1) Construir uma representação geométrica do grafo G = (V,E), onde:V = {1,2,3,4,5,6}E = {(1,3), (1,4), (1,5), (2,3),(2,4),(2,5),(3,5),(4,5)}

2) Os amigos João, Pedro, Antônio, Marcelo e Francisco sempre se encontram para botar conversa fora e às vezes jogar dama, xadrez e dominó. As preferências de cada um são as seguintes: João só joga xadrez; Pedro não joga dominó; Antônio joga tudo; Marcelo não joga xadrez e dominó e Francisco não joga nada.a) Represente através de um grafo bipartido G=(V,E) todas as possibilidades de um amigo jogar com os demais.

Defina V e E.b) Defina um subgrafo em que todos, menos Francisco, joguem ao mesmo tempo. c) A partir do grafo do item a) construa um grafo rotulado que mostra quem pode jogar com quem o que.

a) V = {J,DA,P,XA,A,DO,M,F}E = {(J,DA),(P,DA),(P,XA),(A,DA),(A,XA),(A,DO),(M,DA)}

b) V = { J,P,A,F,DA,XA,DO}E = {(J,XA),(P,DA),(P,XA),(A,XA), (M,DA)}

AVALIAÇÃO DE:

Prof.:

Aluno(a): Curso:

Período: Turma: No: Data: Nota:

Nota PC: + Nota ME: = NF

Data da Entrega do Resultado da Avaliação:

Teoria dos Grafos1a

Fábio Augusto Rodrigues da Nóbrega

Laís Daiane Sena C Cunha Ciência da Computação

5º N 01 16/02/2011

JPAMF

DAXADO

JPAM

DAXADO

c) V = {(J,P,A,M)}E = {(J,A),(P,A),(P,M),(A,M)}

3) Construa representações geométricas de grafos regulares de grau r (r = 1,2,3 e 4).

v1: r = 1v2: r = 2v3: r = 3v4: r = 4

4) Observe a seguinte planta de uma casa:

a) É possível entrar na casa, passar uma vez por todos os quartos e sair para fora? porquê?Não, para entrar e sair no quarto F tem q passar duas vezes por Gb) É possível, partindo de fora da casa, passar uma vez por cada porta? porque?Não, pois é preciso passar duas vezes por G

5) Apresente um grafo, com no mínimo 5 vértices. Apresente suas matrizes de adjacência e de incidência. Mostre exemplos de: a) percurso, b) caminho (simples), c) trajeto (trilha), d)ciclo, caminho e ciclo hamiltonianos e eulerianos

a) b) c) d) ciclo

Matriz de Incidência:a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7

1 +1 +1 0 0 0 0 +12 -1 0 +1 0 0 0 03 0 -1 -1 +1 +1 0 04 0 0 0 -1 0 +1 05 0 0 0 0 -1 -1 -1

e)

6) O que é um grafo valorado? Cite exemplos de sistemas que podem ser representados por grafos valorados. É um grafo com fatores associados. Ex.: Encontrar a distancia de uma cidade para outra através de um mapa.

a7

a6a5 a2

a1

a3

a4

1

2

34

5

Matriz de Adjacência:a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7

1 +1 +1 0 0 0 0 +12 -1 0 +1 0 0 0 03 0 -1 -1 +1 +1 0 04 0 0 0 -1 0 +1 05 0 0 0 0 -1 -1 -1

a b

c

d

e

2

1

3

45

2

1

4

4

ac

d

b

DE

C

F

7.Desenhar o grafo cuja matriz de adjacência é dada por:

8. Desenhar o grafo a partir da lista de adjacência ao lado

9. Encontre os fechos transitivos diretos e inverso para os grafos abaixo:

10. No grafo abaixo existe algum CLIQUE >= 3? Se a resposta for afirmativa apresente as possibilidades

11. Representar o grafo abaixo pela lista de arcos ou arestas

1

6

2 3

5

4

1

2

4

3

Tt(v1) = V2 T-(v1) = V4

Tt(v2) = V3,V5 T-(v2) = V1

Tt(v3) = V6 T-(v3) = V2,V6

Tt(v4) = V1 T-(v4) = V4,V7

Tt(v5) = V4,V6 T-(v5) = V4,V7

Tt(v6) = V3 T-(v6) = V3,V7

Tt(v7) = V4,V5,V6 T-(v7) = 0

Tt(v1) = V4,V5 T-(v1) = 0Tt(v2) = V3 T-(v2) = V1

Tt(v3) = V5 T-(v3) = V2,V4

Tt(v4) = V5 T-(v4) = V1

Tt(v5) = 0 T-(v5) = V1,V4,V5

Sim.

