170 apÊndices apÊndice a - texto de introduÇÃo Às

170

APÊNDICES

APÊNDICE A - TEXTO DE INTRODUÇÃO ÀS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS

LINEARES DE 1ª E 2ª ORDEM COM O SOFTWARE MAPLE

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS – PUC MINAS

MESTRADO PROFISSIONAL EM ENSINO DE CIÊNCIAS E MATEMÁTICA

ÁREA DE CONCENTRAÇÃO: MATEMÁTICA

INTRODUÇÃO ÀS EQUAÇÕES DIFERENCIAS ORDINÁRIAS LINEARES DE 1ª E 2ª

ORDEM COM O SOFTWARE MAPLE

ANÍBAL ATAIDES BARROS FILHO

JOÃO BOSCO LAUDARES

BELO HORIZONTE

2011

171

SUMÁRIO

1. INTRODUÇÃO ................................................................................................................. 3

2. O QUE É O “MAPLE 14”? ............................................................................................... 4

2.1 Como surgiu o “Maple”? .................................................................................................. 4

2.2 Estrutura interna do Maple .............................................................................................. 4

2.3 Layaut ............................................................................................................................. 4

3. COMANDOS BÁSICOS DO MAPLE ................................................................................ 5

3.1 Operações Básicas ......................................................................................................... 5

3.2 Atribuições ...................................................................................................................... 6

3.3 Funções, Equações e Sistemas ...................................................................................... 6

3.5 Comandos Básicos do Cálculo Diferencial e Integral ...................................................... 8

4. GRÁFICOS DE FUNÇÕES EM 2D ................................................................................. 09

4.1 Formatações do gráfico ................................................................................................ 11

5. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS .................................................................. 11

5.1 Comandos para Representar Derivadas ....................................................................... 12

5.2 Comandos para Resolver uma Equação Diferencial ..................................................... 12

5.3 Resolução de um problema de valor inicial ou de contorno .......................................... 12

5.4 Construção do Campo de Direções para uma Equação Diferencial Linear de 1ª

Ordem ................................................................................................................................. 13

6. ATIVIDADES COMPLEMENTARES .............................................................................. 14

REFERÊNCIAS ................................................................................................................... 16

172

1 Introdução

Este texto foi elaborado com o objetivo de servir como material de apoio ao Minicurso

introdução às equações diferencias ordinárias lineares de 1ª e 2ª ordem com o software

MAPLE. O Minicurso é destinado a capacitar e ambientar os acadêmicos do 3º período do

curso de Engenharia Elétrica do Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do

Estado de Goiás (IFG) Campus Jataí com o software MAPLE. Este Minicurso faz parte de

uma preparação prévia dos alunos que cursam a disciplina Equações Diferenciais para

participarem de uma pesquisa que trás uma sequência didática que visa trabalhar com

novas tecnologias e novas metodologias no ensino de equações diferenciais com foco na

resolução de problemas físicos e na interpretação gráfica dos mesmos.

Neste material serão apresentados os comandos básicos do MAPLE para

simplificação de expressões, resolução de equações, resolução de sistemas de equações,

construção do campo de direções de Equações Diferencias, resolução de problemas de

valor inicial e de contorno, construção de gráficos em duas dimensões, dentre outros, de

modo que o participante deste Minicurso adquira ferramentas que lhe seja útil no

entendimento dos conceitos e na resolução de problemas físicos envolvendo Equações

Diferenciais.

3

173

2. O que é o “Maple”?

O Maple é um software comercial de uso genérico que enquadra no gênero de

Sistema de Álgebra Computacional (SAC). Um SAC permite fazer cálculos não só com

números, mas com símbolos, fórmulas, expressões, equações, matrizes, etc. O Maple

possui um grande número de recursos que permitem que seus usuários obtenham

respostas analíticas rápidas e precisas para cálculos envolvendo limites, derivadas,

integrais, equações diferenciais, sistemas de equações, série de potências, transformadas

de Laplace, transformadas de Fourier, etc.

2.1 Como surgiu o “Maple”?

O Maple começou a ser desenvolvido em 1981 pelos pesquisadores Gaston Gonnet

e Keith Geddes do Grupo de Computação Simbólica da Universidade de Waterloo no

Canadá. Desde 1988 tem sido desenvolvido e comercializado pela Maplesoft, uma

companhia canadense. A versão atual é Maple 16.00.

2.2 Estrutura interna do Maple.

A estrutura interna do Maple consiste de três componentes: Núcleo, bibliotecas e

interface.

O núcleo (kernel) é a máquina matemática que faz os cálculos, interpreta os

comandos inseridos pelo usuário e mostra os resultados. O núcleo corresponde a 10% do

programa e foi elaborado em linguagem C.

O restante do programa (90%), desenvolvido na própria linguagem do Maple,

consiste na biblioteca principal cujos comandos são carregados automaticamente na hora

que você inicia o programa e um conjunto de vários pacotes que você acessa quando vai

trabalhar com conteúdo bem específico.

A interface é a aparência do Maple, que promove a interação entre você e os

comandos do Maple.

2.3 Layout

Ao iniciarmos o Maple observamos que na tela de trabalho (worksheet) aparece o

símbolo . É o prompt do Maple. Este símbolo diz que o Maple está pronto para

executar comandos. Você também pode trabalhar no Maple com o modo texto, onde você

produz textos, hipertextos e comentários e alternar, sempre que quiser, para o modo

matemático e desenvolver cálculos.

A figura 1 mostra a captura da tela de iniciação do Maple 14.

4

174

Figura 01: Tela de inicialização do Maple 14.

3. Comandos Básicos do Maple

3.1 Operações básicas

! fatorial ^ potenciação / divisão * multiplicação + adição - subtração

Exemplos:

a) >

b) >

Para que o comando seja executado, devemos finalizar com um ponto e vírgula(;) ou

com dois pontos(:) e depois acionar a tecla enter. Se finalizarmos com um ponto e vírgula, o

Maple executa o comando e mostra o resultado, se finalizarmos com dois pontos, ele

executa, guarda na memória, mas não exibe a resposta.

5

175

Se quisermos o resultado em número decimal aproximado, executamos o comando

evalf (evaluation with floating point = avaliação num ponto flutuante ou variável):

>

Nesta operação, o Maple calculou em número decimal aproximado, o resultado da

última operação realizada (%) que era .

O comando restart permite limpar a memória do Maple em qualquer parte do

documento. Sempre que for iniciar um novo projeto, é aconselhável utilizar o comando.

O Maple entende ponto(.) como vírgula(,), quando trabalhamos com números.

3.2 Atribuições

Podemos definir o valor de uma variável ou de uma função utilizando-se o símbolo: “ := ”.

Exemplos:

a) >

b) >

c) >

d) >

3.3 Funções, Equações e Sistemas

O comando solve serve para resolver equações, inequações e sistemas diversos.

Exemplos:

Resolvendo uma equação:

a) >

>

b) >

>

Você pode também usar o comando subs para substituir o valor de uma ou mais

variáveis em uma expressão.

6

176

>

Aqui o Maple substituiu o valor de x na expressão C e calculou o resultado.

Resolvendo um sistema de equações:

Exemplos:

a) Resolver o seguinte sistema

6

32

22

zyx

zyx

zyx

.

>

>

>

>

b) Resolver o seguinte sistema

051215

21515

11202101

2

ss

III

s

eIIs

s

para as variáveis I1 e I2.

>

>

>

Para simplificarmos uma expressão, usamos o comando simplify.

Exemplos:

7

177

a) >

>

b) >

>

A seguir apresentamos um quadro com comandos básicos que representam

constantes, funções e operações usuais:

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

3.4 Comandos Básicos do Cálculo Diferencial e Integral

Para executarmos alguns comandos do Cálculo Diferencial e Integral devemos

carregar o pacote “student”. Para carregar o pacote, usamos a seguinte sintaxe:

with(student);

>

8

178

Veja que finalizamos com (;) e então o Maple apresentou todas as operações realizadas

pelo pacote.

Exemplos:

a) Calcular: ))(cos(lim xx

>

Com o “L” maiúsculo, o Maple apenas apresenta o limite.

>

Agora o Maple calculou o limite. Para o cálculo de derivadas e integrais a sintaxe é

semelhante.

b) Calcular a derivada da função ))ln(cos(3)( 3 xxxf ln3

>

c) Calcular a seguinte integral: dxex xe

>

Obs.: o x que aparece após as funções, tanto na derivada quanto na integral, representa a

variável de derivação ou de integração, uma vez que o Maple entende todas as suas

derivadas como derivadas parciais.

