AGRUPAMENTO DE ESCOLAS DE MORTGUA Ficha de Trabalho n3 - Funes - 12 ano

Exames 2000 a 2003

1.Admita que, ao longo dos sculos XIX e XX e dos dois primeiros anos do sculo XXI, a populao de

Portugal Continental, em milhes de habitantes, dada, aproximadamente, por t,

e,

,,)t(p

03608121

8653

(considere que t medido em anos e que o instante t=0 corresponde ao incio do ano 1864).

a) De acordo com este modelo, qual ser a populao de Portugal Continental no final do presente ano? Apresente o resultado em milhes de habitantes, arredondado s dcimas.

b) Sem recorrer calculadora (a no ser para efetuar eventuais clculos numricos), resolva o seguinte problema: De acordo com este modelo, em que ano a populao de Portugal Continental foi de 3,7 milhes de habitantes? (2003)

2.Uma rampa de desportos radicais foi construda entre duas

paredes, A e B, distanciadas de 10 metros, como se mostra

na figura. Considere a funo h definida por

)xxln()x(h 1110415 2 . Admita que h(x) a

altura, em metros, do ponto da rampa situado a x metros

direita da parede A.

a) Determine a altura da parede A. Apresente o resultado em metros, arredondado s dcimas.

b) Sem recorrer calculadora, estude a funo h quanto monotonia e conclua da que, tal como a figura sugere, num ponto equidistante das duas paredes que a altura da rampa mnima.

c) Mostre, analiticamente, que )x(h)x(h 55 .

Interprete esta igualdade no contexto da situao descrita. (2003)

3.De uma funo f, de domnio IR, sabe-se que a sua derivada dada por xe)x()x('f x 101 .

Seja A o nico ponto de inflexo do grfico de f.

Recorrendo s capacidades grficas da sua calculadora, determine a abcissa do ponto A, arredondada s

dcimas. Explique como procedeu. Inclua, na sua explicao, o(s) grfico(s) que obteve na calculadora.

(2003)

4.Num laboratrio foi colocado um purificador de ar. Num determinado dia, o purificador foi ligado s zero

horas e desligado algum tempo depois. Ao longo desse dia, o nvel de poluio do ar diminuiu, enquanto o

purificador esteve ligado. Uma vez o purificador desligado, o nvel de poluio do ar comeou de imediato

a aumentar.

Admita que o nvel de poluio do ar no laboratrio, medido em mg/l de ar, s t horas desse dia, pode ser

dado por 2401

11 ,t,

t

)tln()t(P

, (ln designa logaritmo de base e).

a) Qual o nvel de poluio uma hora e trinta minutos da tarde? Apresente o resultado na unidade considerada, arredondado s dcimas.

b) Sem recorrer calculadora, a no ser para efetuar eventuais clculos numricos, resolva o seguinte problema: Quanto tempo esteve o purificador de ar ligado?

Apresente o resultado em horas e minutos (minutos arredondados s unidades). (2003)

5.Prove que, para qualquer funo quadrtica g, existe um e um s ponto do grfico onde a reta tangente

paralela bissetriz dos quadrantes mpares. (2003)

6.O nvel N de um som, medido em decibis, funo da sua intensidade I, medida em Watt por metro

quadrado, de acordo com a igualdade 0.Ipara1010 1210 ,IlogN Utilizando mtodos exclusivamente analticos, resolva as duas alneas seguintes.

a) Verifique que IlogN 1010120 .

b) Admita que o nvel de rudo de um avio a jato, ouvido por uma pessoa que se encontra na varanda de um aeroporto, de 140 decibis. Determine a intensidade desse som, em watt por metro quadrado.

(2002)

7.Seja f uma funo contnua, de domnio 50 , e contradomnio 43 , . Seja g a funo, de domnio 50 , , definida por x)x(f)x(g . Prove que a funo g tem, pelo menos, um zero. (2002)

8.Uma nova empresa de refrigerantes pretende lanar no mercado embalagens de sumo de fruta, com

capacidade de dois litros. Por questes de marketing, as embalagens devero ter a forma de um prisma

quadrangular regular.

a) Mostre que a rea total da embalagem dada por x

x)x(A

82 3 (x o comprimento da aresta da

base, em dm; recorde que 1 litro=1dm3).

b) Utilizando mtodos exclusivamente analticos, mostre que existe um valor de x para o qual a rea da embalagem mnima e determine-o. (2002)

