1º2º3º4ºbimmn2015 v.3
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FAENG - Faculdade de Engenharia Engenheiro Celso DanielCentro Universitrio Fundao Santo Andr
Mtodos Numricos
Santo Andr
2015
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Caractersticas do Clculo Numrico
Muitos dos problemas matemticos so originados da necessidade de resolver
problemas da Natureza, pois os fenmenos da Natureza podem ser descritos atravs do uso de
modelos matemticos. Esquematicamente podem-se representar as principais etapas da
soluo de um problema atravs da figura 1.1. Aps anlise dos resultados obtidos se for
necessrio reformula-se o Modelo matemtico e/ou escolhe-se novo mtodo numrico.
Figura 1.1
Na primeira etapa procura-se obter um modelo matemtico que representasse da
maneira mais conveniente o problema especfico. Tal modelo seria construdo utilizando-seteorias das cincias. O modelo matemtico, em geral, contm simplificaes da realidade o
que o tornam um problema matemtico solvel.
Na segunda etapa, construdo o modelo matemtico do problema, procura-se encontrar
a soluo.
Neste curso estudam-se alguns mtodos numricos para obter a soluo numrica de
alguns tipos de modelos matemticos. Esses mtodos numricos so desenvolvidos numa rea
da Matemtica denominada de Anlise Numrica. Dentre esses mtodos numricos vamos
estudar basicamente os seguintes problemas:
Problema Modelo
Matemtico
Soluo
Modelagem Resoluo
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Achar a raiz real de uma equao;
Resolver um sistema linear;
Aproximar uma funo, dada na sua forma analtica ou tabelada, por outra;
Integrar uma funo num intervalo
A soluo obtida pelo mtodo numrico, frequentemente difere da soluo do
problema real. A seguir enumeram-se algumas fontes de erro que levam a tal diferena:
Simplificao no Modelo Matemtico,
Erro de truncamento,
Erro de arredondamento,
Erro nos dados.
Simplificao no Modelo Matemtico
Por exemplo, para calcular o perodo o tempo de queda livre de certo objeto despreza-
se o atrito etc.
Erro de Truncamento
Por exemplo, a avaliao de uma srie infinita por um nmero de termos finitos, nesse
caso, a srie de Taylor
n
n
n
axnafaxafaxafaxafaxafafxf )(
!)()(
!4)()(
!3)()(
!2)()(
!1)()()(
0
)(4
432
=+++++=
=
ou de MacLaurin ( ou Taylor-MacLaurin)
n
n
n
xn
fx
fx
fx
fx
ffxf
=
=++
+
+
+=0
)(4
)4(32
!
)0(
!4
)0(
!3
)0(
!2
)0(
!1
)0()0()(
4)4(
32
!4
)0(
!3
)0(
!2
)0(
!1
)0()0()( x
fx
fx
fx
ffxf +
+
+
+
Aplique a srie de Maclaurin ( ou Taylor-Maclaurin) e calcule 5,0e por um polinmio
de zero, grau um, grau dois, grau trs e, por ltimo, um de grau quatro.
Considere xexf =)( o resto com vocs
Erro de Arredondamento
Pode ser significante quando se tem um elevado nmero de operaes.
Exemplo: 13
3
3
1
3
1
3
1==++ , mas se 3,0
3
1 ento a soma anterior 0,9
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Erros nos Dados
Os dados, frequentemente, so obtidos atravs de medidas experimentais, por isso sosujeitos a imprecises. Ocasionalmente os erros nos dados advm da necessidade de se
arredondar na entrada desse dado. Outro erro nos dados pode decorrer do sistema de
representao utilizado.
Exemplo: vide exemplo no final da seco seguinte
Aritmtica de ponto flutuante
A representao usual dos nmeros feita utilizando-se de um sistema de posicionamento
de base dez, isto , o nmero 537,308 equivale a
321012 108100103107103105 +++++ . Em geral, utiliza-se a base dez,
contudo, qualquer nmero natural maior ou igual a dois pode ser utilizado.
De modo geral 21012321 aaaaaaaaa nnn por ser representado por
++++++++++
2
1
1
10
1
1
2
2
3
3
2
2
1
1 BaBaaBaBaBaBaBaBa n
n
n
n
n
n onde os
coeficienteia so algarismos tais que Bai
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Exemplo de que o erro nos dados pode ser decorrente do sistema de representao
utilizado: Passe para a base dez os seguintes nmeros binrios normalizados usando 8=t ,
isto , oito algarismos significativos:
a) 21 211100110,0 =x Resp.: 593750,31 =x
b) 22 211100111,0 =x Resp.: 609375,32 =x
Note quex1ex2so nmeros consecutivos escritos no sistema de numerao de base
2. Assim sendo, pergunta-se: O nmero decimal 3,6 teria representao exata nesse sistema
binrio com oito algarismos significativos?
Operaes com aritmtica de ponto flutuante
Ex1. Efetue as operaes indicadas em aritmtica arredondada de ponto flutuante
cuja base seja dez e o nmero de algarismos significativo, trs:
a. 03,5)24,936,4( ++
b. )03,524,9(36,4 ++
c. 03,5)24,936,4(
d. )03,524,9(36,4
e. 9,84]87,8
123,0[
f. ]87,8
9,84123,0[
g. )02,099,4(9,25 +
h. )02,09,25()99,49,25( +
i. 351400 +
j. Seria correta a observao seguinte? Mtodos numricos
matematicamente equivalentes podem fornecer resultados diferentes.
Resp.: Sim ( ) No ( ) , pois ...
Ex2.
Calcule25,0
e num sistema que usa representao dos nmeros em ponto
flutuante com cinco algarismos significativos e cuja base seja dez.
Represente os nmeros da tabela abaixo, em ponto flutuante com cinco algarismos
significativos, usando a base 10. Tome a primeira linha como exemplo
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NmeroRepresentao
Normalizada
Truncada
Representao
Normalizada
Arredondada
Representao
Cientfica
Arredondada
Representao
Normal
Arredondada
61000 31016666,0 31016667,0
2106667,1 67,166
3
3000/2
2cos
)25,0(log
8299349
00013,00025,1
osen450128,0
Ex3. Considere uma mquina que opera no sistema ]6,6[,4,10 == etB e o
conjunto dos nmeros reais }/{ MxmRxG = . 4.1 Pede-se m o menor e
Mo maior nmero, em valor absoluto, representados nessa mquina. 4.2 Responda
V(Verdadeiro) ou F(Falso), conforme o caso: 4.a) Gxx = 79,435 ( );
4.b) Gxx = 810*76,3 ( ); 4.c) Gxx = 710*87,5
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Exerccios
Ex1. Converta para a forma decimal os nmeros binrios seguintes:
101101=x ; 110101011=y ;
1101,0=z ; 111111101,0=t
Ex2. Considere certa mquina cujo sistema de representao de nmeros definido por
],[,,3,2,1,0,0;,0 1321 MmetiBddBdddd ie
t =
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Ex10. A funo racional1512066013
151206900313)(
24
24
++
+=
xx
xxxr aproxima a funo xcos no
intervalo
2
1[x ]
2
1, . Sabendo que = 109689124217,0)25,0(cos =
a.
Calcule o valor de = )25,0(r em aritmticaracionale d o valor absoluto do erro
de truncamento( ) com apenas um algarismo significativo, isto , d uma delimitao
do erro de truncamento.
b. Calcule o valor aproximado de =~ )25,0(r utilizando aritmtica arredondada com
trs algarismos significativos. E, d o valor absoluto do erro de arredondamento ( ~ )com
apenas um algarismo significativo, isto , d uma delimitao doerro de arredondamento.
Observao: = soluo exata do problema matemtico ou modelo matemtica;
= soluo exata do processo numrico ou algoritmo; =~ soluo calculada do processo
numrico
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MTODO DO GRFICO COMPLETO PARA ISOLAR A RAIZ DEUMA FUNO ou MTODO GRFICO-1
Isolar a Raizx da equao xex 2 0pelo Mtodo do Esboo
Completo do Grfico da equao. Neste caso a funo fser definida
porfx xex 2 . E, seguir o roteiro:
1Determinar o do mnio de f;Resp:,
2Verificar o comportamento nos extremos desse domnio, por meio doclculo dos limites lim
x fxe lim
x fx;
limx
xex 2 2 veja clculo a seguir:
limx
fx limx
xex 2
limx
xex limx
2
0 2,
Clculo de limx
xex 0 e 0 indeterminao que mudaremos
para 10
para aplicar a Regra de LHspital: limx gx
hx lim
x
g x
hx
limx
xex limx
x1
ex
limx
x
ex lim
x
1ex
limx
ex 0
limx
xex 2 veja clculo a seguir:
limx
fx limx
xex 2 limx
xex limx
2 2 2
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limt 0
t29 3
t2 lim
t 0
t29 3
t2
t29 3
t29 3 lim
t 0
t292
32
t2 t29 3 lim
t 0
t299
t2 t29 3
limt 0
t2
t2 t29 3 lim
t 0
1
t29 3
1
029 3
16
Ou aplicando LHspital chegamos a mesma concluso, acompanhe as contas
ddt
t2 9 3 tt29
e ddt
t2 2t
limt 0
t29 3
t2 lim
t 0
t29 3
t2
limt 0
t
t29
2t lim
t 0
t
t29
12t
limt 0
1
t29
12
1
029
12
1
6
3Clculo das derivadas 1,2de fpara determinar os po ntosde mximo local, de mnimo local e de inflexo
fx xex 2 fx xex xex 0 1ex xex 1 xex
f
x 1 xex 1 xex 1ex 1 x ex 1 1 x ex 2 xex
4Estudar os si nais de f para analisar o crescimento ou decrecimento de f;Achando a raiz da equao:1 xex 0 x 1
fx 0para todox 1, logof decrescente neste intervalo e
fx 0para todox 1, logof crescente neste intervalo, portanto
x 1 ponto de mnimo local.f1 e1 2 2. 4
5Estudar os s inais de f
para analisar a concavidade de f;Achando a raiz da equao:2 xex 0 x 2
fx 0para todox 2, logoftem concavidade para baixo neste intervalo e
fx 0para todox 2, logofem concavidade para cima neste intervalo,
portantox 2 ponto de inflexo ef2 2e2 2 2. 27
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6Construir uma tabela com pelo menos as informaes acima e, por fim,
x
x
20
10
5
4
3
2
1
0
12
3
4
x
y fx
fx 2
2. 0
2. 0
2. 0
2. 07
2. 15
2. 27
2. 37
2. 0
0. 712. 8
58. 3
216. 4
fx
7Esboar o grfico completo de f,destacando os pon tos de mnimo,mximo ou inflexo se existirem.
