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Colégio D.Dinis Ano Letivo 2014/2015 12º Ano Ficha de Trabalho Nº20

Tema: Limites. Gráficos. 2º Período

O professor: Hugo Soares/Isabel Braga Data: Fevereiro 2015

1. Na figura está representada parte do gráfico de uma função f ,

de domínio .

Qual das seguintes afirmações é verdadeira?

(A) 4 4

lim 4 e lim 4x x

f x f f x f

(B) 4 4

lim 4 e lim 4x x

f x f f x f

(C) 4 4

lim 4 e lim 4x x

f x f f x f

(D) 4 4

lim 4 e lim 4x x

f x f f x f

2. Na figura está representada parte do gráfico de uma função g , cujo

domínio é \ 2 . As retas 2x e 1y são assintotas do gráfico de

g . Considere a sucessão de termo geral

11

n nu

e

.

Qual é o valor de limn

g u ?

(A) 1 (B) 1 (C)

2 (D) 2

3. Na figura está desenhada parte da representação gráfica de uma

função f , cujo domínio é \ 0 . As retas de equações 0x e 3y

são assintotas do gráfico de f .

É dada a sucessão definida por 23 nxn .

Qual o valor de )(lim nxf ?

(A) 3 (B) 0 (C) (D) 4. Na figura está desenhada parte da representação gráfica de uma função

f , cujo domínio é \ 0 . As retas de equações 0x , 3y e 3y são

assintotas do gráfico de f .

Seja nx uma sucessão tal que lim

nf x

Qual poderá ser a sucessão nx ?

(A) 3n

x n (B) 2

2n

xn

(C) 1

nx

n (D) 2

3n

x n

2

5. Na figura está representada parte do gráfico de uma função f , cujo

domínio é \ 1;1 . As retas 1x , 1x e 0y são assintotas do

gráfico de f . Considere a sucessão de termo geral 1

1n n

ue

.

Qual é o valor de )(lim nuf ?

(A) (B) 1 (C) 0 (D)

6.Seja nx a sucessão de termo geral

11

n

nx

n

. Seja ny a

sucessão de termo geral 1 lnn n

y x . Qual é o valor de

lim ?n

y

(A) 2 (B) 3 (C) 1 e (D) 2 e

7. Na figura ao lado está parte da representação gráfica de uma função f , par e positiva,

da qual a reta de equação 0y é assintota.

Qual é o valor de

1lim ?x f x

(A) 0 (B) 1 (C) (D)

8. Na figura está parte da representação gráfica de uma função h de domínio e

contínua em \ 0 . Considere as sucessões 2

nu

n e 2

2n

v n .

Qual das afirmações seguintes é verdadeira.

(A) lim 1n

h u e lim 0n

h v

(B) lim 2n

h u e lim 2n

h v h

(C) lim 1n

h u e limn

h v

(D) lim 2n

h u e lim 0n

h v

9.Sejam 3

1

2

xf x

x

e

3

22

xg x

x

funções reais de variável real. Considere

1limx

L f x

e 22

limx

L g x

. Então podemos afirmar que:

(A) 1L e 2

L (B) 1L e 2

L

(C) 1L e 2

L (D) 1L e 2

L

3

10.Seja f a função definida por3 2

2

6 11 6( )

2 1

x x xf x

x x

, de domínio \ 1 .

Resolva as seguintes alíneas utilizando métodos exclusivamente analíticos

10.1. lim ( )x

f x

10.2. 1

lim ( )x

f x

11. Calcule os seguintes limites:

11.1.

11

lim2

1 x

x

x

x

x

11.2.

1

11lim

20 ttt

11.3. 13lim22

tt

t 11.4.

2

587lim

2

2

x

xx

x

12. Seja log 1 2x

i x . O domínio de i é:

(A) (B) 0

(C) (D) 0

13. Seja g uma função, de domínio A , definida por 2ln 1g x x . Qual dos seguintes

conjuntos poderá ser o conjunto A ?

(A) 0, (B) ,1 (C) 1, 1e e (D) 1,1

14.Sejam a , x e y três números reais tais que log 1 5 loga a

x y . Qual das igualdades

seguintes é necessariamente verdadeira?

(A) 5x ay (B) 5x ay (C) 5x y (D) 5

x y

15. Seja 3( ) lnm x e x . Qual das seguintes expressões pode também definir a função m ?

(A) 3lne x (B) 3lne x (C)3 ln

3

x (D)

1 ln

2

x

16. Indique o número real que é solução da equação 2 1xe

e

:

(A) 2

1 (B)

2

3 C)

2

5 (D)

2

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17. No referencial da figura está parte do gráfico de uma

função h definida por log , 1a

h x x a e um

triângulo ABC .

Sabe-se que:

O vértice C do triângulo pertence ao gráfico de h ;

, 0A a e 3 , 0B a ;

AC BC .

4

As coordenadas do ponto C são:

(A) , 1 log 22

a

aC

(B) 2 , log 2

aC a

(C) 3

, log 22

a

aC

(D) 2 ,1 log 2

aC a

18.As substâncias radioativas desintegram-se, com o decorrer do tempo, de acordo com a

lei ktM Ae

, sendo A a quantidade inicial, M a quantidade existente decorrido o

tempo t e k uma constante positiva que depende da substância em causa. Uma amostra

de 10mg de rádio desintegra-se segundo a lei:

10kt

M t e

, sendo t o tempo expresso em milhares de anos

18.1. Sabendo que decorridos 400 anos a massa da amostra se reduz a 8, 43mg , verifique

que, com três casas decimais, se tem 0, 427k

18.2. Chama-se período de semidesintegração ao tempo necessário para que uma substância radioativa se reduza a metade. Determine, em anos com aproximação às unidades, o período de semidesintegração do rádio.

