10 - f12_u1.1_2013-2014iuu

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Docente:

Benjamim Medeiros

Unidade 1Mecânica da Partícula

http://sites.google.com/site/benjamimfq/

Unidade 1.1 - Parte 1

Cinemática e Dinâmica da Partícula

Referencial e Vetor PosiçãoComo podemos localizar um corpo no espaço?

Referencial: é o “ponto de vista” a partir do qual se determina a posição docorpo, funciona como a origem num gráfico.

Como indicamos a posição de um corpo no espaço?

Vetor posição: é um vetor que indica a posição que um corpo no espaço (ou o

seu centro de massa). z y x e ze ye xr

++=

x, y, z = coordenadas do corpo

O facto de um corpo estar em repouso ou estar em movimento depende do referencial escolhido.

Nota: nem todos os movimentos ocorrem a 3 dimensões.

Como calculo a distância entre a posição do corpo e a origem do referencial?

Para calcular o comprimento de um vetor temos de calcular o módulo.

Módulo ou Norma de um Vetor: 222 z y xr ++=

Qual a diferença entre uma grandeza vetorial e uma grandeza escalar?

Grandeza escalar: representada apenas por um valor e sua unidade.

Grandeza vetorial: caraterizada por módulo, sentido, direção e ponto de aplicação.

Referencial e Vetor Posição

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Velocidade Média e Velocidade

Como calculo o valor da velocidade se só tiver acesso ao valor de cada componente?

Módulo da Velocidade:

222

z y x vvvv ++=

Nota: o vetor velocidade tem:- o mesmo sentido que o movimento do corpo.- uma direção tangente à trajetória do corpo.

Como se faz a derivada de uma equação?

celeração Faz sentido falar em aceleração média e aceleração instantânea?

Aceleração Média:t

vam

∆

∆=

Aceleração: )(' t va

=

Nota: a expressão da aceleração é obtida fazendo a derivada da velocidade.Podemos também ver isto de outro ponto de vista.

A velocidade é a primeira derivada da equação das posições.

A aceleração é a segunda derivada da equação das posições.

Tal como na velocidade, a aceleração pode ser dividida nas suascomponentes:

z z y y x x eaeaeaa

++=

)(' t va x x =

)(' t va y y =

)(' t va z z =

celeraçãoComo se calcula o ângulo entre o vetor aceleração e o vetor velocidade?

Para descobrir o ângulo entre dois vetores usa-se a expressão do produtoescalar entre vetores:

Produto Escalar de Vetores:

va

vava y y x x

×

×+×=α cos

Pág. 17

celeração Tan!encial e celeração "ormalO que estuda a aceleração?

A aceleração, , estuda a forma como a velocidade, , varia ao longo do tempo.Contudo, a velocidade pode variar de duas formas principais:- alteração do módulo (ou valor) da velocidade.- alteração do sentido e/ou direção do vetor de velocidade.

a

v

Qual a diferença entre a aceleração tangencial e a normal? Como se calculam?

Aceleração Tangencial: corresponde à variação do valorda velocidade ao longo do tempo, indica como varia omódulo da velocidade.

' t vat )(

=

Aceleração Normal: está associada à alteração da

direção da velocidade, só existe em movimentoscurvilíneos. É também chamada de aceleração centrípeta.

r

van

2

=

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celeração Tan!encial e celeração "ormal

Que tipos de movimentos podemos distinguir a partir da aceleração tangencial?

A aceleração tangencial está associada à alteração do valor da velocidade,logo:

A aceleração normal está associada à alteração da direção da velocidade,logo:

Como escrevo a expressão vetorial da aceleração a partir das componentes?

Como calculo o módulo da aceleração?

nnt t eaeaa

+=

22

t n aaa +=

celeração Tan!encial e celeração "ormalQual a diferença entre usar o eixo Oxy e os eixos normal e tangencial?

A diferença na utilização do sistema de eixos está no facto de:

- os eixos Oxy são eixos localizados num referencial fora do corpo em estudo.

- os eixos normal e tangencial usam como referencial o próprio corpo.

Como se representam as componentes da aceleração numa figura?

Pág. 20

#orça ResultanteComo se determina o vetor força resultante?

amF R

×=

A decomposição do vetor força resultante será diferente dependendo do tipo de

eixos considerados. Se considerar-se eixos fixos:

z z y y x x R eameameamF

×+×+×=

Se considerar-se eixos ligados à partícula:

t t nn ReameamF

×+×=

Como a força resultante afetará o movimento de um dado corpo?

Se FR = Ftangencial movimento retilíneo

Se FR = Fnormal movimento circular e uniforme

Se FR = Ftangencial + Fnormal movimento curvilíneo variado

Como afeta a força tangencial o movimento de um corpo?