-4 -3 -2 -1 1 2 3-2
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
x
y
Melhorando o intervalo de y que torna a visualizao mais interessante.
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x fx 2equivale a dizer que a curva tem um assntota em y 2.
1, 2. 4 um ponto de mnimo local, tambm global
2, 2. 3 um ponto de inflexo da curva fx xex 2
0, 2 o ponto de interseco com o eixo dos y
x, 0 o ponto de interseco com o eixo dos x e x a raiz ou zero da funo f.
Portanto, pelo esboo do grfico completo concluimos que temos
uma raiz isolada no intervalo de x entre0 e 1, isto ,0 x 1.
Exerccio
Isolar a(s) raz(es) da equao5 xex 15 0, utilizando o mtodo do
grfico completo.
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Resoluo: fx 5 xex 15
1 Determinar o domnio de f:
Resp.: Df ,
2 Verificar o comportamento nos extremos desse domnio, por meio doClculo dos limites: lim
xfx e lim
xfx
limx
5 xex 15 limx
5 xex limx
15 i
limx
5 xex 0 uma indeterminao
limx
5 xex limx
5x1
ex
aplica-se LHspital
limx
5x
1ex
lim
x
1ex
limx
ex 0 limx
5 xex 0 ii
Substiiem i obtemos:
limx
5 xex 15 0 15 15,
portanto, y-15 a equao da assntota horizontal.
limx
5 xex 15 limx
5 xex limx
15 15
Resp.: limx
5 xex 15 15 e limx
5 xex 15
3 Determinar os pontos de mximo, de mnimo e de inflexo, por meio do
Clculo da 1, 2
f
x ex4 x f
x ex3 x
4 Verificar os intervalos nos quais f cresce e, tambm, decresce estudando os
sinais
da 1 derivada para determinar os extremantes ou pontos de mximo e de
mnimo locais.
f
x 0 ex4 x 0 x 4
f
x 0 f crescente para x4
f
x
0
f decrescente para x
4.
Resp.: Portanto, emx 4temos um ponto de mximo pelo estudo dos sinais e
f4 39, 6
5 Verificar a concavidade de f estudando os sinais da 2 derivada.
f
x 0 ex3 x 0 x 3 que um ponto de inflexo pelo estudo
dos sinais.
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f
x 0 ftem concavidade voltada para cima para x3
f
x 0 ftem concavidade voltada para baixo x3.
Resp.: Portanto, emx 3temos um ponto de inflexo pelo estudo dos sinais ef3 25,17
6 Construir uma tabela com pelo menos as informaes acima e por fim
x
7
6
5
4
3
2
1
0
1
2
34
5
ex5 x 15
14. 989
14. 973
14. 933
14. 835
14. 602
14. 053
12. 793
10.0
4. 1269
7. 1672
25. 17139. 598
15.0
8 Esboar o grfico completo de f
Resp.: As razes isoladas so 1 x1 2e 4 x2 5e um esboo do grfico
completo
dado pela figura abaixo.
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At iv id ade di a 25-28/03/2014
1. Represente os nmeros dados na tabela em ponto
flutuante com cinco algarismos significativos e base 10.
Nmero Normalizada A Normalizada T Cientfica A Normal A1000/6
166. 666 666 70.16666 10 3 0.16667 103 1.6667 10 2 166. 67
300 3
519. 615 242 30. 519 61 102 0. 519 62 102 5. 1962 103 519. 62
2/5000
0.00040. 400 00 103 0. 400 00 103 4. 000 0 104 0. 000 4
10 5
314159. 265 40.31415 10 6 0.31416 10 6 3.1416 10 5 314160
66598557.89
5123
12999. 913 7
0. 12999 105 0. 13000 10 5 1. 300 0 10 4 13 000
2. Efetue os operaes em aritmtica arredondada de ponto
flutuante com trs algarismos significativos.
a.1) 11. 4 3.18
5.05 14. 6 5.05 19. 7
11.4 3.18 14. 58 14. 6
14. 6 5.05 19. 65 19. 7
a.2) 11.4 3.18 5.05 11.4 8. 23 19. 6
3.18 5.05 8. 23
11.4 8. 23 19. 63 19. 6
b.1) 3.1811.45.05
36.3
5.05 7.19
3.18 11. 4 36. 252 36. 336.3
5.05 7. 188 118 812 7. 19
b.2) 3.185.05
11.4 0.63011.4 7. 183.18
5.05 0.6297029703 0.630
0.63011. 4 7. 182 7. 18
c.1) 3.185.05 11. 4 3.1816. 5 52. 5
5.05 11. 4 16. 45 16. 5
3.1816. 4 52. 152 52. 2
3.1816. 5 52. 47 52. 5
c.2) 3.18 5.05 3.18 11. 4 16. 1 36. 3 52. 4
3.18 5.05 16. 059 16. 1
3.18 11.4 36. 252 36. 3
16. 1 36. 3 52. 4
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d.1)i1
10
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3 3. 31
1
3 0. 333
3.31
2.98
2.65
2.32
1.99
1.66
1.33
0.999
0.333 0. 333 0. 333 0.333 0. 333 0.333 0.333 0. 333 0.333 0.333 3. 31
d.2) 10 13
100.333 3. 33
3. Efetue a operao 0.31024
em:
3.a) artimtica racional: 0.31024
0.310
102410
3
10240
Resp.: 310240
ou o decimal exato 0. 0002929 6875
3.b) artimtica arredondada de ponto flutuante com quatro algarismos
significativos0.3
1024 2. 929 687 5 104 2. 930 104 0.0002930
Resp.: 0. 2930 103 ou 0. 0002930
3.c) artimtica arredondada de ponto fixo com quatro casas decimais0.3
1024 0.000 2930 0.0003
Resp.: 0. 0003
4. Mude1010. 1101012
para a base Dez
1 2 3 0 22 1 2 1 0 2 0 10
1 2 1 1 22 0 2 3 1 24 0 25 1 26 0. 828 125
23 2 1 21 22 2 4 26 10. 828125
1010. 1101012 10. 828125
10
Resp.: 10. 828 125
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5. Mude9. 0312510
para a base Dois
9 2 4com resto 1
4 2 2com resto 0
2 2 1com resto 0
910
10012
0. 03125 2 0.0625
0.0625 2 0.125
0.125 2 0.25
0.25 2 0. 5
0. 5 2 1. 0
0. 0312510 0. 0000012
910
10012
e 0. 0312510
0. 0000012
Resp.:9. 0312510
1001. 0000012
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x 5logx 2-0,4x g-h
0,1 -5,00 1,96 -6,96
0,6 -1,11 1,76 -2,87
1,1 0,21 1,56 -1,35
1,6 1,02 1,36 -0,3394
2,1 1,61 1,16 0,451096
2,6 2,07 0,96 1,11
Mtodo Grfico-2
Nesse mtodo faremos sempre que possvel uma equivalncia entre a equao 0)( =xf e
)()( xhxg = , supondo )()()( xhxgxf = .
Exemplo
Vamos pesquisar as razes da equao 04,02log.5 =+ xx
Resoluo
1 xxxx 4,02log.504,02log.5 ==+
Deste modo
=)(xf xx 4,02log.5 +
xxg log5)( = e
xxh 4,02)( =
2Esboamos um grfico para a funo ge, outro para a funo h;4e desenhamos os grficos destas duasfunes num mesmo sistema decoordenadas cartesianas;
4 feito isso, isolaremos a raiz x
descendo ou subindo uma linha reta deonde se encontra o cruzamento dosgrficos de ge h at o eixo dos x.
Exerccio
1. Isole a raiz x num intervalo de amplitude a das seguintes funes:
a) 5,01,1ln.)( == axxxf
b) 5,004ln)( 2 === axxxf
c) 15)4()( == aexxf x
x
1, 5 2, 0x
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4. Aplicando o Mtodo 2 (da interserco de dois grficos), isole as razes da
equaox cosx 1. 5 0usando um intervalo amplitude 2, conforme o grfico da
funoy cosx.
Soluo:
Determinar as duas funesgxe hx, cujas interseces indicam as razes da
equao:
xcosx 1. 5 0 xcosx 1. 5 cosx 1.5x gx hx
O grfico tracejado corresponde a funo fx xcosx 1. 5no para ser
desenhado est a s para mostrar que as interseces entre as curvas y gxe
y hxmostrar as razes isoladas.
O grfico da funo hx 1.5x tem que ser desenhado uma vez quegx cosx
j foi dado a figura.
x 10 8 6 4 2 2 4 6 8 10
1.5x 0. 15 0. 19 0. 25 0. 38 0. 75 0.75 0.38 0.25 0.19 0.15
-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
Resp. As razes isoladas a partir da interseco das funes g e h so:
8 x1 6
6 x2 4
2 x3 4
4 x4 6
8 x5 10
.
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1
Mtodo da Dicotomia ou Bisseco
OMtodo da dicotomia ou bissecoutilizado para o clculo aproximado da raiz de umafuno decorre da aplicao do Teorema de Bolzanoi. Supondo que uma raiz da funo f
esteja no interior do intervalo (a, b) e, portanto o produto de f(a) por f(b) tem sinal
negativo; o processo consiste basicamente em dividir o intervalo dado ao meioconstituindo-o em dois subintervalos, no qual em apenas um deles poder estar a raiz ou
zero da funo procurado.
