Matemática

Funções1

Capítulo 1 Função

Conexões

A aplicação desse jogo ajuda a desenvolver as habilidades de leitura e escrita de pares ordenados. É possível jogar em duplas ou realizar alguma atividade na lousa sob a coordenação do professor.

Exercícios complementares

13. b

y0 c a b d x

14. Lembre-se de que o hidroavião pode ficar em uma das seguintes posições:

Sabendo que uma das partes do hidroavião se encontra em (D; 12), as quadrículas com um × são as possíveis posições das demais partes.

A B C D E F G H I J K L M N O A B C D E F G H I J K L M N O 15 14 13 12 11 10 987654321 15 14 13 12 11 10 987654321 ××× × × × × × × × ××

Portanto, se o jogador atirar em (B; 12), (C; 11), (C; 12), (C; 13), (D; 10), (D; 11), (D; 13), (D; 14), (E; 11), (E; 12), (E; 13) ou (F; 12), poderá acertar a embarcação inimiga.

15. a) f f f f 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 ⋅ ⋅ ( ) = ( ) + ( ) + ( ) = 1 + 1 + 1 = = 3 s f(3) = 3

b) f(3 ⋅ 3 ⋅ 3) = f(3) + f(3) = 3 + 3 + 3 = 9 s f(27) = 9

c) f(1 ⋅ 1 ⋅ 1) = f(1) + f(1) + f(1) s f (1) = 3f(1) s 2f(1) = 0 s

f(1) = 0 16. a) –1A B 0 0 12 12

É função. Cada elemento do conjunto de partida das flechas associa- -se a um único elemento no conjunto de chegada das flechas. b) –1A B 012 –1 012

É função. Cada elemento do conjunto de partida das flechas associa- -se a um único elemento no conjunto de chegada das flechas.

c) –1A B 012 –1 12

Não é função. 0 3 A não se associa a um elemento em B. d) –1A B 012 –1 012

Não é função. 2 3 A associa-se a dois elementos no con-junto B.

2e) A B –6 –5 –4 –3 –223456 49 16 25 36

Não é função. Cada elemento de A associa-se a dois elemen-tos em B.

f) 4A B 9 16 36 234 25 56

É função.

g) 4A B 9 16 36 25 141 91 16 1 25 1 36

É função.

29. a) Não é função, pois há elementos com mais de uma imagem.

b) É função. D = [0; 5] e Im = [0; 5] c) Não é função, pois há elementos com mais de uma imagem. d) Não é função, pois há elementos com mais de uma imagem.

30. a) D = ®b) x – 3 > 0 s x > 3

∴ D = {x 3 ® | x > 3}

c) x – 2 0 ≠ s x 2 ≠

∴ D = {x 3 ® | x 2} ou D = ≠ ® – {2}

d) D = {x 3 ® | x > 0} ou D = ®*+ e) D = ®f) x + 5 > 0 s x > –5

∴ D = {x 3 ® | x > –5}

g) x – 1 0 ≠ s x 1 ≠

∴ D = ® – {1} ou D = {x 3 ® | x 1} ≠

31. Determinação do conjunto domínio da função: – (x2 – 2)2 > 0 (x2 – 2)2 < 0 s

s (x2 – 2)2 = 0 s

s x2 – 2 = 0 s x = ±2

∴ Df = 22 ; – { } Para x = 2:

f 2 ( ) = 2 – 2 0 + = 0 Para x = – 2

f 2 ( ) = 2 + 2 + 0 = 2 2

∴ Imf = 02 2 ; {}

y0 x 2 2 22 2 –

32. a

Fora da promoção, o casal pagaria por 7 dias 7 ⋅ 150 =

1.050 reais. Com a promoção, o valor a ser pago seria 3 ⋅ 150 + 130 + 110 + + 3 ⋅ 90 = 960 reais. Assim, um casal que

aderir ao pacote promocional fará uma economia de 1.050 – 960 = 90 reais.

Tarefa proposta

1. A × B = {(–1; 0); (–1; 1); (1; 0); (1; 1); (2; 0); (2; 1)}

–1A B 12 01

B0 A –1 1 1 2

2. d Sendo n(A × B) = n(A) á n(B) = 15, teremos um dos conjuntos com 1 elemento e o outro com 15, ou um dos conjuntos com 3 elementos e o outro com 5. De uma forma ou de outra, eles terão números de elementos diferentes e, portanto, serão conjuntos diferentes. 3. Para n = 13, temos:

d(13) = 13 3 13 2 2 − ⋅ = 169 39 2 = 65 diagonais −

Para um polígono convexo de (n + 1) lados, temos: d(n + 1) = n n + () + − () 1312 2 s

s d(n + 1) = nn n 2 21 33 2 + + − −

∴ d(n + 1) = nn 2 2 2 − −

34. Se C 2 3 3 x y ; = P(–1; 2x + y), então: −

2 3 1 2 3 3 1 3 x y x y y y = + = = − − − − − − − s

s –y – 3y = –12 s y = 3 e x = 0

∴ C(–1; 3) Dessa forma, segue, no plano cartesiano:

D A C B 3 4

Assim: xb = 4, yb = 3, D(–1; –1) e D’(–1; 1). Portanto, a soma das coordenadas de D’ é igual a 0.

