um deles poreacutem com direccedilotildees diferentes Isto ocorre devido a um efeito de interaccedilatildeo dipolo-dipolo de longo alcance entre momentos magneacuteticos que produz uma energia magnetostaacutetica ou desmagnetizante a qual eventualmente supera a energia magnetocristalina

231 CAMPO DESMAGNETIZANTE

2311 CAPACITOR DE PLACAS PARALELAS O ANAacuteLOGO ELETROSTAacuteTICO

Para entendermos a origem da energia desmagnetizante vamos recordar o efeito que ocorre em um dieleacutetrico colocado no interior de um capacitor com densidade de cargas plusmnσf produzida pela diferenccedila de potencial V entre as placas do capacitor (Figura 24a) Dieleacutetrico eacute um material isolante que pode ser um plaacutestico ou oacuteleo mineral A diferenccedila de potencial produziraacute um campo eleacutetrico Eo entre as placas do capacitor com sentido na direccedilatildeo da placa com cargas negativas (Figura 24a) Uma carga de prova positiva colocada no interior do capacitor se deslocaraacute no sentido do campo eleacutetrico

Figura 24 (a) Linhas de campo eleacutetrico em um capacitor de placas paralelas (b) Polarizaccedilatildeo de um dieleacutetrico entre as placas do capacitor formando cargas de ligaccedilatildeo na superfiacutecie com densidade σb (c) Campo despolarizante Ed causado pelas cargas de superfiacutecie (Fonte Dunlop e Oumlzdemir 1997)

Como os eleacutetrons estatildeo presos agrave rede cristalina do dieleacutetrico o efeito do campo eleacutetrico Eo seraacute o de deslocar as cargas positivas nos aacutetomos para a direita e as cargas negativas nos aacutetomos para a esquerda Embora este deslocamento seja pequeno ele cria momentos de dipolo na escala atocircmica todos alinhados com o campo eleacutetrico Eo Este efeito eacute conhecido como polarizaccedilatildeo eleacutetrica a qual eacute definida como momento de dipolo por unidade de volume A polarizaccedilatildeo eleacutetrica eacute representada pela letra P e tem o mesmo

sentido de Eo No total o dieleacutetrico eacute neutro mas haacute duas faixas com espessura na escala atocircmica nas superfiacutecies da esquerda e da direita do dieleacutetrico que satildeo carregadas eletricamente com cargas negativas e positivas respectivamente (Figura 24b) Elas satildeo denominadas de cargas de ligaccedilatildeo por natildeo estarem livres como eacute o caso dos eleacutetrons de conduccedilatildeo Defini-se uma densidade de cargas (σb) em cada superfiacutecie do dieleacutetrico como sendo

σ middot (218)

Onde eacute o vetor unitaacuterio normal agrave superfiacutecie (Figura 24c)

As cargas de superfiacutecie vatildeo gerar um campo eleacutetrico Ed sendo que cada linha de campo comeccedila na superfiacutecie de cargas positivas e termina na superfiacutecie de cargas negativas (Figura 24c) Como o campo eleacutetrico Ed eacute oposto agrave polarizaccedilatildeo P ele atua no sentido de reduzir a polarizaccedilatildeo produzida pelo campo eleacutetrico Eo isto eacute ele cancela parcialmente o campo Eo que criou a polarizaccedilatildeo P Neste sentido Ed eacute chamado de campo despolarizante

2312 MATERIAL FERROMAGNEacuteTICO

Vamos ver agora o que ocorre em um material ferromagneacutetico como o mostrado na Figura 25 no qual eacute aplicado um campo magneacutetico Ho e uma magnetizaccedilatildeo M estaacute associada ao material Do mesmo modo que para o dieleacutetrico no caso do material magnetizado ocorre uma polarizaccedilatildeo magneacutetica a qual gera um campo desmagnetizante Hd Entretanto por causa do forte acoplamento de troca este efeito eacute muito maior no material ferromagneacutetico Outra diferenccedila eacute que para a maioria dos dieleacutetricos um campo eleacutetrico eacute necessaacuterio para induzir a polarizaccedilatildeo P enquanto que no material ferromagneacutetico podemos ter uma magnetizaccedilatildeo sem campo magneacutetico aplicado No caso da aplicaccedilatildeo de um campo Ho a magnetizaccedilatildeo total (M) eacute composta pela magnetizaccedilatildeo induzida pelo campo Ho e a magnetizaccedilatildeo remanente (Mr) Note que macroscopicamente estas magnetizaccedilotildees podem estar associadas a gratildeos magneacuteticos diferentes se o campo Ho natildeo for muito intenso (como o campo da Terra por exemplo) Podemos escrever

M = χ Ho + Mr (219)

Onde χ eacute a suscetibilidade magneacutetica A polarizaccedilatildeo magneacutetica produziraacute cargas (poacutelos) magneacuteticas positivas e negativas nas faces direita e esquerda do material respectivamente (Figura 25) Estas cargas podem ser identificadas por uma densidade de cargas σm definida por

σ middot (220)

Onde eacute o vetor unitaacuterio normal agrave superfiacutecie (Figura 25)

Figura 25 O campo desmagnetizante Hd em um material magneticamente polarizado (Fonte Dunlop e Oumlzdemir 1997)

As cargas magneacuteticas vatildeo produzir um campo desmagnetizante Hd cujas linhas comeccedilam nas cargas positivas e terminam nas cargas negativas Note que o campo desmagnetizante eacute antiparalelo agrave magnetizaccedilatildeo M isto eacute o campo desmagnetizante age no sentido de desmagnetizar o material Em decorrecircncia deste campo um poacutelo magneacutetico positivo fictiacutecio dentro do material se deslocaraacute ao longo da direccedilatildeo do campo Hd Um dipolo magneacutetico com momento m sofreraacute uma rotaccedilatildeo ateacute ficar paralelo ao campo Hd sendo que o poacutelo positivo do dipolo fica mais perto do lado esquerdo (cargas negativas) e o poacutelo negativo do dipolo fica mais perto do lado direito do material (cargas positivas) O momento m do dipolo se orientaraacute com Hd tal como um iacutematilde Podemos associar ao dipolo um torque (τ) e uma energia potencial magneacutetica (Em)

τ (221) E middot (222)

O campo interno (Hi) total seraacute igual a N middot (223)

Onde Hd = -N M N eacute denominado de fator desmagnetizante e pode ser representado por um tensor No interior do prisma representado na Figura 25 em que as linhas do campo

Hd natildeo se espalham Hd eacute constante e exatamente antiparalelo a M Neste caso N passa a ser uma constante Sendo m o momento magneacutetico do material V o seu volume e M a sua magnetizaccedilatildeo entatildeo m = V M Assim a energia potencial magneacutetica (Em) associada pode ser expressa utilizando-se as equaccedilotildees (222) e (223) como sendo ou (224)

O primeiro termo do lado direito da equaccedilatildeo (224) eacute denominado de Energia de Zeeman ou Energia de campo magneacutetico (EH) O segundo termo eacute denominado de Energia magnetostaacutetica ou Energia desmagnetizante (Ed) O fator frac12 na determinaccedilatildeo de Ed decorre do fato que esta energia estaacute relacionada a uma interaccedilatildeo dipolo-dipolo e nesta interaccedilatildeo cada dipolo interage com o dipolo anterior e tambeacutem com o posterior Assim ele eacute contado duas vezes

2313 ESFERA UNIFORMEMENTE MAGNETIZADA

A Figura 26 mostra uma esfera de raio R e magnetizaccedilatildeo M ao longo do eixo z A densidade de cargas em sua superfiacutecie eacute middot isto eacute cos (225)

Os poacutelos magneacuteticos estatildeo concentrados nas superfiacutecies de cima e de baixo da esfera Natildeo haacute poacutelos magneacuteticos ao longo do equador da esfera onde M eacute tangencial a superfiacutecie (θ = 90deg na equaccedilatildeo 225) Para calcular o campo desmagnetizante (Hd) usamos um princiacutepio da teoria de potencial elementar Quando calculamos o campo gravitacional externo a uma esfera de densidade uniforme admitimos que toda a sua massa estaacute concentrada em seu centro Do mesmo modo podemos supor que o campo magneacutetico externo (He) a uma esfera uniformemente polarizada eacute o mesmo de um dipolo situado no centro da esfera e com momento de dipolo m = V M Admitindo que o campo magneacutetico apresente continuidade atraveacutes de qualquer ponto da superfiacutecie da esfera podemos igualar o campo Hd e He na sua superfiacutecie (Figura 26)

Figura 26 Campo externo e campo interno (linhas tracejadas) de uma esfera com magnetizaccedilatildeo uniforme M ao longo do eixo z Cargas ou poacutelos magneacuteticos de superfiacutecie satildeo indicados por + e - (Fonte Dunlop e Oumlzdemir 1997)

O campo (H) de um dipolo com seu eixo ao longo do eixo z eacute representado pela expressatildeo

micro π 2 cos θ sin θ (226)

e satildeo os vetores unitaacuterios radial e tangencial respectivamente

No equador da esfera

Hd = - N M (227)

e o campo externo para r = R seraacute

4 2 cos 90deg sin 90deg 43 4

(228)

O sinal negativo vem do fato de He estar orientado no sentido contraacuterio ao eixo z Igualando (227) e (228) teremos

(229)

O valor de N = 13 foi calculado para o sistema SI No cgs

No poacutelo da esfera ao longo do eixo z r = R e θ = 0 O campo magneacutetico interno (Bi) pode ser expresso por 1 (230)

O campo externo Be pode ser determinado pela equaccedilatildeo (226)

4 2 cos 0deg sin 0deg 2 43 4

(231)

Igualando as equaccedilotildees (230) e (231) teremos 1 (232)

Pode-se mostrar que em qualquer ponto da superfiacutecie e do

interior de uma esfera de domiacutenio simples Logo (SI) em qualquer ponto

No cgs basta multiplicar 13 pelo fator 4π

2314 ESFEROacuteIDE UNIFORMEMENTE MAGNETIZADO E ANISOTROPIA DE FORMA

A Figura 27 ilustra os poacutelos de superfiacutecie e os campos desmagnetizantes para esferoacuteides prolatos (elipsoacuteide de revoluccedilatildeo) uniformemente magnetizados Em (a) o esferoacuteide eacute magnetizado ao longo do semi-eixo maior a Os poacutelos de superfiacutecie estatildeo mais afastados quando comparados aos da esfera de volume correspondente Por analogia com a eletrostaacutetica campos decrescem com a distacircncia isto eacute com 1r2 portanto o campo Hd que surge destes poacutelos eacute menor do que no caso da esfera Assim Na lt 13 Por outro lado em (b) onde o esferoacuteide eacute magnetizado paralelo ao semi-eixo menor b os poacutelos de superfiacutecie estatildeo mais proacuteximos e neste caso Nb gt 13 O campo Hd tambeacutem eacute maior quando comparado com o da esfera

Figura 27 Poacutelos de superfiacutecie e campo desmagnetizante interno Hd para um esferoacuteide prolato com magnetizaccedilatildeo uniforme M (a) ao longo do eixo maior (b) ao longo do eixo menor (c) obliquo ao eixo maior Hd eacute uniforme em todos os casos mas em (c) ele natildeo eacute antiparalelo a M (Fonte Dunlop e Oumlzdemir 1997)

Na Figura 27c M estaacute a um acircngulo θ em relaccedilatildeo ao eixo z ( Hd eacute ainda uniforme entretanto natildeo eacute mais antiparalelo a M Podemos escrever M sin θ M cos θ (233)

Do mesmo modo podemos escrever o campo Hd como N M sin θ N M cos θ (234)

Podemos calcular a energia desmagnetizante (Ed) E micro V middot (235)

Deste modo micro V M sin θ M cos θ middot N M sin θ N M cos θ micro V M N sin θ N cos θ micro V M N N N sin θ (236)

Para um elipsoacuteide com fatores desmagnetizantes Nx Ny e Nz eacute vaacutelida a seguinte relaccedilatildeo 1 (237)

A equaccedilatildeo (236) mostra que a energia desmagnetizante eacute anisotroacutepica natildeo com relaccedilatildeo aos eixos cristalograacuteficos mas com relaccedilatildeo agrave forma externa do cristal a qual determina a separaccedilatildeo dos poacutelos de superfiacutecie para diferentes orientaccedilotildees de M A

anisotropia eacute uniaxial para um esferoacuteide prolato com o eixo faacutecil de magnetizaccedilatildeo sendo paralelo ao eixo maior isto eacute para θ = 0deg ou θ = 180deg Este efeito eacute chamado de anisotropia de forma Ela normalmente mascara as anisotropias magnetocristalina e magnetoelaacutestica nos gratildeos de domiacutenio simples de minerais fortemente magneacuteticos como eacute o caso da magnetita maghemita e ferro puro Para a magnetita se Na difere de Nb em 10 jaacute haacute um predomiacutenio da anisotropia de forma Os esferoacuteides oblatos tambeacutem apresentam anisotropia de forma Entretanto neste caso a magnetizaccedilatildeo M pode girar livremente no plano do eixo maior Uma esfera natildeo apresenta anisotropia de forma pois N = 13 para qualquer direccedilatildeo de M

A Figura 28 mostra a variaccedilatildeo de Na para esferoacuteides prolatos e a variaccedilatildeo de Nb para esferoacuteides oblatos em funccedilatildeo da razatildeo ba Para um esferoacuteide prolato teremos N 2 N 1 (238)

Quando ba tende a zero isto eacute o gratildeo tem a forma de agulha 0 e (238) fica 2 1 (239)

Gratildeos de magnetita SD na forma de agulha em minerais silicaacuteticos ou em titanomagnetitas oxidadas em altas temperaturas subdivididas por lamelas de ilmenita apresentam anisotropias de forma muito acentuadas e alta estabilidade magneacutetica Podemos determinar a coercividade para o caso de Na = 0 que eacute representada pelo campo magneacutetico necessaacuterio para inverter a magnetizaccedilatildeo M ao longo do eixo maior para a direccedilatildeo oposta (a 180deg)

H H 90deg H 0deg N N M 12 480 10 240 kAm 3000 Oe

(240)

Para gratildeos oblatos em forma de disco podemos escrever 2 N N 1 (241)

Figura 28 Variaccedilotildees de Nb (para um esferoacuteide oblato) e de Na (para um esferoacuteide prolato) em funccedilatildeo de ba (ba = 1 para a esfera neste caso Na = Nb = 13) (Fonte Diunlop e Oumlzdemir 1997)

Considerando o caso limite do gratildeo oblato que poderia ser representado por uma placa infinita de pequena espessura 0 e (241) fica sendo N 1 (242)

Neste caso a magnetizaccedilatildeo M fica paralela ao plano da placa embora natildeo tenha preferecircncia direcional Tambeacutem o campo desmagnetizante (Hd) ao longo do eixo b eacute ainda maior quando comparada ao do gratildeo prolato Outro fato se refere ao campo magneacutetico interno (Bi) B micro H M B micro ndash N M M (243)

Como N = Nb = 1 teremos Bi = 0 isto eacute o campo se anula dentro da placa Deste modo o campo externo (He) ao gratildeo tambeacutem eacute zero

Na natureza os gratildeos magneacuteticos natildeo apresentam em geral formas esferoidais perfeitas Entretanto mesmo para os cristais reais M Hd e N tendem a ser uniformes no seu interior Somente nas bordas as direccedilotildees e magnitudes de Hd variam muito Todavia estas variaccedilotildees tendem na meacutedia a se anular quando o cristal eacute visto como um todo

Tanto gratildeos microscoacutepicos quanto corpos macroscoacutepicos apresentam anisotropia de forma No caso do paleomagnetismo para evitar deflexatildeo do vetor magnetizaccedilatildeo remanente por campos desmagnetizantes internos ou mesmo nas medidas de anisotropia de suscetibilidade magneacutetica (ASM) precisamos eliminar as possiacuteveis anisotropias de forma da amostra fazendo com que ela se aproxime ao maacuteximo de uma esfera Para uma amostra ciliacutendrica (usada normalmente para as medidas paleomagneacuteticas) em que R representa o raio da base do cilindro e L a sua altura temos a seguinte relaccedilatildeo

09 (244)

Assim para uma amostra ciliacutendrica de uma polegada de diacircmetro a melhor altura L seraacute igual 2 09 229 (245)

Texto escrito por Manoel Souza DrsquoAgrella Filho

Fonte bibliograacutefica

1 David J Dunlop Oumlzden Oumlzdemir ndash Rock Magnetism Fundamentals and Frontiers

Cambridge University Press 1997

2 William Lowrie ndash Fundamentals of Geophysics Cambridge University Press 1997

3 R B Butler Paleomagnetism Magnetic Domains to Geologic Terranes 1992

httpgeographylancsacukcempresourcesButler_bookcontentshtm

4 Lisa Tauxe Lectures in Paleomagnetism 2005

httpearthreforgMAGICbooksTauxe2005

APEcircNDICE A

COSSENOS DIRETORES

Um vetor F pode ser representado pelos cossenos dos acircngulos que ele faz com os trecircs eixos cartesianos X Y e Z descritos por θx θy e θz respectivamente (Figura 29) Estes acircngulos satildeo conhecidos como acircngulos diretores do vetor F e seus respectivos cossenos satildeo denominados de cossenos diretores

Figura 29 Representaccedilatildeo cartesiana de um vetor F mostrando os acircngulos diretores em relaccedilatildeo aos eixos X Y e Z respectivamente

Assim as componentes do vetor F podem ser descritas como cos cos cos

Os cossenos diretores podem ser calculados pelas seguintes expressotildees cos (246)

cos (247)

cos (248)

De modo que 1 (249)

Se o vetor F estiver por exemplo ao longo do eixo X entatildeo cos 1 cos cos 0 (250)

Isto eacute o que ocorre se a magnetizaccedilatildeo M na estrutura cuacutebica da magnetita estiver ao longo do eixo cristalograacutefico lt100gt isto eacute ao longo do eixo difiacutecil (Figura 210) Note entretanto que se a magnetizaccedilatildeo M estiver ao longo da diagonal do cubo (eixo cristalograacutefico lt111gt) isto eacute ao longo do eixo faacutecil teremos cos cos cos radic (251)

Figura 210 Representaccedilatildeo esquemaacutetica da estrutura cuacutebica da magnetita (aresta = a diagonal da face = b) A magnetizaccedilatildeo M estaacute na diagonal do cubo ao longo do eixo cristalograacutefico lt111gt

Podemos deduzir (251) facilmente Se a eacute o lado do cubo entatildeo a diagonal da face (b) seraacute radic2 (252)

Da Figura 210 podemos escrever a magnitude da magnetizaccedilatildeo M como (253)

Usando (252) a equaccedilatildeo (253) fica 2 3 radic3 (254)

Para M ao longo da diagonal do cubo cos cos cos e cos radic radic (255)

Logo cos cos cos radic

cqd

Os valores das constantes de anisotropia satildeo determinados atraveacutes da anaacutelise de Fourier levando em conta a dependecircncia angular do torque exercido por um campo forte (H) aplicado na amostra magnetizada ou tambeacutem atraveacutes de ressonacircncia ferromagneacutetica

Muitos minerais apresentam anisotropia uniaxial Podemos citar como exemplos (i) o Cobalto com estrutura hexagonal sendo o eixo c o de faacutecil magnetizaccedilatildeo (ii) o ferro e o niacutequel que apresentam cela unitaacuteria cuacutebica a borda do cubo representa o eixo faacutecil no caso do ferro e a diagonal do cubo representa o eixo faacutecil no caso do niacutequel (iii) e a hematita com estrutura romboeacutedrica (hexagonal Figura 22) sendo que o eixo c (perpendicular ao plano basal hexagonal) representa o eixo faacutecil Quando a magnetizaccedilatildeo espontacircnea (Ms) estaacute a um acircngulo θ do eixo c a energia de anisotropia uniaxial pode ser expressa pelo seguinte termo de primeira ordem sin (28)

No caso da hematita Ku = -10-3 Jm-3 O valor negativo da constante de anisotropia indica que EK (28) seraacute miacutenima quando θ = 90deg Assim a magnetizaccedilatildeo espontacircnea da hematita fica no plano basal perpendicular ao eixo c (Figura 22)

Figura 22 Estrutura magneacutetica hexagonal da hematita O eixo c eacute perpendicular agrave base hexagonal da rede cristalina Note que os momentos magneacuteticos estatildeo situados nos planos basais e satildeo paralelos a eles (Fonte Dunlop e Oumlzdemir 1997)

22 ANISOTROPIA MAGNETOESTRICTIVA OU MAGNETOELAacuteSTICA

Magnetoestricccedilatildeo eacute uma mudanccedila espontacircnea nas dimensotildees de um cristal ferromagneacutetico quando o mesmo eacute submetido a um campo magneacutetico Dentro da rede cristalina a energia de interaccedilatildeo entre os momentos magneacuteticos atocircmicos depende da separaccedilatildeo entre eles e de suas orientaccedilotildees isto eacute da direccedilatildeo de magnetizaccedilatildeo Um campo aplicado no material muda a orientaccedilatildeo dos momentos magneacuteticos de tal forma que a energia de interaccedilatildeo aumenta e as distacircncias entre as ligaccedilotildees se ajustam para reduzir a energia total Isto produz tensotildees que resultam em mudanccedilas na forma do material ferromagneacutetico Este fenocircmeno eacute chamado de magnetoestricccedilatildeo A magnetoestricccedilatildeo eacute positiva se o material se alonga na direccedilatildeo da magnetizaccedilatildeo e eacute negativa se ele diminui paralelo agrave magnetizaccedilatildeo

No caso da magnetita que tem estrutura cuacutebica a magnetoestricccedilatildeo seraacute positiva se o material se alongar na direccedilatildeo do eixo lt111gt e seraacute negativa se o material se alongar na direccedilatildeo lt100gt A diferenccedila maacutexima entre a tensatildeo magnetoestrictiva que ocorre entre o estado desmagnetizado e o estado de magnetizaccedilatildeo de saturaccedilatildeo eacute denominada de magnetoestricccedilatildeo de saturaccedilatildeo λs Para um conjunto de gratildeos orientados ao acaso dentro da rocha a magnetoestricccedilatildeo de saturaccedilatildeo pode ser expressa pela relaccedilatildeo

λ λ λ (29)

Onde λ e λ satildeo respectivamente a magnetoestricccedilatildeo de saturaccedilatildeo medida na direccedilatildeo lt100gt e a magnetoestricccedilatildeo de saturaccedilatildeo medida na direccedilatildeo lt111gt com a magnetizaccedilatildeo M na mesma direccedilatildeo em cada caso

Podemos ter tambeacutem um processo inverso em que uma tensatildeo eacute aplicada em uma das faces de um cristal cuacutebico por exemplo Neste caso ele diminuiraacute elasticamente ao longo da direccedilatildeo da tensatildeo e expandiraacute na direccedilatildeo perpendicular a ela Estas tensotildees alteram a separaccedilatildeo dos momentos atocircmicos e com isto os efeitos que datildeo origem a anisotropia magnetocristalina Portanto a aplicaccedilatildeo de tensotildees em um material origina mudanccedilas na sua magnetizaccedilatildeo Este efeito eacute chamado de piezomagnetismo

A densidade de energia anisotroacutepica Ea para um material magneacutetico uniaxial seraacute λ cos (210)

Onde θ eacute o acircngulo entre a magnetizaccedilatildeo de saturaccedilatildeo e a tensatildeo (σ) e λ eacute a magnetoestricccedilatildeo de saturaccedilatildeo como definida em (29)

Para a magnetita que apresenta estrutura cuacutebica as magnetoestricccedilotildees de saturaccedilatildeo ao longo dos eixos lt111gt e lt100gt satildeo respectivamente

λ111 = 726x10-6 e λ100 = -195x10-6

Com estes valores podemos determinar a magnetoestricccedilatildeo de saturaccedilatildeo para um conjunto de gratildeos de magnetita ao acaso atraveacutes da equaccedilatildeo (29) o que resulta em um valor de λs = 358x10-6 O campo coercivo (Bc = microo Hc) associado aos gratildeos de magnetita sob tensatildeo interna σ = 10 MPa pode ser determinado atraveacutes da expressatildeo B micro H λ σM middot middot 22 10 T 22 mT (211)

Este valor eacute baixo quando comparado agrave coercividade associada agrave anisotropia magnetocristalina Neste caso a constante de anisotropia K1 = -136x104 Jm-3 e a coercividade eacute dada pela expressatildeo B micro H K M middot 142 10 T 142 mT (212)

O mesmo natildeo ocorre para gratildeos de titanomagnetita com alta concentraccedilatildeo de titacircnio Por exemplo a TM60 (titanomagnetita com x=06) apresenta magnetoestricccedilotildees de saturaccedilatildeo ao longo dos eixos lt111gt e lt100gt respectivamente

λ111 = 954x10-6 e λ100 = 1425x10-6

Estes dados fornecem um valor de λs = 114x10-6 (equaccedilatildeo 29) Sendo a magnetizaccedilatildeo espontacircnea Ms associada aos gratildeos de TM60 igual a 125 kAm a sua coercividade pode ser calculada para uma tensatildeo σ = 10 MPa como sendo B micro H λ σM middot middot 274 10 T 274 mT (213)

Sabendo que a constante de anisotropia magnetocristalina (K1) associada aos gratildeos de TM60 eacute igual a 202x103 Jm3 podemos determinar a sua coercividade associada agrave anisotropia magnetocristalina B micro H K M middot 8 10 T 142 mT (214)

Os valores de coercividades calculados em (213) e (214) mostram que tensotildees internas nos cristais de TM60 tecircm uma contribuiccedilatildeo maior para a estabilidade da magnetizaccedilatildeo neste mineral do que a decorrente da anisotropia magnetocristalina

Jaacute para a hematita em decorrecircncia da presenccedila de tensotildees internas e de sua baixa magnetizaccedilatildeo espontacircnea (Ms = 25x103 Am) a coercividade eacute dominada pela anisotropia magnetoestrictiva Sabendo-se que a magnetoestricccedilatildeo de saturaccedilatildeo da hematita eacute igual a 8x10-6 a coercividade da hematita para uma tensatildeo de 100 MPa seraacute

B micro H λ σM middot middot 5455 10 T 5455 mT (215)

Para efeito de comparaccedilatildeo sabendo-se que a constante de anisotropia magnetocristalina no plano basal eacute de 10 a 100 Jm3 a coercividade maacutexima associada seraacute B micro H K M middot 20 10 T 20 mT (216)

Os valores de coercividades calculados em (215) e (216) mostram que tensotildees internas nos cristais de hematita tecircm uma contribuiccedilatildeo muito maior do que a decorrente da anisotropia magnetocristalina para a estabilidade da magnetizaccedilatildeo neste mineral

Tanto a anisotropia magnetocristalina quanto a anisotropia magnetoestritiva variam com a temperatura (Figura 23) A anisotropia magnetocristalina varia com a potecircncia de 10 da variaccedilatildeo da magnetizaccedilatildeo (217)

Figura 23 Comparaccedilatildeo entre as variaccedilotildees da magnetizaccedilatildeo espontacircnea (Ms) da constante magnetoestrictiva (λs) e da constante de anisotropia magnetocristalina (K1) com a temperatura para a magnetita (Fonte Dunlop e Oumlzdemir 1997)

23 ENERGIA MAGNETOSTAacuteTICA

Natildeo fossem outros fatores a ser considerado o acoplamento de troca faria com que os materiais ferromagneacuteticos se magnetizassem ateacute a saturaccedilatildeo ao longo dos eixos faacuteceis magnetocristalinos ou magnetoelaacutesticos dificultado somente pela agitaccedilatildeo teacutermica Tais gratildeos de domiacutenio simples (SD) de fato existem mas na maioria dos materiais eles satildeo bem pequenos frequentemente menores do que 1 microm no caso de gratildeos de magnetita

O que ocorre realmente eacute que gratildeos maiores se subdividem espontaneamente em dois ou mais domiacutenios com magnetizaccedilatildeo uniforme (Ms) em cada um deles poreacutem com direccedilotildees diferentes Isto ocorre devido a um efeito de interaccedilatildeo dipolo-dipolo de longo alcance entre momentos magneacuteticos que produz uma energia magnetostaacutetica ou desmagnetizante a qual eventualmente supera a energia magnetocristalina

