listas de exercícios para a segunda área - Cálculo numérico - 2013/1Prof. Fabio S. de Azevedo e Esequia Sauter

Esta lista de problemas foi elaborada com exemplos resolvidos em aula, problemas que visam e xar revisaro conteúdo visto em aula e problemas originais propostos aos estudantes.

1 Problemas relativos a solução de sistemas algébricos lineares

Resolva as seguintes questões. Leia e entenda o problema antes de resolvê-lo. Use simplicações sempre quepossível para tornar a solução numérica mais simples.

Questão 1. Demonstre o seguinte resultado que será útil na resolução dos problemas desta lista:Se ad = bc, então a matriz A dada por

A =

[a bc d

]é inversível e sua inversa é dada por

A−1 =1

ad− bc

[d −b−c a

].

Questão 2. Resolva o seguinte sistema de equações lineares

x+ y + z = 0

x+ 10z = −48

10y + z = 25

Usando eliminação gaussiana com pivoteamento parcial (não use o computador para resolver essa questão).

Questão 3. Considere as matrizes

A =

0 0 10 1 01 0 0

e

E =

1 1 11 1 11 1 1

e o vetor

v =

234

a) Resolva o sistema Ax = v sem usar o computador.

b) Sem usar o computador, resolva o sistema (A+ εE)xε = v considerando |ε| << 1. Dica: observe que asolução x depende do parâmetro ε.

c) Calcule o limite limε→0 xε.

c) Resolva o sistema (A+ εE)x = v no Scilab usando pivotamento parcial e depois sem usar pivotamentoparcial para valores muito pequenos de ε como 10−10, 10−15, . . .. O que você observa?

1

Questão 4. (Eletricidade) O circuito linear da gura 4 pode ser modelado pelo sistema (1). Escreva essesistema na forma matricial sendo as tensões V1, V2, V3, V4 e V5 as cinco incógnitas. Resolva esse problemaquando V = 127 e

a) R1 = R2 = R3 = R4 = 2 e R5 = R6 = R7 = 100 e R8 = 50

b) R1 = R2 = R3 = R4 = 2 e R5 = 50 e R6 = R7 = R8 = 100

V1 = V (1a)

V1 − V2

R1

+V3 − V2

R2

− V2

R5

= 0 (1b)

V2 − V3

R2

+V4 − V3

R3

− V3

R6

= 0 (1c)

V3 − V4

R3

+V5 − V4

R4

− V4

R7

= 0 (1d)

V4 − V5

R4

− V5

R8

= 0 (1e)

Figura 1: Circuito linear a 8 resistores.

Complete a tabela abaixo representado a solução com 4 algarismos signicativos:

Caso V1 V2 V3 V4 V5

ab

Resp: a)V5 = 98.44V b) V5 = 103.4V

Questão 5. Refaça o problema anterior reduzindo o sistema para apenas 4 incógnitas (V2, V3, V4 e V5)

Questão 6. Resolva o seguinte sistema de 5 equações lineares

x1 − x2 = 0

−xi−1 + 2.5xi − xi+1 = e−(i−3)2

20 , 2 ≤ i ≤ 4

2x5 − x4 = 0

representando-o como um problema do tipo Ax = b no Scilab.Resp: x = [1.6890368 1.6890368 1.5823257 1.2667776 0.6333888]T

Questão 7. (Interpolação) Encontre o polinômio P (x) = ax2 + bx + c que passa pelos pontos (−1,−3),(1,−1) e (2, 9). Resp: 3x2 + x− 5

2

Questão 8. Encontre a inversa da matriz 1 1 11 −1 21 1 4

a) Usando Eliminação Gaussiana com pivotamento parcial à mão.

b) Usando a rotina 'gausspp()'.

c) Usando a rotina 'inv()' do Scilab.

Resp:

1 1/2 −1/21/3 −1/2 1/6−1/3 0 1/3

Questão 9. Calcule o valor de λ para o qual o problema

71x+ 41y = 10λx+ 30y = 4

é impossível, depois calcule os números de condicionamento com norma 1,2 e ∞ quando λ = 51 e λ = 52.

Resp: λ = 213041

, 350.4, 262.1, 350.3 e 6888, 5163, 6888

Questão 10. Considere os problemas

A :

71x+ 41y = 50052x+ 30y = 366

B :

71x+ 41y = 50152x+ 30y = 365

C :

71x+ 41y = 50051x+ 30y = 366

D :

71x+ 41y = 50151x+ 30y = 365

Obtenha a solução de cada sistema linear. Discuta o resultado levando em conta o resultado do problemaanterior.

Dica Calcule os erros relativos e compare os resultados dos pares A−B e C −D e depois A−C e B−D

Questão 11. Calcule o número de condicionamento das matrizes[71 4152 30

]e 1 2 3

2 3 44 5 5

usando as normas 1,2 ∞.

Resp: k1 = k∞ = 6888, k2 =√26656567 e k1 = 180, k2 = 128.40972 e k∞ = 210

Questão 12. Usando a norma 1, calcule o número de condicionameto da matriz

A =

[1 2

2 + ε 4

]em função de ε quando 0 < ε < 1. Interprete o limite ε → 0.

3

Resp: 18ε+ 3

Questão 13. (Interpolação - mau condicinamento) Considere o problema de encontrar os coeciente a0, a1,a2, a3, a4 do polinômio de quarto grau

P (x) = a0 + a1x+ a2x2 + a3x

3 + a4x4

que passa pelos pontos (1, 1), (10, 2), (100, 3), (1000, 4) e (10000, 5).

a) Verique que este problema é equivalente a resolver o sistema Ax = b dado por1 1 1 1 11 10 102 103 104

1 102 104 106 108

1 103 106 109 1012

1 104 108 1012 1016

a0a1a2a3a4

=

12345

b) Verique (teoricamente) que A é uma matriz de Vandermonde inversível.

c) Implemente A no Scilab.

Dica: x=[1 10 100 1000 10000]' e A=[ones(5,1) x x.^2 x.^3 x.^4]

d) Resolva o problema Ax = b usando o comando x = A\b e gausspp(). Compare as respostas. Qual émelhor?

e) Dena a matriz M = ATA e o vetor c = AT b. Verique a solução do problema Mx = c é teoricamentea mesma do problema Ax = b. Teste no Scilab usando os comandos do item d.

Obs: A solução exata do sistema é [ 9741351109889

, 11119000

,− 37373300000

, 1111999000000

,− 19999000000

]T ≈

[0.8776868678, 0.1234444444,−1.132424242× 10−3, 1.112112112× 10−6,−1.000100010× 10−10]T

Questão 14. Deseja-se medir a concentração de dois diferentes oxidantes no ar. Dois sensores eletroquímicossão instalados e apresentam a seguinte resposta

v1 = 270[A] + 30[B] e v2 = 27[A] + 37[B]

as tensões v1 e v2 são dadas em mV e as concentrações em milimol/l. Encontre uma expressão para os valoresde [A] e [B] em termos de v1 e v2.