9.Doses teraputicas iguais de um certo antibitico so administradas, pela primeira vez, a duas pessoas: a Ana

e o Carlos. Admita que, durante as doze primeiras horas aps a tomada simultnea do medicamento pela Ana

e pelo Carlos, as concentraes de antibitico, medidas em miligramas por litro de sangue, so dadas,

respetivamente, por t,t et)t(Cet)t(A 7033 2e4 . A varivel t designa o tempo, medido em horas,

que decorre desde o instante em o medicamento tomado 120,t .

a) Recorrendo a mtodos analticos e utilizando a calculadora para efetuar clculos numricos, resolva as duas alneas seguintes.

a.1) Determine o valor da concentrao deste antibitico no sangue da Ana, quinze minutos depois de

ela o ter tomado. Apresente o resultado, em miligramas por litro de sangue, arredondado s

centsimas.

a.2) No instante em que as duas pessoas tomam o medicamento, as concentraes so iguais (por serem

nulas). Determine quanto tempo depois as concentraes voltam a ser iguais. Apresente o

resultado em horas e minutos (minutos arredondados s unidades).

b) Considere as seguintes questes: I. Quando a concentrao ultrapassa 7,5 miligramas por litro de sangue, o medicamento pode ter

efeitos secundrios indesejveis. Esta situao ocorrer, neste caso, com alguma destas duas

pessoas? Caso afirmativo, com quem? E em quantos miligramas por litro o referido limiar ser

ultrapassado?

II. Depois de atingir o nvel mximo, a concentrao comea a diminuir. Quando fica inferior a 1 miligrama por litro de sangue, necessrio tomar nova dose do medicamento. Quem deve tom-la e

primeiro lugar, a Ana ou o Carlos? E quanto tempo antes do outro?

Use as capacidades grficas da sua calculadora para investigar estas duas questes. Numa composio,

com cerca de dez linhas, explicite as concluses a que chegou, justificando devidamente. Apresente, na sua

resposta, os elementos recolhidos na utilizao da calculadora: grficos e coordenadas de alguns pontos

(coordenadas arredondadas s dcimas). (2002)

10. Malmequeres de Baixo uma populao com 5000 habitantes. a) Num certo dia ocorreu um acidente nessa povoao, que foi testemunhado por algumas pessoas. Admita

que t horas depois do acidente, o nmero (expresso em milhares) de habitantes de Malmequeres de Baixo

que sabiam do ocorrido era, aproximadamente, 0,1241

5)(

3,0

t

etf

t. Recorrendo exclusivamente a

processos analticos, estude a funo f quanto monotonia e quanto existncia de assimptotas do seu

grfico. Interprete as concluses a que chegou, no contexto do problema.

b) Alguns dias depois , ocorreu outro acidente no mesmo local, testemunhado pelas mesmas pessoas. No entanto, neste segundo acidente, a notcia propagou-se mais depressa, no sentido em que, decorrido o

mesmo tempo aps o acidente, mais pessoas sabiam do ocorrido. Admita que, t horas depois deste

segundo acidente, o nmero (expresso em milhares) de habitantes de Malmequeres de Baixo que sabiam

do ocorrido era, aproximadamente, 01

5

t,

ae)t(g

bt (para certos valores de a e b). Numa pequena

composio, com cerca de dez linhas, refira o que pode garantir sobre os valores de a e de b, comparando

cada um deles com o valor da constante correspondente da expresso de f. (2001)

11. Considere a funo f, de domnio IR+, definida por f(x) = 3x-2lnx.Utilize mtodos exclusivamente analticos para resolver as duas alneas seguintes:

a) Estude, analiticamente, f quanto existncia de assimptotas do seu grfico. b) Mostre, analiticamente, que a funo f tem um nico mnimo. c) O grfico f contm um nico ponto cuja ordenada o quadrado da abcissa. Recorrendo calculadora,

determine um valor aproximado para a abcissa desse ponto. (Apresente o resultado arredondado s

dcimas). Explique como procedeu (na sua explicao, deve incluir o grfico, ou grficos, que considerou

para resolver esta questo). (2001)

12. De uma funo g, de domnio IR+, sabe-se que a bissetriz dos quadrantes mpares uma assmptota do seu

grfico. Seja h a funo, de domnio IR+, definida por

2x

)x(g)x(h . Prove que o eixo OX uma assmptota

do grfico de h. (2001)

13. Considere que a altura A (em metros) de uma criana do sexo masculino pode ser expressa, aproximadamente, em funo do seu peso p (em Kg), por A(p) = -0,52+0,55ln(p). Recorrendo a mtodos

analticos e utilizando a calculadora para efetuar clculos numricos, resolva as duas alneas seguintes.

