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ModelaçãoTrabalho realizado por:

Sérgio OliveiraIvo Castro

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Introdução

Neste trabalho vamos falar um pouco sobre modelação, os tipos de funções e também vamos resolver um pequeno problema.

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História

Segundo Edwards e Hamsom (1990) "um modelo matemático é o produto da transferência de um conjunto de elementos matemáticos, com vista à obtenção de uma representação matemática de uma parcela do mundo real". "Qualquer descrição matemática do mundo real é um modelo”.

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Ciclo de modelação

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Tipos de FunçõesFunção afimSejam a e b números reais, sendo a não nulo.

Uma função afim é uma função f:R R que para cada x em R, associa f(x)=ax+b.

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Funções quadráticasSejam a, b e c números reais, com a não nulo.

A função quadrática é uma função f:R R que para cada x em R, f(x)=ax²+bx+c.

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Funções cúbicas Sejam a, b, c e d números reais, sendo a

diferente de zero. A função cúbica é uma função f:R R que para cada x em R, associa f(x)=ax³+bx²+cx+d.

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Funções CompostasDadas as funções f:A B e g:B C, a composta de f

com g, denotada por g©f, é a função definida por (g©f)(x)=g(f(x)). gof pode ser lida como "g bola f". Para que a composição ocorra o CoDom(f)=Dom(g).

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Obtenção da inversa

Seja f:R R, f(x)=x+3. Tomando y no lugar de f(x), teremos y=x+3. Trocando x por y e y por x, teremos x=y+3 e isolando y obteremos y=x-3. Assim, g(x)=x-3 é a função inversa de f(x)=x+3. Assim fog=gof=Identidade. Com o gráfico observamos a simetria em relação à reta identidade.

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Estudo de funções

A observação do gráfico e da forma analítica dá-nos toda uma série de propriedades que configuram os elementos que temos de ter em conta quando estudamos qualquer função. Nos critérios que deverão ser observados no estudo de uma função incluem-se a continuidade, critérios de crescimento e decrescimento, os extremos locais, concavidade, convexidade e pontos de inflexão.

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Crescimento e Decrescimento

Quando temos uma função pode acontecer que, ao aumentar os valores de x, os valores das imagens também aumentem. Neste caso, diremos que a função cresce.

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Extremos Locais

Encontramos os extremos locais de uma função num ponto, por exemplo, entre dois pontos a e b, onde a função é contínua e em que se regista o crescimento e decréscimo da função.

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Convexidade e Pontos de inflexão

Podemos encontrar funções que são crescentes mas que não crescem da mesma forma. O que as torna realmente diferentes é a concavidade. Para o verificarmos podemos observar os seguintes gráficos:

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Convexidade

Diremos que uma curva é convexa no intervalo [a,b] onde tem apenas um máximo, quando o gráfico da curva fica por cima da corda que une as imagens a e b.

Podemos verificar a definição de convexidade de uma curva observando o gráfico:

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Pontos de inflexão Os pontos de inflexão de uma curva são os

pontos em que a curva passa de côncava a convexa, ou de convexa a côncava, como podemos observar nos gráficos.

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O sapo e a moscaUm sapo consegue atirar a língua até 10cm,

isto é explicado pela função Y=X+10, sabendo que uma mosca encontra-se 9cm do sapo, esta é dada aproximadamente pela função Y=9.

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Questões

a)Calcula em que cm a língua do sapo intersecta com a mosca.

b)Calcular os zeros do problema.c)Saber o ponto maior em que o sapo foi com a

língua.

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Solução a)

Para começar-mos a resolver o problema temos de aplicar as funções Y1=X+10, Y2=9, depois vamos a 2ND-> Calc->Intersect e depois vamos colocar o ponto de intersecção, no ponto mais alto que é onde o sapo chegou com a língua, que vai ser 10 Cm.

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Solução b)

Para calcular os zeros do problema temos de clicar na tecla 2ND->Calc->Zero, e de seguida vai nos pedir para colocar o ponto num sitio negativo, e depois de seguida ele nos da os zeros.

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Solução c)

Para saber-mos o ponto maior em que o sapo vai com a língua é até onde o sapo foi com a ponta da língua que vai ser 10cm.

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Composição da funçãoUtilizando as capacidades da calculadora gráfica representa-se as

funções com a janela de visualização [-10]x *[-10]y obtêm-se:

Para começar-mos a resolver o problema temos de aplicar as funções Y1=X+10, Y2=9, depois vamos colocar o ponto de intersecção, no ponto mais alto que é onde o sapo chegou com a língua, que vai ser 10 Cm.

Para saber-mos o ponto maior em que o sapo vai com a língua é até onde o sapo foi com a ponta da língua que vai ser 10cm.

Para sabermos a como usar a temos de marcar os zeros para a calculadora nos dar a resposta.

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Conclusão

Na realidade a modelação é um calculo matemático que permite com que consigamos saber os valores de algo que queiramos.

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Webgrafia

http://portfoliomatematica.no.sapo.pt/setimo_a1.htm

http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/medio/funcoes/funcoes.htm#m20211

http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm24/jssp6.htm#Concavidade,%20Convexidade%20e%20Pontos%20de%20Inflex%C3%A3o