1.1 quatro maneiras de representar uma função

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1 Funes e Modelos

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1.1 Quatro Maneiras de

Representar uma Funo

3 3

Quatro Maneiras de Representar

uma Funo As funes surgem quando uma quantidade depende de

outra. Consideremos as seguintes situaes:

A. A rea A do crculo depende do raio r do

crculo. A regra que conecta r e A dada

pela equao A = R 2. A cada nmero r positivo est associado um nico valor de A e dizemos que A uma

funo de r.

4 4


uma Funo B. A populao humana do mundo P depende do tempo t.

A tabela mostra as estimativas da populao mundial P

(t) no momento t em certos anos. Por exemplo,

P(1950) 2,560,000,000

Porm, para cada valor do momento t

h um valor correspondente

de P, e dizemos que P uma funo de t.

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uma Funo C. O custo C de enviar um envelope grande depende do

peso w do envelope. Embora no haja uma frmula

simples relacionando w e C, o correio tem uma frmula

que permite calcular C quando w dado.

D. A acelerao vertical a do solo medida por um

sismgrafo durante um terremoto uma funo do

tempo decorrido t. A Figura 1 demonstra um grfico

gerado por atividade ssmica durante o terremoto de

Northridge t que chocou Los Angeles em 1994. Para um

dado valor de t, o grfico fornece um valor correspondente

de a.

6 6


uma Funo

Acelerao vertical do solo durante o

terremoto de Northridge

Figura 1

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uma Funo

Em geral consideramos as funes para as quais D e E

so conjuntos de nmeros reais. O conjunto D chamado

de domnio da funo. O nmero f (x) o valor de f em x

e lido f de x. O intervalo de f o conjunto de todos os valores possveis de f (x) conforme x varia por todo o

domnio. O smbolo que representa um nmero arbitrrio

no domnio de uma funo f denominado uma varivel

independente.

8 8


uma Funo Um smbolo que representa um nmero na imagem de f

denominado uma varivel dependente. No Exemplo A, a

varivel r independente, enquanto A dependente.

til considerar uma funo como uma mquina (veja a

Figura 2).

Diagrama de mquina para uma funo f

Figura 2

9 9


uma Funo Se x estiver no domnio da funo f, quando x entrar na

mquina, ele ser aceito como entrada, e a mquina produzir

uma sada f (x) de acordo com a lei que define a funo.

Assim, podemos pensar o domnio como o conjunto de todas as

entradas, enquanto a imagem o conjunto de todas as sadas

possveis.

10 10


uma Funo Outra forma de ver a funo como um diagrama de

flechas, como na Figura 3.

Cada flecha conecta um elemento de D com um elemento

de E. A seta indica que f (x) est associado a x, f (a) est

associado a a e, assim por diante.

Diagrama de flechas para f

Figura 3

11 11


uma Funo O mtodo mais comum de visualizar uma funo consiste

em fazer seu grfico. Se f for uma funo com Domnio D,

ento seu grfico ser o conjunto de pares ordenados

{(x, f (x)) | x D}

(Note que esses so os pares entrada-sada). Em outras

palavras, o grfico de f consiste de todos os pontos (x, y)

no plano de coordenadas tal que y = f (x) e x est no

domnio de f.

O grfico de uma funo f nos proporciona uma figura til

do comportamento ou "histrico" da funo.

12 12


uma Funo Uma vez que a coordenada y de qualquer ponto (x, y)

sobre o grfico y = f (x), podemos ler o valor de f (x) como

a altura do ponto no grfico acima de x

(veja a Figura 4).

Figura 4

13 13


uma Funo O grfico de f tambm nos permite visualizar o domnio

de f sobre o eixo x e a imagem sobre o eixo y, como na

Figura 5.

Figura 5

14 14

Exemplo 1

O grfico de uma funo f est mostrado na Figura 6.

(a) Encontre os valores de f (1) e f (5).

(b) Quais so o domnio e a imagem de f?

Figura 6

A notao para intervalos dada no Apndice A.

15 15

Exemplo 1 Soluo

(a) Vemos na Figura 6 que o ponto (1, 3) encontra-se no

grfico de f, ento, o valor de f em 1 f (1) = 3. (Em outras

palavras, o ponto no grfico que se encontra acima de x =

1 est 3 unidades acima do eixo x.)