Escolhido esse novo subintervalo este processo repetidoat que se obtenha uma preciso prefixada ou nmero mximo de iteraes.
Exemplo
Determinar um valor aproximado da raiz quadrada de 5 na forma xx ~ , com erro
menor ou igual a 0,
01 ou parada na 7 iterao; nos seguintes casos:
a) utilizando aritmtica racional, isto sem arredondamentosb) utilizando aritmtica de ponto fixo com duas casas decimais
Fazer um grfico que visualize as iteraes
Resoluo
Nesse caso a funof dada por 5)( 2 xxf , sendo x a raiz ou zero da equao
0)( xf e a tabela abaixo representa o dispositivo prtico ou algoritmoda dicotomia ou
bisseco.Grfico
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2
Com todas as casas decimais da calculadora
i ia ib
2
~ iii
bax
2
ii
i
ba
Sinal de
)~( ixf
Sinal de)(af
Sinal de)(bf
0
1
2
3
4
5
67
Resposta: o valor pedido na forma xx ~ 0078125,02421875,25 .
Com duas casas decimais
i i
a ib
2
~ iii
bax
2
ii
i
ba
Sinal de
)~( ixf
Sinal de)(af
Sinal de)(bf
Resposta: o valor pedido na forma xx ~ _________________________.
i TEOREMA DE BOLZANO: Se ( ). ( ) 0f a f b em um intervalo real ( , )I a b , ento existe pelo menos
uma raiz neste intervalo ( , )I a b . Isto, se a funo troca de sinais nas extremidades a e b , ento existe
ao menos uma raiz real.
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Mtodo de Newton-Raphson ou Mtodo das Tangentes
Uma interpretao geomtrica do Mtodo de Newton-Raphson que pode justificar o nome de Mtodo das Tangentes
visto a seguir:
1
)(
nn
n
xxxftg e )( nxftg
1
)()(
nn
nn
xxxfxf
)()(
1
n
nnn
xfxfxx
)(
)(1
n
nnn
xf
xfxx
)(
)(1
n
nnn
xf
xfxx
, 0)( nxf para ,3,2,1,0n
Mtodo das Tangentes ou Mtodo de Newton-Raphson
Exemplo
Calcular x~ um valor aproximado da raiz x da funo xxxf cos2)( , sabendo-se que fpossui um raiz real x
isolada no intervalo ]4
,0[
I . Os clculos devero ser feitos usando aritmtica de ponto flutuante com 4
algarismos significativos. Mostrar os clculos para determinao da derivada de f.
ExercciosCalcular x~ , um valor aproximado da raiz da equao 0)( xf , sabendo-se que uma raiz real x est isolada no
intervalo I . Os clculos devero ser feitos usando aritmtica de ponto fixo e arredondada com 4 casas decimais.
Mostrar os clculos para determinao da derivada de f. Dar a resposta sob a forma xx ~
a) 02 x
ex ; ]1,0[I
b) 0ln xx ; ]1,2
1[I
c)
05)4( xex ; ]4,3[I d) 02,3ln. xx ; ]1.3,6.2[I
e) 0ln42 xx ; ]6.2,1.2[I
x 1nx nx
x
y )(xfy
)( nn xfy
tangente a curva fpassandopelo ponto ),(
nn yx e
formando com o eixo do xum
ngulo
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Atividade de Mtodos Numricos
Nome_______________RA_________
Nome_______________RA_________
Nome_______________RA_________
1. Aplicando o Mtodo da Dicotomia, determine um valor aproximado da raizxda equao4 xex 5. 2 0, sabendo-se que existe ao menos uma raiz no
intervalo aberto4,4.5, com erro menor ou igual a0.001ou parada na 8 iterao,
utilizando aritmtica arredondada de ponto fixo com trs casas decimais. Dar a
resposta sob a forma x x
-3 -2 -1 1 2 3 4 5
-30
-20
-10
10
20
30
x
y
2. Aplicando o Mtodo de Newton-Raphson, determine um valor aproximado
da raiz xda equao xcosx 1. 5 0, iniciando o algortmo com xo 3e nomximo 3 iterao, utilizando aritmtica arredondada de ponto fixo com
quatro casas decimais. Mostre o passo a passo para obteno da derivada e d
a resposta sob a forma x x
3. Idem ao anterior, iniciando o algortmo com xo 3.
-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
1
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4. Aplicando o Mtodos 2 (da interserco de dois grficos), isole as razes da
equao xcosx 1. 5 0usando um intervalo amplitude 2., conforme o grfico dafuno y cosx.
-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10
-2
-1
1
2
x
y
2
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pos + neg
a b (a+b)/2 |ab|/2 (4x)ex+5,2 f(a) f(b)
0 4 4,5 4,25 0,25 12,32635309 5,2 39,81
1 4 4,25 4,125 0,125 2,533476156
2 4 4,125 4,063 0,063 1,536644805
3 4,063 4,125 4,094 0,031
0,4380570044 4,063 4,094 4,079 0,016 0,532178039
5 4,079 4,094 4,087 0,008 0,018198169
6 4,087 4,094 4,091 0,004 0,241769194
7 4,087 4,091 4,089 0,002 0,111536169
8 4,087 4,089 4,088 0,001
Resposta:
SINALDE
001,0088,4 x
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n x cosx xcos xcosx+1.5 senx xsenx cosxxsenx f/f
0 3 0,9900 2,97 1,47 0,1411 0,4233 1,4133
1 1,9599 0,3793 0,7434 0,7566 0,9253 1,8135 2,1928
2 2,3049 0,6699 1,5441 0,0441 0,7424 1,7112 2,3811
3 2,2864 0,6561 1,5001 1E04 0,7547 1,7255 2,3816
2,2864 0,6560 1,4998 0,0002 0,7547 1,7255 2,3815
2,2863 0,6560 1,4998 0,0002
2,2865 0,6561 1,5001 0,0001
Resposta:
n x cosx xcos xcosx+1.5 senx xsenx cosxxsenx f/f
0 1 0,5403 0,5403 2,0403 0,8415 0,8415 0,3012
1 7,7739 0,0800 0,6219 2,1219 0,9968 7,749 7,6690
2 8,0506 0,1953 1,5723 0,0723 0,9807 7,8952 8,0905
3 8,0417 0,1866 1,5006 0,0006 0,9824 7,9001 8,0867
8,0416 0,1865 1,4998 0,0002 0,9825 7,9009 8,0874
8,0415 0,1864 1,4989 0,0011
8,0417 0,1866 1,5006 0,0006
Resposta:
0001,02864,2 x
0001,00416,8 x
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4. Aplicando o Mtodo 2 (da interserco de dois grficos), isole as razes da
equaox cosx 1. 5 0usando um intervalo amplitude 2, conforme o grfico da
funoy cosx.
Soluo:
Determinar as duas funesgxe hx, cujas interseces indicam as razes da
equao:
xcosx 1. 5 0 xcosx 1. 5 cosx 1.5x gx hx
O grfico tracejado corresponde a funo fx xcosx 1. 5no para ser
desenhado est a s para mostrar que as interseces entre as curvas y gxe
y hxmostrar as razes isoladas.
O grfico da funo hx 1.5x tem que ser desenhado uma vez quegx cosx
j foi dado a figura.
x 10 8 6 4 2 2 4 6 8 10
1.5x 0. 15 0. 19 0. 25 0. 38 0. 75 0.75 0.38 0.25 0.19 0.15
-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
Resp. As razes isoladas a partir da interseco das funes g e h so:
8 x1 6
6 x2 4
2 x3 4
4 x4 6
8 x5 10
.
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Mtodo de Eliminao de Gauss1. Um sistema linear escrito sob a forma
(1)
=
=++
=+++
nnnn
nn
nn
bxa
bxaxa
bxaxaxa
22222
11212111
no qual
niparaaii ,,2,1,0 = chamado um sistema triangular( ou escalonado).
a) A resoluo desse sistema (1) realizada utilizando a recorrncia seguinte:
nn
n
na
bx = e
ii
n
ij
jiji
ia
xab
x
+=
= 1 nipara ,,2,1, = .
b) Isto , calcula-se o nx da ltima equao do sistema (1) (linha n), na seqncia
substitui-se nx na penltima equao desse sistema para o clculo de 1nx , e assim
por diante at calcular-se o 1x .
2. Contudo, nem todo sistema vem escrito sob a forma acima. Para isso, utilizaremos omtodo de eliminao de Gaussque transforma um sistema no-triangularem sistematriangular equivalente, por meio de operaes elementares da lgebra Linear, tal comoa soluo de sistema linear no se altera se subtrairmos de uma equao, uma outraequao do sistema multiplicada por uma constante.a) Por motivos meramente didticos, descreve-se abaixo estemtodo de eliminao de
Gausspara um sistema de ordem 3, mas tal mtodopode ser aplicado a sistemas dequalquer ordem.Seja o sistema linear nas incgnitas 321 ,, xxx
=++
=++
=++
3333232131
2323222121
1313212111
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
ou
=
3
2
1
3
2
1
323231
232221
131211
*
b
b
b
x
x
x
aaa
aaa
aaa
escrito sob a forma matricial bAx= , onde
=
323231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A a matriz dos coeficientes,
=
3
2
1
x
x
x
x o vetor das incgnitas e
=
3
2
1
b
b
b
b o vetor dos termos independentes
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Algoritmo da eliminao de Gauss ou dispositivo prtico para triangularizao de Gauss
Etapa Matriz A Vetor b Linha/Operaes
0
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
3
2
1
b
b
b
3
2
1
l
l
l
1
333231
232221
131211
aam
aam
aaa
3
2
1
b
b
b
11 ll (linha piv), se 011 a (piv) seno (*)
11212112122 aamelmll =
11313113133 aamelmll =
2
333231
232221
131211
amm
aam
aaa
3
2
1
b
b
b
11 ll
22 ll (linha piv), se 022 a (piv) seno (*)
22323223233 aamelmll =
(*) Se 0=iia permuta-se a linha il com a primeira linha inferior cujo primeiro
termo seja diferente de zero. Seno for possvel, ento o determinante da matriz A nulo e o sistema indeterminado (tem infinitas solues) ou incompatvel (no temsoluo).
