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2. Análise de Circuitos ElétricosSimples

REDES e CIRCUITOS:

A interconexão de dois ou mais elementos de circuitossimples forma uma rede elétrica. Se a rede tiver pelomenos um caminho fechado, ela é também um circuitoelétrico.

ELEMENTO DE CIRCUITO: é o modelo matemático de um dispositivo elétrico de dois terminais, que pode ser caracterizado por sua relação tensão – corrente. Não podeser subdividido em outros dispositivos de dois terminais.

Ex: Fontes de tensão e corrente, resistor, indutor, capacitor, transformador e ampop.

Lei de Ohm e Resistoresreais

Cap. 2: Elementos de circuito

• Elementos de circuito

→ Resistores e sua dependência com o material usado em sua construção;

→ Modelo lineardo resistor: tensão e corrente.

→ Modelo linear de fontes de corrente e tensão.

→ Modelos de interruptores e transdutores.

• Projeto do capítulo: sensor de temperatura.

Elemento de circuito linear

• Sob que condições o dispositivo acima, com uma corrente de excitação i e uma tensão de resposta v, pode ser considerado linear?

a b

+ v –

i

vi →entrada

(excitação)

saída(resposta)

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Elemento de circuito linear

• Superposição:

• Homogeneidade:

• Sistema linear: satisfaz ambos os princípios.

• Sistema não-linear: pelo menos um dos princípios não é satisfeito.

1 1 vi →

2 2 vi →

2 1 2 1 vvii +→+⇒

vi →

vkik →⇒

Componente de circuito elétrico

• Componente ou dispositivo de circuito:→ Seu comportamento é descrito em termos da

relação entre sua tensão e corrente ⇒característica v – i.

→ Característica v – i: (pode ser obtida experi-mentalmente ou a partir de princípios físicos)

Um elemento descrito pela relação é linear? Por que?

Um dispositivo descrito por

é linear? Por que?

dtdi

v =

<=≥=

0 ,0

0 ,

iv

iRiv

Componente de circuito elétrico A relação tensão – corrente de dois elementos estão

mostrados a seguir. Determine um modelo linear para cada elemento e indique o intervalo de linearidade. Assuma que os elementos normalmente operam nas vizinhanças de i = 0. (Por que foi feita esta restrição?)

i (A)

v (V)2,5

– 2,5

– 1

1

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Componente de circuito elétrico Modelo linear?

Intervalo de linearidade?

i (A)

v (V)2

– 2

– 1,5

1,5

Resistores• Resistividade: A habilidade de um material em

resistir ao fluxo de cargas.

• Materiais isolantes: elevada resistividade

• Materiais condutores: baixa resistividade

• Resistividade de alguns materiais:

Resistividade (ohm-m)

Vidro 10 12

Quartzo (fundido) 5 × 10 16

Silício 2,3 × 10 3

Alumínio 2,7 × 10 – 8

Carbono 4 × 10 – 5

Cobre 1,7 × 10 – 8

Resistores• Cobre: fios condutores

• Resistência (R): propriedade física de um elemento ou dispositivo que dificulta o fluxo de corrente

• Georg Simon Ohm:

→ circuito: bateria + fio condutor de seção transversal

constante ⇒L

Avi

ρ= → ρ: resistividade

FONTE: http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/electric/conins.html

A

L

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Resistores• Georg Simon Ohm (cont.):

→

→ Resistência:

⇒ Lei de Ohm:

⇒ Formulação alternativa da Lei de Ohm:

L

Avi

ρ=

A

LR

ρ=

iRv =

=ΩAV

1 1

Ri

+ v –

: relação linearentre v e i

vGi =

G: condutância [S –siemens(SI); mho]

Resistores• Dependência com a temperatura:

→ Elevadas temperaturas: aumento da resistência (aumento da colisão dos elétrons com a rede cristalina)

→ Baixas temperaturas: resistência praticamente constante (depende basicamente da presença de impurezas ou defeitos no material)

FONTE: http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/electric/restmp.html#c1

Resistores• Materiais:

→ Resistores de filme de carbono (carvão): Durante a construção, uma película fina de carbono (filme) é depositada sobre um pequeno tubo de cerâmica. O filme resistivo é enrolado em hélice por fora do tubinho ¾ tudo com máquina automática ¾ até que a resistência entre os dois extremos fique tão próxima quanto possível do valor que se deseja. São acrescentados terminais (um em forma de tampa e outro em forma de fio) em cada extremo e, a seguir, oresistor é recoberto com uma camada isolante.