Quando x = 5, o ponto no grfico que corresponde a esse

valor est 0,7 unidade abaixo do eixo x e estimamos que

f(5) 0,7.

(b) Vemos que f (x) est definida quando 0 x 7, logo, o

domnio de f o intervalo fechado [0,7]. Observe que os

valores de f variam de 2 at 4; assim, a imagem de f

{y | 2 y 4} = [2,4]

16 16

Representaes de Funes

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possvel representar uma funo de quatro maneiras:

verbalmente (descrevendo-a com palavras)

numericamente (por meio de uma tabela de valores)

visualmente (atravs de um grfico)

algebricamente (utilizando-se uma frmula explcita)

18 18

Exemplo 4

Quando voc abre uma torneira de gua quente, a

temperatura T da gua depende do tempo no qual a gua

est correndo. Esboce um grfico de T como uma funo

do tempo t decorrido desde a abertura da torneira.

Soluo:

A temperatura inicial da gua corrente est prxima da

temperatura ambiente, pois ela estava em repouso nos

canos.

Quando a gua do tanque de gua quente comea a

escoar da torneira, T aumenta rapidamente. Na prxima

fase, T fica constante, na temperatura da gua aquecida

no tanque.

19 19

Exemplo 4 Soluo

Quando o tanque fica vazio, T decresce para a

temperatura da fonte de gua.

T como uma funo de t na Figura 11.

Figura 11

continuao

20 20

Exemplo 6 - Encontre o domnio de cada funo

O grfico de uma funo uma curva no plano xy. Mas surge

a questo: quais curvas no plano xy so grficos de funes?

Essa pergunta ser respondida por meio do teste a seguir.

A razo para a verdade do Teste da Reta Vertical pode ser

vista na Figura 13.

Figura 13

21 21

Se cada linha vertical x = a cruzar uma curva

somente uma vez, em (a, b), ento exatamente

um valor funcional definido por f (a) = b. Mas se

a reta x = a interceptar a curva em dois pontos,

em (a,b) e (a, c), nesse caso, a curva no pode

representar uma funo, pois uma funo no

pode associar dois valores diferentes a a.

22 22

Por exemplo, a parbola x = y2 2 na Figura 14(a) no o grfico de uma funo de x, pois, como podemos ver,

existem retas verticais que interceptam a parbola duas

vezes. A parbola, no entanto, contm os grficos de duas

funes de x.

x = y2 2

Figura 14(a)

23 23

Note que a equao x = y2 2 implica y2 = x + 2, de modo que . . Assim, a metade superior e a inferior da

parbola so os grficos de [do Exemplo 6

(a)] e [Veja as Figuras 14(b) e (c).]

Figura 14(c) Figura 14(b)

24 24


Observe que se invertermos os papis de x e y, ento a

equao x = h (y) = y2 2 define x como uma funo de y (com y como uma varivel independente e x como varivel

dependente), e a parbola agora o grfico da funo h.

25 25

Funes Definidas por Partes

26 26

Exemplo 7

Uma funo f definida por

1 x se x 1

x2 se x > 1

Avalie f (2), f (1), e f (0) e esboce o grfico.

Soluo: Lembre-se de que toda funo uma regra. Para

esta funo em particular a regra a seguinte:

Primeiro, observe o valor de entrada x. Se acontecer de x

1, ento o valor de f (x) 1 x.

f (x) =

27 27

Exemplo 7 Soluo

Por outro lado, se x > 1, ento o valor de f (x) x2.

Uma vez que (2 1, temos f (2) = 1 (2) = 3.

Uma vez que 1 1, temos f (1) = 1 (1) = 2.

Uma vez que 0 > 1, temos f (0) = 02 = 0.

Como fazer o grfico de f ? Observamos que x 1, ento f (x) = 1 x, assim, a parte do grfico de f esquerda da reta vertical x = 1 deve coincidir com a reta y = 1 x, essa ltima com inclinao 1 e interseco com o eixo y =1.

continuao

28 28

Exemplo 7 Soluo

Se x > 1, ento f (x) = x2, e dessa forma a parte do grfico de f direita da reta x = 1 deve coincidir com o grfico de y = x2, que uma parbola. Isso nos permite esboar o

grfico na Figura 15.