a) O Ricardo tem 1,4 m de altura. Admitindo que a altura e o peso do Ricardo esto de acordo com a igualdade referida, qual ser o seu peso ? Apresente o resultado em Kg arredondado s unidades.

b) Verifique que, para qualquer valor de p, a diferena A(2p) - A(p) constante. Determine um valor aproximado dessa constante ( com duas casa decimais) e interprete esse valor, no contexto da situao

descrita. (2001)

14. Um petroleiro, que navegava no Oceano Atlntico, encalhou numa rocha e sofreu um rombo no casco. Em

consequncia disso, comeou a derramar crude. Admita que s t horas do dia a seguir ao do acidente, a rea,

em Km2, de crude espalhado sobre o oceano dada por A(t) = 16e

0,1t , t0 , 24

a) Verifique que, para qualquer valor de t, )(

)1(

tA

tA constante. Determine um valor aproximado dessa

constante (arredondado s dcimas) e interprete esse valor, no contexto da situao descrita.

b) Admita que a mancha de crude circular, com centro no local onde o petroleiro encalhou. Sabendo que esse local se encontra a 7 Km da costa, determine a que horas, do dia a seguir ao do acidente, a mancha

de crude atingir a costa.

Apresente o resultado em horas e minutos (minutos arredondados s unidades). (2001)

15. A presso atmosfrica de cada local da Terra depende da altitude a que este se encontra. Admita que a presso atmosfrica P (medida em quilopascal) dada, em funo da altitude h (em Km), por

hehP 12,0101)( .

a) A montanha mais alta de Portugal o Pico, na Ilha do Pico Aores. A altitude do cume do Pico 2350 metros. Qual o valor da presso atmosfrica, nesse local? Apresente o resultado em quilopascal,

arredondado s unidades.

b) Determine x tal que, para qualquer h, ).(2

1)( hPxhP Apresente o resultado arredondado s dcimas.

Interprete o valor obtido, no contexto do problema. (2000)

16. Considere a funo f de domnio IR, definida por )()( 2 xxexf x . Recorrendo exclusivamente a

processos analticos, resolva as alneas seguintes:

a) Verifique que )13()(' 2 xxexf x e determine uma equao da reta tangente ao grfico de f, no ponto

de abcissa 0.

b) Estude f quanto ao sentido das concavidades e quanto existncia de pontos de inflexo. (2000)

17. Um laboratrio farmacutico lanou no mercado um novo analgsico: o AntiDor. A concentrao deste medicamento, em decigramas por litro de sangue, t horas aps ser administrado a uma pessoa dada por

)0()( 6,02 tettC t

a) Recorrendo exclusivamente a processos analticos, determine o valor de t para qual mxima a concentrao de AntiDor no sangue de uma pessoa que o tenha tomado. Calcule o valor dessa

concentrao mxima, apresentando o resultado na unidade considerada com aproximao s dcimas.

b) O mesmo laboratrio realizou uma campanha de promoo deste medicamento, baseada no slogan AntiDor Ao Rpida e prolongada! Numa breve composio, de 60 a 120 palavras, comente o slogan tendo em conta que:

- para a maioria das dores, o AntiDor s produz efeito se a sua concentrao for superior a 1 decigrama

por litro de sangue;

- de acordo com uma associao de defesa do consumidor, um bom analgsico deve comear a produzir

efeito, no mximo, meia hora aps ter sido tomado, e a sua ao deve permanecer durante, pelo menos,

5 horas (aps ter comeado a fazer efeito).

Nota: na resoluo desta questo deve utilizar as capacidades grficas da sua calculadora e enriquecer

a sua composio com o traado de um ou mais grficos. (2000)

18. Considere a funo f, de domnio IR\{1}, definida por 1

)(

x

exf

x

. Recorrendo a processos analticos,

resolva:

a) Estude a funo f quanto monotonia e quanto existncia de extremos relativos.

b) Resolva a equao lnf(x)=x. c) Estude a funo f quanto existncia de assimptotas verticais e horizontais do seu grfico. (2000)

19. Considere uma funo f de domnio IR+. Admita que f positiva e que o eixo Ox assmptota do grfico

de f. Mostre que o grfico da funo f

1 no tem assmptota horizontal. (2000)

Solues:

0e1222112m.r.18Falso513

10171e414em

14em1685761538221114380331332

3

211192050928100643180421354521837891 21

3

yx)cx)b,;,,;x)a.)b,;)a.;,

;,,)bxy)a.,)b)a.mh)b,)a.,)b)a.,)c

)b.mh)a,)a.)b.)b.mh)b,)a.,)x)b,)a.)b,)a.

