1 universidade estadual de campinas faculdade de engenharia civil departamento de estruturas...
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Universidade Estadual de CampinasFaculdade de Engenharia CivilDepartamento de Estruturas
IC-908-L – TÓPICOS EM ENGENHARIA DE ESTRUTURAS VIII
2º LISTA DE EXERCÍCIOS
Aluno: Engº Fábio Albino de Souza
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1º Questão
1 -) Demonstrar a torção em uma seção retangular.
Resposta:
Torção em elementos prismáticos
Consideramos a torção livre de um sólido prismático, elástico através de momentos no fim dos elementos equilibrando-os, como mostrado em Figo. 01. O eixo longitudinal do prisma coincide com o eixo-z de nosso RCS,(sistema de referência de coordenadas) e a superfície lateral do prisma é paralela ao eixo-z. A (constante) secção transversal do prisma é denotada pelo símbolo A,e o contorno é o C.
Fig 01 – Torção em um prisma
Para muitos problemas será vantajoso definir uma função analítica F(z) = Φ + iΨ de variável complexa z= x+iy onde
É mostrado na teoria de funções analíticas de uma variável complexa que a realidade, conjugado funções Φ (função empenamento) e Ψ (função contorno) satisfaz equações de Cauchy-Riemann.
1i
3
Para simplificar a condição de contorno no problema de torção, Ludwig Prandtl (1875-1953) propôs uma função de tensão tal que
Em substituição em obtemos
e olhando e
1º Questão
1 -) Demonstrar a torção em uma seção retangular.
Continuação Resposta:
xyyx
,
e que ambos Φ e Ψ são funções harmônicas, que é:
02 em A
)(21 22 yx
),( yx
)(21 22 yx 02
22 em A
)(21 22 yx kyx )(
21 22 em C onde k é uma constante
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1º Questão
1 -) Demonstrar a torção em uma seção retangular.
Continuação Resposta:
Concluimos que:
k em C
Para seções retangulares
22
Para seções retangulares vamos buscar soluções dos problemas apartir de equações anteriores.
k em COnde C é o retângulo como mostrado abaixo:
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1º Questão
1 -) Demonstrar a torção em uma seção retangular.
Continuação Resposta:
Vamos começar com desenvolvimento da constante -2 dentro alcance da metade da série dos co-senos Fourier, que é:
xn n
n
n
cos)12(
)1(820
,)12(a
nn
22axa
Agora, admitimos uma solução produto:
xyfyx nn
n cos)(),(0
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1º Questão
1 -) Demonstrar a torção em uma seção retangular.
Continuação Resposta:
Por substituição de exn n
n
n
cos)12(
)1(820
Dentro de , nós obtemos:
xyfyx nn
n cos)(),(0
22
)12()1(82
2
2
n
fdyfd n
nnn
E é mostrado com prazer que:
)12()1(18sinhcosh 2
nyByAf
n
nnnnnn
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1º Questão
1 -) Demonstrar a torção em uma seção retangular.
Continuação Resposta:
Equação satisfaz a condiçãoxyfyx nn
n cos)(),(0
e devido a , isto requer que k=0.
0),2/ ya
k
De acordo com , nós também requeremos ou se equivale a:k 0)2/,( bx 02
bf n
Por substituição em nós obtemos)12(
)1(18sinhcosh 2
n
yByAfn
nnnnnn 0
2
bf n
0nB
)2/cosh(1
)12()1(18
2 bnA
n
n
nn
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1º Questão
1 -) Demonstrar a torção em uma seção retangular.
Continuação Resposta:
E substituindo estas constantes em
xyfyx nn
n cos)(),(0
)12()1(18sinhcosh 2
nyByAf
n
nnnnnn
e resulta em: (veja->)
xby
nayx n
n
n
n
n
cos
)2/cosh(cosh
1)12(
)1(8),(0
33
2
Se nós empregamos a expansão do meio da série dos co-senos Fourier
0
33
22
2
cos)12(
)1(84 n
n
n
xn
axa 22
axa
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1º Questão
1 -) Demonstrar a torção em uma seção retangular.