231 CAMPO DESMAGNETIZANTE

2311 CAPACITOR DE PLACAS PARALELAS O ANAacuteLOGO ELETROSTAacuteTICO

Para entendermos a origem da energia desmagnetizante vamos recordar o efeito que ocorre em um dieleacutetrico colocado no interior de um capacitor com densidade de cargas plusmnσf produzida pela diferenccedila de potencial V entre as placas do capacitor (Figura 24a) Dieleacutetrico eacute um material isolante que pode ser um plaacutestico ou oacuteleo mineral A diferenccedila de potencial produziraacute um campo eleacutetrico Eo entre as placas do capacitor com sentido na direccedilatildeo da placa com cargas negativas (Figura 24a) Uma carga de prova positiva colocada no interior do capacitor se deslocaraacute no sentido do campo eleacutetrico

Figura 24 (a) Linhas de campo eleacutetrico em um capacitor de placas paralelas (b) Polarizaccedilatildeo de um dieleacutetrico entre as placas do capacitor formando cargas de ligaccedilatildeo na superfiacutecie com densidade σb (c) Campo despolarizante Ed causado pelas cargas de superfiacutecie (Fonte Dunlop e Oumlzdemir 1997)

Como os eleacutetrons estatildeo presos agrave rede cristalina do dieleacutetrico o efeito do campo eleacutetrico Eo seraacute o de deslocar as cargas positivas nos aacutetomos para a direita e as cargas negativas nos aacutetomos para a esquerda Embora este deslocamento seja pequeno ele cria momentos de dipolo na escala atocircmica todos alinhados com o campo eleacutetrico Eo Este efeito eacute conhecido como polarizaccedilatildeo eleacutetrica a qual eacute definida como momento de dipolo por unidade de volume A polarizaccedilatildeo eleacutetrica eacute representada pela letra P e tem o mesmo

sentido de Eo No total o dieleacutetrico eacute neutro mas haacute duas faixas com espessura na escala atocircmica nas superfiacutecies da esquerda e da direita do dieleacutetrico que satildeo carregadas eletricamente com cargas negativas e positivas respectivamente (Figura 24b) Elas satildeo denominadas de cargas de ligaccedilatildeo por natildeo estarem livres como eacute o caso dos eleacutetrons de conduccedilatildeo Defini-se uma densidade de cargas (σb) em cada superfiacutecie do dieleacutetrico como sendo

σ middot (218)

Onde eacute o vetor unitaacuterio normal agrave superfiacutecie (Figura 24c)

As cargas de superfiacutecie vatildeo gerar um campo eleacutetrico Ed sendo que cada linha de campo comeccedila na superfiacutecie de cargas positivas e termina na superfiacutecie de cargas negativas (Figura 24c) Como o campo eleacutetrico Ed eacute oposto agrave polarizaccedilatildeo P ele atua no sentido de reduzir a polarizaccedilatildeo produzida pelo campo eleacutetrico Eo isto eacute ele cancela parcialmente o campo Eo que criou a polarizaccedilatildeo P Neste sentido Ed eacute chamado de campo despolarizante

2312 MATERIAL FERROMAGNEacuteTICO

Vamos ver agora o que ocorre em um material ferromagneacutetico como o mostrado na Figura 25 no qual eacute aplicado um campo magneacutetico Ho e uma magnetizaccedilatildeo M estaacute associada ao material Do mesmo modo que para o dieleacutetrico no caso do material magnetizado ocorre uma polarizaccedilatildeo magneacutetica a qual gera um campo desmagnetizante Hd Entretanto por causa do forte acoplamento de troca este efeito eacute muito maior no material ferromagneacutetico Outra diferenccedila eacute que para a maioria dos dieleacutetricos um campo eleacutetrico eacute necessaacuterio para induzir a polarizaccedilatildeo P enquanto que no material ferromagneacutetico podemos ter uma magnetizaccedilatildeo sem campo magneacutetico aplicado No caso da aplicaccedilatildeo de um campo Ho a magnetizaccedilatildeo total (M) eacute composta pela magnetizaccedilatildeo induzida pelo campo Ho e a magnetizaccedilatildeo remanente (Mr) Note que macroscopicamente estas magnetizaccedilotildees podem estar associadas a gratildeos magneacuteticos diferentes se o campo Ho natildeo for muito intenso (como o campo da Terra por exemplo) Podemos escrever

M = χ Ho + Mr (219)

Onde χ eacute a suscetibilidade magneacutetica A polarizaccedilatildeo magneacutetica produziraacute cargas (poacutelos) magneacuteticas positivas e negativas nas faces direita e esquerda do material respectivamente (Figura 25) Estas cargas podem ser identificadas por uma densidade de cargas σm definida por

σ middot (220)

Onde eacute o vetor unitaacuterio normal agrave superfiacutecie (Figura 25)

Figura 25 O campo desmagnetizante Hd em um material magneticamente polarizado (Fonte Dunlop e Oumlzdemir 1997)

As cargas magneacuteticas vatildeo produzir um campo desmagnetizante Hd cujas linhas comeccedilam nas cargas positivas e terminam nas cargas negativas Note que o campo desmagnetizante eacute antiparalelo agrave magnetizaccedilatildeo M isto eacute o campo desmagnetizante age no sentido de desmagnetizar o material Em decorrecircncia deste campo um poacutelo magneacutetico positivo fictiacutecio dentro do material se deslocaraacute ao longo da direccedilatildeo do campo Hd Um dipolo magneacutetico com momento m sofreraacute uma rotaccedilatildeo ateacute ficar paralelo ao campo Hd sendo que o poacutelo positivo do dipolo fica mais perto do lado esquerdo (cargas negativas) e o poacutelo negativo do dipolo fica mais perto do lado direito do material (cargas positivas) O momento m do dipolo se orientaraacute com Hd tal como um iacutematilde Podemos associar ao dipolo um torque (τ) e uma energia potencial magneacutetica (Em)

τ (221) E middot (222)

O campo interno (Hi) total seraacute igual a N middot (223)

Onde Hd = -N M N eacute denominado de fator desmagnetizante e pode ser representado por um tensor No interior do prisma representado na Figura 25 em que as linhas do campo

Hd natildeo se espalham Hd eacute constante e exatamente antiparalelo a M Neste caso N passa a ser uma constante Sendo m o momento magneacutetico do material V o seu volume e M a sua magnetizaccedilatildeo entatildeo m = V M Assim a energia potencial magneacutetica (Em) associada pode ser expressa utilizando-se as equaccedilotildees (222) e (223) como sendo ou (224)

O primeiro termo do lado direito da equaccedilatildeo (224) eacute denominado de Energia de Zeeman ou Energia de campo magneacutetico (EH) O segundo termo eacute denominado de Energia magnetostaacutetica ou Energia desmagnetizante (Ed) O fator frac12 na determinaccedilatildeo de Ed decorre do fato que esta energia estaacute relacionada a uma interaccedilatildeo dipolo-dipolo e nesta interaccedilatildeo cada dipolo interage com o dipolo anterior e tambeacutem com o posterior Assim ele eacute contado duas vezes

2313 ESFERA UNIFORMEMENTE MAGNETIZADA

A Figura 26 mostra uma esfera de raio R e magnetizaccedilatildeo M ao longo do eixo z A densidade de cargas em sua superfiacutecie eacute middot isto eacute cos (225)

Os poacutelos magneacuteticos estatildeo concentrados nas superfiacutecies de cima e de baixo da esfera Natildeo haacute poacutelos magneacuteticos ao longo do equador da esfera onde M eacute tangencial a superfiacutecie (θ = 90deg na equaccedilatildeo 225) Para calcular o campo desmagnetizante (Hd) usamos um princiacutepio da teoria de potencial elementar Quando calculamos o campo gravitacional externo a uma esfera de densidade uniforme admitimos que toda a sua massa estaacute concentrada em seu centro Do mesmo modo podemos supor que o campo magneacutetico externo (He) a uma esfera uniformemente polarizada eacute o mesmo de um dipolo situado no centro da esfera e com momento de dipolo m = V M Admitindo que o campo magneacutetico apresente continuidade atraveacutes de qualquer ponto da superfiacutecie da esfera podemos igualar o campo Hd e He na sua superfiacutecie (Figura 26)

Figura 26 Campo externo e campo interno (linhas tracejadas) de uma esfera com magnetizaccedilatildeo uniforme M ao longo do eixo z Cargas ou poacutelos magneacuteticos de superfiacutecie satildeo indicados por + e - (Fonte Dunlop e Oumlzdemir 1997)

O campo (H) de um dipolo com seu eixo ao longo do eixo z eacute representado pela expressatildeo

micro π 2 cos θ sin θ (226)

e satildeo os vetores unitaacuterios radial e tangencial respectivamente

No equador da esfera

Hd = - N M (227)

e o campo externo para r = R seraacute

4 2 cos 90deg sin 90deg 43 4

(228)

O sinal negativo vem do fato de He estar orientado no sentido contraacuterio ao eixo z Igualando (227) e (228) teremos

(229)

O valor de N = 13 foi calculado para o sistema SI No cgs

No poacutelo da esfera ao longo do eixo z r = R e θ = 0 O campo magneacutetico interno (Bi) pode ser expresso por 1 (230)

O campo externo Be pode ser determinado pela equaccedilatildeo (226)

4 2 cos 0deg sin 0deg 2 43 4

(231)

Igualando as equaccedilotildees (230) e (231) teremos 1 (232)

Pode-se mostrar que em qualquer ponto da superfiacutecie e do

interior de uma esfera de domiacutenio simples Logo (SI) em qualquer ponto

No cgs basta multiplicar 13 pelo fator 4π

2314 ESFEROacuteIDE UNIFORMEMENTE MAGNETIZADO E ANISOTROPIA DE FORMA

A Figura 27 ilustra os poacutelos de superfiacutecie e os campos desmagnetizantes para esferoacuteides prolatos (elipsoacuteide de revoluccedilatildeo) uniformemente magnetizados Em (a) o esferoacuteide eacute magnetizado ao longo do semi-eixo maior a Os poacutelos de superfiacutecie estatildeo mais afastados quando comparados aos da esfera de volume correspondente Por analogia com a eletrostaacutetica campos decrescem com a distacircncia isto eacute com 1r2 portanto o campo Hd que surge destes poacutelos eacute menor do que no caso da esfera Assim Na lt 13 Por outro lado em (b) onde o esferoacuteide eacute magnetizado paralelo ao semi-eixo menor b os poacutelos de superfiacutecie estatildeo mais proacuteximos e neste caso Nb gt 13 O campo Hd tambeacutem eacute maior quando comparado com o da esfera

Figura 27 Poacutelos de superfiacutecie e campo desmagnetizante interno Hd para um esferoacuteide prolato com magnetizaccedilatildeo uniforme M (a) ao longo do eixo maior (b) ao longo do eixo menor (c) obliquo ao eixo maior Hd eacute uniforme em todos os casos mas em (c) ele natildeo eacute antiparalelo a M (Fonte Dunlop e Oumlzdemir 1997)

Na Figura 27c M estaacute a um acircngulo θ em relaccedilatildeo ao eixo z ( Hd eacute ainda uniforme entretanto natildeo eacute mais antiparalelo a M Podemos escrever M sin θ M cos θ (233)

Do mesmo modo podemos escrever o campo Hd como N M sin θ N M cos θ (234)

Podemos calcular a energia desmagnetizante (Ed) E micro V middot (235)

Deste modo micro V M sin θ M cos θ middot N M sin θ N M cos θ micro V M N sin θ N cos θ micro V M N N N sin θ (236)

Para um elipsoacuteide com fatores desmagnetizantes Nx Ny e Nz eacute vaacutelida a seguinte relaccedilatildeo 1 (237)

A equaccedilatildeo (236) mostra que a energia desmagnetizante eacute anisotroacutepica natildeo com relaccedilatildeo aos eixos cristalograacuteficos mas com relaccedilatildeo agrave forma externa do cristal a qual determina a separaccedilatildeo dos poacutelos de superfiacutecie para diferentes orientaccedilotildees de M A

anisotropia eacute uniaxial para um esferoacuteide prolato com o eixo faacutecil de magnetizaccedilatildeo sendo paralelo ao eixo maior isto eacute para θ = 0deg ou θ = 180deg Este efeito eacute chamado de anisotropia de forma Ela normalmente mascara as anisotropias magnetocristalina e magnetoelaacutestica nos gratildeos de domiacutenio simples de minerais fortemente magneacuteticos como eacute o caso da magnetita maghemita e ferro puro Para a magnetita se Na difere de Nb em 10 jaacute haacute um predomiacutenio da anisotropia de forma Os esferoacuteides oblatos tambeacutem apresentam anisotropia de forma Entretanto neste caso a magnetizaccedilatildeo M pode girar livremente no plano do eixo maior Uma esfera natildeo apresenta anisotropia de forma pois N = 13 para qualquer direccedilatildeo de M

A Figura 28 mostra a variaccedilatildeo de Na para esferoacuteides prolatos e a variaccedilatildeo de Nb para esferoacuteides oblatos em funccedilatildeo da razatildeo ba Para um esferoacuteide prolato teremos N 2 N 1 (238)

Quando ba tende a zero isto eacute o gratildeo tem a forma de agulha 0 e (238) fica 2 1 (239)

Gratildeos de magnetita SD na forma de agulha em minerais silicaacuteticos ou em titanomagnetitas oxidadas em altas temperaturas subdivididas por lamelas de ilmenita apresentam anisotropias de forma muito acentuadas e alta estabilidade magneacutetica Podemos determinar a coercividade para o caso de Na = 0 que eacute representada pelo campo magneacutetico necessaacuterio para inverter a magnetizaccedilatildeo M ao longo do eixo maior para a direccedilatildeo oposta (a 180deg)

H H 90deg H 0deg N N M 12 480 10 240 kAm 3000 Oe

(240)

Para gratildeos oblatos em forma de disco podemos escrever 2 N N 1 (241)

Figura 28 Variaccedilotildees de Nb (para um esferoacuteide oblato) e de Na (para um esferoacuteide prolato) em funccedilatildeo de ba (ba = 1 para a esfera neste caso Na = Nb = 13) (Fonte Diunlop e Oumlzdemir 1997)

Considerando o caso limite do gratildeo oblato que poderia ser representado por uma placa infinita de pequena espessura 0 e (241) fica sendo N 1 (242)

Neste caso a magnetizaccedilatildeo M fica paralela ao plano da placa embora natildeo tenha preferecircncia direcional Tambeacutem o campo desmagnetizante (Hd) ao longo do eixo b eacute ainda maior quando comparada ao do gratildeo prolato Outro fato se refere ao campo magneacutetico interno (Bi) B micro H M B micro ndash N M M (243)

Como N = Nb = 1 teremos Bi = 0 isto eacute o campo se anula dentro da placa Deste modo o campo externo (He) ao gratildeo tambeacutem eacute zero

Na natureza os gratildeos magneacuteticos natildeo apresentam em geral formas esferoidais perfeitas Entretanto mesmo para os cristais reais M Hd e N tendem a ser uniformes no seu interior Somente nas bordas as direccedilotildees e magnitudes de Hd variam muito Todavia estas variaccedilotildees tendem na meacutedia a se anular quando o cristal eacute visto como um todo

Tanto gratildeos microscoacutepicos quanto corpos macroscoacutepicos apresentam anisotropia de forma No caso do paleomagnetismo para evitar deflexatildeo do vetor magnetizaccedilatildeo remanente por campos desmagnetizantes internos ou mesmo nas medidas de anisotropia de suscetibilidade magneacutetica (ASM) precisamos eliminar as possiacuteveis anisotropias de forma da amostra fazendo com que ela se aproxime ao maacuteximo de uma esfera Para uma amostra ciliacutendrica (usada normalmente para as medidas paleomagneacuteticas) em que R representa o raio da base do cilindro e L a sua altura temos a seguinte relaccedilatildeo

09 (244)

Assim para uma amostra ciliacutendrica de uma polegada de diacircmetro a melhor altura L seraacute igual 2 09 229 (245)

Texto escrito por Manoel Souza DrsquoAgrella Filho

Fonte bibliograacutefica

1 David J Dunlop Oumlzden Oumlzdemir ndash Rock Magnetism Fundamentals and Frontiers

Cambridge University Press 1997

2 William Lowrie ndash Fundamentals of Geophysics Cambridge University Press 1997

3 R B Butler Paleomagnetism Magnetic Domains to Geologic Terranes 1992

httpgeographylancsacukcempresourcesButler_bookcontentshtm

4 Lisa Tauxe Lectures in Paleomagnetism 2005

httpearthreforgMAGICbooksTauxe2005

APEcircNDICE A

COSSENOS DIRETORES

Um vetor F pode ser representado pelos cossenos dos acircngulos que ele faz com os trecircs eixos cartesianos X Y e Z descritos por θx θy e θz respectivamente (Figura 29) Estes acircngulos satildeo conhecidos como acircngulos diretores do vetor F e seus respectivos cossenos satildeo denominados de cossenos diretores

Figura 29 Representaccedilatildeo cartesiana de um vetor F mostrando os acircngulos diretores em relaccedilatildeo aos eixos X Y e Z respectivamente

Assim as componentes do vetor F podem ser descritas como cos cos cos

Os cossenos diretores podem ser calculados pelas seguintes expressotildees cos (246)

cos (247)

cos (248)

De modo que 1 (249)

Se o vetor F estiver por exemplo ao longo do eixo X entatildeo cos 1 cos cos 0 (250)

Isto eacute o que ocorre se a magnetizaccedilatildeo M na estrutura cuacutebica da magnetita estiver ao longo do eixo cristalograacutefico lt100gt isto eacute ao longo do eixo difiacutecil (Figura 210) Note entretanto que se a magnetizaccedilatildeo M estiver ao longo da diagonal do cubo (eixo cristalograacutefico lt111gt) isto eacute ao longo do eixo faacutecil teremos cos cos cos radic (251)

Figura 210 Representaccedilatildeo esquemaacutetica da estrutura cuacutebica da magnetita (aresta = a diagonal da face = b) A magnetizaccedilatildeo M estaacute na diagonal do cubo ao longo do eixo cristalograacutefico lt111gt

Podemos deduzir (251) facilmente Se a eacute o lado do cubo entatildeo a diagonal da face (b) seraacute radic2 (252)

Da Figura 210 podemos escrever a magnitude da magnetizaccedilatildeo M como (253)

Usando (252) a equaccedilatildeo (253) fica 2 3 radic3 (254)

Para M ao longo da diagonal do cubo cos cos cos e cos radic radic (255)

Logo cos cos cos radic

cqd

22 ANISOTROPIA MAGNETOESTRICTIVA OU MAGNETOELAacuteSTICA

Magnetoestricccedilatildeo eacute uma mudanccedila espontacircnea nas dimensotildees de um cristal ferromagneacutetico quando o mesmo eacute submetido a um campo magneacutetico Dentro da rede cristalina a energia de interaccedilatildeo entre os momentos magneacuteticos atocircmicos depende da separaccedilatildeo entre eles e de suas orientaccedilotildees isto eacute da direccedilatildeo de magnetizaccedilatildeo Um campo aplicado no material muda a orientaccedilatildeo dos momentos magneacuteticos de tal forma que a energia de interaccedilatildeo aumenta e as distacircncias entre as ligaccedilotildees se ajustam para reduzir a energia total Isto produz tensotildees que resultam em mudanccedilas na forma do material ferromagneacutetico Este fenocircmeno eacute chamado de magnetoestricccedilatildeo A magnetoestricccedilatildeo eacute positiva se o material se alonga na direccedilatildeo da magnetizaccedilatildeo e eacute negativa se ele diminui paralelo agrave magnetizaccedilatildeo

No caso da magnetita que tem estrutura cuacutebica a magnetoestricccedilatildeo seraacute positiva se o material se alongar na direccedilatildeo do eixo lt111gt e seraacute negativa se o material se alongar na direccedilatildeo lt100gt A diferenccedila maacutexima entre a tensatildeo magnetoestrictiva que ocorre entre o estado desmagnetizado e o estado de magnetizaccedilatildeo de saturaccedilatildeo eacute denominada de magnetoestricccedilatildeo de saturaccedilatildeo λs Para um conjunto de gratildeos orientados ao acaso dentro da rocha a magnetoestricccedilatildeo de saturaccedilatildeo pode ser expressa pela relaccedilatildeo

λ λ λ (29)

Onde λ e λ satildeo respectivamente a magnetoestricccedilatildeo de saturaccedilatildeo medida na direccedilatildeo lt100gt e a magnetoestricccedilatildeo de saturaccedilatildeo medida na direccedilatildeo lt111gt com a magnetizaccedilatildeo M na mesma direccedilatildeo em cada caso

Podemos ter tambeacutem um processo inverso em que uma tensatildeo eacute aplicada em uma das faces de um cristal cuacutebico por exemplo Neste caso ele diminuiraacute elasticamente ao longo da direccedilatildeo da tensatildeo e expandiraacute na direccedilatildeo perpendicular a ela Estas tensotildees alteram a separaccedilatildeo dos momentos atocircmicos e com isto os efeitos que datildeo origem a anisotropia magnetocristalina Portanto a aplicaccedilatildeo de tensotildees em um material origina mudanccedilas na sua magnetizaccedilatildeo Este efeito eacute chamado de piezomagnetismo

A densidade de energia anisotroacutepica Ea para um material magneacutetico uniaxial seraacute λ cos (210)

Onde θ eacute o acircngulo entre a magnetizaccedilatildeo de saturaccedilatildeo e a tensatildeo (σ) e λ eacute a magnetoestricccedilatildeo de saturaccedilatildeo como definida em (29)

Para a magnetita que apresenta estrutura cuacutebica as magnetoestricccedilotildees de saturaccedilatildeo ao longo dos eixos lt111gt e lt100gt satildeo respectivamente

λ111 = 726x10-6 e λ100 = -195x10-6

Com estes valores podemos determinar a magnetoestricccedilatildeo de saturaccedilatildeo para um conjunto de gratildeos de magnetita ao acaso atraveacutes da equaccedilatildeo (29) o que resulta em um valor de λs = 358x10-6 O campo coercivo (Bc = microo Hc) associado aos gratildeos de magnetita sob tensatildeo interna σ = 10 MPa pode ser determinado atraveacutes da expressatildeo B micro H λ σM middot middot 22 10 T 22 mT (211)

Este valor eacute baixo quando comparado agrave coercividade associada agrave anisotropia magnetocristalina Neste caso a constante de anisotropia K1 = -136x104 Jm-3 e a coercividade eacute dada pela expressatildeo B micro H K M middot 142 10 T 142 mT (212)

O mesmo natildeo ocorre para gratildeos de titanomagnetita com alta concentraccedilatildeo de titacircnio Por exemplo a TM60 (titanomagnetita com x=06) apresenta magnetoestricccedilotildees de saturaccedilatildeo ao longo dos eixos lt111gt e lt100gt respectivamente

λ111 = 954x10-6 e λ100 = 1425x10-6

Estes dados fornecem um valor de λs = 114x10-6 (equaccedilatildeo 29) Sendo a magnetizaccedilatildeo espontacircnea Ms associada aos gratildeos de TM60 igual a 125 kAm a sua coercividade pode ser calculada para uma tensatildeo σ = 10 MPa como sendo B micro H λ σM middot middot 274 10 T 274 mT (213)

Sabendo que a constante de anisotropia magnetocristalina (K1) associada aos gratildeos de TM60 eacute igual a 202x103 Jm3 podemos determinar a sua coercividade associada agrave anisotropia magnetocristalina B micro H K M middot 8 10 T 142 mT (214)

Os valores de coercividades calculados em (213) e (214) mostram que tensotildees internas nos cristais de TM60 tecircm uma contribuiccedilatildeo maior para a estabilidade da magnetizaccedilatildeo neste mineral do que a decorrente da anisotropia magnetocristalina

Jaacute para a hematita em decorrecircncia da presenccedila de tensotildees internas e de sua baixa magnetizaccedilatildeo espontacircnea (Ms = 25x103 Am) a coercividade eacute dominada pela anisotropia magnetoestrictiva Sabendo-se que a magnetoestricccedilatildeo de saturaccedilatildeo da hematita eacute igual a 8x10-6 a coercividade da hematita para uma tensatildeo de 100 MPa seraacute

B micro H λ σM middot middot 5455 10 T 5455 mT (215)

Para efeito de comparaccedilatildeo sabendo-se que a constante de anisotropia magnetocristalina no plano basal eacute de 10 a 100 Jm3 a coercividade maacutexima associada seraacute B micro H K M middot 20 10 T 20 mT (216)

Os valores de coercividades calculados em (215) e (216) mostram que tensotildees internas nos cristais de hematita tecircm uma contribuiccedilatildeo muito maior do que a decorrente da anisotropia magnetocristalina para a estabilidade da magnetizaccedilatildeo neste mineral

Tanto a anisotropia magnetocristalina quanto a anisotropia magnetoestritiva variam com a temperatura (Figura 23) A anisotropia magnetocristalina varia com a potecircncia de 10 da variaccedilatildeo da magnetizaccedilatildeo (217)

Figura 23 Comparaccedilatildeo entre as variaccedilotildees da magnetizaccedilatildeo espontacircnea (Ms) da constante magnetoestrictiva (λs) e da constante de anisotropia magnetocristalina (K1) com a temperatura para a magnetita (Fonte Dunlop e Oumlzdemir 1997)

23 ENERGIA MAGNETOSTAacuteTICA

Natildeo fossem outros fatores a ser considerado o acoplamento de troca faria com que os materiais ferromagneacuteticos se magnetizassem ateacute a saturaccedilatildeo ao longo dos eixos faacuteceis magnetocristalinos ou magnetoelaacutesticos dificultado somente pela agitaccedilatildeo teacutermica Tais gratildeos de domiacutenio simples (SD) de fato existem mas na maioria dos materiais eles satildeo bem pequenos frequentemente menores do que 1 microm no caso de gratildeos de magnetita

O que ocorre realmente eacute que gratildeos maiores se subdividem espontaneamente em dois ou mais domiacutenios com magnetizaccedilatildeo uniforme (Ms) em cada um deles poreacutem com direccedilotildees diferentes Isto ocorre devido a um efeito de interaccedilatildeo dipolo-dipolo de longo alcance entre momentos magneacuteticos que produz uma energia magnetostaacutetica ou desmagnetizante a qual eventualmente supera a energia magnetocristalina

231 CAMPO DESMAGNETIZANTE

2311 CAPACITOR DE PLACAS PARALELAS O ANAacuteLOGO ELETROSTAacuteTICO

Para entendermos a origem da energia desmagnetizante vamos recordar o efeito que ocorre em um dieleacutetrico colocado no interior de um capacitor com densidade de cargas plusmnσf produzida pela diferenccedila de potencial V entre as placas do capacitor (Figura 24a) Dieleacutetrico eacute um material isolante que pode ser um plaacutestico ou oacuteleo mineral A diferenccedila de potencial produziraacute um campo eleacutetrico Eo entre as placas do capacitor com sentido na direccedilatildeo da placa com cargas negativas (Figura 24a) Uma carga de prova positiva colocada no interior do capacitor se deslocaraacute no sentido do campo eleacutetrico

Figura 24 (a) Linhas de campo eleacutetrico em um capacitor de placas paralelas (b) Polarizaccedilatildeo de um dieleacutetrico entre as placas do capacitor formando cargas de ligaccedilatildeo na superfiacutecie com densidade σb (c) Campo despolarizante Ed causado pelas cargas de superfiacutecie (Fonte Dunlop e Oumlzdemir 1997)

