1

11/Maio/2016 – Aula 19

13/Maio/2016 – Aula 20

Átomo de hidrogénioModelo de Bohr Modelo quântico. Números quânticos.

Aplicações: - nanotecnologias;- microscópio por efeito de túnel.

Equação de Schrödinger a 3 dimensões.

22

Aula anterior

3

Aplicação: microscópio por efeito de túnel

Diagrama de um microscópio por efeito de túnel

Uma ponta de prova ( “tip” ) condutora ( < 1nm) é colocada muito próximo ( ≈≈≈≈ 1 nm) da superfície que se pretende analisar.

Quando a ponta de prova está próxima da nuvem electrónica em torno dos átomos da superfície, os electrões vão atravessar a distância superfície-ponta por efeito de túnel, com uma probabilidade T = e -2 αααα L .

Se os sensores piezoeléctricosreceberem um sinal (feedback) de forma a manter a corrente constante na tip, então a distância superfície-ponta também vai ser constante.

Aula anterior

4

Aplicação: microscópio por efeito de túnel (cont.)

Com um microscópio por efeito de túnel é possível medir alturas na superfície da ordem de 0,001.10-9 m, ≈≈≈≈ 1/100 dodiâmetro atómico típico.

Imagem topográfica por efeito de túnel

Aula anterior

5

Equação de Schrödinger a 3 dimensões

2 2 2 2 2 2 2x y z

cin cin 2 2 2

p p pE E ( x, y,z ) -

2m 2m x y z

ψ ψ ψψ

+ + ∂ ∂ ∂= → = + +

∂ ∂ ∂

�

( )( )

2

2 2

d x 2m- E-U

dx

ΨΨ=

�

( ) ( )2 2 2

2 2 2 2

2m- E-U x, y, z

x y z

Ψ Ψ ΨΨ

∂ ∂ ∂+ + = ∂ ∂ ∂ �

Aula anterior

66

Equação de Schrödinger a 3 dimensões (cont.)

Poço de potencial 3D com paredes infinitas, em que U(x,y,z) = 0 no interior e U = ∞∞∞∞ no exterior:

Partícula confinadaTem-se ψψψψ (x,y,z) = 0 nas 6 faces do cubo:

x = 0, x = L ; y = 0, y = L ; z = 0, z = L.

( ) yx zn yn x n z

x, y,z A sen sen senL L L

ππ πψ

=

A função de onda espacial pode ser descrita como o produto de funções de (x,y,z ) independentes: x

y

z

LL

L

Aula anterior

77

Equação de Schrödinger a 3 dimensões (cont.)

Níveis de energia permitidos:

�2π 2

2m L2n

x2 + n

y2 + n

z2( ) =

h2

8mL2n

x2 + n

y2 + n

z2( ) = E

En1,n2 ,n3

=�

2π 2

2m L2n

12 + n

22 + n

32( ) = E

1n

12 + n

22 + n

32( )

Aula anterior

8

Equação de Schrödinger a 3 dimensões (cont.)

Um nível de energia com mais do que uma função de onda associada chama-se degenerado.

a) b)

Neste caso, para o 1º nível excitado:

E211 = E 121 = E 112 = 6 E1

(grau de degeneração = 3).

Diagrama de níveis de energiaa) poço cúbico infinito b) poço infinito não-cúbico

Em a) os níveis de energia são degenerados; em b), quando a simetria do potencial é retirada, os níveis deixam de ser degenerados .

Aula anterior

9

Átomos – modelo de Bohr do hidrogénio

Átomo de hidrogénioelemento mais abundante no universoprodução de energia no Sol ( p + p →→→→ d + e+ + νννν + 0,42 MeV )teste para as teorias da Física Quântica.

Modelo de Bohr do hidrogénio

Como explicar a existência de riscas espectrais para os elementos? Por exemplo, as linhas das séries de Balmer para o hidrogénio:

10

Modelo planetário semi-clássico :

1) os electrões deslocam-se em certas órbitas circulares estáveis em torno do protão, com raio rn .

n

h2 r n n

pπ λ

= =

2) só as órbitas para as quais o comprimento é um múltiplo inteiro do comprimento de onda de de Broglie são estáveis :

3) a força centrípeta é dada pela lei de Coulomb:

2 2

2n o n

m v e

r 4 rπε=

Bohr : os átomos só podem existir em certos estados de energia discretos.

11

Comparação : modelo de onda estacionária para as órbitas electrónicas ⇒⇒⇒⇒ 2ππππ rn = n λλλλ = n (h/p)

Modelo de Bohr

12

Electrão livre

Estados excitados

Estado fundamental

Energia: [J] , [eV]

13

Energia total numa órbita circular :

En =1

2mvn

2 + U( rn ) =1

2mvn

2 −e2

4πεo

rn

= −e2

8πεo

rn

de 2) : 2π rn

=nh

mv

→ v2

=n �

mrn

2

de 3) :mv2

rn=

e2

4πεo rn2

→ v2

=e2

4πεo mrn

rn = n2 �2 4πεo

me2

= n2 ao

Raio de Bohr :ao = 5.29 x 10-11 m

En = −e2

8πεo n2ao

= −E0

n2

Energias permitidas:En = -13,6 eV /n2

14

rn = n2 �2 4πεo

me2

= n2 ao

Raio de Bohr :ao = 5.29 x 10-11 m

15

Modelo de Bohr :

1. O espectro de energia é explicado : En = -13,6 eV / n2.2. O espectro de riscas é explicado: os fotões são emitidos com

hf = Einicial – Efinal ≡≡≡≡ ∆∆∆∆E .3. O raio de Bohr ao está de acordo com o tamanho do átomo de

hidrogénio no estado fundamental.

