11º matviseu conceitos de geometria…. francisco morgado
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11º MatViseu
Conceitos de geometria….
Francisco Morgado
11º MatViseu
• Funções …– Determinar o D’f (CDf), aritmética intervalar,etc.– Reunião/intersecção de objectos
• Equação da recta e do plano… culinária
• Transição entre objectos, animações • Bolzano suas implicações e suas limitações
• Determinação de zeros, porque falham alguns sistemas?, em pontos isolados, em componentes sem variação de sinal!!!!, …uma boa investigação!!!!
• Números complexos, aplicados na parte gráfica
• Várias dimensões….
Equação da recta
A
BRecta X = A + t*(B-A) t
Segmento de recta X = A + t*(B-A); t[0,1]
X = (1-t)*A + t*B; t[0,1]
X = (1-t^2)*A + t^2*B; t[0,1] X = (1-t^0.5)*A + t^0.5*B; t[0,1]
1
1
Equação do plano
uP
W(A,B,C)
vAx+By+Cz+D=0
Importância!?
Equação da recta
Qual a equação mais importante, para a programação ?
•Vectorial•Paramétrica•Cartesiana•Reduzida
Como posso saber quais os pontos que estão do mesmo lado?
Aplicação (culinária)
- Como fazer Arroz Doce !?
ArrozDoce(t) = (1-t)*Arroz + t*Doce; t[0,1]
Se t 1 =>
Açucar
Leite
Arroz Açucar
Leite
Arroz
ArrozDoce(s,t) = Arroz + s*Leite + t*Açucar; s,t[0,1]
Açucar
Leite
Arroz
Aplicação (“Estudo”, cores, curvas bezier,…)
- Aplicação ao estudo !?
VidaEstudante(t) = (1-t)*Estudo + t*Diversão; t[0,1]
Se t 1 ???; Se t = 0 (demasiado estudo)
- Aplicação nas cores !?
VidaEstudante(s,t) = Alimentação + s*Estudo + t*Diversão;
MisturaCor(t) = (1-t)*Verde + t*Azul; t[0,1]
- Aplicação nas curvas, … na renault (inicialmente “Bezier”, 1962)…
http://pt.wikipedia.org/wiki/Curva_de_B%C3%A9zier
Programa de Bezier….
Cor(s,t,u) = s*Vermelho+t*Verde + u*Azul;
- Mais dimensões!?, como representar ?
Aplicação (transição entre objectos)
Objecto(t) = (1-t)*Obj_Inicial + t*Obj_Final; t[0,1]
t=0 t=1t=0.75t=0.4t=0.2 t=0.3
Aplicação (transição entre objectos)
E se tivermos
Objecto(t) = (1-t^2)*Obj_Inicial + t^2*Obj_Final; t[0,1]
Qual o efeito, na animação? (em ter (t), (t^2), t^0.5)
t=0 t=1t=0.75t=0.4t=0.2 t=0.3
Programa Deformação….
Teorema de Bolzano…
Normalmente os softwares de visualização utilizam o Corolário T. Bolzano, para determinar os zeros de uma função!!!,
Zeros com variação de sinal
A B
f(B)
f(A)
X
A B
f(B)
f(A)
Mas nas situações onde não existe variação de sinal!!!!!
Teorema de Bolzano…
Zeros com e sem variação de sinal
F(t)=f o r(t)
[0,1]
Componente sem variação de sinal de f
Componente com variação de sinal de f
-
++
(y-x).((x-2.2)2+(y-2.2)2).((x+2.8)2+(y-2.2)2-0.3)2=0
Trabalhando com outras forças!!!!
Funções…
Como poderemos contribuir para melhorar os sistemas gráficos?
F(t)=f o r(t)
- Não basear o cálculo dos zeros na variação de sinal
- Aritmética intervalar ?
- Aritmética Afim ?
- D’f como determina?
a b
Y
X
…
“Se é verdade que as funções com derivada são as mais simples, as mais fáceis de tratar, também é verdade que elas são as excepções, e não a regra. Ou, se se preferir uma linguagem geométrica, as curvas que não possuem tangente são a regra, enquanto as curvas regulares, como a circunferência, são casos, apesar de interessantes, muito particulares.”
Repare-se nesta fotografia: onde os ovos com cascas lisas são os mais raros! No entanto são os mais conhecidos pela sociedade em geral!
http://www.estv.ipv.pt/paginaspessoais/fmorgado/Implicitas/ImplicitasModelacao.htm
Cálculo com intervalos…
Aritmética intervalar: foi introduzida por R. Moore em 1966 no contexto de investigação matemática, sendo aplicada na representação de curvas, determinação de zeros,… A aritmética intervalar consiste num conjunto de operações simples sobre intervalos, nomeadamente:
Adição: [a,b]+[c,d] = [a+c,b+d]
Subtração: [a,b]-[c,d] = [a-d,b-c]
Produto: [a,b]*[c,d] = [min(ac,ad,bc,bd), max(ac,ad,bc,bd)]
Divisão: [a,b]/[c,d] = [a,b]*[1/d,1/c]
- Considerar a função f(x,y) = x*y+y <=> f(x,y) = y(x+1)
Subdivisão regular…
Desafio, encontrar uma função que dê a:
Reunião de duas ou mais funções
Intersecção de duas ou mais funções
“Dividir para conquistar”
Outro tipo de partição…• “Se A,B C então existe grande probabilidade de existirem mais
pontos pontos da curva (C ) entre A e B.”
Ω
Ω(a) Subespaço inicial e a árvore
Ω-
Ω-
(b) Primeira partição Ω+
Ωl1l1 Ω+
(c) Segunda partição
l1
l3l2
l2 l1
l3
l1
l3l2
l6l5 l7l4
(d) Terceira partição
l2 l1
l3
l6
l7
l5
l4
Exemplos
(2x2+y2+z2-1)3-(1/10)x2z3-y2z3 = 0
Números complexos…
Z = ρcis(φ) Zα = 1cis(α) Zβ = 1cis(β)
Z’ = Z*Zα*Zβ = ρcis(φ + α + β) ; Rotação
Z = ρcis(φ) Conjugado(Z) = ρcis(-φ) Simetria XX
Uma possível aplicação dos complexos, pode ser nas transformações geométricas….
Usadas nos jogos de computadores, onde o utilizador têm de rodar, ampliar, movimentar-se
Z = ρcis(φ) Z^n = Z; Quantas rotações preciso de fazer para voltar ao estado inicial ?
Alguns desafios
Encontrar uma “teoria” que permita determinar todos os zeros de uma função, sem usar “pré-requisitos”.
Representar várias dimensões…(x,y,z,estado emocional, altura pessoa, etc)
Propor um modelo de reformas que seja sustentável…, talvez usar eq. vectorial da recta???