18233410 indice horario dos transform adores de potencia

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A. A. A. C. Barrias

Índices Horários dos Transformadores de Potência

Símbolos de Ligação dos Transformadores de Potência

Enrolamentos de Alta e Baixa Tensão dos Transformadores de Potência

Introdução

Penso ser útil divulgar alguns temas que utilizei ao longo da minha actividade profissional.

Ao tomar a iniciativa de divulgar as minhas “ferramentas de trabalho” tive necessidade de actualizar alguns conceitos, corrigir vários “erros de palmatória” e resumir os “Meus (infindáveis) Apontamentos”.

Faço notar que a noção de “Diferença de Fase”, entre duas grandezas alternadas sinusoidais, ainda hoje continua a ser designada, impropriamente, por “Desfasamento”, “Esfasamento”, à revelia da Publicação 375, da CEI, 1ª edição, 1972.

Também, faço notar que utilizei a noção de tensões induzidas (não f.e.m. induzidas) nos enrolamentos dos Transformadores de Potência (TPs).

O uso da unidade: º30h1 −⇔+ simplifica, a meu ver, o estudo dos “Índices Horários” dos TPs.

Há, ainda, pessoas que identificam “Terminais Homólogos” com “Terminais com a mesma Polaridade”.

Como poderão constatar:

“Os terminais homólogos têm a mesma polaridade” nos TPs: Dd0, Dz0, Yy0, Dy1, Yd1, Yz1, Dd2, Dz2, Dd10, Dz10, Dy11, Yd11 e Yz11.

“Os terminais homólogos têm polaridade oposta” nos TPs: Dd4, Dz4, Dy5, Yd5, Yz5, Dd6, Dz6, Yy6, Dy7,Yd7, Yz7, Dd8 e Dz8.

Na definição do “Factor de Potência”, )(cos ϕ , o “eixo de referência”, é o eixo das correntes (grandeza escalar).

Na definição da potência aparente, )jQPS( += , em “Números Complexos”, o “eixo de referência”, é o eixo da “Potência Activa, Real ou Efectiva, P (W)”.

No estudo dos Índices Horários dos TPs, o “eixo de referência” é o eixo das “tensões entre neutro, n, (real ou fictício) e fase a” da BT”.

O “Fasor” representativo da “tensão entre neutro, N, (real ou fictício) e a fase A” da AT está (sempre) fixo: a “origem” no centro do relógio e a “extremidade” nas 12h (0h).

Faço votos para que este documento seja útil e agradeço, antecipadamente, os vossos comentários.

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1. Ângulo de dois “fasores”

Sejam:

ar

, Um “fasor” de origem O e extremidade A e, br

, um “fasor” de origem O e extremidade B:

O A

B

abθ

br

ar

Oar

A

B

baθ

br

abθ , É, por definição, o ângulo do “fasor” ar

(1º “fasor” enunciado) com o “fasor” br

(2º “fasor” enunciado),

isto é, abθ é o ângulo da rotação de centro O que leva a direcção do “fasor” br

(2º “fasor” enunciado) à

coincidência com a direcção do “fasor” ar

(1º “fasor” enunciado).

abθ , É um ângulo positivo uma vez que está orientado no sentido trigonométrico.

baθ , É, por definição, o ângulo do “fasor” br

(1º “fasor” enunciado) com o “fasor” ar

(2º “fasor” enunciado),

isto é, baθ é o ângulo da rotação de centro O que leva a direcção do “fasor” ar

(2º “fasor” enunciado) à

coincidência com a direcção do “fasor” br


baθ , É um ângulo negativo uma vez que está orientado no sentido horário.

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2. Diferença de fase

A diferença de fase, abθ , entre as duas grandezas alternadas sinusoidais: )t(cosA2a aδ+ω= e

)t(cosB2b bδ+ω= é dada por:

baab δδθ −=

Desde que A, B eωωωω sejam números positivos.

aδ , É o ângulo do “fasor” ar

(1º “fasor” enunciado) com o versor (positivo) do eixo das abcissas (2º “fasor”

enunciado), isto é, aδ é o ângulo da rotação de centro O que leva a direcção do versor do eixo das abcissas (2º

“fasor” enunciado) à coincidência com a direcção do “fasor” ar


bδ , É o ângulo do “fasor” br

(1º “fasor” enunciado) com o versor (positivo) do eixo das abcissas (2º “fasor”

enunciado), isto é, bδ é o ângulo da rotação de centro O que leva a direcção do versor do eixo das abcissas (2º

“fasor” enunciado) à coincidência com a direcção do “fasor” br


Logo, a diferença de fase, baab δδθ −= , entre as duas grandezas alternadas sinusoidais: )t(cosA2a aδ+ω=

e )t(cosB2b bδ+ω= é igual ao ângulo dos “fasores” ar

e br

, que as representam, e são enunciados por esta ordem.

ar

br

aδ bδ

abθ

baθ

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3.Nomenclatura das redes de AT e BT

A identificação dos condutores das linhas de Alta Tensão (AT) e de Baixa Tensão (BT) e dos "terminais homólogos" do Transformador de Potência (TP) está feita, respectivamente, segundo as sequências alfabéticas: { }C,B,A e { }c,b,a .

Na figura seguinte, apresentamos uma linha de AT e uma linha de BT interligadas por um TP.

Transformador

A

C

B

a

c

b

Sentido de Referência

unaunc unb

ubc

uab

uca

UNCUNBUNA

UCA

UBC

UAB

Barra de referência dos potênciais

É usual representar, “fasorialmente”, os sistemas trifásicos simétricos directos das tensões simples de AT: { }CNBNAN U,U,U e de BT: { }cnbnan u,u,u segundo a direcção das alturas de dois triângulos equiláteros e, os

sistemas trifásicos simétricos directos das tensões compostas de AT: { }CABCAB U,U,U e de BT: { }cabcab u,u,u segundo os lados dos mesmos triângulos equiláteros.

O "ponto de encontro” dos “fasores” representativos das três tensões simples é o "ponto neutro", real ou fictício, dos sistemas trifásicos simétricos directos das tensões simples de AT e BT, respectivamente, N e n.

Vamos, agora, apresentar os diagramas vectoriais das tensões de AT e BT, simples e compostas, sob a forma de “fasores” concorrentes nos "ponto P" e “ponto p”, respectivamente.

Notar que, estes pontos, P e p, não representam os pontos neutros, N e n, das redes de AT e BT.

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6h

BC

A

�

12h0h

1h

2h

3h

4h

5h7h

8h

9h

10h

11h

ABUCAU

BCU

ANU

BNUCNU

BC

A

�

12h0h1h

2h

3h

4h

5h6h

7h

8h

9h

10h

11h

ACU BAU

CBU

NAU

NBUNCU

UAN

A

C B

P

10h

11h

0h

1h

2h

3h

4 h

5h

6h

7h

8h

9h

ABU

BCU

ACU

CBU

CAUBAU

BNU

NAU

CNU

NBUNCU

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a

c b

0h

1h

2h

3h

4h

5h7h

8h

9h

10h

11h

p

6h

anu

bnu cnu

nau

nbuncu

bau cau

cbu

abuacu

bcu

bc

a

n

h12h01h

2h

3h

4h

5h

6h

7h

8h

9h

10h

11h

cauabu

bcu

bnu

anu

cnu

bc

a

n

h12h01h

2h

3h

4h

5h6h

7h

8h

9h

10h

11h

cbu

acu baunau

ncunbu

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3.1 Nomenclatura das tensões da rede de AT

h0UUNA ∠= : Tensão entre o ponto neutro N, real ou fictício, e o condutor da fase A da rede de AT.

h1U3UCA +∠= : Tensão entre o condutor da fase C e o condutor da fase A da rede de AT.

h2UUCN +∠= : Tensão entre o condutor da fase C e o ponto neutro N, real ou fictício, da rede de AT.

h3U3UCB +∠= : Tensão entre o condutor da fase C e o condutor da fase B da rede de AT.

h4UU NB +∠= : Tensão entre o ponto neutro N, real ou fictício, e o condutor da fase B da rede de AT.

h5U3UAB +∠= : Tensão entre o condutor da fase A e o condutor da fase B da rede de AT.

h6UU AN +∠= : Tensão entre o condutor da fase A e o ponto neutro N, real ou fictício, da rede de AT.

h7U3U AC +∠= : Tensão entre o condutor da fase A e o condutor da fase C da rede de AT.

h8UU NC +∠= : Tensão entre o ponto neutro N, real ou fictício, e o condutor da fase C da rede de AT.

h9U3U BC +∠= : Tensão entre o condutor da fase B e o condutor da fase C da rede de AT.

h10UU BN +∠= : Tensão entre o condutor da fase B e o ponto neutro N, real ou fictício, da rede de AT.

h11U3U BA +∠= : Tensão entre o condutor da fase B e o condutor da fase A da rede de AT.