Questão 15. (Condicionamento) Deseja-se medir a concentração de dois diferentes oxidantes no ar. Trêssensores eletroquímicos estão disponíveis para a medida e apresentam a seguintes respostas

v1 = 270[A] + 30[B], v2 = 140[A] + 20[B] e v3 = 15[A] + 200[B]

as tensões v1, v2 e v3 são dadas em mV e as concentrações em milimol/l. Sabendo que incerteza relativaassociada às sensibilidades dos sensores 1 e 2 é de 2% e que a incerteza relativa associada às sensibilidadesdo sensor 3 é 10%, verique a incerteza associada à medida feita com o par 1 − 2 e o par 1 − 3. Use[A] = [B] = 10milimol/l. Dica: Você deve usar a expressão da questão 1 e diferenciá-la.

4

Questão 16. Considere os sistemas:100000x − 9999.99y = −10

−9999.99x + 1000.1x = 1e

100000x − 9999.99y = −9.999

−9999.99x + 1000.1x = 1.01

Encontre a solução de cada um e discuta.

Questão 17. Encontre os coeciente A e B da função f(x) = A sen(x) + B cos(x) tais que f(1) = 1.4 ef(2) = 2.8

Resp: A ≈ 2.49 e B ≈ −1.29

Questão 18. Refaça a questão 6 contruindo um algoritmo que implemente os métodos de Jacobi e Gauss-Seidel.

Questão 19. (Convergência lenta) Considere o seguinte esquema iterativo:x(n+1) = xn + qn

x(0) = 0

onde q = 1− 10−6.

a) Calcule o limitex∞ = lim

n→∞x(n)

analiticamente.

b) Considere que o problema de obter o limite da sequência numericamente usando como critério de paradaque |x(n+1) − x(n)| < 10−5. Qual o valor é produzido pelo esquema numérico? Qual o desvio entre ovalor obtido pelo esquema numérico e o valor do limite obtido no item a? Discuta. (Dica: Você nãodeve implementar o esquema iterativo, obtendo o valor de x(n) analiticamente)

c) Qual deve ser a tolerência especicada para obter o resultado com erro relativo inferior a 10−2?

Questão 20. Considere o problema de 5 incógnitas e cinco equações dado por

x1 − x2 = 1

−x1 + 2x2 − x3 = 1

−x2 + (2 + ε)x3 − x4 = 1

−x3 + 2x4 − x5 = 1

x4 − x5 = 1

a) Escreva na forma Ax = b e resolva usando Eliminação Gaussiana para ε = 10−3 no Scilab.

b) Obtenha o vetor incógnita x com ε = 10−3 usando o comando A\b.

c) Obtenha o vetor incógnita x com ε = 10−3 usando Jacobi com tolerância 10−2. Compare o resultadocom o resultado obtido no item d.

d) Obtenha o vetor incógnita x com ε = 10−3 usando Gauss-Seidel com tolerância 10−2. Compare oresultado com o resultado obtido no item d.

e) Discuta com base no problema anterior.

5

Questão 21. Encontre a função f(x) = A1 sen(x) + B1 cos(x) + A2 sen(2x) + B2 cos(2x) tais que f(1) = 1,f(2) = 2, f(3) = 3 e f(4) = 4

Resp: A1 ≈ 1.2872058, A2 ≈ −4.3033034, B1 ≈ 2.051533 e B2 ≈ −0.9046921.

Questão 22. (Burden & Faires) Considere o problema dado por

x+ 2y − 2z = 7

x+ y + z = 2

2x+ 2y + z = 5

a) Resolva o problema usando eliminação gaussiana encontre a solução exata.

b) Use o método de Jacobi e verique se o método converge.

c) Use o método de Gauss-Seidel e verique se o método converge.

Questão 23. (Burden & Faires) Considere o problema dado por

2x− y + z = −1

2x+ 2y + 2z = 4

−x− y + 2z = −5

a) Resolva o problema usando eliminação gaussiana encontre a solução exata.

b) Use o método de Jacobi e verique se o método converge.

c) Use o método de Gauss-Seidel e verique se o método converge.

d) Compare com o problema anterior.

Questão 24. Considere o seguinte sistema de equações lineares:

x1 − x2 = 0

−xj−1 + 5xj − xj+1 = cos(j/10), 2 ≤ j ≤ 10

x11 = x10/2 (2)

Construa a iteração para encontrar a solução deste problema pelos métodos de Gauss-Seidel e Jacobi.Usando esses métodos, encontre uma solução aproximada com erro absoluto inferior a 10−5.

Resp: 0.324295, 0.324295, 0.317115, 0.305943, 0.291539, 0.274169, 0.253971, 0.230846, 0.203551, 0.165301,0.082650

Questão 25. Consider os vetores de 10 entradas dados por

xj = sen(j/10), yj = j/10 zj = j/10− (j/10)3

6, j = 1, . . . , 10

Use o Scilab para construir os seguintes vetores de erro:

ej =|xj − yj|

|xj|fj =

|xj − zj|xj

Calcule as normas 1, 2 e ∞ de e e f

6

Resp: 0.695; 0.292; 0.188; 0.0237; 0.0123; 0.00967

Questão 26. Resolva o problema 4 pelos métodos de Jacobi e Gauss-Seidel.

Questão 27. Faça uma permutação de linhas no sistema abaixo e resolva pelos métodos de Jacobi e Gauss-Seidel:

x1 + 10x2 + 3x3 = 27

4x1 + x3 = 6

2x1 + x2 + 4x3 = 12

2 Problemas relativos ao Método de Newton-Raphson para sistemas

não lineares

Questão 28. Encontre o gradiente da função

f(x, y) = x2y + cos(xy)− 4

Resp: ∇f = [2xy − y sen(xy), x2 − x sen(xy)]T

Questão 29. Encontre a matriz jacobiana associada às função

F (x, y) =

[x cos(x) + y

e−2x+y

].

Resp:

JF =

[cos(x)− x sen(x) 1

−2e−2x+y e−2x+y

]Questão 30. Encontre a matriz jacobiana associada à função

F (x) =

a11x1 + a12x2 + a13x3 − y1a21x1 + a22x2 + a23x3 − y2a31x1 + a32x2 + a33x3 − y3

.

Resp:

(JF )ij = aij

Questão 31. Considere a função F (x) = Ax− b, onde A é uma matriz n× n inversível e b um vetor colunaem Rn. O que acontence quando aplicamos o método de Newton para encontrar as raízes de F (x)?

Questão 32. Seja L(x, λ) = f(x)− λg(x), onde f(x) e g(x) são funções de Rn em R. Calcule o gradiente deL como uma função de [x1, x2, . . . , xn, λ]

T .