Assim sendo o sistema triangularizado pelo mtodo de Gauss passa a ser
=++
=++
=++
333321
23232221
1313212111
00
0
bxaxx
bxaxax
bxaxaxa
Com base na equao 3 do sistema triangularizado calcula-se
33
3
3a
bx
= que substituindo-o na equao 2 permite calcular
22
3232
2a
xabx
= e substituindo 2x e 3x na equao 1 acha-se
11
3132121
1a
xaxabx
=
Classificao quanto ao nmero de soluesSe
333 0 bea , ento o sistema tem apenas uma soluo SCD (determinado)
Se 033 =a e 03 =b , ento o sistema tem infinitas solues SCI (indeterminado)
Se 033 =a e 03 b , ento o sistema no tem soluo SI (incompatvel)
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Exemplo
1.Verifique se o sistema linear
=++
=
=++
1423
2
122
zyx
zyx
zyx
foi triangularizado
corretamente pelo Mtodo de Gauss,2.calcule o determinante da matriz dos coeficientes A e3.ache os valores das incgnitas zyx ,, .4.calcule o determinante
ETAPA MATRIZ A b LINHA/OPER.
2 2 1 1 L1
0 1 -1 -1 2 L2
3 2 4 -1 L3
2 2 1 1
1 0 -2 -1,5 1,5 0,5
0 -1 2,5 -2,5 1,5
2 2 1 1
2 0 -2 -1,5 1,5
0 0 2,5 -2,5 0,5
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Exerccios
1. Resolver o sistema linear utilizando o mtodo de eliminao ou triangularizao deGauss, trabalhando com aritmtica racional (fraes):
1.a
=+
=+=+
125
511296
20523
31
321
321
xx
xxx
xxx
1.b
=+
=++
=++
=++
601082
48104
4111236
7532
432
4321
4321
4321
xxx
xxxx
xxxx
xxxx
2. Calcule o determinante da matriz dos coeficientes dos sistemas 1.a e 1.b utilizando a
frmula: )1(332211 ..)1()det( =
n
nn
paaaaA , onde p indica o nmero de permutaes entre
linhas.
3. Dados o sistema linear sob forma matricial bAx=
15646
11969
1846
1523
4
3
2
1
x
x
x
x
=
11
23
9
7
pede-se que utilizando o dispositivo prtico para
eliminao de Gauss (ou triangularizao de Gauss) por meio de aritmtica racional:
3.a o clculo do determinante da matriz A dos coeficientes.3.b a soluo x do sistema, caso o sistema seja determinado.
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Exerccios
1. Verifique a triangularizao do sistema de equaes lineares pelo algoritmo de Gausscom aritmtica arredondada com trs casas decimais; em seguida, calcule odeterminante da matriz dos coeficientes e a soluo do sistema.
=++
=++=
490,9134,1178,3178,5
263,9195,4197,3871,1333,0343,1131,2141,3
321
321
321
xxx
xxxxxx
ETAPA M A T R I Z A VETOR b LINHA/OPERAOES
3,141 -2,131 -1,343 -0,333 L1
0 1,871 3,197 4,195 9,263 L2
5,178 3,178 1,134 9,49 L3
3,141 -2,131 -1,343 -0,333 L1linha piv; elemento piv=3,141
1 0 4,467 4,995 9,461 L2L2-M21L1 M21= 0,5960 6,692 3,349 10,039 L3L3-M31L1 M31= 1,649
3,141 -2,131 -1,343 -0,333 L1
2 0 4,467 4,995 9,461 L1linha piv; elemento piv=4,467
0 0 -4,134 -4,134 L3L3-M32L2 M32= 1,498
2. Resolver o sistema de equaes lineares pelo Mtodo de Eliminao de Gauss comaritmtica arredondada com trs algarismos significativos.
=++
=++
=++
4513527
13669733
423921
321
321
321
xxx
xxx
xxx
3. Resolva o sistema da questo 2 pelo Mtodo de Eliminao de Gauss com aritmticaarredondada com trs algarismos significativos com pivotao
4. Calcular a matriz inversa de =A
013
210
101
pelo algoritmo de Gauss com
aritmtica racional.
5. Calcular a matriz inversa de
=
32,431,152,3
31,152,332,4
52,332,431,1
A
pelo algoritmo de Gauss com
aritmtica arredondada com cinco casas decimais
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Condensao Pivotal
Quando se trabalha com calculadora ou computadores os nmeros so representados em
ponto flutuante. Assim sendo, so inevitveis os erros de arredondamento que ocorrem
nas operaes e suas conseqncias podem comprometer a soluo obtida. Veja o
exemplo, a seguir.
Exemplo.1
Resolva o sistema abaixo pelo mtodo da eliminao de Gauss, trabalhando com
aritmtica de ponto flutuante com trs algarismos significativos
3814222
134311027
57524
=++
=+
=++
zyx
zyx
zyx
Resposta: (4.5, 0.0, 1.01)
A soluo obtida nesse processo de resoluo apresenta certa discrepncia devido aos
erros de arredondamento.
A condensao pivotal (ou pivotao) um procedimento visa minimizao desteserros de arredondamento. E consiste em escolher para piv (elemento da diagonal
principal) sempre o maior em valor absoluto dentre os valores da respectiva coluna em
cada etapa do mtodo de eliminao de Gauss.
Exemplo.2
Resolva o sistema anterior pelo mtodo da eliminao de Gauss, trabalhando com
aritmtica de ponto flutuante com trs algarismos significativos, porm no se esquea
de utilizar a condensao pivotal.
Resposta: (1.0, 0.998, 1.0)
Comparando as solues dos exemplos anteriores, observa-se que com a pivotao a
resposta foi mais precisa, fato que comprova a experincia, embora nem sempre isto
ocorra. Logo, um processo de refinamento da soluo uma necessidade para
compensar os erros de arredondamento, porm foge ao escopo deste curso.
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At iv id ade Pr-P3-Mtodos Numricos Aplic.a Eng. - Data:___/Set/2012
Nome__________________________________RA__________
Nome__________________________________RA__________
Nome__________________________________RA__________
1. O sistema, dado sob a forma matricialAx b :
1 1 0 2
5 3 3 18
3 3 2 11
1 1 0 7
x
y
z
t
1
16
10
5
,tem como soluo
x
y
z
t
59
20
9
20
7
2
6
5
quando utiliza-se uma aritmtica racional .
a. Resolva pelo Mtodo de Eliminao de Gauss, utilizando uma aritmtica
arredondada com duas casas decimais e condensao pivotal (ou pivotao).
b. Determine o valor do determinante da matriz A.
c. Encontre o elemento da matriz A1 que tem a mesma posio do elemento
7 da matriz A.
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Polinmio Interpolador na Forma de Lagrange
Seja f uma funo tabelada em 1+n pontos distintos nxxxx ,,,, 210 e sejam os
polinmios de grau n
)())(())()((
)())(())()(()(
)11210
11210
niiiiiiii
niii
xxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxL
=
+
+
denominados depolinmios de Lagrange.
relativamente fcil de ver que para nji ,0 temos
=
=
jise
jisexL ji
0
1)( e,
portanto, podemos determinar o polinmio )(xp interpolador de f relativamente aos
pontos nxxxx ,,,, 210 , utilizando esses polinmios de Lagrange. Como os polinmios
)(xLi satisfazem )( ji xL claro que )()( ii xfxp = , ni ...,,2,1,0= sendo
+= )()()( 00 xfxLxpn +)()( 11 xfxL +)()( 22 xfxL ... + )()( nn xfxL
opolinmio interpolador de Lagrange.
Interpolao linear (pol. de grau 1):
+= )()()( 001 xfxLxp )()( 11 xfxL SN=
)(
)()(
10
10
xx
xxxL
= e
)(
)()(
01
01
xx
xxxL
=
Interpolao quadrtica (pol. de grau 2):
+= )()()( 002 xfxLxp +)()( 11 xfxL )()( 22 xfxL SN=
))((
))(()(
2010
210
xxxx
xxxxxL
= ,
))((
))(()(
2101
201
xxxx
xxxxxL
= e
))((
))(()(
1202
102
xxxx
xxxxxL
=
Interpolao com um polinmio de grau 3:
+= )()()( 003 xfxLxp +)()( 11 xfxL )()( 22 xfxL + )()( 33 xfxL
))()(())()(()(302010
3210
xxxxxx
xxxxxxxL
= ,
))()(())()(()(312101
3201
xxxxxx
xxxxxxxL
=
))()((
))()(()(
321202
3102
xxxxxx
xxxxxxxL
= e
))()((
))()(()(
231303
2103
xxxxxx
xxxxxxxL
=
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Dispositivo Prtico p/o Polinmio Interpolador na Forma de Lagrangepara grau de 1 at 3j(ougrau j)
Dj )( jxf jj Dxf /)(
00xx 10 xx 20 xx 30 xx 0D )( 0xf 00 /)( Dxf
101 xx 1xx 21 xx 31 xx 1D )( 1xf 11 /)( Dxf
202 xx 12 xx 2xx 32 xx 2D )( 2xf 22 /)( Dxf
303 xx 13 xx 23 xx 3xx 3
D )( 3xf 33 /)( Dxf
N:produto dosvalores dadiagonal
principal da
matriz X
S:soma dosvalores da
coluna acima
))()()(( 3210 xxxxxxxxN = e S = 00 /)( Dxf + 11 /)( Dxf + 22 /)( Dxf + 33 /)( Dxf
:jD produto dos valores da linha j
))()()(( 30201000 xxxxxxxxD = ))()()(( 32211011 xxxxxxxxD =
))()()(( 31211012 xxxxxxxxD = ))()()(( 32111012 xxxxxxxxD =
Exerccio de aplicaoa) Ache o Polinmio Interpolador na
Forma de Lagrange de grau 2 para calcular)1(f na tabela ao lado
b) Utilize o dispositivo prtico para calcular )1(f na tabela acima por interpolaoquadrtica.Dispositivo Prtico p/o Polinmio Interpolador na Forma de Lagrangepara grau 2
j(ou grau j)Dj )( jxf jj Dxf /)(
00xx 10 xx 20 xx 0D )( 0xf 00 /)( Dxf
101 xx 1xx 21 xx 1D )( 1xf 11 /)( Dxf
202 xx 12 xx 2xx 2D )( 2xf 22 /)( Dxf
N:produtodos valores da
diagonal
principal damatriz X
S:soma dos valores dacoluna acima
f(x) 15 8 -1x -1 0 3
Matriz X
SNxp =)(
Matriz X
SNxp =)(
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j(ou grau j) Dj )( jxf jj Dxf /)(
0
1
2
N S
b) Utilize o dispositivo prtico para calcular )1(f na tabela acima por interpolaolinear
Dispositivo Prtico p/o Polinmio Interpolador na Forma de Lagrangepara grau 1.j(ou grau j) Dj )( jxf jj Dxf /)(
00xx 10 xx 0D )( 0xf 00 /)( Dxf
101 xx 1xx 1D )( 1xf 11 /)( Dxf
Grau i X Di f(xi) f(xi)/ Di
0
1
Matriz X
Matriz X
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Exerccios1. Interpole no ponto 3,2=x usando a tabela abaixo
x 1 2 3 4)(xf 2,718 7,389 20,086 54,598
a. Utilizando um polinmio interpolador de 1 grau tomando por base ,10 =x e 21=x
b. Utilizando um polinmio interpolador de 2 grau tomando por base 10 =x , 21=x e 32=x
c. Utilizando um polinmio interpolador de 2 grau tomando por base 20 =x , 31=x e 42=x
d. Utilizando um polinmio interpolador de 3 grau tomando por base 4,3,2,1=x
Dada a tabelax 1,0 1,1 1,2
xe 2,718 3,004 3,320
2. Obtenha a frmula de interpolao quadrtica 2210)( xaxaaxp ++= e calcule um
valor aproximado de15,1e .