3.2 Nomenclatura das tensões da rede de BT

h0uu na ∠= : Tensão entre o ponto neutro n, real ou fictício, e o condutor da fase a da rede de BT.

h1u3u ca +∠= : Tensão entre o condutor da fase c e o condutor da fase a da rede de BT.

h2uu cn +∠= : Tensão entre o condutor da fase c e o ponto neutro n, real ou fictício, da rede de BT.

h3u3u cb +∠= : Tensão entre o condutor da fase c e o condutor da fase b da rede de BT.

h4uu nb +∠= : Tensão entre o ponto neutro n, real ou fictício, e o condutor da fase b da rede de BT.

h5u3u ab +∠= : Tensão entre o condutor da fase a e o condutor da fase b da rede de BT.

h6uu an +∠= : Tensão entre o condutor da fase a e o ponto neutro n, real ou fictício, da rede de BT.

h7u3u ac +∠= : Tensão entre o condutor da fase a e o condutor da fase c da rede de BT.

h8uu nc +∠= : Tensão entre o ponto neutro n, real ou fictício, e o condutor da fase c da rede de BT.

h9u3u bc +∠= : Tensão entre o condutor da fase b e o condutor da fase c da rede de BT.

h10uu bn +∠= : Tensão entre o condutor da fase b e o ponto neutro n, real ou fictício, da rede de BT.

h11u3u ba +∠= : Tensão entre o condutor da fase b e o condutor da fase a da rede de BT.

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4. Relação entre UMΦ , ESU e esu

Sejam:

ω : Velocidade angular ou pulsação das tensões ( 1srad −⋅ ).

UMΦ : Valor máximo do fluxo magnético útil, por fase, comum aos enrolamentos de AT e BT dos TPs (Wb).

1j2 −= : Unidade complexa (-).

ESU : Tensão induzida, por fase, entre a “entrada” ( E ) e a “saída” (S ) do enrolamento 1 de AT do TP (V).

EN : Número de espiras, por fase, dos enrolamentos de AT do TP (-).

esu : Tensão induzida, por fase, entre a “entrada” ( e ) e a “saída” (s ) do enrolamento 1 de BT do TP (V).

en : Número de espiras, por fase, dos enrolamentos de BT do TP (-).

Como sabemos:

UMEES N2

1jU Φ⋅ω⋅⋅⋅= .

UMees n2

1ju Φ⋅ω⋅⋅⋅= .

Pelo que:

(1) e

E

es

ES

n

N

u

U= .

5. Factor de um Enrolamento

A tensão entre o “ponto neutro N” (real ou fictício) e a “fase A” da Rede de AT, h0UU NA ∠= , relaciona-se

com a tensão entre a entrada (E) e a saída (S) do enrolamento de AT, ESU , dos TPs através do chamado “Factor

do Enrolamento”, EF .

O “Factor do Enrolamento”, EEE FF Θ+∠= (de um enrolamento de AT de um TP) é o “número complexo”

pelo qual devemos multiplicar o valor de ESU para obter NAU , isto é:

(2) EESENA UFU Θ+∠⋅= .

Do mesmo modo,

A tensão entre o “ponto neutro n” (real ou fictício) e a “fase a” da Rede de BT, h0uuna ∠= , relaciona-se com

a tensão entre a entrada (e) e a saída (s) do enrolamento de BT, esu , dos TPs através do chamado “Factor do

Enrolamento”, ef .

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O “Factor do Enrolamento”, eee ff θ+∠= (de um enrolamento de BT de um TP) é o “número complexo” pelo

qual devemos multiplicar o valor de esu para obter nau , isto é:

(3) enaees ufu θ+∠⋅= .

6. Relação entre NAU e nau

Dividindo, membro a membro, as equações (2) e (3), obtemos:

e

E

es

ES

e

E

na

NA

u

U

f

F

u

U

θ+∠

Θ+∠⋅= .

E, atendendo à relação (1), podemos escrever:

e

E

e

E

e

E

na

NA

n

N

f

F

u

U

θ+∠

Θ+∠⋅= .

Ou seja:

(4) eEnae

E

e

ENA u

n

N

f

FU θ−Θ+∠⋅⋅= .

Nos “enrolamentos em ziguezague”, cada “enrolamento parcial” tem 2

nn z

e = espiras e a expressão (4) passa a

ser: zEnaz

E

z

ENA u

2

nN

fF

U θ−Θ+∠⋅⋅= (para os TPs com enrolamentos em ziguezague na BT).

Ou seja:

(4’) zEnaz

E

z

ENA u

n

N

f

F2U θ−Θ∠⋅⋅⋅= .

7. Identificação (por Índices Horários) dos Condutores de Fase das Redes Trifásicas

Tradução (Adaptada) da Publicação C.E.I. 152, Primeira edição, 1963

7.1 Objectivo

Os índices horários afectados aos condutores de fase das redes trifásicas têm por objectivo permitir identificá-los na sua continuidade física e com as suas respectivas ligações, tomando por base de numeração a sequência

no tempo, a partir de uma origem arbitrária, das tensões que lhes são aplicadas.

A identificação dos condutores tem em conta as diferenças de fase fixas que podem ser introduzidas pela interposição de TPs com um dado símbolo de ligação; mas, não considera as diferenças de fase devidas às

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impedâncias das linhas e dos TPs, diferenças de fase variáveis com a distância ou com a carga e que nada têm a ver com a identificação dos condutores.

Portanto, o mesmo índice horário acompanha um condutor em toda a sua extensão e, também, a mudança de índice introduzida pela interposição de um TP, é expressa por um número fixo que apenas traduz a rotação de

fase produzida pelo TP na sua marcha em vazio.

7.2 Utilização

Os índices horários são utilizados, designadamente para:

Numa dada instalação, predeterminar as possibilidades de ligação dos conjuntos de condutores trifásicos pertencentes a redes já algures interligadas.

Predeterminar nesses conjuntos, os condutores a ligar dois a dois para efectuar a interligação desejada.

Em exploração, e particularmente nos casos de perturbações, facilitar o reconhecimento e a utilização das indicações fornecidas pelos aparelhos de medida e de protecção instalados nas diversas fases.

7.3 Bases de numeração

Cada condutor de uma rede ou de um conjunto de redes interligadas é afectado de um índice numérico igual ao de todos os outros condutores pertencentes à mesma fase da rede.

Só os condutores com o mesmo índice numérico podem ser ligados entre si.

O ângulo eléctrico da diferença de fase tomado para unidade de medida é (como na designação do Símbolo de Ligação de um TP) o ângulo de 30º que, num relógio, o ponteiro das horas percorre quando se move de uma dada hora para a hora seguinte.

Os índices horários possíveis são em número de doze e numerados de 1 a 12, ou eventualmente de 0 a 11:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11.

Nota: Escrever 0 (isto é: diferença de fase 0º) é equivalente a escrever 12 (isto é: diferença de fase 360º).

Em geral é indiferente escrever um ou o outro destes dois números. Todavia, há casos em que uns destes dois

números têm preferência sobre o outro. Por exemplo, impõem-se escolher o número 12 sempre que o número 0

ou a letra O já foram utilizados com um outro significado tal como o condutor neutro; por outro lado, sempre

que não há risco de qualquer ambiguidade, o número 0 pode ser o preferido. Neste texto utilizaremos a

notação 12 (0).

Os três condutores de um sistema trifásico têm pois os índices horários espaçados entre si de 4 unidades

(equivalente a 120º eléctricos), por exemplo:

0(12) -4-8 1-5-9 2-6-10 4-8-12(0) 5-9-1 6-10-2 7-11-3 8-12(0) -4 10-2-6 11-3-7

Um aumento do índice horário traduz um atraso da tensão aplicada: por exemplo, a tensão do condutor 8 atinge o seu valor máximo 120º eléctricos depois da tensão do condutor 4.

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Os condutores ligados aos terminais homólogos dos dois enrolamentos de um TP (terminais designados pela mesma letra de fase) são afectados de índices numéricos diferentes entre si de uma quantidade igual ao índice horário de ligação destes dois enrolamentos.