Resp:

∇L =

∂f∂x1

− λ ∂g∂x1

∂f∂x2

− λ ∂g∂x2

...

∂f∂xn

− λ ∂g∂xn

−g(x)

=

∇xf − λ∇xg

−g(x)

onde ∇x indica o gradiente em x. Qual a relevância deste resultado para a teoria dos multiplicadores deLagrange.

7

Questão 33. Seja F : Rn → R uma função suave, x(0) ∈ Rn um ponto dado e u ∈ Rn um vetor unitário.Dena f : R → R como

f(t) = F (x(0) + tu).

a) Use a regra da cadeia para mostrar que

f ′(t) =n∑

j=1

∂F (x(0) + tu)

∂xj

uj =1⟨∇F (x(0) + tu), u

⟩= ∇F (x(0) + tu)Tu

onde o gradiente de F , ∇F , é dado pelo vetor coluna

∇F =

∂F∂x1

∂F∂x2

...

∂F∂xn

b) Verique que a linearização f(h) = f(0) + f ′(0)h+O(h2) produz a seguinte linearização para a função

F (x):F (x) = F (x(0)) +∇F (x(0))T

(x− x(0)

)+O

(∥x− x(0)∥2

)Questão 34. Seja F : Rn → Rm uma função suave, use o problema anterior para mostrar que F admite umalinearização em torno do ponto x(0) ∈ Rn dada por:

F (x) = F (x(0)) + JF (x− x(0)) +O(∥x− x(0)∥2

)onde JF é matriz jacobiana avaliada no ponto x(0) dada por

JF =

∇F1(x

(0))T

∇F2(x(0))T

...∇Fm(x

(0))T

=

∂F1

∂x1

∂F1

∂x2· · · ∂F1

∂xn

∂F2

∂x1

∂F2

∂x2· · · ∂F2

∂xn

... · · · . . ....

∂Fm

∂x1

∂Fm

∂x2· · · ∂Fm

∂xn

Questão 35. Mostre que o método de Newton-Raphson aplicado a uma função diferenciável do tipo f : R → Rse reduz ao método de Newton estudado na primeira área.

Questão 36. Mostre que a iteração do método de Newton aplicado a um problema bidimensional assume aseguinte forma para n ≥ 0:

x(n+1)1 = x

(n)1 +

∂f2(x(n))∂y

f1(x(n)

)− ∂f1(x(n))

∂yf2

(x(n)

)∂f1(x(n))

∂y

∂f2(x(n))∂x

− ∂f1(x(n))∂x

∂f2(x(n))∂y

x(n+1)2 = x

(n)2 +

∂f1(x(n))∂x

f2(x(n)

)− ∂f2(x(n))

∂xf1

(x(n)

)∂f1(x(n))

∂y

∂f2(x(n))∂x

− ∂f1(x(n))∂x

∂f2(x(n))∂y

1No cálculo vetorial usa-se também a notação ∇F (x(0) + tu) · u ou u · ∇F (x(0) + tu) para a derivada direcional.

8

Questão 37. Encontre os pontos de intersecção entre a parábola y = x2+1 e a elipse x2+ y2/4 = 1 seguindoos seguintes passos:

a ) Faça um esboço das duas curvas, entenda o problema. Verique que existem dois pontos de intersecção,um no primeiro quadrante e outro no quarto quadrante do plano xy.

b ) A partir de seu esboço, encontre aproximações para x e y em cada ponto.

c ) Escreva o problema na forma F

([xy

])=

[00

]d ) Encontre a Jacobiana JF .

e ) Construa a iteração do Método de Newton.

f ) Implemente no Scilab.

g ) Resolva o sistema analiticamente e compare as respostas.

Questão 38. Encontre os pontos de intersecção entre a parábola y = x2 e a curva y = cos(x) seguindo osseguintes passos:

a ) Faça um esboço das duas curvas, entenda o problema. Verique que existem dois pontos de intersecção,um no primeiro quadrante e outro no segundo quadrando do plano xy.

b ) A partir de seu esboço, encontre aproximações para x e y em cada ponto.

c ) Escreva o problema na forma F

([xy

])=

[00

]d ) Encontre a Jacobiana JF .

e ) Construa a iteração do Método de Newton.

f ) Implemente no Scilab.

g ) Transforme o sistema em um problema de uma única variável, resolva e compare as respostas.

Resp: (±0.8241323, 0.6791941)

Questão 39. Considere a função f(x) = sen(x)x+1

, encontre a equação da reta que tangencia dois pontos dacurva y = f(x) próximos ao primeiro e segundo ponto de máximo, respectivamente. Veja a gura abaixo.

9

Resp: y = mx+ b com m ≈ −0.0459710 e b ≈ 0.479237

Questão 40. (estática) Considere o sistema mecânico constituído de dois segmentos de mesmo comprimentoL presos entre si e a uma parede por articulações conforme a gura

O momento em cada articulação é proporcional à deexão com constante de proporcionalidade k. Ossegmentos são feitos de material homogêneo de peso P . A condição de equilíbrio pode ser expressa em termosdos ângulos θ1 e θ2 conforme:

kθ1 =3PL

2cos θ1 + k (θ2 − θ1)

k (θ2 − θ1) =PL

2cos θ2

Considere P = 100N , L = 1m e calcule os ângulos θ1 e θ2 quando:

a) k = 1000Nm/rad

b) k = 500Nm/rad

c) k = 100Nm/rad

d) k = 10Nm/rad

Obs:Você deve escolher valores para iniciar o método. Como você interpretaria sicamente a solução paraproduzir palpites iniciais satisfatórios? O que se altera entre o caso a e o caso d?

Resp: (0.1956550; 0.2441719), (0.3694093; 0.4590564), (0.9990712; 1.1865168) e (1.4773606; 1.5552232)

Questão 41. (estática - problemas de três variáveis) Considere, agora, o sistema mecânico semelhante ao doproblema anterior, porém constituído de três segmentos de mesmo comprimento L presos entre si e a umaparede por articulações.

O momento em cada articulação é proporcional à deexão com constante de proporcionalidade k. Ossegmentos são feitos de material homogêneo de peso P . A condição de equilíbrio pode ser expressa em termosdos ângulos θ1, θ2 e θ3 conforme:

kθ1 =5PL

2cos θ1 + k (θ2 − θ1)

k (θ2 − θ1) =3PL

2cos θ2 + k (θ3 − θ2)

k (θ3 − θ2) =PL

2cos θ3

Considere P = 10N , L = 1m e calcule os ângulos θ1, θ2 e θ3 quando:

10

a) k = 10000Nm/rad

b) k = 1000Nm/rad

c) k = 100Nm/rad

Resp: (0.0449310; 0.0648872; 0.0698750), (0.3981385; 0.5658310; 0.6069019), (1.1862966; 1.4348545; 1.480127)

Questão 42. Encontre a função do tipo f(x) = Abx que melhor aproxima os pontos (0, 3.1), (1, 4.4) e (2, 6.7)pelo critério dos mínimos quadrados. Dica: Você deve encontrar os valores de A e b que minimizam o errodado por

Eq = [3.1− f(0)]2 + [4.4− f(1)]2 + [6.7− f(2)]2 .