Dica resolva o sistema
=
)(
)(
)(
.
1
1
1
2
1
0
2
1
0
2
22
2
11
2
00
xf
xf
xf
a
a
a
xx
xx
xx
, nas incgnitas 210 ,, aaa . Ou se
preferir utilize os polinmios de Lagrange e o polinmio interpolador de Lagrange,respectivamente:
))((
))((
))((
))((
))((
))((
1202
102
2101
201
2010
210
xxxx
xxxxL
xxxx
xxxx
L
xxxx
xxxxL
=
=
=
e += )()()( 00 xfxLxp +)()( 11 xfxL )()( 22 xfxL
3. Complete o dispositivo prtico para calcular o valor da funo no ponto 32,2=x natabela abaixo, utilizando o polinmio interpolador na forma de Lagrange:
a) de 1 graub) de 2 grau
x 1,5 2,0 2,5f(x) 0,405 0,693 0,916
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Introduo ao Mtodo dos Mnimos Quadrados
Estudaremos oMtodo dos Mnimos Quadradosdestacando inicialmente o caso particular de ajuste de uma retaa uma tabela e depois generalizaremos esse raciocnio.Pergunta: No que consiste esseMtodo dos Mnimos Quadrados?Resposta: O problema de aproximar uma funo f por outra funo g de uma famlia G previamente
escolhida pode ser dividido em dois casos: f tabelada domnio discreto e, f dada pela sua formaanaltica domnio contnuo, contudo nessa introduo nos restringiremos ao primeiro caso. Chamaremosateno que essa aproximao introduz um erro rque ser chamado de resduo que resulta da diferena entref e g : )()()( xgxfxr = . O Mtodo dos Mnimos Quadrados consiste do estabelecimento de que o
somatrio dos quadrados das diferenas, isto )(2 ixr , seja mnimo.
Regresso Linear
Na regresso linear, caso particular doMtodo dos Mnimos Quadrados,nosso objetivo ser aproximar f por
uma funo g da famlia xba+ .
Aproximar uma funo tabeladapeloMtodo dos Mnimos Quadradossignifica determinar osvalores dos parmetros a e b da reta xba+ de modo que asoma dos quadrados dos erros em cada ponto seja mnima. E paraisto basta resolver o sistema linear denominado sistema normal sob a forma yXa=
=
=
=
==
==n
i
ii
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
yx
y
b
a
xx
x
1
1
1
2
1
11
1
Se 11
=g , xg =2
e )(xfy= so vetores de nR , cada somatrio pode ser expresso como um produto escalar
em nR e o sistema normal pode ser reescrito assim
=
yx
y
b
a
xxx
x
,
,1
,1,
,11,1ou
=
yg
yg
b
a
gggg
gggg
,
,
,,
,,
2
1
2212
2111 , onde , o produto escalar entre os vetores ig e y .
x 1x 2x ... nx , 2n
)(xf 1y 2y ... ny
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Exerccio de aplicao de Regresso LinearSupondo que a tabela abaixo seja resultado de algum experimento.x 0 1 2 3 4
)(xf 0 1 1 4 4
Determine a reta que melhor se ajusta a esta funo segundo o Mtododos Mnimos Quadradose calcule ovalor da funo para 5=x . Vamos seguir o roteiro abaixoSOLUO:Vetores de 5R
11=g xg =2 )(xfy= 11, gg 21, gg 12 , gg 22 , gg yg ,1 yg ,2
1 0 0 1*1=1 1*0=0 0*1=0 0*0=0 1*0=0 0*0=01 1 1 1*1=1 1*1=1 1*1=1 1*1=1 1*1=1 1*1=11 2 1 1*1=1 1*2=2 2*1=2 2*2=4 1*1=1 2*1=21 3 4 1*1=1 1*3=3 3*1=3 3*3=9 1*4=4 3*4=121 4 4 1*1=1 1*4=4 4*1=4 4*4=16 1*4=4 4*4=16
= 6 = 10 = 10 = 30 = 10 = 31Durante a montagem e a resoluo do sistema normal deve-se utilizar a mxima preciso disponvel da aritmtica para diminuir a propagao dos erros dearredondamento
Sistema NormalEtapa Matriz X Vetor y Linha/operaes
=
=+
.............
...................
b
ba
...............
.......==b e ==
........
.......................a
bxaxg +=)(
Resposta:A funo xxg =)( e o valor da funo parax = 5 = )5()5( gf .
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Exerccio de aplicao de Regresso Polinomial de 2 grau
Determine a parbola que melhor se ajusta a funo 2)( cxbxaxfy ++== , segundo osMtodo dos Mnimos
Quadrados,e calcule o valor dessa funo para 2,1=x .
x 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1)(xf 1 0,8 0,7 0,6 0,5 0,5
Sol uo
Regresso Polinomial de 2 Grau no6
R 11=g xg =2
2
3 xg = )(xfy=
11x
2
1x 1y
12x
2
2x 2y
13x
2
3x 3y
14x
2
4x 4y
15x
2
5x 5y
16x
2
6x 6y
11,gg
21
, gg
31
, gg 12
, gg
22
, gg 32 , gg
13
, gg 23
, gg
33
, gg yg ,1
yg ,2
yg ,3
Etapa Matriz X Vetory
Linha/operaes
0
///////////////// ///////////////////// /////////////////// /////////////////// /////////// ///////////////////////////////////
1
///////////////// ///////////////////// /////////////////// /////////////////// /////////// ///////////////////////////////////
2
Continue no verso
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Integrao Numrica Regra do Trapzio
figura-1 01 xxH =
figura-2 231201 xxxxxxh ===
Considerando a integral de f no intervalo fechado ],[ ba como sendo igual rea abaixo
da curva )(xfy= nas figuras acima; fica fcil perceber que a soma das reas de trs
trapzios
)]()([2
)](([2
)]()([2
322110 xfxfh
xfxfh
xfxfh
+++++
se aproxima melhor desta rea do que com do que a rea de um nico trapzio
)]()([2 10 xfxf
H
+ .
)(xfy=
0xa=
1xb=
x
y
)(xfy=
0xa= 3xb= x
y
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Deste modo, a integral de f , no intervalo fechado ],[ ba , obtida pela Regra do
Trapzio, para diviso da rea coma a soma de trs trapzios de mesma altura, fica
assim
)]()([2
)]()([2
)]()([2
)( 322110
3
0
xfxfhxfxfhxfxfhdxxf
xb
xa
+++++=
=
e eliminando-se os colchetes temos:
)]()()()()()([2
)( 322110
3
0
xfxfxfxfxfxfh
dxxf
xb
xa
+++++=
=
que equivale a
)]()(2)(2)([
2
)( 3210
3
0
xfxfxfxfh
dxxf
xb
xa
+++
=
=
ou
=
=
3
0
)(
xb
xa
dxxf )}()]()([2)({2
3210 xfxfxfxfh
+++
Generalizando para n trapzios
n
abh
=
Obtm-se a seguinte frmula, chamada de Regra do Trapzio Generalizada.
)]()(2)(2)(2)(2)([2
)( 132100
nn
xb
xa
xfxfxfxfxfxfh
dxxfn
++++++
=
=
ou
)}()]()()()([2)({2
)( 132100
nn
xb
xa
xfxfxfxfxfxfh
dxxfn
++++++
=
=
.