Se a sequência alfabética das letras dos terminais de AT for a mesma que a sequência de fases no tempo (isto é se os terminais A, B e C estiverem ligados a condutores de índices horários crescentes de 4 em 4), os índices horários dos condutores ligados aos terminais de BT do TP obtêm-se adicionando o índice horário do TP aos índices horários dos condutores ligados aos terminais homólogos de AT.

Assim, se os terminais A, B e C de um TP Yd11 estiverem ligados, respectivamente, aos condutores 0 (12) -4-8 da rede de AT, os condutores de BT ligados aos terminais a, b e c terão, respectivamente, os índices horários 11, 3 e 7 (adicionar 11 é equivalente a subtrair 1).

Inversamente, se a sequência alfabética das letras dos terminais de AT for oposta à Sequência de fases no

tempo (isto é se os terminais A, B e C estiverem ligados a condutores de índices horários decrescentes de 4 em 4), os índices horários dos condutores ligados aos terminais de BT do TP obtêm-se subtraindo o índice horário do TP aos índices horários dos condutores ligados aos terminais homólogos de AT.

Assim, se os terminais A, B e C de um TP Yd11 estiverem ligados, respectivamente, aos condutores 0 (12) -8-4 da rede de AT, os condutores de BT ligados aos terminais a, b e c terão, respectivamente, os índices horários 1, 9 e 5 (subtrair 11 é equivalente a adicionar 1).

Estes exemplos mostram que com um TP de índice horário 11 (e seria o mesmo com um TP de índice horário 1) podemos ligar uma rede 4-8-12 (0) a uma rede 1-5-9 ou a uma rede 3-7-11, desde que realizemos num dos dois casos uma inversão da sequência alfabética das letras das fases dos terminais em relação à sequência de

fases no tempo.

8. Índice Horário de um TP

É a hora indicada no mostrador de um relógio cujo ponteiro dos minutos está imóvel sobre as 0h (12h) e coincide com o “fasor” da tensão aplicada entre o ponto neutro (real ou fictício) e um terminal de linha do enrolamento de AT e, o ponteiro das horas, coincide com o “fasor” da tensão aplicada entre o ponto neutro (real ou fictício) e o terminal de linha homólogo do enrolamento de BT (ou de tensão intermédia, caso exista).

A Publicação CEI-76, segunda edição, 1993, contempla, para os TPs, os 10 (dez) “índices horários" seguintes:

0, 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 10 e 11.

Nota: A “diferença de fase” de um TP é expressa por um índice horário.

Então, o “Índice Horário”, i, de um TP” (com EΘ e eθ expressos em graus) é dado pela expressão seguinte:

º30º30i eE θ

−Θ

+= .

Como º30h1 −⇔+ , podemos escrever (com EΘ e eθ expressos em horas):

h1h1i Ee Θ

−θ

+= .

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9. Enrolamentos de AT dos TPs

Os enrolamentos de AT dos TPs, considerados como receptores de energia, normalizados pela CEI-76-1, 2ª edição, 1993, são: 5D , 6Y e 7D .

9.1 “Enrolamento D5 ”

É o enrolamento da AT dos TPs: Dd0 , Dz0 , Dd4 , Dz4 , Dy5 , Dd6 , Dz6 , Dd10 , Dz10 e Dy11.

É um “enrolamento trifásico”, em triângulo, com DE NN = espiras. O “enrolamento de fase” da “coluna 1” está

submetido à tensão composta 5hU3UU150º-U3UU ABD5ABD5 +∠⋅==⇔∠⋅== .

O factor deste enrolamento é: 5h3

1F150º

3

1F D5D5 −∠=⇔+∠= .

9.2 “Enrolamento Y6 ”

É o enrolamento da AT dos TPs: Yy0 , Yd1, Yz1 , Yd5 , Yz5 , Yy6 , Yd7 , Yz7 , Yd11 e Yz11 .

É um “enrolamento trifásico”, em estrela, com YE NN = espiras. O “enrolamento de fase” da “coluna 1” está

submetido à tensão simples 6hUUU180º-UUU ANYANY +∠==⇔∠== .

O factor deste enrolamento é: 6h1F180º1F Y6Y6 −∠=⇔+∠= .

9.3 “Enrolamento D7 ”

É o enrolamento da AT dos TPs: Dy1, Dd2 , Dz2 , Dy7 , Dd8 e Dz8 .

É um “enrolamento trifásico”, em triângulo, com DE NN = espiras. O “enrolamento de fase” da “coluna 1” está

submetido à tensão composta 7hU3UU210º-U3UU ACD7ACD7 +∠⋅==⇔∠⋅== .


1F210º

3

1F D7D7 −∠=⇔+∠= .

10 Enrolamentos de BT dos TPs

Os enrolamentos de BT dos TPs, considerados como geradores de energia, normalizados pela CEI-76-1, 2ª edição, 1993, são: 0y , 1d , 1z , 5d , 5z , 6y , 7d , 7z , 11d e 11z .

10.1 “Enrolamento y0 ”

É o enrolamento da BT dos TPs: Dy5 , Yy6 e Dy7 .

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É um “enrolamento trifásico”, em estrela, com ye nn = espiras. O “enrolamento de fase” da “coluna 1” está

submetido à tensão simples 0huuu0ºuuu nay0nay0 ∠==⇔∠== .

O factor deste enrolamento é: 0h1f0º1f y0y0 ∠=⇔∠= .

10.2 “Enrolamento d1”

É o enrolamento da BT dos TPs: Dd4 e Yd5 .

É um “enrolamento trifásico”, em triângulo, com de nn = espiras. O “enrolamento de fase” da “coluna 1” está

submetido à tensão composta 1hu3uu30ºu3uu cad1cad1 +∠⋅==⇔−∠⋅== .


1f30º

3

1f d1d1 −∠=⇔+∠= .

10.3 “Enrolamento z1”

É o enrolamento da BT dos TPs: Dz4 e Yz5 .

É um “enrolamento trifásico”, em ziguezague, com zn espiras, do tipo “ ca ”, isto é, na “coluna 1”, estão os

enrolamentos parciais da “fase c” ( zn ) e da “fase a” ( xa ) cujos “fasores” apontam para a 1h.

O factor do “enrolamento parcial” é: 1h3f30º3f z1z1 −∠=⇔+∠= .

Com efeito, xanxna uuuu +== , z2

nx uu α−= e zxa uu = .

Pelo que: ⇔+α−= zz2 uuu z

2 u)1(u ⋅α−=

Ora: ⇔+∠=α− º3031 2 h131 2 −∠=α−

Logo: h1u3uº30u3u zz −∠⋅=⇔+∠⋅= .


É o enrolamento da BT dos TPs: Dd0 , Yd1 e Dd2 .


submetido à tensão composta 5hu3uu150º-u3uu abd5abd5 +∠⋅==⇔∠⋅== .


1fº150

3

1f d5d5 −∠=⇔+∠= .

10.5 “Enrolamento z5 ”

É o enrolamento da BT dos TPs: Dz0 , Yz1 e Dz2 .

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É um “enrolamento trifásico”, em ziguezague, com zn espiras, do tipo “ ab ”, isto é, na “coluna 1”, estão os

enrolamentos parciais da “fase a” ( ax ) e da “fase b” ( ny ) cujos “fasores” apontam para as 5h.


Com efeito, xanxna uuuu +== , znx uu α= e zxa uu −= .

Pelo que: ⇔−α= zz uuu zu)1(u ⋅−α=

Ora: ⇔+∠=−α º15031 h531 −∠=−α

Logo: h5u3uº150u3u zz −∠⋅=⇔+∠⋅= .

10.6 “Enrolamento y6 ”

É o enrolamento da BT dos TPs: Yy0 , Dy1 e Dy11.

É um “enrolamento trifásico”, em estrela, com ye nn = espiras. O “enrolamento de fase” da “coluna 1” está

submetido à tensão simples h6uuuº180uuu anyany +∠==⇔−∠== .

O factor deste enrolamento é: 6h1fº1801f y6y6 −∠=⇔+∠= .


É o enrolamento da BT dos TPs: Dd10 e Yd11.


submetido à tensão composta 7hu3uu210º-u3uu acd7acd7 +∠⋅==⇔∠⋅== .


1fº210

3

1f d7d7 −∠=⇔+∠= .

10.8 “Enrolamento z7 ”

É o enrolamento da BT dos TPs: Dz10 e Yz11.

É um “enrolamento trifásico”, em ziguezague, com zn espiras, do tipo “ ac ”, isto é, na “coluna 1”, estão os

enrolamentos parciais da “fase a” ( ax ) e da “fase c” ( nz ) cujos “fasores” apontam para as 7h.