5. Sendo A = {a; e; i; o; u} e B = {1; 3; 5; 7; 9; 11; 13; 15; 17}, temos:

n(A) = 5 e n(B) = 9 n(A × B) = n(A) á n(B) = 5 á 9 =

45 A instituição poderá ter, no

máximo, 45 objetos relacionados.

6. a) A × B = {(1; 3); (1; 5); (2; 3); (2; 5); (3; 3); (3; 5)}

1A B 23 35 B A 1 2 3 0 35

b) B × A = {(3; 1); (3; 2); (3; 3); (5; 1); (5; 2); (5; 3)}

123 35 A B A B 3 5 0 321

c) A2 = {(1; 1); (1; 2); (1; 3); (2; 1); (2; 2); (2; 3); (3; 1); (3; 2); (3; 3)}

123 1A A 23 A B 1 2 3 0 321

7. b n(A × B) = n(A) á n(B) = 2m á 2n =

2m + n

8. c 0 3214 –2 –1 0

9. e S = 5 28 4 p + = 41 s 5p + 28 = 164 s 5p = 136

∴ p = 27,2 10. Sim, pois, mesmo sem conhecermos a quantidade de elementos do conjunto B, a relação de A em B é uma função — todos os elementos do conjunto A têm imagem em B e, para cada um deles, existe uma única imagem.

A B528 2436

11. c

f(1 + e) = f(1) ⋅ f(e) s

s f(1 + e) = A ⋅ B s

s f(1 + (1 + e)) = f(1) ⋅ f(1 +

e) s

s f(2 + e) = A ⋅ A ⋅ B ∴ f(2 + e) = A2 ⋅ B 12. b O enunciado nos dá três situações: I. Em um quadrado, são usados quatro canudos. II. Para formar um segundo quadrado, é aproveitado um lado já existente, e são adicionados três novos canudos, formando o segundo quadrado. III. Mais uma vez é aproveitado um lado já existente, e assim três novos canudos formam mais um quadrado. Portanto, serão usados três canudos por quadrado e mais um por causa do quadrado inicial. C = 3Q + 1

13. a) IMC = massa (altura)2

f(m) = mH2

b) f(1,70) = 100 1 70 100 2 89 34 60 2 , , , = ,

IMC = 34,6 s Obesidade de grau 1 c) 24 = 76 76 24 76 24 1 78 2 2 H H H H , s s s = = s m

14. c De acordo com a instrução do boleto, e sendo M(x)

o valor em reais da mensalidade a ser paga e x o número de dias em atraso, então devemos ter M(x) = 500 + 10 + 0,4x, com x > 0. Logo: M(x) = 510 + 0,4x

15. a Para cada 250 g de sanduíche, temos 500 calorias;

portanto, para cada x g de sanduíche, temos 2x calorias. Para cada 200 g de batatas, temos 560 calorias; portanto, para cada y g de batatas, temos 2,8y calorias. Com x g de sanduíche e y g de batatas, temos a condição: 2x + 2,8y = 462

16. a) Para que o programa seja executado: x > 0 b) x = 0 • 1o passo: 0 – 1 = –1 2o passo: –1 > 1 (Não.) 3o passo: (0 + 2) 13 = 2 13 = 2 3 • x = 4 1o passo: 4 – 1 = 1 2o passo: 1 > 1 (Não.)

3o passo: (4 + 2) 13 = 6 3 •x = 9 1o passo: 9 – 1 = 2 2o passo: 2 > 1 (Sim.)

3o passo: 2 ⋅ 9–2 = 2 81

17. c f (2) = f (1 + 1) = f (1) + f (1) = 1 s f (1) = 12 f (3) = f (2 + 1) = f (2) + f (1) s f (3) = 32

f (4) = f (3 + 1) = f (3) + f (1) s f (4) = 2

f (5) = f (4 + 1) = f (4) + f (1) s f (5) = 52

18. a O carrinho de rolimã apresenta, no início, movimento

uniformemente variado e, ao final, movimento uniforme. Dessa forma, os gráficos I e II melhor representam, respectivamente, a posição e a velocidade em função do tempo de maior movi-mento do carrinho.

19. D = [– 6; –2] 5 [4; 9] e Im = [1; 11] 20. x 0 ≠x2 – 4 0 ≠ s x 2 e x –2 ≠ ≠x – 1 > 0 s x > 1

x 2 1

∴ D = {x 3 ® | x > 1 e x 2} ≠

21.

x f(x)

–3 –1013

(–3)2 – 3 ⋅ (–3) = 9 + 9 = 18

(–1)2 – 3 ⋅ (–1) = 1 + 3 = 4

02 – 3 ⋅ 0 = 0

12 – 3 ⋅ 1 = 1 – 3 = –2

32 – 3 ⋅ 3 = 9 – 9 = 0