Os vetores força e aceleração apontam sempre no mesmo sentido e direção.

Se a Ftangencial for nula, o movimento é uniforme (v = constante).

Se Ftangencial e velocidade tiverem o mesmo sentido, o mov. será acelerado.Se Ftangencial e velocidade tiverem o sentidos opostos, o mov. será retardado.

t n R F F F

+=

#orça Resultante

Como afeta a força normal ou centrípeta o movimento de um corpo?

Se a Fnormal = 0, o movimento é retilíneo.

Se a Fnormal = constante, o movimento é circular.

Se a Fnormal = valor variável, o movimento é curvilíneo.

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#orça Resultante

Pág. 22

Movimento $ircularO que caracteriza o movimento circular?

Um movimento circular é um caso particular dos movimentos curvilíneos.

Num movimento circular o vetor velocidade é sempre tangente à trajetória.

Neste tipo de movimento, como o corpo “anda às voltas”, este possui duasgrandezas físicas próprias: a velocidade angular e a aceleração angular.

Nota: vamos considerar que o movimento circular ocorre sempre no plano Oxy.

Como se calcula o espaço percorrido num movimento circular?

O espaço percorrido no movimento circular depende proporcionalmente do

ângulo descrito e do raio da trajetória.

s = θ × RR = raio (m)

θ = ângulo em radianos (rad).

O que é a velocidade angular?

Velocidade Angular (ω): é a taxa de variação do ângulo por unidade de tempo (rad.s-1).Pode ser calculada pela derivada da função do ângulo ao longo do tempo.

zet

)('θ(t)ω =

Nota: considera-se que a velocidade angular é no eixo zz, porque ela é perpendicularao plano da trajetória. – eixo de rotação.

Exercício: Uma partícula descreve um mov. circular, sendo o ângulo descritopela expressão θ(t) = 6t + 3t2 (SI). Qual a expressão da velocidade angular?

Movimento $ircular Movimento $ircularQual a relação entre a velocidade linear e a velocidade angular?

Num movimento circular: v = ω × Rv = velocidade linear (m.s-1)

ω = velocidade angular (rad.s-1)

R = raio da trajetória (m)

Curiosidade: na realidade, o vetor velocidade linear é o produto externo entre o vetor velocidade

angular e o vetor posição, mas não vamos aprofundar este conteúdo.

O que é a aceleração angular?

Aceleração Angular (αααα): mede a forma como a velocidade angular varia no tempo.Pode ser calculada pela derivada da função do velocidade angular ao longo do tempo.

)t('(t)α ω=

(rad.s-2)

Nota: a aceleração angular atua no mesmo eixo da velocidade angular (eixo zz), maspodem ter o mesmo sentido ou sentidos opostos.

Exercício: Uma partícula descreve um movimento circular, sendo o ângulo descritopela expressão θ(t) = 5t + 2t3 (SI). Qual a expressão da aceleração angular?

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Movimento $ircularComo se relacionam as grandezas dadas anteriormente?

Aceleração Normal (an): r r

van ×==

22

ω

Aceleração Tangencial (at): at = α

× r

nnt t eaeaa

+=

Que tipos de movimentos circulares podemos distinguir?

Movimento Circular Uniforme Movimento Circular Não Uniforme

v = constante

ω = constante

α

= 0

an = constante || at = 0

n R F F

=

v = varia

ω = varia

α ≠ 0

an ≠ 0 || at ≠ 0

t n R F F F

+=

Movimento $ircularQual a equação da variação do ângulo em movimentos com aceleração constante?

2

o o

1θ ( ) θ ω α

2t t t = + × + × ×

Movimento Circular

(aceleração constante) t t ×+= αω)(ω o

Pág. 26


Queda Livre e Projéteis

%ueda &ivreO que se entende por queda livre?

Queda Livre: um corpo está em queda livre quando está sujeito apenas àação da força gravítica (resistência do ar é desprezável), caindo verticalmentecom um movimento retilíneo uniformemente acelerado.

Que conclusão retiramos da nota anterior?

Nota: a trajetória só é retilínea se a velocidade inicial do corpo for na mesmadireção da força resultante.

A trajetória de um corpo sujeito a uma força resultante constante depende daorientação da velocidade inicial em relação à força resultante.

Ver Manual – pág. 37

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Equações Paramétricas do Movimento

Como já vimos anteriormente, os vetores força e aceleração podem serdecompostos nas suas componentes cartesianas:

y y x x

eF eF F

+= y y x x eaeaa

+=

Como ficam as equações do movimento?