4. Gráficos de funções em 2D

Para plotarmos o gráfico de uma função em duas dimensões usamos o comando

plot cuja sintaxe básica é a seguinte: plot(f,x,v,ops) onde f representa a função a ser

plotada, x o intervalo no eixo das abscissas, v o intervalo no eixo das ordenadas e “ops” as

opções de formatação do gráfico. Os parâmetros f e x são obrigatórios para o comando

plot.

9

179

Exemplos:

a) Construir o gráfico da função )2(33)( tetf t2e33 .

>

Figura 02: Gráfico da função )2(33)( tetf t2e33 gerado no Maple 14.

b) Construir em um mesmo plano cartesiano o gráfico das seguintes funções:

)4()2( )(,)25()( tt ethtsenetf t4t2 etse e )4()( tetj t4e .

> plot([exp(-4*t)*sin(25*t), exp(-4*t), -exp(-4*t)], t = 0 .. 1.5, legend = [i[1], i[2], i[3]],

color = [red, blue, green]);

Figura 03: Gráfico das funções )4()2( )(,)25()( tt ethtsenetf t4t2 etse e )4()( tetj t4e gerado no

Maple 14.

10

180

Utilizamos colchetes [...] para formamos uma lista ou conjunto de funções e

preservar a ordem para atribuições.

4.1 Formatações do gráfico

Ao selecionar um gráfico na área de trabalho do Maple, a ABA gráfico fica ativada.

Clicando na ABA gráfico um menu de opções de formatação é aberto. Você também pode

clicar com o botão direito do mouse no gráfico (ver figura 04) e aparecerá também o menu.

Este menu mostra várias opções de formatação gráfica que dentre elas destacamos: copiar

o gráfico com máxima precisão, escolher o estilo de gráfico, escolher o tipo de traçado do

gráfico, definir a cor do gráfico (se for mais de um, você pode identificá-los com cores

diferentes), inserir e editar legendas nos eixos coordenados, inserir e editar legendas para o

gráfico, adicionar títulos e rótulos ao gráfico, exibir linhas de grade e exportar o gráfico em

diversos formatos, dentre eles, bitmap e JPEG.

Figura 04: Menu de formatação gráfica do Maple 14.

5. Equações Diferenciais Ordinárias

Para encontrarmos soluções de equações diferenciais, plotar gráficos das soluções

destas equações, plotar campos de direções, resolver problemas de valor inicial e de

contorno analiticamente e graficamente, dentre outras funções, utilizamos o pacote DEtools.

Usamos a seguinte sintaxe:

11

181

>

5.1 Comandos para Representar Derivadas

Os comandos para indicar a derivada de primeira, segunda e terceira ordem de uma

função, respectivamente, são:

>

>

>

5.2 Comandos para Resolver uma Equação Diferencial

Para definirmos uma equação diferencial, escrevemos:

>

Para resolvermos uma equação diferencial usamos o comando dsolve, com a

seguinte sintaxe: dsolve(ED), onde ED é a equação diferencial já definida.

Exemplo:

>

onde _C1 é uma constante arbitrária.

5.3 Resolução de um problema de valor inicial ou de contorno

Para resolvermos um problema de valor inicial (PVI) ou de contorno utilizamos

também o comando dsolve. Devemos definir as condições iniciais e de contorno e a

equação diferencial. A sintaxe é a seguinte: dsolve(EDO,ics,y(x),options), onde EDO é a

equação diferencial ordinária, ics as condições iniciais e de contorno, y(x) qualquer função

de uma variável que definirá a solução do problema e options que é opcional, onde por

exemplo poderíamos resolver o problema usando o método das transformadas de Laplace

ou de séries.

Exemplo:

Definindo uma equação diferencial:

>

Definindo as condições iniciais e de contorno:

>

12

182

Resolvendo o PVI:

>

Você pode também resolver o PVI usando a seguinte sintaxe:

>

Obs.: para apresentarmos condições iniciais envolvendo derivadas, usamos a seguinte

notação: 0)0)(( 0yD para 0)0(' 0y , 0)0)((2 0yD para 0)0('' 0y e assim

sucessivamente.

5.4 Construção do Campo de Direções para uma Equação Diferencial Linear de 1ª Ordem

O comando utilizado para plotar o campo de direções é DEplot, a sintaxe é a

seguinte: DEplot(EQ,f(x),x,y) onde EQ representa a equação diferencial de primeira ordem

que queremos construir o campo, f(x) a função solução da equação diferencial, x o intervalo

no eixo das abscissas, y o intervalo no eixo das ordenadas.

Exemplo:

Definindo uma equação diferencial:

>

Construindo o campo de direções para a equação ED1

>

Figura 05: Campo de direções da equação 242' tyty 42 gerado no Maple 14. Você também pode resolver um PVI graficamente, ou até mesmo traçar várias

curvas integrais de uma equação diferencial:

13

183

Exemplo:

Figura 06: Curvas integrais de 242' yyty 42 gerado no Maple 14.

Atividades Complementares

Exercício 01. Determine a medida do ângulo em graus do 2º quadrante cuja tangente vale

2 .

Exercício 02. Simplifique a seguinte expressão:

)cos(sin2

1)(

2

1)cos()(

2

1 2 tttsentttsen cs2

1s

22

11t

2

1cs .

Exercício 03. Dada a função, 232

23 xxy , plotar o seu gráfico e calcular as suas

raízes.

Exercício 04. Resolva o seguinte sistema de equações:

1032

153

122

zyx

zyx

zyx

.

Exercício 05. Calcule a derivada da função xxf 6cos)( c .

Exercício 06. Calcule a integral da função xsenxg 6)( s .

14

184

Exercício 07. Resolva a equação diferencial 00dxydyx e construa o seu campo de

direções com a solução 1)2( 1y .

Exercício 08. Resolva teydt

dy 23 e3 , 1)0( 1y e construa o gráfico da função solução.

Exercício 09. Resolva tetyyy 329'6'' t96 , 2)0( 2y , 6)0(' 6y e construa o gráfico da

função solução.

Exercício 10. Resolva teyyy te16'4'' , 0)0( 0y , 0)0(' 0y e construa o gráfico

da função solução.

Exercício 11. Resolva )4cos(16'' txx c16 , 0)0( 0x , 1)0(' 1x e construa o gráfico da

função solução.

15

185

REFERÊNCIAS

ANDRADE, L. N. Introdução à computação algébrica com o MAPLE. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 2004. BOYCE, W. E.; Di PRIMA, R. C. Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno. Tradução de Valéria Magalhães. 8. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2006. ZILL, D. G. Equações diferenciais com aplicações em modelagem. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2003. 492 p.

16

186

APÊNDICE B - PROBLEMA 01.

O problema deve ser resolvido observando a sequência apresentada pelo pesquisador

(Descoberta Guiada – uma pedagogia baseada na inquirição onde o professor formula o

problema ou escolhe a situação com o objetivo em mente. Conduz o aluno para a solução

do problema e o aluno segue a orientação do professor).

PROBLEMA 01 – PROBLEMA FÍSICO DE VALOR INICIAL ENVOLVENDO QUEDA LIVRE

ENUNCIADO

Problema 01 - De um ponto situado a 120m do solo joga-se uma pedra de massa m para o

alto com uma velocidade inicial de 8m/s. Considerando-se a gravidade a única força

atuante, calcular o tempo, a velocidade e a distância total até a pedra tocar o solo (adote

g=10m/s2 a aceleração da gravidade).

Problema extraído do texto Aplicações das Equações Diferenciais (Um enfoque Metodológico) de João Bosco Laudares, 1992, página 19, problema 12.

1 – INTERPRETAÇÃO DO ENUNCIADO

VERBALIZAÇÃO

a) Como você descreve este problema? Ajuda a

MODELO MATEMÁTICO - LEI FÍSICA

Identificação das varáveis

d) Qual é a variável independente do problema? Ajuda a

e) Quais as variáveis dependentes do problema? Ajuda b

Modelos matemáticos

f) Quais as leis matemáticas que se aplicam ao problema? Ajuda c

CONDIÇÃO INICIAL OU DE CONTORNO

b) Quais as condições iniciais do problema? Ajuda a

O QUE SE PEDE

a) Expresse o que se pede Ajuda a

187

2 – RESOLUÇÃO DO MODELO

Obs.: Todas as atividades solicitadas neste item devem ser desenvolvidas com o software

MAPLE.

