Instituto Federal de Educao, Cincia e Tecnologia do Cear IFCELista 1 Engenharia de Mecatrnica e TelemticaDisciplina: lgebra Linear

1. Mostre que a nica matriz simtrica que tambm anti-simtrica a matriz nula.

2. Dizemos que uma matriz no nula e quadrada Nilpotente quando existe um inteiro tal que . E se dizemos que nilpotente de nvel n.a. Mostre que a matriz nilpotente de nvel 3.b. Mostre que se de nvel 2, ento A no possui inversa.3. Mostre que vlida a igualdade [4. Mostre a seguinte identidade de Jacobi: 5. Definimos o trao de uma matriz quadrada como sendo a soma dos elementos da sua diagonal principal e denotaremos por Ento se . Sejam A e B duas matrizes de ordem n. Mostre que:(a) (b) (c) (d) para todo

6. Suponha que , verdade que

7. Mostre que se uma matriz de ordem 2 igual ao dobro de sua transposta, ento, ela nula.

8. Sejam e duas matrizes que comutam entre si e tal que e Mostre que .

9. Mostre que para toda matriz vale a igualdade ).

10. Mostre que o trao de uma matriz anti-simtrica zero.

11. Prove que se um sistema linear possui duas solues distintas, ento ele possui infinitas solues..12. Determine , de modo que o sistema

Tenha infinitas solues.13. Sejam uma soluo do sistema linear homogneoprove que o sistema possui infinitas solues.14. Se determine e tente descobrir a natureza de onde n um inteiro positivo.15. Construa a matriz de ordem 3 por 4 onde onde

16. Prove que a multiplicao de duas matrizes diagonais quaisquer de mesma ordem comutativa.17. Prove que a soma de uma matriz qualquer e sua transposta uma matriz simtrica, isto , 18. Se A e B so matrizes simtricas, ento uma matriz simtrica se, e somente se,

19. Determine o nmero mximo de elementos distintos numa matriz anti-simtrica qualquer de ordem

20. Determine de modo que o sistema linear seja compatvel.

21. Se uma matriz por e , ento o sistema homogneo de equaes lineares admite uma soluo no-trivial.

22. Resolva a equao

23. Mostre que a matriz invertvel e determine a sua inversa.

24. Calcule explicitamente

25. Calcule a inversa da matriz com .

26. Se uma matriz com , ento pelo menos uma das matrizes e no invertvel.

27. Considere as matrizes , com . Mostre que para cada com a derivada calculada entrada a entrada.

28. Diga para que valores de invertvel a matriz

29. Dada uma matriz mostre que

30. Resolva a equao onde .