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Resistores• Materiais:

→ Resistores de filme de metal: Resistores de filme de metal ou de óxido de metal são feitos de maneira similar aos de carbono, mas apresentam maior acuidade em seus valores (podem ser obtidos com tolerâncias de (+ ou-) 2% ou 1% do valor nominal).

Resistores• Materiais:

→ Resistores de fio: Resistores de fio são feitos enrolando fios finos, de ligas especiais, sobre uma barra cerâmica. Eles podem ser confeccionados com extrema precisão ao ponto de serem recomendados para circuitos e reparos de multitestes, osciloscópios e outros aparelhos de medição. Alguns desses tipos de resistores permitem passagem de corrente muito intensa sem que ocorra aquecimento excessivo e, como tais, podem ser usados em fontes de alimentação e circuitos de corrente bem intensas.

Resistores• Outras configurações físicas de resistores:

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Resistores• Código de cores:

a = 1ª Dígito b = 2ª Dígito n = 3ª Dígito Tolerância

( % )

PRATA - - - 10 DOURADO - - - 5 PRETO 0 0 0 -MARROM 1 1 1 1 VERMELHO 2 2 2 2 LARANJA 3 3 3 -AMARELO 4 4 4 -VERDE 5 5 5 -AZUL 6 6 6 -VIOLETA 7 7 7 -CINZA 8 8 8 -BRANCO 9 9 9 -

Resistores

• Valores nominais:

FONTE: http://www.mecatronicas.hpg.ig.com.br/tiposresistores.htm

Resistores – Potência• p = v i :

Rv

Rv

vivp2

=

==

( ) RiiRiivp 2===

→ p ≥ 0 sempre!

0

2 ≥τ= ∫ ∞−

tdRiw → elemento passivo!

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Resistores – Potência• Exemplo: Modelo para uma bateria de carro quando

as luzes são deixadas acesas e o motor desligado. Bateria de automóvel: v = 12 V (fonte de tensão constante)

Lâmpada: R= 6 Ω Determine a corrente i, a potência p e a energia fornecida

pela bateria para um período de quatro horas.

6 Ω12 V R

iA 26/12 ==⇒= iiRv

W24212 =×== ivp

∫ τ=t

dpw0

J 1046,3)46060(24 24 5×=××== t

Bateria: energia armazenada é finita (≈ 106 J quando carregada)

Transdutores

• Transdutores: Dispositivos que convertem quantidades físicas em quantidades elétricas.– Exemplos: potenciômetros e sensores de temperatura

• Potenciômetros:– Convertem posição em resistência.

R p

(1 –a) R p

a Rp0 ≤ a ≤ 1

Transdutores• Exemplo: No circuito da figura (a) a seguir a tensão

medida fornece uma indicação da posição angular da haste do potenciômetro. Na figura (b), a fonte de corrente, o potenciômetro e o voltímetro foram substituídos por modelos destes mesmos dispositivos. Qual a relação entre θ e v m ?

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Transdutores• Exemplo: Para o mesmo circuito, suponha R = 10 kΩ e I = 1

mA. Qual seria a tensão marcada no voltímetro para um ângulo θ = 163o? E de quanto seria o deslocamento angular quando a leitura no voltímetro fosse v m = 7,83 V?

IRIRav ppm 360

θ== m

p

vIR

360

=θ→

V 53,4 163 =⇒°=θ→ mv

V 282 V 83,7 °=θ⇒=→ mv

Transdutores

• Sensores de temperatura:– Convertem temperatura em corrente.

– São fontes de corrente que fornecem uma corrente proporcional à temperatura absoluta.

– Para operar adequadamente, a tensão v(t) deve satisfazer a condição:

4V ≤ v ≤ 30V

– Como mencionado anteriormente, nestas condições, a corrente é numericamente igual à temperatura em K:

KkTki

A1 ,

µ==

Exercícios1) A tensão e corrente de um sensor de temperatura

AD590 são, respectivamente, 10V e 280µA. Determine a temperatura medida.

(Resp: T = 280K ou 6,8o C, aproximadamente)

2) Para o potenciômetro da figura, calcule a tensão v m quando θ = 45o, R p = 20KΩ e I = 2mA.

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Interruptores

• Abertos ou fechados.

• Idealmente:

– Curto circuito quando fechados;

– Circuito aberto quando abertos.

• Interruptores ideais: mudam de estado instantaneamente.

Interruptores

Interruptores

• Qual é o valor da corrente i na figura acima no tempo t = 1s? E no tempo t = 5s?

(Resp: i = 4mA em t = 1s – interruptor fechado; i = 0A em t = 5s –

interruptor aberto.)