Para a resolução deste exercício, suponha que a trajetória descrita pela pedra é a

mesma da direção do eixo coordenado y com sentido crescente para cima.

f) Resolva analiticamente o problema de valor inicial (PVI) para a equação diferencial

gdt

dvg (ED1) com as condições iniciais smvt /80 0 8v0 . Ajuda a

g) Sabendo que a velocidade é a derivada da posição(x) em relação ao tempo(t), defina a

equação diferencial 0vtgdt

dxvtg (ED2) e resolva o PVI para as condições iniciais

mxt 1200 0 1x0 . Ajuda b

h) Calcule o instante em que a pedra toca o solo. Ajuda c

i) Encontre a velocidade em que a pedra toca o solo. Ajuda d

j) Determine a distância total percorrida pela pedra até tocar o solo. Ajuda e

3 – ANÁLISE GRÁFICA DOS MODELOS

a) Construa o campo de direções para a equação diferencial gdt

dvg Ajuda a

b) Por que no campo de direções da equação gdt

dvg todos os elementos lineares

apresentam mesma direção e sentido? Ajuda b

c) Os elementos lineares representam inclinações tangentes a uma curva, que tipo de

curva esses elementos aproxima? Ajuda c

d) Com o uso do Maple, determine o ângulo formado por esses elementos. Ajuda d

e) Pelo campo de direções da equação gdt

dvg é possível prever a forma da função

(curvas) que representa a solução geral da equação diferencial? Ajuda e

f) O comportamento que você observou no campo de direções é coerente com a solução

do item a da resolução do modelo? Ajuda f

188

g) Construa o gráfico da velocidade em função do tempo. Ajuda g

h) A função velocidade é crescente ou decrescente para todo t? Ajuda h

i) Pelo fato da aceleração ser negativa, posso afirmar que a função velocidade é

decrescente? Ajuda i

j) No instante t = 0, qual é o valor da velocidade? Ajuda j

k) Verifique se sua resposta dada no item anterior observando o gráfico está coerente com

o enunciado do problema. Ajuda k

l) Observando o gráfico da velocidade em função do tempo, em que tempo dt

dxv

d

d se

anula? Ajuda l

m) Observando o gráfico da velocidade em função do tempo, estime um valor aproximado

do tempo em que a pedra atinge o solo. Ajuda m

n) Verifique se sua resposta dada no item anterior está coerente com a resolução do

modelo. Ajuda n

o) Em qual intervalo de tempo a velocidade é positiva? Ajuda o

p) Construa o gráfico da aceleração em função do tempo. Ajuda p

q) A aceleração é positiva ou negativa? Ajuda q

r) Qual o comportamento da aceleração na variação do tempo? Ajuda q

s) Dada a equação 10)(

10dt

tdv e as condições smvt /80 0 8v0 , resolva graficamente

este PVI. Ajuda s

t) Que relação existe entre a solução gráfica do PVI do item anterior com o gráfico da

velocidade em função do tempo? Ajuda t

u) Dada a equação 810)(

810tdt

tdx, construa o seu campo de direções. Ajuda u

v) Pelo campo de direções da equação 810)(

810tdt

tdx é possível prever a forma da

função (curvas) que representa a solução geral da equação diferencial? Ajuda v

w) Dada a equação 810)(

810tdt

tdx e as condições mxt 1200 0 1x0 , resolva

graficamente este PVI. Ajuda w

189

x) Construa o gráfico da função 12085)( 2 1285 tttx . Ajuda x

y) Que relação existe entre a solução gráfica do PVI do item anterior com o gráfico do

espaço em função do tempo? Ajuda y

z) De acordo com o gráfico do espaço em função do tempo, qual é a posição da pedra no

instante t=0? Ajuda z

aa) O valor encontrado no item anterior está coerente com o enunciado do problema?

Ajuda aa

bb) Observando o gráfico, qual é a posição máxima (aproximadamente) que a pedra

atinge? Ajuda bb

cc) Verificando no gráfico do espaço em função do tempo, de 0 a 0,8s, a parábola é

crescente ou decrescente? Ajuda cc

dd) Verificando no gráfico do espaço em função do tempo, de 0,8s a 5,7638s, os valores

da posição aumentam ou diminuem no decorrer do tempo? Ajuda dd

ee) Verifique por que a posição da pedra atinge um valor máximo a partir do gráfico da

aceleração. Ajuda ee

ff) Verifique, por meio da análise dos gráficos, a partir do valor máximo da posição, o sinal

da velocidade e da aceleração. Ajuda ff

190

APÊNDICE C - PROBLEMA 02.





PROBLEMA 02 – PROBLEMA FÍSICO ENVOLVENDO TERMODINÂMICA: LEI DE RESFRIAMENTO/AQUECIMENTO DE NEWTON

ENUNCIADO

A velocidade de resfriamento/aquecimento de um corpo é proporcional à diferença entre a

temperatura do corpo e a temperatura do meio que o rodeia, denominada temperatura

ambiente. Supondo que um termômetro é removido de uma sala em que a temperatura é

de 70ºF e colocado do lado de fora, em que a temperatura é de 10ºF. Após ½ minuto, o

termômetro marcou 50ºF. Qual será a temperatura marcada no termômetro no instante t = 1

minuto? Quanto tempo levará para o termômetro marcar 15ºF?

Problema extraído do texto Equações Diferenciais com Aplicações em Modelagem de Dennis G. Zill, 2003, página 104, problema 13.


VERBALIZAÇÃO



Identificação das varáveis

a) Qual a variável independente do problema? Ajuda a

b) Qual a variável dependente do problema? Ajuda b

c) Qual é o parâmetro do problema? Ajuda c

d) Qual é a constante do problema? Ajuda d

Modelo matemático

e) Qual a lei matemática que se aplica ao problema? Ajuda e

191


a) Qual a condição inicial do problema? Ajuda a

c) Qual a condição de contorno do problema? Ajuda b

O QUE SE PEDE

a) Expresse o que se pede. Ajuda a



MAPLE.

a) Resolva a equação diferencial )( mTTkdt

dTTk . Ajuda a

b) Calcule os valores dos parâmetros k e C. Ajuda b

c) Calcule a temperatura do termômetro no instante 11t min. Dê sua resposta avaliando

em ponto flutuante. Ajuda c

d) Calcule o tempo em que o termômetro marcará 15ºF. Dê sua resposta avaliando em

ponto flutuante. Ajuda d


a) Construa o campo de direções para a equação diferencial )( mTTkdt

dTTk , utilizando os

valores calculados de k e mT . Ajuda a

b) Que tipo de função poderíamos aproximar observando o campo de direções? Ajuda b

c) É possível definir o sinal de dt

dTobservando o campo de direções? Em caso afirmativo,

estabeleça o valores de T para os quais 00dt

dT, 00

dt

dT e 00

dt

dT. Ajuda c

d) É possível prever aproximadamente as soluções de equilíbrio da equação? Ajuda d

e) Construa o gráfico de dt

dTpor T . Ajuda e

192

f) Comparar os valores obtidos no item c com o gráfico dt

dT por T . Ajuda f

g) Construa o gráfico de dt

dT por t . Ajuda g

h) Quando t cresce indefinidamente, qual o valor que dt

dT tende? Ajuda h

i) Determine as tangentes dt

dT para 22t , 66t e 101t . Ajuda i

j) Verificar se os resultados obtidos no item i são abalizados pelo gráfico do item g.

Ajuda j

k) Construa o gráfico )(tT por t . Ajuda k

l) Quando você acha que o termômetro esfria mais rapidamente? Ajuda l

m) Resolva graficamente o P.V.I. para 70)0( 7T e depois para 50)2/1( 5T . Ajuda m

n) O que você observa em relação às duas soluções do item anterior? Ajuda n

Obs.: Nos próximos itens não há AJUDA porque se trata de uma simulação a ser feita pelo

estudante com dados a serem determinados pelo mesmo.

o) Simule uma condição inicial e outra de contorno para T (temperatura) negativa, para

análise de aquecimento.

p) Plote o gráfico )(tT por t para as condições dadas.

q) Observe a variação de T e de dt

dTpara t crescente.

r) Simule outra condição inicial e de contorno para T (positiva) entre 0 e 10 graus, ainda

para análise de aquecimento.

s) Plote o gráfico para a nova condição e observe a variação de T e dt

dTpara t crescente.

193

APÊNDICE D - PROBLEMA 03.





PROBLEMA 03 – ELETRICIDADE: CIRCUITOS EM SÉRIE

ENUNCIADO

A figura a seguir representa um circuito elétrico em série RL básico que contem uma fonte

de energia com uma voltagem dependente do tempo de E(t) volts, um resistor com uma

resistência constante de R ohms e um indutor com uma indutância constante de L henrys.

