Estatstica 2

1.Teste de Hipteses 1.Teste de Hipteses

Prof. Gustavo B. Araujo

Bibliografia Anderson, Sweeney e Williams caps. 9Morettin e Bussab caps. 12

Teste de Hipteses

- Usado quando estamos interessados em testar alguma informaofeita sobre uma populao (sobre um parmetro de uma populao).

a idia supor verdadeira a hiptese em questo e verificar aprobabilidade que se teria de encontrar determinado resultado amostral, dadoque a hiptese verdadeira.que a hiptese verdadeira.

se a probabilidade de encontrarmos certo valor amostral for muitobaixa, dada uma populao com parmetro igual ao de nossa hiptese,passamos a acreditar que o parmetro populacional no deve ser o da hiptese.

Procedimento Geral do Teste de Hipteses

- X uma varivel aleatria da populao.

- Hiptese: um parmetro da populao igual a um valor especfico,digamos 0.

- Colhe-se uma amostra aleatria de elementos dessa populao e com- Colhe-se uma amostra aleatria de elementos dessa populao e comela deseja-se decidir se rejeitamos ou no a hiptese feita.

1 Passo) Explicitar a hiptese nula (H0) a ser testada, assim como ahiptese alternativa (H1).

H0 : = 0 ou 0 ou 0

H : Teste bilateral estamos interessados em valores muitoH1 : 0 Teste bilateral estamos interessados em valores muitomaiores ou muito menores que 0

H1 : < 0 Teste unilateral esquerda estamos interessadosapenas em valores muito menores que 0

H1 : > 0 Teste unilateral direita estamos interessados apenasem valores muito maiores que 0

2 Passo) Fixar o nvel de significncia (B) do teste:B = P(erro do tipo I) = P(rejeitar H0|H0 verdadeira)e usar esta informao para construir a regio de rejeio do teste

(Regio Crtica).

3 Passo) Se o valor da estatstica calculado com os dados da amostra3 Passo) Se o valor da estatstica calculado com os dados da amostrapertencer regio crtica, rejeite H0, caso contrrio, no rejeite H0.

Testes sobre a mdia populacional () com desvio padro (G) conhecido

Ex: Uma mquina automtica para encher pacotes de caf enche-ossegundo uma distribuio normal, com mdia e varincia G2 sempre igual a400 g2. A mquina foi regulada para = 500 g.

Periodicamente colhe-se uma amostra de 16 pacotes e verifica-se se aPeriodicamente colhe-se uma amostra de 16 pacotes e verifica-se se aproduo est sob controle, isto , se = 500 g ou no.

Uma dessas amostras apresentou uma mdia igual a 492g. Com nvelde significncia de 1%, voc pararia ou no a produo para regular amquina?

1 Passo) Definir a hiptese nula (H0) e a hiptese alternativa (H1).

H0 : = 500 g

H1 : 500 g , pois a mquina pode desregular para mais ou paramenos.

2 Passo) Fixamos B = 1%. pela hiptese alternativa vemos que H0 deve ser rejeitada quando o

valor encontrado for muito grande ou muito pequeno (teste bilateral). Ou seja:P( < Xi ou > Xs| ~ N(500 ; 25)) = P(Z i,B/2 < -2,57 ou Z s,B/2 > 2,57).P( < Xi ou > Xs| ~ N(500 ; 25)) = P(Z i,B/2 < -2,57 ou Z s,B/2 > 2,57).

Z i,B/2 = -2,57 = (Xi 500)/5 => 487,1 Z s,B/2 = 2,57 = (Xs 500)/5 => 512,9=> RC = { 487,1 ou 512,9}

3 Passo) Como a mdia amostral encontrada no pertence regiocrtica, nossa concluso ser no rejeitar H0.

ou seja, vamos considerar que o desvio da mdia amostral para a ou seja, vamos considerar que o desvio da mdia amostral para amdia proposta por H0 seria devida apenas ao sorteio aleatrio dos pacotes.

Vejamos agora o exemplo de um teste unilateral.

Ex.: O rtulo de um saco de rao para cachorros informa que o sacocontm 3 kg de rao. O PROCON, com vistas a garantir o direito doconsumidor, define que o peso mdio de um lote de sacos de rao tem de serde pelo menos 3 kg. Para fazer essa verificao, o PROCON selecionoude pelo menos 3 kg. Para fazer essa verificao, o PROCON selecionoualeatoriamente 36 sacos de rao e calculou o peso mdio dessa amostra,encontrando = 2,92 kg. O valor do desvio padro da populao supe-seconhecido, pois no deve diferir muito do valor encontrado em testesanteriores, e dado por G = 0,18.