Exemplo de aplicao
Calcular =
=
2,1
00
cosnx
x
x dxxe pela Regra do Trapzio, com:
a) 4,0=h
b) 2,0=h
c)1,0
=h
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Resoluo do item a 4,0=h implica 3=n
x0 x1 x2 x3
x 0 0,4 0,8 1,2
e^x 1 1,491825 2,225541 3,320117
cos x 1 0,921061 0,696707 0,362358
f(x)=e^x cos x 1 1,374062 1,550549 1,20307
1 2,748123 3,101099 1,20307
f(x0)+ 2f(x1)+ 2f(x2)+ f(x3)= 8,052292
h/2= 0,2
Integral
pedida= 1,610458
Resoluo do item b 2,0=h implica 6=n
x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6
x 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2
e^x 1 1,221403 1,491825 1,822119 2,225541 2,718282 3,320117
cos x 1 0,980067 0,921061 0,825336 0,696707 0,540302 0,362358
f(x)=e^x cos x 1 1,197056 1,374062 1,50386 1,550549 1,468694 1,20307
1 2,394112 2,748123 3,007719 3,101099 2,937388 1,20307
f(x0)+ 2f(x1)+ 2f(x2)+ 2f(x3)+ 2f(x4)+ 2f(x5)+ f(x6)= 16,39151
h/2= 0,1
Integral
pedida= 1,639151
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Exerccios de aplicao da Regra do trapzio
1. Calcular 30,1
00,1
dxx , dividindo a intervalo dado em 6 partes iguais e utilizando a
tabela com 4 casas decimais.
2. Calcular 8,0
0
cos dxx , dividindo a intervalo dado em 8 partes iguais e utilizando a
tabela com 3 casas decimais.
3. Calcular 6,1
2,1
dxsenx , dividindo a intervalo dado em 4 partes iguais e utilizando a
tabela com 5 casas decimais.
4. Calcular
30,1
00,1
dxsenxe x , dividindo a intervalo dado em 6 partes iguais e
utilizando a tabela com 3 casas decimais.
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Estimativa de Erro na Integrao Numrica - Regra do Trapzio
Suponha |f x| kparaa x b.SeETfor o erro na aproximao do clculo da integral pela Regra do Trapzio,
ento|ET| kba3
12n2 .
Obs.: O erro real pode ser menor que o erro estimado
Exemplo:
1. Calculexo1
x52 1xdx usando a Regra do Trapzio com a mxima preciso
da calculadora.
xo
x5fxdx h
2fx0 2fx1 fx2 fx3 fx4 fx5
n
5, a
1, b
2, h
ban
h 215 0. 2
x0 1, x1 1.2, x2 1.4,
x3 1.6, x4 1.8, x5 2
xo1
x52 1x dx
0.22 1
1 2 1
1.2
11.4
11.6
11.8
12
xo1
x52 1x dx
0.22
11 2 1
1.2
11.4
11.6
11.8
1
2
xo1
x52 1x dx 0.695634921 valor aprox
xo1
x52 1x dx ln 2 0.693147181 valor verdadeiro usando um software
0.6956349210.693 147 181 0.00248774 0.003 xo1
x52 1x dx 0.696 0.003
Resp.: 0.695634921
2. Estime o erro na aproximao do clculo da integral pela Regra do
Trapzio.|f x| kparaa x b, |ET|
kba3
12n2
fx 1x x1
f x 1x11 x2 1x2
f
x 2x21 2x3 2x3
x a 1 2x3
2
13 f
1 2
x b 2 2x3
2
23 f
2 0.25
k 2, b 2, a 1, n 5
|ET
|
2213
1252
213
1225
1
625
1
150 0.00666666667
0.007
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Resp.: 0.007
3. Calculen para que a preciso seja de0.0001, isto ,|ET| 0.0001.
|ET| kba3
12n2 0.0001
kba3
12n2 0.00012213
12n2 0.0001
2
12n2
110000
1
6n2
110000
6n2 10000
n2 100006
n 100006 40. 824829
Resp.:|ET| 0.0001 n 41.|ET| 0.001
10006 13
|ET| 0.01 1006 5
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Exerccios
1. Calcule0
1ex
2dxusando a Regra do Trapzio com n5 e mxima preciso
da calculadora.
Soluo
h 105 0. 2x0 0
x1 0. 2
x2 0. 22 0. 4x3 0. 23 0. 6x4 0. 24 0. 8x5 0. 25 1. 0h2
0.22 0. 1
xo0
x51ex
2dx 0. 1 e0
22 e0.2
2e0.4
2e0.6
2e0.8
2e1
2 1. 48065457
Resp.:xo0
x51ex
2dx 1. 48065457 (pela Regra do Trapzio)
2. Estime o erro na aproximao do clculo da integral pela Regra do
Trapzio.
|f x| kparaa x b, |ET| kba3
12n2
|f x| kddxex
2 2xex2d
dx2xex
2 2ex
24x2ex
2 2ex
22x2 1
2ex22x2 1 kpara0 x 1
2e02202 1 2. 0
2e12212 1 6e
|ET| kba3
12n2
6e103
1252 0. 054 365 636 6 0.06
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Atividade 4Bim 08/11/2012E l e t r n i c a
Nome RA
Nome RA
Nome RAGrupos de dois ou trs no mximo, isto , duplas ou trios.
1. Calcular 11,2
01,0
dxxe x pela Regra do Trapzio, dividindo a intervalo dado em 5 partes iguais
e utilizando aritmtica arredondada de ponto fixo com 4 casas decimais:
)}()]()()()([2)({2
)( 132100
nn
xb
xa
xfxfxfxfxfxfh
dxxfn
++++++
=
= e n
abh
=
a) Calcule h Resp.: _______=h
b) Preencha a tabela abaixo (arit. arred. de ponto fixo com 4 casas decimais)
0xa= =
0,01
=1x =2x =3x 5xb= =
2,11xe
x
xexf x=)( =)( 0xf =)( 1xf =)( 2xf =)( 3xf =)( 4xf =)( 5xf
c) Calcule:
==++++
=
1
1
1321 )()()()()(n
i
in xfxfxfxfxf
==++++
=
1
1
1321 )(2)]()()()([2n
i
in xfxfxfxfxf
=++
=
)()(2)( )
1
1
0 n
n
i
i xfxfxf
)}()]()()()([2)({2
13210 nn xfxfxfxfxfxfh
++++++ =
Resp.: _______________________
11,2
01,0
dxxe x .
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2. Supondo que a tabela abaixo seja resultado de algum experimento.
x 0 2 4 6 8 10
)(xf 0 3,5 4,7 4,3 5,8 6,1
Determine a reta bxaxg +=)( que melhor se ajusta a esta funo segundo o Mtodo dos
Mnimos Quadrados e calcule o valor da funo para 12=x , trabalhando com aritmtica
arredondada de ponto fixo com 4 casa decimais.
Vetores de 6R
11=g xg =2 )(xfy = 11, gg 21, gg
12, gg
22, gg
yg ,1
yg ,2
a) Escreva o Sistema Normal na forma matricial:
Resp.:
=
b
a
b) Aplicar o mtodo de eliminao de Gauss para achar a, bEtapa Matriz X Vetor y Linha/operaes
0L1
L2
1
L1
L2L2 - ------L1
Resp.: =a __________ =b __________
c) Escrever a funo g(x)Resp.: xxg ____________________)( +=
d) Calcular )12(f
Resp.: )12(f
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3. Dada a tabela
x 0 0,1 0,2
)(xf 2,72 3,00 3,32
Calcule um valor aproximado de )165,0(f , utilizando o dispositivo prtico do Polinmio
Interpolador na Forma de Lagrange de 2 grau e uma aritmtica arredondada de ponto fixo com
seis casas decimais.
Dispositivo Prtico p/o Polinmio Interpolador na Forma de Lagrange
(grauj)
Dj )(j
xf jj
Dxf /)(
00xx 10 xx 20 xx 0D )( 0xf 00 /)( Dxf
101 xx 1xx 21 xx 1D )( 1xf 11 /)( Dxf
202 xx 12 xx 2xx 2D )( 2xf 22 /)( Dxf
NSxPxf = )()( 2
N:produto dosvalores da diagonalprincipal da matriz X
S:soma dos valores da colunaacima
))()(( 210 xxxxxxN = e S = 00 /)( Dxf + 11 /)( Dxf + 22 /)( Dxf
:jD produto dos valores da linha j
))()(( 201000 xxxxxxD = ))()(( 211011 xxxxxxD = ))()(( 211012 xxxxxxD =
Resp.: ._________________)165,0( f
Matriz X
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Integrao Numrica pela Regra de Simpson
Consiste em aproximar a curva y fxa cada par consecutivos de intervalos poruma parbola.
Vide figura na lousa:
a
b
fxdx x3 fx0 4fx1 2fx2 4fx3 2fx4 . . .2fxn2 4fxn1 fxn,
onden pare x ban
Exerccios resolvido
1. Aproximar o valor da integral1
21x dx usando a Regra de Simpson com preciso
mxima da calculadora en 10.
1
21x dx
2110
3 f1 4f1. 1 2f1. 2 4f1. 3 2f1. 4 4f1. 5
2f1. 6 4f1. 7 2f1. 8 4f1. 9 f2
1
21x dx
0.13 1
1 4 1
1.1 2 1
1.2 4 1
1.3 2 1
1.4 4 1
1.5
2 11.6
4 11.7
2 11.8
4 11.9
1
2
1
21x dx
0.13
11
41.1
21.2
41.3
21.4
41.5
21.6
41.7
21.8
41.9
1
2
1
21x dx 0. 693 150 231 .
Resp.: 1
21x dx 0.693150231 ou
1
21x dx 0. 693 150 230 7
Obs.:
1
21x dx 0.693147181 (clculo com uso do software SWP)
|0.693147181 0. 693 150 230 7| 0. 000 003 049 7
1
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Erro n a Regra de Simpson
Suponha que|f4x| kparaa x b.SeES o erro envolvido no uso da Regra de Simpson,
ento|ES| kba5
180n4
Exerccio resolvido
2. Estime o erro envolvido no exerccio anterior
usando a Regra de Simpson
.
fx 1xddx
1x
1
x2
ddx
1x2
2
x3
ddx 2x3 6x4
f4x ddx
6x4
24
x5
f4x 24x5
f41 2415 24
f42 2425 0.75
k 24
|ES| 24215
180104 0.00002
3.a Calcule o valor da integral definida0
1
e
x2
dx
usando a Regra de Simpson comn 10.
x 1010
0. 1
0
1
ex2dx 0.1
3
e024e0.1
22e0.2
24e0.3
2
2e0.424e0.5
22e0.6
2
4e0.722e0.8
24e0.9
2e1.0
2
0.1
3 e0
24e0.1
22e0.2
24e0.3
22e0.4
24e0.5
22e0.6
24e0.7
22e0.8
24e0.9
2e1.0
2
1. 462 681 4
0
1
ex2dx 1. 462 681 4 (Clculo com uso Regra de Simpson)
0
1
ex2dx 1. 46265175(Clculo com uso de software SWP)
2
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3.b Estime o erro envolvido nessa aproximao.
