1232 - puc-sp · 5 semirreais. situações que à primeira vista parecem reais, mas que, na...
TRANSCRIPT
������������� ����� ������� �������������
������������ ��� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
������������� ����!"� �"�#�$%��#�$�&'$(�#)
*�##$�$+$����#��$"%�#'$��� �,�-*+���� �,*���+���#�
�-��(.($�#�
�
�
�
���������� ������ ����� �� �� ��� ����� ������ ��� �� ��������
� ����������������������������������������� ! �����������������
�"�� ���������������/ ��� ����������� / ������
/� /0�������"������� �����������#��������$��� ���%������
&� ���#��
�
�
�
�
�
�
�
�
� ���!+�
1232
� �
$������ ������*�������� ������������������� /��������� ������ ��� ��!�� ����������
23��4���������!������/������-����0������������� �� ��-4�����*�������5667��������
������������������ �����8���� ������9��������0������������� �� ��-4����:�89�-;#�
<��"=������������*�������������������������"���� ������� �/�������� ������ ��
���� ���������2>� ���� ������ ��������������� �� �������� ������ ��/�������������
��� <��� ��/��� �������� ���� �������� ������ ���� ���?������� �������������
8���� ���� �� ��� ������ ������� ����/��� ����������� *��� �����"������� ��������� ���
������4 ���������������������"��������� ����� ��#��$������ �����"���� ������
���*�����*������������"�����,���������� ��������������������� �������*����� �����
������ ������������������������ �� /�������� �� /������� ����������2>� ���� ��
� �� ��-4�����������*����� ���������0�����4����������� ��������� �������������������
��������"�������������#�8����������������������������������������������������������������
����������������89�-�:5667;������������ ������� ����0,���#��������������"��+�����
� 0�������������,��� ������ ��� ������ ������ ��/������������� �� *�����(� �����������
�/�������� ������ ������ ���������2>� ���#�$�������� ������,���*�������������
� ��������� �!�� ����� �� ��� ��� �������� �� �� ������ ��� �� ������ ��� �� �� �� ��
��������� ��� ������ � ���� �� ��(��� ���� ����� ��� �������� ��� ���"�����@�
�������� ����! ���� ��� ������ �������� ���� ��� ����������@� ������ ���� �� �����
�������������� ��� ������ A����� ��� ����� ���� ��!�� ����/��� � ��������@� ���(���
�� ��A�������������������������0���������� +����� ��#�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
PRODUTO DE MESTRADO PROFISSIONAL
�
�
�#��1 "����*�2���� ��3������ ���3��4$�"���
�
� �� � $��� � �� �!����� � $�� �������� �������� ! ����� �� ������� �
�#����� ����������� �� ������� �������5�� ���$��� �� ��� ����� �������
��� ��� �$ ����� � �����'����� ��� ��������� ����������� #�������� �� ��#�� �
���!���� ����� ������#� �#� !�� ���
@�������������$��� ��������� �$�$�� ���!����'��!����I�#�������� $��
��!���� �# ��� ��������A��3A����������%������ �(����������#�"!�� ��� ��A�
�� �� �%���� ��'�� ��9���� � ���������5������������$��� ��#������� ���
<� ���$��� � ���� ���� � # �� G ������� )344�,� ������� �� �����0��� � ����
����������� � � � $� � �� �������� � #���� ������� � �#����� � � ���� � ��
!���� � # ���� � �� ���������:�������������� �� ������� � �������� �����������
���H������� # ��� � �����0��� ��#�� �� ����������� �� � � ��������� �� �� �����
�� ������ >�� � �� ������ ���� ��#�� ��� $��� �5�� ��# ���� I� �������
����� ������������� B�;T������� ����# ���$��������������� 5#��������������
����������� � � � ���� � �� !���:�=Q� N� ���������� � ��������� ��� # ���$��������
������� 5#���������� ���� ����������� � � #� ��� � �� ������� � �#������ *���
�� � � ���� ! �� �����!������ � � � ������������ � ����#��������� # ���� �����0�� ���
������������ � � $� ������� ����'����#� # ��������������������� �����������
�� �#����0���� � �� ���� �� # ���� � � �� ���� #� ��� �� ����� �� � �� �����
&#��-�������
*���� �G �������)344�,���#��������$��������+ ���)344C,�� $��
������������:���������������@$�����������)�������#���+ ��,��� �����!���
�� �����0�� &#� ������ 5��������������� �� ��� � ���� !���:��� 6��� ! ����
�������� �� ���"�� �� �� ���� �������� ��!��������� ��� ��� ��0�� ��#�� ��
����������� ���� ��������� �����������������%������#�� ���#������5
�� � � � # ������������ ������� 5#���������� ���� ����������� � � #� ��� � ��
������� � �#����� !���:��� �� ���� � �������� ������ �� ���������� �����
���H�������
G ������� )344�,� � ����� ��� ��#�� � ��� ��� # �� $��� � ��������� ��
����0��� ��� ���!���&#� ������ 5������������������$�"���������� ��� �#����� �
�� �� �%���� ��'�� �� $�� ��� ���� ����U��$�����
�
�
� �
> �������� ���� #������� ���� !����������� �� ���� �� ��� ��� ���
������������ �����������"�������� � �����# ��H����������$�����5��� �����!���
&#� ������ 5��������������� � � � + ��� � 7� �������� @�'�� ���� �� � ������5��
��# ��������&#��-���������������� � �#� !�� ���� � ���$��� �� ����U��$����
@������ �&� �� ��� �� � $�� � ���� � ��� U��$��� #������������ �� �#� &����� �
� �����������������I����������� �����������������:����� ������� �
���� �����0�� B�
T����� ��� ���H������� ��� ������:��� ��� ��!��������� � �� ������� ��
�� ����� �� �� ���� ������� � �� ���������� � �� ����� �� ����� ��� ����
&#��-������������� �! ����������������� �# ��#����� ������ ��� � �# ��#����
� � #� !�� �Q� � %�� ��� ������ ��� ���!��� &#� ������ 5�������������� � ����$���
#���� ����� ������ �� �#������ ����'$��� �� ������ �Q�
@�#�����������0����'��������0���������������'�� $����#��#����#�������
� � #� !�� ��� � � ������� �� $��� �5�� ��� �� ���� �� �� � ������� �����
���O� � �����$��������� ���� ����� ���!�������$�"�����+ �'���� ��� ����� �
���� �� � � �5�� � ��� � ������ �� �� # ���� ���# ��$������� �� ��# � #���� ��
���#���� � #��� � �� ���� � � ��� ����������� � � � ��� ���!��� &#� ������ 5
���������������������������#������ ����� � �#������ ������ ��
�������$'������� ���#�������!����# ��V! ����)3441,��������# ��
$��� � ����������#�������#� !�� ����������������������!����� �%���� �
�'�� ��7�����������
� � �$������ � ����� �� V! ���� )3441,� $��� �� ����� �� ��� ����
����� ���� 9W@�$� �� �� (�)3444,�� (��$����� � ?��� )344C,� � � �� � ����
�!����:�� �� ����� ��� ���� � � $�� �� � ������� &��� �� ��� ����5���� �
������� � �� #� !�� ��� � � %���� � �'�� � � 7����������� #���� ����������
����������� ������ ������� ����� �������������# ���� ����� ������
��������'������ ��� ��������!����������#�������� ����������� � ��� ���$����
�� �#����0����� @������ ! �� ��$ ����� �� ������� ����� � �� #������B� T��
� ����$���:�� �������5���� � �� � ���������������� ������� � �� � �����
# �������0��#�����#�!�� ������� ���� ����� �������������Q�
� � � ������� �� V! ���� �� ��� �� $������ �� #���� #� # �� ���������� �
������� ��!��������� #���� ���$������� # �� ������ ���� &��-������ � � ����"��� �
�� ����������� �����# �� ���#���-������ ���� ��! ��� ������ �� ��#� !�� ���
���
�
� ��� ��� �� � ������ ���������� � � � � # ������ ���$������ � �� ��� � �
%���� ��'�� ��
�*�����)344�,�����0 ��������$��� �� $�� ������ ��������� ��������������
���%������ �(�������� ������#� ��� �� ����������� � ����� ���� ���$ �������
� �� � �� 7���� �� � �������� � �� ��!����� ������ �� �� �#������� � ���
� ������9�����)344C,���
*�� �����������#������������ �������#������B�T����'����$ ������
��!���� ��� ��������������� �� ���� ��������� �����������������%������ �
(�����Q� ����� �� ��� �� ��� ���� � �� ���� �� �������� �� �� ��� � � � # �� � ��
#������� #���� �� � ������� � � � � ���� � �� !���� �� �� &#� ���� � ��� ����� � ��
�#��-��������������0��# ���� ���� �� ���� ���#� $������6 ������ ��
������ &���� ����� #� ��#��� � �� ������� ��� ��� � �� � � ���� � ! ����� ��
!���� ��� � ������� �#����������������� ��
@������������� ���#������B�6��� ������� ������!�� ��� ���������
� $�� �� #�������� � ������ � � � � ��"�� � �� � &#������� �� �����!�� ������Q�
6����� ���� � �� ���� �� �������� �� � ����� �5�� ��� �� ����� � ������ 5� ��"�� �
�� �'�&#��������������!�� ��������<$��� �5�����$'��������������#����
� ������ ������ ����� ����� �������� �������!�� �����'$��� ��� � � ���� ��
� �������� ���������������������������#���������� ��� ����������������
��� ������ ��$ � �� ����!�� ��
+��������� ����� ������ ���������� ��� �# �� ���#����������� ������� �� �
� ���� �'���&#� ���� ��������� ����#��-����������������0��# ���� �
��� �� ���� ���#� $������6 ������ �� ������� ��� ��� �������#� ��#��� �
���#������� �� ���� �! �������!���� ��
�� <� ��� �� �������� ��� �� � ������� � �� ���!�� �� � �� ����� � ������ 5
� ��"������ ��� ������!�� �������&#���������6��� ���$��� �*����� )344�,�� ��
��� �������� ��� ��"�� ����!�-�����I�������0����� � $� ���� �������
�� #���� �!�-������ I�� !���:��� � � �"�� � '� ! ���� � # �� ��� � ���� � ��
���� �������� ������!���:��# ������ �"�� ��������#����������
��'�� ��������� ��� � ���� � ������� � �� � '� ��� � ���� � �� ������ ��
������������������ ������������ ����� �!����K�'����;�� �� ������� =�
��$������� � �#� !�� ����� ����� � ��# � �#����������!�&:������� ���$'��
�# ����� ��������������:�����# �������&����5� ���#���������������������
#��#�� �������� ���
�
�
� �
9� ������� ������ �� ��!����� ���� �� �������� �� �������� �
���� ������ � �� �����'����� !�� ������ � � #� !�� �� �� ���������� #����
������ ���� ���� �� ��� � ������� � � � � ������� �� $������ � ��#����� ��
�������� ��� ������ ������! ���� ������ ��������� ���$ ����� �� ���� ��
��/����5���"0��,���"��������������6�����5"�3�����#�����
�
6���� ��� �� �#������5�5�� �� !���������� � ������� �����0���� #����
������� ���� ����������� ��� &#�������� �� ��# ���� I�� ����:�� �� #�������
#� # �������������������� ��
@ � �$ ����� � ���� ���������� � �������� + ��� )344C,� �!����� ���
������� ������� ���� � � ���������� � �� � ���������� ��!������ 8���������
#����#:� �� ��� $����� ��� ����� � #� !�� ��� � ��� � � ��&� �� � ��� � ��# ��
������ ����! ����� $�� �� ������ ���+������������� � �������� ����� ��
������ ������ ���������� ������������#����� ���� �� ��������������������
� �#������ <� ��� �� &#����� ���� ����� � �!������ � ��� ���� ��������� ����
�#����� � ���� �#���� ��� ������� �� ���������� � ���� # ����� �� '�
������� � � �#����� � � � � � � � �� ��������� �� ���������� � � ��
�#����0���� � � #� ��� � �� ���� � � �#����0���� ��� ���������� � ���
���������� �#� !�� ���
+ ��� )8��,� �������� ��� � #� ��� � �� ���������� # �� ��������
��!����� �����!���� ��� � ���� ��� � ������ � ������ �� � ������� ���
� ��������� ����-������ ��� ����������� #���� ��� ��� ������ � �#������
������ 5�� ��������� ����� <� ��� �� ������ � �#������ ��� ���� ��� � ����
���������� ��������� � B�
�
� 8���������'�������������� ���������������� ��� ��� ���� �� � � ����� � !����������� ����� ����� �� �#������ �� #�#����� �#�'������
8�����������������������������������# ��#�������#�� ���� ��;��������� ���#� !���� ����=���8������������������� ����������������� ������������������� ��� � ������ !�0�� �� ������H� � ��� � �#� ���� ����������������� �� ������)+<6>%��344C��#��,�
��
�! ��� + ���� �� ���������� � � � � ���� � � �� ���� �� '� ��� ���!� �
# ������������0�� $��������#����� ��#� $������.��&�#� ���#� !�� ��
�
�
� ��������� �� ��0� ��#�� � �� � $������XY� )���3E�1LF,�� � ��� ������� �� ��
&���-�������� ��������� �������������@�� ������������$'�� � ����� ��
���"��� ��������)�1CDE��4�,������ ������������$���#����������
6����������&��������� �������!���� ��#���� � ��� ��#�������������
���:�� �� � � � �� �#����� +���� ������� #������� ���� �#����� '� ���������
� ������� ���P��#���� ��� ������#����0����'����!�O�� ����������� � � �
��� ����� �� *���� � + ��� )8��,�� � ��� ���� �� ������ ��� �#����0����
�� ���� ��� ���������� '� ��� #������ ����� ��� � ���� � �� � �#�-������ �
��#�������� ��� �� ����� �� � ��� � ������� �� �#�"!�� �� � � �"�� � ��
#� ��� ��� ���� ���$'�� �� ��#������� �� ���� �"�� � � ��� ���� ���
���� ������ � ������� � � ���� �� � �� �� ���� � #� $������ �#����� �
������ � � ���� �� �������� �� #���� ������ � �� ������:�� ��������� �� � � �
��"��� ���!�&�� ����
7���������&��������� �������!���� ��� ����'���������� ����'����
#� !�� ���%�������'���� ������ � �#�& �� �����#���� ;�$����=� �����'���K���
!���� � !���������� � � #� !�� �� '� �� #� � �� � ��� �#����0���� �� ����
���� ����
+���� + ��� )8��,�� �� ���������� ��� ��� ����� ���!��� �������"������� �
�#������� ���� � ��� ��#���������#� �#� !�� ���@������� �������'� �
;&��"�� =���#������&������� ��� ����# �B� ��#� $������������������:���
���$'�����!������ ����� ��#� � ���6��#��#��������+ �����������!��
��� ����� � �����:�� $������B� ��� ����� �� ��!��������� ���� ���������� ���
� ��&� ��!�������� ���# �#���������� ���� ��
������ ���������#�������������:��� $�-�5������� ���# ��$���� ��
�����!������# �������������0�� �����7���������
� ����7�����
� � ������� �����%&��"�� � � �%&#� ���� �������� � � �
7���� � � � � � @$�� �� �������������������� ��������������������+� $���������������������8��������� �
���
9�!"�����
7 ���2�+ ���)344C��#�L,��
7��������5�<������� ����# �������!��������� ��� ����������!������������$�������
�
�
� �
�<�� &��"�� �� �� � ���!��� ��� ������ ��!�������� � ���������!������)3A��������,K�
� +� $������� ����!���!������������� ����������!��������� � )CA��������,K�
8��������:�� ����� �� ��!�������� ���� �� ���� ���� ����������$����� )DA��������,K�
�� 7���������������!�����&#� ���� ��� �!������� ������������� �$����)�A���������,�)+<6>%��344C��#�L,����
> ������ ���������������������:���# ������������0���#����������# �
������ ����� ����������������!��������������� ������!�����&#� ���� ��N�
��!"������$�� ����������!����������# ����� �'�#�!�"������������������ �#����
������!����$����������!������ �����#��������������!"�����
.��#� � � � ����� ������� ����������� #� � ���� � �� �'� ��� � ����
���!�� �� ���������� � ��� # �� �� ���� ����� �� �� �� ��# �� >��� � ���
#� � �� � ��������������� ��-��������������!��������� ����������9���
� � ���������� � ��# ���������������������������������� ��#� � ���
��� �� ��# �� �� ���!���� <����� ������ � �!����� ��0� ��#�� � � � � ��&� �
�!�������2����!����� �� ��&�����0����������;������� ����=� ��! ��������
����� ��#��������������� ���
6�� #��#������ �� + ��� )8��,�� *X ��� �� )3444,� ����� �� ��� ����� �
��# ���������� ���������;��������=���������#���������� ����!����$���������6 �
���� ��������������&��������� ����# �������!���! �����������������:��
��������������B������������������������������������������������� ����� ��
�� �� #����������� �� &��"�� ��� #� $����� � ���!��� �� &#� ���� � �
���������� ���#���� ���������������!������������������������������
����� ��� ���# �����#� �#� !�� ���
+���� + ��� )344C,� � ;+� � � ���������� #���� � � �=� ���� ���� ��
���!�B����������������������������������� �! ���������*����� �)3443��
�#���+<6>%��344C,��
@�������� � ���� ���!��� # �� �� ������!���5��� � � � &#� ���� �� # ����
���� ����������� �� � � � ��������� <��� � ��#�� � ���������� '� ��� ���
����:�� #� # ����� �-�� ���� � �� ��� � �� � #� ������ !������ # �-����� �
#���:��� ��# �-������� ������������ ������'��� �#�� ����� ��6 ��5�����
��'�� �� &��"�� �� �#����� �� # �5�� !�0�� ���� � ���$��� � &#� ������ � �
����������� ��
�
�
%��������� ��*����� �)8��,��!���5��� �����# �������� ��� �FA��� �
��� � ������� �� ���$������ ��� ��!��������� �� � � �� ���� ���� ���!����
� ������ 5�� ������� ��� ! ���� ��'�� � � ��� ��� #��� � � � ������� � �
�#���������&#� ���� ���� � �������� ����
<����� � ����� ��#� !�� ��'����� ��� ��� ���������# �������#������
��������� ����0��� ������#����0������<�-&�� �������# ������$��� �'� �� � �
� � � � #� !�� �� ��# ��� I�� ��������� ���� � � �� ���� �� ����� � �
�� ������ �� ��� ���� ���� ��������� �� ��# ���K� � � � � � � � � ��
! ������� ��� ����:��� �� ���� � �� ������ � ��� � � � ���� � �� ���� �� #����
��������������� �� �� ��� ���
��� + ���)344C,��������� ����� �#� # �� �# ��* �0��)3443,�������� � �
# �� ���#������� ����� ������������"�������� ������ ��� �FA��� B� � ���$��� �
���� ���5�� �� ����� � ������� ��#��B� )8,� +�#����� � ���� ����:�� ��
���������� K�)88,� ��������� �K�)888,�>������� �� ����� �K�)8M,��%��$ ���� �
��������� ��� $�� ����� ���
%���� ���!�� � ����� � � � ���� ���������� � ! �������� �� ��� �� ��
����:�� ��� �������� � �� ���� �� # �� ������ � � � # �� � �� #�������� �� � ���
#���� ����� ������ ������ �#�-������������������ ���������$'��#������
�#����0������� � ��� ���� ���������� ���
<��� �&�#� ����+ ���)8��,������'� �#� � �� ��!��������������� �� �
����� � �� +���� )3443�� �#��� +<6>%�� 344C,�� ��� ! �� #� # �� � # �� ��������
#� !�� ���������� ��� ���A��� �)���������� �3A��� �� �%���� ��'�� ,��%���
! ���� ������� �� �� ��$���# �� � ����� ����� ���� �� ��� ��#�� � #���������� � ��
!��������� ������� ����� �� � ��� ����� ���� �� ���� �� � �������� �������
��������# ������� ��# �� ������ �����! ����������� ����� ���������� ���
@������!�0�������$��� ��# �� �������� �K� ��� ������������:���#� !���������
+ ��� )8��,� �!����� ���� �� �� �� � � �� � $����� � ����0�� � # �� +����
)8��,��� ����� �5�������#����������!���������� �����# ������ ����$���� �
#���� ����� ������ �������#������������������� ������� �! �����������
6������#��#������� �#� � ����#����#�#������ �� �����"��� ��#� �;�����
�� ��$����� � ��� � ���� ���� ������������ �� ��� ����� �� ��� �������
#� � ���� � � ������� � �� !���=�� )*%Z.G@9<�� 3443�� �#��� +<6>%�� 344C��
#��L�,��
�
�
� �
+���� ������� ������#�� �#�� ����� � ��� ����� �������� '�#���� �
��� �� ���� �� �������� ��� ���!��� �� &#� ���� � � ���������� �� *���� �
+ ���)344C,�� ��������# ����������!���'��# ���0�������� ��0�� �#���!�����
�� �#�� � � �� ���� ��� #��� ��!�������� �� � � � ���������� � #��� !����� ��
� ������� � �� ������� � ���� ��� 6 � ����� �� # �������� ��� � ��� ��� �
#� !�� ��� ���� !���� � '� �������� # �� ������� ���������� ���!��� �����
�����!����������� ��������# ��� ������ ���� ���#�0�����#�������
6� �������������������� ��#� !�� ���� �#�� ��������!����������
��������������� E�#����0����# ��������� ��# �� ����� ���� ��*� ����� ��
���������� ����� ���0���� � � �!����-��)?@9@�@G9����DL���#���+<6>%��
344C��#��4D,B�
�
%���� � ���$��� � � � ���� � ��� ����� �� ���� ��� #� $���� ��� ������ ���� ���$���� � ���$��� ��������� ��# �5����0�����&�����#����������!����������������"������� ���$ �� �����$��� �����������0�����������)��DL���#���+<6>%��344C��#��4D,B��
��
7 ��������� ����$��� �����0�� �# ��*����� �)3443���#���+ ����344C,��
����������� �#�#����#� !�� ���� ��������� ����� �� ��� �� ���# �����
���� �����# ���� ���$��� �� �+� � ��+>C��� ������0� ��#�� �I���#�������
�� �������������������� ���� � ������� ���� ������!��������� ����#�� �
�����6 � ��"�� ��� �������������� �#��-����� � ��������5�� �� ��# ���� I��
#�������� ! ���������� 6 � !������ �� ������� $������� ���#�������
����!����� � ������������� ! ������� � � ���� ����:�� � ���� ���� � ��
��#������� �� ����0��� ���������:�� ������������ $�� � � � � �������� �
���������� �������������� <$��� �5�� ���$'�� ��� �� ���� �� ��������
��#������� �� ����� � ���� �� � � � # �-������� !���:��� ���� �� #��� ���
����� ��� ������#� ��� � ���#��� ���� ��� #���� ��� ����� ������� ����� � ��
��������������������0��� ���������������� ��
+��������������*����� �)3443���#���+<6>%��344C��#��3,������������
� ��� ���� � ��� ���� ���� �� ��#�� � �� ������� ���� �� ��� �#���������
� �������� ������� �� �������!����� �B� � !�� � �� ���� ��� #������ � $������ �
���������������������������������������� �������������������3 MPT – Projeto Matemática para Todos - Este projeto decorreu de 1995 a 1999 e a sua atividade está
documentada em publicações como Abrantes, Leal e Ponte (1996), Abrantes, Ponte, Fonseca e Brunheira (1999) e Ponte, Oliveira, Cunha e Segurado (1998).
���
�
��� $��������:������ ������ ���������#������� ������������������
������ $������ ���������� �� �5 �� �� $��� ������� �� �����!����� �� ��
���#�� ��
+ ��� )344C,� !�0� �!�-����� ���$'���� ��� ���$��� � ����0�� � # �� * �0��
)3443�� �#��� +<6>%�� 344C,� ���� # �� �� � ��� ���� �� �� ��� ���� �� ! �� �� #���
#������� �� ��8���*����� K������������# ���$�������! ��#����������#����
������
+���� ��� ��# � �� ���$��� �� * �0�� )3443�� �#��� +<6>%�� 344C,� �# ����
��������B� �� ���� �� ������� ����� �# � �� �#������ �� �� #���� ��������
��������� # ���� ��� #� !�� ���� #������������� ��# � ��� ����� � ����������
����� � �� ����� ���# �� 9���� � �� � ���$��� � �� � ��$ ���� � #� # ��� � ��
��� �� � �#���� � # �� #���� � �� ���� �� � #������� ������ � ���#���:��
��#������������ ��
* �0�� )8��,� �# ���� ������ ��� ���$������ �� � ��$ ���� � � �� 8���
*����� �! ������� � �# ������#�����������������#� !�� �������������
����� # ���$���� �� ��� � ���� � ����� ����� � � �� �� ���� ��� >��� � ��� � � � ��
���� �� �������� ��!��������� #���� ! ������� ��� ���������:�� � #������ ����K�
��$ �� ���$'�� �������� ��!��������� ��� ������� ���� ����:��� $�� � � � ���
��$ ���� � � � ������� � !����� � ��� ������ #���� � &���������� )%>,�� >��� � � �
* �0��� �� ���� �� ���$'�� �������� ��� #� ��� � � ����� � ������ �
������������������� ���� ���������������� ����
�@������ ��� ��# � �� &#��-����� # �� � ����$���� #���� ��� �� ���� ��
� ���5��������!�&�� ��������� �#��������#� �������� ���:��#��������
#� $������ ���� � � � ���������� ���� ����� ������ � � � ������ �� )*<.[@��
3443���#���+<6>%��344C��#��F,��
7 �� ������ � � ���$��� � ����0�� � # �� +���� )3443�� �#���+<6>%�� 344C,� �
����� ����� � #� !�� ���� ��� ��� ������ #���� ������� �� ��A� �� �
)� ���# ����� � � 3A� �� � � � %���� � �'�� ,�� � !���� ������ � � � ��$���# �
�� ������<����� ������ ���������������� �� ������ ������!�&� �� $�� �
��� �����#������ �! ���������� �#� ����# ���#� !�� ��������������� �
������K� �� � ��#�� � ����� � � ���$��� � � �� ������� � �� ��� ��� ��� !����
�����������# �������������������������� ���"��������# ���$��������
��!������ � ���� ��� #������#����� ���������� �� #�#'��� �� #� !�� ����
��������� �����
�
�
� �
@�� #� !�� ����� �#���� �� �� � ������� ������ ������� ����0�� � ���
���$��� � ������ � � ���������� ���:�� � � ������� �� ��!����K� ���!�������
��������#�� ������ ����# �������!����� ��"��� ������ �� � �� � ��� �
&#� ������ ��� ����� �� ����� '� &�������� ��# ������� @# ������������� ���
#�������#����0�������#� !������ �����������������'�������� �#� # ��� ��
���� �����! ���������$���������!���������������"���������� �#��������
%���������� ��+���� )3443���#���+<6>%��344C��#��LC,���$��������� ��
� ���� �� � ��� !��������� �� ���$����� ��#� �� ���� �� ���� ��� � ������
&#������� ��� �� #�!�-����� �� � � �� � ��&� �� � � �����B� ;+���� � � �� '�
������� �#� # �����!������!�������� ���� ���# ����������� ���# �
#����� �� ������� ������� ��=�
�
<������� ������� ��# ��+ ���! �������� ���� ��� ������ �� ����# ���
���� ��� �Z>8D�;<�#� !�� ��� � ���������� �=�����$ ��&�#� �� ����# ��
!�0��������# ������$��� �� ��$ ����� ��
@� ���������� � � $�� ���� #��#���� #������� �� � ��0� ��#�� � �#���� ��
#� !�� �������� �������� ��������������� ��#� !���� ������� ����$���#���� �
���� ������ �#� !���� �����#���� ��#�!�� ���� �� ��#������#�������
�� T���� ��������#�� ������$��������� ���� �������������������������
������������! ����#���������#������ $������ ���+�������� ��'�������� ���� ��
�� ���� �� ���#��5�� ���� � �� ��� ��� ������ � ��� � ���� � !������ ��
���$��� ��
@� � ��$ ���� � # �� �� ���� �� ��� ������� �� ����� ��� � � B�
����� ���� �������� ��� #����� � ��� � ���� � ��� ������ ��� ���������� �
���$'������ ���� ���#� !�� �������!������"���������� �� ��A��3A��CA�
���� ��� �%���� �(���� � ��� �*������� ������ ������#�� ����������� ��
���������������<� ���$��� �� � � �� ����# ������� ��� �Z>8����!��������
# ����������� �!�� ��������������������#������#�������
<� ��� �� $������ � I� �!������ � �� ���� �������� ������������� � ��
#� !�� ��� '� �� ����� # ���� ����� � ���� � #��������@� � ���� ��� #������� �� �
� ����:�� !����������� #���� � �#���� � � �� #� $����� � ��� #��� �
��������#������������ ���� �������� ��������� ������!��������� �#��� �
���������������������������������������� �������������������4 GTI – Grupo de Trabalho Investigativo
�
�
� ���� ��@"����������������0� �#������������������ �#���� ��"���� ���� ���
������ �#� !���� ����� �#� !�� ���
6�� ���� � �� + ��� )344C,�� �� ���������� � � �� �!�&� � � $�� �� #�������
�#���� �� ����� ����H������ !����������B� )8,� .��� ����H����� �� �# � � I�
����0��� � �� #� � �� ��� �� ����� � ��� �� � �������� �� ���K� )88,� .���
����H����� �� �# � � I� ��������� � � �� ������� �� � �� � ���� ��� ��:��
���� ��������
6������������� ��#��� ��������#������������� ���#����������!����
����������������������� ���������� ������� ���������������� � �����
�����# ���� � � � ��� �� #������� ������ � ��������� ����-������� N� #���� �
����� ���5��� ������ �����!������ �������� ���#� !���� ��������� �����
? � �$��5������ � �� � #� !�� �� '� ��� ���-���� � #� !���� ���� �� ���
���#� !���� ����� <� #� !�� �� ���� ����� #�� � ��� ������ �� ��� !���� ���� �
#�$��� �� ���������������������#� !���� ������������� ��@�� �-���������
� ������ �������������#� !���� ���$������ ������ �������� �� ���� ��*���� �
+��� ��� )���C,�� ��#� !���� � � ����� �$ ��� ��� $������� �������� � �������
��� ������� ��
�
6������ ���+ ���)344C,������� ���#� !���� ��������������#������# ��
� ������� ������������� � ���$������ ��# ��8��$��@����� �)����,B��
�
)8,� �� � �������0��� � #� �� #� !�� ��� ��� �#��!������� �� ���� � ������� �#� !���� ���K��
)88,��� ���!������ �������'������� ����������� �#� !�� ����&��������������� � �������������������# �"��� �� �%���� �#�������������������������# �"��� ����� �������
�
�
+����� ��������+ ����!���������������# ����������������� �����
�������� �#����� � ����������� � �! ��� �"���� �� ������� &�#� ��
�#������ ��� � �� ������ ���� �� !�0���� &#� ���:�� � ���������:��
���������������������������<���� ������� ��#���� ���������&#��-����������
������ #� !�� ��� ������������ ����� #��#����� #��������� � �!������ � ��
��# ��H����� ��� ������ � � ��$ �������� � + ��� ��������� ��� �� $�� �� ���
���������� � � � �������������� �������� I� �#'��� ������� �� � ����# �� � ��
�
�
� �
���� #��#������ �������� � ���������� ��� ������ ���� ��������� � ��
;8�������� ���#� !���� ����=��
@� ���������� � ����� ���� ���� �������� ���� � ��!���� ��� ���#���
#���� ��#����#:��!�&� ���$������"������#� !�������#���� ��������� ��
#����� ������ ������� �����������#����������� ! ������!���������
������������� � ����#����# �������� �#����������$��������
8����������� � ������������� �������#������ �'��������� �� ������ �
�� ��� �� )���� ����� ���� �� �� ���������,� � �� �� !�0�� ���� �������
����"��������� ���� �� 8����������� ���� � $���� �� ��-�����������B���������
� ���������������*������� � ��������#� !������� �� ����'� $� ���
����� �����������# �5��� ����������������������������#� �#� !���� ������ �
�#� ���� ���
6�� ��� ���# ��� ���� ����# ���� ���� ���������� ��> �������� ���
��������� �� ����� �� ��� ��� '� ���� # �� ��� ! ���� �� � ������� � � �
� ������� ����� �#���� ����� �� � �#���� �#� !�� ����
�
�
�
�
%� #� ����� *� � � 7�8�� *� � � �9� *� � *�������������������
7�:� *����;�� *��
�
6��� ��#"��� � �� � �#������ ��� ������������ �� #� ������ ��
�� � ����� �� �� �� ������� �� � ���� �� � �� ���� �� ������� �� �������� ���
! ���� � ��� ���������� � ��!������ �� �$ ������� ��6 �� � �� 7���� �� �
7���� �+ ��� ������ ��A��������
�
%���#�����"�������������&<0"����
<����� ���������� ��������������� �����0����$������5������������
������������� �� ��-�� � �� �0� ���� �� �� ���������� �#� ��� ��� �� 344���#� �
+� ������ 6��� ���� � � ���� � #���� � %���� � �'�� � )+6�%�,� � � ������'�� � ���
%������ �� �����������������B���
�
�� 9@6>%�������������� ���������*� �+��� ��*+B�U������M ���\��� ��3441���� Z ���������� ����������� �!" !#�!"�$%�"��C�����*� �+��� ��*+B�
*��#� ���3441����� *� ���V��*�K�9���0������������� � !#�!"�$%�"�����������'����L�����
*� �+��� ��*+B�*���������]��������344�����
%�#��!�������� ! ���� �������� �� �� � ���� �� 6 �� � �� 7���� � �
7���� �+ ��� ������ ��A���������������� � ��+ 6J�)(G@*8���3443,B���
��
<� ���� � ���� !���:�� #����� � � ���� � ��������� �� ������������'$����� � � � �� ��������� ���� ��-������� ��������� #����&#������ �� ����� � ���� �����0��� � � ����� ������:�5#� $����� � �������� � � �� �� �������� �� �� !�O�� �� �#������� � ������� � �&:�� ���� � � ! ��� ��� ����������)(G@*8���3443��#��3����A�^,��
���
� �� @#���� �� ���� ��# ��H������ �� ���� �� ������� �� �������� �� ����� ���� �
���� � ����� � ���� �� #���� ���������� � � ��# � $���� � �� ���!��� � � � ��
&��"�� ���&#� ���� ���� ���� ���#� $������
�
�
� �
�
%�%�������=��������>!"��������7"5�����"�$�"����
6���� ��� �� ������5�5� � �� � ���� �� �� ���� � �� � �� � ��
!���� � � !���� � # ��� ����� �� �A� ������ � �� ���� �� ������� �� �� ����������
�#� ��� �� #� � +6�%�� )344�,� ��� �]� �'��� � � %���� � �'�� �� ������ � I�
�����!����� �� �#� ��� �����$ ���� ���������������#� # ������ ��������$��
����� ����� �� �� ������� �����:��� ��� ����� �� !��������
�
%�%��� 7"5�����?������$�"�����@�*A�"�������"����A�"���*��&�,�B$�"��*�����,��"�"C,�
���"���0��C,������$�"�����"����A�"�,�:�&���,��@�*A�"�,�D@�����*3��#� &�6�*���"5�,�
�@�"��0���%--E��
�
���3������ ��3��
�
6 ���#"��� � ��������� �;G���:�����������0��=�������� �����$ ����� �
� ���� � � �� � �� !���� � � �� $��� ���� #� # ����� �� ������:�� ��
�#����0�������#��������#������#��� �� ������ ���
��
�Figura: 2. Foto ilustrativa Figura: 3. Guia de ruas Fonte: SMOLE e DINIZ, (2005, p.75) Fonte: SMOLE e DINIZ, (2005, p.76) �
@�� ��� ���� �������� �� ������� �#������� � ��� &�#� � #���� � ������ �
���� ��� � ����0��� # �� �� �����#��� �� �����0��� � ������:��� � � ������ �� � � �
# �� &�#� �� ��� ����� �� ������ � �! ��� 7������� 3� � C�� @�� ��� ���� !�0��
�!�-����� I� ��������� ��� ����������� ������ � #���� ��� � � � @# �O�� � ��
�
�
+�����G�'�9������������� ����� �� ������������ ���������������
� ��� ������������� �# ��������!�� ��� ����� �� � ��������� ��
�
�� Figura 4 – Sistemas de coordenadas cartesianas Fonte: SMOLE e DINIZ (2005, p.77).