Como os eleacutetrons estatildeo presos agrave rede cristalina do dieleacutetrico o efeito do campo eleacutetrico Eo seraacute o de deslocar as cargas positivas nos aacutetomos para a direita e as cargas negativas nos aacutetomos para a esquerda Embora este deslocamento seja pequeno ele cria momentos de dipolo na escala atocircmica todos alinhados com o campo eleacutetrico Eo Este efeito eacute conhecido como polarizaccedilatildeo eleacutetrica a qual eacute definida como momento de dipolo por unidade de volume A polarizaccedilatildeo eleacutetrica eacute representada pela letra P e tem o mesmo

sentido de Eo No total o dieleacutetrico eacute neutro mas haacute duas faixas com espessura na escala atocircmica nas superfiacutecies da esquerda e da direita do dieleacutetrico que satildeo carregadas eletricamente com cargas negativas e positivas respectivamente (Figura 24b) Elas satildeo denominadas de cargas de ligaccedilatildeo por natildeo estarem livres como eacute o caso dos eleacutetrons de conduccedilatildeo Defini-se uma densidade de cargas (σb) em cada superfiacutecie do dieleacutetrico como sendo

σ middot (218)

Onde eacute o vetor unitaacuterio normal agrave superfiacutecie (Figura 24c)

As cargas de superfiacutecie vatildeo gerar um campo eleacutetrico Ed sendo que cada linha de campo comeccedila na superfiacutecie de cargas positivas e termina na superfiacutecie de cargas negativas (Figura 24c) Como o campo eleacutetrico Ed eacute oposto agrave polarizaccedilatildeo P ele atua no sentido de reduzir a polarizaccedilatildeo produzida pelo campo eleacutetrico Eo isto eacute ele cancela parcialmente o campo Eo que criou a polarizaccedilatildeo P Neste sentido Ed eacute chamado de campo despolarizante

2312 MATERIAL FERROMAGNEacuteTICO

Vamos ver agora o que ocorre em um material ferromagneacutetico como o mostrado na Figura 25 no qual eacute aplicado um campo magneacutetico Ho e uma magnetizaccedilatildeo M estaacute associada ao material Do mesmo modo que para o dieleacutetrico no caso do material magnetizado ocorre uma polarizaccedilatildeo magneacutetica a qual gera um campo desmagnetizante Hd Entretanto por causa do forte acoplamento de troca este efeito eacute muito maior no material ferromagneacutetico Outra diferenccedila eacute que para a maioria dos dieleacutetricos um campo eleacutetrico eacute necessaacuterio para induzir a polarizaccedilatildeo P enquanto que no material ferromagneacutetico podemos ter uma magnetizaccedilatildeo sem campo magneacutetico aplicado No caso da aplicaccedilatildeo de um campo Ho a magnetizaccedilatildeo total (M) eacute composta pela magnetizaccedilatildeo induzida pelo campo Ho e a magnetizaccedilatildeo remanente (Mr) Note que macroscopicamente estas magnetizaccedilotildees podem estar associadas a gratildeos magneacuteticos diferentes se o campo Ho natildeo for muito intenso (como o campo da Terra por exemplo) Podemos escrever

M = χ Ho + Mr (219)

Onde χ eacute a suscetibilidade magneacutetica A polarizaccedilatildeo magneacutetica produziraacute cargas (poacutelos) magneacuteticas positivas e negativas nas faces direita e esquerda do material respectivamente (Figura 25) Estas cargas podem ser identificadas por uma densidade de cargas σm definida por

σ middot (220)

Onde eacute o vetor unitaacuterio normal agrave superfiacutecie (Figura 25)

Figura 25 O campo desmagnetizante Hd em um material magneticamente polarizado (Fonte Dunlop e Oumlzdemir 1997)

As cargas magneacuteticas vatildeo produzir um campo desmagnetizante Hd cujas linhas comeccedilam nas cargas positivas e terminam nas cargas negativas Note que o campo desmagnetizante eacute antiparalelo agrave magnetizaccedilatildeo M isto eacute o campo desmagnetizante age no sentido de desmagnetizar o material Em decorrecircncia deste campo um poacutelo magneacutetico positivo fictiacutecio dentro do material se deslocaraacute ao longo da direccedilatildeo do campo Hd Um dipolo magneacutetico com momento m sofreraacute uma rotaccedilatildeo ateacute ficar paralelo ao campo Hd sendo que o poacutelo positivo do dipolo fica mais perto do lado esquerdo (cargas negativas) e o poacutelo negativo do dipolo fica mais perto do lado direito do material (cargas positivas) O momento m do dipolo se orientaraacute com Hd tal como um iacutematilde Podemos associar ao dipolo um torque (τ) e uma energia potencial magneacutetica (Em)

τ (221) E middot (222)

O campo interno (Hi) total seraacute igual a N middot (223)

Onde Hd = -N M N eacute denominado de fator desmagnetizante e pode ser representado por um tensor No interior do prisma representado na Figura 25 em que as linhas do campo

Hd natildeo se espalham Hd eacute constante e exatamente antiparalelo a M Neste caso N passa a ser uma constante Sendo m o momento magneacutetico do material V o seu volume e M a sua magnetizaccedilatildeo entatildeo m = V M Assim a energia potencial magneacutetica (Em) associada pode ser expressa utilizando-se as equaccedilotildees (222) e (223) como sendo ou (224)

O primeiro termo do lado direito da equaccedilatildeo (224) eacute denominado de Energia de Zeeman ou Energia de campo magneacutetico (EH) O segundo termo eacute denominado de Energia magnetostaacutetica ou Energia desmagnetizante (Ed) O fator frac12 na determinaccedilatildeo de Ed decorre do fato que esta energia estaacute relacionada a uma interaccedilatildeo dipolo-dipolo e nesta interaccedilatildeo cada dipolo interage com o dipolo anterior e tambeacutem com o posterior Assim ele eacute contado duas vezes

2313 ESFERA UNIFORMEMENTE MAGNETIZADA

A Figura 26 mostra uma esfera de raio R e magnetizaccedilatildeo M ao longo do eixo z A densidade de cargas em sua superfiacutecie eacute middot isto eacute cos (225)

Os poacutelos magneacuteticos estatildeo concentrados nas superfiacutecies de cima e de baixo da esfera Natildeo haacute poacutelos magneacuteticos ao longo do equador da esfera onde M eacute tangencial a superfiacutecie (θ = 90deg na equaccedilatildeo 225) Para calcular o campo desmagnetizante (Hd) usamos um princiacutepio da teoria de potencial elementar Quando calculamos o campo gravitacional externo a uma esfera de densidade uniforme admitimos que toda a sua massa estaacute concentrada em seu centro Do mesmo modo podemos supor que o campo magneacutetico externo (He) a uma esfera uniformemente polarizada eacute o mesmo de um dipolo situado no centro da esfera e com momento de dipolo m = V M Admitindo que o campo magneacutetico apresente continuidade atraveacutes de qualquer ponto da superfiacutecie da esfera podemos igualar o campo Hd e He na sua superfiacutecie (Figura 26)

Figura 26 Campo externo e campo interno (linhas tracejadas) de uma esfera com magnetizaccedilatildeo uniforme M ao longo do eixo z Cargas ou poacutelos magneacuteticos de superfiacutecie satildeo indicados por + e - (Fonte Dunlop e Oumlzdemir 1997)

O campo (H) de um dipolo com seu eixo ao longo do eixo z eacute representado pela expressatildeo

micro π 2 cos θ sin θ (226)

e satildeo os vetores unitaacuterios radial e tangencial respectivamente

No equador da esfera

Hd = - N M (227)

e o campo externo para r = R seraacute

4 2 cos 90deg sin 90deg 43 4

(228)

O sinal negativo vem do fato de He estar orientado no sentido contraacuterio ao eixo z Igualando (227) e (228) teremos

(229)

O valor de N = 13 foi calculado para o sistema SI No cgs

No poacutelo da esfera ao longo do eixo z r = R e θ = 0 O campo magneacutetico interno (Bi) pode ser expresso por 1 (230)

O campo externo Be pode ser determinado pela equaccedilatildeo (226)

4 2 cos 0deg sin 0deg 2 43 4

(231)

Igualando as equaccedilotildees (230) e (231) teremos 1 (232)

Pode-se mostrar que em qualquer ponto da superfiacutecie e do

interior de uma esfera de domiacutenio simples Logo (SI) em qualquer ponto

No cgs basta multiplicar 13 pelo fator 4π

2314 ESFEROacuteIDE UNIFORMEMENTE MAGNETIZADO E ANISOTROPIA DE FORMA

A Figura 27 ilustra os poacutelos de superfiacutecie e os campos desmagnetizantes para esferoacuteides prolatos (elipsoacuteide de revoluccedilatildeo) uniformemente magnetizados Em (a) o esferoacuteide eacute magnetizado ao longo do semi-eixo maior a Os poacutelos de superfiacutecie estatildeo mais afastados quando comparados aos da esfera de volume correspondente Por analogia com a eletrostaacutetica campos decrescem com a distacircncia isto eacute com 1r2 portanto o campo Hd que surge destes poacutelos eacute menor do que no caso da esfera Assim Na lt 13 Por outro lado em (b) onde o esferoacuteide eacute magnetizado paralelo ao semi-eixo menor b os poacutelos de superfiacutecie estatildeo mais proacuteximos e neste caso Nb gt 13 O campo Hd tambeacutem eacute maior quando comparado com o da esfera

Figura 27 Poacutelos de superfiacutecie e campo desmagnetizante interno Hd para um esferoacuteide prolato com magnetizaccedilatildeo uniforme M (a) ao longo do eixo maior (b) ao longo do eixo menor (c) obliquo ao eixo maior Hd eacute uniforme em todos os casos mas em (c) ele natildeo eacute antiparalelo a M (Fonte Dunlop e Oumlzdemir 1997)

Na Figura 27c M estaacute a um acircngulo θ em relaccedilatildeo ao eixo z ( Hd eacute ainda uniforme entretanto natildeo eacute mais antiparalelo a M Podemos escrever M sin θ M cos θ (233)

Do mesmo modo podemos escrever o campo Hd como N M sin θ N M cos θ (234)

Podemos calcular a energia desmagnetizante (Ed) E micro V middot (235)

Deste modo micro V M sin θ M cos θ middot N M sin θ N M cos θ micro V M N sin θ N cos θ micro V M N N N sin θ (236)

Para um elipsoacuteide com fatores desmagnetizantes Nx Ny e Nz eacute vaacutelida a seguinte relaccedilatildeo 1 (237)

A equaccedilatildeo (236) mostra que a energia desmagnetizante eacute anisotroacutepica natildeo com relaccedilatildeo aos eixos cristalograacuteficos mas com relaccedilatildeo agrave forma externa do cristal a qual determina a separaccedilatildeo dos poacutelos de superfiacutecie para diferentes orientaccedilotildees de M A

anisotropia eacute uniaxial para um esferoacuteide prolato com o eixo faacutecil de magnetizaccedilatildeo sendo paralelo ao eixo maior isto eacute para θ = 0deg ou θ = 180deg Este efeito eacute chamado de anisotropia de forma Ela normalmente mascara as anisotropias magnetocristalina e magnetoelaacutestica nos gratildeos de domiacutenio simples de minerais fortemente magneacuteticos como eacute o caso da magnetita maghemita e ferro puro Para a magnetita se Na difere de Nb em 10 jaacute haacute um predomiacutenio da anisotropia de forma Os esferoacuteides oblatos tambeacutem apresentam anisotropia de forma Entretanto neste caso a magnetizaccedilatildeo M pode girar livremente no plano do eixo maior Uma esfera natildeo apresenta anisotropia de forma pois N = 13 para qualquer direccedilatildeo de M

A Figura 28 mostra a variaccedilatildeo de Na para esferoacuteides prolatos e a variaccedilatildeo de Nb para esferoacuteides oblatos em funccedilatildeo da razatildeo ba Para um esferoacuteide prolato teremos N 2 N 1 (238)

Quando ba tende a zero isto eacute o gratildeo tem a forma de agulha 0 e (238) fica 2 1 (239)

Gratildeos de magnetita SD na forma de agulha em minerais silicaacuteticos ou em titanomagnetitas oxidadas em altas temperaturas subdivididas por lamelas de ilmenita apresentam anisotropias de forma muito acentuadas e alta estabilidade magneacutetica Podemos determinar a coercividade para o caso de Na = 0 que eacute representada pelo campo magneacutetico necessaacuterio para inverter a magnetizaccedilatildeo M ao longo do eixo maior para a direccedilatildeo oposta (a 180deg)

H H 90deg H 0deg N N M 12 480 10 240 kAm 3000 Oe

(240)

Para gratildeos oblatos em forma de disco podemos escrever 2 N N 1 (241)

Figura 28 Variaccedilotildees de Nb (para um esferoacuteide oblato) e de Na (para um esferoacuteide prolato) em funccedilatildeo de ba (ba = 1 para a esfera neste caso Na = Nb = 13) (Fonte Diunlop e Oumlzdemir 1997)

Considerando o caso limite do gratildeo oblato que poderia ser representado por uma placa infinita de pequena espessura 0 e (241) fica sendo N 1 (242)

Neste caso a magnetizaccedilatildeo M fica paralela ao plano da placa embora natildeo tenha preferecircncia direcional Tambeacutem o campo desmagnetizante (Hd) ao longo do eixo b eacute ainda maior quando comparada ao do gratildeo prolato Outro fato se refere ao campo magneacutetico interno (Bi) B micro H M B micro ndash N M M (243)

Como N = Nb = 1 teremos Bi = 0 isto eacute o campo se anula dentro da placa Deste modo o campo externo (He) ao gratildeo tambeacutem eacute zero

Na natureza os gratildeos magneacuteticos natildeo apresentam em geral formas esferoidais perfeitas Entretanto mesmo para os cristais reais M Hd e N tendem a ser uniformes no seu interior Somente nas bordas as direccedilotildees e magnitudes de Hd variam muito Todavia estas variaccedilotildees tendem na meacutedia a se anular quando o cristal eacute visto como um todo

Tanto gratildeos microscoacutepicos quanto corpos macroscoacutepicos apresentam anisotropia de forma No caso do paleomagnetismo para evitar deflexatildeo do vetor magnetizaccedilatildeo remanente por campos desmagnetizantes internos ou mesmo nas medidas de anisotropia de suscetibilidade magneacutetica (ASM) precisamos eliminar as possiacuteveis anisotropias de forma da amostra fazendo com que ela se aproxime ao maacuteximo de uma esfera Para uma amostra ciliacutendrica (usada normalmente para as medidas paleomagneacuteticas) em que R representa o raio da base do cilindro e L a sua altura temos a seguinte relaccedilatildeo

09 (244)

Assim para uma amostra ciliacutendrica de uma polegada de diacircmetro a melhor altura L seraacute igual 2 09 229 (245)

Texto escrito por Manoel Souza DrsquoAgrella Filho

Fonte bibliograacutefica

1 David J Dunlop Oumlzden Oumlzdemir ndash Rock Magnetism Fundamentals and Frontiers

Cambridge University Press 1997

2 William Lowrie ndash Fundamentals of Geophysics Cambridge University Press 1997

3 R B Butler Paleomagnetism Magnetic Domains to Geologic Terranes 1992

httpgeographylancsacukcempresourcesButler_bookcontentshtm

4 Lisa Tauxe Lectures in Paleomagnetism 2005

httpearthreforgMAGICbooksTauxe2005

APEcircNDICE A

COSSENOS DIRETORES

Um vetor F pode ser representado pelos cossenos dos acircngulos que ele faz com os trecircs eixos cartesianos X Y e Z descritos por θx θy e θz respectivamente (Figura 29) Estes acircngulos satildeo conhecidos como acircngulos diretores do vetor F e seus respectivos cossenos satildeo denominados de cossenos diretores

Figura 29 Representaccedilatildeo cartesiana de um vetor F mostrando os acircngulos diretores em relaccedilatildeo aos eixos X Y e Z respectivamente

Assim as componentes do vetor F podem ser descritas como cos cos cos

Os cossenos diretores podem ser calculados pelas seguintes expressotildees cos (246)

cos (247)

cos (248)

De modo que 1 (249)

Se o vetor F estiver por exemplo ao longo do eixo X entatildeo cos 1 cos cos 0 (250)

Isto eacute o que ocorre se a magnetizaccedilatildeo M na estrutura cuacutebica da magnetita estiver ao longo do eixo cristalograacutefico lt100gt isto eacute ao longo do eixo difiacutecil (Figura 210) Note entretanto que se a magnetizaccedilatildeo M estiver ao longo da diagonal do cubo (eixo cristalograacutefico lt111gt) isto eacute ao longo do eixo faacutecil teremos cos cos cos radic (251)

Figura 210 Representaccedilatildeo esquemaacutetica da estrutura cuacutebica da magnetita (aresta = a diagonal da face = b) A magnetizaccedilatildeo M estaacute na diagonal do cubo ao longo do eixo cristalograacutefico lt111gt

Podemos deduzir (251) facilmente Se a eacute o lado do cubo entatildeo a diagonal da face (b) seraacute radic2 (252)

Da Figura 210 podemos escrever a magnitude da magnetizaccedilatildeo M como (253)

Usando (252) a equaccedilatildeo (253) fica 2 3 radic3 (254)

Para M ao longo da diagonal do cubo cos cos cos e cos radic radic (255)

Logo cos cos cos radic

cqd

λ111 = 726x10-6 e λ100 = -195x10-6

Com estes valores podemos determinar a magnetoestricccedilatildeo de saturaccedilatildeo para um conjunto de gratildeos de magnetita ao acaso atraveacutes da equaccedilatildeo (29) o que resulta em um valor de λs = 358x10-6 O campo coercivo (Bc = microo Hc) associado aos gratildeos de magnetita sob tensatildeo interna σ = 10 MPa pode ser determinado atraveacutes da expressatildeo B micro H λ σM middot middot 22 10 T 22 mT (211)

Este valor eacute baixo quando comparado agrave coercividade associada agrave anisotropia magnetocristalina Neste caso a constante de anisotropia K1 = -136x104 Jm-3 e a coercividade eacute dada pela expressatildeo B micro H K M middot 142 10 T 142 mT (212)

O mesmo natildeo ocorre para gratildeos de titanomagnetita com alta concentraccedilatildeo de titacircnio Por exemplo a TM60 (titanomagnetita com x=06) apresenta magnetoestricccedilotildees de saturaccedilatildeo ao longo dos eixos lt111gt e lt100gt respectivamente

λ111 = 954x10-6 e λ100 = 1425x10-6

Estes dados fornecem um valor de λs = 114x10-6 (equaccedilatildeo 29) Sendo a magnetizaccedilatildeo espontacircnea Ms associada aos gratildeos de TM60 igual a 125 kAm a sua coercividade pode ser calculada para uma tensatildeo σ = 10 MPa como sendo B micro H λ σM middot middot 274 10 T 274 mT (213)

Sabendo que a constante de anisotropia magnetocristalina (K1) associada aos gratildeos de TM60 eacute igual a 202x103 Jm3 podemos determinar a sua coercividade associada agrave anisotropia magnetocristalina B micro H K M middot 8 10 T 142 mT (214)

Os valores de coercividades calculados em (213) e (214) mostram que tensotildees internas nos cristais de TM60 tecircm uma contribuiccedilatildeo maior para a estabilidade da magnetizaccedilatildeo neste mineral do que a decorrente da anisotropia magnetocristalina

Jaacute para a hematita em decorrecircncia da presenccedila de tensotildees internas e de sua baixa magnetizaccedilatildeo espontacircnea (Ms = 25x103 Am) a coercividade eacute dominada pela anisotropia magnetoestrictiva Sabendo-se que a magnetoestricccedilatildeo de saturaccedilatildeo da hematita eacute igual a 8x10-6 a coercividade da hematita para uma tensatildeo de 100 MPa seraacute

B micro H λ σM middot middot 5455 10 T 5455 mT (215)

Para efeito de comparaccedilatildeo sabendo-se que a constante de anisotropia magnetocristalina no plano basal eacute de 10 a 100 Jm3 a coercividade maacutexima associada seraacute B micro H K M middot 20 10 T 20 mT (216)

Os valores de coercividades calculados em (215) e (216) mostram que tensotildees internas nos cristais de hematita tecircm uma contribuiccedilatildeo muito maior do que a decorrente da anisotropia magnetocristalina para a estabilidade da magnetizaccedilatildeo neste mineral

Tanto a anisotropia magnetocristalina quanto a anisotropia magnetoestritiva variam com a temperatura (Figura 23) A anisotropia magnetocristalina varia com a potecircncia de 10 da variaccedilatildeo da magnetizaccedilatildeo (217)

Figura 23 Comparaccedilatildeo entre as variaccedilotildees da magnetizaccedilatildeo espontacircnea (Ms) da constante magnetoestrictiva (λs) e da constante de anisotropia magnetocristalina (K1) com a temperatura para a magnetita (Fonte Dunlop e Oumlzdemir 1997)

23 ENERGIA MAGNETOSTAacuteTICA

Natildeo fossem outros fatores a ser considerado o acoplamento de troca faria com que os materiais ferromagneacuteticos se magnetizassem ateacute a saturaccedilatildeo ao longo dos eixos faacuteceis magnetocristalinos ou magnetoelaacutesticos dificultado somente pela agitaccedilatildeo teacutermica Tais gratildeos de domiacutenio simples (SD) de fato existem mas na maioria dos materiais eles satildeo bem pequenos frequentemente menores do que 1 microm no caso de gratildeos de magnetita

O que ocorre realmente eacute que gratildeos maiores se subdividem espontaneamente em dois ou mais domiacutenios com magnetizaccedilatildeo uniforme (Ms) em cada um deles poreacutem com direccedilotildees diferentes Isto ocorre devido a um efeito de interaccedilatildeo dipolo-dipolo de longo alcance entre momentos magneacuteticos que produz uma energia magnetostaacutetica ou desmagnetizante a qual eventualmente supera a energia magnetocristalina

231 CAMPO DESMAGNETIZANTE

2311 CAPACITOR DE PLACAS PARALELAS O ANAacuteLOGO ELETROSTAacuteTICO

Para entendermos a origem da energia desmagnetizante vamos recordar o efeito que ocorre em um dieleacutetrico colocado no interior de um capacitor com densidade de cargas plusmnσf produzida pela diferenccedila de potencial V entre as placas do capacitor (Figura 24a) Dieleacutetrico eacute um material isolante que pode ser um plaacutestico ou oacuteleo mineral A diferenccedila de potencial produziraacute um campo eleacutetrico Eo entre as placas do capacitor com sentido na direccedilatildeo da placa com cargas negativas (Figura 24a) Uma carga de prova positiva colocada no interior do capacitor se deslocaraacute no sentido do campo eleacutetrico

Figura 24 (a) Linhas de campo eleacutetrico em um capacitor de placas paralelas (b) Polarizaccedilatildeo de um dieleacutetrico entre as placas do capacitor formando cargas de ligaccedilatildeo na superfiacutecie com densidade σb (c) Campo despolarizante Ed causado pelas cargas de superfiacutecie (Fonte Dunlop e Oumlzdemir 1997)

Como os eleacutetrons estatildeo presos agrave rede cristalina do dieleacutetrico o efeito do campo eleacutetrico Eo seraacute o de deslocar as cargas positivas nos aacutetomos para a direita e as cargas negativas nos aacutetomos para a esquerda Embora este deslocamento seja pequeno ele cria momentos de dipolo na escala atocircmica todos alinhados com o campo eleacutetrico Eo Este efeito eacute conhecido como polarizaccedilatildeo eleacutetrica a qual eacute definida como momento de dipolo por unidade de volume A polarizaccedilatildeo eleacutetrica eacute representada pela letra P e tem o mesmo

sentido de Eo No total o dieleacutetrico eacute neutro mas haacute duas faixas com espessura na escala atocircmica nas superfiacutecies da esquerda e da direita do dieleacutetrico que satildeo carregadas eletricamente com cargas negativas e positivas respectivamente (Figura 24b) Elas satildeo denominadas de cargas de ligaccedilatildeo por natildeo estarem livres como eacute o caso dos eleacutetrons de conduccedilatildeo Defini-se uma densidade de cargas (σb) em cada superfiacutecie do dieleacutetrico como sendo

σ middot (218)

Onde eacute o vetor unitaacuterio normal agrave superfiacutecie (Figura 24c)

As cargas de superfiacutecie vatildeo gerar um campo eleacutetrico Ed sendo que cada linha de campo comeccedila na superfiacutecie de cargas positivas e termina na superfiacutecie de cargas negativas (Figura 24c) Como o campo eleacutetrico Ed eacute oposto agrave polarizaccedilatildeo P ele atua no sentido de reduzir a polarizaccedilatildeo produzida pelo campo eleacutetrico Eo isto eacute ele cancela parcialmente o campo Eo que criou a polarizaccedilatildeo P Neste sentido Ed eacute chamado de campo despolarizante

2312 MATERIAL FERROMAGNEacuteTICO

Vamos ver agora o que ocorre em um material ferromagneacutetico como o mostrado na Figura 25 no qual eacute aplicado um campo magneacutetico Ho e uma magnetizaccedilatildeo M estaacute associada ao material Do mesmo modo que para o dieleacutetrico no caso do material magnetizado ocorre uma polarizaccedilatildeo magneacutetica a qual gera um campo desmagnetizante Hd Entretanto por causa do forte acoplamento de troca este efeito eacute muito maior no material ferromagneacutetico Outra diferenccedila eacute que para a maioria dos dieleacutetricos um campo eleacutetrico eacute necessaacuterio para induzir a polarizaccedilatildeo P enquanto que no material ferromagneacutetico podemos ter uma magnetizaccedilatildeo sem campo magneacutetico aplicado No caso da aplicaccedilatildeo de um campo Ho a magnetizaccedilatildeo total (M) eacute composta pela magnetizaccedilatildeo induzida pelo campo Ho e a magnetizaccedilatildeo remanente (Mr) Note que macroscopicamente estas magnetizaccedilotildees podem estar associadas a gratildeos magneacuteticos diferentes se o campo Ho natildeo for muito intenso (como o campo da Terra por exemplo) Podemos escrever

M = χ Ho + Mr (219)

Onde χ eacute a suscetibilidade magneacutetica A polarizaccedilatildeo magneacutetica produziraacute cargas (poacutelos) magneacuteticas positivas e negativas nas faces direita e esquerda do material respectivamente (Figura 25) Estas cargas podem ser identificadas por uma densidade de cargas σm definida por

σ middot (220)

Onde eacute o vetor unitaacuterio normal agrave superfiacutecie (Figura 25)

Figura 25 O campo desmagnetizante Hd em um material magneticamente polarizado (Fonte Dunlop e Oumlzdemir 1997)

As cargas magneacuteticas vatildeo produzir um campo desmagnetizante Hd cujas linhas comeccedilam nas cargas positivas e terminam nas cargas negativas Note que o campo desmagnetizante eacute antiparalelo agrave magnetizaccedilatildeo M isto eacute o campo desmagnetizante age no sentido de desmagnetizar o material Em decorrecircncia deste campo um poacutelo magneacutetico positivo fictiacutecio dentro do material se deslocaraacute ao longo da direccedilatildeo do campo Hd Um dipolo magneacutetico com momento m sofreraacute uma rotaccedilatildeo ateacute ficar paralelo ao campo Hd sendo que o poacutelo positivo do dipolo fica mais perto do lado esquerdo (cargas negativas) e o poacutelo negativo do dipolo fica mais perto do lado direito do material (cargas positivas) O momento m do dipolo se orientaraacute com Hd tal como um iacutematilde Podemos associar ao dipolo um torque (τ) e uma energia potencial magneacutetica (Em)

τ (221) E middot (222)

O campo interno (Hi) total seraacute igual a N middot (223)

Onde Hd = -N M N eacute denominado de fator desmagnetizante e pode ser representado por um tensor No interior do prisma representado na Figura 25 em que as linhas do campo

Hd natildeo se espalham Hd eacute constante e exatamente antiparalelo a M Neste caso N passa a ser uma constante Sendo m o momento magneacutetico do material V o seu volume e M a sua magnetizaccedilatildeo entatildeo m = V M Assim a energia potencial magneacutetica (Em) associada pode ser expressa utilizando-se as equaccedilotildees (222) e (223) como sendo ou (224)