Com efeito, xanxna uuuu +== , z2

nx uu α= e zxa uu −= .

Pelo que: ⇔−α= zz2 uuu z

2 u)1(u ⋅−α=

15 / 66

A. A. A. C. Barrias

Ora: ⇔+∠=−α º210312 h7312 −∠=−α

Logo: h7u3uº210u3u zz −∠⋅=⇔+∠⋅= .

10.9 “Enrolamento d11 ”

É o enrolamento da BT dos TPs: Dd6 , Yd7 e Dd8 .


submetido à tensão composta 11hu3uu330º-u3uu bad11bad11 +∠⋅==⇔∠⋅== .


1fº330

3

1f d11d11 −∠=⇔+∠= .

10.11 “Enrolamento z11”

É o enrolamento da BT dos TPs: Dz6 , Yz7 e Dz8 .

É um “enrolamento trifásico”, em ziguezague, com zn espiras, do tipo “ ba ”, isto é, na “coluna 1”, estão os

enrolamentos parciais da “fase b” ( yn ) e da “fase a” ( xa ) cujos “fasores” apontam para as 11h.


Com efeito, xanxna uuuu +== , znx uu α−= e zxa uu = .

Pelo que: ⇔+α−= zz uuu zu)1(u ⋅α−=

Ora: ⇔+∠=α− º33031 h1131 −∠=α−

Logo: h11u3uº330u3u zz −∠⋅=⇔+∠⋅= .

11. Esquemas dos enrolamentos de AT e BT

16 / 66

A. A. A. C. Barrias

Relógio

1h

2h

3h

11h

10h

9h

6h5h

4h

7h

8h

A

C B

2

13

�

0h12h ⇔

1

2

3

I

I2α

Iα

DI

D2 Iα

DIα

A

B

C

B

B

A

A

C

C

DU

D2 Uα

DUα

�

UUNA =

UαU 2NB =

UαUNC =

Sentido de referência

D17D5 ⇔

17 / 66

A. A. A. C. Barrias

�

UUNA =

UαU 2NB =

UαUNC =

Relógio

�

1h

2h

3h

11h

10h

9h

6h5h

4h

7h

8h

A

C B

1

3 2

0h12h ⇔

1

2

3

A

B

CC

B

AN

N

N

I

I2α

Iα

YI

YIα

YU

Y2 Uα

YUα

Y2 Iα


Y18Y6 ⇔

18 / 66

A. A. A. C. Barrias

�

UUNA =

UαU 2NB =

UαUNC =


D19D7 ⇔

1

2

3

A

A

A

B

BB

C

CC

I

I2α

Iα

DI

D2 Iα

DIα

DU

D2 Uα

DUα

Relógio

1h

2h

3h

11h

10h

9h

6h

5h

4h

7h

8h

A

C B

3

21

�

0h12h ⇔

19 / 66

A. A. A. C. Barrias


y0

n

uuna =

uαu 2nb =

uαunc =

1

2

3

n

n

n

a

c

b

a

b

c

i

i2α

iα

yi

y2 iα

yiα

yu

y2 uα

yuα

Relógio

n

1h

2h

3h

11h

10h

9h

6h5h

4h

7h

8h

a

c b

0h12h ⇔

3 2

1

20 / 66

A. A. A. C. Barrias

n

uuna =

uαu 2nb =

uαunc =


d1

1

2

3

c

cc

b

bb

a

aa

i

i2α

iα

du

d2 uα

duα

di

d2 iα

diα

Relógio

1h

2h

3h

11h

10h

9h

6h

5h

4h

7h

8h

a

c b

3

21

n

0h12h ⇔

21 / 66

A. A. A. C. Barrias

1

3

1

2

3

2

ax

y

z

b

cn

n

n

x

y

z

b

c

a

zu

z2 uα

zuα

zu

z2 uα

zuα ziα

z2iα

zi i

i2α

iα

ziα

z2iα

zi

n

uuna =

uαu 2nb =

uαunc =

9h

Relógio

b

a

c

2

0h12h ⇔1h

2h

3h

4h

5h6h

7h

8h

10h

11h

nau

nbuncu

x

y

z

n

2

1

1

3

3


z1

22 / 66

A. A. A. C. Barrias

n

uuna =

uαu 2nb =

uαunc =


d5

I

I2α

Iα

dI

d2 Iα

dIα

ab

c

du

d2 uα

duα

1

2

3

a

a

bb

cc

Relógio

1h

2h

3h

11h

10h

9h

6h5h

4h

7h

8h

a

c b

2

13

n

0h12h ⇔

23 / 66

A. A. A. C. Barrias

n

uuna =

uαu 2nb =

uαunc =

2

1

3

1

2

3

zu

z2 uα

zuα

ax

y

z

b

cn

n

n

x

y

z

a

b

c

zu

z2 uα

zuα

i

i2α

iα

zi

z2iα

ziαzi

z2iα

Relógio

b

a

c

0h12h ⇔1h

2h

3h

4h

5h6h

7h

8h

9h

10h

11h

nau

nbuncu

x

y

z n

3

1

2

3

2

1


z5

ziα

24 / 66

A. A. A. C. Barrias

n

uuna =

uαu 2nb =

uαunc =


y6

1

2

3

n

n

n

a

c

b

a

b

c

i

i2α

iα

yu yi

y2 iαy

2 uα

yuα yiα

Relógio

n

1h

2h

3h

11h

10h

9h

6h5h

4h

7h

8h

a

c b

1

3 2

0h12h ⇔

25 / 66

A. A. A. C. Barrias

n

uuna =

uαu 2nb =

uαunc =


d7

1

2

3

c

cc

b

bb

a

aa

i

i2α

iα

d2 iα

du di

d2 uα

duα diα

Relógio

1h

2h

3h

11h

10h

9h

6h

5h

4h

7h

8h

a

c b

3

21

n

0h12h ⇔

26 / 66

A. A. A. C. Barrias

n

uuna =

uαu 2nb =

uαunc =


z7

1

3

1

2

3

2

zu zu

z2 uαz

2 uα

zuα zuα

ax

y

z

b

cn

n

n

x

y

za

b

c

i

i2α

iα

zi

z2iα

ziα

zi

z2iα

ziα

Relógio

b

a

c

2

0h12h ⇔1h

2h

3h

4h

5h6h

7h

8h

9h

10h

11h

nau

nbuncu

x

y

z

n

2

1

1

3

3

27 / 66

A. A. A. C. Barrias

n

uuna =

uαu 2nb =

uαunc =


d11

I

I2α

Iα

dI

d2 Iα

dIα

ab

c

du

d2 uα

duα

1

2

3

a

a

bb

cc

Relógio

1h

2h

3h

11h

10h

9h

6h5h

4h

7h

8h

a

c b

13

n

0h12h ⇔

2

28 / 66

A. A. A. C. Barrias

n

uuna =

uαu 2nb =

uαunc =


z11

1

3

1

2

3

2

zu zu

z2 uαz

2 uα

zuα zuα

ax

y

z

b

cn

n

n

x

y

z

a

b

c

i

i2α

iα

zi

z2iα

ziα

Relógio

b

a

c

0h12h ⇔1h

2h

3h

4h

5h6h

7h

8h

9h

10h

11h

nau

nbuncu

x

y

z n

3

1

2

3

2

1

zi

z2iα

ziα

29 / 66

A. A. A. C. Barrias

12. Símbolo de Ligação

Símbolo convencional que indica, para os “transformadores de potência”, os modos de ligações dos enrolamentos de alta tensão (em letras maiúsculas), da tensão intermédia (caso exista) e de baixa tensão (em letras minúsculas) e as “diferenças de fase” respectivas, expressas em “índices horários”.