20. Seja f uma funo de domnio IR. Na figura est representada parte do grfico de f , segunda derivada da funo f. Relativamente ao grfico da funo f, qual das afirmaes seguintes verdadeira?

(A) O ponto de abcissa a um ponto de inflexo. (B) O ponto de abcissa c um ponto de inflexo.

(C) A concavidade est voltada para baixo no intervalo b,0 . (D) A concavidade est sempre voltada para cima.

21. De uma funo f, de domnio IR, sabe-se que f(5)=0 e f uma funo par. Seja g a funo, de domnio IR, definida por g(x)=f(x+3). Qual dos seguintes pode ser o conjunto dos zeros de g?

82285330 ,)D(,)C(,)B(,)A( (2002)

22. De uma funo h, de domnio IR , sabe-se que a reta de equao y=2 assmptota do seu grfico.

Qual o valor de xx e

)x(hlim

?

20 )D()C()B()A( (2002)

23. Na figura est representado, em referencial o.n. Oxyz, um cilindro de revoluo. A altura do cilindro 3 e uma das bases est contida no plano xOy,

sendo o seu centro o ponto (0, 1, 0) e o seu raio igual a 1. Seja 20,b e seja f a funo que, a valor de b, faz corresponder o permetro da seco produzida no

cilindro pelo plano de equao y=b.

Qual o mximo da funo f ?

(A) 9 (B) 10 (C) 11 (D) 12 (2002)

24. Na figura esto representadas, num referencial o.n. xOy, parte de uma funo f,

de domnio IR , definida por xln)x(f 21 , e a reta r, tangente ao grfico de f

no ponto de abcissa 1. Qual o declive da reta r?

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (2002)

25. Seja h uma funo contnua, de domnio IR. Qual dos seguintes conjuntos no pode ser o contradomnio de h?

100 ,)D(IR)C(\IR)B(IR)A( (2002)

26. O grfico da funo f, de domnio IR, definida por x,e,,)x(f 302010 , tem uma nica assmptota. Qual

das condies seguintes uma equao dessa assmptota?

3020100 ,y)D(,y)C(,y)B(y)A( (2002)

27. Para um certo valor de k, contnua em IR a funo f definida por

0se

0se0

x)kxln(

x)x(f

Qual o valor de k?

(A) 2 (B) 1 (C) 0 (D) -1 (2001)

28. Na figura est parte da representao grfica de uma funo g, polinomial do terceiro grau. A funo g admite mximo relativo igual a 3 para x=-1 e admite

mnimo relativo igual a 2 para x=1. Qual o conjunto dos valores de b para os quais a equao g(x)=b tem trs solues distintas?

323232 ,)D(,)C(,)B(,)A( (2001)

29. Seja f uma funo tal que a sua derivada, no ponto 3, igual a 4. Indique o valor de 9

323

x

)(f)x(flimx

3

2

2

340 )D()C()B()A( (2001)

30. Seja h a funo, de domnio IR, definida por

0se23

0se2

0se1

xx

x

xe

)x(f

x

Relativamente continuidade da funo h, no ponto 0, qual das afirmaes seguintes verdadeira?

(A) descontnua esquerda e direita . (B) contnua esquerda e descontnua direita. (C) contnua direita e descontnua esquerda. (2001) (D) contnua.

31. Na figura est representada parte do grfico de uma funo f, polinomial do terceiro grau. 2 um mximo relativo da funo f.

Seja g a funo, de domnio IR, definida por g(x)=f(x)-2.

Quantos so os zeros da funo g?

(A) quatro (B) trs (C) dois (D) um (2001)

32. Considere as funes f e g, de domnio IR, definidas por xx )x(g)x(f 3e2 .

Qual o conjunto soluo da inequao )x(g)x(f ?

IR)D(IR)C(IR)B()A( VazioConjunto (2001)

33. De uma funo f, contnua no intervalo 31, , sabe-se que 43e71 )(f)(f . Qual das afirmaes seguintes necessariamente verdadeira?

(A) A funo f tem pelo menos um zero no intervalo 31, (B) A funo f no tem zeros no intervalo 31, . (C) A equao f(x)=5 tem pelo menos uma soluo no intervalo 31, . (D) A equao f(x)=5 no tem soluo no intervalo 31, . (2001)

34. Qual das seguintes expresses , para qualquer nmero real positivo a, igual a alne 2 ? 2222 a)D()C(a)B(a)A( a (2001)

35. A reta de equao y = x tangente ao grfico de uma certa funo f, no ponto de abcissa 0. Qual das seguintes expresses pode definir a funo f?