Uma corrente i(t) amperes flui através do circuito onde i(t) satisfaz a equação diferencial

(Segunda Lei de Kirchhoff)

)(tEiRdt

diL EiR

Para R = 6 Ω, L = 3 H, E(t) = 24 V e na condição i(0) = 15 A, determinar i(t).


VERBALIZAÇÃO


IDENTIFICAÇÃO DAS VARÁVEIS



c) Quais são os parâmetros do problema? Ajuda c

194


a) Qual a lei matemática que se aplica ao problema? Ajuda a



O QUE SE PEDE




MAPLE.

a) Resolva a equação diferencial )(tEiRdt

diL EiR . Ajuda a

b) Resolva o PVI para a condição: i(0) = 15 A. Ajuda b

c) Observando as resoluções da equação diferencial e do PVI acima descritos, você pode

prever o valor da constante da solução geral da equação diferencial? Ajuda c


a) Construa o campo de direções para a equação diferencial )(tEiRdt

diL EiR Ajuda a

b) Observando o campo de direções da equação )(tEiRdt

diL EiR , podemos esboçar

soluções desta equação? O que é necessário para esboçarmos uma solução? Ajuda b

c) Que tipo de função poderíamos aproximar observando o campo de direções? Ajuda c

d) É possível definir o sinal de dt

diobservando o campo de direções? Em caso afirmativo,

estabeleça os valores de i para os quais 00dt

di, 00

dt

di e 00

dt

di. Ajuda d

e) É possível observar no campo de direções um valor aproximado de i que representa

soluções de equilíbrio da equação diferencial? Ajuda e

195

f) Resolva graficamente o PVI relativo ao item b da resolução do modelo. Ajuda f

g) Construa o gráfico de dt

dipor i. Ajuda g

h) Comparar os valores obtidos no item d com o gráficodt

di por i. Ajuda h

i) Por que a reta dt

diintercepta o eixo i em 4? Ajuda i

j) Construa o gráfico de i(t) por t. Ajuda j

k) O que acontece com a intensidade da corrente quando o tempo é suficientemente

grande? Ajuda k

l) Construa o gráfico de dt

di por t. Ajuda l

m) O que acontece com a taxa de variação dt

dino decorrer do tempo? Ajuda m

196

APÊNDICE E - PROBLEMA 04.

Instruções gerais para a resolução do problema.

O problema deve ser resolvido observando a sequência apresentada pelo autor (Descoberta

Guiada – uma pedagogia baseada na inquirição onde o professor formula o problema ou

escolhe a situação com o objetivo em mente. Conduz o aluno para a solução do problema e

o aluno segue a orientação do professor).

PROBLEMA 04 – QUÍMICA: FÍSICO-QUÍMICA

ENUNCIADO

Sabendo-se que o radium se decompõe naturalmente em proporção direta à quantidade

presente e que leva 250 anos para decompor 10% de certa quantidade, quantos anos

levarão para decompor a metade da quantidade inicial?

Problema extraído do texto Aplicações das Equações Diferenciais (Um enfoque Metodológico) de João Bosco Laudares, 1992, página 25, problema 15.


VERBALIZAÇÃO


IDENTIFICAÇÃO DAS VARÁVEIS








b) Qual a condição de contorno do problema? Ajuda b

O QUE SE PEDE


197



MAPLE.

k) Resolva a equação diferencial mkdt

dmmk . Ajuda a

l) Calcule os valores dos parâmetros k e _C1. Ajuda b

m) Determinar a equação que permite calcular a massa em função do tempo. Ajuda c

n) Calcule o tempo necessário à decomposição da metade da quantidade inicial de radium,

2/1)( 1tm . Ajuda d


a) Construa o campo de direções para a equação diferencial mkdt

dmmk Ajuda a

b) Observando o campo de direções da equação mkdt

dmmk , podemos dizer que se o

tempo tende ao infinito, a massa tende a zero? Ajuda b

c) Que tipo de função poderíamos aproximar observando o campo de direções? Ajuda c

d) É possível definir o sinal de dt

dmobservando o campo de direções? Em caso afirmativo,

estabeleça o valores de m para os quais 00dt

dm, 00

dt

dme 00

dt

dm. Ajuda d

e) Construa o gráfico de dt

dm por m. Ajuda e

f) Comparar os valores obtidos no item d com o gráficodt

dm por m. Ajuda f

g) É possível observar no campo de direções um valor aproximado de m que representa

soluções de equilíbrio da equação diferencial? Ajuda g

h) Construa o gráfico de dt

dm por t. Ajuda h

198

i) O que acontece com a taxa de variação da massa com o passar do tempo? Ajuda i

j) Qual o período em que a taxa dt

dm apresenta maior variação? Ajuda j

k) Construa o gráfico de m(t) por t. Ajuda k

l) O que acontece com a massa quando o tempo é suficientemente grande? Ajuda l

m) Qual o sinal de dt

dm? Ajuda m

n) Verifique se é coerente o valor de m para 00t no gráfico de m(t) por t de acordo com o

dado do problema. Ajuda n

o) Resolva graficamente o Problema de Valor de Contorno (PVC): mkdt

dmmk

%)90(9.0250

%)100(10

mt

mt. Ajuda o

p) Verifique se é coerente a solução gráfica do PVC com o gráfico obtido em k. Ajuda p

199

APÊNDICE F - PROBLEMA 05.

Instruções gerais para a resolução do problema.





PROBLEMA 05 – VIBRAÇÃO DE MOLAS: MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES

ENUNCIADO

Sistema Massa-Mola

Quando a segunda lei de Newton sobre o movimento é combinada com a lei de Hooke,

podemos obter uma equação diferencial que governa o movimento de uma massa atada a uma

mola: 02

2

2

0xdt

xd 2 x , onde m

kk22 . A segunda lei de Newton diz que a resultante das forças

que atuam sobre um sistema em movimento é amF am . A lei de Hooke ( xkF xk )15 diz que

a força restauradora de uma mola esticada é proporcional ao deslocamento x , figura 1.

Quando o sistema está em movimento, a variável x representa o deslocamento da massa em

relação à posição de equilíbrio. Supondo que o sentido do movimento para baixo seja positivo e

que o movimento se dê em uma reta vertical que passa pelo centro de gravidade da massa,

determine a função )(tx que descreve o movimento livre, sabendo que uma massa pesando 2

kg distende uma mola em 9,8 cm. No instante t = 0, a massa é solta de um ponto a 8 cm abaixo

da posição de equilíbrio com uma velocidade direcionada para cima de 25 cm/s.

Figura 1

Problema adaptado do texto Equações Diferenciais com Aplicações em Modelagem de Dennis G. Zill, 2003, página 217, exemplo 01.

15

O sinal de subtração indica que a força restauradora da mola atua em direção oposta ao movimento.

200


VERBALIZAÇÃO


IDENTIFICAÇÃO DAS VARIÁVEIS







a) Quais as condições iniciais do problema? Ajuda a

O QUE SE PEDE




MAPLE.

a) Determine o valor da constante k da mola utilizando a segunda lei de Newton e a lei de

Hooke. Ajuda a

b) Resolva a equação diferencial 02

2

2

0xdt

xd 2 x , onde m

kk22 . Ajuda b

c) Determine a função )(tx que descreve o movimento livre. Ajuda c

201

3 – ANÁLISE GRÁFICA DO MODELO

a) Construa o gráfico da equação )10cos(25

2)10sin(

40

1)( tttx t

2

2t

4

1. Ajuda a

b) Observando o gráfico, determine o valor máximo de estiramento da mola? Ajuda b

c) Observando o gráfico, determine o valor máximo de compressão da mola? Ajuda c

d) Determine o período de oscilação da mola. Ajuda d

e) O período encontrado no item anterior é coerente com o gráfico em a? Ajuda e

f) Indicar no gráfico de )(tx onde a massa está abaixo e acima da posição de equilíbrio.

Ajuda f

g) Em que instante a massa passa pela posição de equilíbrio? Ajuda g

h) A vibração da mola tende a se anular quando t tende a infinito? Ajuda h

i) Construa o gráfico de )(tv . Ajuda i

j) Determine a velocidade da massa no instante 22t s. Ajuda j

k) O resultado encontrado no item anterior é coerente com o gráfico )(tv . Ajuda k

l) Qual o sentido do movimento da massa no instante 22t s? Ajuda l

m) Comparando os gráficos de )(tx e )(tv em relação ao sentido do movimento da massa,

o que podemos concluir? Ajuda m

n) Construa o gráfico de )(ta . Ajuda n

o) Observando o gráfico )(ta , indique os valores onde a aceleração da massa é máxima?