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Exemplo

• Os multímetros da figura indicam que v1 = - 4V, v2 = 8V e i = 1A.

(a) Verifique se estes resultados satisfazem a lei de Ohm.

(b) Verifique que a potência fornecida pela fonte de tensão é igual à potência absorvida pelos resistores.

Fontes independentes

+v (t)–

i

Fontes ideais!

Fontes independentes

FONTE: http://www.ead.eee.ufmg.br/~renato/circuitos/aulas/aula1.pdf

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Curto circuito e circuito aberto

• Curto circuito: – Fonte de tensão ideal com v (t) = 0

– Também pode ser descrito como um caso especial de resistência, em que R= 0 (G = ∞)

• Circuito aberto:– Fonte de corrente ideal com i (t) = 0

– Também pode ser descrito como um caso especial de resistência, em que R= ∞ (G = 0)

v (t) = 0 i (t)

+v (t)–

i (t) = 0

Amperímetros e voltímetros

• Amperímetro ideal: – Mede a corrente passando por seus terminais.

– Possui uma tensão nula entre seus terminais ⇒ não interfere no circuito.

– Age como um curto-circuito.

• Voltímetro ideal: – Mede a tensão entre seus terminais.

– A corrente que passa por seus terminais é nula ⇒ não interfere no circuito.

– Age como um circuito aberto.

Amperímetros e voltímetros

• Princípio de funcionamento:

FONTE: http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/electric/elecur.html

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Voltímetros e amperímetros(FONTE: http://www.physics.odu.edu/dcook/teach/phys403/phys403lec1.PDF)

• Galvanômetro:

Voltímetros e amperímetros(FONTE: http://www.physics.odu.edu/dcook/teach/phys403/phys403lec1.PDF)

• Voltímetro ideal: mede a tensão entre seus terminais, sem que haja passagem de corrente pelo mesmo.

Voltímetros e amperímetros(FONTE: http://www.physics.odu.edu/dcook/teach/phys403/phys403lec1.PDF)

• Amperímetro ideal: mede a corrente que flui por seus terminais, sem que haja uma queda de potencial (tensão) entre seus terminais.

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Fontes dependentes

• Consistem de dois elementos: – o elemento de controle e o elemento controlado.

• Fonte de tensão controlada ou dependente:– Fonte cuja tensão é controlada por outra tensão ou por

uma corrente.

• Fonte de corrente controlada ou dependente:– Fonte cuja corrente é controlada por outra corrente ou

por uma tensão.

Fontes dependentes

FONTE: http://www.ead.eee.ufmg.br/~renato/circuitos/aulas/aula1.pdf

Fontes dependentes

• Exemplo: Determine a potência absorvida pela fonte de tensão controlada por tensão da figura abaixo.

vd = 2 vc

id

+ 1,5 A+ 2,0 V

–++ –

+ v c –

V 2=cv V 42 =×=⇒ cd vv A 5,1=di

W61,54 =×==⇒ ddd ivp

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Circuitos Resistivos• Análise de circuitos contendo resistores e fontes

– Lei de Ohm: v = R i

– Leis de Kirchoff (1847):

• Lei dos nós (fluxo de corrente em terminais conectados)

• Lei das malhas (soma das tensões em um caminho fechado)

• Algumas definições:– Circuito concentrado conectado: qualquer nó pode ser

alcançado a partir de qualquer outro nó no circuito seguindo-se uma trajetória através dos elementos do circuito.

– Exemplos?

NÓ, CAMINHOS, LAÇOS e RAMOS

NÓ: um ponto no qual dois ou mais elementos de circuitotêm uma conexão comum.

CAMINHO: trajeto partindo de um nó em uma rede, passando por vários nós sem passar por um nó mais de uma vez.

LAÇO : quando o nó de partida for igual ao nó de chegadaem um caminho .

RAMO: caminho único em uma rede, composto por um elemento simples e os nós presentes em cada uma de suasextremidades.

Lei das tensões de Kirchhoff• Dado qualquer circuito conectado de n nós, pode-se escolher

arbitrariamente um destes nós como uma referência para a medição de potenciais elétricos (tensão).

• Com relação a este nó de referência, define-se n –1 tensões de cada nó até esta referência.

n

1 j

k

n –1

2 +–

v k – j

ek

–

–

–e n –1

e1

e n = 0

Lei das tensões de Kirchhoff:

• Para qualquer circuito concentrado conectado, para qualquer escolha do nó de referência para a tensão, em qualquer tempo t, para qualquer par de nós k e j:

)()()( tetetv jkjk −=−

)()()()( tvtetetv jkkjkj −− −=−=∴