Soluo:
f1x ddxex
2 2xex
2
f2x ddx
2xex2 2ex
24x2ex
2
f3
x d
dx 2ex2
4x2ex2
12xex2
8x3ex2
f4x ddx
12xex28x3ex
2 12ex
248x2ex
216x4ex
2
f4x 4ex24x4 12x2 3
f40 12
f41 76e
k 76e
|ES| kba5
180n4
76e215
180104 0.000115 0.0002
Erro mximo0.000115 0.0002
Exerccio proposto
Idem ao 3.a e 3.b parax00
x101ex
2dx
3
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Gabarito P1 Mtodos Numricos Prod & Eletr/Tel
1. (vale 1,0 ponto) Considere uma mquina que opera no sistemaB 10,
t 3e e 5, 5e o conjunto dos nmeros reais G x R|m |x| M. Escreva
o menor e o maior nmero, em valor absoluto, representados nessa mquina e, a
seguir, escrevam e Mna base 10 utilizando aritmtica racional e representao
normal. A representao normalizada e dada por0, d1d2d3dtB e
Soluo:m 0, 1 105 106 0,000001 M 0,999 10 5 99900
2. (vale 1,0 ponto) Considere uma mquina que opera na base dois e
trabalha com trs algarismos significativos. Seja x 1 0,110 2 32 e
x2 0,111 2 32 escreva esses nmeros na base dez. E responda se nesta
mquina o nmero na base dez 4, 510 tem representao exata.
Soluo:Passando para a base dez: x 1 21 22 2 3 6e
x2 21 22 23 2 3 7
Passando para a base dois: 410 1002 e0, 510 0, 12, logo
4, 510 100,12, portanto no tem representao exata na mquina que trabalha
com base dois e trs algarismos significativos, pois este n tem quatro algarismos
significativos.
3. (vale 1,0 ponto) Represente os nmeros da tabela abaixo, em ponto
flutuante com cinco algarismos significativos, usando a base 10.
Soluo:
n
Representao
Normalizada
Truncada
Representao
Normalizada
Arredondada
Representao
Cientfica
Arredondada
Representao
Normal
Arredondada
2199954 0,21999 10 7 0,22000 10 7 2, 2000 10 6 2200000
4. (vale 1,0 ponto) Efetue as operaes indicadas em aritmtica arredondada
de ponto flutuante cuja base seja dez e o nmero de algarismos significativo seja
trs :4.81 0.0835 0.0987
Soluo:
4.81 0.0835 0.0987 0.4829885 0.483 Errado!
4.81 0.0835 4. 8935 4. 89
4. 89 0.0987 0.482643 0.483
4.81 0.0835 0.0987
4. 89 0.0987 0.483 Certo!
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5. (vale 3,0 pontos) Calculetg0, 7utilizando um polinmio de grau trs obtido
pela frmula de Maclaurinfx n0
fn0
n! xn utilizando aritmtica arredondada de
ponto flutuante com trs algarismos significativos; delimite o erro de truncamento
considerando verdadeirotg0, 7
0, 84229. E d a resposta sob a formatg0, 7 ____ ____.
Lembre-setgx tan2x 1 e un
nun1u
Soluo:tanx tg x
fx tanx f0 0
f
x tan2x 1 f
0 1
f
x 2tan3x 2 tanx f
0 0
f
x 6tan4x 8 tan2x 2 f
0 2
fx f00
0! x0
f0
1! x1
f0
2! x2
f0
3! x3
tanx 00!
x 0 11!
x 1 02!
x 2 23!
x 3
tanx x 2321
x 3
tanx x 2321
x 3
tanx x x3
3
P3x x 1
3x 3
P30, 7 0, 7 1
30, 73 0,814
trunc |tan0,7 P30, 7| 0,842 0,814 0,028 0,03
Resp.: tg0, 7 0,814 0,03
6. (vale 2,0 pontos(Elet) e 3,0(Prod)) Isolar a(s) razes da equao
2, 5 xex 4 0pelo Mtodo do Grfico Completo, obtm-se a figura abaixo.
-3.0 -2.5 -2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
y
Justifique todos os resultados
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Soluo:
a) Isole a raiz da equao em um intervalo de amplitude 0,5 e destaque no
grfico.
Resp.: pelo grfico2. 5 x 3. 0
b) D a equao da assntota e esboce seu grfico com uma linha tracejada.soluo:
x
x
30
4
3
2
10
1
2
3
4
40
x
fx 2. 5 xex 4
fx y 4. 0
4. 0
4. 12
4. 27
4. 61
5. 296. 5
8. 08
7. 69
6. 04
77. 90
8. 83 10 18
fx y
limx2. 5 xex 4 4, portanto a equao da assntota horizontal dadapela equaoy 4.
Resp.: limx2. 5 xex 4 4 y 4
c) Ache o valor das coordenadas dos pontos de mximo e de inflexo e
destaque no grfico;
soluo:
c.1) x o ponto de mximo se f
x 0
fx 2. 5 xex 4
f
x ddx2. 5 xex 4 f
x 1. 5 xex
1. 5 xex
0 x 1. 5 f1. 5 8. 45Coordenadas do ponto de mximo: x,fx 1.5,f1. 5 1.5,8.45
e
c.2) x ponto de inflexo se f
x 0
f
x ddx1. 5 xex f
x 0. 5 xex
0. 5 xex 0 x 0. 5 f0. 5 7. 297443
Coordenadas do ponto de inflexo: x,fx 0.5,f0. 5 0.5,7.3
Resp.: Coordenadas do ponto de mximo 1.5,f1. 5 1.5,8.45
Coordenadas do ponto de inflexo 0.5,f0. 5 0.5,7.3
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d) Destaque no grfico o ponto de interseo da curva com o eixo dos y.
Soluo:
Ponto de interseo com o eixo y se d quando x0.
x 0 y f0 2. 5 0e0 4 6. 5
x,fx 0,f0
0.5,6.5Resp.: Ponto de interseo com o eixo y 0,f0 0.5,6.5
Resultados acima destacados no grfico dado.
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6.1 S Para o 3B Elet/Tel.
(vale 1,0 ponto) Aplique o mtodo grfico 2para isolar a(s) raz(es) x da equao
1 xex 4 0. Segx 1 x , ento achehx, preencha a tabela abaixo e
esboce os grficos de g e h e destaque a(s) raz(es)x no intervalo dex Rdado
pela tabela.
Soluo:
1 xex 4 0 1 xex 4
gx
1 x
hx
4ex
gx 1 x e hx 4ex 4ex
A raizx isolada est entrex 1. 5e x 2, conforme mostram a tabela e a figura
acima.
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Gabarito da P2 de Mtodos Numricos- 3B Tel/Elet Noturno
1A.(Vale 1,25) Assinale com Eem qual dos intervalos existe ao menos uma raizpara a equaox 3 3x 1 0e justifique sua resposta com base no teorema deBolzano ou do valor intermedirio que afirma que se for possivel, sem sair dodomnio def, variar continuamente o argumento x entrea e b, ento tambm os
valoresfxvariam continuamente defaa fb. E, portanto sef contnua ema, be fafb 0, ento existe ao menos uma raiz ou zero de fno intervaloa, b,isto x a, btal quefx 0.
a) 2,1 f2 13 f1 3
b) 0, 2 f0 1 f2 15
c) 0, 1 f0 1. 0 f1 5. 0
d) 1/2,1/4 E f1/2 0. 625 f1/4 0.23438
e) 1/10,1/10 f1/10 0.699 f1/10 1. 30
Resp.:d) 1/2,1/4 E, poisf contnua em1/2,1/4ef1/2f1/4 0, ento existe ao menos uma raiz ou zero de fno intervalo
1/2,1/4, segundo o teorema de Bolzano ou do valor intermedirio.
1B. (Vale 1,25) Considere fx x3 3x 1, em quex . A fim de que sejamobtidas as razes da funof, vrios mtodos numricos podem ser aplicados,sendo a maioria deles iterativos, o que exige uma primeira aproximao para cadaraiz que se deseje determinar e para o intervalo em que ela deva ser encontrada.Suponha que se esteja aplicando o mtodo da bisseco para determinao deuma raiz aproximada para a funofdescrita acima e que, para isso sejanecessria a determinao de um intervalo de busca inicial I, bem como umaprimeira aproximao para a raiz x o de f que se encontra em I. Nesse sentido, qualdas opes a seguir apresenta uma aproximao correta de I e a aproximao x o
associada, de acordo com o mtodo da bisseco? Justifique sua escolha..a) I 1,1/2 xo 3/4 f1 0 f1/2 0 f no troca desinais
b) I 2/5,3/10 xo 7/20 f2/5 0 f3/10 0 f troca desinais
c) I 1/2,2/5 xo 9/20 f1/2 0 f2/5 0 fno troca desinais
d) I 3/10,1/5 xo 1/2 f3/10 0 f1/5 0 f no troca desinais
e) I 1, 0 xo 1/4 f1 0 f0 0 f troca desinais
x ocomo na aula xocomo no enunciado
aobo2
xo 2/53/10
2
720
x o ou xo
102
12
x o
Resp.: A troca de sinal ocorre entre os valores x 2/5e x 3/10e o pontomdio x o 7/20ou entrex 1e x 0, mas ponto mdio x o 1/2e no
xo 1/4. Portanto, a alternativa correta b) I 2/5,3/10 xo 7/20.