19.Admita que o número de habitantes de um certo país é dado por:

t

etN

18,091

100

com N expresso em milhões e sendo t, o número de anos contado

desde o início do ano 2000.

19.1. Determine o número de habitantes do referido país em 2000. 19.2. Passado quanto tempo (em mês e ano) a população duplicou?

19.3. Em que ano serão atingidos os 45 milhões de habitantes? 19.4. A longo prazo, quantos habitantes terá, presumivelmente o país, se aquele modelo continuar válido?

20. Na figura abaixo estão representadas, em referencial o. n. xOy .

• parte do gráfico da função f , de domínio , definida por ( )x

f x e

• parte do gráfico da função g , de domínio , definida por ( ) lng x x

O ponto A é o ponto de intersecção do gráfico de f com o eixo Oy e o ponto B é o

ponto de intersecção do gráfico de g com o eixo Ox .

Na figura está também representado um

triângulo CDE .

O ponto C pertence ao eixo Oy , o ponto D

pertence ao gráfico de f e o ponto E pertence

ao gráfico de g .

Sabe-se ainda que:

• a reta BD é paralela ao eixo Oy e a reta

CE é paralela ao eixo Ox

• AC OA

Qual é a área do triângulo CDE ?

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21. Na figura estão parcialmente representados os gráficos de duas funções polinomiais, r e s

Qual dos seguintes conjuntos pode ser o domínio da função ?r

s

(A) (B) \ 0 (C) \ 1,1 (D) \ 1,0,1

22. De uma função h sabe-se que:

O domínio de h é lim 0x

h x

0

limx

h x

Indique qual dos gráficos seguintes poderá ser o gráfico de h .

23. Seja f uma função de domínio e contradomínio 3, 2 . Qual será o

contradomínio de f ?

(A) 0,3 (B) 0, 2 (C) 2,3 (D) 2,3

24. Na figura está representada parte do gráfico de uma função f ,

polinomial do terceiro grau. 2 é um máximo relativo da função f . Seja

g a função de domínio , definida por 2g x f x .

Quantos são os zeros da função g

(A) quatro (B) três (C) dois (D) um

25. Considere num referencial o. n. 0xyz , uma pirâmide quadrangular

regular, de altura 1, cuja base está contida no plano xoy . Para cada

0,1c , seja V c o volume da parte da pirâmide constituída pelos

pontos cuja cota é superior ou igual a c .

Qual dos gráficos seguintes pode ser o da função V ?

(A) (B) (C) (D)

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26.Na figura junta está representado o círculo trigonométrico. Considere que

um ponto P parte de 1,0A e se desloca sobre a circunferência, dando uma

volta completa, em sentido contrário ao dos ponteiros do relógio. Para cada

posição do ponto P , seja x a amplitude, em radianos, do ângulo orientado

cujo lado origem é a semirreta OA e cujo lado extremidade é a semirreta

OP ( 0, 2x )

Seja g a função que, a cada valor de x , faz corresponder a área da região sombreada

(região limitada pelos segmentos de reta , OP PA e AO ). Qual dos seguintes gráficos

pode ser o da função g ?

(A) (B) (C)

27.Na figura estão representadas:

Uma circunferência de raio 1

Uma reta r , tangente à circunferência no ponto A

Admita que um ponto P , partindo de A , se desloca sobre a circunferência, em sentido contrário ao dos ponteiros do relógio, descrevendo uma única volta em sessenta segundos.

Seja d t a distância do ponto P à reta r , t segundos após o início do

movimento. Qual dos gráficos seguintes pode ser o da função d ?

(A) (B) (C) (D)

28. Na figura está representado um cubo, em referencial o. n. 0xyz . Três

das arestas do cubo estão contidas nos eixos do referencial. Os pontos

e P Q são dois vértices do cubo, pertencentes ao plano 0y z . Admite que

um ponto R , partindo da origem do referencial, se desloca ao longo do semieixo positivo 0z . Seja g a função que faz corresponder, à abcissa x

do ponto R , a área da secção produzida no cubo pelo plano PQR .

Qual dos seguintes pode ser o gráfico da função g ?

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(A) (B)

(C)

(D)

29. Na figura está representado, em referencial o. n. 0xyz um cilindro

de revolução. Tem-se que:

a altura do cilindro é 3

uma das bases está contida no plano 0x y , sendo o seu centro o

ponto 0,1,0 e o seu raio igual a 1

Seja 0, 2b e seja f a função que, a cada valor de b , faz

corresponder o perímetro da secção produzida no cilindro pelo plano

y b .

Qual é o máximo da função f ?

(A) 9 (B) 10 (C) 11 (D) 12

30. Um tanque tem a forma de um paralelepípedo retângulo, com 7m de comprimento, 5m de largura e 4m de altura. Admite que o tanque está vazio. Num certo instante, é aberta uma torneira que verte água para o tanque, à taxa de 2m3 por hora, até ficar cheio. Qual é a função que dá a altura, em metros, da água no tanque, t horas após a abertura da torneira?

(A) 4 2 , 0,70h t t t (B) 2

, 0, 7035

th t t

(C) 4 2 , 0,140h t t t (D) 2

, 0,14035

th t t