Dica: Para construir aproximações para resposta, considere a função f(x) = Abx que passa pelo primeiro eterceiro ponto.

Resp A ≈ 3.0297384 e b ≈ 1.4835346.

Questão 43. (Otimização) Uma indústria consome energia elétrica de duas usinas fornecedoras. O custo defornecimento em reais por hora como função da potência consumida em kW é dada pelas seguintes funções

C1(x) = 10 + .3x+ 10−4x2 + 3.4 · 10−9x4

C2(x) = 50 + .25x+ 2 · 10−4x2 + 4.3 · 10−7x3

C3(x) = 500 + .19x+ 5 · 10−4x2 + 1.1 · 10−7x4

Calcule o custo mínimo da energia elétrica quando a potência consumida é 1500kW . Dica: Use a técnica dosmultiplicadores de Lagrange.

Resp: (453.62, 901.94, 144.43)

Questão 44. Encontre os pontos de intersecção das curvas descritas (veja gura) por

x2

8+

(y − 1)2

5= 1

tan−1(x) + x = y + y3

seguindo os seguintes passos:

a) Identique uma região do plano que certamente contenha todas as raízes do problema. (dica: Elipse)

b) Dena do Scilab a função z = f(x, y) = x2

8+ (y−1)2

5− 1 e z = g(x, y) = tan−1(x) + x− y − y3

c) Use os comandos

contour([-3:.1:3],[-2:.1:4],g,[0 0]) e contour([-3:.1:3],[-2:.1:4],f,[0 0])

para traçar as curvas. Leia a ajuda do Scilab sobre esses comandos para entender melhor o que fazem.

d) Com base no gráco, encontre soluções aproximadas para o problema e use-as para inicias o método deNewton-Raphson. Encontre as raízes com erro inferior a 10−5.

11

Questão 45. Encontre o valor máximo da função

f(x, y) = −x4 − y6 + 3xy3 − x

na região (x, y) ∈ [−2, 0]× [−2, 0] seguindo os seguintes passos:

a) Dena do Scilab a função z = f(x, y) = −x4 − y6 + 3xy3 − x

b) Use o comando

contour([-2:.01:0],[-2:.01:0],f,[ 0:.2: 3])

para traçar as curvas de nivel da função.

c) Com base no gráco, encontre valores aproximados para as coordenadas xy do ponto de máximo.

d) Sabendo que o ponto de máximo acontece quando o gradiente é nulo, escreva o problema como umsistema de duas equações não lineares e duas incógnitas.

e) Implemente o método de Newton no Scilab.

Obs.: O comando

fplot3d([-2:.1:0],[-2:.1:0],f)

pode ser usado para traçar um gráco tridimensional da função z = f(x, y), no entanto, em geral é maisprático analisar as curvas de nível. Explore este comando e use a ferramenta de rotação para visualizarmelhor a função.

Resp: f(−1.1579702,−1.2020694) ≈ 2.352316

Questão 46. A função f(x, y, z) = sen(x) + sen(2y) + sen(3z) possui um máximo quando x = π/2, y = π/4e z = π/6. Use o procedimento descrito na questão anterior para calcular numericamente este ponto.

Questão 47. Encontre as raizes do problema

3x− cos(yz + z)− 1/2 = 0

4x2 − 25y2 + .4y + 2 = 0

e−xy + 2x− 5z = 10

no cubo|x| < 2, |y| < 2, |z| < 2

Dica: Reduza a um problema de duas incógnitas.resp: x ≈ 0.2982646, y ≈ −0.2990796, z ≈ −1.6620333 e x ≈ −0.0691328, y ≈ 0.2923039, z ≈ −.8235705.

Questão 48. Considere o problema de encontrar os pontos de máximo e mínimo da função f(x) onde x ∈ Rn.Vamos supor que esta função é pelo menos duas vezes diferenciável. Os pontos extremos satisfazem a condição

G(x) = ∇f(x) = 0

onde ∇f(x) é o gradiente da função f dado por

∇f(x) =

∂f∂x1∂f∂x2...∂f∂xn

12

a) Construa o processo iterativo de Newton-Raphson para encontrar os zeros de G(x) e verique que amatriz jacobiana JG é dada por

JG =

∂G1

∂x1

∂G1

∂x2· · · ∂G1

∂xn∂G2

∂x1

∂G2

∂x2· · · ∂G2

∂xn... · · · . . .

...∂Gm

∂x1

∂Gm

∂x2· · · ∂Gm

∂xn

=

∂2f∂x2

1

∂f∂x1∂x2

· · · ∂f∂x1∂xn

∂2f∂x1∂x2

∂2f∂x2

2· · · ∂2f

∂x2∂xn

... · · · . . ....

∂2f∂x1∂xn

∂2f∂x2∂xn

· · · ∂2f∂x2

n

= Hf

ou seja, a jacobina JG é idêntica à matriz hessiana Hf .

b) Verique que o processo iterativo assume a seguinte forma:

x(n+1) = x(n) −H−1f (x(n))G(x(n))

c) Dena no Scilab a função z = f(x) = −x(1)4−x(2)6+3x(1)x(2)3−x(1) referente ao problema anterior.

d) Dena a condição inicial v = [−1.1;−1.1] e use o Scilab para calcular a jacobiana e a hessiana de f noponto v através do seguinte comando:

[G,H]=derivative(F,v,H_form='blockmat')

Verique os valores com o que você calculou.

e) Use o seguinte comando para implementar o método de Newton-Raphson:

[G,H]=derivative(F,v,H_form='blockmat');v=v-H\G'

Verique que após setes iterações, a solução não varia mais em 8 dígitos.

f) Repita o problema calculando o gradiente e a hessiana analiticamente.

Questão 49. (prova) Considere o sistema de equações dado por

(x− 3)2

16+

(y − 1)2

36= 1

tanh(x) + x = 2 sen y − 0.01y3

Usando procedimentos analíticos, determine uma região limitada do plano onde se encontram necessariamentetodas as raízes do problema. Encontre as raízes desse sistema com pelo menos quatro dígitos signicativoscorretos usando o método de Newton. Você deve contruir o método de Newton indicando as funções envolvidase calculando a matriz jacobiana analiticamente. Use que d

dutanhu = 1− tanh2 u, se precisar.