O crculo cheio indica que o ponto (1, 2) est incluso no grfico; o crculo vazio indica que o ponto (1, 1) est excludo do grfico.

continuao

Figura 15

29 29


O prximo exemplo de funo definida por partes a

funo valor absoluto. Lembre-se de que o valor absoluto

de um nmero a, denotado por | a |, a distncia de a at 0

sobre a reta real. Como distncias so sempre positivas ou

nulas, temos

| a | 0 para todo nmero a

Por exemplo,

| 3 | = 3| 3 | = 3 | 0 | = 0| 1 | = 1

| 3 | = 3

30 30


Em geral, temos

(Lembre-se de que se a for negativo, ento a ser positivo.)

31 31

Exemplo 8

Esboce o grfico da funo valor absoluto f (x) = |x|.

Soluo: Da discusso precedente sabemos que

x se x 0

|x| = x se x < 0

32 32

Exemplo 8 Soluo

Usando o mesmo mtodo empregado no Exemplo 7,

vemos que o grfico de f coincide com a reta y = x direita

do eixo y e com a reta y = -x esquerda do eixo y (veja a

Figura 16).

Figura 16

continuao

33 33

Exemplo 10

No Exemplo C, no incio desta seo, consideramos o

custo C (w) do envio de uma carta de primeira classe em

Hong Kong com o peso w. De fato, esta uma funo

definida por partes, pois a partir da tabela de valores na

pgina 13, temos

34 34

Exemplo 10

O grfico na Figura 18.

Voc pode entender ento por que funes similares a

essa so chamadas funes escada - elas pulam de um

valor para o prximo.

Figura 18

continuao

35 35

Simetria

36 36

Simetria

Se uma funo f satisfaz f (x) = f (x) para todo nmero x em seu domnio, ento f chamada funo par. Por

exemplo, a funo f (x) = x2 par, pois

f (x) = (x)2 = x2 = f (x)

O significado geomtrico de uma

funo ser par que seu grfico

simtrico em relao ao eixo y

(veja a Figura 19).

Figura 19

Uma funo par

37 37

Simetria

Isso significa que se fizermos o grfico de f para x 0,

ento, para obter o grfico inteiro, basta refletir esta parte

em torno do eixo y.

Se f satisfaz f (x) = f (x) para cada nmero x em seu domnio, uma f funo mpar. Por exemplo, a funo f

(x) = x3 mpar, pois

f (x) = (x)3 = x3 = f (x)

38 38

Simetria

O grfico de uma funo mpar simtrico em relao

origem (veja a Figura 20).

Se j tivermos o grfico de f para x 0, poderemos obter o

restante do grfico girando esta parte 180 em torno da

origem.

Figura 20

Uma funo mpar

39 39

Exemplo 11

Determine se a funo par, mpar ou nenhum dos dois.

Soluo:

(a) f (x) = (x)5 + (x) = (1)5x5 + (x)

= x5 x = (x5 + x)

= f (x)

Portanto, f uma funo mpar.

40 40

Exemplo 11 Soluo

(b) g (x) = 1 (x)4 = 1 x4 = g (x)

Assim, g par.

(c) h(x) = 2(x) (x)2 = 2x x2

Como h(x) h (x) e h(x) h (x), conclumos que h no par ou mpar.

continuao

41 41

Simetria

Os grficos das funes no Exemplo 11 na Figura 21.

Observe que o grfico de h no simtrico em relao ao

eixo y nem em relao origem.

Figura 21

(b) (c) (a)

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Funes crescentes e

decrescentes

43 43

Funes crescentes e decrescentes

O grfico da Figura 22 cresce de A para B, decresce de B

para C, e cresce novamente de C para D. Dizemos que a

funo f crescente em um intervalo [a, b], decrescente

em [b, c], e crescente novamente em [c, d].

Figura 22

44 44


Note que se x1 e x2 so dois nmeros quaisquer entre A e

B com x1 < x2, ento f (x1) < f (x2). Utilizamos isso para

definir as propriedades de uma funo crescente.

45 45


Na definio de uma funo crescente, importante

perceber que a desigualdade f (x1) < f (x2) deve responder a

cada par de nmeros x1 e x2 em I com x1 < x2.

Voc pode ver que na Figura 23

a funo f (x) = x2

decrescente no intervalo ( ,0] e crescente no intervalo

[0, ).

Figura 23

1.1 quatro maneiras de representar uma função

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