Ajuda o

p) Determine a aceleração da massa no instante 333t s. Ajuda p

q) O resultado encontrado no item anterior é coerente com o gráfico )(ta . Ajuda q

202

APÊNDICE G - ORIENTAÇÕES PARA RESOLUÇÃO DO PROBLEMA 1

ORIENTAÇÕES DE AJUDA PARA O ALUNO

(PROBLEMA 01)


VERBALIZAÇÃO

Ajuda a) dica 01: a aprendizagem ocorre com a conversação que não é apenas troca de

informações.

Ajuda a) dica 02: um diagrama simples pode ser desenhado para ajudar na verbalização.

Ajuda a) dica 03: o aluno deve verbalizar (interpretar) o problema com suas próprias

palavras.

LEI FÍSICA

Ajuda a) dica 01: no caso dos problemas de Equações Diferenciais Ordinárias teremos

sempre duas variáveis, sendo as demais grandezas os parâmetros.

Ajuda a) dica 02: variável independente: “As variáveis independentes serão aquelas que

são independentes dos procedimentos da investigação, que não dependem da

investigação, constituindo, no entanto fatores determinantes que a vão influenciar,

recorrendo o investigador à sua manipulação para observar os efeitos produzidos nas

variáveis dependentes” (Sousa, A. B., 2005).

Resposta: tempo.

Ajuda b) dica: variável dependente: “Consideram-se como variáveis dependentes aquelas

que dependem dos procedimentos da investigação, conectando-se diretamente com as

respostas que se procuram. São dados que se obtêm e que variam à medida que o

investigador modifica as condições de investigação. Uma variável dependente é aquela

que procuramos como resposta para a pergunta. Toda a investigação tem por objetivo

chegar à variável dependente, ou seja, ao resultado obtido com os procedimentos da

investigação” (Sousa, A. B., 2005).

Resposta: aceleração, velocidade, espaço.

Ajuda c) dica: a força resultante atuante no sistema é a força gravitacional ( gs FF F )

Resposta: a lei física que se aplica é: 1010dt

dvgagmam .

203

CONDIÇÕES INICIAIS DADAS

Ajuda a) dica: no tempo inicial que podemos denominar t = 0, foram dadas uma posição e

uma velocidade.

Resposta: )(1200

/80

0

0

terralreferenciamxt

smvt

O QUE SE PEDE

Resposta:

solootocaratépedrapelapercorridoespaçox

solootocapedraaqueemv

solootocarpedraaatét

?

?

?

2 - RESOLUÇÃO DO MODELO

Ajuda a) dica: o comando para resolver uma equação diferencial com uma condição inicial é

dsolve.

Resposta: 810)( 810ttv

Ajuda b) dica: o comando para resolver uma equação diferencial com uma condição inicial é

dsolve.

Resposta: 12085)( 2 185 tttx

Ajuda c) dica: substituir x(t) = 0 na equação do espaço e resolver a equação desprezando os

valores negativos de t caso aconteça.

Resposta: s05.763869465t

Ajuda d) dica: substituir o tempo encontrado s05.763869465t na equação da velocidade.

Resposta: m/s 049.6386946--v

Ajuda e) dica 01: não se pode confundir distância percorrida com posição. Para calcular a

distância percorrida, temos que determinar as posições.

Ajuda e) dica 02: a distância total percorrida representa a distância que a pedra percorre

durante a subida e a descida.

Ajuda e) dica 03: determine o tempo que a pedra leva para atingir a altura máxima.

Ajuda e) dica 04: substituir o valor do tempo na expressão das posições.

Ajuda e) dica 05: lembrar que a posição encontrada a partir do ponto de lançamento está

acrescida de 120m.

204

Resposta: m4,126)2,32,3120( mmmx 331( .

3 - ANÁLISE GRÁFICA DOS MODELOS

Ajuda a) dica 01: carregue todos os pacotes(ferramentas) para o estudo de equações

diferenciais do Maple.

Ajuda a) dica 02: lembre-se que g = 10 m/s2.

Ajuda a) dica 03: o campo de direções sugere a aparência ou forma de uma família de

curvas integrais da equação diferencial.

Ajuda a) dica 04: o comando para construir o campo de direções é DEplot.

Ajuda b) dica 01: observe as direções de todos os elementos lineares.

Resposta: a equação diferencial é da forma de uma constante cuja solução gera uma família

de funções do 1º grau.

Ajuda c) Resposta: uma reta.

Ajuda d) dica 01: analise se todos os ângulos formados pelos elementos lineares são iguais.

Ajuda d) dica 02: utilize a função arctan(x).

Resposta: 95.66784035º

Ajuda e) dica: observe no gráfico – campo de direções – a direção e o sentido dos

elementos lineares

Resposta: sim, funções lineares.

Ajuda f) dica: o campo de direções sugere soluções cujas funções são lineares e

decrescentes.

Ajuda g) dica 01: observe a solução da equação diferencial gdt

dvg .

Ajuda g) dica 02: o comando para construir gráficos em 2D é plot.

Ajuda h) dica 01: o tipo do gráfico de uma função linear é uma reta.

Resposta: decrescente, pois a medida que o tempo aumenta a velocidade diminui.

Ajuda i) dica 01: pense em integrar a função aceleração.

Ajuda i) dica 02: a aceleração é o coeficiente angular da função velocidade.

Ajuda j) dica 01: observe no gráfico da velocidade em função do tempo onde t = 0.

Resposta: 8 m/s.

205

Ajuda k) dica: ler o enunciado do problema.

Ajuda l) dica 01: explore escalas gráficas variando os valore de t.

Ajuda l) dica 02: lembre-se que vdt

dxv .

Ajuda l) dica 03: observar no eixo da velocidade onde v = 0 e verificar o tempo.

Resposta: t = 0,8s

Ajuda m) dica 01: explore escalas gráficas variando os valore de t.

Ajuda m) dica 02: observar no eixo da velocidade onde v é aproximadamente igual a -49 m/s

e verificar o tempo.

Resposta: aproximadamente 5,7s.

Ajuda n) confrontar os resultados.

Ajuda o) dica: observar o gráfico da velocidade em função do tempo.

Resposta: de 0 a 0,8s

Ajuda p) dica: o comando para construir gráficos em 2D é plot.

Ajuda q) dica: observar diretamente o gráfico.

Resposta: negativa

Ajuda r) dica: observar no gráfico da aceleração em função do tempo, o comportamento da

aceleração tomando como referência o seu eixo.

Resposta: a aceleração é constante.

Ajuda s) dica : o comando para construir PVI é DEplot.

Ajuda t) A solução do PVI mostra uma das respostas da equação diferencial que é a função

plotada no gráfico da velocidade em função do tempo.

Ajuda u) dica 01: o campo de direções sugere a aparência ou forma de uma família de


Ajuda u) dica 02: o comando para construir o campo de direções é DEplot.

Ajuda v) dica 01: observe no gráfico – campo de direções – a direção e o sentido dos

elementos lineares

Resposta: sim, funções quadráticas.

206

Ajuda w) dica : o comando para construir o campo de direções, dadas as condições iniciais

é DEplot.

Ajuda x) dica: o comando para construir gráficos em 2D é plot.

Ajuda y) A solução do PVI mostra uma das respostas da equação diferencial que é a função

plotada no gráfico do espaço em função do tempo.

Ajuda z) dica 01: explore escalas gráficas variando os valore de t e de x.

Resposta: 120m

Ajuda aa) confrontar os resultados.

Ajuda bb) dica 01: explore escalas gráficas variando os valore de t e de x.

Resposta: aproximadamente 123,2m

Ajuda cc) dica 01: Função crescente: Uma função f é crescente, se quaisquer que sejam x e

y no Domínio de f, com x < y, tivermos f(x) < f(y). Isto é, conforme o valor de x aumenta, o

valor da imagem de x pela função também aumenta.

Ajuda cc) dica 02: função decrescente: Uma função f é decrescente, se para quaisquer x e y

no Domínio de f, com x < y, tivermos f(x) > f(y). Isto é, conforme os valores de x aumentam,

o valor da imagem de x pela função f diminui.

Resposta: a função é crescente.

Ajuda dd) Resposta: diminuem.

Ajuda ee) dica 01: a aceleração é sempre negativa.

Ajuda ee) dica 02: a aceleração tem sentido contrário à orientação positiva da trajetória.