1
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2. (Vale 2.5) Dado o sistema linear
2x y 2z 1/3
3x y 7z 0
5x 2y 4z 49/3
a) Escreva-o na forma matricial. Resp:2 1 23 1 7
5 2 4
xy
z
1/30
49/3
b) Aplique o Mtodo de Eliminao de Gauss
Contas da Etapa um:
1 32
1 52
7 32
2 4 0 32
13
12
L2 L2 3
2L 1
2 52
1 92
4 52
2 1 493
52
13
31
2 L3 L3
52
L 1
Contas da Etapa dois:
1
9
54
41
5
31
2
9
5
1
2
82
5 L3
L3
9
5L 2
c) Ache o determinante da matriz dos coeficientes pelo mtodo de eliminao deGauss.
Resp.: detA 102 52
415
41
d) Ache os valores dex,y e zpelo mtodo de eliminao de Gauss e utilizandoartimtica racional.
Soluo: resolvendo o sistema obtm-se
2x y 2z 1/3
0x 5/2y 4z 1/2
0x 0y 41/5z 82/5
Resp.:
x
y
z
11
3
3
2
2
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3.(vale 2,0) Aplicando o Mtodo da Dicotomia e utilizando aritmticaarredondada de ponto fixo com trs casas decimais, determine um valoraproximado da raiz x da equao1 x lnx 1, 5 0, sabendo-se que existe aomenos uma raiz no intervalo aberto 1/10 , 9/5 , interrompendo o algortmo
quando da ocorrncia de uma das duas condies: (i) erro mximo for menor ou
igual a0,001ou (ii) 8 iterao. D a resposta sob a forma x x
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 2.8 3.0
-3
-2
-1
0
1
2
3
x
y
3
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4.(vale 2,5) Aplicando o Mtodo de Newton-Raphson e utilizando aritmticaarredondada de ponto fixo com cinco casas decimais, determine um valoraproximado
x da raiz x da funofx 1 x lnx 1, 5, sabendo-se que existe ao
menos uma raiz no intervalo aberto 2, 5 , 2, 6 . Ache a derivada defe d a
resposta sob a formax x
Mtodo de Newton-Raphson: xn1 xn fxn
f xn , f xn 0
Soluo: Clculo da derivada defou Clculo def
ddx
1 x lnx 1. 5 1 x lnx 1. 5
1 x lnx 1 x
lnx 1 x lnx
1 x lnx 1 lnx 1 x 1x lnx 1x
x 1
x lnx 1
f
x 1xx lnx ouf
x 1x lnx 1
Ponto fixo com 5 casas decimais
Ponto flutuante com 5 algarismos significativos
4
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NOMEP3
RA
Mtodos Numricos Aplicados EngenhariaProd.: 4 B ( )Elet.: 3B ( )
Noturno Jos Carlos __/09/2014
Reviso e visto do aluno Obs.: Nota
INSTRUES: Prova individual, sem consulta e com calculadora. Desligue e guarde os celulares. Resoluo nosespaos reservados, deixando claro o desenvolvimento/resoluo das questes. No permitido o emprstimo dematerial. Tempo de prova: 90 minutos no mximo.
Boa Prova
1. Estimar, com base na tabela dada, o valor do 10log por um polinmio interpolador de 1grau, aplicando o dispositivo prtico para o polinmio interpolador de Lagrange e umaaritmtica arredondada com trs casas decimais.
jx 8 18
)log( jx 0,903 1, 255
.Grau
jDj
Produto da linha jjj Dxf /)(
j=00xx 10 xx 20 xx 0D 00 /)( Dxf
j=101 xx 1xx 21 xx 1D 11 /)( Dxf
j=2 02 xx
12 xx 2xx 2D 22 /)( Dxf
N:produto dosvalores da diagonalprincipal da matriz X
S:soma dos valores dacoluna acima
Matriz X
SNxpxf )()( 2
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2. Encontrar o polinmio de grau 2 que interpola a funo jxf nos pontos da tabela seguinte
jx 4 0 8
jxf 27 2 96
Utilizando o dispositivo prtico para o polinmio interpolador de Lagrange e uma aritmticaracional.
Continue no verso.
Grauj
Dj Produto da linha j
jj Dxf /)(
j=00xx 10 xx 20 xx 0D 00 /)( Dxf
j=101 xx 1xx 21 xx 1D 11 /)( Dxf
j=2 02 xx
12 xx 2xx 2D 22 /)( Dxf
N:produto dosvalores da diagonalprincipal da matriz X
S:soma dos valores dacoluna acima
Matriz X
SNxpxf )()( 2
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3. Aplique o Mtodo da Eliminao de Gauss, trabalhe com aritmtica arredondada de pontoflutuante com trs algarismos significativos e pivotao (ou condensao pivotal) no
sistema linear dado sob a forma bAx ,
6
1
4
226
313
141
z
y
x
e, a seguir,
a) Resolva o sistema;b) Calcule o determinante da matriz A ;
c) Determine o termo da matriz 1A , inversa de A , cuja posio a mesma do 631a .Etapa Linha/operaes
Continue no verso.
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1
9383,0
85,02,0
2
R
xy
9592,0
0536,04214,02286,0
2
2
R
xxy
NOMEP4
RA
Mtodos Numricos Aplicados Engenharia
3 B Elet Prof.: Jos Carlos Noturno 28/11/2014
Reviso e visto do aluno Obs.: Nota
INSTRUES:1. Desligar o(s) celular(es).2. Identificar a prova com o Nome e o RA.3. Prova individual e sem consulta.
4. Sobre a carteira s calculadora, borracha, lpis ou caneta.5. No pode emprestar e nem pedir emprestado.6. Questo sem justificativa coerente no ser considerada.
Boa Prova
Q1. (Vale 2,0) Suponha que a tabela seja resultado de algum experimento e que o grfico def da tabela dado pela Srie1.
x 0 2 4 6 8
)(xf 0 2 2 5 7
Abaixo seguem os grficos def, direita, ajustados por uma reta e esquerda ajustado por uma parbola.
Sabe-se que o R varia entre 0 e 1, indicando, em percentagem, o quanto o modelo (reta ou parbola)
consegue explicar os valores observados. Quanto maior o R, mais explicativo modelo, isto , melhor ele
se ajusta tabela.
Por exemplo, se o R de um modelo 0,8234, isto significa que 82,34% da varivel dependente xfy consegue ser explicada pelo modelo.
Estime a melhor aproximao paraf (10),com base nos dois pargrafos anteriores, usando a mxima
preciso da calculadora.
Soluo:
Resposta: ____________10 f
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2
Q2. (Vale 2,0) Supondo que a tabela abaixo seja resultado de algum experimento.
x 0 2 4 6 8
)(xf 1 2 3 6 8
a)Encontre a reta bxaxg )( que melhor se ajusta a esta funof, segundo o Mtodo dos Mnimos
Quadrado, usando uma aritmtica arredondada de ponto fixo com quatro casas decimais; e aplique oMtodo de Eliminao de Gauss para resolver o sistema normal obtido.
b)
Estime o valor da funof para 10x .
Soluo:11g xg 2 )(xfy
Etapa Matriz X Vetor y Linha/operaes
0
1
Resposta:a) xgxf _________________; Resposta:b) 1010 gf _________________
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Q3. (Vale 2,0)A) Calcule a rea da regio R sombreada, no grfico ao lado,
usando a Regra do Trapzio, com 5n e uma aritmticaarredondada de ponto fixo com quatro casas decimais.
Ateno: calculadora em radianos e )cos()( 2 xxxf para
31 x .
B) Sabendo que
2325 x
1sen
x
2
x
1cos
4
xxf delimite
o erro mximo.
Soluo:Complete esta tabela
0x 1x 2x 3x 4x 5x
2x
)cos( 2x
x )cos( 2x
)(xf )( 0xf )( 1xf )( 2xf )( 3xf )( 4xf )( 5xf
Calcule
h =
2
h=
Resp.: A) _______________________)cos(3
1
25
0
x
x
dxxxA
B) _________TE
)]()()()([ 1321 nxfxfxfxf =
)]()()()([2 1321 nxfxfxfxf =
)()]()()()([2)( 13210 nn xfxfxfxfxfxf =
)}()]()()()([2)({2
13210 nn xfxfxfxfxfxfh
=
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Q4. (Vale 2,0)
A)Calcular a rea da regio R, sob a curva xexf )( para
25,0 x , aplicando a Regra do Trapzio com 6n e
usando a mxima preciso da calculadora.
B) Encontre n para que o erro, aplicando a Regra do Trapzio,
no clculo de
0,2
5,0
6
0
x
x
x dxeA seja menor que 0,001, isto ,
tenha preciso de 0,001.
Resp.: _______________________0,2
5,0
6
0
x
x
xdxeA
B) ____n garante a preciso desejada.
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Q5. (Vale 2,0)
A)Calcular a rea da regio R, sob a
curva xxf ln)( para 41 x , aplicando a Regra do
Trapzio com n=6 e usando a mxima preciso da
calculadora.
B) Delimitar o erro mximo.
Resp.: _______________________ln4
1
6
0
x
xdxxA
B) _________SE
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Mtodo dos Mnimos Quadrados
Na regresso linear, o objetivo ser aproximar f
por uma funo gda famlia xbaxg )( .
Sistema Normal sob a forma yXa : Se 11g ,
xg 2 e )(xfy so vetores denR , cada
somatrio pode ser expresso como um produto
escalar em nR e o sistema normal pode ser escrito
assim
yg
yg
b
a
gggg
gggg
,
,
,,
,,
2
1
2212
2111, onde
, representa o produto escalar entre os
vetores ige y .
Na regresso polinomial do 2 grau:
2)( xcxbaxg e os vetores de nR so
11g , xg 2 ,2
3 xg e )(xfy e o Sistema
Normal sob a forma yXa dado por
yg
yg
yg
c
b
a
gggggg
gggggg
gggggg
,
,
,
,,,
,,,
,,,
3
2
1
332313
322212
312111
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