12. Encontrar as matrizes de adjacência e incidência para o grafo ao lado

13. Encontrar ao grafo complementar do grafo mostrado abaixo

14. Encontre todos os caminhos Eulerianos e Hamiltonianos para os grafos abaixo

S(.) |1|1|2|2|3|3|4|4|5|5|5|6|7|8|T(.) |2|3|3|6|5|4|5|8|2|6|7|7|1|7|

Matriz de Incidência:1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 0 +1 +1 +1 0 0 0 0 0 02 -1 0 +1 0 0 0 0 +

1+1

0

3 -1 0 0 0 +1 +1 0 0 0 04 0 0 -1 -1 -1 0 +1 0 0 05 0 0 0 0 0 -1 -1 -1 0 +16 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 -1

Matriz de Adjacência:1 2 3 4 5 6

1 0 1 1 1 0 02 1 0 0 1 1 13 1 0 0 1 0 04 1 1 1 0 0 05 0 1 1 1 1 16 0 1 0 0 0 0

a) Eulerianos: Hamiltonianos:1- V1,V2,V3,V4,V1 1- V1,V2,V3,V4,V52- V1,V4,V5,V1 2- V1,V4,V5

3- V5,V1,V3,V2,V1

b) Eulerianos: Hamiltonianos:1- V2,V3,V4,V2 1- V1,V2,V3,V42- V1,V2,V3,V4,V2 2- V2,V3,V43- V3,V3,V2,V1 3- V4,V3,V2,V2

15. Para o grafo abaixo apresente a matriz de custos

16. Apresente graficamente:

a) Um dígrafo K5 b)Um grafo não orientado com n=6

c) Uma hiper aresta com 4 pontos distintos

d)Um multígrafo com n=7Obs.: Multigrafo é qdo tem arestas paralelas e laços esta correto

e) Um hipergrafo simples

a)

d)

17. Considerando o grafo abaixo encontre as seguintes representações da matriz latina:a) representação por arco

A B C D E F G H I J1 1 1 1 2 3 3 4 5 52 3 4 5 3 2 4 2 4 5

A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A81 2 3 2 2 0 0 0 02 2 0 0 0 1 0 0 03 0 3 0 0 0 4 0 04 0 0 2 0 0 4 2 05 0 0 0 0 1 0 2 36 0 0 0 2 0 0 0 3

b) Km = 6 (6-1)/2c)

e)

a)

b) representação por vértice

18. Para o grafo abaixo, encontre os graus de saída e entrada.

19. Para a figura abaixo encontre um circuito que não seja um ciclo

20. . Para o grafo abaixo descreva três caminhos e determine seus respectivos comprimentos

21. Na Figura ao lado determine:a) Um caminho simples abcdb) Um trajeto abcdac) Um ciclo aecda

22. . Na Cidade ao Sol o serviço de autocarros, movidos a energia solar, une diretamente algumas das 10 zonas da

cidade entre as quais há mais deslocações diárias. Os autocarros não efetuam paragens intermédias.

No quadro descreve-se o grafo que representa as linhas e sentidos em que o serviço é operado, utilizando uma matriz

de adjacência de que só se escrevem os elementos não nulos. As diferentes zonas da cidade são representadas por

maiúsculas de A a J.

A B C D E F G H I JA 1 1

ENTRADA SAÍDAA 1 2B 1 2C 2 3D 2 2E 2 0F 2 2

b)

S(.) 1 1 1 1 2 3 3 4 5 5 T (.) 2 3 4 5 3 2 4 2 4 5

Não possui circuito, pois ao passar pelo vértice de origem torna-se um ciclo devido à orientação.

1- V2,V6,V5 (24)2- V2,V1,V6 (10)3- V4,V2,V1 (10)

A C E G I

BC 1 1 1D 1E 1F 1G 1 1H 1 1I 1

J 1 1a) Para que zonas da cidade se pode deslocar um passageiro que esteja na zona F? J H I

b) Para ir de C para H qual é o número mínimo de autocarros que um passageiro deve usar? 2

c) O sistema garante o transporte de passageiros entre qualquer par de zonas? Não, porque em B o passageiro não

pode sair daquele ponto

d) Caso a resposta tenha sido não apresente uma solução, inserindo o número mínimo de percursos, que permita o

transporte de passageiros entre qualquer par de zonas da cidade. (Isto é, acrescente arcos de modo a transformar o

grafo num grafo fortemente conexo).

BD F H J