O primeiro termo do lado direito da equaccedilatildeo (224) eacute denominado de Energia de Zeeman ou Energia de campo magneacutetico (EH) O segundo termo eacute denominado de Energia magnetostaacutetica ou Energia desmagnetizante (Ed) O fator frac12 na determinaccedilatildeo de Ed decorre do fato que esta energia estaacute relacionada a uma interaccedilatildeo dipolo-dipolo e nesta interaccedilatildeo cada dipolo interage com o dipolo anterior e tambeacutem com o posterior Assim ele eacute contado duas vezes

2313 ESFERA UNIFORMEMENTE MAGNETIZADA

A Figura 26 mostra uma esfera de raio R e magnetizaccedilatildeo M ao longo do eixo z A densidade de cargas em sua superfiacutecie eacute middot isto eacute cos (225)

Os poacutelos magneacuteticos estatildeo concentrados nas superfiacutecies de cima e de baixo da esfera Natildeo haacute poacutelos magneacuteticos ao longo do equador da esfera onde M eacute tangencial a superfiacutecie (θ = 90deg na equaccedilatildeo 225) Para calcular o campo desmagnetizante (Hd) usamos um princiacutepio da teoria de potencial elementar Quando calculamos o campo gravitacional externo a uma esfera de densidade uniforme admitimos que toda a sua massa estaacute concentrada em seu centro Do mesmo modo podemos supor que o campo magneacutetico externo (He) a uma esfera uniformemente polarizada eacute o mesmo de um dipolo situado no centro da esfera e com momento de dipolo m = V M Admitindo que o campo magneacutetico apresente continuidade atraveacutes de qualquer ponto da superfiacutecie da esfera podemos igualar o campo Hd e He na sua superfiacutecie (Figura 26)

Figura 26 Campo externo e campo interno (linhas tracejadas) de uma esfera com magnetizaccedilatildeo uniforme M ao longo do eixo z Cargas ou poacutelos magneacuteticos de superfiacutecie satildeo indicados por + e - (Fonte Dunlop e Oumlzdemir 1997)

O campo (H) de um dipolo com seu eixo ao longo do eixo z eacute representado pela expressatildeo

micro π 2 cos θ sin θ (226)

e satildeo os vetores unitaacuterios radial e tangencial respectivamente

No equador da esfera

Hd = - N M (227)

e o campo externo para r = R seraacute

4 2 cos 90deg sin 90deg 43 4

(228)

O sinal negativo vem do fato de He estar orientado no sentido contraacuterio ao eixo z Igualando (227) e (228) teremos

(229)

O valor de N = 13 foi calculado para o sistema SI No cgs

No poacutelo da esfera ao longo do eixo z r = R e θ = 0 O campo magneacutetico interno (Bi) pode ser expresso por 1 (230)

O campo externo Be pode ser determinado pela equaccedilatildeo (226)

4 2 cos 0deg sin 0deg 2 43 4

(231)

Igualando as equaccedilotildees (230) e (231) teremos 1 (232)

Pode-se mostrar que em qualquer ponto da superfiacutecie e do

interior de uma esfera de domiacutenio simples Logo (SI) em qualquer ponto

No cgs basta multiplicar 13 pelo fator 4π

2314 ESFEROacuteIDE UNIFORMEMENTE MAGNETIZADO E ANISOTROPIA DE FORMA

A Figura 27 ilustra os poacutelos de superfiacutecie e os campos desmagnetizantes para esferoacuteides prolatos (elipsoacuteide de revoluccedilatildeo) uniformemente magnetizados Em (a) o esferoacuteide eacute magnetizado ao longo do semi-eixo maior a Os poacutelos de superfiacutecie estatildeo mais afastados quando comparados aos da esfera de volume correspondente Por analogia com a eletrostaacutetica campos decrescem com a distacircncia isto eacute com 1r2 portanto o campo Hd que surge destes poacutelos eacute menor do que no caso da esfera Assim Na lt 13 Por outro lado em (b) onde o esferoacuteide eacute magnetizado paralelo ao semi-eixo menor b os poacutelos de superfiacutecie estatildeo mais proacuteximos e neste caso Nb gt 13 O campo Hd tambeacutem eacute maior quando comparado com o da esfera

Figura 27 Poacutelos de superfiacutecie e campo desmagnetizante interno Hd para um esferoacuteide prolato com magnetizaccedilatildeo uniforme M (a) ao longo do eixo maior (b) ao longo do eixo menor (c) obliquo ao eixo maior Hd eacute uniforme em todos os casos mas em (c) ele natildeo eacute antiparalelo a M (Fonte Dunlop e Oumlzdemir 1997)

Na Figura 27c M estaacute a um acircngulo θ em relaccedilatildeo ao eixo z ( Hd eacute ainda uniforme entretanto natildeo eacute mais antiparalelo a M Podemos escrever M sin θ M cos θ (233)

Do mesmo modo podemos escrever o campo Hd como N M sin θ N M cos θ (234)

Podemos calcular a energia desmagnetizante (Ed) E micro V middot (235)

Deste modo micro V M sin θ M cos θ middot N M sin θ N M cos θ micro V M N sin θ N cos θ micro V M N N N sin θ (236)

Para um elipsoacuteide com fatores desmagnetizantes Nx Ny e Nz eacute vaacutelida a seguinte relaccedilatildeo 1 (237)

A equaccedilatildeo (236) mostra que a energia desmagnetizante eacute anisotroacutepica natildeo com relaccedilatildeo aos eixos cristalograacuteficos mas com relaccedilatildeo agrave forma externa do cristal a qual determina a separaccedilatildeo dos poacutelos de superfiacutecie para diferentes orientaccedilotildees de M A

anisotropia eacute uniaxial para um esferoacuteide prolato com o eixo faacutecil de magnetizaccedilatildeo sendo paralelo ao eixo maior isto eacute para θ = 0deg ou θ = 180deg Este efeito eacute chamado de anisotropia de forma Ela normalmente mascara as anisotropias magnetocristalina e magnetoelaacutestica nos gratildeos de domiacutenio simples de minerais fortemente magneacuteticos como eacute o caso da magnetita maghemita e ferro puro Para a magnetita se Na difere de Nb em 10 jaacute haacute um predomiacutenio da anisotropia de forma Os esferoacuteides oblatos tambeacutem apresentam anisotropia de forma Entretanto neste caso a magnetizaccedilatildeo M pode girar livremente no plano do eixo maior Uma esfera natildeo apresenta anisotropia de forma pois N = 13 para qualquer direccedilatildeo de M

A Figura 28 mostra a variaccedilatildeo de Na para esferoacuteides prolatos e a variaccedilatildeo de Nb para esferoacuteides oblatos em funccedilatildeo da razatildeo ba Para um esferoacuteide prolato teremos N 2 N 1 (238)

Quando ba tende a zero isto eacute o gratildeo tem a forma de agulha 0 e (238) fica 2 1 (239)

Gratildeos de magnetita SD na forma de agulha em minerais silicaacuteticos ou em titanomagnetitas oxidadas em altas temperaturas subdivididas por lamelas de ilmenita apresentam anisotropias de forma muito acentuadas e alta estabilidade magneacutetica Podemos determinar a coercividade para o caso de Na = 0 que eacute representada pelo campo magneacutetico necessaacuterio para inverter a magnetizaccedilatildeo M ao longo do eixo maior para a direccedilatildeo oposta (a 180deg)

H H 90deg H 0deg N N M 12 480 10 240 kAm 3000 Oe

(240)

Para gratildeos oblatos em forma de disco podemos escrever 2 N N 1 (241)

Figura 28 Variaccedilotildees de Nb (para um esferoacuteide oblato) e de Na (para um esferoacuteide prolato) em funccedilatildeo de ba (ba = 1 para a esfera neste caso Na = Nb = 13) (Fonte Diunlop e Oumlzdemir 1997)

Considerando o caso limite do gratildeo oblato que poderia ser representado por uma placa infinita de pequena espessura 0 e (241) fica sendo N 1 (242)

Neste caso a magnetizaccedilatildeo M fica paralela ao plano da placa embora natildeo tenha preferecircncia direcional Tambeacutem o campo desmagnetizante (Hd) ao longo do eixo b eacute ainda maior quando comparada ao do gratildeo prolato Outro fato se refere ao campo magneacutetico interno (Bi) B micro H M B micro ndash N M M (243)

Como N = Nb = 1 teremos Bi = 0 isto eacute o campo se anula dentro da placa Deste modo o campo externo (He) ao gratildeo tambeacutem eacute zero

Na natureza os gratildeos magneacuteticos natildeo apresentam em geral formas esferoidais perfeitas Entretanto mesmo para os cristais reais M Hd e N tendem a ser uniformes no seu interior Somente nas bordas as direccedilotildees e magnitudes de Hd variam muito Todavia estas variaccedilotildees tendem na meacutedia a se anular quando o cristal eacute visto como um todo

Tanto gratildeos microscoacutepicos quanto corpos macroscoacutepicos apresentam anisotropia de forma No caso do paleomagnetismo para evitar deflexatildeo do vetor magnetizaccedilatildeo remanente por campos desmagnetizantes internos ou mesmo nas medidas de anisotropia de suscetibilidade magneacutetica (ASM) precisamos eliminar as possiacuteveis anisotropias de forma da amostra fazendo com que ela se aproxime ao maacuteximo de uma esfera Para uma amostra ciliacutendrica (usada normalmente para as medidas paleomagneacuteticas) em que R representa o raio da base do cilindro e L a sua altura temos a seguinte relaccedilatildeo

09 (244)

Assim para uma amostra ciliacutendrica de uma polegada de diacircmetro a melhor altura L seraacute igual 2 09 229 (245)

Texto escrito por Manoel Souza DrsquoAgrella Filho

Fonte bibliograacutefica

1 David J Dunlop Oumlzden Oumlzdemir ndash Rock Magnetism Fundamentals and Frontiers

Cambridge University Press 1997

2 William Lowrie ndash Fundamentals of Geophysics Cambridge University Press 1997

3 R B Butler Paleomagnetism Magnetic Domains to Geologic Terranes 1992

httpgeographylancsacukcempresourcesButler_bookcontentshtm

4 Lisa Tauxe Lectures in Paleomagnetism 2005

httpearthreforgMAGICbooksTauxe2005

APEcircNDICE A

COSSENOS DIRETORES

Um vetor F pode ser representado pelos cossenos dos acircngulos que ele faz com os trecircs eixos cartesianos X Y e Z descritos por θx θy e θz respectivamente (Figura 29) Estes acircngulos satildeo conhecidos como acircngulos diretores do vetor F e seus respectivos cossenos satildeo denominados de cossenos diretores

Figura 29 Representaccedilatildeo cartesiana de um vetor F mostrando os acircngulos diretores em relaccedilatildeo aos eixos X Y e Z respectivamente

Assim as componentes do vetor F podem ser descritas como cos cos cos

Os cossenos diretores podem ser calculados pelas seguintes expressotildees cos (246)

cos (247)

cos (248)

De modo que 1 (249)

Se o vetor F estiver por exemplo ao longo do eixo X entatildeo cos 1 cos cos 0 (250)

Isto eacute o que ocorre se a magnetizaccedilatildeo M na estrutura cuacutebica da magnetita estiver ao longo do eixo cristalograacutefico lt100gt isto eacute ao longo do eixo difiacutecil (Figura 210) Note entretanto que se a magnetizaccedilatildeo M estiver ao longo da diagonal do cubo (eixo cristalograacutefico lt111gt) isto eacute ao longo do eixo faacutecil teremos cos cos cos radic (251)

Figura 210 Representaccedilatildeo esquemaacutetica da estrutura cuacutebica da magnetita (aresta = a diagonal da face = b) A magnetizaccedilatildeo M estaacute na diagonal do cubo ao longo do eixo cristalograacutefico lt111gt

Podemos deduzir (251) facilmente Se a eacute o lado do cubo entatildeo a diagonal da face (b) seraacute radic2 (252)

Da Figura 210 podemos escrever a magnitude da magnetizaccedilatildeo M como (253)

Usando (252) a equaccedilatildeo (253) fica 2 3 radic3 (254)

Para M ao longo da diagonal do cubo cos cos cos e cos radic radic (255)

Logo cos cos cos radic

cqd

B micro H λ σM middot middot 5455 10 T 5455 mT (215)

Para efeito de comparaccedilatildeo sabendo-se que a constante de anisotropia magnetocristalina no plano basal eacute de 10 a 100 Jm3 a coercividade maacutexima associada seraacute B micro H K M middot 20 10 T 20 mT (216)

Os valores de coercividades calculados em (215) e (216) mostram que tensotildees internas nos cristais de hematita tecircm uma contribuiccedilatildeo muito maior do que a decorrente da anisotropia magnetocristalina para a estabilidade da magnetizaccedilatildeo neste mineral

Tanto a anisotropia magnetocristalina quanto a anisotropia magnetoestritiva variam com a temperatura (Figura 23) A anisotropia magnetocristalina varia com a potecircncia de 10 da variaccedilatildeo da magnetizaccedilatildeo (217)

Figura 23 Comparaccedilatildeo entre as variaccedilotildees da magnetizaccedilatildeo espontacircnea (Ms) da constante magnetoestrictiva (λs) e da constante de anisotropia magnetocristalina (K1) com a temperatura para a magnetita (Fonte Dunlop e Oumlzdemir 1997)

23 ENERGIA MAGNETOSTAacuteTICA

Natildeo fossem outros fatores a ser considerado o acoplamento de troca faria com que os materiais ferromagneacuteticos se magnetizassem ateacute a saturaccedilatildeo ao longo dos eixos faacuteceis magnetocristalinos ou magnetoelaacutesticos dificultado somente pela agitaccedilatildeo teacutermica Tais gratildeos de domiacutenio simples (SD) de fato existem mas na maioria dos materiais eles satildeo bem pequenos frequentemente menores do que 1 microm no caso de gratildeos de magnetita

O que ocorre realmente eacute que gratildeos maiores se subdividem espontaneamente em dois ou mais domiacutenios com magnetizaccedilatildeo uniforme (Ms) em cada um deles poreacutem com direccedilotildees diferentes Isto ocorre devido a um efeito de interaccedilatildeo dipolo-dipolo de longo alcance entre momentos magneacuteticos que produz uma energia magnetostaacutetica ou desmagnetizante a qual eventualmente supera a energia magnetocristalina

231 CAMPO DESMAGNETIZANTE

2311 CAPACITOR DE PLACAS PARALELAS O ANAacuteLOGO ELETROSTAacuteTICO

Para entendermos a origem da energia desmagnetizante vamos recordar o efeito que ocorre em um dieleacutetrico colocado no interior de um capacitor com densidade de cargas plusmnσf produzida pela diferenccedila de potencial V entre as placas do capacitor (Figura 24a) Dieleacutetrico eacute um material isolante que pode ser um plaacutestico ou oacuteleo mineral A diferenccedila de potencial produziraacute um campo eleacutetrico Eo entre as placas do capacitor com sentido na direccedilatildeo da placa com cargas negativas (Figura 24a) Uma carga de prova positiva colocada no interior do capacitor se deslocaraacute no sentido do campo eleacutetrico

Figura 24 (a) Linhas de campo eleacutetrico em um capacitor de placas paralelas (b) Polarizaccedilatildeo de um dieleacutetrico entre as placas do capacitor formando cargas de ligaccedilatildeo na superfiacutecie com densidade σb (c) Campo despolarizante Ed causado pelas cargas de superfiacutecie (Fonte Dunlop e Oumlzdemir 1997)

Como os eleacutetrons estatildeo presos agrave rede cristalina do dieleacutetrico o efeito do campo eleacutetrico Eo seraacute o de deslocar as cargas positivas nos aacutetomos para a direita e as cargas negativas nos aacutetomos para a esquerda Embora este deslocamento seja pequeno ele cria momentos de dipolo na escala atocircmica todos alinhados com o campo eleacutetrico Eo Este efeito eacute conhecido como polarizaccedilatildeo eleacutetrica a qual eacute definida como momento de dipolo por unidade de volume A polarizaccedilatildeo eleacutetrica eacute representada pela letra P e tem o mesmo

sentido de Eo No total o dieleacutetrico eacute neutro mas haacute duas faixas com espessura na escala atocircmica nas superfiacutecies da esquerda e da direita do dieleacutetrico que satildeo carregadas eletricamente com cargas negativas e positivas respectivamente (Figura 24b) Elas satildeo denominadas de cargas de ligaccedilatildeo por natildeo estarem livres como eacute o caso dos eleacutetrons de conduccedilatildeo Defini-se uma densidade de cargas (σb) em cada superfiacutecie do dieleacutetrico como sendo

σ middot (218)

Onde eacute o vetor unitaacuterio normal agrave superfiacutecie (Figura 24c)

As cargas de superfiacutecie vatildeo gerar um campo eleacutetrico Ed sendo que cada linha de campo comeccedila na superfiacutecie de cargas positivas e termina na superfiacutecie de cargas negativas (Figura 24c) Como o campo eleacutetrico Ed eacute oposto agrave polarizaccedilatildeo P ele atua no sentido de reduzir a polarizaccedilatildeo produzida pelo campo eleacutetrico Eo isto eacute ele cancela parcialmente o campo Eo que criou a polarizaccedilatildeo P Neste sentido Ed eacute chamado de campo despolarizante

2312 MATERIAL FERROMAGNEacuteTICO

Vamos ver agora o que ocorre em um material ferromagneacutetico como o mostrado na Figura 25 no qual eacute aplicado um campo magneacutetico Ho e uma magnetizaccedilatildeo M estaacute associada ao material Do mesmo modo que para o dieleacutetrico no caso do material magnetizado ocorre uma polarizaccedilatildeo magneacutetica a qual gera um campo desmagnetizante Hd Entretanto por causa do forte acoplamento de troca este efeito eacute muito maior no material ferromagneacutetico Outra diferenccedila eacute que para a maioria dos dieleacutetricos um campo eleacutetrico eacute necessaacuterio para induzir a polarizaccedilatildeo P enquanto que no material ferromagneacutetico podemos ter uma magnetizaccedilatildeo sem campo magneacutetico aplicado No caso da aplicaccedilatildeo de um campo Ho a magnetizaccedilatildeo total (M) eacute composta pela magnetizaccedilatildeo induzida pelo campo Ho e a magnetizaccedilatildeo remanente (Mr) Note que macroscopicamente estas magnetizaccedilotildees podem estar associadas a gratildeos magneacuteticos diferentes se o campo Ho natildeo for muito intenso (como o campo da Terra por exemplo) Podemos escrever

M = χ Ho + Mr (219)

Onde χ eacute a suscetibilidade magneacutetica A polarizaccedilatildeo magneacutetica produziraacute cargas (poacutelos) magneacuteticas positivas e negativas nas faces direita e esquerda do material respectivamente (Figura 25) Estas cargas podem ser identificadas por uma densidade de cargas σm definida por

σ middot (220)

Onde eacute o vetor unitaacuterio normal agrave superfiacutecie (Figura 25)

Figura 25 O campo desmagnetizante Hd em um material magneticamente polarizado (Fonte Dunlop e Oumlzdemir 1997)

As cargas magneacuteticas vatildeo produzir um campo desmagnetizante Hd cujas linhas comeccedilam nas cargas positivas e terminam nas cargas negativas Note que o campo desmagnetizante eacute antiparalelo agrave magnetizaccedilatildeo M isto eacute o campo desmagnetizante age no sentido de desmagnetizar o material Em decorrecircncia deste campo um poacutelo magneacutetico positivo fictiacutecio dentro do material se deslocaraacute ao longo da direccedilatildeo do campo Hd Um dipolo magneacutetico com momento m sofreraacute uma rotaccedilatildeo ateacute ficar paralelo ao campo Hd sendo que o poacutelo positivo do dipolo fica mais perto do lado esquerdo (cargas negativas) e o poacutelo negativo do dipolo fica mais perto do lado direito do material (cargas positivas) O momento m do dipolo se orientaraacute com Hd tal como um iacutematilde Podemos associar ao dipolo um torque (τ) e uma energia potencial magneacutetica (Em)

τ (221) E middot (222)

O campo interno (Hi) total seraacute igual a N middot (223)

Onde Hd = -N M N eacute denominado de fator desmagnetizante e pode ser representado por um tensor No interior do prisma representado na Figura 25 em que as linhas do campo

Hd natildeo se espalham Hd eacute constante e exatamente antiparalelo a M Neste caso N passa a ser uma constante Sendo m o momento magneacutetico do material V o seu volume e M a sua magnetizaccedilatildeo entatildeo m = V M Assim a energia potencial magneacutetica (Em) associada pode ser expressa utilizando-se as equaccedilotildees (222) e (223) como sendo ou (224)

O primeiro termo do lado direito da equaccedilatildeo (224) eacute denominado de Energia de Zeeman ou Energia de campo magneacutetico (EH) O segundo termo eacute denominado de Energia magnetostaacutetica ou Energia desmagnetizante (Ed) O fator frac12 na determinaccedilatildeo de Ed decorre do fato que esta energia estaacute relacionada a uma interaccedilatildeo dipolo-dipolo e nesta interaccedilatildeo cada dipolo interage com o dipolo anterior e tambeacutem com o posterior Assim ele eacute contado duas vezes

2313 ESFERA UNIFORMEMENTE MAGNETIZADA

A Figura 26 mostra uma esfera de raio R e magnetizaccedilatildeo M ao longo do eixo z A densidade de cargas em sua superfiacutecie eacute middot isto eacute cos (225)

Os poacutelos magneacuteticos estatildeo concentrados nas superfiacutecies de cima e de baixo da esfera Natildeo haacute poacutelos magneacuteticos ao longo do equador da esfera onde M eacute tangencial a superfiacutecie (θ = 90deg na equaccedilatildeo 225) Para calcular o campo desmagnetizante (Hd) usamos um princiacutepio da teoria de potencial elementar Quando calculamos o campo gravitacional externo a uma esfera de densidade uniforme admitimos que toda a sua massa estaacute concentrada em seu centro Do mesmo modo podemos supor que o campo magneacutetico externo (He) a uma esfera uniformemente polarizada eacute o mesmo de um dipolo situado no centro da esfera e com momento de dipolo m = V M Admitindo que o campo magneacutetico apresente continuidade atraveacutes de qualquer ponto da superfiacutecie da esfera podemos igualar o campo Hd e He na sua superfiacutecie (Figura 26)

Figura 26 Campo externo e campo interno (linhas tracejadas) de uma esfera com magnetizaccedilatildeo uniforme M ao longo do eixo z Cargas ou poacutelos magneacuteticos de superfiacutecie satildeo indicados por + e - (Fonte Dunlop e Oumlzdemir 1997)

O campo (H) de um dipolo com seu eixo ao longo do eixo z eacute representado pela expressatildeo

micro π 2 cos θ sin θ (226)

e satildeo os vetores unitaacuterios radial e tangencial respectivamente

No equador da esfera

Hd = - N M (227)

e o campo externo para r = R seraacute

4 2 cos 90deg sin 90deg 43 4

(228)

O sinal negativo vem do fato de He estar orientado no sentido contraacuterio ao eixo z Igualando (227) e (228) teremos

(229)

O valor de N = 13 foi calculado para o sistema SI No cgs

No poacutelo da esfera ao longo do eixo z r = R e θ = 0 O campo magneacutetico interno (Bi) pode ser expresso por 1 (230)

O campo externo Be pode ser determinado pela equaccedilatildeo (226)

4 2 cos 0deg sin 0deg 2 43 4

(231)

Igualando as equaccedilotildees (230) e (231) teremos 1 (232)

Pode-se mostrar que em qualquer ponto da superfiacutecie e do

interior de uma esfera de domiacutenio simples Logo (SI) em qualquer ponto

No cgs basta multiplicar 13 pelo fator 4π

2314 ESFEROacuteIDE UNIFORMEMENTE MAGNETIZADO E ANISOTROPIA DE FORMA

A Figura 27 ilustra os poacutelos de superfiacutecie e os campos desmagnetizantes para esferoacuteides prolatos (elipsoacuteide de revoluccedilatildeo) uniformemente magnetizados Em (a) o esferoacuteide eacute magnetizado ao longo do semi-eixo maior a Os poacutelos de superfiacutecie estatildeo mais afastados quando comparados aos da esfera de volume correspondente Por analogia com a eletrostaacutetica campos decrescem com a distacircncia isto eacute com 1r2 portanto o campo Hd que surge destes poacutelos eacute menor do que no caso da esfera Assim Na lt 13 Por outro lado em (b) onde o esferoacuteide eacute magnetizado paralelo ao semi-eixo menor b os poacutelos de superfiacutecie estatildeo mais proacuteximos e neste caso Nb gt 13 O campo Hd tambeacutem eacute maior quando comparado com o da esfera

Figura 27 Poacutelos de superfiacutecie e campo desmagnetizante interno Hd para um esferoacuteide prolato com magnetizaccedilatildeo uniforme M (a) ao longo do eixo maior (b) ao longo do eixo menor (c) obliquo ao eixo maior Hd eacute uniforme em todos os casos mas em (c) ele natildeo eacute antiparalelo a M (Fonte Dunlop e Oumlzdemir 1997)

Na Figura 27c M estaacute a um acircngulo θ em relaccedilatildeo ao eixo z ( Hd eacute ainda uniforme entretanto natildeo eacute mais antiparalelo a M Podemos escrever M sin θ M cos θ (233)

Do mesmo modo podemos escrever o campo Hd como N M sin θ N M cos θ (234)

Podemos calcular a energia desmagnetizante (Ed) E micro V middot (235)

Deste modo micro V M sin θ M cos θ middot N M sin θ N M cos θ micro V M N sin θ N cos θ micro V M N N N sin θ (236)

Para um elipsoacuteide com fatores desmagnetizantes Nx Ny e Nz eacute vaacutelida a seguinte relaccedilatildeo 1 (237)

A equaccedilatildeo (236) mostra que a energia desmagnetizante eacute anisotroacutepica natildeo com relaccedilatildeo aos eixos cristalograacuteficos mas com relaccedilatildeo agrave forma externa do cristal a qual determina a separaccedilatildeo dos poacutelos de superfiacutecie para diferentes orientaccedilotildees de M A

anisotropia eacute uniaxial para um esferoacuteide prolato com o eixo faacutecil de magnetizaccedilatildeo sendo paralelo ao eixo maior isto eacute para θ = 0deg ou θ = 180deg Este efeito eacute chamado de anisotropia de forma Ela normalmente mascara as anisotropias magnetocristalina e magnetoelaacutestica nos gratildeos de domiacutenio simples de minerais fortemente magneacuteticos como eacute o caso da magnetita maghemita e ferro puro Para a magnetita se Na difere de Nb em 10 jaacute haacute um predomiacutenio da anisotropia de forma Os esferoacuteides oblatos tambeacutem apresentam anisotropia de forma Entretanto neste caso a magnetizaccedilatildeo M pode girar livremente no plano do eixo maior Uma esfera natildeo apresenta anisotropia de forma pois N = 13 para qualquer direccedilatildeo de M

A Figura 28 mostra a variaccedilatildeo de Na para esferoacuteides prolatos e a variaccedilatildeo de Nb para esferoacuteides oblatos em funccedilatildeo da razatildeo ba Para um esferoacuteide prolato teremos N 2 N 1 (238)

Quando ba tende a zero isto eacute o gratildeo tem a forma de agulha 0 e (238) fica 2 1 (239)

Gratildeos de magnetita SD na forma de agulha em minerais silicaacuteticos ou em titanomagnetitas oxidadas em altas temperaturas subdivididas por lamelas de ilmenita apresentam anisotropias de forma muito acentuadas e alta estabilidade magneacutetica Podemos determinar a coercividade para o caso de Na = 0 que eacute representada pelo campo magneacutetico necessaacuterio para inverter a magnetizaccedilatildeo M ao longo do eixo maior para a direccedilatildeo oposta (a 180deg)

H H 90deg H 0deg N N M 12 480 10 240 kAm 3000 Oe

(240)

Para gratildeos oblatos em forma de disco podemos escrever 2 N N 1 (241)