%�� ��� ����� � � ��� �� ���� ��������� � � � ������� �� �& �� '�
�#�������� #����� �� �������� �!����� � ������� �� � �������� �����������
�� � ������ @�� ��� ���� ������ � ������ ��� &�#� � ��� �������� ��
� ���# ��-�������������������� ���������������������
<� ���� � �#������ �� ����� � �� ����������������� � � �#����0�� � �
��������:����$ ��������������!�����
� �
�
�
%�%�����F�� ��3��?�7"5����"�$�"�����
�
6 ���#"��� �7���� �������� �������������#������� �������!�� �� ����� �
���7������L��&���"� �� � ��������������� ���!����� $����#������#��� �� ����� ���
�
�
� �
��� �� � ������ ����� ���� ���� ��1C�� 344��� #����� ���������� ���� ��0��� �
� ���� ���!���� �� ����������� ���������������0����
�
�� Figura: 5. Gráfico da participação do carro a álcool no ao mercado brasileiro Fonte: SMOLE e DINIZ (2005, p.81). �
�
� <����!�� � ������ �#������ ���� !���� ���� ����� �����#������#��� �� �
���� ������ ��� ������ �$������� ������ �������� �����# ��
�@�!���� �'����� � ��#������������ ���������0����6�����# ���
����� ������������0����&��Y��������� ����������! ������B�
_� &�# ��������������������� �������� ���� �@���� K�
_� ���������� ����&�� ���# ���������� ���� ����Y��������� �
� ���� �(K�
�� ��� ��� ��� Y� ������ �#��� � �� ��� ��� ������� �� # �� &�������������
)*�<�%K�9868[��344L��#�1�,��
%�� �������� �� � �#������ �� ���� � &�#� �� �� ����:�� ����
�����0���� �� ���� � ������:�� � ���������� ���� ������ � � ���� � �� !���� �
���� ����� �I� ����� ����#��-�������������������0��K�# �'���&�� �� �
�
�
#����� �&�#� ������'��#������ �� ���� ����!�� ��� � �� �� ��� ���� �
� ���#��� ��� ���#������:�����!���������'$���������$���������
�
%&�#� ���
�
Z��!�� �����������)��,�����������������!���� ���������)���,��+����
�������� ���������������������������� ������������������
�
�� � Figura: 6. Gráfico de Pediatria e Puericultura
Fonte: SMOLE e DINIZ (2005, p.82).
�
<$����5��������������������� ��"�������� ��#����� ���# ����I��
��� ��� � �� ��� �������� �#������ #���� ��������� � � �& � !����� � � ��
���� ������ �� ������
�
�
�
� �
�Figura 7: Demarcação de pontos no plano cartesiano Fonte: SMOLE e DINIZ (2005, p.82).
6���&�#� �# �� �� $��������� ����!�� �'�� ������"� �# ��# �� ��
� � #��� � �������� �� �� � &���� ���� ������ ��� ���� ���� # �� ��� �� ��� �
���� � �� �����!��� #������ ��� ��� ���� � ��������� @������ # �5�� ��$ ����
����!���� ����# �������������# ������������������'$����� ��# ����$�����
�
�Figura 8: Gráfico de linha contínua Fonte: SMOLE e DINIZ (2005, p.83)
�
�
� <�&�#� �C�������������� �#��������������������� ����!�� �� ��
���� ������� ��"�����# �����# ��"�������$��������������� �� ����# ����� �#���� �
��� �� �������� �����# �������&#� ��� �� � �!���� �������������
�
� �������Figura 9: Demarcação de pontos no plano cartesiano
Fonte: SMOLE e DINIZ (2005, p.83)
� � �� # �� $������� ���� � � � &�#� � C� � � � � � &�#� � D�� ���
�#������� �� �����!�� ��������� ����#� ��������&������� ������� � ���� �� ��
# �� �� )� � ���!�� ,�� *� � &�#� �� �� ��!����� ������:�� ��� #� #������ ��
����� � � � ���� � #���� �����!����� ��!������ � ���������� ���� ����������
#� # �������������������������0����������������� ��"�������
<$����5�����$'����������� �+ ���)344C��#�L,��� ��&�#� ��3��C��
D�� �� #� $����� �#������ �� �� � ���!��� !�������� ���� � �� ������
��!���������# ���������� ����� �������� ������� �� �����!�� ���
<� ���� ��#���������� ���������������� ��������� ���� ��������� �'���
$ ��������������!�����
�
�
� �
�Figura 10: Tapete Sierpinski. Fonte: SMOLE e DINIZ (2005, p.84)
6 �&�#� �L��# �5�� $������ ������������������� ����!���� ��# ��
�� ����������#���:��� �'���� ���� � � ���#����*��#���X����
@#��� ���� &�#� ��� ��� ��� ���� �� ���� � � ���� � �� ����� �� 6 �
����� ������������������#������ ����� ���������������0���'�����
!���� K� #���� � �#� ����� �����0��� ��� � ����5&�#� � )*�<�%K� 9868[�� 344L,��
� �! ���� ������ ����� �������$������������
�
Figura 11: Tabela de números inteiros. Fonte: SMOLE e DINIZ (2005, p.85)
�
�
@� ����� ���� � �������� !� �� � ��� ���� �� �� ���� �� ����� �� ���
���� ��� �������� ���������!���
M�������������������$'���� ��#���������� �� ������� ������������� �
���� � �� ������������� � ��� � ��"��� �� � #������ � ��# �'��� � � ������ �� ��
��#��������� $������ ����#��������+ ��&�#� �� �$ &� ;*����9���=�'�
���� ��� � �� � $��� � '� ��� �� ���� �� �� ����� #� $����� �� �
� ����� ������ �� ���� #� $����� ��� # ��� �� �� � ����� ����� ��� �� � �
���� ��� ������� �� ��� �� �� ������� ���� # ��� ��� �� ���� �� � �� ��
�#������ � ������ �� ���� ����� � �� ��� � #� ��� � ��� �"���� �� &����� � � �
���� � ����� � �� �� �!�&� �� ������������ � ������������� >��$'�� �� �
������� �� �� ;#� $����� �� ������=� ��� &���� ���� �"�� � ������ � � ����
�� ���� ��#���� ���������� �����#����������������������������
(SMOLE; DINIZ, 2005, p.17).
�@������&�#� �B�
�
Figura 12: Box “Saia Dessa”, resolução de problemas não convencionais. Fonte: SMOLE e DINIZ (2005, p.102)
�
�
� �
6 ������� � &�#� ���#������ ��� $����5�� ��� �� �#� $������� �
� ����� ���������� ��� # ��� � ��� �� ���� �� # ���� � �� ���� ����� � ��
��� �#� ��� ��&����� �� ����� ��!�&� ���������������
>��$'�� �� # �� ��������� � �� &�#� �� C� � D�� � ���� �$ ������ ��
������������ ������� ��� � ������7"����B����
��
��
Figura 13: Problema de Lógica Fonte: SMOLE e DINIZ (2005, p.101)
6 �&�#� �L����#� $��������$ ������ ��������&��5��� ����� ����
���� �"�� ������� ��@��� ���� ������#��������#��������������������
@�������� � ���� &�#� ��� � �!����5�� ��� � ���� � #������ �� ����
�!�&� �����#������ �� ��#� $������$ ���� ���+����+ ���)344C��#�C,��
�
R���S� ���������� � �����#����0������ �����������������'� ��� ��� ��� ����� ��� � ���� � �� � �#�-������ ���#������������� ������ ����� ������� ���#�"!�� ���� �"�� ���#� ��� ����������$'������#������������� �"�� ����� ���� ��� ���� ������ � ������� � � ���� �� � ���� ���� � #� $������ �#����� � ������ � � ���� ���������� ��#����������� ��������:������������� � ���"��� ���!�&�� =�����
<�� &�#� �� ����� �� # �� *� �� � 9���0� # ��� #� #������ �
���� ������ � �� ��$��������� � � �� ���� �� ���� �� ��� #������#��� � ����
���������� #� # ����K� � #� $���� �����!���� ��� ��! ����:�� �� ���������
�������������$ ���� ���# ��"���������'�����#������ ��-5������
9��� �� �� �� ��+ 6J�)(G@*8���3443,�� ��+ 6%��)(G@*8���3443,�� �
���� � ��� ���������� # �� � ����$���� #���� ��� �� ���� �� ���� �����
��$�������� ����� ������ I� �#������� �� � �#���� �� � �������� ��
���������� ������$'���I�� ��&�����0��� �� �� ����������)(G@*8���3441��#��F�,���
�
�
%�%�%� F� 7"5��� 4� ?� �����,� 7 "�� ��2����,������$�"��� �����,� �@�� �,� *3�� #� &�6��
;�"��,���:�&��9�"��,�%--G��
���3������ ��3��
����������������Figura 14: Conceito de função por meio de tabelas Fonte: DANTE (2008, p.32) �
�� ��"��� �;%&#� ���� ����������������� �� ���!���� =�� ���� ��$�����
�� ����� � � �� ���� ��� �#������� � ����� �����0���� � �� ����� � &�#� ���
��� � ��-�� ���� �#������ �� # ���� � �� ��$���� � ��� #��� $������ �� �
���� ���������� ������������������ $����������� ��6 �&�#� �D������
��������� ��� � ��� �� �����0�� ����� ���� �� � ������� �� �� 7"������ � �� ���
�
�
� �
�����0��� ��# � � ����H������ ��#����� � �� ���������� ���� ������:�� � �
� ������ �#���� ��#����0�� �� ����� ���
@������ $����5�� ��� �� &�#� �� �#������ �� #� � ��� �� #� ������
�������������� �� ����� �#���� �!����� � $���������#� #���������� !�� � ��
#� ������� ��>��$'�������#������������# ��"���������'�������� ���:���
9���� � �� ���� �� ����0������! ����� � ����� �!�� �# ���� ���
! ������� ���� ���� ���#� $������*���� �+ ���)344C��#�L5F,���
�
;R���S� #� $����� �� � ���!��� !�������� ���� � �� ��������!�������=�� %&����� ���� �� ��# �� �� ���!��� ! ��������� ����� �� �� ������:�� ����� �� ��������L� ��� �#����� � ��!���-������ ����� �������������B�&��"�� ���#� $��������#������ �����!������ � ����� ��>����5������# ��#�������������&��"�� ���#� $���������!�����&#� ���� ������������ ���#���� �� �������������!�����������������������������
<� ��� �� �#������ ��� �� &��"�� �� ��� �$ ����� �� ����� ��� � �� � ��
!���� ��#������#����� ��� ������� ���<$���5����7�������L��
� � ��� � Figura 15 – Exemplos que abordam ideias de noção de função. Fonte: DANTE, ( 2008, p.33)
���������������������������������������� �������������������5 Semirreais. Situações que à primeira vista parecem reais, mas que, na prática, são abstratas.