Ajuda ee) dica 03: a pedra sobe até atingir a altura máxima e depois desce devido a força

gravitacional.

Ajuda ff) dica 01: o tempo para a pedra atingir a altura máxima é de t = 0,8s, a partir do

ponto de lançamento.

Ajuda ff) dica 02: a velocidade, no intervalo considerado, é contrária à orientação positiva da

trajetória

Ajuda ff) dica 03: a aceleração é constante.

207

APÊNDICE H - ORIENTAÇÕES PARA RESOLUÇÃO DO PROBLEMA 2


(PROBLEMA 02)

1 - INTERPRETAÇÃO DO ENUNCIADO

ENUNCIADO

Ajuda a) dica: trata-se de um conteúdo da Termodinâmica.

Resposta: lei de resfriamento/aquecimento de Newton.

VERBALIZAÇÃO


informações.


palavras.

LEI FÍSICA


sempre duas variáveis, sendo as demais grandezas os parâmetros.

Ajuda a) dica 02: variável independente: “As variáveis independentes serão aquelas que são

independentes dos procedimentos da investigação, que não dependem da investigação,

constituindo, no entanto fatores determinantes que a vão influenciar, recorrendo o

investigador à sua manipulação para observar os efeitos produzidos nas variáveis

dependentes” (Sousa, A. B., 2005).

Resposta: tempo(t).




investigador modifica as condições de investigação. Uma variável dependente é aquela que

procuramos como resposta para a pergunta. Toda a investigação tem por objetivo chegar à

variável dependente, ou seja, ao resultado obtido com os procedimentos da investigação”

(Sousa, A. B., 2005).

Resposta: temperatura do corpo(T).

Ajuda c) dica: o parâmetro é a constante de proporcionalidade.

Resposta: k.

208

Ajuda d) dica: constante é um valor que não altera durante a análise do fenômeno, também

denominado invariante.

Resposta: temperatura do ambiente ou do meio(Tm = 10ºF).

Ajuda e) dica: a velocidade de resfriamento é proporcional à diferença entre as temperaturas

do corpo e do ambiente.

Resposta: mTTkdt

dTTk

CONDIÇÕES INICIAIS OU DE CONTORNO

Ajuda a) dica 01: se uma equação diferencial estiver definida para t ∈ [a, b] e a condição for

dada em a teremos uma condição inicial. Caso a condição seja dada num ponto t ≠ a, ela é

chamada de condição de contorno.

Ajuda a) dica 02: no tempo inicial que podemos denominar t = 0, qual é a temperatura do

corpo?

Resposta: para FTt º700 7T0

Ajuda b) dica 01: se uma equação diferencial estiver definida para t ∈ [a, b] e a condição for

dada em a teremos uma condição inicial. Caso a condição seja dada num ponto t ≠ a, ela é

chamada de condição de contorno.

Ajuda b) dica 02: no tempo 1/2 min, qual é a temperatura do corpo?

Resposta: FTt º50min2

15T

2

1

O QUE SE PEDE

Resposta: 1) a temperatura marcada no termômetro no instante t = 1min.

2) o tempo que levará para o termômetro marcar 15ºF.


Ajuda a) dica 01: carregue todos os pacotes (ferramentas) para o estudo de equações


Ajuda a) dica 02: observe que a solução geral vai ficar em função de k.

Resposta: kteCtT eC110)(

Ajuda b) dica 01: para calcular os valores de k e C1 você deve montar um sistema.

209

Ajuda b) dica 02: substitua as condições dadas FTt

FTt

º50min2

1

º700na solução geral da

equação diferencial.

Ajuda b) dica 03: resolva o sistema.

Resposta: )3/2ln(2 l2k e _C1 = 60.

Ajuda c) dica 01: para resolver uma equação com uma variável no Maple, utiliza-se o

comando solve.

Ajuda c) dica 02: substitua na solução geral da equação diferencial o valor 11t min.

Ajuda c) dica 03: utilize a função evalf.

Resposta: 36,6666667ºF

Ajuda d) dica 01: substitua na solução geral da equação diferencial o valor T = 15ºF.

Ajuda d) dica 02: utilize a função evalf.

Resposta: 3,064266938min

3 - ANÁLISE GRÁFICA DO MODELO



Ajuda a) dica 02: Tm = 10ºF e )3/2ln(2 l2k .

Ajuda b) dica 01: observar os elementos lineares, uma única curva integral segue seu

caminho acompanhando o padrão de fluxo do campo.

Resposta: exponencial/logarítmica.

Ajuda c) dica 01: observar a inclinação dos elementos lineares.

Resposta 01: sim

Ajuda c) dica 02: observar os valores no eixo )(tT .

Resposta 02: 00dt

dTpara 10)( 10tT , 00

dt

dTpara 10)( 10tT e 00

dt

dTpara 10)( 1tT .

Ajuda d) dica: soluções de equilíbrio são as únicas soluções constantes da equação

diferencial.

Resposta: sim, FtT F10)( .

210

Ajuda e) dica: substitua o valor de )3/2ln(2 l2k na equação diferencial e defina a equação

a ser plotada.

Ajuda f) obs.: através da análise do gráfico dt

dTpor T , confirmamos os resultados do estudo

dos sinais de dt

dT, obtidos apenas observando o campo de direções da equação diferencial.

Ajuda g) dica 01: carregue o pacote (student);

Ajuda g)dica 02: redefina a função )(tT .

Ajuda g) dica 03: calcule a derivada de )(tT e plote o gráfico.

Ajuda h) dica 01: observar o comportamento de dt

dTno gráfico de

dt

dT por t .

Resposta: dt

dTtende para o valor zero.

Ajuda i) dica 01: redefina a equação dt

dT por t .

Ajuda i) dica 02: utilize o comando subs e substitua o valores de t na equação pré-definida.

Respostas: 611024783,99 , 3750072161,00 e 30146321974,00 .

Ajuda j) dica: observar se os valores obtidos em i são compatíveis com os do gráfico de g.

Ajuda k) dica: utilize a função obtida no item c da resolução do modelo.

Ajuda l) dica 01: calcule a variação de temperatura nos intervalos de tempo [0,1]; [1,2]; [2,3]

e [3,4].

Resposta: no intervalo [0,1].

Ajuda m) dica: utilize o comando DEplot para resolver o PVI.

Ajuda n) Resposta: apresentam a mesma solução.

211

APÊNDICE I - ORIENTAÇÕES PARA RESOLUÇÃO DO PROBLEMA 3


(PROBLEMA 03)


VERBALIZAÇÃO


informações.


palavras.



sempre duas variáveis, sendo as demais grandezas os parâmetros ou constantes.

Ajuda a) dica 02: variável independente: “As variáveis independentes serão aquelas que são

independentes dos procedimentos da investigação, que não dependem da investigação,

constituindo, no entanto fatores determinantes que a vão influenciar, recorrendo o

investigador à sua manipulação para observar os efeitos produzidos nas variáveis

dependentes” (Sousa, A. B., 2005).

Resposta: tempo(t).




investigador modifica as condições de investigação. Uma variável dependente é aquela que

procuramos como resposta para a pergunta. Toda a investigação tem por objetivo chegar à

variável dependente, ou seja, ao resultado obtido com os procedimentos da investigação”

(Sousa, A. B., 2005).

Ajuda b) resposta: intensidade do corrente i(t).

Ajuda c) dica: os parâmetros são valores dados no problema.

Resposta: E, L e R.

212


Ajuda a) dica 01: é a lei do crescimento da intensidade da corrente elétrica num circuito RL

(série).

Ajuda a) dica 02: segunda Lei de Kirchhoff.

Resposta: )(tEiRdt

dIL EiR .

CONDIÇÃO INICIAL

Ajuda a) dica: no tempo inicial que podemos denominar t = 0, qual é a intensidade da

corrente?

Resposta: Ait 150 15i0

O QUE SE PEDE

Resposta: determinar a expressão que calcula a intensidade da corrente num tempo

qualquer.




Ajuda a) dica 02: substituir os valores de R = 6 Ω, L = 3 H e V(t) = 24 V na equação

diferencial.

Ajuda a) dica 03: utilize o comando dsolve para a resolução da equação diferencial.

Resposta: 1_4)( 2 Ceti t2e4

Ajuda b) dica 01: você pode resolver o PVI definindo a condição inicial ou inserindo-a

diretamente na linha do comando.

Ajuda b) dica 02: utilize o comando dsolve para a resolução do PVI.