Para qualquer ação a duas dimensões com força resultante constante, asequações paramétricas são:

Nota: como geralmente consideramos que na queda livrea força gravítica atua no eixo yy, temos que Fx = 0 e ax = 0,logo:

&ançamento de ProjéteisO que é um projétil?

Um projétil é um corpo que, após ser lançado, fica sujeito apenas à aceleraçãogravítica durante o lançamento.

Para um projétil, a única aceleração que atua é a aceleração gravítica:ax = 0 e ay = -10 m.s-2 (nos eixos “típicos”)

Quais serão as equações que descrevem o movimento de um projétil?

Equações das posições:

x = x0 + v0x×ty = y0 + v0y×t + ½×a×t2 a = -10 m.s-2

Equações das velocidades:

vx = v0x

vy = v0y + a×t a = -10 m.s-2

&ançamento de ProjéteisQuais as condições do caso particular do lançamento horizontal?

No lançamento horizontal de um projétil, a única velocidade delançamento que existe é horizontal, ou seja: v0x ≠ 0 e v0y = 0

O lançamento horizontal é a composição de:- mov. retilíneo uniforme na horizontal (velocidade constante).- mov. uniformemente acelerado na vertical (módulo da velocidade aumenta)

&ançamento de ProjéteisQuais as condições do caso do lançamento oblíquo?

No lançamento oblíquo o corpo possui velocidade inicial em x e em y.

v0x = v0 cos θ v0y = v0 sen θ

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&ançamento de Projéteis

O lançamento oblíquo é a composição de:- mov. retilíneo uniforme na horizontal (velocidade constante).- mov. uniformemente retardado na vertical durante a subida.

- mov. uniformemente acelerado na vertical durante a descida.


Movimento de Corpos Sujeitos a Ligações

Movimento de $orpo 'ujeitos a &i!ações

Que tipos de forças atuam nos corpos?

As forças que atuam nos corpos podem ser classificadas de diferentes

formas, mas na Mecânica Clássica distinguem-se dois tipos diferentes.

Forças

à distância: interação gravitacional e a eletromagnética.

de contacto: força de atrito, tensão de um fio…

De que forma atuam as forças?

Para cada interação entre dois corpos existem sempre duas forças, emque cada uma das forças atua em cada corpo, com sentido opostos,com a mesma direção e com o mesmo módulo – Lei da Ação-Reação.

Vamos ver em diferentes situações quais as forças que atuam, como sãomarcadas e quais os respetivos pares ação-reação.

Nota: para os exemplos seguintes apenas atuam forças conservativas,logo existe conservação da energia mecânica (∆EM = 0).

Movimento no Plano (ori)ontal com $orpos &i!ados

As forças de tensão que atuam em cada um dos corpos sãopares ação-reação, logo ambas têm o mesmo módulo.

Qual a aceleração que cada corpo possui?

Nota: quando os corpos sujeitos a ligações movem-se em conjunto issosignifica que partilham a mesma aceleração, pois a velocidade vaivariar da mesma forma se o fio se mantiver esticado.

Como podemos relacionar as forças, as massas e as acelerações dos corpos?

A B

TA = mA × a

F – TB = mB × aT = TA = TB

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M*quina de t+oodQuais as forças que atuam em cada corpo?

Qual a expressão da força resultante para cada corpo?

Vamos considerar que o sentido para cima é o sentido positivo.

TB,A – FgA = mA × a

TA,B – FgB = mB × (-a)T = T

A,B

= TB,A

Qual a expressão da aceleração resultante do movimento?

( ) B A

A B

m m ga

m m

− ×=

+

Plano ,nclinado sem tritoVamos relembrar conteúdos que deram no 10.º ano, nomeadamente o trabalho.

Nota: numa figura de um plano inclinado devemos escolher umreferencial em que um dos eixos coincida com o movimento. Assim, os

eixos cartesianos também devem ficar inclinados.Como se marcam as forças que atuam num corpo no plano inclinado?

Quando um corpo desliza ao longo do plano inclinado considera-se que no eixo yy temos FR = 0.

Plano ,nclinado sem trito

Como se calculam as forças no plano inclinado?

Fx = m × a

Fy = 0

Fg sen θ = m × a

RN – Fg cos θ = 0

a = g sen θ

A aceleração de um corpo num plano inclinado sem atritodepende apenas da inclinação do plano.

Que conclusão retiramos da expressão anterior?

Plano ,nclinado sem trito

Quais são as forças que atuam em ambos os corpos?

Em que condições o corpo A sobe ou desce o plano inclinado?

Se o módulo da tensão do fio for superior ao peso do corpo B, ocorpo A vai descer a rampa.

Quais as expressões das forças resultantes de cada corpo?

Corpo A: T – Fgx = mA × a

Corpo B: FgB – T = mB × a

Vamos considerar que o sentido positivo a subida da rampa.