Expressão de Rydbergpara os comprimentos de onda observados

R = constante de Rydberg (medida experimentalmente)

2 2final inicial

1 1 1R

n nλ

= −

∆ E =hc

λ= hcR ∆

1

n2

16

protão

17

Série de Lyman(ultravioleta)

Série de Balmer(visível)

Série dePaschen(infravermelho)

A partir do modelo de Bohr:

18

Níveis de energia do electrão

Estado fundamental, r1

Estado excitado, r2

Estado excitado, r2

Estado excitado, r3

Estado excitado, r4

Estado excitado, r4

Estado excitado, r3

Estado fundamental, r1

19

Energia potencial U(r) :

2

o

eU( r )

4 rπε= −

r

protão: +e

electrão: -e

Ene

rgy

U(r) : poço de potencial 3D –superfície de revolução

1=n

∞=n

n 2

13,6 eVE

n

−=

A energia de ionização é a energia necessária que deve ser fornecida para “arrancar” um electrão até E = 0.

Os estados ligados têm energia E < 0

20

a) Determine a energia e o comprimento de onda para o limite da série de Brackett (n2 = 4) b) determine os três maiores comprimentos de onda desta série e indique as suas posições numa escala linear

a) A energia dos fotões é dada por i fhf E E E∆= = −

n = ∞= ∞= ∞= ∞ 0iE =O limite da série é obtido para e

0 0f 2 2

2 2

E EE E

n n∆

= − = − − =

A energia do fotão para n2 = 4 é igual a2

13,6 eVhf 0,850 eV

4= =

O comprimento de onda da radiação resultante duma transição de energia ∆∆∆∆E = h f é

1240 eV nm

Eλ

∆

⋅=

21

λλλλmin é encontrado para a transição n = ∞∞∞∞ →→→→ n2 = 4:

min

1240 eV nm1459 nm

0,850 eVλ

⋅= =

in 5,6 e7=b) Os três maiores comprimentos de onda são dados por

0 0i f 0 02 2 2 2 2

i 2 2 i i

E E 1 1 1 1E E E E E

16n n n n n∆

= − = − − − = − = −

( )5 4

1 1E 13,6 eV

16 25

0,306 eV

∆ →

= −

=

5 4

1240 eV nm4052 nm

0,306 eVλ →

⋅= =

22

( )6 4

1 1E 13,6 eV

16 36

0,472eV

∆ →

= −

=

6 4

1240 eV nm2627 nm

0,472 eVλ →

⋅= =

( )7 4

1 1E 13,6 eV

16 49

0,572 eV

∆ →

= −

=

7 4

1240 eV nm2168 nm

0,572 eVλ →

⋅= =

7→→→→4 6→→→→4 5→→→→4

---|---------|---------------------------------------------|--------

2168 nm 2627 nm 4052 nm

E1

E2

LASER

Absorção:

LASER: Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation

Emissão espontânea:

Emissão estimulada:

26

E1

E2

hυ

(a) Absorption

hυ

(b) Spontaneous emission

hυ

(c) Stimulated emission

Inhυ

Out

hυ

E2

E2

E1 E

1

Absorption, spontaneous (random photon) emission and stimulatedemission.

© 1999 S.O. Kasap, Optoelectronics (Prentice Hall)

27

When a sizable population of electrons resides in upper levels, this condition is called a "population inversion", and it sets the stage for stimulated emission of multiple photons. This is the precondition for the light amplification which occurs in a LASER and since the emitted photons have a definite time and phase relation to each other, the light has a high degree of coherence.

28

O electrão está confinado a um poço de potencial U(r) = - e2/ (4πεπεπεπεo r)

Consideremos agora :

1. A densidade de probabilidade pode ser relacionada com a densidade de carga do átomo:

ρρρρcarga (r) = - e |ψψψψ(r)|2 Coulomb/m3

2. A partícula confinada tem 1 número quântico para cada dimensão espacial ⇒⇒⇒⇒ são necessários 3 números quânticos para descrever cada estado (no modelo de Bohr só existe 1 número quântico, n ).

Estado fundamental, n = 1 , com distribuição de densidade electrónica dada por P(r) = |ψψψψ |2.