1)(12)(2)()( 2222 xxDxxCxxBxxA (2001)

36. Seja g uma funo, de domnio IR, tal que a sua segunda derivada definida por 21 x')'x(g .

Em qual das figuras seguintes poder estar parte da representao grfica da funo g ?

(2001)

37. Na figura est representada parte de uma parbola, que o grfico de uma certa funo g, de domnio IR. Seja h a funo, de domnio IR, definida por

23)x()x(g)x(h . Qual pode ser o conjunto dos zeros da funo h ?

9515323413432 ,,)D(,,,)C(,,)B(,,)A( (2001)

38. Indique o valor de senx

xlnlimx 0

)D()C()B()A( 10 (2001)

39. Seja f uma funo polinomial do terceiro grau, cujo grfico se encontra parcialmente representado na figura. Quantas so as solues da equao f(x) = 2?

(A) quatro (B) trs (C) duas (D) uma (2000)

40. Sejam f e g duas funes de domnio IR. Sabe-se que o grfico de g uma reta,

que designamos por s e que 0

)x(g)x(flimx

. Qual das afirmaes seguintes necessariamente

verdadeira?

(A) A reta s uma assmptota do grfico de f. (B) A reta s tangente ao grfico de f. (C) A reta s secante ao grfico de f. (D) A reta s no interseta o grfico de f. (2000)

41. O coeficiente de ampliao A de uma certa lupa dado, em funo da distncia d (em decmetros) da lupa

ao objeto, por d

)d(A

5

5. Indique a que distncia do objeto tem de estar a lupa para que o coeficiente de

ampliao seja igual a 5.

(A) 2 dm (B) 4 dm (C) 6 dm (D) 8 dm (2000)

42. Na figura est representada parte do grfico de uma funo f, de domnio IR. Qual das afirmaes verdadeira?

)(f)x(flime)(f)x(flim)D(

)(f)x(flime)(f)x(flim)C(

)(f)x(flime)(f)x(flim)B(

)(f)x(flime)(f)x(flim)A(

xx

xx

xx

xx

44

44

44

44

44

44

44

44

(2000)

43. Seja f uma funo de domnio IR e contradomnio 23, . Qual o contradomnio da funo | f | ? 32322030 ,)D(,)C(,)B(,)A( (2000)

44. Seja g uma funo cujo grfico tem um ponto de inflexo de abcissa 1. Qual dos seguintes grficos poder ser o da segunda derivada de g ? (2000)

45. Na figura est parte da representao grfica da funo f, de domnio IR , definida por xlog)x(f 8 . P um ponto do grfico de f, que

tem ordenada 3

1. Qual a abcissa do ponto P ?

23

81

3

8)D(ln)C()B()A(

(2000)

46. Um tanque tem a forma de um paraleleppedo retngulo, com 7 m de comprimento, 5 m de largura e 4 m de altura. Admita que o tanque est vazio. Num certo instante, aberta uma torneira que verte gua para o

tanque, taxa de 2 m3 por hora, at este ficar cheio.

Qual a funo que d a altura, em metros, da gua no tanque, t horas aps a abertura da torneira?

140035

2140024

70035

270024

,t,t

)t(h)D(,t,t)t(h)C(

,t,t

)t(h)B(,t,t)t(h)A(

(2000)

47. Na figura ao lado est parte da representao grfica de uma funo g, de domnio

0\IR . Qual das figuras seguintes poder ser parte da representao grfica da funo g, derivada de g ?

(2000)

48. Sejam a, b e c trs nmeros reais tais que c)b(loga . Qual o valor de )ba(loga ?

cba)D(ca)C(ca)B(c)A( 1 (2000)

49. Na figura est representado um cubo. Considere que um ponto P se desloca ao longo do trajeto que a figura sugere: P parte de A e percorre sucessivamente as arestas

CDBC,AB e , terminando o percurso em D. O ponto P demora um segundo a percorrer cada uma das arestas. Seja d(t) a distncia do ponto P ao ponto E, t segundos

aps a partida. Qual dos grficos seguintes pode ser o da funo d ?

(2000)

50. De uma funo f, contnua em IR, sabe-se que f estritamente crescente, f(0)=1 e o eixo Ox e a bissetriz dos quadrantes mpares so assmptotas de grfico de f. Qual o contradomnio de f ?

0011 ,)D(,)C(,)B(,)A( (2000) Solues:

20)B;21)C;22)A;23)B;24)B;25)B;26)B;27)B;28)C;29)D;30)D;31)C;32)D;33)C;34)D;35)A;36)C;37)B;

38)A;39)B;40)A;41)B;42)D;43)A;44)C;45)D;46)B;47)A;48)A;49)A;50)C www.ladeiramat.no.sapo.pt