Questão 50. (prova) Considere o seguinte sistema de equações não-lineares:

x1 − x2 = 0

−xj−1 + 5(xj + x3j)− xj+1 = 10 exp(−j/3), 2 ≤ j ≤ 10

x11 = 1 (3)

a) Escreva este sistema na forma F (x) = 0 onde x =

x1

x2...

x11

e calcule analiticamente a matriz jacobiana

∂(F1,...,F11)∂(x1,...x11)

. Dica: Use a regularidade nas expressões para abreviar a notação.

13

b) Construa a iteração para encontrar a única solução deste problema pelo método de Newton e, usandoesse método, encontre uma solução aproximada com erro absoluto inferior a 10−4.

Questão 51. Considere a função

f(x, y) =e−(x−1)2−(y−2)2

1 + x2 + y2

a) Encontre o valor máximo desta função.

b) Usando multiplicadores de Lagrange, encontre o valor máximo desta função restrito à condição

(x− 1)2 + (y − 2)2 = 1.

c) Parametrize a circunferência para transformar o problema de máximo com restrição em um problemade uma única variável. Resolva usando as técnicas de equações lineares de uma variável.

Resp: f(0.8108792, 1.6217584) ≈ 0.1950369 e f(0.5527864, 1.1055728) ≈ 0.1455298

Questão 52. (Prof. Guidi)Encontre uma aproximação com erro inferior a 10−5 em cada incógnita para asolução próxima da origem do sistema

6x− 2y + ez = 2

sen(x)− y + z = 0

sen(x) + 2y + 3z = 1

Resp: x ≈ 0.259751, y ≈ 0.302736, z ≈ 0.045896

Questão 53. Considere o circuito não linear formado por uma fonte, quatro diodos em ponte e um resistor.

Figura 2: Circuito com diodos em ponte.

14

Sabendo que este circuito pode ser equacionado pelo seguinte sistema de equações

I1 = IR

(e

v−v1vd − 1

)I2 = −IR

(e

v2−vvd − 1

)I3 = −IR

(e

−v1vd − 1

)I4 = IR

(e

v2vd − 1

)I1 = I3 +

v1 − v2R

I4 = I2 +v1 − v2

R

I5 =v1 − v2

R

Onde IR = 10−9A, vd = 0.03V e R = 100Ω.Calcule a corrente I5 quando v = .1V , v = 1V , v = 10V , v = −.1V , v = −1V , v = −10V .Dica: Reduza o sistema a um problema em v1, v2, I3 e I4. A maior diculdade deste problema consiste em

construir condições iniciais porque o problema pode ser mal-condicionado longe da solução. Que estratégiavocê escolhe para esta tarefa?

Resp: 3.483nA, 1.477mA, 8.902mA, 3.483nA, 1.477mA, 8.902mA.

Questão 54. Considere o problema de encontrar as parâmetro A, B e λ tais que a função f(x) = A+Beλx

passa por três pontos dados.

a) Verique que função se A = 1, B = 2 e λ = − ln(2) então f(0) = 3, f(1) = 2 e f(2) = 1.5

b) Encontre os valores de A, B e λ tais que f(0) = 3.1, f(1) = 1.9 e f(2) = 1.6

c) Encontre os valores de A, B e λ tais que f(0) = 2.9, f(1) = 2.1 e f(2) = 1.6

d) Compare os parâmetros para cada um dos três casos. Discuta a viabilidade do problema de ajustarcurvas desse tipo a um conjunto de dados com erro experimental.

Dica: Calcule número de condicionamento da matriz jacobiana associada ao problema no caso a.

Resp: 1.5, 1.6,−1.3862944 e 0.7666667, 2.1333333,−0.4700036

Questão 55. Considere o problema de encontrar as parâmetros A, B, λ1 e λ2 tais que a função f(x) =Aeλ1x +Beλ2x passa por quatro pontos dados.

a) Verique que função se A = 10, B = 20, λ1 = ln(2) e λ2 = ln(3) então f(−1) = 35/3, f(0) = 30,f(1) = 80, f(2) = 220

b) Imagine que você desconheça os valores de A, B, λ1 e λ2 no item acima e deseja encontrá-los com basenos valores da função nos quatro pontos dados pelo método de Newton-Raphson com quatro incóginta.Descreva a função jacobiana envolvida e calcule o número de condicionamento.

c) Implemente o método de Newton-Raphson apartir das condições iniciais dadas pelos valores numéricosaproximados de A = 10, B = 20, λ1 = ln(2) e λ2 = ln(3) (ou seja, a solução exata acrescida de erros dearredondamento). Discuta.

Resp: k2 ≈ 109.

15

3 Problemas relativos a interpolação e ajuste de curvas

Questão 56. Considere o conjunto de pontos dado por (1, 1.2), (2, 1.6) e (3, 2.3).

a) Encontre o polinômio P (x) = ax2+bx+c que passa pelos três pontos. Resp:P (x) = 1.1−0.05x+0.15x2

b) Use o comando plot2d([1;2;3],[1.2;1.6;2.3],style=-4) para traçar os pontos.

c) Use o comando P=poly([1.1;-.05;.15],'x','coe') para criar um objeto do tipo polinômio no scilab.

d) Use o comanto plot(0.5:.1:3.5,horner(P,.5:.1:3.5)) para traçar o gráco do polinômio entre .5 e 3.5

e) Entenda o que faz o comando 'horner()' e obtenha o valor de P (1.5). Resp: 1.3625

Questão 57. Mostre que o polinômio que passa pelos pontos da tabela possui grau 3.

x -2 -1 0 1 2 3y -29 -7 -1 7 35 101

Questão 58. Considere o conjunto de pontos.

x y0 1.25 3.5 4.75 41 4

a) Encontre o polinômio de menor grau que interpola estes pontos.

b) Encontre a função do tipo f(x) = A+B sen(πx) + C cos(πx) +D sen(2πx) +E cos(2πx) que interpolaestes pontos.

Questão 59. 1 + 9x − 23x2 − 16x3 + 32

3x4, A ≈ 2.646447, B ≈ 1.207107, C ≈ −1.5, D ≈ 0.560660 e

E ≈ −0.146447

Questão 60. Encontre a função f(x) = aebx e a função g(x) = cxd, onde a, b, c e d são constantes reais, quepassam pelos seguintes pontos:

a) (1, 1) e (2, 10)

b) (1, 1) e (2,−10)

Resp: a = 1/10, b = ln(10), c = 1, d = log2(10). Item b é impossível (explique).

Questão 61. O polinômio P (x) que interpola a função f(x) nos pontos (X, Y ), (2, 3), (3, 5) e (4, 10) é:

P (x) = Y + 2(x−X) +1

2(x−X)(x− 2)(x− 3),

Encontre (X,Y ).