Figura 28 Variaccedilotildees de Nb (para um esferoacuteide oblato) e de Na (para um esferoacuteide prolato) em funccedilatildeo de ba (ba = 1 para a esfera neste caso Na = Nb = 13) (Fonte Diunlop e Oumlzdemir 1997)

Considerando o caso limite do gratildeo oblato que poderia ser representado por uma placa infinita de pequena espessura 0 e (241) fica sendo N 1 (242)

Neste caso a magnetizaccedilatildeo M fica paralela ao plano da placa embora natildeo tenha preferecircncia direcional Tambeacutem o campo desmagnetizante (Hd) ao longo do eixo b eacute ainda maior quando comparada ao do gratildeo prolato Outro fato se refere ao campo magneacutetico interno (Bi) B micro H M B micro ndash N M M (243)

Como N = Nb = 1 teremos Bi = 0 isto eacute o campo se anula dentro da placa Deste modo o campo externo (He) ao gratildeo tambeacutem eacute zero

Na natureza os gratildeos magneacuteticos natildeo apresentam em geral formas esferoidais perfeitas Entretanto mesmo para os cristais reais M Hd e N tendem a ser uniformes no seu interior Somente nas bordas as direccedilotildees e magnitudes de Hd variam muito Todavia estas variaccedilotildees tendem na meacutedia a se anular quando o cristal eacute visto como um todo

Tanto gratildeos microscoacutepicos quanto corpos macroscoacutepicos apresentam anisotropia de forma No caso do paleomagnetismo para evitar deflexatildeo do vetor magnetizaccedilatildeo remanente por campos desmagnetizantes internos ou mesmo nas medidas de anisotropia de suscetibilidade magneacutetica (ASM) precisamos eliminar as possiacuteveis anisotropias de forma da amostra fazendo com que ela se aproxime ao maacuteximo de uma esfera Para uma amostra ciliacutendrica (usada normalmente para as medidas paleomagneacuteticas) em que R representa o raio da base do cilindro e L a sua altura temos a seguinte relaccedilatildeo

09 (244)

Assim para uma amostra ciliacutendrica de uma polegada de diacircmetro a melhor altura L seraacute igual 2 09 229 (245)

Texto escrito por Manoel Souza DrsquoAgrella Filho

Fonte bibliograacutefica

1 David J Dunlop Oumlzden Oumlzdemir ndash Rock Magnetism Fundamentals and Frontiers

Cambridge University Press 1997

2 William Lowrie ndash Fundamentals of Geophysics Cambridge University Press 1997

3 R B Butler Paleomagnetism Magnetic Domains to Geologic Terranes 1992

httpgeographylancsacukcempresourcesButler_bookcontentshtm

4 Lisa Tauxe Lectures in Paleomagnetism 2005

httpearthreforgMAGICbooksTauxe2005

APEcircNDICE A

COSSENOS DIRETORES

Um vetor F pode ser representado pelos cossenos dos acircngulos que ele faz com os trecircs eixos cartesianos X Y e Z descritos por θx θy e θz respectivamente (Figura 29) Estes acircngulos satildeo conhecidos como acircngulos diretores do vetor F e seus respectivos cossenos satildeo denominados de cossenos diretores

Figura 29 Representaccedilatildeo cartesiana de um vetor F mostrando os acircngulos diretores em relaccedilatildeo aos eixos X Y e Z respectivamente

Assim as componentes do vetor F podem ser descritas como cos cos cos

Os cossenos diretores podem ser calculados pelas seguintes expressotildees cos (246)

cos (247)

cos (248)

De modo que 1 (249)

Se o vetor F estiver por exemplo ao longo do eixo X entatildeo cos 1 cos cos 0 (250)

Isto eacute o que ocorre se a magnetizaccedilatildeo M na estrutura cuacutebica da magnetita estiver ao longo do eixo cristalograacutefico lt100gt isto eacute ao longo do eixo difiacutecil (Figura 210) Note entretanto que se a magnetizaccedilatildeo M estiver ao longo da diagonal do cubo (eixo cristalograacutefico lt111gt) isto eacute ao longo do eixo faacutecil teremos cos cos cos radic (251)

Figura 210 Representaccedilatildeo esquemaacutetica da estrutura cuacutebica da magnetita (aresta = a diagonal da face = b) A magnetizaccedilatildeo M estaacute na diagonal do cubo ao longo do eixo cristalograacutefico lt111gt

Podemos deduzir (251) facilmente Se a eacute o lado do cubo entatildeo a diagonal da face (b) seraacute radic2 (252)

Da Figura 210 podemos escrever a magnitude da magnetizaccedilatildeo M como (253)

Usando (252) a equaccedilatildeo (253) fica 2 3 radic3 (254)

Para M ao longo da diagonal do cubo cos cos cos e cos radic radic (255)

Logo cos cos cos radic

cqd

O que ocorre realmente eacute que gratildeos maiores se subdividem espontaneamente em dois ou mais domiacutenios com magnetizaccedilatildeo uniforme (Ms) em cada um deles poreacutem com direccedilotildees diferentes Isto ocorre devido a um efeito de interaccedilatildeo dipolo-dipolo de longo alcance entre momentos magneacuteticos que produz uma energia magnetostaacutetica ou desmagnetizante a qual eventualmente supera a energia magnetocristalina

231 CAMPO DESMAGNETIZANTE

2311 CAPACITOR DE PLACAS PARALELAS O ANAacuteLOGO ELETROSTAacuteTICO

Para entendermos a origem da energia desmagnetizante vamos recordar o efeito que ocorre em um dieleacutetrico colocado no interior de um capacitor com densidade de cargas plusmnσf produzida pela diferenccedila de potencial V entre as placas do capacitor (Figura 24a) Dieleacutetrico eacute um material isolante que pode ser um plaacutestico ou oacuteleo mineral A diferenccedila de potencial produziraacute um campo eleacutetrico Eo entre as placas do capacitor com sentido na direccedilatildeo da placa com cargas negativas (Figura 24a) Uma carga de prova positiva colocada no interior do capacitor se deslocaraacute no sentido do campo eleacutetrico

Figura 24 (a) Linhas de campo eleacutetrico em um capacitor de placas paralelas (b) Polarizaccedilatildeo de um dieleacutetrico entre as placas do capacitor formando cargas de ligaccedilatildeo na superfiacutecie com densidade σb (c) Campo despolarizante Ed causado pelas cargas de superfiacutecie (Fonte Dunlop e Oumlzdemir 1997)

Como os eleacutetrons estatildeo presos agrave rede cristalina do dieleacutetrico o efeito do campo eleacutetrico Eo seraacute o de deslocar as cargas positivas nos aacutetomos para a direita e as cargas negativas nos aacutetomos para a esquerda Embora este deslocamento seja pequeno ele cria momentos de dipolo na escala atocircmica todos alinhados com o campo eleacutetrico Eo Este efeito eacute conhecido como polarizaccedilatildeo eleacutetrica a qual eacute definida como momento de dipolo por unidade de volume A polarizaccedilatildeo eleacutetrica eacute representada pela letra P e tem o mesmo

sentido de Eo No total o dieleacutetrico eacute neutro mas haacute duas faixas com espessura na escala atocircmica nas superfiacutecies da esquerda e da direita do dieleacutetrico que satildeo carregadas eletricamente com cargas negativas e positivas respectivamente (Figura 24b) Elas satildeo denominadas de cargas de ligaccedilatildeo por natildeo estarem livres como eacute o caso dos eleacutetrons de conduccedilatildeo Defini-se uma densidade de cargas (σb) em cada superfiacutecie do dieleacutetrico como sendo

σ middot (218)

Onde eacute o vetor unitaacuterio normal agrave superfiacutecie (Figura 24c)

As cargas de superfiacutecie vatildeo gerar um campo eleacutetrico Ed sendo que cada linha de campo comeccedila na superfiacutecie de cargas positivas e termina na superfiacutecie de cargas negativas (Figura 24c) Como o campo eleacutetrico Ed eacute oposto agrave polarizaccedilatildeo P ele atua no sentido de reduzir a polarizaccedilatildeo produzida pelo campo eleacutetrico Eo isto eacute ele cancela parcialmente o campo Eo que criou a polarizaccedilatildeo P Neste sentido Ed eacute chamado de campo despolarizante

2312 MATERIAL FERROMAGNEacuteTICO

Vamos ver agora o que ocorre em um material ferromagneacutetico como o mostrado na Figura 25 no qual eacute aplicado um campo magneacutetico Ho e uma magnetizaccedilatildeo M estaacute associada ao material Do mesmo modo que para o dieleacutetrico no caso do material magnetizado ocorre uma polarizaccedilatildeo magneacutetica a qual gera um campo desmagnetizante Hd Entretanto por causa do forte acoplamento de troca este efeito eacute muito maior no material ferromagneacutetico Outra diferenccedila eacute que para a maioria dos dieleacutetricos um campo eleacutetrico eacute necessaacuterio para induzir a polarizaccedilatildeo P enquanto que no material ferromagneacutetico podemos ter uma magnetizaccedilatildeo sem campo magneacutetico aplicado No caso da aplicaccedilatildeo de um campo Ho a magnetizaccedilatildeo total (M) eacute composta pela magnetizaccedilatildeo induzida pelo campo Ho e a magnetizaccedilatildeo remanente (Mr) Note que macroscopicamente estas magnetizaccedilotildees podem estar associadas a gratildeos magneacuteticos diferentes se o campo Ho natildeo for muito intenso (como o campo da Terra por exemplo) Podemos escrever

M = χ Ho + Mr (219)

Onde χ eacute a suscetibilidade magneacutetica A polarizaccedilatildeo magneacutetica produziraacute cargas (poacutelos) magneacuteticas positivas e negativas nas faces direita e esquerda do material respectivamente (Figura 25) Estas cargas podem ser identificadas por uma densidade de cargas σm definida por

σ middot (220)

Onde eacute o vetor unitaacuterio normal agrave superfiacutecie (Figura 25)

Figura 25 O campo desmagnetizante Hd em um material magneticamente polarizado (Fonte Dunlop e Oumlzdemir 1997)

As cargas magneacuteticas vatildeo produzir um campo desmagnetizante Hd cujas linhas comeccedilam nas cargas positivas e terminam nas cargas negativas Note que o campo desmagnetizante eacute antiparalelo agrave magnetizaccedilatildeo M isto eacute o campo desmagnetizante age no sentido de desmagnetizar o material Em decorrecircncia deste campo um poacutelo magneacutetico positivo fictiacutecio dentro do material se deslocaraacute ao longo da direccedilatildeo do campo Hd Um dipolo magneacutetico com momento m sofreraacute uma rotaccedilatildeo ateacute ficar paralelo ao campo Hd sendo que o poacutelo positivo do dipolo fica mais perto do lado esquerdo (cargas negativas) e o poacutelo negativo do dipolo fica mais perto do lado direito do material (cargas positivas) O momento m do dipolo se orientaraacute com Hd tal como um iacutematilde Podemos associar ao dipolo um torque (τ) e uma energia potencial magneacutetica (Em)

τ (221) E middot (222)

O campo interno (Hi) total seraacute igual a N middot (223)

Onde Hd = -N M N eacute denominado de fator desmagnetizante e pode ser representado por um tensor No interior do prisma representado na Figura 25 em que as linhas do campo

Hd natildeo se espalham Hd eacute constante e exatamente antiparalelo a M Neste caso N passa a ser uma constante Sendo m o momento magneacutetico do material V o seu volume e M a sua magnetizaccedilatildeo entatildeo m = V M Assim a energia potencial magneacutetica (Em) associada pode ser expressa utilizando-se as equaccedilotildees (222) e (223) como sendo ou (224)

O primeiro termo do lado direito da equaccedilatildeo (224) eacute denominado de Energia de Zeeman ou Energia de campo magneacutetico (EH) O segundo termo eacute denominado de Energia magnetostaacutetica ou Energia desmagnetizante (Ed) O fator frac12 na determinaccedilatildeo de Ed decorre do fato que esta energia estaacute relacionada a uma interaccedilatildeo dipolo-dipolo e nesta interaccedilatildeo cada dipolo interage com o dipolo anterior e tambeacutem com o posterior Assim ele eacute contado duas vezes

2313 ESFERA UNIFORMEMENTE MAGNETIZADA

A Figura 26 mostra uma esfera de raio R e magnetizaccedilatildeo M ao longo do eixo z A densidade de cargas em sua superfiacutecie eacute middot isto eacute cos (225)

Os poacutelos magneacuteticos estatildeo concentrados nas superfiacutecies de cima e de baixo da esfera Natildeo haacute poacutelos magneacuteticos ao longo do equador da esfera onde M eacute tangencial a superfiacutecie (θ = 90deg na equaccedilatildeo 225) Para calcular o campo desmagnetizante (Hd) usamos um princiacutepio da teoria de potencial elementar Quando calculamos o campo gravitacional externo a uma esfera de densidade uniforme admitimos que toda a sua massa estaacute concentrada em seu centro Do mesmo modo podemos supor que o campo magneacutetico externo (He) a uma esfera uniformemente polarizada eacute o mesmo de um dipolo situado no centro da esfera e com momento de dipolo m = V M Admitindo que o campo magneacutetico apresente continuidade atraveacutes de qualquer ponto da superfiacutecie da esfera podemos igualar o campo Hd e He na sua superfiacutecie (Figura 26)

Figura 26 Campo externo e campo interno (linhas tracejadas) de uma esfera com magnetizaccedilatildeo uniforme M ao longo do eixo z Cargas ou poacutelos magneacuteticos de superfiacutecie satildeo indicados por + e - (Fonte Dunlop e Oumlzdemir 1997)

O campo (H) de um dipolo com seu eixo ao longo do eixo z eacute representado pela expressatildeo

micro π 2 cos θ sin θ (226)

e satildeo os vetores unitaacuterios radial e tangencial respectivamente

No equador da esfera

Hd = - N M (227)

e o campo externo para r = R seraacute

4 2 cos 90deg sin 90deg 43 4

(228)

O sinal negativo vem do fato de He estar orientado no sentido contraacuterio ao eixo z Igualando (227) e (228) teremos

(229)

O valor de N = 13 foi calculado para o sistema SI No cgs

No poacutelo da esfera ao longo do eixo z r = R e θ = 0 O campo magneacutetico interno (Bi) pode ser expresso por 1 (230)

O campo externo Be pode ser determinado pela equaccedilatildeo (226)

4 2 cos 0deg sin 0deg 2 43 4

(231)

Igualando as equaccedilotildees (230) e (231) teremos 1 (232)

Pode-se mostrar que em qualquer ponto da superfiacutecie e do

interior de uma esfera de domiacutenio simples Logo (SI) em qualquer ponto

No cgs basta multiplicar 13 pelo fator 4π

2314 ESFEROacuteIDE UNIFORMEMENTE MAGNETIZADO E ANISOTROPIA DE FORMA

A Figura 27 ilustra os poacutelos de superfiacutecie e os campos desmagnetizantes para esferoacuteides prolatos (elipsoacuteide de revoluccedilatildeo) uniformemente magnetizados Em (a) o esferoacuteide eacute magnetizado ao longo do semi-eixo maior a Os poacutelos de superfiacutecie estatildeo mais afastados quando comparados aos da esfera de volume correspondente Por analogia com a eletrostaacutetica campos decrescem com a distacircncia isto eacute com 1r2 portanto o campo Hd que surge destes poacutelos eacute menor do que no caso da esfera Assim Na lt 13 Por outro lado em (b) onde o esferoacuteide eacute magnetizado paralelo ao semi-eixo menor b os poacutelos de superfiacutecie estatildeo mais proacuteximos e neste caso Nb gt 13 O campo Hd tambeacutem eacute maior quando comparado com o da esfera

Figura 27 Poacutelos de superfiacutecie e campo desmagnetizante interno Hd para um esferoacuteide prolato com magnetizaccedilatildeo uniforme M (a) ao longo do eixo maior (b) ao longo do eixo menor (c) obliquo ao eixo maior Hd eacute uniforme em todos os casos mas em (c) ele natildeo eacute antiparalelo a M (Fonte Dunlop e Oumlzdemir 1997)

Na Figura 27c M estaacute a um acircngulo θ em relaccedilatildeo ao eixo z ( Hd eacute ainda uniforme entretanto natildeo eacute mais antiparalelo a M Podemos escrever M sin θ M cos θ (233)

Do mesmo modo podemos escrever o campo Hd como N M sin θ N M cos θ (234)

Podemos calcular a energia desmagnetizante (Ed) E micro V middot (235)

Deste modo micro V M sin θ M cos θ middot N M sin θ N M cos θ micro V M N sin θ N cos θ micro V M N N N sin θ (236)

Para um elipsoacuteide com fatores desmagnetizantes Nx Ny e Nz eacute vaacutelida a seguinte relaccedilatildeo 1 (237)

A equaccedilatildeo (236) mostra que a energia desmagnetizante eacute anisotroacutepica natildeo com relaccedilatildeo aos eixos cristalograacuteficos mas com relaccedilatildeo agrave forma externa do cristal a qual determina a separaccedilatildeo dos poacutelos de superfiacutecie para diferentes orientaccedilotildees de M A

anisotropia eacute uniaxial para um esferoacuteide prolato com o eixo faacutecil de magnetizaccedilatildeo sendo paralelo ao eixo maior isto eacute para θ = 0deg ou θ = 180deg Este efeito eacute chamado de anisotropia de forma Ela normalmente mascara as anisotropias magnetocristalina e magnetoelaacutestica nos gratildeos de domiacutenio simples de minerais fortemente magneacuteticos como eacute o caso da magnetita maghemita e ferro puro Para a magnetita se Na difere de Nb em 10 jaacute haacute um predomiacutenio da anisotropia de forma Os esferoacuteides oblatos tambeacutem apresentam anisotropia de forma Entretanto neste caso a magnetizaccedilatildeo M pode girar livremente no plano do eixo maior Uma esfera natildeo apresenta anisotropia de forma pois N = 13 para qualquer direccedilatildeo de M

A Figura 28 mostra a variaccedilatildeo de Na para esferoacuteides prolatos e a variaccedilatildeo de Nb para esferoacuteides oblatos em funccedilatildeo da razatildeo ba Para um esferoacuteide prolato teremos N 2 N 1 (238)

Quando ba tende a zero isto eacute o gratildeo tem a forma de agulha 0 e (238) fica 2 1 (239)

Gratildeos de magnetita SD na forma de agulha em minerais silicaacuteticos ou em titanomagnetitas oxidadas em altas temperaturas subdivididas por lamelas de ilmenita apresentam anisotropias de forma muito acentuadas e alta estabilidade magneacutetica Podemos determinar a coercividade para o caso de Na = 0 que eacute representada pelo campo magneacutetico necessaacuterio para inverter a magnetizaccedilatildeo M ao longo do eixo maior para a direccedilatildeo oposta (a 180deg)

H H 90deg H 0deg N N M 12 480 10 240 kAm 3000 Oe

(240)

Para gratildeos oblatos em forma de disco podemos escrever 2 N N 1 (241)

Figura 28 Variaccedilotildees de Nb (para um esferoacuteide oblato) e de Na (para um esferoacuteide prolato) em funccedilatildeo de ba (ba = 1 para a esfera neste caso Na = Nb = 13) (Fonte Diunlop e Oumlzdemir 1997)

Considerando o caso limite do gratildeo oblato que poderia ser representado por uma placa infinita de pequena espessura 0 e (241) fica sendo N 1 (242)

Neste caso a magnetizaccedilatildeo M fica paralela ao plano da placa embora natildeo tenha preferecircncia direcional Tambeacutem o campo desmagnetizante (Hd) ao longo do eixo b eacute ainda maior quando comparada ao do gratildeo prolato Outro fato se refere ao campo magneacutetico interno (Bi) B micro H M B micro ndash N M M (243)

Como N = Nb = 1 teremos Bi = 0 isto eacute o campo se anula dentro da placa Deste modo o campo externo (He) ao gratildeo tambeacutem eacute zero

Na natureza os gratildeos magneacuteticos natildeo apresentam em geral formas esferoidais perfeitas Entretanto mesmo para os cristais reais M Hd e N tendem a ser uniformes no seu interior Somente nas bordas as direccedilotildees e magnitudes de Hd variam muito Todavia estas variaccedilotildees tendem na meacutedia a se anular quando o cristal eacute visto como um todo

Tanto gratildeos microscoacutepicos quanto corpos macroscoacutepicos apresentam anisotropia de forma No caso do paleomagnetismo para evitar deflexatildeo do vetor magnetizaccedilatildeo remanente por campos desmagnetizantes internos ou mesmo nas medidas de anisotropia de suscetibilidade magneacutetica (ASM) precisamos eliminar as possiacuteveis anisotropias de forma da amostra fazendo com que ela se aproxime ao maacuteximo de uma esfera Para uma amostra ciliacutendrica (usada normalmente para as medidas paleomagneacuteticas) em que R representa o raio da base do cilindro e L a sua altura temos a seguinte relaccedilatildeo

09 (244)

Assim para uma amostra ciliacutendrica de uma polegada de diacircmetro a melhor altura L seraacute igual 2 09 229 (245)

Texto escrito por Manoel Souza DrsquoAgrella Filho

Fonte bibliograacutefica

1 David J Dunlop Oumlzden Oumlzdemir ndash Rock Magnetism Fundamentals and Frontiers

Cambridge University Press 1997

2 William Lowrie ndash Fundamentals of Geophysics Cambridge University Press 1997

3 R B Butler Paleomagnetism Magnetic Domains to Geologic Terranes 1992

httpgeographylancsacukcempresourcesButler_bookcontentshtm

4 Lisa Tauxe Lectures in Paleomagnetism 2005

httpearthreforgMAGICbooksTauxe2005

APEcircNDICE A

COSSENOS DIRETORES

Um vetor F pode ser representado pelos cossenos dos acircngulos que ele faz com os trecircs eixos cartesianos X Y e Z descritos por θx θy e θz respectivamente (Figura 29) Estes acircngulos satildeo conhecidos como acircngulos diretores do vetor F e seus respectivos cossenos satildeo denominados de cossenos diretores

Figura 29 Representaccedilatildeo cartesiana de um vetor F mostrando os acircngulos diretores em relaccedilatildeo aos eixos X Y e Z respectivamente

Assim as componentes do vetor F podem ser descritas como cos cos cos

Os cossenos diretores podem ser calculados pelas seguintes expressotildees cos (246)

cos (247)

cos (248)

De modo que 1 (249)

Se o vetor F estiver por exemplo ao longo do eixo X entatildeo cos 1 cos cos 0 (250)

Isto eacute o que ocorre se a magnetizaccedilatildeo M na estrutura cuacutebica da magnetita estiver ao longo do eixo cristalograacutefico lt100gt isto eacute ao longo do eixo difiacutecil (Figura 210) Note entretanto que se a magnetizaccedilatildeo M estiver ao longo da diagonal do cubo (eixo cristalograacutefico lt111gt) isto eacute ao longo do eixo faacutecil teremos cos cos cos radic (251)

Figura 210 Representaccedilatildeo esquemaacutetica da estrutura cuacutebica da magnetita (aresta = a diagonal da face = b) A magnetizaccedilatildeo M estaacute na diagonal do cubo ao longo do eixo cristalograacutefico lt111gt

Podemos deduzir (251) facilmente Se a eacute o lado do cubo entatildeo a diagonal da face (b) seraacute radic2 (252)

Da Figura 210 podemos escrever a magnitude da magnetizaccedilatildeo M como (253)

Usando (252) a equaccedilatildeo (253) fica 2 3 radic3 (254)

Para M ao longo da diagonal do cubo cos cos cos e cos radic radic (255)

Logo cos cos cos radic

cqd

sentido de Eo No total o dieleacutetrico eacute neutro mas haacute duas faixas com espessura na escala atocircmica nas superfiacutecies da esquerda e da direita do dieleacutetrico que satildeo carregadas eletricamente com cargas negativas e positivas respectivamente (Figura 24b) Elas satildeo denominadas de cargas de ligaccedilatildeo por natildeo estarem livres como eacute o caso dos eleacutetrons de conduccedilatildeo Defini-se uma densidade de cargas (σb) em cada superfiacutecie do dieleacutetrico como sendo

σ middot (218)

Onde eacute o vetor unitaacuterio normal agrave superfiacutecie (Figura 24c)

As cargas de superfiacutecie vatildeo gerar um campo eleacutetrico Ed sendo que cada linha de campo comeccedila na superfiacutecie de cargas positivas e termina na superfiacutecie de cargas negativas (Figura 24c) Como o campo eleacutetrico Ed eacute oposto agrave polarizaccedilatildeo P ele atua no sentido de reduzir a polarizaccedilatildeo produzida pelo campo eleacutetrico Eo isto eacute ele cancela parcialmente o campo Eo que criou a polarizaccedilatildeo P Neste sentido Ed eacute chamado de campo despolarizante

2312 MATERIAL FERROMAGNEacuteTICO

Vamos ver agora o que ocorre em um material ferromagneacutetico como o mostrado na Figura 25 no qual eacute aplicado um campo magneacutetico Ho e uma magnetizaccedilatildeo M estaacute associada ao material Do mesmo modo que para o dieleacutetrico no caso do material magnetizado ocorre uma polarizaccedilatildeo magneacutetica a qual gera um campo desmagnetizante Hd Entretanto por causa do forte acoplamento de troca este efeito eacute muito maior no material ferromagneacutetico Outra diferenccedila eacute que para a maioria dos dieleacutetricos um campo eleacutetrico eacute necessaacuterio para induzir a polarizaccedilatildeo P enquanto que no material ferromagneacutetico podemos ter uma magnetizaccedilatildeo sem campo magneacutetico aplicado No caso da aplicaccedilatildeo de um campo Ho a magnetizaccedilatildeo total (M) eacute composta pela magnetizaccedilatildeo induzida pelo campo Ho e a magnetizaccedilatildeo remanente (Mr) Note que macroscopicamente estas magnetizaccedilotildees podem estar associadas a gratildeos magneacuteticos diferentes se o campo Ho natildeo for muito intenso (como o campo da Terra por exemplo) Podemos escrever

M = χ Ho + Mr (219)

Onde χ eacute a suscetibilidade magneacutetica A polarizaccedilatildeo magneacutetica produziraacute cargas (poacutelos) magneacuteticas positivas e negativas nas faces direita e esquerda do material respectivamente (Figura 25) Estas cargas podem ser identificadas por uma densidade de cargas σm definida por

σ middot (220)

Onde eacute o vetor unitaacuterio normal agrave superfiacutecie (Figura 25)

Figura 25 O campo desmagnetizante Hd em um material magneticamente polarizado (Fonte Dunlop e Oumlzdemir 1997)

As cargas magneacuteticas vatildeo produzir um campo desmagnetizante Hd cujas linhas comeccedilam nas cargas positivas e terminam nas cargas negativas Note que o campo desmagnetizante eacute antiparalelo agrave magnetizaccedilatildeo M isto eacute o campo desmagnetizante age no sentido de desmagnetizar o material Em decorrecircncia deste campo um poacutelo magneacutetico positivo fictiacutecio dentro do material se deslocaraacute ao longo da direccedilatildeo do campo Hd Um dipolo magneacutetico com momento m sofreraacute uma rotaccedilatildeo ateacute ficar paralelo ao campo Hd sendo que o poacutelo positivo do dipolo fica mais perto do lado esquerdo (cargas negativas) e o poacutelo negativo do dipolo fica mais perto do lado direito do material (cargas positivas) O momento m do dipolo se orientaraacute com Hd tal como um iacutematilde Podemos associar ao dipolo um torque (τ) e uma energia potencial magneacutetica (Em)

τ (221) E middot (222)

O campo interno (Hi) total seraacute igual a N middot (223)

Onde Hd = -N M N eacute denominado de fator desmagnetizante e pode ser representado por um tensor No interior do prisma representado na Figura 25 em que as linhas do campo

Hd natildeo se espalham Hd eacute constante e exatamente antiparalelo a M Neste caso N passa a ser uma constante Sendo m o momento magneacutetico do material V o seu volume e M a sua magnetizaccedilatildeo entatildeo m = V M Assim a energia potencial magneacutetica (Em) associada pode ser expressa utilizando-se as equaccedilotildees (222) e (223) como sendo ou (224)