Dado o valor mdio amostral encontrado e o nvel de significncia de1%, o PROCON deve tomar alguma medida contra o fabricante da rao paracachorros ?

1 Passo) Definir a hiptese nula (H0) e a hiptese alternativa (H1).

H0 : 3 kg

H1 : < 3kg , pois o PROCON s se preocupa com casos em que aempresa entrega menos do que promete.

2 Passo) Fixamos B = 1%. pela hiptese alternativa vemos que H0 deve ser rejeitada apenas

quando o valor encontrado for muito pequeno (teste unilateral). Ou seja:P( < Xi| ~ N(3 ; 0,0009)) = P(Z i,B < -2,32).P( < Xi| ~ N(3 ; 0,0009)) = P(Z i,B < -2,32).

Z i,B = -2,32 = (Xi 3)/0,03 => 2,93

=> RC = { 2,93}

3 Passo) Como a mdia amostral encontrada pertence regio crtica,nossa concluso ser rejeitar H0.

ou seja, o desvio da mdia amostral para a mdia proposta por H0 ou seja, o desvio da mdia amostral para a mdia proposta por H0no deve ser considerado como devido apenas ao sorteio aleatrio dos sacos derao.

H indcio de que a empresa esteja provavelmente enchendo ossacos de rao com um volume menor do que o prometido na embalagem, oque faz com que o PROCON decida por tomar alguma medida contra ofabricante.

Testes sobre a mdia populacional () com desvio padro desconhecido (s)

- Comeamos supondo que a varincia populacional era conhecida. Noentanto, essa suposio pode no ser muito realista. Vejamos o que acontecequando consideramos que a varincia populacional desconhecida.

a grande diferena para o caso em que se supe conhecida avarincia populacional que usaremos a varincia amostral como estimativapara a varincia populacional. Isso faz com que a distribuio das mdiasamostrais, para n relativamente pequeno, se aproxime da distribuio t deStudent, ao invs da normal (para n grande em geral maior do que 100 asdistribuies normal e t de Student so boas aproximaes uma da outra).

- O procedimento do teste de hipteses , no entanto, bastantesemelhante:

1 Passo) Explicitar a hiptese nula (H0) a ser testada, assim como a1 Passo) Explicitar a hiptese nula (H0) a ser testada, assim como ahiptese alternativa (H1).

H0 : = 0 ou 0 ou 0

H1 : 0 Teste bilateral

H1 : < 0 Teste unilateral esquerda

H1 : > 0 Teste unilateral direita

2 Passo) Fixar o nvel de significncia (B) do teste:B = P(erro do tipo I) = P(rejeitar H0|H0 verdadeira)e usar esta informao para construir a regio de rejeio do teste

(Regio Crtica).(Regio Crtica). usar a tabela da distribuio T de Student.

3 Passo) Se o valor da estatstica calculado com os dados da amostrapertencer regio crtica, rejeite H0, caso contrrio, no rejeite H0.

Ex.: Um fabricante afirma que seus cigarros contm no mais do que 30mg de nicotina. Uma amostra de 25 cigarros forneceu uma mdia de 31,5 mg edesvio padro de 3 mg.

No nvel de significncia de 5%, os dados refutam ou no a afirmaoNo nvel de significncia de 5%, os dados refutam ou no a afirmaodo fabricante ?

1 Passo) Definir a hiptese nula (H0) e a hiptese alternativa (H1).

H0 : 30 mg

H1 : > 30 mg , pois queremos ver se os cigarros contm maisnicotina do que o fabricante afirma.

2 Passo) Fixamos B = 5%. pela hiptese alternativa vemos que H0 deve ser rejeitada apenas

quando o valor encontrado for muito grande (teste unilateral). Ou seja:P( > Xs| ~ t (24 ; 0,05)) = P(t 24;0,05 > 1,711).P( > Xs| ~ t (24 ; 0,05)) = P(t 24;0,05 > 1,711).

t 24;0,05 = 1,711 = (Xs - 30)/(3/5) => 31,03

=> RC = { 31,03}

3 Passo) Como a mdia amostral encontrada pertence regio crtica,nossa concluso ser rejeitar H0.

ou seja, o desvio da mdia amostral para a mdia proposta por H0 ou seja, o desvio da mdia amostral para a mdia proposta por H0no deve ser considerado como devido apenas ao sorteio aleatrio da amostrade cigarros.

H indcio de que a quantidade de nicotina nos cigarrosprovavelmente maior do que a afirmada pelo fabricante.