16

Questão 62. Para uma função f , as diferenças divididas são dadas por:

x0 = 0 f [x0] =f [x0, x1] =

x1 = 0, 5 f [x1] = f [x0, x1, x2] = −43

f [x1, x2] = 2x2 = 1, 5 f [x2] = 3

Complete a tabela.

Questão 63. Encontre o polinômio de grau três que se anula em x = 0, x = 1 e x = 2 e é igual a 12 emx = 3.

Resp: 2x3 − 6x2 + 4x

Questão 64. Considere o problema de aproximar o valor da integral∫ 1

0f(x)dx pelo valor da integral do

polinômio P (x) que coincide com f(x) nos pontos x0 = 0 e x2 = 1. Use a fórmula de Lagrange para encontrar

P (x). Obtenha o valor de∫ 1

0f(x)dx e encontre uma expressão para o erro de truncamento.

Questão 65. Considere o problema de aproximar o valor da integral∫ 1

0f(x)dx pelo valor da integral do

polinômio P (x) que coincide com f(x) nos pontos x0 = 0, x1 =12e x2 = 1. Use a fórmula de Lagrange para

encontrar P (x). Obtenha o valor de∫ 1

0f(x)dx e encontre uma expressão para o erro de truncamento.

Questão 66. Encontre o polinômio de menor grau que passa pelos pontos P (−2) = 33 , P (−1) = 7,P (1) = −3, P (2) = −23.

a) Usando a técnica dos polinômios de Lagrange.

b) Usando a técnica das diferênças divididas.

Questão 67. Considere o conjunto de N abcissas dado por xj =j−1N−1

, j = 1, . . . , N e o conjunto de ordenadasdado por yj = sen(2πxj)

a) Encontre o polinômio de grau três que melhor se ajusta ao conjuto de pontos quando N = 11.

b) Encontre o polinômio de grau três que melhor se ajusta ao conjuto de pontos quando N = 101.

c) Encontre os valores de máximo e mínimos desses polinômios no intervalo [0, 1]

Resp: −0.063509 + 10.724x− 31.79094x2 + 21.19396x3 e −0.183742 + 11.81227x− 34.33435x2 + 22.88957x3

Questão 68. Considere a função f(x) = ln (ex + 2e2x)

a) Determine uma aproximação para f(x) em torno da origem da forma f(x) ≈ a0 + a1x+ O(x2) usandoTaylor.

b) Determine uma aproximação para f(x) quando x >> 1.

c) Determine o polinômio de grau um que melhor se ajusta a f(x) nos pontos xj = 0, 0.01, 0.02, . . . , 0.1

d) Determine o polinômio de grau um que melhor se ajusta a f(x) nos pontos xj = 0, 0.1, 0.2, . . . , 1

e) Determine o polinômio de grau um que melhor se ajusta a f(x) nos pontos xj = 0, 1, 2, . . . , 10

f) Complete a tabela e discuta.

17

caso a0 a1a 1.098612 1.666667bcde

Resp ln(3)+ 53x, ln(2)+2x f(x) = 1.098448+1.677661x, f(x) = 1.084685+1.764505x, f(x) = 0.889149+

1.973142x

Questão 69. Considere o seguinte conjunto de pontos:

xi yi0 0.011 0.712 1.103 1.404 1.615 1.816 1.957 2.098 2.229 2.3210 2.4

Encontre o polínômio de menor grau tal que o o erro quadrático médio√

1n

∑nj=1 |yj − f(xj)|2 seja inferior a

3%. Trace os grácos.Resp: f(x) = 0.0242657 + 0.781486x − 0.146192x2 + 0.015087x3 − 0.0005914x4 com erro associado de

aproximadamente 1.56%

Questão 70. Dado o seguinte conjunto de pontos

xi yi0 0.0110 3.4020 5.0430 6.4340 7.7150 8.9360 10.1170 11.2680 12.3990 13.51100 14.62

a) Encontre a função do tipo A ln(1 + x) + B + Cx que melhor se ajusta aos pontos dados. (Resp:A = 0.9945281, B = 0.0106751 e C = 0.1001582)

b) Encontre a função do tipo A + Bx + Cx2 que melhor se ajusta aos pontos dados. (Resp: f(x) =0.8676923 + 0.1951841x− 0.0006100x2)

18

c) Encontre a função do tipo A+B sen(2π x

100

)+C cos

(2π x

100

)+D sen

(4π x

100

)+E cos

(4π x

100

)que melhor

se ajusta aos pontos dados. (Resp: A = 8.5747609,B = −3.7874124, C = −0.5557882, D = −1.7627729e E = −0.3565816. )

d) Encontre a função do tipo A + Bx + Cx2 + Dx3 que melhor se ajusta aos pontos dados. (Resp:f(x) = 0.3694406 + 0.2743508x− 0.0026861x2 + 0.0000138x3)

Questão 71. Encontre os polinômios de grau 2, 4 e 6 que melhor aproximam os seguintes conjuntos depontos:

a) xi = i−1100

e yi = sen(πxi) com i = 1, . . . , 101 (Resp: P2 = −0.0474954 + 4.1076377x − 4.1076377x2,P4 = 0.0011274+3.0895527x+0.5270899x2−7.2332854x3+3.6166427x4, P6 = −0.0000128+3.1426958x−0.0202271x2 − 5.0174533x3 − 0.5599836x4 + 3.6824524x5 − 1.2274841x6).

b) xi =(i−1100

)2e yi = sen(πxi) com i = 1, . . . , 101 (Resp: P2 = −0.0283713 + 4.0107313x − 4.0167795x2,

P4 = 0.0005984+3.0986957x+0.4886587x2−7.1757935x3+3.5885857x4, P6 = −0.0000066+3.1424544x−0.0179226x2 − 5.0263801x3 − 0.5436172x4 + 3.668277x5 − 1.2228122x6)

c) xi =(i−1100

)3e yi = sen(πxi) com i = 1, . . . , 101 (Resp: P2 = −0.0193703 + 3.9572658x − 3.9634004x2,

P4 = 0.0003800+3.1032383x+0.4679991x2−7.1434596x3+3.5723359x4, P6 = −0.0000040+3.1423359x−0.0167122x2 − 5.0312682x3 − 0.5343999x4 + 3.660132x5 − 1.2200875x6

d) Discuta.