O primeiro termo do lado direito da equaccedilatildeo (224) eacute denominado de Energia de Zeeman ou Energia de campo magneacutetico (EH) O segundo termo eacute denominado de Energia magnetostaacutetica ou Energia desmagnetizante (Ed) O fator frac12 na determinaccedilatildeo de Ed decorre do fato que esta energia estaacute relacionada a uma interaccedilatildeo dipolo-dipolo e nesta interaccedilatildeo cada dipolo interage com o dipolo anterior e tambeacutem com o posterior Assim ele eacute contado duas vezes

2313 ESFERA UNIFORMEMENTE MAGNETIZADA

A Figura 26 mostra uma esfera de raio R e magnetizaccedilatildeo M ao longo do eixo z A densidade de cargas em sua superfiacutecie eacute middot isto eacute cos (225)

Os poacutelos magneacuteticos estatildeo concentrados nas superfiacutecies de cima e de baixo da esfera Natildeo haacute poacutelos magneacuteticos ao longo do equador da esfera onde M eacute tangencial a superfiacutecie (θ = 90deg na equaccedilatildeo 225) Para calcular o campo desmagnetizante (Hd) usamos um princiacutepio da teoria de potencial elementar Quando calculamos o campo gravitacional externo a uma esfera de densidade uniforme admitimos que toda a sua massa estaacute concentrada em seu centro Do mesmo modo podemos supor que o campo magneacutetico externo (He) a uma esfera uniformemente polarizada eacute o mesmo de um dipolo situado no centro da esfera e com momento de dipolo m = V M Admitindo que o campo magneacutetico apresente continuidade atraveacutes de qualquer ponto da superfiacutecie da esfera podemos igualar o campo Hd e He na sua superfiacutecie (Figura 26)

Figura 26 Campo externo e campo interno (linhas tracejadas) de uma esfera com magnetizaccedilatildeo uniforme M ao longo do eixo z Cargas ou poacutelos magneacuteticos de superfiacutecie satildeo indicados por + e - (Fonte Dunlop e Oumlzdemir 1997)

O campo (H) de um dipolo com seu eixo ao longo do eixo z eacute representado pela expressatildeo

micro π 2 cos θ sin θ (226)

e satildeo os vetores unitaacuterios radial e tangencial respectivamente

No equador da esfera

Hd = - N M (227)

e o campo externo para r = R seraacute

4 2 cos 90deg sin 90deg 43 4

(228)

O sinal negativo vem do fato de He estar orientado no sentido contraacuterio ao eixo z Igualando (227) e (228) teremos

(229)

O valor de N = 13 foi calculado para o sistema SI No cgs

No poacutelo da esfera ao longo do eixo z r = R e θ = 0 O campo magneacutetico interno (Bi) pode ser expresso por 1 (230)

O campo externo Be pode ser determinado pela equaccedilatildeo (226)

4 2 cos 0deg sin 0deg 2 43 4

(231)

Igualando as equaccedilotildees (230) e (231) teremos 1 (232)

Pode-se mostrar que em qualquer ponto da superfiacutecie e do

interior de uma esfera de domiacutenio simples Logo (SI) em qualquer ponto

No cgs basta multiplicar 13 pelo fator 4π

2314 ESFEROacuteIDE UNIFORMEMENTE MAGNETIZADO E ANISOTROPIA DE FORMA

A Figura 27 ilustra os poacutelos de superfiacutecie e os campos desmagnetizantes para esferoacuteides prolatos (elipsoacuteide de revoluccedilatildeo) uniformemente magnetizados Em (a) o esferoacuteide eacute magnetizado ao longo do semi-eixo maior a Os poacutelos de superfiacutecie estatildeo mais afastados quando comparados aos da esfera de volume correspondente Por analogia com a eletrostaacutetica campos decrescem com a distacircncia isto eacute com 1r2 portanto o campo Hd que surge destes poacutelos eacute menor do que no caso da esfera Assim Na lt 13 Por outro lado em (b) onde o esferoacuteide eacute magnetizado paralelo ao semi-eixo menor b os poacutelos de superfiacutecie estatildeo mais proacuteximos e neste caso Nb gt 13 O campo Hd tambeacutem eacute maior quando comparado com o da esfera

Figura 27 Poacutelos de superfiacutecie e campo desmagnetizante interno Hd para um esferoacuteide prolato com magnetizaccedilatildeo uniforme M (a) ao longo do eixo maior (b) ao longo do eixo menor (c) obliquo ao eixo maior Hd eacute uniforme em todos os casos mas em (c) ele natildeo eacute antiparalelo a M (Fonte Dunlop e Oumlzdemir 1997)

Na Figura 27c M estaacute a um acircngulo θ em relaccedilatildeo ao eixo z ( Hd eacute ainda uniforme entretanto natildeo eacute mais antiparalelo a M Podemos escrever M sin θ M cos θ (233)

Do mesmo modo podemos escrever o campo Hd como N M sin θ N M cos θ (234)

Podemos calcular a energia desmagnetizante (Ed) E micro V middot (235)

Deste modo micro V M sin θ M cos θ middot N M sin θ N M cos θ micro V M N sin θ N cos θ micro V M N N N sin θ (236)

Para um elipsoacuteide com fatores desmagnetizantes Nx Ny e Nz eacute vaacutelida a seguinte relaccedilatildeo 1 (237)

A equaccedilatildeo (236) mostra que a energia desmagnetizante eacute anisotroacutepica natildeo com relaccedilatildeo aos eixos cristalograacuteficos mas com relaccedilatildeo agrave forma externa do cristal a qual determina a separaccedilatildeo dos poacutelos de superfiacutecie para diferentes orientaccedilotildees de M A

anisotropia eacute uniaxial para um esferoacuteide prolato com o eixo faacutecil de magnetizaccedilatildeo sendo paralelo ao eixo maior isto eacute para θ = 0deg ou θ = 180deg Este efeito eacute chamado de anisotropia de forma Ela normalmente mascara as anisotropias magnetocristalina e magnetoelaacutestica nos gratildeos de domiacutenio simples de minerais fortemente magneacuteticos como eacute o caso da magnetita maghemita e ferro puro Para a magnetita se Na difere de Nb em 10 jaacute haacute um predomiacutenio da anisotropia de forma Os esferoacuteides oblatos tambeacutem apresentam anisotropia de forma Entretanto neste caso a magnetizaccedilatildeo M pode girar livremente no plano do eixo maior Uma esfera natildeo apresenta anisotropia de forma pois N = 13 para qualquer direccedilatildeo de M

A Figura 28 mostra a variaccedilatildeo de Na para esferoacuteides prolatos e a variaccedilatildeo de Nb para esferoacuteides oblatos em funccedilatildeo da razatildeo ba Para um esferoacuteide prolato teremos N 2 N 1 (238)

Quando ba tende a zero isto eacute o gratildeo tem a forma de agulha 0 e (238) fica 2 1 (239)

Gratildeos de magnetita SD na forma de agulha em minerais silicaacuteticos ou em titanomagnetitas oxidadas em altas temperaturas subdivididas por lamelas de ilmenita apresentam anisotropias de forma muito acentuadas e alta estabilidade magneacutetica Podemos determinar a coercividade para o caso de Na = 0 que eacute representada pelo campo magneacutetico necessaacuterio para inverter a magnetizaccedilatildeo M ao longo do eixo maior para a direccedilatildeo oposta (a 180deg)

H H 90deg H 0deg N N M 12 480 10 240 kAm 3000 Oe

(240)

Para gratildeos oblatos em forma de disco podemos escrever 2 N N 1 (241)

Figura 28 Variaccedilotildees de Nb (para um esferoacuteide oblato) e de Na (para um esferoacuteide prolato) em funccedilatildeo de ba (ba = 1 para a esfera neste caso Na = Nb = 13) (Fonte Diunlop e Oumlzdemir 1997)

Considerando o caso limite do gratildeo oblato que poderia ser representado por uma placa infinita de pequena espessura 0 e (241) fica sendo N 1 (242)

Neste caso a magnetizaccedilatildeo M fica paralela ao plano da placa embora natildeo tenha preferecircncia direcional Tambeacutem o campo desmagnetizante (Hd) ao longo do eixo b eacute ainda maior quando comparada ao do gratildeo prolato Outro fato se refere ao campo magneacutetico interno (Bi) B micro H M B micro ndash N M M (243)

Como N = Nb = 1 teremos Bi = 0 isto eacute o campo se anula dentro da placa Deste modo o campo externo (He) ao gratildeo tambeacutem eacute zero

Na natureza os gratildeos magneacuteticos natildeo apresentam em geral formas esferoidais perfeitas Entretanto mesmo para os cristais reais M Hd e N tendem a ser uniformes no seu interior Somente nas bordas as direccedilotildees e magnitudes de Hd variam muito Todavia estas variaccedilotildees tendem na meacutedia a se anular quando o cristal eacute visto como um todo

Tanto gratildeos microscoacutepicos quanto corpos macroscoacutepicos apresentam anisotropia de forma No caso do paleomagnetismo para evitar deflexatildeo do vetor magnetizaccedilatildeo remanente por campos desmagnetizantes internos ou mesmo nas medidas de anisotropia de suscetibilidade magneacutetica (ASM) precisamos eliminar as possiacuteveis anisotropias de forma da amostra fazendo com que ela se aproxime ao maacuteximo de uma esfera Para uma amostra ciliacutendrica (usada normalmente para as medidas paleomagneacuteticas) em que R representa o raio da base do cilindro e L a sua altura temos a seguinte relaccedilatildeo

09 (244)

Assim para uma amostra ciliacutendrica de uma polegada de diacircmetro a melhor altura L seraacute igual 2 09 229 (245)

Texto escrito por Manoel Souza DrsquoAgrella Filho

Fonte bibliograacutefica

1 David J Dunlop Oumlzden Oumlzdemir ndash Rock Magnetism Fundamentals and Frontiers

Cambridge University Press 1997

2 William Lowrie ndash Fundamentals of Geophysics Cambridge University Press 1997

3 R B Butler Paleomagnetism Magnetic Domains to Geologic Terranes 1992

httpgeographylancsacukcempresourcesButler_bookcontentshtm

4 Lisa Tauxe Lectures in Paleomagnetism 2005

httpearthreforgMAGICbooksTauxe2005

APEcircNDICE A

COSSENOS DIRETORES

Um vetor F pode ser representado pelos cossenos dos acircngulos que ele faz com os trecircs eixos cartesianos X Y e Z descritos por θx θy e θz respectivamente (Figura 29) Estes acircngulos satildeo conhecidos como acircngulos diretores do vetor F e seus respectivos cossenos satildeo denominados de cossenos diretores

Figura 29 Representaccedilatildeo cartesiana de um vetor F mostrando os acircngulos diretores em relaccedilatildeo aos eixos X Y e Z respectivamente

Assim as componentes do vetor F podem ser descritas como cos cos cos

Os cossenos diretores podem ser calculados pelas seguintes expressotildees cos (246)

cos (247)

cos (248)

De modo que 1 (249)

Se o vetor F estiver por exemplo ao longo do eixo X entatildeo cos 1 cos cos 0 (250)

Isto eacute o que ocorre se a magnetizaccedilatildeo M na estrutura cuacutebica da magnetita estiver ao longo do eixo cristalograacutefico lt100gt isto eacute ao longo do eixo difiacutecil (Figura 210) Note entretanto que se a magnetizaccedilatildeo M estiver ao longo da diagonal do cubo (eixo cristalograacutefico lt111gt) isto eacute ao longo do eixo faacutecil teremos cos cos cos radic (251)

Figura 210 Representaccedilatildeo esquemaacutetica da estrutura cuacutebica da magnetita (aresta = a diagonal da face = b) A magnetizaccedilatildeo M estaacute na diagonal do cubo ao longo do eixo cristalograacutefico lt111gt

Podemos deduzir (251) facilmente Se a eacute o lado do cubo entatildeo a diagonal da face (b) seraacute radic2 (252)

Da Figura 210 podemos escrever a magnitude da magnetizaccedilatildeo M como (253)

Usando (252) a equaccedilatildeo (253) fica 2 3 radic3 (254)

Para M ao longo da diagonal do cubo cos cos cos e cos radic radic (255)

Logo cos cos cos radic

cqd

Onde eacute o vetor unitaacuterio normal agrave superfiacutecie (Figura 25)

Figura 25 O campo desmagnetizante Hd em um material magneticamente polarizado (Fonte Dunlop e Oumlzdemir 1997)

As cargas magneacuteticas vatildeo produzir um campo desmagnetizante Hd cujas linhas comeccedilam nas cargas positivas e terminam nas cargas negativas Note que o campo desmagnetizante eacute antiparalelo agrave magnetizaccedilatildeo M isto eacute o campo desmagnetizante age no sentido de desmagnetizar o material Em decorrecircncia deste campo um poacutelo magneacutetico positivo fictiacutecio dentro do material se deslocaraacute ao longo da direccedilatildeo do campo Hd Um dipolo magneacutetico com momento m sofreraacute uma rotaccedilatildeo ateacute ficar paralelo ao campo Hd sendo que o poacutelo positivo do dipolo fica mais perto do lado esquerdo (cargas negativas) e o poacutelo negativo do dipolo fica mais perto do lado direito do material (cargas positivas) O momento m do dipolo se orientaraacute com Hd tal como um iacutematilde Podemos associar ao dipolo um torque (τ) e uma energia potencial magneacutetica (Em)

τ (221) E middot (222)

O campo interno (Hi) total seraacute igual a N middot (223)

Onde Hd = -N M N eacute denominado de fator desmagnetizante e pode ser representado por um tensor No interior do prisma representado na Figura 25 em que as linhas do campo

Hd natildeo se espalham Hd eacute constante e exatamente antiparalelo a M Neste caso N passa a ser uma constante Sendo m o momento magneacutetico do material V o seu volume e M a sua magnetizaccedilatildeo entatildeo m = V M Assim a energia potencial magneacutetica (Em) associada pode ser expressa utilizando-se as equaccedilotildees (222) e (223) como sendo ou (224)

O primeiro termo do lado direito da equaccedilatildeo (224) eacute denominado de Energia de Zeeman ou Energia de campo magneacutetico (EH) O segundo termo eacute denominado de Energia magnetostaacutetica ou Energia desmagnetizante (Ed) O fator frac12 na determinaccedilatildeo de Ed decorre do fato que esta energia estaacute relacionada a uma interaccedilatildeo dipolo-dipolo e nesta interaccedilatildeo cada dipolo interage com o dipolo anterior e tambeacutem com o posterior Assim ele eacute contado duas vezes

2313 ESFERA UNIFORMEMENTE MAGNETIZADA

A Figura 26 mostra uma esfera de raio R e magnetizaccedilatildeo M ao longo do eixo z A densidade de cargas em sua superfiacutecie eacute middot isto eacute cos (225)

Os poacutelos magneacuteticos estatildeo concentrados nas superfiacutecies de cima e de baixo da esfera Natildeo haacute poacutelos magneacuteticos ao longo do equador da esfera onde M eacute tangencial a superfiacutecie (θ = 90deg na equaccedilatildeo 225) Para calcular o campo desmagnetizante (Hd) usamos um princiacutepio da teoria de potencial elementar Quando calculamos o campo gravitacional externo a uma esfera de densidade uniforme admitimos que toda a sua massa estaacute concentrada em seu centro Do mesmo modo podemos supor que o campo magneacutetico externo (He) a uma esfera uniformemente polarizada eacute o mesmo de um dipolo situado no centro da esfera e com momento de dipolo m = V M Admitindo que o campo magneacutetico apresente continuidade atraveacutes de qualquer ponto da superfiacutecie da esfera podemos igualar o campo Hd e He na sua superfiacutecie (Figura 26)

Figura 26 Campo externo e campo interno (linhas tracejadas) de uma esfera com magnetizaccedilatildeo uniforme M ao longo do eixo z Cargas ou poacutelos magneacuteticos de superfiacutecie satildeo indicados por + e - (Fonte Dunlop e Oumlzdemir 1997)

O campo (H) de um dipolo com seu eixo ao longo do eixo z eacute representado pela expressatildeo

micro π 2 cos θ sin θ (226)

e satildeo os vetores unitaacuterios radial e tangencial respectivamente

No equador da esfera

Hd = - N M (227)

e o campo externo para r = R seraacute

4 2 cos 90deg sin 90deg 43 4

(228)

O sinal negativo vem do fato de He estar orientado no sentido contraacuterio ao eixo z Igualando (227) e (228) teremos

(229)

O valor de N = 13 foi calculado para o sistema SI No cgs

No poacutelo da esfera ao longo do eixo z r = R e θ = 0 O campo magneacutetico interno (Bi) pode ser expresso por 1 (230)

O campo externo Be pode ser determinado pela equaccedilatildeo (226)

4 2 cos 0deg sin 0deg 2 43 4

(231)

Igualando as equaccedilotildees (230) e (231) teremos 1 (232)

Pode-se mostrar que em qualquer ponto da superfiacutecie e do

interior de uma esfera de domiacutenio simples Logo (SI) em qualquer ponto

No cgs basta multiplicar 13 pelo fator 4π

2314 ESFEROacuteIDE UNIFORMEMENTE MAGNETIZADO E ANISOTROPIA DE FORMA

A Figura 27 ilustra os poacutelos de superfiacutecie e os campos desmagnetizantes para esferoacuteides prolatos (elipsoacuteide de revoluccedilatildeo) uniformemente magnetizados Em (a) o esferoacuteide eacute magnetizado ao longo do semi-eixo maior a Os poacutelos de superfiacutecie estatildeo mais afastados quando comparados aos da esfera de volume correspondente Por analogia com a eletrostaacutetica campos decrescem com a distacircncia isto eacute com 1r2 portanto o campo Hd que surge destes poacutelos eacute menor do que no caso da esfera Assim Na lt 13 Por outro lado em (b) onde o esferoacuteide eacute magnetizado paralelo ao semi-eixo menor b os poacutelos de superfiacutecie estatildeo mais proacuteximos e neste caso Nb gt 13 O campo Hd tambeacutem eacute maior quando comparado com o da esfera

Figura 27 Poacutelos de superfiacutecie e campo desmagnetizante interno Hd para um esferoacuteide prolato com magnetizaccedilatildeo uniforme M (a) ao longo do eixo maior (b) ao longo do eixo menor (c) obliquo ao eixo maior Hd eacute uniforme em todos os casos mas em (c) ele natildeo eacute antiparalelo a M (Fonte Dunlop e Oumlzdemir 1997)

Na Figura 27c M estaacute a um acircngulo θ em relaccedilatildeo ao eixo z ( Hd eacute ainda uniforme entretanto natildeo eacute mais antiparalelo a M Podemos escrever M sin θ M cos θ (233)

Do mesmo modo podemos escrever o campo Hd como N M sin θ N M cos θ (234)

Podemos calcular a energia desmagnetizante (Ed) E micro V middot (235)

Deste modo micro V M sin θ M cos θ middot N M sin θ N M cos θ micro V M N sin θ N cos θ micro V M N N N sin θ (236)

Para um elipsoacuteide com fatores desmagnetizantes Nx Ny e Nz eacute vaacutelida a seguinte relaccedilatildeo 1 (237)

A equaccedilatildeo (236) mostra que a energia desmagnetizante eacute anisotroacutepica natildeo com relaccedilatildeo aos eixos cristalograacuteficos mas com relaccedilatildeo agrave forma externa do cristal a qual determina a separaccedilatildeo dos poacutelos de superfiacutecie para diferentes orientaccedilotildees de M A

anisotropia eacute uniaxial para um esferoacuteide prolato com o eixo faacutecil de magnetizaccedilatildeo sendo paralelo ao eixo maior isto eacute para θ = 0deg ou θ = 180deg Este efeito eacute chamado de anisotropia de forma Ela normalmente mascara as anisotropias magnetocristalina e magnetoelaacutestica nos gratildeos de domiacutenio simples de minerais fortemente magneacuteticos como eacute o caso da magnetita maghemita e ferro puro Para a magnetita se Na difere de Nb em 10 jaacute haacute um predomiacutenio da anisotropia de forma Os esferoacuteides oblatos tambeacutem apresentam anisotropia de forma Entretanto neste caso a magnetizaccedilatildeo M pode girar livremente no plano do eixo maior Uma esfera natildeo apresenta anisotropia de forma pois N = 13 para qualquer direccedilatildeo de M

A Figura 28 mostra a variaccedilatildeo de Na para esferoacuteides prolatos e a variaccedilatildeo de Nb para esferoacuteides oblatos em funccedilatildeo da razatildeo ba Para um esferoacuteide prolato teremos N 2 N 1 (238)

Quando ba tende a zero isto eacute o gratildeo tem a forma de agulha 0 e (238) fica 2 1 (239)

Gratildeos de magnetita SD na forma de agulha em minerais silicaacuteticos ou em titanomagnetitas oxidadas em altas temperaturas subdivididas por lamelas de ilmenita apresentam anisotropias de forma muito acentuadas e alta estabilidade magneacutetica Podemos determinar a coercividade para o caso de Na = 0 que eacute representada pelo campo magneacutetico necessaacuterio para inverter a magnetizaccedilatildeo M ao longo do eixo maior para a direccedilatildeo oposta (a 180deg)

H H 90deg H 0deg N N M 12 480 10 240 kAm 3000 Oe

(240)

Para gratildeos oblatos em forma de disco podemos escrever 2 N N 1 (241)

Figura 28 Variaccedilotildees de Nb (para um esferoacuteide oblato) e de Na (para um esferoacuteide prolato) em funccedilatildeo de ba (ba = 1 para a esfera neste caso Na = Nb = 13) (Fonte Diunlop e Oumlzdemir 1997)

Considerando o caso limite do gratildeo oblato que poderia ser representado por uma placa infinita de pequena espessura 0 e (241) fica sendo N 1 (242)

Neste caso a magnetizaccedilatildeo M fica paralela ao plano da placa embora natildeo tenha preferecircncia direcional Tambeacutem o campo desmagnetizante (Hd) ao longo do eixo b eacute ainda maior quando comparada ao do gratildeo prolato Outro fato se refere ao campo magneacutetico interno (Bi) B micro H M B micro ndash N M M (243)

Como N = Nb = 1 teremos Bi = 0 isto eacute o campo se anula dentro da placa Deste modo o campo externo (He) ao gratildeo tambeacutem eacute zero

Na natureza os gratildeos magneacuteticos natildeo apresentam em geral formas esferoidais perfeitas Entretanto mesmo para os cristais reais M Hd e N tendem a ser uniformes no seu interior Somente nas bordas as direccedilotildees e magnitudes de Hd variam muito Todavia estas variaccedilotildees tendem na meacutedia a se anular quando o cristal eacute visto como um todo

Tanto gratildeos microscoacutepicos quanto corpos macroscoacutepicos apresentam anisotropia de forma No caso do paleomagnetismo para evitar deflexatildeo do vetor magnetizaccedilatildeo remanente por campos desmagnetizantes internos ou mesmo nas medidas de anisotropia de suscetibilidade magneacutetica (ASM) precisamos eliminar as possiacuteveis anisotropias de forma da amostra fazendo com que ela se aproxime ao maacuteximo de uma esfera Para uma amostra ciliacutendrica (usada normalmente para as medidas paleomagneacuteticas) em que R representa o raio da base do cilindro e L a sua altura temos a seguinte relaccedilatildeo

09 (244)

Assim para uma amostra ciliacutendrica de uma polegada de diacircmetro a melhor altura L seraacute igual 2 09 229 (245)

Texto escrito por Manoel Souza DrsquoAgrella Filho

Fonte bibliograacutefica

1 David J Dunlop Oumlzden Oumlzdemir ndash Rock Magnetism Fundamentals and Frontiers

Cambridge University Press 1997

2 William Lowrie ndash Fundamentals of Geophysics Cambridge University Press 1997

3 R B Butler Paleomagnetism Magnetic Domains to Geologic Terranes 1992

httpgeographylancsacukcempresourcesButler_bookcontentshtm

4 Lisa Tauxe Lectures in Paleomagnetism 2005

httpearthreforgMAGICbooksTauxe2005

APEcircNDICE A

COSSENOS DIRETORES

Um vetor F pode ser representado pelos cossenos dos acircngulos que ele faz com os trecircs eixos cartesianos X Y e Z descritos por θx θy e θz respectivamente (Figura 29) Estes acircngulos satildeo conhecidos como acircngulos diretores do vetor F e seus respectivos cossenos satildeo denominados de cossenos diretores

Figura 29 Representaccedilatildeo cartesiana de um vetor F mostrando os acircngulos diretores em relaccedilatildeo aos eixos X Y e Z respectivamente

Assim as componentes do vetor F podem ser descritas como cos cos cos

Os cossenos diretores podem ser calculados pelas seguintes expressotildees cos (246)

cos (247)

cos (248)

De modo que 1 (249)

Se o vetor F estiver por exemplo ao longo do eixo X entatildeo cos 1 cos cos 0 (250)

Isto eacute o que ocorre se a magnetizaccedilatildeo M na estrutura cuacutebica da magnetita estiver ao longo do eixo cristalograacutefico lt100gt isto eacute ao longo do eixo difiacutecil (Figura 210) Note entretanto que se a magnetizaccedilatildeo M estiver ao longo da diagonal do cubo (eixo cristalograacutefico lt111gt) isto eacute ao longo do eixo faacutecil teremos cos cos cos radic (251)

Figura 210 Representaccedilatildeo esquemaacutetica da estrutura cuacutebica da magnetita (aresta = a diagonal da face = b) A magnetizaccedilatildeo M estaacute na diagonal do cubo ao longo do eixo cristalograacutefico lt111gt

Podemos deduzir (251) facilmente Se a eacute o lado do cubo entatildeo a diagonal da face (b) seraacute radic2 (252)

Da Figura 210 podemos escrever a magnitude da magnetizaccedilatildeo M como (253)

Usando (252) a equaccedilatildeo (253) fica 2 3 radic3 (254)

Para M ao longo da diagonal do cubo cos cos cos e cos radic radic (255)

Logo cos cos cos radic

cqd

Hd natildeo se espalham Hd eacute constante e exatamente antiparalelo a M Neste caso N passa a ser uma constante Sendo m o momento magneacutetico do material V o seu volume e M a sua magnetizaccedilatildeo entatildeo m = V M Assim a energia potencial magneacutetica (Em) associada pode ser expressa utilizando-se as equaccedilotildees (222) e (223) como sendo ou (224)

O primeiro termo do lado direito da equaccedilatildeo (224) eacute denominado de Energia de Zeeman ou Energia de campo magneacutetico (EH) O segundo termo eacute denominado de Energia magnetostaacutetica ou Energia desmagnetizante (Ed) O fator frac12 na determinaccedilatildeo de Ed decorre do fato que esta energia estaacute relacionada a uma interaccedilatildeo dipolo-dipolo e nesta interaccedilatildeo cada dipolo interage com o dipolo anterior e tambeacutem com o posterior Assim ele eacute contado duas vezes

2313 ESFERA UNIFORMEMENTE MAGNETIZADA

A Figura 26 mostra uma esfera de raio R e magnetizaccedilatildeo M ao longo do eixo z A densidade de cargas em sua superfiacutecie eacute middot isto eacute cos (225)

Os poacutelos magneacuteticos estatildeo concentrados nas superfiacutecies de cima e de baixo da esfera Natildeo haacute poacutelos magneacuteticos ao longo do equador da esfera onde M eacute tangencial a superfiacutecie (θ = 90deg na equaccedilatildeo 225) Para calcular o campo desmagnetizante (Hd) usamos um princiacutepio da teoria de potencial elementar Quando calculamos o campo gravitacional externo a uma esfera de densidade uniforme admitimos que toda a sua massa estaacute concentrada em seu centro Do mesmo modo podemos supor que o campo magneacutetico externo (He) a uma esfera uniformemente polarizada eacute o mesmo de um dipolo situado no centro da esfera e com momento de dipolo m = V M Admitindo que o campo magneacutetico apresente continuidade atraveacutes de qualquer ponto da superfiacutecie da esfera podemos igualar o campo Hd e He na sua superfiacutecie (Figura 26)