A Publicação CEI-76-1, segunda edição, 1993, contempla 26 “Símbolos de Ligação”:

Dd0 Yy0 Dz0

Dy1 Yd1 Yz1

Dd2 Dz2

Dd4 Dz4

Dy5 Yd5 Yz5

Dd6 Yy6 Dz6

Dy7 Yd7 Yz7

Dd8 Dz8

Dd10 Dz10

Dy11 Yd11 Yz11

30 / 66

A. A. A. C. Barrias

13. Esquemas dos Símbolos de Ligação

Os 26 "Esquemas dos Símbolos de Ligação" são obtidos combinando os enrolamentos de AT e BT dos transformadores de potência normalizados pela CEI, como se indica no quadro seguinte:

Símbolo de Ligação Enrolamento de AT Enrolamento de BT

Dd0 D5 d5

Yy0 Y6 y6

Dz0 D5 z5

Dy1 D7 y6

Yd1 Y6 d5

Yz1 Y6 z5

Dd2 D7 d5

Dz2 D7 z5

Dd4 D5 d1

Dz4 D5 z1

Dy5 D5 y0

Yd5 Y6 d1

Yz5 Y6 z1

Dd6 D5 (17) d11

Yy6 Y6 y0

Dz6 D5 (17) z11

Dy7 D7 y0

Yd7 Y6 (18) d11

Yz7 Y6 (18) z11

Dd8 D7 (19) d11

Dz8 D7 (19) z11

Dd10 D5 (17) d7

Dz10 D5 (17) z7

Dy11 D5 (17) y6

Yd11 Y6 (18) d7

Yz11 Y6 (18) z7

31 / 66

A. A. A. C. Barrias

UD

2

2UD

CB

3

UD

AC

A

B

C

1BA0

4

8ud

2

2ud

c b

1b a

c

b

a

3a c 8

4

0ud

D5 d5


12h<>0h

1h

2h

3h

11h

10h

9h

6h

5h

4h

7h

8h

a

b

2

13

n

c

12h<>0h

1h

2h

3h

11h

10h

9h

6h

5h

4h

7h

8h

A

C B

2

13

�

Dd0 D5-d5

N

T

R

S

Rede de AT

32 / 66

A. A. A. C. Barrias

Y6

1

UY

A N

2B N

3

UY

C N

2UY

0

4

8

y6

1

uy

an

2 bn

3

uy

cn

2uy

0

4

8

�

12h<>0h

1h

2h

3h

11h

10h

9h

6h

5h

4h

7h

8h

A

C B

1

3 2

n

12h<>0h

1h

2h

3h

11h

10h

9h

6h

5h

4h

7h

8h

a

c b

1

3 2

N

T

R

S

Rede de AT

Yy0 Y6-y6


33 / 66

A. A. A. C. Barrias

z5

a1

3 c

1

2

3

2 b

uz

2 uz

uz

uz

2 uz

uz

x

y

zx

z

yn

n

n

0

4

8

UD

2

2UD

CB

3

UD

AC

A

B

C

1BA0

4

8

D5

12h<>0h

1h

2h

3h

11h

10h

9h

6h

5h

4h

7h

8h

A

C B

2

13

�

12h<>0h

1h

2h

3h

11h

10h

9h

6h

5h

4h

7h

8h b

a

c

n

x

y

z2

3

1

2

3 1

N

T

R

S

Rede de AT

Dz0 D5-z5


34 / 66

A. A. A. C. Barrias

D7

UD

2

2UD

AB

3

UD

B

C

A

B

C

1CA0

4

8

y6

1

uy

an

2 bn

3

uy

cn

2uy

1

5

9

12h<>0h

1h

2h

3h

11h

10h

9h

6h

5h

4h

7h

8h

A

C B

3

21

� n

12h<>0h

1h

2h

3h

11h

10h

9h

6h

5h

4h

7h

8h

a

c

b

1

3

2

Dy1 D7-y6

N

T

R

S

Rede de AT


35 / 66

A. A. A. C. Barrias

Y6

1

UY

A N

2B N

3

UY

C N

2UY

0

4

8

d5

ud

2

2ud

c b

1b a

c

b

a

3a c 9

5

1ud

�

12h<>0h

1h

2h

3h

11h

10h

9h

6h

5h

4h

7h

8h

A

C B

1

3 2

12h<>0h

1h

2h

3h

11h

10h

9h

6h

5h

4h

7h

8h

a

c

b

n

3

2

1

Yd1 Y6-d5

N

T

R

S

Rede de AT


36 / 66

A. A. A. C. Barrias

Yz1 Y6-z5

N

T

R

S

Rede de AT


Y6

1

UY

A N

2B N

3

UY

C N

2UY

0

4

8

z5

a1

3 c

1

2

3

2 b

uz

2 uz

uz

uz

2 uz

uz

x

y

zx

z

yn

n

n

1

5

9

�

12h<>0h

1h

2h

3h

11h

10h

9h

6h

5h

4h

7h

8h

A

C B

1

3 2

b

12h<>0h

1h

2h

3h

11h

10h

9h

6h

5h

4h

7h

8h

a

c

nx

y

z

3

1

2

3

2

1

37 / 66

A. A. A. C. Barrias

D7

UD

2

2UD

AB

3

UD

B

C

A

B

C

1CA0

4

8

d5

ud

2

2ud

c b

1b a

c

b

a

3a c 10

6

2ud

12h<>0h

1h

2h

3h

11h

10h

9h

6h

5h

4h

7h

8h

A

C B

3

21

�

a

12h<>0h

1h

2h

3h

11h

10h

9h

6h

5h

4h

7h

8h

c

b

n

3

2 1

N

T

R

S

Rede de AT

Dd2 D7-d5


38 / 66

A. A. A. C. Barrias

D7

UD

2

2UD

AB

3

UD

B

C

A

B

C

1CA0

4

8

z5

a1

3 c

1

2

3

2 b

uz

2 uz

uz

uz

2 uz

uz

x

y

zx

z

yn

n

n

2

6

10

12h<>0h

1h

2h

3h

11h

10h

9h

6h

5h

4h

7h

8h

b

ac

n x

y

z

1

2

3

1

2

3

12h<>0h

1h

2h

3h

11h

10h

9h

6h

5h

4h

7h

8h

A

C B

3

21

�

Dz2 D7-z5

N

T

R

S

Rede de AT


39 / 66

A. A. A. C. Barrias

N

T

R

S

Rede de AT

Dd4 D5 - d1


UD

2

2UD

CB

3

UD

AC

A

B

C

1BA0

4

8

D5

4

8

0

d1

1

ud

ac

2

2ud

ba

3

ud

cb

a

b

c

12h<>0h

1h

2h

3h

11h

10h

9h

6h

5h

4h

7h

8h

A

C B

2

13

�

12h<>0h

1h

2h

3h

11h

10h

9h

6h

5h

4h

7h

8h a

c

b

2

13

n

40 / 66

A. A. A. C. Barrias

N

T

R

S

Rede de AT

Dz4 D5-z1


a1

3 c

1

2

3

2 b

uz

2 uz

uz

uz

2 uz

uz

x

y

zy

x

zn

n

n

z1

4

8

0

UD

2

2UD

CB

3

UD

AC

A

B

C

1BA0

4

8

D5

12h<>0h

1h

2h

3h

11h

10h

9h

6h

5h

4h

7h

8h

A

C B

2

13

�

12h<>0h

1h

2h

3h

11h

10h

9h

6h

5h

4h

7h

8hb a

c

n x

y

z

3

1

2

13

2

41 / 66

A. A. A. C. Barrias

Dy5 D5- y0

N

T

R

S

Rede de AT


UD

2

2UD

CB

3

UD

AC

A

B

C

1BA0

4

8

D5 y0

1

uy

an

2 bn

3

uy

cn

2uy

5

9

1

12h<>0h

1h

2h

3h

11h

10h

9h

6h

5h

4h

7h

8h

A

C B

2

13

� n

12h<>0h

1h

2h

3h

11h

10h

9h

6h

5h

4h

7h

8h

a

c

b

3

2

1

42 / 66

A. A. A. C. Barrias

Yd5 Y6 - d1

N

T

R

S

Rede de AT


Y6

1

UY

A N

2B N

3

UY

C N

2UY

0

4

8

5

9

1

d1

1

ud

ac

2

2ud

ba

3

ud

cb

a

b

c

�

12h<>0h

1h

2h

3h

11h

10h

9h

6h

5h

4h

7h

8h

A

C B

1

3 2

12h<>0h

1h

2h

3h

11h

10h

9h

6h

5h

4h

7h

8h

a

c

bn

3

2

1

43 / 66

A. A. A. C. Barrias

Yz5 Y6-z1

N

T

R

S

Rede de AT


a1

3 c

1

2

3

2 b

uz

2 uz

uz

uz

2 uz

uz

x

y

zy

x

zn

n

n

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5

9

1

Y6

1

UY

A N

2B N

3

UY

C N

2UY

0

4

8

�

12h<>0h

1h

2h

3h

11h

10h

9h

6h

5h

4h

7h

8h

A

C B

1

3 2

b

12h<>0h

1h

2h

3h

11h

10h

9h

6h

5h

4h

7h

8h

a

c

n

xy

z

3

1

2

3

2

1

44 / 66