Questão 72. Encontre a função do tipo f(x) = aebx que melhor se ajusta aos pontos dados por

xi yi0 3.210.1 2.620.2 2.470.3 2.010.4 1.810.5 1.590.6 1.230.7 1.300.8 1.080.9 0.861.0 0.96

• Usando uma substituição que linearize o problema. f(x) = 3.0479e−1.2937x

• Resolvendo o sistema de equações não-linear oriundo do problema de mínimos quadrados. f(x) =3.1246e−1.3545x

19

Questão 73. Encontre a função do tipo A+B cos(2π x

10+ φ

)que melhor se ajusta ao seguintes pontos:

xi yi0 - 16.221 - 23.662 - 22.743 - 12.474 3.055 17.096 25.057 23.808 12.689 - 2.0910 - 15.71

Resp:

f(x) = 0.4903914− 16.614305 cos(2π

x

10

)− 18.758209 sen

(2π

x

10

)= 0.4903914 + 25.058043 cos

(πx5

+ 2.2956592)

Questão 74. Considere o seguinte conjunto de pontos

i 1 2 3 4 5 6xi 10 12 14 16 18 20yi 1.67 1.50 1.34 1.20 1.08 0.97

a) Calcule o valor de y quando x = 3.5 usando um ajuste por uma reta envolvendo todos os pontos.

b) Calcule o valor de y quando x = 3.5 usando um ajuste do tipo f(x) = Ae−x/10 + Be−x/20 de todos ospontos.

Resp: 2.1, 2.41

Questão 75. Mostre que o coeciente angular da reta do tipo y = ax que melhor se ajusta a um conjuntode pontos (xj, yj)nj=1 é dado por

a =

∑nj=1 xjyj∑nj=1 x

2j

Questão 76. Mostre que os coecientes da reta y = a + bx que melhor se ajusta a um conjunto de pontos(xj, yj)nj=1 é dado por

a =

(∑nj=1 x

2j

)(∑nj=1 yj

)−(∑n

j=1 xjyj

)(∑nj=1 xj

)n(∑n

j=1 x2j

)−(∑n

j=1 xj

)2

b =n(∑n

j=1 xjyj

)−(∑n

j=1 xj

)(∑nj=1 yj

)n(∑n

j=1 x2j

)−

(∑nj=1 xj

)2

20

Questão 77. A corrente em miliamperes em um componente eletrônico foi medida para diversos valores detensão em volts conforme a tabela abaixo:

V I60 1380 41100 100120 210

Calcule a corrente quando V = 105 volts e a tensão quando I = 150mA usando:

a) Interpolação polinomial entre os dois pontos mais próximos.

b) Interpolação polinomial entre os três pontos mais próximos.

c) Interpolação polinomial usando todos os quatro pontos.

d) Spline cúbico natural envolvendo os quatro pontos.

e) Ajuste da função I = aebV aos quatro pontos.

f) Ajuste da função V = cedI aos quatro pontos.

g) Ajuste da função I = AV α aos quatro pontos.

h) Ajuste da função V = BIβ aos quatro pontos.

Questão 78. Encontre o valor aproximado da integral denida

I =

∫ 1

0

e−x2

dx

.

a) Aproximando a função f(x) = e−x2por um polinômio interpolador que coincida com a função nos

pontos x = 0, x = 1/3, x = 2/3 e x = 1.

b) Aproximando a função f(x) = e−x2por um polinômio de grau 2 que melhor se ajusta à função nos

pontos x = 0, x = 1/3, x = 2/3 e x = 1.

c) Aproximando a função f(x) = e−x2por um polinômio interpolador que coincida com a função nos

pontos x = 0, x = 1/2, e x = 1.

d) Aproximando a função f(x) = e−x2por um spline cúbico natural que coincida com a função nos pontos

x = 0, x = 1/2, e x = 1.

e) Aproximando a função f(x) = e−x2por um spline cúbico armado que coincida com a função nos pontos

x = 0, x = 1/2, e x = 1 e cujas derivadas dos extremos coincidam com as derivadas de f(x).

Resp: 0.7469923, 0.7469923, 0.7471804, 0.7432279,0.7467991

Questão 79. Construa o spline natural que interpola os pontos (1, 0), (2, 0), (3, 4) e (4, 10) e calcule o valormínimo que o spline atinge. resp: -.3592402

Questão 80. Um corpo de massa 2Kg se desloca sob a ação de uma força F , sua posição é conhecida parao seguinte conjunto de instantes de tempo:

21

t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10x 1 0.35 - 1.07 - 1.23 0.54 2 0.71 - 2.14 - 2.45 1.08 4y 0 1.29 1.18 - 0.29 - 0.86 1 3.38 2.95 - 0.18 - 1.51 2

Onde o tempo é dado em segundos e a posição em metros. Construa os splines naturais que interpolam ascoordernadas x e y e calcule a intensidade da força no instante t = 4.5.

22

4 Soluções parciais de alguns problemas

Questão 2 Escrevemos o sistema na forma matricial e resolvemos: 1 1 1 01 0 10 −480 10 1 25

∼

1 1 1 00 −1 9 −480 10 1 25

∼

1 1 1 00 10 1 250 −1 9 −48

∼

∼

1 1 1 00 10 1 250 0 9.1 −45.5

∼

1 1 1 00 10 1 250 0 1 −5

∼

∼

1 1 0 50 10 0 300 0 1 −5

∼

1 1 0 50 1 0 30 0 1 −5

∼

1 0 0 20 1 0 30 0 1 −5

Portanto x = 2, y = 3, z = −5

Questão 5

O sistema para V2, V3, V4 e V5 pode ser escrito na forma matricial conforme a seguir:−(

1R1

+ 1R2

+ 1R5

)1R2

01R2

−(

1R2

+ 1R3

+ 1R6

)1R3

0

0 1R3

−(

1R3

+ 1R4

+ 1R7

)1R4

0 0 1R4

−(

1R4

+ 1R8

)

V2

V3

V4

V5

=

− V

R1

000

Caso V1 V2 V3 V4 V5

a 100 91.75 85.33 80.61 77.51b 100 91.33 86.32 83.03 81.40

Questão 15 Em ambos casos, temos a seguinte estrutura:[S11 S12

S21 S22

] [[A][B]

]=

[v1v2

]De forma que [

[A][B]

]=

[S11 S12

S21 S22

]−1 [v1v2

]=

1

S11S22 − S12S21

[S22 −S12

−S21 S11

] [v1v2

]Portanto

[A] =S22v1 − S12v2S11S22 − S12S21

[B] =−S21v1 + S11v2S11S22 − S12S21

Usando derivação logarítmica, temos

23

1

[A]

∂[A]

∂S11

= − S22

S11S22 − S12S21

1

[A]

∂[A]

∂S12

= − v2S22v1 − S12v2

+S21

S11S22 − S12S21

= − [A]

[B]· S22

S11S22 − S12S21

1

[A]

∂[A]

∂S21

=S12

S11S22 − S12S21

1

[A]

∂[A]

∂S22

=v1

S22v1 − S12v2− S11

S11S22 − S12S21

=[A]

[B]· S12

S11S22 − S12S21

e

1

[B]

∂ [B]

∂S11

=v2

−S21v1 + S11v2− S22

S11S22 − S12S21

=[B]

[A]

S21

S11S22 − S12S21

1

[B]

∂ [B]

∂S12

=S21

S11S22 − S12S21

1

[B]

∂ [B]