�
� <$����5����� ���� ���$ ������� �� ���!���� ��� ��� ��� ��&� ��� �
���� �"�� � ����� �������������� ������� ��������# ���� ������������������
���#���� � �� $��� �� �� ������� � �!������ � ���� ������:��� � @�'�� ���� ��
���� ��#� $�����#� #������� ����� ���� �#����� ��������'��������� ���:��
��!������ <�� + 6%�� )(G@*8��� ������ #�� 3LD,� �# ����� � � � ��$��������
�� ���������������������B��
� �
�� �#������ ���� � ������� �� �������� �� �� ������:�� ��������������0��� 5 �� ��� ����#����� � ��� ��-������ ��� ��������� ��� ������� ���������������� ��������K�
�� ���� ������� ��#���������� ���� �"�� �� �� ���� ���#� $��������� �������� ��$��� � � ��#"��� ���"��� ��������� K�
�� �� ����� �#������:�� ���������� �� ��� ��� � � ���� ������� ���� �#� ������ ���� ���� ��I����!������#������:�K��
�� ����� ������� � ��� �� �#������ �� � �� ��� !���� � �����0��� � � ���� ���
� ������� �&�#� ��������:������� ���� ���� �����'��� ��@��(�� � � ��
��� �#������ ��# �� ������������ !�������M�� �� �� &�#� ��� �� �������
&���"� ��� ����� �(�)9@6>%��#�CD,���
�
�Figura 16: Noção de Função utilizando conjuntos Figura 17: Noção de Função utilizando conjuntos Fonte: DANTE (2008, p.33). Fonte: DANTE (2008, p.34).
�
�
� �
� <� ��� �� �#������ ������ ��������� � �� &�#� �� ��� 3�� C� � D�� 6 � �A�
&�#� �������� �������������� �� �� ���� �@������ ���# ���� ����#� �
� �� ���� �(�������� ��&�#� ��3��C�� � �� ���� �@��� �� ���# ���� � �
� ���� � (�� ��� � ������� � � ���� � @� �� � ���� �� !���� � �� (�� � ��� ��
� �������� � ������ ���������� ������&#� ���� ��P��� �DA�&�#� ����� ��� ���
� ���� �� @� � (�� ���� � ���# ��-����� '� &#����� #��� !������� Y� `� & � �� +����
+ ���)344C��#��L,B��
�
@�� ���!�����&#� ���� ��� � !������� ������������$�����6 ������ �� ������� �0�� �� � ��� #���� ����������� ���� ���!��� ��&#� ���� �������������� ��������� 5��;���������:�=����� ��#������ ����������!����������� ����� �# ������ �������.����0��������$�"� �� ��# ��H������ ����������!���������������!���� '� #�!�"��� ��� �� ���� �������� � #���� ��� ���!����$����������!������ ������������� �#��������������!"������
� �������� � ��&�#� ����9����������������#� # �����#��������
#� � ��� �� �� � �� �!����� � �� � ����� �� !�������� � �! ��� �������� ��
+ 6%�B�
�
@� ���������� � � %���� � �'�� � �� � # ����� �#���� � �������! ������ � �� ������������� ���� ���$'�� ��� ��� ������ � � ���-������ � �� ����� �������"������� ����������� �#�"!������ N���# ������ ��� � ���� � #��$�� ��� ��� �!����:����� ������:�� � �������� �� � ��������� � ����� �� �-�� ��!���� ���� ��������� � ��� ���� ���� ���������� �� #������ �� ��� �� � ��� ����� #���� �������� ������:�� � ���� ����� � I���'��������#���������)(G@*8���������#�3L3,�� �
��
+���� 9���� )3441,�� �� ��#������� � �� ���� �� #���� �� ���� #� $�����
���� ��5��� �� �� �� ���# ��� � �������� ���������� �#� � ���� ����
������� # ���������� #���� �� ���� � �� ���� �� ��# �� �� #� $����� � � �
� �!� �� �� ��������:��� ����� �������
%�%�%���F�� ��3��?�7"5����"�$�"���4�
�
Figura 18: A função f transforma x de A em y de B. Denotamos isso assim: y = f(x) Fonte: DANTE (2008, p.34)
<� ��� �� ������� � �� &�#� �� �$��& �� �� !���� �� # �� �� � �� �!����� � �
� ���� �� ����� ������� �� � �#������ �� &�#� �� �� !���:�� &#������ # ��
!�������� ������������ �$ ����� � ����� ���� � � � ������� � � � � ��
���������� 7��������� � �� Z �����K� �� �������� �� � #� # �� �� &�#� ��
�$ ����� ���������� ����� �����!��������������
�
�� � ���Figura 19. Problemas expressos por fórmulas Fonte: DANTE (2008, p.36)
�
�
� �
>��$'�� �� � �#������ �� ��� �� &�#� �� ��� �$ ����� ����� � �
� ������� �� � � � �� Z ���!��� � �� ��� � �������� � ���!������ � ��
Z ������@���"�����������0��� �������H���������� ���# �� �������� �������
������!�-������# �'������������������ �� �� �� ���� ���!���� ��� �! ���
� ���������7�������34��3�B��
�
�Figura 20. Coordenadas Geográficas Figura 21. Distância entre dois pontos Fonte: DANTE (2008, p.41) Fonte: DANTE (2008, p.41)�
�
%�!����������� ������� ������!�� ����!���� �$���� ��������$���B�
�
�
������ � � ���Figura 22. Construção de um gráfico Fonte: DANTE (2008, p.42).
�
�
Figura 23: Tabela para construção de um gráfico Figura 24: Gráfico de uma função crescente Fonte: DANTE (2008, p.4) Fonte: DANTE (2008, p.43).