Continuação Resposta:
Então podemos escrever da seguinte forma:xby
nayx n
n
n
n
n
cos
)2/cosh(cosh1
)12()1(8),(
033
2
x
by
naxayx n
n
n
n
n
cos
2/coshcosh
1218
4,
033
22
2
Com a ajuda de e y
Gxz
xGyz
x
by
naxayx n
n
n
n
n
cos
2/coshcosh
1218
4,
033
22
2
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1º Questão
1 -) Demonstrar a torção em uma seção retangular.
Continuação Resposta:
Nós podemos obter as tensões de cisalhamento (cortantes) que são:
0
22 2/cosh12cossinh18
n n
nnn
xz bnxyGa
022 2/cosh12
sincosh142n n
nnn
yz bnxy
axGa
E substituindo a nos campos da equação
abaixo
x
by
naxayx n
n
n
n
n
cos
2/coshcosh
1218
4,
033
22
2
A
dAy
yx
xGD )(
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1º Questão
1 -) Demonstrar a torção em uma seção retangular.
Continuação Resposta:
O momento de torção é:
055
3
122/tanh1921
31
n
n
nb
babaGD
Não é difícil de mostrar que no presente caso
42/cosh12
cos182
2
033
22 iabn
zaiziizFn n
nn
Então que:
0
33
2
2/cosh12sinsinh18
n n
nnn
bnxyaxy
0
33
222
2
2/cosh12coscosh18
21
4 n n
nnn
bnxyaxya
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1º Questão
1 -) Demonstrar a torção em uma seção retangular.
Continuação Resposta:
A seguir nós assumimos que b ≥ a. Então a maior tensão cisalhamento acontecerá em (x,y)=(a,0).
Usando nós podemos escrever
Onde:
022 2/cosh12
sincosh142n n
nnn
bnxy
axGayz
akGayz 0,max
023 2/cosh121412
n nbnk
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1º Questão
1 -) Demonstrar a torção em uma seção retangular.
Continuação Resposta:
Então podemos listar valores numéricos em uma Tabela (abaixo) para valores específicos de a/b.
Isto é conveniente escrito na forma:
Onde:
055
3
122/tanh1921
31
n
n
nb
babaGD
baGkD 31
0551 122/tanh1921
31
n
n
nb
bak
Tabela de Constantes
Seção Retangular (Torção)
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1º Questão
1 -) Demonstrar a torção em uma seção retangular.
Continuação Resposta:
Em vista de e akGayz 0,max
023 2/cosh121412
n nbnk
baGkD 31
0551 122/tanh1921
31
n
n
nb
bak
Nós podemos escrever:
13
maxbkaak
G
bak 2
2
1max
kk
k 12
Valores numéricos de k1 e k2 estão disponíveis na Tabela de Constantes para uma relação de valores específicos de b/a.
A figura ao lado mostra o mapa de contorno da função empenamento Ø (x,y) para a seção quadrada.
Estes são obtidos com a ajuda da equação
e a=b
0
33
2
2/cosh12sinsinh18
n n
nnn
bnxyaxy
Mapa de Contorno da Função Empenamento
Para seção quadrada
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► Bibliografia
Apostila Resistência dos Materiais – Prof. Nilson Tadeu Mascia
Notações de aula: Complementos Resistência dos Materiais – Prof. Nilson Tadeu Mascia
Timoshenko, Goodier – Teoria da Elasticidade – 3º Edição -
Heymann, Jacques. –Elements of stress analysis , Cambridge University Press.
Féodosiev, V.. –Resistência dos Materiais.- Edições Lopes da Silva, 1977
Boresi, Arthur – Sidebotoom Omar M., –Advanced Mechanics of Materials , Fourth Edition , John Wiley & Sons
Ugural A. C, Fenster S.K. – Advanced Strength and Applied Elasticity, Second Edition Elsevier