∂S21

= − v1−S21v1 + S11v2

+S21

S11S22 − S12S21

= − [B]

[A]

S11

S11S22 − S12S21

1

[B]

∂ [B]

∂S22

= − S11

S11S22 − S12S21

E o erro associado às medidas pode ser aproximado por

1

[A]δ[A] =

∣∣∣∣ 1

[A]

∂[A]

∂S11

∣∣∣∣ δS11 +

∣∣∣∣ 1

[A]

∂[A]

∂S12

∣∣∣∣ δS12 +

∣∣∣∣ 1

[A]

∂[A]

∂S21

∣∣∣∣ δS21 +

∣∣∣∣ 1

[A]

∂[A]

∂S22

∣∣∣∣ δS22

=1

|detS|

[S22δS11 +

[A]

[B]S22δS12 + S12δS21 +

[A]

[B]S12δS22

]Analogamente, temos:

1

[B]δ[B] =

1

|detS|

[[B]

[A]S21δS11 + S21δS11 +

[B]

[A]S11δS21 + S11δS22

]onde não se indicou |Sij| nem |[.]| pois são todos positivos.Fazemos agora a aplicação numérica:Caso do par 1-2:

detS =

∣∣∣∣ 270 30140 20

∣∣∣∣ = 1200

1

[A]δ[A] =

1

1200[20× 270× 2% + 20× 30× 2% + 30× 140× 2% + 30× 20× 2%]

=216

1200= 0.18 = 18%

1

[B]δ[B] =

1

1200[140× 270× 2% + 140× 30× 2% + 270× 140× 2% + 270× 20× 2%]

=426

1200= 0.355 = 35.5%

24

Caso do par 1-3:

detS =

∣∣∣∣ 270 3015 200

∣∣∣∣ = 53550

1

[A]δ[A] =

1

53550[200× 270× 2% + 200× 30× 2% + 30× 15× 10% + 30× 200× 10%]

=1804, 6

52550≈ 0.0337 = 3.37%

1

[B]δ[B] =

1

53550[15× 270× 2% + 15× 30× 2% + 270× 15× 10% + 270× 200× 10%]

=5895

53550≈ 0.11 = 11%

Conclusão, apesar de o sensor 3 apresentar uma incerteza cinco vezes maior na sensibilidade, a escolhado sensor 3 para fazer par ao sensor 1 parece mais adequada, já que o sistema 1 − 2 é mal-condicionado emrelação ao para 1− 3.

Questão 37

Item c

F

([xy

])=

[y − x2 − 1

x2 + y2/4− 1

]Item d

JF =

[−2x 12x y/2

][xn+1

yn+1

]=

[xn

yn

]− J−1

F F

([xn

yn

])[x0

y0

]= valores iniciais

onde usamos x0 = .5 e y0 = 1.25 para a raiz do primeiro quadrante e x0 = −.5 e y0 = 1.25 para a raiz nosegundo quadrante.

item g

y = 2√3− 2 e x = ±

√2√3− 3

Questão 39 Sejam x1 e x2 os pontos de tangência. A equação da reta assume a seguinte forma:

y = f(x1) +m(x− x1)

onde o coeciente angular m é dado por

m =f(x2)− f(x1)

x2 − x1

Da condição de tangência, temosm = f ′(x1) = f ′(x2)

onde f ′(x) = cos(x)1+x

− sen(x)(1+x)2

.Assim podemos reescrever o problema como

cos(x1)

1 + x1

− sen(x1)

(1 + x1)2− cos(x2)

1 + x2

+sen(x2)

(1 + x2)2= 0

cos(x1)

1 + x1

− sen(x1)

(1 + x1)2− f(x2)− f(x1)

x2 − x1

= 0

25

Os valores iniciais para o método podem ser obtidos do gráco buscando valores próximos aos dois primeirospontos de máximos. Por exemplo: x0

1 = 1 e x02 = 8. Obtemos x1 ≈ 1.2464783 e x2 ≈ 8.1782997 e m pode ser

obtido através desses valores.Questão 39

Eq = [3.1− A]2 + [4.4− Ab]2 +[6.7− Ab2

]2∂Eq

∂A= −2 [3.1− A]− 2b [4.4− Ab]− 2b2

[6.7− Ab2

]∂Eq

∂b= −2A [4.4− Ab]− 4Ab

[6.7− Ab2

]No ponto de mínimo ambas as derivadas devem ser nulas, portanto:

2Ab4 − 13.4b2 + 2Ab2 + 2A− 8.8b− 6.2 = 0

4A2b3 + 2A2b− 8.8A− 26.8Ab = 0

equivalente a

2Ab4 − 13.4b2 + 2Ab2 + 2A− 8.8b− 6.2 = 0

4Ab3 + 2Ab− 8.8− 26.8b = 0.

Questão 47 Da primeira equação, temos x = 2 cos(yz+z)+16

substituindo nas outras duas equações, temosum sistema dois por dois:

4

(2 cos(yz + z) + 1

6

)2

− 25y2 + .4y + 2 = 0

e−(2 cos(yz+z)+1

6 )y + 2

(2 cos(yz + z) + 1

6

)− 5z = 10

Denimos no Scilab as funções f : R× R → R e g : R× R → R:

function w=Q31_f(y,z)

x=(2*cos(y*z+z)+1)/6

w=4*x^2-25*y^2+.4*y+2

endfunction

function w=Q31_g(y,z)

x=(2*cos(y*z+z)+1)/6

w=exp(-x*y)+2*x-5*z-10

endfunction

e traçamos usando o comando 'contour':

contour([-2:.25:2],[-2:.25:2],Q31_g,[0 0])

contour([-2:.25:2],[-2:.25:2],Q31_g,[0 0])

encontramos aproximações para as raizes pelo gráco. y ≈ −.25, z ≈ −1.25 e y ≈ .25, z ≈ −1.25Denimos a função F : R2 → R2 no Scilab:

26

function w=Q31_F(v)

y=v(1)

z=v(2)

w(1)=Q31_f(y,z)

w(2)=Q31_g(y,z)

endfunction

Por m iteramos

v=[-.25;-1.25]

v=v-derivative(Q31_F,v)\Q31_F(v) X 4 vezes

v=[.25;-1.25]

v=v-derivative(Q31_F,v)\Q31_F(v) X 5 vezes

O critério de paragem foi a convergência até a sétima casa decimal depois da vírgula para ambas incógnitas.Este critério é heurístico, porém devido à rápida convergência é esperado que a solução esteja correta comerro inferior a 10−7. A propagação de erros das variáveis y e z para a variável x não é um problema aqui poisse x = f(y, z) = 2 cos(yz+z)+1

6então ∣∣∣∣∂f∂y

∣∣∣∣ ≤ 2/3 e

∣∣∣∣∂f∂z∣∣∣∣ ≤ 1.

27