Figura 26 Campo externo e campo interno (linhas tracejadas) de uma esfera com magnetizaccedilatildeo uniforme M ao longo do eixo z Cargas ou poacutelos magneacuteticos de superfiacutecie satildeo indicados por + e - (Fonte Dunlop e Oumlzdemir 1997)

O campo (H) de um dipolo com seu eixo ao longo do eixo z eacute representado pela expressatildeo

micro π 2 cos θ sin θ (226)

e satildeo os vetores unitaacuterios radial e tangencial respectivamente

No equador da esfera

Hd = - N M (227)

e o campo externo para r = R seraacute

4 2 cos 90deg sin 90deg 43 4

(228)

O sinal negativo vem do fato de He estar orientado no sentido contraacuterio ao eixo z Igualando (227) e (228) teremos

(229)

O valor de N = 13 foi calculado para o sistema SI No cgs

No poacutelo da esfera ao longo do eixo z r = R e θ = 0 O campo magneacutetico interno (Bi) pode ser expresso por 1 (230)

O campo externo Be pode ser determinado pela equaccedilatildeo (226)

4 2 cos 0deg sin 0deg 2 43 4

(231)

Igualando as equaccedilotildees (230) e (231) teremos 1 (232)

Pode-se mostrar que em qualquer ponto da superfiacutecie e do

interior de uma esfera de domiacutenio simples Logo (SI) em qualquer ponto

No cgs basta multiplicar 13 pelo fator 4π

2314 ESFEROacuteIDE UNIFORMEMENTE MAGNETIZADO E ANISOTROPIA DE FORMA

A Figura 27 ilustra os poacutelos de superfiacutecie e os campos desmagnetizantes para esferoacuteides prolatos (elipsoacuteide de revoluccedilatildeo) uniformemente magnetizados Em (a) o esferoacuteide eacute magnetizado ao longo do semi-eixo maior a Os poacutelos de superfiacutecie estatildeo mais afastados quando comparados aos da esfera de volume correspondente Por analogia com a eletrostaacutetica campos decrescem com a distacircncia isto eacute com 1r2 portanto o campo Hd que surge destes poacutelos eacute menor do que no caso da esfera Assim Na lt 13 Por outro lado em (b) onde o esferoacuteide eacute magnetizado paralelo ao semi-eixo menor b os poacutelos de superfiacutecie estatildeo mais proacuteximos e neste caso Nb gt 13 O campo Hd tambeacutem eacute maior quando comparado com o da esfera

Figura 27 Poacutelos de superfiacutecie e campo desmagnetizante interno Hd para um esferoacuteide prolato com magnetizaccedilatildeo uniforme M (a) ao longo do eixo maior (b) ao longo do eixo menor (c) obliquo ao eixo maior Hd eacute uniforme em todos os casos mas em (c) ele natildeo eacute antiparalelo a M (Fonte Dunlop e Oumlzdemir 1997)

Na Figura 27c M estaacute a um acircngulo θ em relaccedilatildeo ao eixo z ( Hd eacute ainda uniforme entretanto natildeo eacute mais antiparalelo a M Podemos escrever M sin θ M cos θ (233)

Do mesmo modo podemos escrever o campo Hd como N M sin θ N M cos θ (234)

Podemos calcular a energia desmagnetizante (Ed) E micro V middot (235)

Deste modo micro V M sin θ M cos θ middot N M sin θ N M cos θ micro V M N sin θ N cos θ micro V M N N N sin θ (236)

Para um elipsoacuteide com fatores desmagnetizantes Nx Ny e Nz eacute vaacutelida a seguinte relaccedilatildeo 1 (237)

A equaccedilatildeo (236) mostra que a energia desmagnetizante eacute anisotroacutepica natildeo com relaccedilatildeo aos eixos cristalograacuteficos mas com relaccedilatildeo agrave forma externa do cristal a qual determina a separaccedilatildeo dos poacutelos de superfiacutecie para diferentes orientaccedilotildees de M A

anisotropia eacute uniaxial para um esferoacuteide prolato com o eixo faacutecil de magnetizaccedilatildeo sendo paralelo ao eixo maior isto eacute para θ = 0deg ou θ = 180deg Este efeito eacute chamado de anisotropia de forma Ela normalmente mascara as anisotropias magnetocristalina e magnetoelaacutestica nos gratildeos de domiacutenio simples de minerais fortemente magneacuteticos como eacute o caso da magnetita maghemita e ferro puro Para a magnetita se Na difere de Nb em 10 jaacute haacute um predomiacutenio da anisotropia de forma Os esferoacuteides oblatos tambeacutem apresentam anisotropia de forma Entretanto neste caso a magnetizaccedilatildeo M pode girar livremente no plano do eixo maior Uma esfera natildeo apresenta anisotropia de forma pois N = 13 para qualquer direccedilatildeo de M

A Figura 28 mostra a variaccedilatildeo de Na para esferoacuteides prolatos e a variaccedilatildeo de Nb para esferoacuteides oblatos em funccedilatildeo da razatildeo ba Para um esferoacuteide prolato teremos N 2 N 1 (238)

Quando ba tende a zero isto eacute o gratildeo tem a forma de agulha 0 e (238) fica 2 1 (239)

Gratildeos de magnetita SD na forma de agulha em minerais silicaacuteticos ou em titanomagnetitas oxidadas em altas temperaturas subdivididas por lamelas de ilmenita apresentam anisotropias de forma muito acentuadas e alta estabilidade magneacutetica Podemos determinar a coercividade para o caso de Na = 0 que eacute representada pelo campo magneacutetico necessaacuterio para inverter a magnetizaccedilatildeo M ao longo do eixo maior para a direccedilatildeo oposta (a 180deg)

H H 90deg H 0deg N N M 12 480 10 240 kAm 3000 Oe

(240)

Para gratildeos oblatos em forma de disco podemos escrever 2 N N 1 (241)

Figura 28 Variaccedilotildees de Nb (para um esferoacuteide oblato) e de Na (para um esferoacuteide prolato) em funccedilatildeo de ba (ba = 1 para a esfera neste caso Na = Nb = 13) (Fonte Diunlop e Oumlzdemir 1997)

Considerando o caso limite do gratildeo oblato que poderia ser representado por uma placa infinita de pequena espessura 0 e (241) fica sendo N 1 (242)

Neste caso a magnetizaccedilatildeo M fica paralela ao plano da placa embora natildeo tenha preferecircncia direcional Tambeacutem o campo desmagnetizante (Hd) ao longo do eixo b eacute ainda maior quando comparada ao do gratildeo prolato Outro fato se refere ao campo magneacutetico interno (Bi) B micro H M B micro ndash N M M (243)

Como N = Nb = 1 teremos Bi = 0 isto eacute o campo se anula dentro da placa Deste modo o campo externo (He) ao gratildeo tambeacutem eacute zero

Na natureza os gratildeos magneacuteticos natildeo apresentam em geral formas esferoidais perfeitas Entretanto mesmo para os cristais reais M Hd e N tendem a ser uniformes no seu interior Somente nas bordas as direccedilotildees e magnitudes de Hd variam muito Todavia estas variaccedilotildees tendem na meacutedia a se anular quando o cristal eacute visto como um todo

Tanto gratildeos microscoacutepicos quanto corpos macroscoacutepicos apresentam anisotropia de forma No caso do paleomagnetismo para evitar deflexatildeo do vetor magnetizaccedilatildeo remanente por campos desmagnetizantes internos ou mesmo nas medidas de anisotropia de suscetibilidade magneacutetica (ASM) precisamos eliminar as possiacuteveis anisotropias de forma da amostra fazendo com que ela se aproxime ao maacuteximo de uma esfera Para uma amostra ciliacutendrica (usada normalmente para as medidas paleomagneacuteticas) em que R representa o raio da base do cilindro e L a sua altura temos a seguinte relaccedilatildeo

09 (244)

Assim para uma amostra ciliacutendrica de uma polegada de diacircmetro a melhor altura L seraacute igual 2 09 229 (245)

Texto escrito por Manoel Souza DrsquoAgrella Filho

Fonte bibliograacutefica

1 David J Dunlop Oumlzden Oumlzdemir ndash Rock Magnetism Fundamentals and Frontiers

Cambridge University Press 1997

2 William Lowrie ndash Fundamentals of Geophysics Cambridge University Press 1997

3 R B Butler Paleomagnetism Magnetic Domains to Geologic Terranes 1992

httpgeographylancsacukcempresourcesButler_bookcontentshtm

4 Lisa Tauxe Lectures in Paleomagnetism 2005

httpearthreforgMAGICbooksTauxe2005

APEcircNDICE A

COSSENOS DIRETORES

Um vetor F pode ser representado pelos cossenos dos acircngulos que ele faz com os trecircs eixos cartesianos X Y e Z descritos por θx θy e θz respectivamente (Figura 29) Estes acircngulos satildeo conhecidos como acircngulos diretores do vetor F e seus respectivos cossenos satildeo denominados de cossenos diretores

Figura 29 Representaccedilatildeo cartesiana de um vetor F mostrando os acircngulos diretores em relaccedilatildeo aos eixos X Y e Z respectivamente

Assim as componentes do vetor F podem ser descritas como cos cos cos

Os cossenos diretores podem ser calculados pelas seguintes expressotildees cos (246)

cos (247)

cos (248)

De modo que 1 (249)

Se o vetor F estiver por exemplo ao longo do eixo X entatildeo cos 1 cos cos 0 (250)

Isto eacute o que ocorre se a magnetizaccedilatildeo M na estrutura cuacutebica da magnetita estiver ao longo do eixo cristalograacutefico lt100gt isto eacute ao longo do eixo difiacutecil (Figura 210) Note entretanto que se a magnetizaccedilatildeo M estiver ao longo da diagonal do cubo (eixo cristalograacutefico lt111gt) isto eacute ao longo do eixo faacutecil teremos cos cos cos radic (251)

Figura 210 Representaccedilatildeo esquemaacutetica da estrutura cuacutebica da magnetita (aresta = a diagonal da face = b) A magnetizaccedilatildeo M estaacute na diagonal do cubo ao longo do eixo cristalograacutefico lt111gt

Podemos deduzir (251) facilmente Se a eacute o lado do cubo entatildeo a diagonal da face (b) seraacute radic2 (252)

Da Figura 210 podemos escrever a magnitude da magnetizaccedilatildeo M como (253)

Usando (252) a equaccedilatildeo (253) fica 2 3 radic3 (254)

Para M ao longo da diagonal do cubo cos cos cos e cos radic radic (255)

Logo cos cos cos radic

cqd

Figura 26 Campo externo e campo interno (linhas tracejadas) de uma esfera com magnetizaccedilatildeo uniforme M ao longo do eixo z Cargas ou poacutelos magneacuteticos de superfiacutecie satildeo indicados por + e - (Fonte Dunlop e Oumlzdemir 1997)

O campo (H) de um dipolo com seu eixo ao longo do eixo z eacute representado pela expressatildeo

micro π 2 cos θ sin θ (226)

e satildeo os vetores unitaacuterios radial e tangencial respectivamente

No equador da esfera

Hd = - N M (227)

e o campo externo para r = R seraacute

4 2 cos 90deg sin 90deg 43 4

(228)

O sinal negativo vem do fato de He estar orientado no sentido contraacuterio ao eixo z Igualando (227) e (228) teremos

(229)

O valor de N = 13 foi calculado para o sistema SI No cgs

No poacutelo da esfera ao longo do eixo z r = R e θ = 0 O campo magneacutetico interno (Bi) pode ser expresso por 1 (230)

O campo externo Be pode ser determinado pela equaccedilatildeo (226)

4 2 cos 0deg sin 0deg 2 43 4

(231)

Igualando as equaccedilotildees (230) e (231) teremos 1 (232)

Pode-se mostrar que em qualquer ponto da superfiacutecie e do

interior de uma esfera de domiacutenio simples Logo (SI) em qualquer ponto

No cgs basta multiplicar 13 pelo fator 4π

2314 ESFEROacuteIDE UNIFORMEMENTE MAGNETIZADO E ANISOTROPIA DE FORMA

A Figura 27 ilustra os poacutelos de superfiacutecie e os campos desmagnetizantes para esferoacuteides prolatos (elipsoacuteide de revoluccedilatildeo) uniformemente magnetizados Em (a) o esferoacuteide eacute magnetizado ao longo do semi-eixo maior a Os poacutelos de superfiacutecie estatildeo mais afastados quando comparados aos da esfera de volume correspondente Por analogia com a eletrostaacutetica campos decrescem com a distacircncia isto eacute com 1r2 portanto o campo Hd que surge destes poacutelos eacute menor do que no caso da esfera Assim Na lt 13 Por outro lado em (b) onde o esferoacuteide eacute magnetizado paralelo ao semi-eixo menor b os poacutelos de superfiacutecie estatildeo mais proacuteximos e neste caso Nb gt 13 O campo Hd tambeacutem eacute maior quando comparado com o da esfera

Figura 27 Poacutelos de superfiacutecie e campo desmagnetizante interno Hd para um esferoacuteide prolato com magnetizaccedilatildeo uniforme M (a) ao longo do eixo maior (b) ao longo do eixo menor (c) obliquo ao eixo maior Hd eacute uniforme em todos os casos mas em (c) ele natildeo eacute antiparalelo a M (Fonte Dunlop e Oumlzdemir 1997)

Na Figura 27c M estaacute a um acircngulo θ em relaccedilatildeo ao eixo z ( Hd eacute ainda uniforme entretanto natildeo eacute mais antiparalelo a M Podemos escrever M sin θ M cos θ (233)

Do mesmo modo podemos escrever o campo Hd como N M sin θ N M cos θ (234)

Podemos calcular a energia desmagnetizante (Ed) E micro V middot (235)

Deste modo micro V M sin θ M cos θ middot N M sin θ N M cos θ micro V M N sin θ N cos θ micro V M N N N sin θ (236)

Para um elipsoacuteide com fatores desmagnetizantes Nx Ny e Nz eacute vaacutelida a seguinte relaccedilatildeo 1 (237)

A equaccedilatildeo (236) mostra que a energia desmagnetizante eacute anisotroacutepica natildeo com relaccedilatildeo aos eixos cristalograacuteficos mas com relaccedilatildeo agrave forma externa do cristal a qual determina a separaccedilatildeo dos poacutelos de superfiacutecie para diferentes orientaccedilotildees de M A

anisotropia eacute uniaxial para um esferoacuteide prolato com o eixo faacutecil de magnetizaccedilatildeo sendo paralelo ao eixo maior isto eacute para θ = 0deg ou θ = 180deg Este efeito eacute chamado de anisotropia de forma Ela normalmente mascara as anisotropias magnetocristalina e magnetoelaacutestica nos gratildeos de domiacutenio simples de minerais fortemente magneacuteticos como eacute o caso da magnetita maghemita e ferro puro Para a magnetita se Na difere de Nb em 10 jaacute haacute um predomiacutenio da anisotropia de forma Os esferoacuteides oblatos tambeacutem apresentam anisotropia de forma Entretanto neste caso a magnetizaccedilatildeo M pode girar livremente no plano do eixo maior Uma esfera natildeo apresenta anisotropia de forma pois N = 13 para qualquer direccedilatildeo de M

A Figura 28 mostra a variaccedilatildeo de Na para esferoacuteides prolatos e a variaccedilatildeo de Nb para esferoacuteides oblatos em funccedilatildeo da razatildeo ba Para um esferoacuteide prolato teremos N 2 N 1 (238)

Quando ba tende a zero isto eacute o gratildeo tem a forma de agulha 0 e (238) fica 2 1 (239)

Gratildeos de magnetita SD na forma de agulha em minerais silicaacuteticos ou em titanomagnetitas oxidadas em altas temperaturas subdivididas por lamelas de ilmenita apresentam anisotropias de forma muito acentuadas e alta estabilidade magneacutetica Podemos determinar a coercividade para o caso de Na = 0 que eacute representada pelo campo magneacutetico necessaacuterio para inverter a magnetizaccedilatildeo M ao longo do eixo maior para a direccedilatildeo oposta (a 180deg)

H H 90deg H 0deg N N M 12 480 10 240 kAm 3000 Oe

(240)

Para gratildeos oblatos em forma de disco podemos escrever 2 N N 1 (241)

Figura 28 Variaccedilotildees de Nb (para um esferoacuteide oblato) e de Na (para um esferoacuteide prolato) em funccedilatildeo de ba (ba = 1 para a esfera neste caso Na = Nb = 13) (Fonte Diunlop e Oumlzdemir 1997)

Considerando o caso limite do gratildeo oblato que poderia ser representado por uma placa infinita de pequena espessura 0 e (241) fica sendo N 1 (242)

Neste caso a magnetizaccedilatildeo M fica paralela ao plano da placa embora natildeo tenha preferecircncia direcional Tambeacutem o campo desmagnetizante (Hd) ao longo do eixo b eacute ainda maior quando comparada ao do gratildeo prolato Outro fato se refere ao campo magneacutetico interno (Bi) B micro H M B micro ndash N M M (243)

Como N = Nb = 1 teremos Bi = 0 isto eacute o campo se anula dentro da placa Deste modo o campo externo (He) ao gratildeo tambeacutem eacute zero

Na natureza os gratildeos magneacuteticos natildeo apresentam em geral formas esferoidais perfeitas Entretanto mesmo para os cristais reais M Hd e N tendem a ser uniformes no seu interior Somente nas bordas as direccedilotildees e magnitudes de Hd variam muito Todavia estas variaccedilotildees tendem na meacutedia a se anular quando o cristal eacute visto como um todo

Tanto gratildeos microscoacutepicos quanto corpos macroscoacutepicos apresentam anisotropia de forma No caso do paleomagnetismo para evitar deflexatildeo do vetor magnetizaccedilatildeo remanente por campos desmagnetizantes internos ou mesmo nas medidas de anisotropia de suscetibilidade magneacutetica (ASM) precisamos eliminar as possiacuteveis anisotropias de forma da amostra fazendo com que ela se aproxime ao maacuteximo de uma esfera Para uma amostra ciliacutendrica (usada normalmente para as medidas paleomagneacuteticas) em que R representa o raio da base do cilindro e L a sua altura temos a seguinte relaccedilatildeo

09 (244)

Assim para uma amostra ciliacutendrica de uma polegada de diacircmetro a melhor altura L seraacute igual 2 09 229 (245)

Texto escrito por Manoel Souza DrsquoAgrella Filho

Fonte bibliograacutefica

1 David J Dunlop Oumlzden Oumlzdemir ndash Rock Magnetism Fundamentals and Frontiers

Cambridge University Press 1997

2 William Lowrie ndash Fundamentals of Geophysics Cambridge University Press 1997

3 R B Butler Paleomagnetism Magnetic Domains to Geologic Terranes 1992

httpgeographylancsacukcempresourcesButler_bookcontentshtm

4 Lisa Tauxe Lectures in Paleomagnetism 2005

httpearthreforgMAGICbooksTauxe2005

APEcircNDICE A

COSSENOS DIRETORES

Um vetor F pode ser representado pelos cossenos dos acircngulos que ele faz com os trecircs eixos cartesianos X Y e Z descritos por θx θy e θz respectivamente (Figura 29) Estes acircngulos satildeo conhecidos como acircngulos diretores do vetor F e seus respectivos cossenos satildeo denominados de cossenos diretores

Figura 29 Representaccedilatildeo cartesiana de um vetor F mostrando os acircngulos diretores em relaccedilatildeo aos eixos X Y e Z respectivamente

Assim as componentes do vetor F podem ser descritas como cos cos cos

Os cossenos diretores podem ser calculados pelas seguintes expressotildees cos (246)

cos (247)

cos (248)

De modo que 1 (249)

Se o vetor F estiver por exemplo ao longo do eixo X entatildeo cos 1 cos cos 0 (250)

Isto eacute o que ocorre se a magnetizaccedilatildeo M na estrutura cuacutebica da magnetita estiver ao longo do eixo cristalograacutefico lt100gt isto eacute ao longo do eixo difiacutecil (Figura 210) Note entretanto que se a magnetizaccedilatildeo M estiver ao longo da diagonal do cubo (eixo cristalograacutefico lt111gt) isto eacute ao longo do eixo faacutecil teremos cos cos cos radic (251)

Figura 210 Representaccedilatildeo esquemaacutetica da estrutura cuacutebica da magnetita (aresta = a diagonal da face = b) A magnetizaccedilatildeo M estaacute na diagonal do cubo ao longo do eixo cristalograacutefico lt111gt

Podemos deduzir (251) facilmente Se a eacute o lado do cubo entatildeo a diagonal da face (b) seraacute radic2 (252)

Da Figura 210 podemos escrever a magnitude da magnetizaccedilatildeo M como (253)

Usando (252) a equaccedilatildeo (253) fica 2 3 radic3 (254)

Para M ao longo da diagonal do cubo cos cos cos e cos radic radic (255)

Logo cos cos cos radic

cqd

(229)

O valor de N = 13 foi calculado para o sistema SI No cgs

No poacutelo da esfera ao longo do eixo z r = R e θ = 0 O campo magneacutetico interno (Bi) pode ser expresso por 1 (230)

O campo externo Be pode ser determinado pela equaccedilatildeo (226)

4 2 cos 0deg sin 0deg 2 43 4

(231)

Igualando as equaccedilotildees (230) e (231) teremos 1 (232)

Pode-se mostrar que em qualquer ponto da superfiacutecie e do

interior de uma esfera de domiacutenio simples Logo (SI) em qualquer ponto

No cgs basta multiplicar 13 pelo fator 4π

2314 ESFEROacuteIDE UNIFORMEMENTE MAGNETIZADO E ANISOTROPIA DE FORMA

A Figura 27 ilustra os poacutelos de superfiacutecie e os campos desmagnetizantes para esferoacuteides prolatos (elipsoacuteide de revoluccedilatildeo) uniformemente magnetizados Em (a) o esferoacuteide eacute magnetizado ao longo do semi-eixo maior a Os poacutelos de superfiacutecie estatildeo mais afastados quando comparados aos da esfera de volume correspondente Por analogia com a eletrostaacutetica campos decrescem com a distacircncia isto eacute com 1r2 portanto o campo Hd que surge destes poacutelos eacute menor do que no caso da esfera Assim Na lt 13 Por outro lado em (b) onde o esferoacuteide eacute magnetizado paralelo ao semi-eixo menor b os poacutelos de superfiacutecie estatildeo mais proacuteximos e neste caso Nb gt 13 O campo Hd tambeacutem eacute maior quando comparado com o da esfera

Figura 27 Poacutelos de superfiacutecie e campo desmagnetizante interno Hd para um esferoacuteide prolato com magnetizaccedilatildeo uniforme M (a) ao longo do eixo maior (b) ao longo do eixo menor (c) obliquo ao eixo maior Hd eacute uniforme em todos os casos mas em (c) ele natildeo eacute antiparalelo a M (Fonte Dunlop e Oumlzdemir 1997)

Na Figura 27c M estaacute a um acircngulo θ em relaccedilatildeo ao eixo z ( Hd eacute ainda uniforme entretanto natildeo eacute mais antiparalelo a M Podemos escrever M sin θ M cos θ (233)

Do mesmo modo podemos escrever o campo Hd como N M sin θ N M cos θ (234)

Podemos calcular a energia desmagnetizante (Ed) E micro V middot (235)

Deste modo micro V M sin θ M cos θ middot N M sin θ N M cos θ micro V M N sin θ N cos θ micro V M N N N sin θ (236)

Para um elipsoacuteide com fatores desmagnetizantes Nx Ny e Nz eacute vaacutelida a seguinte relaccedilatildeo 1 (237)

A equaccedilatildeo (236) mostra que a energia desmagnetizante eacute anisotroacutepica natildeo com relaccedilatildeo aos eixos cristalograacuteficos mas com relaccedilatildeo agrave forma externa do cristal a qual determina a separaccedilatildeo dos poacutelos de superfiacutecie para diferentes orientaccedilotildees de M A

anisotropia eacute uniaxial para um esferoacuteide prolato com o eixo faacutecil de magnetizaccedilatildeo sendo paralelo ao eixo maior isto eacute para θ = 0deg ou θ = 180deg Este efeito eacute chamado de anisotropia de forma Ela normalmente mascara as anisotropias magnetocristalina e magnetoelaacutestica nos gratildeos de domiacutenio simples de minerais fortemente magneacuteticos como eacute o caso da magnetita maghemita e ferro puro Para a magnetita se Na difere de Nb em 10 jaacute haacute um predomiacutenio da anisotropia de forma Os esferoacuteides oblatos tambeacutem apresentam anisotropia de forma Entretanto neste caso a magnetizaccedilatildeo M pode girar livremente no plano do eixo maior Uma esfera natildeo apresenta anisotropia de forma pois N = 13 para qualquer direccedilatildeo de M

A Figura 28 mostra a variaccedilatildeo de Na para esferoacuteides prolatos e a variaccedilatildeo de Nb para esferoacuteides oblatos em funccedilatildeo da razatildeo ba Para um esferoacuteide prolato teremos N 2 N 1 (238)

Quando ba tende a zero isto eacute o gratildeo tem a forma de agulha 0 e (238) fica 2 1 (239)

Gratildeos de magnetita SD na forma de agulha em minerais silicaacuteticos ou em titanomagnetitas oxidadas em altas temperaturas subdivididas por lamelas de ilmenita apresentam anisotropias de forma muito acentuadas e alta estabilidade magneacutetica Podemos determinar a coercividade para o caso de Na = 0 que eacute representada pelo campo magneacutetico necessaacuterio para inverter a magnetizaccedilatildeo M ao longo do eixo maior para a direccedilatildeo oposta (a 180deg)

H H 90deg H 0deg N N M 12 480 10 240 kAm 3000 Oe

(240)

Para gratildeos oblatos em forma de disco podemos escrever 2 N N 1 (241)

Figura 28 Variaccedilotildees de Nb (para um esferoacuteide oblato) e de Na (para um esferoacuteide prolato) em funccedilatildeo de ba (ba = 1 para a esfera neste caso Na = Nb = 13) (Fonte Diunlop e Oumlzdemir 1997)

Considerando o caso limite do gratildeo oblato que poderia ser representado por uma placa infinita de pequena espessura 0 e (241) fica sendo N 1 (242)

Neste caso a magnetizaccedilatildeo M fica paralela ao plano da placa embora natildeo tenha preferecircncia direcional Tambeacutem o campo desmagnetizante (Hd) ao longo do eixo b eacute ainda maior quando comparada ao do gratildeo prolato Outro fato se refere ao campo magneacutetico interno (Bi) B micro H M B micro ndash N M M (243)

Como N = Nb = 1 teremos Bi = 0 isto eacute o campo se anula dentro da placa Deste modo o campo externo (He) ao gratildeo tambeacutem eacute zero

Na natureza os gratildeos magneacuteticos natildeo apresentam em geral formas esferoidais perfeitas Entretanto mesmo para os cristais reais M Hd e N tendem a ser uniformes no seu interior Somente nas bordas as direccedilotildees e magnitudes de Hd variam muito Todavia estas variaccedilotildees tendem na meacutedia a se anular quando o cristal eacute visto como um todo

Tanto gratildeos microscoacutepicos quanto corpos macroscoacutepicos apresentam anisotropia de forma No caso do paleomagnetismo para evitar deflexatildeo do vetor magnetizaccedilatildeo remanente por campos desmagnetizantes internos ou mesmo nas medidas de anisotropia de suscetibilidade magneacutetica (ASM) precisamos eliminar as possiacuteveis anisotropias de forma da amostra fazendo com que ela se aproxime ao maacuteximo de uma esfera Para uma amostra ciliacutendrica (usada normalmente para as medidas paleomagneacuteticas) em que R representa o raio da base do cilindro e L a sua altura temos a seguinte relaccedilatildeo

09 (244)

Assim para uma amostra ciliacutendrica de uma polegada de diacircmetro a melhor altura L seraacute igual 2 09 229 (245)

