Produtos notáveisProdutos notáveis

As expressões (a + b)², (a – b)², (a + b).(a – b) são chamadas de produtos notáveis.

Os produtos notáveis aparecem com muita frequência em problemas matemáticos como, por exemplo, na resolução de equações e inequações.

Vamos estudar dois produtos notáveis:

1º) Quadrado da soma de dois termos.

(a + b)²

2º) Quadrado da diferença de dois termos.

(a – b)²

Quadrado da soma de dois Quadrado da soma de dois termos:termos:(a + b)²(a + b)²

Antes de desenvolver o produto (a + b)², vamos analisar um cálculo numérico:

(2 + 1)²

Método prático de efetuar (2 + 1)²:

1º) Calcula-se a soma.

(2 + 1)² = (3)²

2º) Calcula-se a potência.

(3)² = 3 . 3 = 9

Logo, (2 + 1)² = 9.

Uma outra maneira de calcular (2 + 1)².

1º) Escreve-se a potência na forma de um produto.

(2 + 1)² = (2 + 1).(2 + 1)

2º) Aplica-se a propriedade distributiva da multiplicação:

(2 + 1).(2 + 1) = 2 . 2 + 2 . 1 + 1 . 2 + 1 . 1

3º) Calculam-se os produtos:

2 . 2 + 2 . 1 + 1 . 2 + 1 . 1 = 4 + 2 + 2 + 1

4º) Para finalizar, calcula-se a soma:

4 + 2 + 2 + 1 = 9

Mas o que (2 + 1)² tem haver com o produto notável (a + b)²?

O produto (a + b)² representa as expressões(2 + 1)², (4 + 1)², (3 + 5)², (9 + 15)² ...

Em outras palavras, (2 + 1)² é um caso particular do produto notável (a + b)² em quea = 2 e b = 1.

Não dá para desenvolver (a + b)² pelo método prático.

Método Prático: (2 + 1)² = (3)² = 9

Por isso, vamos desenvolvê-lo de forma semelhante ao segundo método.

Segundo Método:(2 + 1)² = (2 + 1).(2 + 1) = 2.2 + 2.1 + 1.2 +

1.1 = 9

1º) Escreve-se a potência na forma de um produto.

(a + b)² = (a + b).(a + b)

2º) Aplica-se a propriedade distributiva da multiplicação:

(a + b).(a + b) = a . a + a . b + b . a + b . b

3º) Escrevem-se os produtos na forma de potência e adicionam-se os termos semelhantes. Lembre-se: a . b = b . a

a .a + a.b + b.a + b.b = a² + 2ab + b²

Logo,(a + b)² = a² + 2ab + b²

Quadrado da soma de dois Quadrado da soma de dois termostermos

A igualdade (a + b)² = a² + 2ab + b² é uma identidade, pois ela é verdadeira para quaisquer valores de a e b. Veja alguns exemplos numéricos e algébricos:

(3 + 1)² = 3² + 2.3.1 + 1² = 9 + 6 + 1 = 16

(x + y)² = x² + 2.x.y + y² = x² + 2xy + y²

(a + 2)² = a² + 2.a.2 + 2² = a² + 4a + 4

Quadrado da diferença de dois Quadrado da diferença de dois termostermos(a – b)²(a – b)²

Vamos desenvolver (a – b)² do mesmo modo que desenvolvemos (a + b)².

1º) Escreve-se a potência na forma de um produto:

(a – b)² = (a – b).(a – b)

2º) Aplica-se a propriedade distributiva da multiplicação:

(a – b).(a – b) = a.a – a.b – b.a + b.b

3º) Escrevem-se os produtos na forma de potência e adicionam-se os termos semelhantes:

a.a – a.b – b.a + b.b = a² – 2ab + b²

Logo,(a – b)² = a² – 2ab + b²

Quadrado da diferença de dois Quadrado da diferença de dois termostermos

A igualdade (a – b)² = a² – 2ab + b² também é uma identidade, pois é verdadeira para quaisquer valores de a e b. Veja alguns exemplos:

(3 – 1)² = 3² – 2.3.1 + 1² = 9 – 6 + 1 = 4

(x – y)² = x² – 2.x.y + y² = x² – 2xy + y²

(a – 2)² = a² – 2.a.2 + 2² = a² – 4a + 4

ResumoResumo

Quadrado da soma de dois termos:

(a + b)² = a² + 2ab + b²

Quadrado da diferença de dois termos:

(a – b)² = a² – 2ab + b²