�
9���� �������� � ���� � # ���� #��$�� ��� ��� ��������� � ��
� !�����������&#���� ����'$�������#������������:��2���������� ����!�� �
��� !���� � � ���5������ *�� � ������� � ��� �� ������ �� ����� � � �� ���� �� # ��
�� ����������������������:����
@��$ �������� �����#� ���� ��#� � ����#������#��� �������� ����� �
��������������������#� # ������ �� �� ���� $������������� ����������������
����� � ������#������ ��# ���$������� 5��� �� ����#� $����������������
��������� *����� � ��� ���� �"�� �� #���� �� + 6%�� )(G@*8��� ������ #�3LD,�
; �#����� �� � ���� ��� #� ������ �� � �����'����� ����������� ���
#������� �� �� ���� ���� ���� �� # ���� ��� � ��������� ���� ! ����� �
����"!���������=�
*�� � ������� �#�����5�� ���� � ��� ������� �� �� ��� �� � �����������
������ �����:�� $������� �!����� � � &�#� � #� # �� �� @� !������ �������
&�#��!���B�
�
Figura 25: Pontos de consumo de água em uma residência (em porcentagem ) Fonte: DANTE (2008, p.39)
�
�
� �
+�������������!��������� ����B�
�� ��������� �� �������� �� ��������������������������K�
�� �� $����� ���������� � �� ��� �#� &��������� ���� � �0�� �����
������ ���� ������K�
�� ��$���������������� ������� ��� � ����������� �� �������K��
�� ����� ������� ���������� �� ������ � ����� '� � �#���� � ����� ��
� �� ��������
�
<� ��� �� �#������ ���� ������� �� ��� ����� � ���� � &#� ��� ���&�� � ��
��! ����:��� � ������� �&�#� ��%����!���� ���&������������������������� �
������������0���)� �����# �������,������� ������#������ �������
*������� ������#����+ ���)344C��#���4,B���
.������������� �! ������������� ��������:������������� �� ���� �� # �� ������ � � � # �� � �� #�������� �� � ��� #���� ����� ������ ���� �#�-������������������ ���������$'��#�������#����0������� � ��� ���� ���������� ���� ���
%�� ��� �� ��� �� � ��� �� #� #:� ���&��"�� �� �$ ����� � �� ����� ��
������������!�� ���������������# ��H������������������ ������������� ��
����� � ��� ���� ���#� $������
@������� �! ��� ��+ 6JB��
�@��� ���� ���#� $�����'�! ����#���� ����� ��������������# ��� �#������ �!�0����� $���0���������� ��������� � ������"�� � ���� ����� � ��������� � � �!������� � �����!� ��� %���� � �#�-����� �� � �� ���� ��� ����� �#� # � �� �#���� &��"�� �� �� �#������ � � �� � ���� �� ��'������������������� 6��� ��� �� � ��� ���� �� ��� � '� �������#��� �����# ���� � ���������B� � ���� � $����� ���������� ���&��"�� �������������� ���#��� ������ � ��� ���������������� �� � ��� �� � ������� ��� ��� ��#�0� �� �����0��� ����� ������� �� �� ������:�� ��!����� �� ����� � �#�&���)(G@*8���3443��#���3,��
�
9��� � � �� ����#���5�� ��� ��� � �#�-������ � �� ���� �� �� ����
���� ������� � � �#����0�� � �������� � # ��� ���� ���� ��$�������� �
���������� � �����!� ���@�'������ ��'�������������� ����� �� �������!�����
����� ��# ����� � �����! ���5���� �� ������ ������:��� ��������� � ������ ����
#��#�� ���
�
�
�
%�%�/�F� �7"5�����F�8� &���,��$��"���"����,������$�"��������"����A�"�,�/@��,�*3��
#� &�6�*�"�"���,�%--G&
�
���3������ ��3��
�
�
Figura 26. Leibniz Fonte: GOULART (2008, p.54). �
Z ������ )3441�� #�LD,� �#������ �� � �� � �� !���� �� ������ � � !���� ! �
��$��0� )!���3F,���������� � ��� ���������� ���� �������������� ��-������� # ��
��� � $������� ���� ��������� ��������� ��� #� #������� � ����� � � �
� ������� � �� � � �� �� ��� ��� *��� #�����#��� � ����$���� � ! �� � ����� �
9�!�������8�!���������������������������� ��8�����6a� ����
Z ������ )8$���,� �!�5�� ���$'��I� ���� ���� ��� !���� ��$���������
��;� �� ���������� ��#�������� ���������� ������������0����� ������
I�������� ��� ����������0�=��M��5�� ��&�#� �B�
�
�
Figura 27: Sequência de Números Fonte: GOULART (2008, p.55). �
�
�
� �
�
�� �
Figura 28: Área de um círculo Figura 29: Área de um quadrado Fonte: GOULART (2008, p.56). Fonte: GOULART, (2008, p.56).
�
Z ������ )8��,� �#������ � � � &�#� ��� �� ���-����� �� ���� ��� ��
���� �� ��� �"���� � �� !���� � ��� ������ '� �� ��� ��� �� �� ������ �� ����
���� ����� �������� ���!���� ��������������� � ��� �� �������� ��������
�����������&�#� �� �� ������ ������� ��� !���� ���� ����� ��������������
� ��������� �� ��� $��� � �� ��� ���� � �����K� # �'��� �� � ���# ��$���0�� � � ���� �
������ # ���$�������� �� � ����$���� � #���� �� � ������� � �� � � �� � ���� ���
��&��� ����#�������� ����������:������$ ����������0�����
*�� � ������� �� &�#� �� �#������ �� #� � ��� �� �� � ��������� ��
���� �� �� #������#���� ���� ���������� #� # ����� � # ���$������� ��� �!������� �
�� ����� � � �� � ����� �� !�������� �� ��� � ���� � �� !���:�� # �� ���
������� �� � �����&#� ���� ���������������������:����������������0�����
��!�����������:���
�
%�%�/�� � ��3��?�7"5����"�$�"�����
�
Z ������ )8$���,� ������� � � ���� � �� !���� � �����0��� � � ���� ���
�$ ����� � ������������ �� �"�� ����!���� �� �� ����� �"�� �� �� ���� �
������������0��� ������������!�����K��� ������������#���� $������#�����
� ����� ������������!�������
�
�
Figura: 30 - Esquema abordando o que vem a ser domínio e contradomínio, utilizando diagrama de flechas Fonte: GOULART (2008, p.60)
�
6�� !���� �� � � � &� �� @� ���� ����� ��� � �� ������ Y� �� (�� �� ���� �
� �"�� �'����� �� ��������P�� �� ���� �! ���� �# ����� ������Y��������
���������!���� �'� ���������� ��� ���� ����������!���� ��
<� ��� �� #� #:� ������ � � � � � ������� � � � �����"�� � #���� �� ����
������:�� �� � ������� � �� � ��&�� ������ ����� ��� ���� � ��� ��� �#����� �
#������ $������ ���� ����
*���� � �+6�%��)(G@*8���344���#��LD,B�
�<��� ���#�� ���# ������'��������������#� � ���������������� ������������� � �� #� $������ ��������� � �� ����� � �� �����# ���������� ���������������# �������������'�������� ���� �# ��"�������� �������� � � � ������� �� @������ ����� � ����� ���� � �� #� $����� &��� ��� �� ���� �� � �#������ ���� �# �����!������ �����'����� �� � ���� �� G�������� ���������� �� �� �� � � ���� � � � ���� � !���������� #���� ��#� !������� � � ���#���� � �� ��$�������� � ������ � ���� ��������������� ����$�������� � ��� �
�
�
*���� � + ��� )344C,�� �� ���������� � ����� ���� ���� �������� ���� �
��!����������#��� #���� ��+����#:� �!�&� ���$���� ��"������#� !�������
#���� ��������� ��#�����&����� ������������� �����������#���������
�� ! ���� ��!��������� ��������� � ��� � ���� #���� ���� � �#�������� �
�$����������
�
�
� �
%�� ��� �� ������� �� $��� �#�������� # �� Z ������ )3441,� !��� ����
������ ���������� �� &��"�� ��� ������ � � � �������� � #�#������� � #���� �
����$��������
*���� � �+6�%��)(G@*8���344���#��LD,B�
�
@� �� � � ���� �#������ ��� � � � #����# �� � �� � �� � ����� �������� �� � ����H������ #���� � �#��� ����� � ����$���������� � �#�-������� #������� � � � ���� � ���������� ��#����� � �� ����0�� � � � � � ������� � �������� �#�������������#:��6 ������ � ��� ���������#H���������� ���� � &��"�� ��� �� � ����� �� �� ��������� ������ �� I�� ��&�����0��� ��I���#�����:����������������� �
�
�
*�� � ������� #���� �� + 6�� � �#�-������ � ��$�������� �� ����
���� �������������������������������� ��� ��&�����0��� �������B�
�
�� 9���������������#� ��0���������� ��� ��������K��� 9����������������0������� �"�� �������� ���������� �K��� 8���#���������������������� �������������� �� �����K��� @#������ � ������� �� ��'� � �� �� ������:�� ������ �� �#�����
�� ������������ �� ������� K��� .����0��� ����������� �������� ���� � � �#���� ��� �� ����� �
������������:���# ������������)(G@*8���������#�3L�,����
<�� ��#�� �� ����� ��� �� #� �� � ����� �� !������� ����� �� ������
��������� ������ ����� ���� #�������� � ����� 5�� #� ���� ��� � �
���� ������ ������ �#�-���������$��������� ������ ���
�
%�%�H�F�7"5�����?������$�"�����@�*A�"�������"����A�"���*��&�,�B$�"��*�����,��"�"C,�
���"���0��C,������$�"�����"����A�"�,�:�&���,��@�*A�"�,�D@�����*3��#� &�6�*���"5�,�
�@�"��0���%--E��
�
� ��3��#�&"���"�&�����I�0�� �
@ � �������� � ��#"��� �� ��� ��� ���� �#������� �� ��# ��H����� ���� !���:��
# ��� ������� ��A����������;�� �� �� ���������� �������0�� ��#���� ����� �
�� ����:�� ���� �����0��� �� �������� ����� � � � ������� =� )*�<�%K�
9868[��344L��+���4L,��
�
�
@�� !���:�� # ��� ������ � � �A� ����� � ���# ���� I�� ����:�� ���� ��
���������#���������������� ���#������&#������# ��# ���O�� ��� ��A�
������
6 �&�#� ��������'��#������������������� 5#� $������������
���� ���� ������'��$������ �� ��C� ���� ������� �����# �� ����� ���������F�
����� ��� <$����5��� ��� 7������ C��� �� ������� � � � ���!�� � �� ��� ����� ��
!���� �� ���# ��
��
�Figura: 31 - Abastecimento de um carro em função do tempo Fonte: SMOLE; DINIZ (2005, p.105)
@������# �5��� ����������� �����M�)���� �,��>�)��# ,�&#�����# ��
�� ������������ �����������M`�C�� J� 1�� ��∈� R4�FSK� ���$'���� $����� �
�� ������ � � �� ����� ���� �� � ������� �� �� 7"������ !��������� � � � ���� �
���� ����� !�&�$������� #���� ������ � �� � � ���� � �� !���� � �� ������:��
��������� %�� �������� '� �#�������� �� �!����� � �� !���� � � � �A� ������ � ��
&�#� ��� >��$'�� �� � � ����� �� &�#� �� �$ ����� � �� � ������� � � �
���!�� ��� �! ���� ���������!����������������
�
�
� �
� � �
Figura: 32 - Tabela com números reais Figura: 33 - Construção do gráfico Fonte: SMOLE e DINIZ (2005, p.106) Fonte: SMOLE e DINIZ (2005, p.106)
� <��$ � �� ����!�� �'��#������ �# ���� �������&#���� ����'$�����
���!���� �# ��� ������ ��A������Y�`�3&�J�C��*� �����$�"� ������� ���� ���#����&��
#���� �� � ������� � �� ���� ��$��� �� �� # �� �� �� � ������ �� � � #��� �
�������� ��
� +������ � ������� �� ����!�� �� � ����� ���������$���� ��� ����� &���������
# �� ��� ����!�� ����'�������������� �#�� ��6 ������ ����� �'���# ��"���
# ���� � ���� � �� # �� �� '� ��!���� �� @������ � � &�#� � �#������ �� ��
� ����0��� �� ��# �� ���������� ����!�� ��������������
� %����������'��#������ � �&�#� ����!���� �Y�`�3&�J�CK������� ����
������� ����!�� �� �! �����!�������$��& ��
� � � � � � � � � �
� �� �
Figura 34: Gráfico de uma reta
�− é a raiz ou o zero da função
Fonte: SMOLE; DINIZ, 2005, p.106
�
�
� <$���� ������ ��� ����� ������ � # �� � ��� � ���!�� � � ���� � �& � &�
���� ���# ���� ���� ����&��������!)&,�`�4��6������ ��&�'������� ���0� �
�� ���0���� !���� ����A�������+������������� ���� ����� ���0���� !���� ����5��
!�0��!)&,�`�4��
%��� B�Y�`�4������ �3&�J�C�`�4� ��&�`�
�− �
+���� ��+ 6%��)(G@*8���������#�3LL,B��
�<� � ���� � !���� � ���#���� ���$'�� ��� #�#�� ��# ������ #��������������������# ���� ����������������#����� ��� ������� ������!�� ��� � � �# ������ � �� ��� �� !�O�� �� ���� � � � � ������ ��� � �#���� ������������ �� ������� ��� � ���7"������Z ���!��� ��%� � ������
� +��������������� �������!��� �� ���� ���!���� �����$ ��������
������������ �� ������� ����#�����!����������� ������� �����'����� ����� ��
� �
�%�%�D� F� 7"5��� 4� ?� �����,� 7 "�� ��2����,������$�"��� �����,� �@�� �,� *3�� #� &�6���������
;�"��,�:�&��9�"��,�%--G��
� ��3��#�&"���"�&�����I�0�� �
@ � �������� � ��#"��� � ��������� � ;7���� � @!��=�� � ��� �� �#������ ���
&�#� � � � � ������ � �� ���� � ����� ���� � � � ������� �� �� %� � �����
<$����� ���$'�� ��� � #� $���� �#������ ��� ����� �� ��!�������� ���� ��
# ��������� ����� ������ ������� �#������$ ��������!���� ���
�
�
�
� �
�� � �
Figura 35: Problema proposto abordando Função Afim Fonte: DANTE (2008, p.54) �
�
����� ������� �� � �#������ �� &�#� ��� &��"�� �� �� ���� �� �
&��"�� ��#� # �� �������� �����!�&� �����������'�������#� #������ ����� �
#������#��� �������� �#� ��� ���� ������� �� �� ������� ��������� ��
<� ��� �� #� #:� &��"�� �� �� ��� ����� ��� � � ���� � �� !���� � �!���
� �� �������������� ������� ��� � ���7"��������%� � ������
����
������������ ������������ ������������ ������������ ����
����
�,� T���� '� �� ��#������� �� ������ ��� '� �� ����� � � ��� ��
� ���# �������������7��������Q�
3,� 7 ����� ��� #� $����� ����� � ��� ������� ������ � 7�������� ��
�������9# ������ ���5 ��
C,� )7����5*+,� @� !���� � ��� �#������ � ��� �� �� ��� #�� � �#��� ���
��� �� ���Cb�� $�� ���� ��(������������ ����'B�
�,� !)&,�`�&�2�C� � � �,�!)&,�`�5�C&�
$,� !)&,�`�4���&� � � ,�!)&,�`���4C&�
�,� !)&,�`���C&�
Fonte: DANTE (2008 p. 55-56) �
�
�
<$����5����� ���� ���#����������������������&��"�� ��� ����� ��
���������$ ����� ������������ �� ������� ��� � ���7"��������%� � �����
*���� � + ��� )344C,�� �� &��"�� �� �� � ���!��� ��� ������ ��!�������� �
��������� !������ ) �� ��� �� � �� &��"�� �� �� � C,�� + �'��� � &��"�� � 3�
�������5�� �� ���� ���������� �� ��� ����� � ���� � ����� ! ������� ���
#� $���� � �� ��-5� �� # �� ��� � ��� � ����� �� ��!�������� '� ���� �� ���� �����
����������'��$������
<��+ 6J�)(G@*8���3443��#��3�,������<������:�� �����������6��� �����
#���� � %���� � �'�� � )(G@*8��� 3441�� #��3,� �� ������ �� ���� ���� � � �
� ���� � �� !���� � # �� �� � �� &#� ���� � ������������ ���� ����:�� ��
�#��-�������������������0����
�
)&)&*+7"5�����F�8� &���,��$��"���"����,������$�"��������"����A�"�,�/@��,�*3����������
#� &�6�*�"�"���,�%--G&
�
� ��3��#�&"���"�&�����I�0�� ��
<���� ���!�������!���� �!)&,�`��&�J�$��#���� � � �&��������������$�
�� ����� ��������� ���� ≠ �4��� � �!���� �# ��� ������ ��A����������������
&�#� ���
�������������'��#������ ����&�#� ��$ ����� ���� ������� ������
���!�� �! ���� �# ���� ���������$��K� �! ���� ��������!��������$��& ��
��
Figura : 36 - Tabela Figura : 37 - Gráfico Fonte: GOULART (2008, p.79). Fonte: GOULART (2008, p.79).
�
%������������ �#� # �� ���&��"�� ��� ���� ��&��"�� ���#� $������
�$ ����� � ������
�
�
� �
����������������������������������������������������������������
�,� <$�������!���� �# ��� ������ ��A������!)&,�`��&�J�$��������!)3,�`�5�L��!)�,�`�
5�3��
��#",-./"
!)3,�`�5�L�⇔ ����3�J�$�`�5�L�⇔ 3��J�$�`�5�L�)�,�
!)�,�`�5�3�⇔ ������J�$�`�5�3�⇔ ��J�$�`�5�3�)3,�
G� ���� � ��������! ���� �#��������:��)�,��)3,�� $�� ����`�5�C��$�`����
��#0"#��1@�!���� �'�!)&,�`�5�C&�J����)7 ��B�Z<.�@G>��3441��#�14,��
�
����������������������������������������������������������������������������
�,� @� ������ ��� ��#������� ����� ������ �������� 7�������� # �� ���
� � ����� � � � ���� !���� � � � �A� ����� ��� ������ ��� ������ �������
*�$�� ����4A� �`�C3�A7���44�A �`�3�3�A7B�
�,� $����� ���� !���� � 7)�,� `� ��� J� $�� ��� �� '� �� ������ ���
��#���������������� �������
$,� ����#���������C4�A �'�������� ��������7��������Q�
�,� � ������L��A7�#���������� �������
3,� ).6%*+5*+,�<�� �$���"������� ������ ��������������� ���������'�
� �# �� ����
������� ������
�
������� ���*� �#�� �� ����� ������ �����
'�&������� �#�� �� ����� ������ ��'��
��� �#�� ������� �������������
� #�� � � � ���� � ������ � �$���"���� �� !���� � �� &�� )7 ��B� Z<.�@G>��
3441��#�1C51D,���
����5�� ������� � �� ;&��"�� �� � #� $����=�� � �� ������ � ��� �� #� �����
�� ���� �������������� ������� ��� � ���7"��������%� � ������
<����� ������� ��������� �#�#������� �#���� �����$������# ��� ��������������
���������� �� &��"�� ��� 6 � ����� �� ��� $��� &���� ���� ���-����� ��
��������:��� !�� � ��� ��#�� ���� ��� �� ����� � � �� ���� �� I�� ����������
#� # �������