Texto escrito por Manoel Souza DrsquoAgrella Filho

Fonte bibliograacutefica

1 David J Dunlop Oumlzden Oumlzdemir ndash Rock Magnetism Fundamentals and Frontiers

Cambridge University Press 1997

2 William Lowrie ndash Fundamentals of Geophysics Cambridge University Press 1997

3 R B Butler Paleomagnetism Magnetic Domains to Geologic Terranes 1992

httpgeographylancsacukcempresourcesButler_bookcontentshtm

4 Lisa Tauxe Lectures in Paleomagnetism 2005

httpearthreforgMAGICbooksTauxe2005

APEcircNDICE A

COSSENOS DIRETORES

Um vetor F pode ser representado pelos cossenos dos acircngulos que ele faz com os trecircs eixos cartesianos X Y e Z descritos por θx θy e θz respectivamente (Figura 29) Estes acircngulos satildeo conhecidos como acircngulos diretores do vetor F e seus respectivos cossenos satildeo denominados de cossenos diretores

Figura 29 Representaccedilatildeo cartesiana de um vetor F mostrando os acircngulos diretores em relaccedilatildeo aos eixos X Y e Z respectivamente

Assim as componentes do vetor F podem ser descritas como cos cos cos

Os cossenos diretores podem ser calculados pelas seguintes expressotildees cos (246)

cos (247)

cos (248)

De modo que 1 (249)

Se o vetor F estiver por exemplo ao longo do eixo X entatildeo cos 1 cos cos 0 (250)

Isto eacute o que ocorre se a magnetizaccedilatildeo M na estrutura cuacutebica da magnetita estiver ao longo do eixo cristalograacutefico lt100gt isto eacute ao longo do eixo difiacutecil (Figura 210) Note entretanto que se a magnetizaccedilatildeo M estiver ao longo da diagonal do cubo (eixo cristalograacutefico lt111gt) isto eacute ao longo do eixo faacutecil teremos cos cos cos radic (251)

Figura 210 Representaccedilatildeo esquemaacutetica da estrutura cuacutebica da magnetita (aresta = a diagonal da face = b) A magnetizaccedilatildeo M estaacute na diagonal do cubo ao longo do eixo cristalograacutefico lt111gt

Podemos deduzir (251) facilmente Se a eacute o lado do cubo entatildeo a diagonal da face (b) seraacute radic2 (252)

Da Figura 210 podemos escrever a magnitude da magnetizaccedilatildeo M como (253)

Usando (252) a equaccedilatildeo (253) fica 2 3 radic3 (254)

Para M ao longo da diagonal do cubo cos cos cos e cos radic radic (255)

Logo cos cos cos radic

cqd

Figura 27 Poacutelos de superfiacutecie e campo desmagnetizante interno Hd para um esferoacuteide prolato com magnetizaccedilatildeo uniforme M (a) ao longo do eixo maior (b) ao longo do eixo menor (c) obliquo ao eixo maior Hd eacute uniforme em todos os casos mas em (c) ele natildeo eacute antiparalelo a M (Fonte Dunlop e Oumlzdemir 1997)

Na Figura 27c M estaacute a um acircngulo θ em relaccedilatildeo ao eixo z ( Hd eacute ainda uniforme entretanto natildeo eacute mais antiparalelo a M Podemos escrever M sin θ M cos θ (233)

Do mesmo modo podemos escrever o campo Hd como N M sin θ N M cos θ (234)

Podemos calcular a energia desmagnetizante (Ed) E micro V middot (235)

Deste modo micro V M sin θ M cos θ middot N M sin θ N M cos θ micro V M N sin θ N cos θ micro V M N N N sin θ (236)

Para um elipsoacuteide com fatores desmagnetizantes Nx Ny e Nz eacute vaacutelida a seguinte relaccedilatildeo 1 (237)

A equaccedilatildeo (236) mostra que a energia desmagnetizante eacute anisotroacutepica natildeo com relaccedilatildeo aos eixos cristalograacuteficos mas com relaccedilatildeo agrave forma externa do cristal a qual determina a separaccedilatildeo dos poacutelos de superfiacutecie para diferentes orientaccedilotildees de M A

anisotropia eacute uniaxial para um esferoacuteide prolato com o eixo faacutecil de magnetizaccedilatildeo sendo paralelo ao eixo maior isto eacute para θ = 0deg ou θ = 180deg Este efeito eacute chamado de anisotropia de forma Ela normalmente mascara as anisotropias magnetocristalina e magnetoelaacutestica nos gratildeos de domiacutenio simples de minerais fortemente magneacuteticos como eacute o caso da magnetita maghemita e ferro puro Para a magnetita se Na difere de Nb em 10 jaacute haacute um predomiacutenio da anisotropia de forma Os esferoacuteides oblatos tambeacutem apresentam anisotropia de forma Entretanto neste caso a magnetizaccedilatildeo M pode girar livremente no plano do eixo maior Uma esfera natildeo apresenta anisotropia de forma pois N = 13 para qualquer direccedilatildeo de M

A Figura 28 mostra a variaccedilatildeo de Na para esferoacuteides prolatos e a variaccedilatildeo de Nb para esferoacuteides oblatos em funccedilatildeo da razatildeo ba Para um esferoacuteide prolato teremos N 2 N 1 (238)

Quando ba tende a zero isto eacute o gratildeo tem a forma de agulha 0 e (238) fica 2 1 (239)

Gratildeos de magnetita SD na forma de agulha em minerais silicaacuteticos ou em titanomagnetitas oxidadas em altas temperaturas subdivididas por lamelas de ilmenita apresentam anisotropias de forma muito acentuadas e alta estabilidade magneacutetica Podemos determinar a coercividade para o caso de Na = 0 que eacute representada pelo campo magneacutetico necessaacuterio para inverter a magnetizaccedilatildeo M ao longo do eixo maior para a direccedilatildeo oposta (a 180deg)

H H 90deg H 0deg N N M 12 480 10 240 kAm 3000 Oe

(240)

Para gratildeos oblatos em forma de disco podemos escrever 2 N N 1 (241)

Figura 28 Variaccedilotildees de Nb (para um esferoacuteide oblato) e de Na (para um esferoacuteide prolato) em funccedilatildeo de ba (ba = 1 para a esfera neste caso Na = Nb = 13) (Fonte Diunlop e Oumlzdemir 1997)

Considerando o caso limite do gratildeo oblato que poderia ser representado por uma placa infinita de pequena espessura 0 e (241) fica sendo N 1 (242)

Neste caso a magnetizaccedilatildeo M fica paralela ao plano da placa embora natildeo tenha preferecircncia direcional Tambeacutem o campo desmagnetizante (Hd) ao longo do eixo b eacute ainda maior quando comparada ao do gratildeo prolato Outro fato se refere ao campo magneacutetico interno (Bi) B micro H M B micro ndash N M M (243)

Como N = Nb = 1 teremos Bi = 0 isto eacute o campo se anula dentro da placa Deste modo o campo externo (He) ao gratildeo tambeacutem eacute zero

Na natureza os gratildeos magneacuteticos natildeo apresentam em geral formas esferoidais perfeitas Entretanto mesmo para os cristais reais M Hd e N tendem a ser uniformes no seu interior Somente nas bordas as direccedilotildees e magnitudes de Hd variam muito Todavia estas variaccedilotildees tendem na meacutedia a se anular quando o cristal eacute visto como um todo

Tanto gratildeos microscoacutepicos quanto corpos macroscoacutepicos apresentam anisotropia de forma No caso do paleomagnetismo para evitar deflexatildeo do vetor magnetizaccedilatildeo remanente por campos desmagnetizantes internos ou mesmo nas medidas de anisotropia de suscetibilidade magneacutetica (ASM) precisamos eliminar as possiacuteveis anisotropias de forma da amostra fazendo com que ela se aproxime ao maacuteximo de uma esfera Para uma amostra ciliacutendrica (usada normalmente para as medidas paleomagneacuteticas) em que R representa o raio da base do cilindro e L a sua altura temos a seguinte relaccedilatildeo

09 (244)

Assim para uma amostra ciliacutendrica de uma polegada de diacircmetro a melhor altura L seraacute igual 2 09 229 (245)

Texto escrito por Manoel Souza DrsquoAgrella Filho

Fonte bibliograacutefica

1 David J Dunlop Oumlzden Oumlzdemir ndash Rock Magnetism Fundamentals and Frontiers

Cambridge University Press 1997

2 William Lowrie ndash Fundamentals of Geophysics Cambridge University Press 1997

3 R B Butler Paleomagnetism Magnetic Domains to Geologic Terranes 1992

httpgeographylancsacukcempresourcesButler_bookcontentshtm

4 Lisa Tauxe Lectures in Paleomagnetism 2005

httpearthreforgMAGICbooksTauxe2005

APEcircNDICE A

COSSENOS DIRETORES

Um vetor F pode ser representado pelos cossenos dos acircngulos que ele faz com os trecircs eixos cartesianos X Y e Z descritos por θx θy e θz respectivamente (Figura 29) Estes acircngulos satildeo conhecidos como acircngulos diretores do vetor F e seus respectivos cossenos satildeo denominados de cossenos diretores

Figura 29 Representaccedilatildeo cartesiana de um vetor F mostrando os acircngulos diretores em relaccedilatildeo aos eixos X Y e Z respectivamente

Assim as componentes do vetor F podem ser descritas como cos cos cos

Os cossenos diretores podem ser calculados pelas seguintes expressotildees cos (246)

cos (247)

cos (248)

De modo que 1 (249)

Se o vetor F estiver por exemplo ao longo do eixo X entatildeo cos 1 cos cos 0 (250)

Isto eacute o que ocorre se a magnetizaccedilatildeo M na estrutura cuacutebica da magnetita estiver ao longo do eixo cristalograacutefico lt100gt isto eacute ao longo do eixo difiacutecil (Figura 210) Note entretanto que se a magnetizaccedilatildeo M estiver ao longo da diagonal do cubo (eixo cristalograacutefico lt111gt) isto eacute ao longo do eixo faacutecil teremos cos cos cos radic (251)

Figura 210 Representaccedilatildeo esquemaacutetica da estrutura cuacutebica da magnetita (aresta = a diagonal da face = b) A magnetizaccedilatildeo M estaacute na diagonal do cubo ao longo do eixo cristalograacutefico lt111gt

Podemos deduzir (251) facilmente Se a eacute o lado do cubo entatildeo a diagonal da face (b) seraacute radic2 (252)

Da Figura 210 podemos escrever a magnitude da magnetizaccedilatildeo M como (253)

Usando (252) a equaccedilatildeo (253) fica 2 3 radic3 (254)

Para M ao longo da diagonal do cubo cos cos cos e cos radic radic (255)

Logo cos cos cos radic

cqd

anisotropia eacute uniaxial para um esferoacuteide prolato com o eixo faacutecil de magnetizaccedilatildeo sendo paralelo ao eixo maior isto eacute para θ = 0deg ou θ = 180deg Este efeito eacute chamado de anisotropia de forma Ela normalmente mascara as anisotropias magnetocristalina e magnetoelaacutestica nos gratildeos de domiacutenio simples de minerais fortemente magneacuteticos como eacute o caso da magnetita maghemita e ferro puro Para a magnetita se Na difere de Nb em 10 jaacute haacute um predomiacutenio da anisotropia de forma Os esferoacuteides oblatos tambeacutem apresentam anisotropia de forma Entretanto neste caso a magnetizaccedilatildeo M pode girar livremente no plano do eixo maior Uma esfera natildeo apresenta anisotropia de forma pois N = 13 para qualquer direccedilatildeo de M

A Figura 28 mostra a variaccedilatildeo de Na para esferoacuteides prolatos e a variaccedilatildeo de Nb para esferoacuteides oblatos em funccedilatildeo da razatildeo ba Para um esferoacuteide prolato teremos N 2 N 1 (238)

Quando ba tende a zero isto eacute o gratildeo tem a forma de agulha 0 e (238) fica 2 1 (239)

Gratildeos de magnetita SD na forma de agulha em minerais silicaacuteticos ou em titanomagnetitas oxidadas em altas temperaturas subdivididas por lamelas de ilmenita apresentam anisotropias de forma muito acentuadas e alta estabilidade magneacutetica Podemos determinar a coercividade para o caso de Na = 0 que eacute representada pelo campo magneacutetico necessaacuterio para inverter a magnetizaccedilatildeo M ao longo do eixo maior para a direccedilatildeo oposta (a 180deg)

H H 90deg H 0deg N N M 12 480 10 240 kAm 3000 Oe

(240)

Para gratildeos oblatos em forma de disco podemos escrever 2 N N 1 (241)

Figura 28 Variaccedilotildees de Nb (para um esferoacuteide oblato) e de Na (para um esferoacuteide prolato) em funccedilatildeo de ba (ba = 1 para a esfera neste caso Na = Nb = 13) (Fonte Diunlop e Oumlzdemir 1997)

Considerando o caso limite do gratildeo oblato que poderia ser representado por uma placa infinita de pequena espessura 0 e (241) fica sendo N 1 (242)

Neste caso a magnetizaccedilatildeo M fica paralela ao plano da placa embora natildeo tenha preferecircncia direcional Tambeacutem o campo desmagnetizante (Hd) ao longo do eixo b eacute ainda maior quando comparada ao do gratildeo prolato Outro fato se refere ao campo magneacutetico interno (Bi) B micro H M B micro ndash N M M (243)

Como N = Nb = 1 teremos Bi = 0 isto eacute o campo se anula dentro da placa Deste modo o campo externo (He) ao gratildeo tambeacutem eacute zero

Na natureza os gratildeos magneacuteticos natildeo apresentam em geral formas esferoidais perfeitas Entretanto mesmo para os cristais reais M Hd e N tendem a ser uniformes no seu interior Somente nas bordas as direccedilotildees e magnitudes de Hd variam muito Todavia estas variaccedilotildees tendem na meacutedia a se anular quando o cristal eacute visto como um todo

Tanto gratildeos microscoacutepicos quanto corpos macroscoacutepicos apresentam anisotropia de forma No caso do paleomagnetismo para evitar deflexatildeo do vetor magnetizaccedilatildeo remanente por campos desmagnetizantes internos ou mesmo nas medidas de anisotropia de suscetibilidade magneacutetica (ASM) precisamos eliminar as possiacuteveis anisotropias de forma da amostra fazendo com que ela se aproxime ao maacuteximo de uma esfera Para uma amostra ciliacutendrica (usada normalmente para as medidas paleomagneacuteticas) em que R representa o raio da base do cilindro e L a sua altura temos a seguinte relaccedilatildeo

09 (244)

Assim para uma amostra ciliacutendrica de uma polegada de diacircmetro a melhor altura L seraacute igual 2 09 229 (245)

Texto escrito por Manoel Souza DrsquoAgrella Filho

Fonte bibliograacutefica

1 David J Dunlop Oumlzden Oumlzdemir ndash Rock Magnetism Fundamentals and Frontiers

Cambridge University Press 1997

2 William Lowrie ndash Fundamentals of Geophysics Cambridge University Press 1997

3 R B Butler Paleomagnetism Magnetic Domains to Geologic Terranes 1992

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4 Lisa Tauxe Lectures in Paleomagnetism 2005

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APEcircNDICE A

COSSENOS DIRETORES

Um vetor F pode ser representado pelos cossenos dos acircngulos que ele faz com os trecircs eixos cartesianos X Y e Z descritos por θx θy e θz respectivamente (Figura 29) Estes acircngulos satildeo conhecidos como acircngulos diretores do vetor F e seus respectivos cossenos satildeo denominados de cossenos diretores

Figura 29 Representaccedilatildeo cartesiana de um vetor F mostrando os acircngulos diretores em relaccedilatildeo aos eixos X Y e Z respectivamente

Assim as componentes do vetor F podem ser descritas como cos cos cos

Os cossenos diretores podem ser calculados pelas seguintes expressotildees cos (246)

cos (247)

cos (248)

De modo que 1 (249)

Se o vetor F estiver por exemplo ao longo do eixo X entatildeo cos 1 cos cos 0 (250)

Isto eacute o que ocorre se a magnetizaccedilatildeo M na estrutura cuacutebica da magnetita estiver ao longo do eixo cristalograacutefico lt100gt isto eacute ao longo do eixo difiacutecil (Figura 210) Note entretanto que se a magnetizaccedilatildeo M estiver ao longo da diagonal do cubo (eixo cristalograacutefico lt111gt) isto eacute ao longo do eixo faacutecil teremos cos cos cos radic (251)

Figura 210 Representaccedilatildeo esquemaacutetica da estrutura cuacutebica da magnetita (aresta = a diagonal da face = b) A magnetizaccedilatildeo M estaacute na diagonal do cubo ao longo do eixo cristalograacutefico lt111gt

Podemos deduzir (251) facilmente Se a eacute o lado do cubo entatildeo a diagonal da face (b) seraacute radic2 (252)

Da Figura 210 podemos escrever a magnitude da magnetizaccedilatildeo M como (253)

Usando (252) a equaccedilatildeo (253) fica 2 3 radic3 (254)

Para M ao longo da diagonal do cubo cos cos cos e cos radic radic (255)

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Figura 28 Variaccedilotildees de Nb (para um esferoacuteide oblato) e de Na (para um esferoacuteide prolato) em funccedilatildeo de ba (ba = 1 para a esfera neste caso Na = Nb = 13) (Fonte Diunlop e Oumlzdemir 1997)

Considerando o caso limite do gratildeo oblato que poderia ser representado por uma placa infinita de pequena espessura 0 e (241) fica sendo N 1 (242)

Neste caso a magnetizaccedilatildeo M fica paralela ao plano da placa embora natildeo tenha preferecircncia direcional Tambeacutem o campo desmagnetizante (Hd) ao longo do eixo b eacute ainda maior quando comparada ao do gratildeo prolato Outro fato se refere ao campo magneacutetico interno (Bi) B micro H M B micro ndash N M M (243)

Como N = Nb = 1 teremos Bi = 0 isto eacute o campo se anula dentro da placa Deste modo o campo externo (He) ao gratildeo tambeacutem eacute zero

Na natureza os gratildeos magneacuteticos natildeo apresentam em geral formas esferoidais perfeitas Entretanto mesmo para os cristais reais M Hd e N tendem a ser uniformes no seu interior Somente nas bordas as direccedilotildees e magnitudes de Hd variam muito Todavia estas variaccedilotildees tendem na meacutedia a se anular quando o cristal eacute visto como um todo

Tanto gratildeos microscoacutepicos quanto corpos macroscoacutepicos apresentam anisotropia de forma No caso do paleomagnetismo para evitar deflexatildeo do vetor magnetizaccedilatildeo remanente por campos desmagnetizantes internos ou mesmo nas medidas de anisotropia de suscetibilidade magneacutetica (ASM) precisamos eliminar as possiacuteveis anisotropias de forma da amostra fazendo com que ela se aproxime ao maacuteximo de uma esfera Para uma amostra ciliacutendrica (usada normalmente para as medidas paleomagneacuteticas) em que R representa o raio da base do cilindro e L a sua altura temos a seguinte relaccedilatildeo

09 (244)

Assim para uma amostra ciliacutendrica de uma polegada de diacircmetro a melhor altura L seraacute igual 2 09 229 (245)

Texto escrito por Manoel Souza DrsquoAgrella Filho

Fonte bibliograacutefica

1 David J Dunlop Oumlzden Oumlzdemir ndash Rock Magnetism Fundamentals and Frontiers

Cambridge University Press 1997

2 William Lowrie ndash Fundamentals of Geophysics Cambridge University Press 1997

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COSSENOS DIRETORES

Um vetor F pode ser representado pelos cossenos dos acircngulos que ele faz com os trecircs eixos cartesianos X Y e Z descritos por θx θy e θz respectivamente (Figura 29) Estes acircngulos satildeo conhecidos como acircngulos diretores do vetor F e seus respectivos cossenos satildeo denominados de cossenos diretores

Figura 29 Representaccedilatildeo cartesiana de um vetor F mostrando os acircngulos diretores em relaccedilatildeo aos eixos X Y e Z respectivamente

Assim as componentes do vetor F podem ser descritas como cos cos cos

Os cossenos diretores podem ser calculados pelas seguintes expressotildees cos (246)

cos (247)

cos (248)

De modo que 1 (249)

Se o vetor F estiver por exemplo ao longo do eixo X entatildeo cos 1 cos cos 0 (250)

Isto eacute o que ocorre se a magnetizaccedilatildeo M na estrutura cuacutebica da magnetita estiver ao longo do eixo cristalograacutefico lt100gt isto eacute ao longo do eixo difiacutecil (Figura 210) Note entretanto que se a magnetizaccedilatildeo M estiver ao longo da diagonal do cubo (eixo cristalograacutefico lt111gt) isto eacute ao longo do eixo faacutecil teremos cos cos cos radic (251)

Figura 210 Representaccedilatildeo esquemaacutetica da estrutura cuacutebica da magnetita (aresta = a diagonal da face = b) A magnetizaccedilatildeo M estaacute na diagonal do cubo ao longo do eixo cristalograacutefico lt111gt

Podemos deduzir (251) facilmente Se a eacute o lado do cubo entatildeo a diagonal da face (b) seraacute radic2 (252)

Da Figura 210 podemos escrever a magnitude da magnetizaccedilatildeo M como (253)

Usando (252) a equaccedilatildeo (253) fica 2 3 radic3 (254)

Para M ao longo da diagonal do cubo cos cos cos e cos radic radic (255)

Logo cos cos cos radic

cqd

Tanto gratildeos microscoacutepicos quanto corpos macroscoacutepicos apresentam anisotropia de forma No caso do paleomagnetismo para evitar deflexatildeo do vetor magnetizaccedilatildeo remanente por campos desmagnetizantes internos ou mesmo nas medidas de anisotropia de suscetibilidade magneacutetica (ASM) precisamos eliminar as possiacuteveis anisotropias de forma da amostra fazendo com que ela se aproxime ao maacuteximo de uma esfera Para uma amostra ciliacutendrica (usada normalmente para as medidas paleomagneacuteticas) em que R representa o raio da base do cilindro e L a sua altura temos a seguinte relaccedilatildeo

09 (244)

Assim para uma amostra ciliacutendrica de uma polegada de diacircmetro a melhor altura L seraacute igual 2 09 229 (245)

Texto escrito por Manoel Souza DrsquoAgrella Filho

Fonte bibliograacutefica

1 David J Dunlop Oumlzden Oumlzdemir ndash Rock Magnetism Fundamentals and Frontiers

Cambridge University Press 1997

2 William Lowrie ndash Fundamentals of Geophysics Cambridge University Press 1997

3 R B Butler Paleomagnetism Magnetic Domains to Geologic Terranes 1992

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APEcircNDICE A

COSSENOS DIRETORES

Um vetor F pode ser representado pelos cossenos dos acircngulos que ele faz com os trecircs eixos cartesianos X Y e Z descritos por θx θy e θz respectivamente (Figura 29) Estes acircngulos satildeo conhecidos como acircngulos diretores do vetor F e seus respectivos cossenos satildeo denominados de cossenos diretores

Figura 29 Representaccedilatildeo cartesiana de um vetor F mostrando os acircngulos diretores em relaccedilatildeo aos eixos X Y e Z respectivamente

Assim as componentes do vetor F podem ser descritas como cos cos cos

Os cossenos diretores podem ser calculados pelas seguintes expressotildees cos (246)

cos (247)

cos (248)

De modo que 1 (249)

Se o vetor F estiver por exemplo ao longo do eixo X entatildeo cos 1 cos cos 0 (250)

Isto eacute o que ocorre se a magnetizaccedilatildeo M na estrutura cuacutebica da magnetita estiver ao longo do eixo cristalograacutefico lt100gt isto eacute ao longo do eixo difiacutecil (Figura 210) Note entretanto que se a magnetizaccedilatildeo M estiver ao longo da diagonal do cubo (eixo cristalograacutefico lt111gt) isto eacute ao longo do eixo faacutecil teremos cos cos cos radic (251)

Figura 210 Representaccedilatildeo esquemaacutetica da estrutura cuacutebica da magnetita (aresta = a diagonal da face = b) A magnetizaccedilatildeo M estaacute na diagonal do cubo ao longo do eixo cristalograacutefico lt111gt

Podemos deduzir (251) facilmente Se a eacute o lado do cubo entatildeo a diagonal da face (b) seraacute radic2 (252)

Da Figura 210 podemos escrever a magnitude da magnetizaccedilatildeo M como (253)

Usando (252) a equaccedilatildeo (253) fica 2 3 radic3 (254)

Para M ao longo da diagonal do cubo cos cos cos e cos radic radic (255)

Logo cos cos cos radic

cqd

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COSSENOS DIRETORES

Um vetor F pode ser representado pelos cossenos dos acircngulos que ele faz com os trecircs eixos cartesianos X Y e Z descritos por θx θy e θz respectivamente (Figura 29) Estes acircngulos satildeo conhecidos como acircngulos diretores do vetor F e seus respectivos cossenos satildeo denominados de cossenos diretores

Figura 29 Representaccedilatildeo cartesiana de um vetor F mostrando os acircngulos diretores em relaccedilatildeo aos eixos X Y e Z respectivamente

Assim as componentes do vetor F podem ser descritas como cos cos cos

Os cossenos diretores podem ser calculados pelas seguintes expressotildees cos (246)

cos (247)

cos (248)

De modo que 1 (249)

Se o vetor F estiver por exemplo ao longo do eixo X entatildeo cos 1 cos cos 0 (250)

Isto eacute o que ocorre se a magnetizaccedilatildeo M na estrutura cuacutebica da magnetita estiver ao longo do eixo cristalograacutefico lt100gt isto eacute ao longo do eixo difiacutecil (Figura 210) Note entretanto que se a magnetizaccedilatildeo M estiver ao longo da diagonal do cubo (eixo cristalograacutefico lt111gt) isto eacute ao longo do eixo faacutecil teremos cos cos cos radic (251)

Figura 210 Representaccedilatildeo esquemaacutetica da estrutura cuacutebica da magnetita (aresta = a diagonal da face = b) A magnetizaccedilatildeo M estaacute na diagonal do cubo ao longo do eixo cristalograacutefico lt111gt

Podemos deduzir (251) facilmente Se a eacute o lado do cubo entatildeo a diagonal da face (b) seraacute radic2 (252)

Da Figura 210 podemos escrever a magnitude da magnetizaccedilatildeo M como (253)

Usando (252) a equaccedilatildeo (253) fica 2 3 radic3 (254)

Para M ao longo da diagonal do cubo cos cos cos e cos radic radic (255)

Logo cos cos cos radic

cqd

cos (248)

De modo que 1 (249)

Se o vetor F estiver por exemplo ao longo do eixo X entatildeo cos 1 cos cos 0 (250)

Isto eacute o que ocorre se a magnetizaccedilatildeo M na estrutura cuacutebica da magnetita estiver ao longo do eixo cristalograacutefico lt100gt isto eacute ao longo do eixo difiacutecil (Figura 210) Note entretanto que se a magnetizaccedilatildeo M estiver ao longo da diagonal do cubo (eixo cristalograacutefico lt111gt) isto eacute ao longo do eixo faacutecil teremos cos cos cos radic (251)

Figura 210 Representaccedilatildeo esquemaacutetica da estrutura cuacutebica da magnetita (aresta = a diagonal da face = b) A magnetizaccedilatildeo M estaacute na diagonal do cubo ao longo do eixo cristalograacutefico lt111gt

Podemos deduzir (251) facilmente Se a eacute o lado do cubo entatildeo a diagonal da face (b) seraacute radic2 (252)

Da Figura 210 podemos escrever a magnitude da magnetizaccedilatildeo M como (253)

Usando (252) a equaccedilatildeo (253) fica 2 3 radic3 (254)

Para M ao longo da diagonal do cubo cos cos cos e cos radic radic (255)

Logo cos cos cos radic

cqd

Da Figura 210 podemos escrever a magnitude da magnetizaccedilatildeo M como (253)

Usando (252) a equaccedilatildeo (253) fica 2 3 radic3 (254)

Para M ao longo da diagonal do cubo cos cos cos e cos radic radic (255)

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