Resposta: teti 2114)( 214

Ajuda c) dica: comparar a resposta da equação diferencial com a do PVI.

Resposta: _C1=11

213


Ajuda a) dica 01: substituir os valores de R = 6 Ω, L = 3 H e V(t) = 24 V na equação

diferencial.

Ajuda a) dica 02: utilizar o comando DEplot para traçar o campo de direções com ou sem

condições iniciais e de contorno.

Ajuda b) resposta 01: o campo de direções permite visualizarmos e esboçarmos inúmeras

soluções da equação diferencial(família de curvas integrais).

Ajuda b) resposta 02: é necessário termos uma condição inicial, por exemplo:

Ait 150 1i0 para se determinar uma curva da família.

Ajuda c) dica: observar os elementos lineares, uma única curva integral segue seu caminho

acompanhando o padrão de fluxo do campo.

Resposta: exponencial/logarítmica.

Ajuda d) resposta 01: sim, observando a inclinação dos elementos lineares.

Ajuda d) dica: observar os valores no eixo )(ti .

Resposta 02: 00dt

dipara 4)( 4ti , 00

dt

dipara 4)( 4ti e 00

dt

dipara 4)( 4ti .

Ajuda e) dica: soluções de equilíbrio são as únicas soluções constantes da equação

diferencial.

Resposta: sim, 4)( 4ti .

Ajuda f) dica: para resolver um PVI graficamente, utilize o comando DEplot.

Ajuda g) dica 01: utilizar o comando plot para construir gráficos em 2D.

Ajuda g) dica 02: isolar dt

dina equação diferencial para construir o gráfico.

Ajuda h) obs.: por meio da análise do gráfico dt

di por i, confirmar os resultados do estudo

dos sinais de dt

di, obtidos apenas observando o campo de direções da equação diferencial.

Ajuda i) Resposta: 4 é o valor onde 00dt

di, representa a solução de equilíbrio da equação

diferencial.

214

Ajuda j) dica: usa-se a seguinte equação para plotar o gráfico: teti 2114)( 2e14 .

Ajuda k) dica 01: observar no gráfico i(t) por t a tendência de )(ti .

Ajuda k) dica 02: todas as soluções se aproximam de um determinado valor.

Resposta: a corrente se estabiliza em 4)( 4ti .

Ajuda l) dica 01: utilizar o comando plot para construir gráficos em 2D.

Ajuda l) dica 02: substituir teti 2114)( 2e14 na equação diferencial e isolar dt

di.

Ajuda m) dica 01: observar o gráfico.

Resposta: a taxa de variação dt

di diminui em módulo até chegar a zero onde ocorre a

estabilidade.

215

APÊNDICE J - ORIENTAÇÕES PARA RESOLUÇÃO DO PROBLEMA 4


(PROBLEMA 04)


VERBALIZAÇÃO


informações.


palavras.









Resposta: tempo(t).








Resposta: massa m(t).

Ajuda c) dica: o parâmetro é um valor dado no problema ou a ser determinado.

Resposta: K.

216


Ajuda a) dica 01: este tipo de problema que resulta em expressões exponenciais são

denominados de crescimento ou decrescimento exponencial.

Ajuda a) dica 02: dt

dm varia proporcionalmente a m.

Resposta: mkdt

dmmk .

CONDIÇÕES INICIAIS OU DE CONTORNO

Ajuda a) dica 01: no tempo inicial que podemos denominar t = 0, qual é a massa de radium

existente?

Resposta: %)100(10 10 mt .

Ajuda b) dica 01: ao término de 250 anos, qual é a porcentagem de radium existente?

Resposta: %)90(9,0250 02 mt .

OBS.: "m" é a massa do radium que não se decompõe, isto é, 90% são o que resta após

250 anos.

O QUE SE PEDE

Resposta: determinar o tempo para decomposição da metade da quantidade inicial de

radium, ou seja: %)50(2/1? 1? mt .




Ajuda a) dica 02: observe que a solução geral vai ficar em função de k.

Resposta: kteCm e1_ .

Ajuda b) dica 01: para determinar os valores de k e _C1 aplica-se as condições iniciais e de

contorno.

Ajuda b) dica 02: montar um sistema onde a variáveis são k e _C1.

Resposta: 6260004214420,0,0k , _C1=1 Ajuda c) dica: substituir k e _C1 na solução geral da equação diferencial.

217

Resposta: tetm 6260004214420,0)( 0e

Ajuda d) dica: substitua o valor de 2/1)( 1tm na equação da massa em função do tempo e

determine o tempo.

Resposta: 1644,703370 anos




Ajuda a) dica 02: substitua o valor de 6260004214420,0,0k na equação diferencial.

Ajuda a) dica 03: utilizar o comando DEplot para traçar o campo de direções.

Ajuda a) dica 04: utilize valores altos para o tempo, por exemplo: t variando de 0 a 6000

anos para não comprometer o aspecto geral do gráfico.

Ajuda b) dica 01: o campo de direções permite visualizarmos e esboçarmos inúmeras

soluções da equação diferencial(família de curvas integrais).

Ajuda b) dica 02: você pode calcular o limite da função para quando o tempo tende a infinito.

Ajuda b) dica 03: observar diretamente no gráfico o comportamento da função.

Resposta: sim

Ajuda c) dica 01: observar os elementos lineares, uma única curva integral segue seu

caminho acompanhando o padrão de fluxo do campo.

Resposta: exponencial

Ajuda d) resposta 01: Sim, observando a inclinação dos elementos lineares.

Ajuda d) dica 01: observar os valores no eixo )(tm .

Resposta 02: 00dt

dm não existe, 00

dt

dm para 00t e 00

dt

dmpara 00t .

Ajuda e) dica 01: usar o comando plot para plotar gráficos em 2D.

Ajuda e) dica 02: isolar dt

dmna equação diferencial para construção do gráfico ou utilize

diretamente a função rhs.

218

Ajuda f) obs.: através da análise do gráfico dt

dmpor m, confirmamos os resultados do estudo

dos sinais de dt

dm, obtidos apenas observando o campo de direções da equação diferencial.

Ajuda g) dica: soluções de equilíbrio são as únicas soluções constantes da equação

diferencial.

Resposta: sim, 0)( 0tm .

Ajuda h) dica: substituir a equação da massa em função do tempo na equação diferencial

dada.

Ajuda i) dica: observar o gráfico.

Resposta: tende a zero

Ajuda j) resposta: de acordo com o gráfico, a taxa apresenta maior variação para o tempo

próximo de zero.

Ajuda k) dica: use valores altos para indicar o eixo do tempo, por exemplo: t variando de 0 a

6000.

Ajuda l) dica 01: observar no gráfico )(tm por t a tendência de )(tm .

Ajuda l) dica 02: todas as soluções se aproximam de um determinado valor.

Ajuda m) dica: observar todos os gráficos onde aparece dt

dm.

Ajuda o) dica: utilize o comando DEplot e as condições iniciais e de contorno para a

resolução gráfica do problema.

Ajuda p) dica: comparar os gráficos.

219

APÊNDICE K - ORIENTAÇÕES PARA RESOLUÇÃO DO PROBLEMA 5


(PROBLEMA 05)


VERBALIZAÇÃO


informações.


palavras.









Resposta: tempo(t).








Resposta: posição )(tx .

Ajuda c) dica: o parâmetro é um valor dado no problema ou a ser determinado.

Resposta: constante da mola(k).

220


Ajuda a) dica 01: este problema envolve o sistema Massa-Mola: movimento livre não

amortecido ou movimento harmônico simples.

Ajuda a) dica 02: o modelo combina a lei de Hooke e a segunda lei de Newton.

Resposta: 02

2

0xm

k

dt

xdoux

m

kaxkam

xkF

amF sendo 00mek ,

onde m

kk22 .

CONDIÇÕES INICIAIS

Ajuda a) dica: no tempo inicial que podemos denominar t = 0, qual é a posição da mola?

Resposta: 80 80 xt .

Ajuda b) dica: no tempo inicial t = 0, qual é a velocidade da mola?

Resposta: 25)0('0 25'0 xt .

O QUE SE PEDE

Resposta: determinar a função )(tx que descreve o movimento livre não amortecido.




Ajuda a) dica 02: a segunda lei de Newton é: amF am .

Ajuda a) dica 03: a lei de Hooke é: xkF xk .

Ajuda a) dica 04: igualar as duas forças.

Resposta: 2002k N/m

Ajuda b) dica 01: verificar que o valor de 1002 1m

k2 .

Ajuda b) dica 02: utilize o comando dsolve para resolver a equação diferencial.