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Pág. 60

Plano ,nclinado sem tritoQual a expressão da aceleração que os corpos possuem?

B A

A B

mm

sengmgma

+

××−×=

θ

Como sabemos se o corpo sobe ou desce a rampa?O sinal da aceleração é indicativo se a escolha do sentido positivo coincidecom o sentido da aceleração.

Nota: no plano inclinado sem atrito existe conservação da energia mecânica.

&oopin!

VIDEOQuais são as forças que atuam durante os diversos instantes do looping?

&oopin!Se no ponto D ambas as forças atuam para baixo, como é que o carrinho não cai?

Lei da Inércia: um corpo tem tendência a manter o seu estado demovimento, ou seja, se um corpo já tem movimento tende a manterum m.r. uniforme.

Que velocidade tem de ter o carrinho para não cair no ponto mais alto?

Nota: para que o carro não caia nunca pode perder o contacto com a pista,logo tem de existir sempre reação-normal. Assim, RN > 0.

Ao entrar na pista o carro ganha um movimento circular.No ponto mais alto ambas a forças que atuam no carro são centrípetas:

Fc = Fg + RN

A partir da expressão acima vamos deduzir que o valor mínimo da velocidade em D.

Para que o carro fazer um looping, no ponto mais alto: r gv ×=

&oopin!Qual a velocidade mínima no ponto mais baixo do looping para que o carro consiga

dar a volta?

Se considerarmos que o atrito é desprezável no looping podemos aplicar oprincípio da conservação da energia mecânica.

Vamos deduzir a velocidade mínima de entrada no looping.

A velocidade mínima de entrada no looping é: r gv ××= 5

Nota: na realidade o valor da velocidade tem de ser significativamentesuperior, porque o atrito não pode ser desprezável.

Pág. 63

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#orças de trito entre 'uperf-cies 'ólidas

As forças de atrito atuam sempre paralelamente à superfície decontacto, daí que também sejam denominadas de forças dereação tangencial.

Existe a ideia de que as forças de atrito são sempre forças que impedem

o movimento dos corpos. Como veremos, na realidade as forças de atrito

são as forças que, por vezes, permitem a existência de movimento.

Existem diferentes tipos de atrito?

No contacto entre superfícies sólidas distinguimos dois tipos deatrito distinto:

- Atrito estático: corresponde ao atrito entre as superfíciesenquanto não há movimento (existem exceções).- Atrito cinético: atrito entre superfícies quando deslizam umasobre a outra, dificultando o movimento do corpo.


De onde surge o atrito estático? Como varia o atrito estático?

Sempre que se tenta colocar um corpo em movimento existe atrito, mesmo que o corpo

não se mova.

As forças de atrito atuam sempre paralelamente à superfície de

contacto, daí que também sejam denominadas de forças de reaçãotangencial.

Ao tentar colocar um corpo em movimento, se a força aplicada foraumentando, o valor da força de atrito estático também aumentaproporcionalmente (o corpo nunca se move).

No instante em que o corpo começa o movimento é porque foi atingidoo atrito estático máximo.

Após o início do movimento apenas existe atrito cinético que semantém constante durante todo o movimento.


Como se representa graficamente a evolução do atrito cinético e estático?

Para uma determinada superfície: Facinético < Faestático máximo

Como se representa calculam os valores do atrito cinético e do atrito estático?

Força de Atrito Estático Máximo: Fae = µe × RN

Força de Atrito Cinético: Fac = µc × RN

Nota: o valor da força de atrito é diretamente proporcional à reação normal.


Que valores têm os coeficientes de atrito estático e cinético?

Nota: o valor dos coeficientes de atrito dependem dos materiais em contacto.

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Será que as forças de atrito desfavorecem sempre o movimento?

Força de Atrito Estático: pode ter um sentido diferente dosentido do movimento ou o sentido do movimento, sendo

inclusivamente responsável pela existência de alguns tipos demovimento.

Força de Atrito Cinético: atrito entre superfícies quandodeslizam uma sobre a outra, dificultando o movimento do corpo.


Que tipo de atrito é que permite que um carro faça uma curva?

A força que permite a realização de uma curva é um atrito que não é nadireção do movimento.

Assim sendo, apesar do carro estar em movimento, o atritoresponsável pela curvatura da trajetória é um atrito estático, pois estenão contrariar o sentido do movimento do corpo.

Como se sabe, a partir do atrito, a velocidade máxima com que se efetua uma curva?

r g N eF F R Fa= + +

r e e cF Fa Fa F = =

ev r g µ = × ×

Nota: um carro que pretenda realizar na Terra uma curva, a velocidademáxima para fazê-lo depende apenas do atrito e do raio da curvatura.

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