A. A. A. C. Barrias

13

1 3

45 / 66

A. A. A. C. Barrias

�

12h<>0h

1h

2h

3h

11h

10h

9h

6h

5h

4h

7h

8h

A

C B

1

3 2

n

12h<>0h

1h

2h

3h

11h

10h

9h

6h

5h

4h

7h

8h

a

b

1

3

2

c

N

T

R

S

Rede de AT

Yy6 Y6 - y0


Y6

1

UY

A N

2B N

3

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C N

2UY

0

4

8

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1

uy

an

2 bn

3

uy

cn

2uy

6

10

2

46 / 66

A. A. A. C. Barrias

Dz6 D5 (17) -z11

N

T

R

S

Rede de AT


UD

2

2UD

CB

3

UD

AC

A

B

C

1BA0

4

8

D5 (17) z11

a1

3 c

1

2

3

2 b

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2 uz

uz

uz

2 uz

uz

x

y

zx

z

yn

n

n

6

10

2

12h<>0h

1h

2h

3h

11h

10h

9h

6h

5h

4h

7h

8h

A

C B

2

13

�

12h<>0h

1h

2h

3h

11h

10h

9h

6h

5h

4h

7h

8h

b

a

c

n

x

y

z

3

1

2

3

1

2

47 / 66

A. A. A. C. Barrias

12h<>0h

1h

2h

3h

11h

10h

9h

6h

5h

4h

7h

8h

A

C B

3

21

�

b 12h<>0h

1h

2h

3h

11h

10h

9h

6h

5h

4h

7h

8h

a

cn

3

1

2

N

T

R

S

Rede de AT

Dy7 D7 - y0


D7

UD

2

2UD

AB

3

UD

B

C

A

B

C

1CA0

4

8

y0

1

uy

an

2 bn

3

uy

cn

2uy

7

11

3

48 / 66

A. A. A. C. Barrias

Yd7 Y6 (18) -d11

N

T

R

S

Rede de AT


Y6 (18)

1

UY

A N

2B N

3

UY

C N

2UY

0

4

8

d11

ud

2

2ud

c b

1b a

c

b

a

3a c 3

11

7ud

�

12h<>0h

1h

2h

3h

11h

10h

9h

6h

5h

4h

7h

8h

A

C B

1

3 2

12h<>0h

1h

2h

3h

11h

10h

9h

6h

5h

4h

7h

8h

a

c

b

n

3

2

1

49 / 66

A. A. A. C. Barrias

Yz7 Y6 (18) -z11

N

T

R

S

Rede de AT


Y6 (18)

1

UY

A N

2B N

3

UY

C N

2UY

0

4

8

z11

a1

3 c

1

2

3

2 b

uz

2 uz

uz

uz

2 uz

uz

x

y

zx

z

yn

n

n

7

11

3

�

12h<>0h

1h

2h

3h

11h

10h

9h

6h

5h

4h

7h

8h

A

C B

1

3 2

b 12h<>0h

1h

2h

3h

11h

10h

9h

6h

5h

4h

7h

8h

a

cn

x

y

z

3

1

2

3

2

1

50 / 66

A. A. A. C. Barrias

Dd8 D7 (19) -d11

N

T

R

S

Rede de AT


D7 (19)

UD

2

2UD

AB

3

UD

B

C

A

B

C

1CA0

4

8

d11

ud

2

2ud

c b

1b a

c

b

a

3a c 4

0

8ud

12h<>0h

1h

2h

3h

11h

10h

9h

6h

5h

4h

7h

8h

A

C B

3

21

�

12h<>0h

1h

2h

3h

11h

10h

9h

6h

5h

4h

7h

8ha c

b

3

21

n

51 / 66

A. A. A. C. Barrias

Dz8 D7 (19) -z11

N

T

R

S

Rede de AT


D7 (19)

UD

2

2UD

AB

3

UD

B

C

A

B

C

1CA0

4

8

z11

a1

3 c

1

2

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uz

2 uz

uz

uz

2 uz

uz

x

y

zx

z

yn

n

n

8

0

4

12h<>0h

1h

2h

3h

11h

10h

9h

6h

5h

4h

7h

8h

A

C B

3

21

�

12h<>0h

1h

2h

3h

11h

10h

9h

6h

5h

4h

7h

8h

b

a c

nx

y

z

3

1

2

3

1 2

52 / 66

A. A. A. C. Barrias

Dd10 D5 (17) -d7

N

T

R

S

Rede de AT


UD

2

2UD

CB

3

UD

AC

A

B

C

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4

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D5 (17)

10

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d7

1

ud

ac

2

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ba

3

ud

cb

a

b

c

12h<>0h

1h

2h

3h

11h

10h

9h

6h

5h

4h

7h

8h

A

C B

2

13

�

a

12h<>0h

1h

2h

3h

11h

10h

9h

6h

5h

4h

7h

8h

c

b

n

2

1 3

53 / 66

A. A. A. C. Barrias

Dz10 D5 (17) -z7

N

T

R

S

Rede de AT


a1

3 c

1

2

3

2 b

uz

2 uz

uz

uz

2 uz

uz

x

y

zy

x

zn

n

n

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2

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UD

2

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CB

3

UD

AC

A

B

C

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4

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D5 (17)

12h<>0h

1h

2h

3h

11h

10h

9h

6h

5h

4h

7h

8h

ba

c

n

x

y

z

2

1

2

3

1

3

12h<>0h

1h

2h

3h

11h

10h

9h

6h

5h

4h

7h

8h

A

C B

2

13

�

54 / 66

A. A. A. C. Barrias

Dy11 D5 (17) -y6

N

T

R

S

Rede de AT


UD

2

2UD

CB

3

UD

AC

A

B

C

1BA0

4

8

D5 (17) y6

1

uy

an

2 bn

3

uy

cn

2uy

11

3

7

12h<>0h

1h

2h

3h

11h

10h

9h

6h

5h

4h

7h

8h

A

C B

2

13

�b

12h<>0h

1h

2h

3h

11h

10h

9h

6h

5h

4h

7h

8h

a

c

n2

3

1

55 / 66

A. A. A. C. Barrias

N

T

R

S

Rede de AT

Yd11 Y6 (18) -d7


Y6 (18)

1

UY

A N

2B N

3

UY

C N

2UY

0

4

8

11

3

7

d7

1

ud

ac

2

2ud

ba

3

ud

cb

a

b

c

�

12h<>0h

1h

2h

3h

11h

10h

9h

6h

5h

4h

7h

8h

A

C B

1

3 2

12h<>0h

1h

2h

3h

11h

10h

9h

6h

5h

4h

7h

8h

a

c

bn

3

2

1

56 / 66

A. A. A. C. Barrias

Yz11 Y6 (18) -z7

N

T

R

S

Rede de AT


Y6 (18)

1

UY

A N

2B N

3

UY

C N

2UY

0

4

8

a1

3 c

1

2

3

2 b

uz

2 uz

uz

uz

2 uz

uz

x

y

zy

x

zn

n

n

z7

11

3

7

b

12h<>0h

1h

2h

3h

11h

10h

9h

6h

5h

4h

7h

8h

a

c

n

x

y

z

1

3

3

22

1

�

12h<>0h

1h

2h

3h

11h

10h

9h

6h

5h

4h

7h

8h

A

C B

1

3 2

57 / 66

A. A. A. C. Barrias

14. Cálculos Justificativos dos Símbolos de Ligação dos Transformadores de Potência

d5-D5Dd0 ⇔

5d5Dd

D

5d

5D unN

fF

U θ−Θ∠⋅⋅= ⇔ º150º150unN

3

13

1

Ud

D −+∠⋅⋅= ⇔ º0unN

Ud

D ∠⋅=

Ou:

h0un

NUh0

n

N

u

Uh0

u

U

n

N

h5

h5

u

U

3

3

u

U

d

D

d

D

d

D

5d

5D ∠⋅=⇔∠=⇔∠=⇔+∠

+∠⋅=

y6-Y6Yy0 ⇔

6y6Yy

Y

6y

6Y un

N

f

FU θ−Θ∠⋅⋅= ⇔ º180º180u

n

N

1

1U

y

Y −+∠⋅⋅= ⇔ º0un

NU

y

Y ∠⋅=

Ou:

h0un

NUh0

n

N

u

Uh0

u

U

n

N

h6

h6

u

U

1

1

u

U

y

Y

y

Y

y

Y

6y

6Y ∠⋅=⇔∠=⇔∠=⇔+∠

+∠⋅=

z5-D5Dz0 ⇔

5z5Dz

D

5z

5D un

N

f

F2U θ−Θ∠⋅⋅⋅= ⇔ º150º150u

nN

33

1

2Uz

D −+∠⋅⋅⋅= ⇔ º0un

N

3

2U

z

D ∠⋅⋅=

Ou:

h0un

N

3

2Uh0

n

N

3

2

u

Uh0

u

U3

2

nN

h5

h5

u

U

3

13

u

U

z

D

z

D

z

D

5z

5D ∠⋅⋅=⇔∠⋅=⇔∠⋅=⇔+∠

+∠⋅=

58 / 66

A. A. A. C. Barrias

y6-D7Dy1 ⇔

6y7Dy

D

6y

7D un

N

f

FU θ−Θ∠⋅⋅= ⇔ º180º210u

n

N

13

1

Uy

D −+∠⋅⋅= ⇔ º30un

N

3

1U

y

D +∠⋅⋅=

Ou:

h1un

N

3

1Uh1

n

N

3

1

u

Uh1

u

U3

n

N

h6

h7

u

U

1

3

u

U

y

D

y

D

y

D

6y

7D −∠⋅⋅=⇔−∠⋅=⇔+∠⋅=⇔+∠

+∠⋅=

d5-Y6Yd1 ⇔

5d6Yd

Y

5d

6Y unN

fF

U θ−Θ∠⋅⋅= ⇔ º150º180unN

3

11

Ud

Y −+∠⋅⋅= ⇔ º30unN

3Ud

Y +∠⋅⋅=

Ou:

h1unN

3Uh1nN

3uU

h1uU

3

1nN

h5h6

uU

3

1uU

d

Y

d

Y

d

Y

5d

6Y −∠⋅⋅=⇔−∠⋅=⇔+∠⋅=⇔+∠

+∠⋅=

z5-Y6Yz1 ⇔

5z6Yz

Y

5z

6Y unN

fF

2U θ−Θ∠⋅⋅⋅= ⇔ º150º180unN

3

12U

z

Y −+∠⋅⋅⋅= ⇔ º30unN

3

2U

z

Y +∠⋅⋅=

Ou:

h1un

N

3

2Uh1

n

N

3

2

u

Uh1

u

U3

2

nN

h5

h6

u

U

3

11

u

U

z

Y

z

Y

z

Y

5z

6Y −∠⋅⋅=⇔−∠⋅=⇔+∠⋅=⇔+∠

+∠⋅=

59 / 66

A. A. A. C. Barrias

d5-D7Dd2 ⇔

5d7Dd

D

5d

7D unN

fF

U θ−Θ∠⋅⋅= ⇔ º150º210un

N

3

13

1

Ud

D −+∠⋅⋅= ⇔ º60unN

Ud

D +∠⋅=

Ou:

h2un

NUh2

n

N

u

Uh2

u

U

n

N

h5

h7

u

U

3

3

u

U

d

D

d

D

d

D

5d

7D −∠⋅=⇔−∠=⇔+∠=⇔+∠

+∠⋅=

z5-D7Dz2 ⇔

5z7Dz

D

5z

7D unN

fF

2U θ−Θ∠⋅⋅⋅= ⇔ º150º210un

N

33

1

2Uz

D −+∠⋅⋅⋅= ⇔ º60un

N

3

2U

z

D +∠⋅⋅=

Ou:

h2un

N

3

2Uh2

n

N

3

2

u

Uh2

u

U3

2

nN

h5

h7

u

U

3

13

u

U

z

D

z

D

z

D

5z

7D −∠⋅⋅=⇔−∠⋅=⇔+∠⋅=⇔+∠

+∠⋅=

d1-D5Dd4 ⇔

1d5Dd

D

1d

5D unN

fF

U θ−Θ∠⋅⋅= ⇔ º30º150unN

3

13

1

Ud

D −+∠⋅⋅= ⇔ º120unN

Ud

D +∠⋅=

Ou:

h4un

NUh4

n

N

u

Uh4

u

U

n

N

h1

h5

u

U

3

3

u

U

d

D

d

D

d

D

1d

5D −∠⋅=⇔−∠=⇔+∠=⇔+∠

+∠⋅=

60 / 66

A. A. A. C. Barrias

z1-D5Dz4 ⇔

1z5Dz

D

1z

5D unN

fF

2U θ−Θ∠⋅⋅⋅= ⇔ º30º150unN

33

1

2Uz

D −+∠⋅⋅⋅= ⇔ º120unN

32

Uz

D +∠⋅⋅=

Ou:

h4un

N

3

2Uh4

n

N

3

2

u

Uh4

u

U3

2

nN

h1

h5

u

U

3

13

u

U

z

D

z

D

z

D

1z

5D −∠⋅⋅=⇔−∠⋅=⇔+∠⋅=⇔+∠

+∠⋅=

y0-D5Dy5 ⇔

0y5Dy

D

0y

5D un

N

f

FU θ−Θ∠⋅⋅= ⇔ º0º150u

n

N

13

1

Uy

D −+∠⋅⋅= ⇔ º150un

N

3

1U

y

D +∠⋅⋅=

Ou:

h5un

N

3

1Uh5

n

N

3

1

u

Uh5

u

U3

n

N

h0

h5

u

U

1

3

u

U

y

D

y

D

y

D

0y

5D −∠⋅⋅=⇔−∠⋅=⇔+∠⋅=⇔∠

+∠⋅=

d1-Y6Yd5 ⇔

1d6Yd

Y

1d

6Y unN

fF

U θ−Θ∠⋅⋅= ⇔ º30º180un

N

3

11

Ud

Y −+∠⋅⋅= ⇔ º150unN

3Ud

Y +∠⋅⋅=

Ou:

h5un

N3Uh5

n

N3

u

Uh5

u

U

3

1

n

N

h1

h6

u

U

3

1

u

U

d

Y

d

Y

d

Y

1d

6Y −∠⋅⋅=⇔−∠⋅=⇔+∠⋅=⇔+∠

+∠⋅=

61 / 66

A. A. A. C. Barrias

z1-Y6Yz5 ⇔

1z6Yz

Y

1z

6Y unN

fF

2U θ−Θ∠⋅⋅⋅= ⇔ º30º180unN

3

12U

z

Y −+∠⋅⋅⋅= ⇔ º150unN

3

2U

z

Y +∠⋅⋅=

Ou:

h5un

N

3

2Uh5

n

N

3

2

u

Uh5

u

U3

2

nN

h1

h6

u

U

3

11

u

U

z

Y

z

Y

z

Y

1z

6Y −∠⋅⋅=⇔−∠⋅=⇔+∠⋅=⇔+∠

+∠⋅=

d11-D5(D17)Dd6 ⇔

11d17Dd

D

11d

17D unN

fF

U θ−Θ∠⋅⋅= ⇔ º330º510unN

3

13

1

Ud

D −+∠⋅⋅= ⇔ º180unN

Ud

D +∠⋅=

Ou:

h6un

NUh6

n

N

u

Uh6

u

U

n

N

h11

h17

u

U

3

3

u

U

d

D

d

D

d

D

11d

17D −∠⋅=⇔−∠=⇔+∠=⇔+∠

+∠⋅=

y0-Y6Yy6 ⇔

0y6Yy

Y

0y

6Y un

N

f

FU θ−Θ∠⋅⋅= ⇔ º0º180u

n

N

1

1U

y

Y −+∠⋅⋅= ⇔ º180un

NU

y

Y +∠⋅=

Ou:

h6un

NUh6

n

N

u

Uh6

u

U

n

N

h0

h6

u

U

1

1

u

U

y

Y

y

Y

y

Y

0y

6Y −∠⋅=⇔−∠=⇔+∠=⇔∠

+∠⋅=

62 / 66

A. A. A. C. Barrias

z11-D5(D17)Dz6 ⇔

11z17Dz

D

11z

17D un

N

f

F2U θ−Θ∠⋅⋅⋅= ⇔ º330º510u

nN

33

1

2Uz

D −+∠⋅⋅⋅= ⇔ º180un

N

3

2U

z

D +∠⋅⋅=

Ou:

h6un

N

3

2Uh6

n

N

3

2

u

Uh6

u

U3

2

nN

h11

h17

u

U

3

13

u

U

z

D

z

D

z

D

11z

17D −∠⋅⋅=⇔−∠⋅=⇔+∠⋅=⇔+∠

+∠⋅=

y0-D7Dy7 ⇔

0y7Dy

D

0y

7D un

N

f

FU θ−Θ∠⋅⋅= ⇔ º0º210u

n

N

13

1

Uy

D −+∠⋅⋅= ⇔ º210un

N

3

1U

y

D +∠⋅⋅=

Ou:

h7un

N

3

1Uh7

n

N

3

1

u

Uh7

u

U3

n

N

h0

h7

u

U

1

3

u

U

y

D

y

D

y

D

0y

7D −∠⋅⋅=⇔−∠⋅=⇔+∠⋅=⇔∠

+∠⋅=

d11-Y6(Y18)Yd7 ⇔

11d18Yd

Y

11d

18Y unN

fF

U θ−Θ∠⋅⋅= ⇔ º330º540un

N

3

11

Ud

Y −+∠⋅⋅= ⇔ º210unN

3Ud

Y +∠⋅⋅=

Ou:

h7un

N3Uh7

n

N3

u

Uh7

u

U

3

1

n

N

h11

h18

u

U

3

1

u

U

d

Y

d

Y

d

Y

11d

18Y −∠⋅⋅=⇔−∠⋅=⇔+∠⋅=⇔+∠

+∠⋅=

63 / 66

A. A. A. C. Barrias

z11-Y6(Y18)Yz7 ⇔

11z18Yz

Y

11z

18Y unN

fF

2U θ−Θ∠⋅⋅⋅= ⇔ º330º540unN

3

12U

z

Y −+∠⋅⋅⋅= ⇔ º210unN

3

2U

z

Y +∠⋅⋅=

Ou:

h7un

N

3

2Uh7

n

N

3

2

u

Uh7

u

U3

2

nN

h11

h18

u

U

3

11

u

U

z

Y

z

Y

z

Y

11z

18Y −∠⋅⋅=⇔−∠⋅=⇔+∠⋅=⇔+∠

+∠⋅=

d11-D7(D19)Dd8 ⇔

11d19Dd

D

11d

19D unN

fF

U θ−Θ∠⋅⋅= ⇔ º330º570unN

3

13

1

Ud

D −+∠⋅⋅= ⇔ º240unN

Ud

D +∠⋅=

Ou:

h8un

NUh8

n

N

u

Uh8

u

U

n

N

h11

h19

u

U

3

3

u

U

d

D

d

D

d

D

11d

19D −∠⋅=⇔−∠=⇔+∠=⇔+∠

+∠⋅=

z11-D7(D19)Dz8 ⇔

11z19Dz

D

11z

19D unN

fF

2U θ−Θ∠⋅⋅⋅= ⇔ º330º570unN

33

1

2Uz

D −+∠⋅⋅⋅= ⇔ º240unN

32

Uz

D +∠⋅⋅=

Ou:

h8un

N

3

2Uh8

n

N

3

2

u

Uh8

u

U3

2nN

h11

h19

u

U

3

13

u

U

z

D

z

D

z

D

11z

19D −∠⋅⋅=⇔−∠⋅=⇔+∠⋅=⇔+∠

+∠⋅=

64 / 66

A. A. A. C. Barrias

d7-D5(D17)Dd10 ⇔

7d17Dd

D

7d

17D un

N

f

FU θ−Θ∠⋅⋅= ⇔ º210º510u

nN

3

13

1

Ud

D −+∠⋅⋅= ⇔ º300un

NU

d

D +∠⋅=

Ou:

h10un

NUh01

n

N

u

Uh10

u

U

n

N

h7

h17

u

U

3

3

u

U

d

D

d

D

d

D

7d

17D −∠⋅=⇔−∠=⇔+∠=⇔+∠

+∠⋅=

z7-D5(D17)Dz10 ⇔

7z17Dz

D

7z

17D unN

fF

2U θ−Θ∠⋅⋅⋅= ⇔ º210º510unN

33

1

2Uz

D −+∠⋅⋅⋅= ⇔ º300unN

32

Uz

D +∠⋅⋅=

Ou:

h10un

N

3

2Uh10

n

N

3

2

u

Uh10

u

U3

2

nN

h7

h17

u

U

3

13

u

U

z

D

z

D

z

D

7z

17D −∠⋅⋅=⇔−∠⋅=⇔+∠⋅=⇔+∠

+∠⋅=

y6-D5(D17)Dy11 ⇔

6y17Dy

D

6y

17D un

N

f

FU θ−Θ∠⋅⋅= ⇔ º180º510u

n

N

13

1

Uy

D −+∠⋅⋅= ⇔ º330un

N

3

1U

y

D +∠⋅⋅=

Ou:

h11un

N

3

1Uh11

n

N

3

1

u

Uh11

u

U3

n

N

h6

h17

u

U

1

3

u

U

y

D

y

D

y

D

6y

17D −∠⋅⋅=⇔−∠⋅=⇔+∠⋅=⇔+∠

+∠⋅=

65 / 66

A. A. A. C. Barrias

d7-Y6(Y18)Yd11 ⇔

7d18Yd

Y

7d

18Y unN

fF

U θ−Θ∠⋅⋅= ⇔ º210º540unN

3

11

Ud

Y −+∠⋅⋅= ⇔ º330unN

3Ud

Y +∠⋅⋅=

Ou:

h11un

N3Uh11

n

N3

u

Uh11

u

U

3

1

n

N

h7

h18

u

U

3

1

u

U

d

Y

d

Y

d

Y

7d

18Y −∠⋅⋅=⇔−∠⋅=⇔+∠⋅=⇔+∠

+∠⋅=

z7-Y6(Y18)Yz11 ⇔

7z18Yz

Y

7z

18Y unN

fF

2U θ−Θ∠⋅⋅⋅= ⇔ º210º540unN

3

12U

z

Y −+∠⋅⋅⋅= ⇔ º330unN

3

2U

z

Y +∠⋅⋅=

Ou:

h11un

N

3

2h11

n

N

3

2

u

Uh11

u

U3

2nN

h7

h18

u

U

3

11

u

U

z

Y

z

Y

z

Y

7z

18Y U −∠⋅⋅=−∠⋅=+∠⋅=+∠

+∠⋅= ⇔⇔⇔

Não estão, portanto, normalizados:

d7D7Dd0 −⇔

7d7Dd

D

7d

7D unN

fF

U θ−Θ∠⋅⋅= ⇔ º210º210unN

3

13

1

Ud

D −+∠⋅⋅= ⇔ º0unN

Ud

D ∠⋅=

Ou:

h0un

Nh0

n

N

u

Uh0

u

U

n

N

h7

h7

u

U

3

3

u

U

d

D

d

D

d

D

7d

7D U ∠⋅=∠=∠=+∠

+∠⋅= ⇔⇔⇔

66 / 66

A. A. A. C. Barrias

z7D7Dz0 −⇔

7z7Dz

D

7z

7D unN

fF

2U θ−Θ∠⋅⋅⋅= ⇔ º210º210unN

33

1

2Uz

D −+∠⋅⋅⋅= ⇔ º0un

N

3

2U

z

D ∠⋅⋅=

Ou:

h0un

N

3

2h0

n

N

3

2

u

Uh0

u

U3

2

nN

h7

h7

u

U

3

13

u

U

z

D

z

D

z

D

7z

7D U ∠⋅⋅=∠⋅=∠⋅=+∠

+∠⋅= ⇔⇔⇔

d1D7Dd6 −⇔

1d7Dd

D

1d

7D unN

fF

U θ−Θ∠⋅⋅= ⇔ º30º210unN

3

13

1

Ud

D −+∠⋅⋅= ⇔ º180unN

Ud

D +∠⋅=

Ou:

h6un

NUh6

n

N

u

Uh6

u

U

n

N

h1

h7

u

U

3

3

u

U

d

D

d

D

d

D

1d

7D −∠⋅=−∠=+∠=+∠

+∠⋅= ⇔⇔⇔

z1D7Dz6 −⇔

1z7Dz

D

1z

7D unN

fF

2U θ−Θ∠⋅⋅⋅= ⇔ º30º210unN

33

1

2Uz

D −+∠⋅⋅⋅= ⇔ º180unN

32

Uz

D +∠⋅⋅=

Ou:

h6un

N

3

2Uh6

n

N

3

2

u

Uh6

u

U3

2

nN

h1

h7

u

U

3

13

u

U

z

D

z

D

z

D

1z

7D −∠⋅⋅=−∠⋅=+∠⋅=+∠

+∠⋅= ⇔⇔⇔

18233410 indice horario dos transform adores de potencia

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