Resposta: )10cos(2_)10sin(1_)( tCtCtx t_t_ .

Ajuda c) dica: utilize o comando dsolve para resolver a equação diferencial com as

condições iniciais.

221

Resposta: )10cos(25

2)10sin(

40

1)( tttx t

2

2t

4

1.


Ajuda a) dica: utilize o comando plot para plotar o gráfico.

Ajuda b) dica: ocorre estiramento da mola quando 0)( 0tx .

Resposta: 8)( 8tx .

Ajuda c) dica: ocorre compressão da mola quando 0)( 0tx .

Resposta: 8)( 8tx .

Ajuda d) dica 01: o período de vibrações livres é calculado por: 22

T .

Resposta: 55

T s.

Ajuda e) dica: observar no gráfico de )(tx o período de oscilação que é o intervalo de tempo

entre dois máximos sucessivos, e confrontar com o resultado calculado.

Ajuda f) dica: a massa está abaixo da posição de equilíbrio onde 0)( 0tx e acima da

posição de equilíbrio onde 0)( 0tx .

Ajuda g) dica: a massa passa pela posição de equilíbrio quando 0)( 0tx .

Resposta: kk

arctgt ,105

16

10

1, .

Ajuda h) dica 01: observar o gráfico )(tx .

Ajuda h) dica 02: a amplitude não altera no decorrer do tempo.

Resposta: não.

Ajuda i) dica 01: )(')( txtv x .

Ajuda i) dica 02: carregue o pacote “student” para calcular a derivada da função )(tx .

Ajuda i) dica 03: utilize o comando “diff” para calcular a derivada da função )(tx .

Ajuda i) dica 04: utilize o comando “plot” para plotar o gráfico.

Ajuda j) dica: utilize o comando “subs” para substituir 22t em )(tv , ou substitui 22t direto

em )(tv e resolva a equação.

Resposta: -0,8323767160 m/s.

222

Ajuda k) dica: observar o resultado encontrado -0,8323767160 no gráfico )(tv alterando a

escala para melhor visualização.

Resposta: sim.

Ajuda l) dica: observar o gráfico )(tx .

Resposta: para cima.

Ajuda m) dica 01: construir os gráficos de )(tx e )(tv em um mesmo plano.

Ajuda m) resposta: quando )(tx é decrescente )(tv é menor que zero e o movimento da

massa é para cima, quando )(tx é crescente )(tv é maior que zero e o movimento da massa

é para baixo.

Ajuda n) dica 01: )('')( txta x .

Ajuda n) dica 02: utilize o comando “diff” para calcular a derivada da função )(tv .

Ajuda n) dica 03: utilize o comando “plot” para plotar o gráfico.

Ajuda o) dica 01: observar no gráfico )(ta onde ocorre os valores máximos e mínimos da

aceleração.

Ajuda o) dica 02: determinar a derivada da função )(ta .

Ajuda o) dica 03: resolver a equação 0)(

0dt

tda para encontrar os valores máximos e

mínimos.

Resposta: kk

arctgt ,1016

5

10

1

10, .

Ajuda p) dica: utilize o comando “subs” para substituir 333t s na expressão da aceleração,

ou substitua 333t s direto na expressão da aceleração e resolva a equação.

Resposta: 8)3( 8)3a m/s2.

Ajuda q) dica: observar o resultado encontrado 8)3( 8)3a no gráfico )(ta .

Resposta: sim.

223

APÊNDICE L - QUESTIONÁRIO INICIAL APLICADO AOS ALUNOS




Questionário inicial aplicado aos alunos do 3º período da turma de Equações Diferenciais do

curso de Engenharia Elétrica do Instituto Federal de Goiás (IFG) – Campus Jataí.

Orientador: Prof. Dr. João Bosco Laudares

Mestrando: Prof. Aníbal Ataides Barros Filho

Nome: ____________________________________________________________________

1. “O limite de uma função f quando x → t é um número L”. Explique em poucas palavras o

significado desta expressão?

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

2. Das alternativas abaixo, marque aquela que você mais identifica com o conceito de

derivada.

( ) Função;

( ) Limite;

( ) Coeficiente angular;

( ) Inclinação;

( ) Medida de variação.

3. Dos conteúdos abaixo, assinale aqueles que você já utilizou para a resolução de

problemas com aplicação de derivadas?

( ) Máximos e Mínimos;

( ) Extremos de Funções;

( ) Inflexão;

( ) Crescimento e Decrescimento;

( ) Taxas Relacionadas;

( ) Modelagem e Otimização;

224

( ) Linearização.

4. Qual é a sua interpretação de Derivada como taxa de variação?

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

5. Qual o significado geométrico de Derivada?

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

6. O que representa a Derivada de uma função em um ponto?

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

7. Qual é a diferença entre uma solução geral e uma solução particular de uma equação

diferencial? Dê um exemplo.

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

8. Estabeleça a diferença entre condições iniciais e condições de contorno ou de fronteira?

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

9. Das equações abaixo, identifique aquelas que você consegue resolver?

( ) Variáveis Separáveis;

( ) Homogêneas;

( ) Exatas;

( ) Lineares;

( ) de Bernoulli;

10. Em que ano/período você cursou a disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I?

225

__________________________________________________________________________

11. Nas disciplinas de Cálculo Diferencial e Integral I e II foram utilizados softwares para

exploração dos conteúdos? Quais?

_______________________________________________________________________

226

APÊNDICE M - QUESTIONÁRIO FINAL APLICADO AOS ALUNOS




Questionário Final aplicado aos alunos do 3º período da turma de Equações Diferenciais do

curso de Engenharia Elétrica do Instituto Federal de Goiás (IFG) – Campus Jataí.

Orientador: Prof. Dr. João Bosco Laudares

Mestrando: Prof. Aníbal Ataides Barros Filho

Nome:

1. Qual o significado geométrico de Derivada?

2. Qual é a diferença entre uma solução geral e uma solução particular de uma equação

diferencial? Dê um exemplo.

3. Estabeleça a diferença entre condições iniciais e condições de contorno ou de fronteira?

4. Os gráficos podem ajudar na interpretação e análise de um fenômeno físico no contexto

do estudo das Equações Diferenciais?

( ) Sim;

( ) Não;

( ) Às vezes.

5. Identifique as principais dificuldades encontradas no desenvolvimento das atividades.

( ) Interpretação do texto;

227

( ) Determinação das variáveis;

( ) Resolução das equações;

( ) Construção dos gráficos;

( ) Utilização/familiarização do software MAPLE;

( ) Outros. Especificar:

6. Como você caracteriza as atividades desenvolvidas no decorrer da aplicação da

proposta?

( ) As atividades promovem a construção do conhecimento;

( ) As atividades apresentam cunho de pesquisa científica;

( ) As atividades contribuem para uma melhor compreensão dos fenômenos físicos

abordados;

( ) As atividades promovem o pensamento lógico matemático;

( ) As atividades são diferentes dos moldes tradicionais;

( ) As atividades possibilitam a experimentação;


7. Assinale as principais utilizações do software MAPLE no estudo das Equações

Diferenciais.

( ) Contribui para uma melhor interpretação e visualização dos fenômenos físicos

abordados;

( ) Agiliza os procedimentos de resolução das equações e construção dos gráficos;

( ) Trás uma visão diferente para o aprendizado de matemática;

( ) Obtém maior confiabilidade dos resultados;

( ) Gera maior variedade de casos;

( ) Concentra a atenção no conceito;


8. Analisando o campo de direções (campo de inclinações) de uma equação diferencial

ordinária linear de 1ª ordem, pode-se concluir que:

( ) O campo de direções sugere a aparência ou forma de uma família de curvas integrais

da equação diferencial;

228

( ) Permite aproximar e visualizar os ângulos formados pelos vetores tangentes (elementos

lineares) em cada ponto do gráfico;

( ) Permite visualizar determinadas regiões do plano nos quais um solução exibe um

comportamento não usual;

( ) Permite visualizar possíveis soluções de equilíbrio da equação diferencial;

( ) Permite verificar o sinal algébrico da derivada envolvida na equação diferencial e

consequentemente se a função é crescente ou decrescente em um determinado intervalo;


9. Em sua opinião, de uma forma geral, as atividades desenvolvidas contribuíram para

uma aprendizagem mais significativa de equações diferenciais ordinárias lineares de 1ª e 2ª

ordem.

( ) Muito;

( ) Pouco;

( ) Não contribuiu.

170 apÊndices apÊndice a - texto de introduÇÃo Às

Documents