Modelo quântico do átomo de hidrogénio

29

−�

2

2m

∂2ψ

∂x2+

∂2ψ

∂y2+

∂2ψ

∂z2

+ U( r ) ψ = E ψ

Esses números quânticos (para além de n ) são uma consequência directa da equação de Schrödinger a 3 dimensões:

r

protão: + e

electrão: -e

2

o

eU( r )

4 rπε= −

30

Equação de Schrödinger a 3 dimensões:

−�

2

2m

∂2ψ

∂x2+

∂2ψ

∂y2+

∂2ψ

∂z2

+ U( x,y,z) ψ = E ψ

2

2 2 2o

eU( x, y,z ) -

4 x y zπε=

+ +

Forma do poço de potencial que mantém o electrão confinado.

31

φφφφ

rθθθθ

x

y

z

Vai existir um número quântico associado a cada coordenada: r , θθθθ e φφφφ

Em coordenadas esféricas, U = U (r) apenas:

( )

2 2 2r x y z

arccos z / r

arctg( y / x )

θ

φ

= + +

=

=

0

0 2

θ π

φ π

≤ ≤

≤ ≤

32

A função de potencial tem simetria esférica ⇒⇒⇒⇒ é mais fácil resolver este problema em coordenadas esféricas (r , θθθθ , φφφφ ), com U = U(r) .

Solução para o estado fundamental do hidrogénio: (n = 1, E = -13,6 eV)

/( , , ) o

13o

1 r ar e

aψ θ φ

π

−=

21

todo o espaço

P( r, , ) dV 1 | | dV 1θ φ ψ= ⇒ =∫ ∫Condição de normalização :

dV = elemento de volume

ao = raio de Bohr

Resolução da equação de Schrödinger:

33

Elemento de volume com simetria esférica :

2dV 4 r drπ=

r• superfície de uma esfera: 4 ππππ r 2

• volume dV de uma coroa esférica com espessura dr

Densidade de probabilidade radial:

A probabilidade de encontrar o electrão em r dentro da coroa esférica de espessura dr é igual a

P(r)dr

oar /

Localização mais provável do electrão ⇔⇔⇔⇔ r = ao (raio de Bohr).

Para o estado com n = 1

2 2P( r ) 4 r | |π ψ=

34

Em resumo: - dois modelos para o átomo de hidrogénio

1. Modelo de Bohr, de órbitas planetárias com 2ππππ rn = n λλλλ , rn = n ao ,

• consegue prever os níveis de energia correctamente En = -13,6 eV/ n2.

2. Modelo quântico, em que o electrão está confinado a um poço de potencial da forma

U(r) = - e2/ (4πεπεπεπεo r)

• consegue obter os níveis de energia correctamente

En = -13,6 eV/ n2

• consegue obter a maior probabilidade de encontrar o electrão para r = ao a partir da densidade de probabilidade radial da função de onda.

No modelo quântico, o átomo é representado por uma nuvem definida pela densidade de probabilidade electrónica.

35

Números quânticos para o hidrogénio e coordenadas associadas:

1. Coordenada radial rnúmero quântico principal n = 1, 2, 3 .... (⇔⇔⇔⇔ n do modelo de Bohr)

2. Ângulo polar θθθθnúmero quântico do momento angular l = 0, 1, 2 ... (n-1)

3. Ângulo azimutal φφφφnúmero quântico magnético m l ≡≡≡≡ m = -l, -l +1, 0, 1 ... l (2l+1) valores

φφφφ

rθθθθ

x

y

zO conjunto dos números quânticos (n, l, m)

tem origem nas condições de confinamento da função de onda (que seja solução da equação de Schrödinger) a 3 dimensões : todos os 3 números são necessários para especificar essa função de onda.

Números quânticos do átomo de hidrogénio

36

No entanto, a energia total E só depende do número quântico principal (n ):

As funções de onda são indicadas pelo conjunto dos 3 números quânticos (n, l, m ),que só podem tomar certos valores:

Energia n l m estado nº de estados- 13,6 eV 1 0 0 1s 1

- 3,4 eV 2 0 0 2s 1

- 3,4 eV 2 1 1,0,-1 2p 3

-1,5 eV 3 0 0 3s 1

-1,5 eV 3 1 1,0,-1 3p 3

-1.5 eV 3 2 2,1,0,-1,-2 3d 5

... ... ... ... ... ...

Os estados são indicados de acordo com o valor de ll = 0 ≡≡≡≡ s ; l = 1 ≡≡≡≡ p ; l = 2 ≡≡≡≡ d ; l = 3 ≡≡≡≡ f ; ....

Por exemplo, o estado fundamental, de simetria esférica, é indicado por:

1 o100 3ao

r / a( r, , ) e

πψ θ φ

−=

n 2

13,6E eV

n= −

n,l ,m ( r , , )ψ θ φ

Número quântico principal ( n )

37

Estados excitados, com E = - 3,4 eV , n = 2

o o o2,0,0 2,1,0 2,1, 1

r r r2

a a ao o o

r / 2a r / 2a r / 2a iA e B e cos C e sen e

φψ ψ θ ψ θ±− − − − ± = = =

Densidades de probabilidade radiais:

2, 0, 0 2, 1, 0 2, 1, ±±±± 1

1 o100 3

ao

r / a( r, , ) e

πψ θ φ

−=

Estado fundamental, de simetria esférica